*Examples
-S_Z(order top이므로 order top의 성질을 모두 따름)
S_Omega.pdf-S_Z는 largest element를 갖지 않는다.
-not compact
-not metrizable
-S_Z의 countable subset E는 upperbound in S_Z를 갖는다.
-least upperbound property만족
-모든 closed interval(not singleton)은 compact
-LKT2
-sequential closure와 그냥 closure가 다를 수 있음
-limit point compact
-sequentially compact
-first-countable
-not separable
-not second-countable
-not lidelof
-ocl(S_Z)=cl(S_Z)
-cl(S_Z)의 특징
-least upper bound property
-compact
-not first-countable
-not second-countable
-not separable
-lindelof
-not metrizable
-Z가 limit point of S_Z이다.
-LL(with dictionary order with deleted smallest element)
-path-connected
-locally homeomorphic to R(std)
(not imbedded in R(std))
-V_4의 성질
-order:4
-ab=c, bc=a, ca=b형태
-abelian
-Aut(V_4) giso S3
-Inn(V_4)=1
-D_2n의 성질
-order:2n, reflection:n, rotation:n
-rotation(2pi/n)을 r이라하고 reflection(중심과 1을 이은 직선 기준인)을 s라 하면 r과 s로 모든 원소 representation가능
-r*s=s*r^(-1), [r,s]=r^(-2)
-C(D_2n)=<r^2> _<! D_2n
-<r>:NS
-<s>:S (not normal), D_2n/<r> giso <s>
-D_2n giso OSDP(Z/nZ,Z/2Z)
-따라서 solvable(따라서 D_k, k=not power 2^n이면 solvable인데 not nilpotent의 예)
-Z/nZ대신 Z이면 D_inf라 쓰고 infinite dihedral group이라 한다.
-n>=3인 odd면
-Z(D_2n)={e},
-<r^2>의 order:n
-D_4n giso D_2n x Z/2Z
-n=2k인 even이면
-Z(D_2n)={e, r^k}
-<r^2>의 order:2n/4
-D_2n/<r^2> giso V_4
-D_8의 성질
-Z(D_8)=<r^2>=C(D_8)
-NS=<s,r^2>, <r>, <rs,r^2>, <r^2>
-conjugate class={1}, {r^2}, {r,r^3}, {s,sr^2}, {sr,sr^3}
-Aut(D_8) giso D_8
-D_2^n, 즉 order가 power of 2인 경우(2^k)
-nilpotent하고 nilpotent class:k-1
(order가 power of 2가 아닌 경우는 not nilpotent)
-3차원 정다면체 관련
-정다면체의 한 꼭지점에서의 정다각형들의 내각의 합은 360도보다 작다.
-정다면체가 5종류이고, n:정n각형, p:한 점에서 만나는 정n각형의 개수
(n,p)=(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)임을 앎
-v-e+f=2를 이용하면 다 앎
-symmetries group의 order는 v*(한 꼭짓점에 걸리는 변의 개수)
-Q_8의 성질
-order8이면서 non-abelian인 예, 하지만 모든 S는 NS.
-Z(Q_8)=<-1>=C(Q_8)
-Upper central series:{1}, {-1,1}, Q_8, 따라서 nilpotent class of 2
-<i>={-1, -i, 1, i}
-N_(Q_8)(<i>)=Q_8
-N_(Q_8)(i)=<i>
-conjugate class={1},{-1},{i,-i},{j,-j},{k,-k}
-Aut(Q_8) giso S_4
-nilpotent, nilpotent class=2
-te rep(Q_8):Q_8->SL(2,C) s.t. i->(i 0 0 i ), j->(0 1 -1 0), k->(0 i i 0)
-(a,b)_F, called Quaternion algebra, defined by F[Q_8], i^2=a, j^2=b,
-(-1,-1)_R(std)을 주로 Quaternion이라 부르고 H라 나타냄
-S_[n]의 성질
-임의의 원소는 disjoint cycles의 곱으로 표현이 된다.(unique, 곱의 order는 생각안할 시)
-임의의 원소는 adjacent transposition의 곱으로 표현이 된다.(not unique)
(직관적인 이해는 사다리 타기의 가로이동을 adjacent transposition으로 보면 된다.)
(먼저 disjoint cycles로 표현한 뒤, 각 cycle를 transposition으로 표현한뒤 각 transposition을 adjacent transposition으로 표현)
(f(a,b,c)f^-1 = (f(a),f(b),f(c))이용, conjugate)
-임의의 subgroup S는 S_[n]의 subgroup과 isomorphic하다.(S_[n], 중요)
-S_[n]은 GL(n,F)의 subgroup과 isomorphic하다.(GL(n,F), 중요)
-임의의 원소의 sign판단은 사다리 타기의 가로이동 갯수로 가능(즉 adjacent transposition 개수 = transposition개수 mod2)
-(i+1,i+2)(i,i+1)(i+1,i+2)=(i,i+1)(i+1,i+2)(i,i+1), called braid relation, 외우기 쉽게는 (23)(12)(23)=(12)(23)(12)
-S_[n] giso OSDP(Alt(n),Z/2Z)
-(G<S_[n]일 때 G<alt(n)일 조건)If there is no subgroup S of G s.t. [G:S]=2, then G<alt(n)(link)
-n>=3이면
-Z(S_[n])=1
-not nilpotent
-n>=5이면 nontrivial proper normal subgroup은 Alt(n)뿐
-따라서 S_[n]:solvable iff n<=4
-n이 6만 아니면, Aut(S_[n])=Inn(S_[n]) giso S_[n]
-n=6이면 [Aut(S_[n]):Inn(S_[n])]=2
-n=prm일 때,
-|N_S_[n](Sprm)|=prm*(prm-1), Sprm이란, Sylow prm-subgroup
-p-cycle and a transposition generates S_[n] (n=prm일 때만 됨)
-sum g in S_[n] q^inv(g) = [n]_q
-S_[3]의 성질
-NS=<(1,2,3)>
-Sp(p=3)=<(1,2,3)>
-Sp(p=2)=<(1,2)>, <(1,3)>, <(2,3)>, 총 3개
-S_[4]의 성질
-Sp(p=2), 총 3개, giso D_8
-Sp(p=3), 총 4개, giso Z_3
-representation관련
-f:S_[n]->GL(1,C), f(g)=sgn(g), it is called sign rep
-f:S_[n]->GL(n,C), (f(g))_(i,j)=1 if g(j)=i, otherwise, (f(g))_(i,j)=0, it is called defining rep(image의 MT들은 permutation MT가 된다.즉 각 열마다 1은 1번, 행마다 1은 1번)
(정의할 때 , g(i)=j 부분의 i,j를 위치를 바꾸면 rt((f(g)))가 나온다, 그래서 f가 group homomorphism이 되지 않는다.)
-S_[inf]:=union over n>=2 S_[n]관련
-not equal to {f:N->N s.t. f:bijection}, S_[n]은 유한개만 permute함
-
-N
-(Well-ordering Principle)N의 nonempty subset은 smallest element를 갖는다.
-Well-ordering Principle iff Induction Principle iff Strong Induction Principle
-(Induction Principle)Let S(n) be a statement on N satisfying S(1):true and for any n in N if S(n):true then S(n+1):true. Then S(n):true for all n in N
-(Strong Induction Principle)Let S(n) be a statement on N satisfying S(1):true and for any n in N if S(1),S(2),...,S(n):true then S(n+1):true. Then S(n):true for all n in N
-N(std)인 경우
-LKT2
-ocl(N(std)) homeo {0}U{1/n s.t. n is in N}
-Z
-(Euler's Theorem)gcd(n1,n2)=1 이면 (n1)^ephi(n2) ≡ 1 (mod n2)
-(Euclid Algorithm)gcd(n1+n2*n3,n3)=gcd(n1,n3)
-Inn(Z) giso 1
-Projective Z-Md
-Z[i]:ED(link)
-p:prm with p=4k+1 for some k in Z, then p is the sum of squares(link)
-|G|의 factor당 subgroup이 유일하게 존재
-모든 S가 char
-abelian
-G of order n의 generator개수:ephi(n)
-FP(Z/2Z, Z/2Z) giso OSDP(Z,Z/2Z), i.e. infinite dihedral group과 giso
-Aut(Z/nZ) giso (Z/nZ)^*(link1)(link2)
-Aut(Z/nZ):abelian, order:ephi(n)
-(Z/nZ)^*은 사실상 다 앎, n만 factorization하면, link참고
-Aut(EAG(p,n)) giso GL(n,F) with |F|=p 인 field
(Z-md structure is consistent with F-scalar multiplication이 되기 때문)
-Inn(Z/nZ) giso 1
-TP(Z/nZ, Z/mZ) giso Z/gcd(n,m)Z(모두 Z-Md에 대해서)(link)
-id={deg가 >=2인 것들}union{0}, Z[x]/id는 zd를 갖지만, Z[x]는 zd를 안가짐
-id={계수가 모두 even인 것들},
-Q
-additive group로 볼 때
-divisible
-injective Z-Md
-Q/Z:Injective Z-Md
-not cyclic
-te no maximal subgroup(link)
-not projective Z-Md(link)
-field로 볼 때
-[ac(Q):Q]=inf
-R(std)의 subspace로 볼 때
-not open subspace
-not closed subspace
-not locally compact
-R(std)
-Aut(R)=Aut(R/Q)=1
-C4(TS)는 C4({(a,b)}, C4({(a,b]}), C4({[a,b]}), C4({(-inf,a]}), C4({(-inf,a)})와 같다.
-모든 nonempty open set은 disjoint c-union open intervals로 표현가능(link)
-모든 closed interval(not singleton)은 uncountable이다.
any subset whose complement is countable is dense in R(std)(link)
-homeo (-1,1)(둘다 order top)
-R(std)<R(l)
-R(std)<R(K)
-nonempty perfect subset은 uncountable
-uncountable subset은 반드시 limit pt를 갖는다.
-[0,1]
-compact, limit point compact, sequentially compact
-connected, path-connected, locally connected, locally path-connected
-ocl(R(std)) homeo 1-dim sphere
-second-countable
-contractible(link)
-metrizable
-T2
-T3
-T4
-C4(top)은 generating set을 {(a,b)}, {[a,b)}, {(a,b]}, {[a,b]} 다 가능
-About Cantor Ternary Set
-closed
-compact
-let x in [0,1]. x in Cantor Ternary Set iff x has a ternary expansion consisting only of 0's and 2's.(따라서 uncountable)
-Lebesgue Measure, 0
-totally disconnected
-KT2
-no isolated pt(즉 perfect set)(따라서 uncountable)
-Lebesgue Measure(LM)
-건설:RSC3={empty, all bdd intervals}, RSC3에 vol이란 PM을 주고, {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(TOP)가 된다. 즉 Borel sigma algebra)
-특징
-complete(Borel sigma algebra에서는 not complete,
-f:R(std)->R(std)의 성질(a,b in R)
-정의역이 [a,b]인 경우
-f가 monotone이면
-불연속점의 개수는 at most countable
-(Lebesgue's Theorem)미분가능한 점의 개수는 lebesgue measure에 대해 almost everywhere
-{f_n} on [0,1], Berenstein Polynomial of degree n, uni cv to conti f(link1)(link2)
-f가 conti이면 antiderivative를 갖고,
-(Fundamental Theorem of Calculus, FTOC)
:f:conti on [a,b], F(x)=int from t=a to t=x f(t)dt일 때, F는 미분가능, F'(x)=f(x)
(즉 f가 conti이면 anti-derivative를 갖고 그것은 diff라는 것)
-(Integration by Substitution)
:f1 on [a,b]:conti이고 te f2 s.t. C^1 on [c,d], f2([c,d])=[a,b]인 f2가 있다면
int from x=a to x=b f1(x)dx = int from t=c to t=d f1(f2(t))*f2'(t) dt가 성립
(즉 실제 적용시, 전자를 후자로 하게끔하는 f2를 찾는 것이다.)
(f1의 conti는 integral 정의를 위함이고, f2의 C^1도 등식의 후자에 integral 정의를 위함)
(증명은 FTOC이용)
-About Bounded Variation
-the total variation of f := sup over all partition of [a,b] (sum of |f(x_(i+1)) - f(x_i))|)
-f가 bdd variation이란(f:BV) its total variation is finite일 때
-the positive variation of f := sup over all partition of [a,b] (sum of max(f(x_(i+1)) - f(x_i)),0))
-the negative variation of f := sup over all partition of [a,b] (sum of -min(f(x_(i+1)) - f(x_i)),0))
-total variation of f = sum of the positive and negative variations of f
-g1,g2:[a,b]->R이고 BV이면 g1+g2:BV
-3개의 variations중 1개라도 finite면
-나머지도 finite(link)
-the positive variation - the negative variation = f(b)-f(a)(link)
-(Jordan Decomposition of a function)f가 bdd variation iff te g1,g2:[a,b]->R s.t. g1,g2:inc and f=g1-g2(link)
-About Absolutely continuous(abs conti)(정의역이 그냥 interval이기만 하면 됨)
-f가 abs conti란, for any ε > 0, te δ > 0 s.t. for any finite segments [x_1,x_2], ..., [x_(n-1),x_n] s.t. sum of all lengths of segments < δ, sum of all |f(x_(i+1) - f(x_i)| < ε
-f가 abs conti
iff f has f' in Lp(LM) s.t. f(x)=f(a)+int from t=a to t=x f'(t) dt for all x in [a,b]
iff te g in Lp(LM) s.t. f(x)=f(a)+int from t=a to t=x g(t) dt for all x in [a,b]
(위의 equivalents는 [a,b]에서만 성립, compact필요)
-정의역이 (a,b)인 경우
-(Chain Rule for one-dimensional)g:diff at a, f:diff at g(a)일 때, (f o g):diff at a이고 d(f o g)/dx at x=a =f'(g(a))g'(a)
-(Darboux 's Theorem)f:(a,b)->R(Std), f:diff일 때, for c,d in (a,b) s.t. f'(c) != f'(d), for t between f'(c) and f'(d), te e in [c,d] s.t. f'(e)=t
-정의역이 R인 경우
-f가 monotone이고 bdd이면 불연속점의 개수는 at most countable
-{f_k}, {a_n}:any rv seq일 때, te {f_(n_k)} s.t. cv at all a_n(그 수렴값은 +inf, -inf을 취해도 된다고 할 때)(link)
-정의역이 뭐든간에
-f가 analytic on open set E란, for any x in E, te nbd(x) s.t. f is equal to its taylor series on nbd(x)
-About Taylor Series
-f가 x=a에서 infinitely many diff이면 Tay_(f,a)가 정의됨
-Tay_(f,a)가 정의될 때, a에서의 RoC 구해서 f(x)=Tay_(f,a)(x)가 가능한 x범위를 구할 수 있다.
(ratio test, root test 등이 있다.)
-혹은 f:C->C로 이해해서 a에서 가장 가까운 not diff점까지의 거리를 통해 RoC를 구할 수도 있다.)
-Taylor Series는 기본적으로 f의 local property
-f가 x=a에서 infinitely many diff이어서 Tay_(f,a)가 정의 되더라도, f가 not analytic at x=a일 수 있다.
(f(x)=e^(-1/x^2) for nonzero x, 0 for x=0)
-analytic function관련 성질
-f가 analytic on open set E이면 f in C^inf(E), 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 f(x)=e^(-1/x^2) for nonzero x, 0 for x=0
-About Convex Functions
-정의:
-I(interval, open이든 closed이든, finite이든 뭐든 어쨋든 interval, singleton일 수도)에서 정의된 f가 convex란,
f(ax+(1-a)y)<=a*f(x)+(1-a)*f(y) for all x,y, in I, for all a in [0,1]
-f on I, f has support at t in I란, te linear function g(x)=f(t)+m*(x-t) s.t. g<=f on I
-성질:
-f:convex on I일 때,
-[a,b]<I에 대해 f는 Lipschitz-conti on [a,b], f는 abs conti on [a,b], f는 conti at x in Int(I)
-left(right)-derivative exist on Int(I), 그리고 각각은 inc이다.
-f:convex on open interval I일 때, E={x in I s.t. f' not exist at x}, E:at most countable이고 I-E에서 f'은 continuous
-f:convex on (a,b) iff te at least one line of support for f at each x in (a,b)
-R(l)
-R(l)과 R(K)는 not comparable
-First-countability
-separable
-lindelof
-not second-countable
-not metrizable
-totally disconnected(path-connected component, connected component 모두 singleton)
-not compact
-not limit point compact
-not sequentially compact
-[0,1]
-not limit point compact
-not compact
-not sequentially compact
-T2
-T3
-T4
-CN
-T5
-not TVS([0,1)을 a배 해도 -1을 포함하지 않는 걸 생각)
-Sorgenfrey plane(inverse diagonal {(x,-x)}가 중요한 역할함)
-not lindelof(but lindelof 2개 곱해서 얻은 product topology임)
-T2
-T3
-not T4
-R(K)의 특징
-[0,1]이 not compact subspace
-not path-connected, path-connected component={(-inf,0],(0,inf)}
-not locally connected
-not locally path-connected
-T2
-not T3
-connected
-[0,1]x[0,1] with dictionary order(ordered square라 함)의 성질
-R(std)xR(std) with dictionary order의 subspace랑은 다르다.
-First-countability
-linear continuum
-connected
-compact
-not path-connected
-locally connected
-not locally path-connected
-lindelof
-not metrizable
-not second countable
-R^n의 특징(n>=2)
-C4(TS)=C4({open rectangles})=C4({(-inf, x)}
(R^n에서의 order는 각 coordinate 모두에 성립하는 order로써 정의가능)
-임의의 nonempty open set은 nonoverlapping c-union of closed cubes로 쓰여질 수 있다.
(nonoverlapping이란, interior가 disjoint인)
-product top from each order top=uniform top=box top=top from euclidean metric=top from square metric
-with dictionary order from each standard order top이면, metrizable
-countable set을 빼도 path-connected, connected
-open connected E는 path-connected된다.
-E:compact iff E:closed and bdd wrt euclidean metric
-second-countable
-complete in euclidean metric, or square metric
-(Vitali Covering Theorem)
-Version 1(link)
:E:bdd subset, F:a collection of open balls which are centered at points of E s.t. every point of E is the center of some ball of F일 때
->te a seq (B1,B2,...)(유한 seq일 수도 있음) of balls from F s.t. (B1,B2,...):disjoint and E<union of (3B_i)
-Version 2(infinitesimal)(link)
:E:subset, F:a collection of closed balls with positive radius which satisfies
"x in E, eps>0이면 te B in F s.t. x in B and rad(B)<eps"
이면 ->te a seq (B1, B2, ...)(유한 seq일 수도 있음) of balls from F s.t. (B1,B2,...):disjoint and E<union of (B_i) except for a null set
-Lebesgue Measure(LM)
-건설:RSC3={empty, cartesian product of bdd intervals}, vol이란 PM를 주고 extension해서 {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(TOP)가 된다. 즉 Borel sigma algebra, {all PM*ME}가 더 넓은 sigma-algebra)
-Lebesgue Measurable Set을 LME라 하자.
-특징:
-complete(Borel sigma algebra에서는 not complete)
-Borel Sigma algebra의 completion이 Lebesgue sigma algebra됨을 알 수 있다.
-Lebesgue Measure 건설 과정을 보면은, RSC3->C3(RSC3)->C3(RSC3)(U)->C3(RSC3)(U)(I)->...->{all PM*ME}
-C3(RSC3)(U)(I)로 Lebesgue Measurable set을 approximation할 수 있다.(sf-M이므로 가능해짐)
(C3(RSC3)(U)(I)엔 open, closed, compact 다 포함되어있다.)
(outer measure값이 finite이면 조금 작은 compact 잡을 수 있다.)
(조금 큰 open set, 조금 작은 closed set 잡을 수 있음)
-C3(RSC3)(U)나 C3(RSC3)(U)(I)로 임의의 E in P(R^n)의 Lebesgue Outer Measure approximation가능
-Lebesgue Measurable인데 not borel set
-P(R^n)에서 not Lebesgue Measurable set
-sCez<lp, p in [1,inf)<sClz<sCcv<lp, p=inf
-f:R^n(std)->R^m(std)의 성질(꼭 정의역과 공역이 전체가 아니어도 상관없을 때가 많다. open->open이기만 하면 될 때가 많음)
-f:vector-valued일 때
-정의
-D_f(x_0)란 derivative of f(matrix을 가리킨다. entries는 partial derivatives, Jacobian Matrix라고도 함)
(f=(f1,f2,...,fm)에서 각 fi의 gradient를 row로 하는 matrix가 된다.)
-n=m일 땐, J_f란 det(D_f)을 가리킨다. (Jacobian of f)
-D_(f,x_0)(x), directional derivative of f along x_0 at x란, lim h->0 (f(x+h*x_0)-f(x)/h), h는 scalar임
-x_0:critical point of f란 f:diff at x_0 and D_f(x_0)=0일 때
-C^k-f란, f의 각 coordinate function 모두가 C^k일 때(C^inf는 특별히 smooth라 한다.)
-(n=m일 때 정의함)diffeo:C^inf이고 C^inf인 inverse를 가질 때
-f:diff at x_0란 D_f(x_0)가 lim h->0 {f(x_0+h)-f(h)-D_f(x_0)(h)}/||h||=0을 만족할 때
-Jordan Curve란 f:[0,1]->R^2(std), conti, f(0)=f(1), restriction of f on [0,1) is injective, 이때 f의 image를 Jordan Curve라 하자.
-성질
-(Inverse Function Theorem for multivariate, m=n)
:C^1-f on open U의 J_f가 non-zero at x_0라면(즉 derivative가 invertible), te nbd(x_0) and nbd(f(x_0)) s.t. nbd(x_0)<U and nbd(f(x_0))<f(U) f|nbd(x_0):nbd(x_0)->nbd(f(x_0))에서 bijective이고 inverse도 C^1 on nbd(f(x_0)). 게다가 D_f(x_0)의 inverse matrix는 D_f^(-1)(f(x_0))
(단순히 미분가능, 도함수의 존재가 아니라 도함수가 연속하다는 조건이 꼭 필요, 그래야 nbd에서 injective해짐)
-(Rank Theorem for R^m)
:U1:open in R^m(Std), U2:open in R^n(std), F:U1->U2가 smooth with constant rank k일 때
for any p in U1, te smooth charts (V1,g1) for R^m(std) centered at p and (V2,g2) for R^n(std)
s.t. V1<U1 and F(V1)<V2<U2 and g2(F(g1^(-1)(x1,x2,...,xm)))=(x1,x2,...,xk,0,0,...,0)
-D_f(x_0)의 성질
-f:diff at x_0일 때(derivative의 존재성보다 약간 강한 조건임), D_f(x_0)는 the best linear approximation near at x_0가 된다.
-D_(f,x_0)(x)의 성질
-D_(f,x_0) is linear in x_0
(단, 존재할 때 이야기성립)
-
-J_f의 성질
-Inverse Function Theorem
-Multiple Integral에서 transform이용
:좌표변환이라 함은, 기존좌표계 with dV(대게 직교좌표계)에서
"이전 좌표계(구면, 원통 등 있다고 생각)->기존좌표계"인 함수 g를 찾고,
g를 이용하여 multiple integral 수정 with dV'=dV*|J_g|
-(Chain Rule for Multi-dimensional)
-g:R^n(std)->R^m(std), f:R^m(std)->R^k(std)에서 D_(f o g)(x_0)=D_f(g(x_0)) * D_g(x_0) where *은 matrix multiplication
-(Implicit Function Theorem)
-motive:
-f:R^n(std)->R^m(std)에서 n>m이고 n=k+m, C^1
-a in R^k, b in R^m, U:open(a) in R^k, V:open(b) in R^m, f(a,b)=c
-g:U->V s.t. {(x,g(x)) s.t. x in U}={(x,y) < UxV s.t. f(x,y)=c} and C^1인 g를 찾는게 목표
-Statement:
-f:R^n(std)->R^m(std)에서 n>m이고 n=k+m, C^1(정의역이 좀 더 작은 open set이어도 가능)
-D_f(a,b)에서 뒷열에서부터 mxm matrix가 invertible이면 te desired g,U,V s.t. U:open(a) in R^k, V:open(b) in R^m, f(a,b)=c
(f가 C^n이면 g도 C^n인게 존재함, f가 C^inf였어도 마찬가지로 g가 C^inf인게 존재함)
-any diffeo is homeo
-(Invariance of Domain, m=n)f:conti,injective이면 f:open이다.
-따라서 there is no homeomorphism between R^n(std) and R^m(std) for different n,m
(만약 f:R^n(std)->R^(n-1)(std), f:homeo라면, i:R^(n-1)(std)x{0}->R^n(std), inclusion, i o f 는 conti injective이므로 invariance of domain에 의해 homeo가 되는데, image인 R^(n-1)(std)x{0}은 not open in R^n(std))
-증명으로 가는 길
-(Homotopy Extension Lemma)Xx[0,1]:T4, A:closed in X, Y:open in R^n(std), f:A->Y:conti and nulhomotopic일 때
te g:X->Y s.t. g=f on A and g:nulhomotopic(link1)(link2)
-(Jordan Curve Theorem)
-C가 Jordan Curve이면 complement of C는 two connected components를 갖고 하나는 bdd하고 다른 하나는 unbounded, 전자가 interior, 후자가 exterior가 된다.
(즉, piecewise smooth path의 intereior가 well-defined됨을 보장해준다.)
-MT(R(std))(3x3)이 entry 모두가 positive real인 경우 이 MT는 has a positive real eigenvalue
-f:rv일 때
-정의
-grad(f)=(df/dx1, df/dx2, ...)
-C^n-f란, f의 n번 partial derivative(mixed도 포함)가 exist and continuous
-f has local maximum at x_0란 f(x_0)>=f(x) on a nbd(x_0)
-x_0 is a extreme point of f란 f가 x_0에서 local maximum이나 local minimum을 가질 때
-x_0:saddle point of f란 critical point x_0 of f가 not extreme point of f일 때
-Hessian of f at x_0란 D_(D_f)(x_0)
-D_(f,x_0)(x), directional derivative of f along x_0 at x란, lim h->0 (f(x+h*x_0)-f(x)/h), h는 scalar임
-for G:bdd,open,connected, 0<a<=1, f가 Holder-conti on G with a란, sup over x,y in G |f(x)-f(y)|/|x-y|^a가 finite일 때고 이 값을 Holder-coefficient라 한다.
-for G:open in R^n(std), fCC^k(G):={f:G->R(Std) s.t. C^k-f}
-for m=0,1,2,3,..., 0<a<=1, G:bdd,open,connected,fCHconti_(m,a)(cl(G),R(std))이란, f in fCC^k(cl(G))이면서 ||f||_(m,a)<inf인 것들
where ||f||_(m,a)정의는 link참고
(줄여서 fCH_(m,a)라 적자, 정의역 공역 모두 생략, 필요하면 적기)
-f:Schur-convex on E if for any seq (a_n), (b_n) in E with b_n majorize a_n, f(a_n) <= f(b_n)
-f:strictly Schur-convex on E if for any seq (a_n), (b_n) in E with b_n majorize a_n and b_n is not a_n up to permutation, f(a_n) <= f(b_n)
-f:Schur-concave on E if for any seq (a_n), (b_n) in E with b_n majorize a_n, f(a_n) >= f(b_n)
-f:strictly Schur-concave on E if for any seq (a_n), (b_n) in E with b_n majorize a_n and b_n is not a_n up to permutation, f(a_n) >= f(b_n)
-성질
-lim (x,y)->(0,0) f(x,y)가 존재하면, lim x->0 f(x,0)도 존재하고 lim y->0, f(0,y)도 존재
(역은 성립하지 않는다.)
-f:diff at x_0, x_0:extreme point of f일 때 D_f(x_0)=0이다.
-C^2-f에 대해 x_0:critical point of f and Hessian of f at x_0:negative-definite이면 f has a local maximum at x_0
(C^2-f에 대해 partial converse:f has a local maximum at x_0엿다면 Hessian of f at x_0:negative-semidefinite)
-partial integral로 얻은 함수의 성질(편의상 n=2일 때 생각)
-f:(x,y)->R(std), int f(x,y) dx=F(y)라 하자. 이 때 F(y)가 conti at y_0할 충분조건은,
-te g(x) in L1 s.t. |f(x,y)|<=g(x)
-f(x,y):conti wrt and at y_0
2가지를 다 만족시키면 된다.(Using Dominated Convergence Theorem)
-dF(y)/dy의 경우도 유사, link참조(link)
-(Integration by Substitution)
:f1:conti with compact support contained in some open set V in R^n이고
te f2:U->V s.t. U:open in R^n, f2:1-1, C^1, J_f2:non-zero in U일 때
int in V f1 = int in U f1(f2)|J_f2|
-(Mean Value Theorem for Multi-dimensional)
-f:R^n(std)->R(std):C^1, x1,x2 in R^n(std)일 때, f(x2)-f(x1) can be described into partial derivative and coordinate difference(link참조)
-Lp(R^n(std), C4(TS), LM))
-(0,inf]에서
-(0,inf)에서
-[1,inf]에서
-[1,inf)에서
-separable
(증명은 MF in Lp 잡고 pt cv a.e. 인 simple functions seq잡고 그게 cv in Lp인걸 보인다. 이후 simple function이 step functions에 의해 근사 됨을 보인다.(Lp norm) 유리수값을 가지는 유리수 좌표의 rectangles에 의한 step function으로 MF를 근사할 수 있으므로 countable dense set 가짐)
-fCcontiKS(R^n(std), R(std)):dense in Lp(R^n(std), C4(TS), LM))
-(0,1)에서
-주의
-directional derivatives가 존재해도(어느 방향이든) not diff일 수 있다.
-directional derivatives가 존재해도(어느 방향이든) not conti일 수 있다.
-partial derivatives가 존재해도 directional derivative가 존재하지 않을 수 있다.
-fCHconti(cl(G),R(std))의 성질
-BS(R(std))
-About Schur-convex and Schur-concave
-(Characterization of Schur-convex)
Let E be a symmetric and convex subset of R^n(std), and f be a C^1 on int(E).
Then f:Schur-convex on E
iff f:symmetric on E and (x1-x2)*(∂f/∂x1(x) - ∂f/∂x2(x)) >= 0 for any x in E, the latter is called the Schur condition.
(f:symmetric일 때 Schur-condition은 n=2일때만 생각해서 보여도 충분하다.)
-f:symmetric and convex on E이면 f는 Schur-convex
-f:symmetric and concave on E이면 f는 Schur-concave
-f:E<R^n(Std)->R(std), g:R(std)->R(std), h:E->R(std) s.t. h(x)=f(g(x1), g(x2),..., g(xn)), j:E->R(std) s.t. j=g(f)
-f:Schur-convex and inc, g:convex이면 h는 Schur-convex
-f:Schur-convex and dec, g:concave이면 h는 Schur-convex
(f가 inc란 정의역에선 componentwise inequality사용, not majorization)
-f:Schur-convex, g:inc이면 j는 Schur-convex
-f:Schur-convex, g:dec이면 j는 Schur-concave
-대표적인 Schur-convex function
-f(x)=sum over i=1 to i=n x_i
-f:Schur-convex iff g:convex
-g가 1/x이면 h(x) = sum over i=1 to i=n 1/x_i
-g가 -log(x)이면 h(x) = sum over i=1 to i=n (-log(x_i))
-(-1)*(e_n), where e_n:nth elementary symmetric function,
-(-1)*{(e_n)/(e_(n-1))}
-for 1<=p<=k<=n, (-1)*[e_k/e_(k-p)]^(1/p)
-About Convex
-Def
-A subset E of R^n(std) is said to be convex if E is closed under c-linc
-for a subset E of R^n(std), conv(E):the convex hull of E, conv(E):=the intersection of all convex sets containing E
-for a finite subset E of R^n(std), conv(E) is called a convex polytope
-for a convex set E or R^n(std), dim(E):=dim(aff(E))
-Properties
-E:convex iff it contains all the clinc of its all elements
-convex subset은 star-convex subset이다.
-star-convex subset은 simply connected이다.
-star-convex open subset에서의 closed cvf는 exact이다.
-any convex subspace has a trivial FHG
-smooth GL(n,R(std))-space
-O_x={0} or O_x = R^n(std)-{0}
-smooth O(n,R(std))-space
-O_x={0} or spheres centered at origin.
-About Affine set
-Def
-A subset E of R^n(std) is called an affine set if for any x,y in E, any 1-linc of x,y is in E.
-for E:a subset of R^n(std), aff(E):the affine hull of E, aff(E):=the intersection of all affine sets containing E.
-E1,E2:affine of R^n(std)일 때 E1//E2(parallel)란 if te a in R^n(std) s.t. E1=E2+a
-for E:affine of R^n(std), dim(E):=dim(S) s.t. S:linear subspace of R^n(std) s.t. S//E
-for E:affine of R^n(std) s.t. dim(E)=(n-1), we call E a hyperplane of R^n(std)
-Properties
-E:affine set of R^n(std)이면 a+E도 affine
-for any E:affine of R^n(std), te! linear subspace S of R^n(std) s,t, S//E
-(Representation of Affine set of R^n(std))E:affine set iff E={x s.t. Ax=b}(link)
-About Majorization of two seqs (a_n), (b_n)
-Def
-for real seq (a_n), (b_n), (a_n) majorize (b_n)이란 (a_n)과 (b_n)을 monotone dec하게 rearrange한 다음에 partial sum은 a_n이 더 크거나 같고, 전체 합은 같을 때), denoted by a <_m b
-for real seq (a_n), (b_n), (a_n) weakly submajorize (b_n)이란 (a_n)과 (b_n)을 monotone dec하게 rearrange한 다음에 partial sum은 a_n이 더 크거나 같을 때
denoted by a <_wm b
-for real seq (a_n), (b_n), (a_n) weakly supermajorize (b_n)이란 (a_n)과 (b_n)을 monotone inc하게 rearrange한 다음에 partial sum은 b_n이 더 크거나 같을 때
denoted by a <^wm b
-Properties
-(Characterization of Majorization using perm and DSMT)
for nnn seq (a_n), (b_n), (b_n) majorize (a_n)
iff for any nnn seq (x_n), perm(A(x_n)) <= perm(B(x_n)) where A(x_n)(i,j)=(x_i)^(a_j), B(x_n)(i,j)=(x_i)^(b_j)
iff te DSMT s.t. (a_n) = DSMT (b_n), 양변 모두 column
-For nnn seq (a_n), (b_n) with (b_n) majorize (a_n),
-{all DSMT of order n s.t. (a_n) = DSMT (b_n)} is convex polytope, called the majorization polytope
-n=3일땐 extreme points가 알려져 있음
-for any x in R^n(std), DSMTx majorize x iff MT:DSMT
-About weakly submajorize
-for any x in R^n(std), MTx weakly submajorize x iff MT:DSSMT
-for nnn seq (a_n), (b_n), (b_n) weakly submajorize (a_n) iff (a_n) = MT (b_n) for some MT:DSSMT
-About weakly supermajoriize
-for any x in R^n(std), MTx weakly supermajorize x iff MT:DSPMT
-for nn seq (a_n), (b_n), (b_n) weakly supermajorize (a_n) iff (a_n) = MT(b_n) for some MT:DSPMT
-R^J의 특징(uncountable cartesian product)
-product top<uniform top<box top(J가 infinite이면 다 strict해짐)
-product top
-not metrizable
-not normal
-Function Space입장
-J=(MetricS, d), (R(std), euclidean metric)
-for f in R^J, the set of discontinuities of f is ME(link)
-R^N의 특징
-product top
-metrizable(그리고 그 때 complete도 됨)
-path-connected
-connected
-not locally compact
-not compact
-second-countable
-uniform top
-metrizable by d_uni
-not connected, by bdd seq and unbdd seq(separation됨)
-locally path-connected(따라서 path-connected component=connected component)
-x,y가 같은 connected component iff x - y:bdd
-first-countable
-not second-countable
-not separable
-not lindelof
-box top
-not metrizable
-not connected, by bdd seq and unbdd seq(separation됨)
-not locally path-connected
(하지만 path-connected component와 connected component가 같음)
-x,y가 같은 connected component iff x - y:eventually zero
-not first-countable
-Sequence관점({x_n}, {y_n} in R^N, S_n:=sum from i=1 to i=n x_i, T_n:=sum from i=1 to i=n y_i)
-limsup과 liminf는 monotone
-limsup x_n = sup {all limit points of x_n} / liminf x_n = inf { all limit points of x_n}
-limsup x_n < r이면 x_n < r for large n
-limsup x_n > r이면 x_n > r for infinitely many n
-liminf x_n + liminf y_n <= liminf(x_n + y_n)<=limsup x_n + liminf y_n <= limsup(x_n+y_n) <= limsup x_n + limsup y_n
(따라서 {x_n}이 cv to x이면 limsup(x_n+y_n)=x+limsup y_n)
-{x_n}과 {y_n}이 nnn이면 limsup(x_n*y_n)<=limsup(x_n)*limsup(y_n)
-{x_n}이 nnn이면 limsup(1/x_n)=1/(liminf x_n), liminf(1/x_n)=1/(limsup x_n)
-(Kronecker's Lemma)(link)
:{x_n}:inc with lim n->inf x_n =inf이고 sum from n=1 to n=inf (y_n / x_n) cv with finite value이면
(T_n / x_n):cv to 0
-(using Upcrossing)(link)
:{x_n}:cv in ETR(std) iff for any rationals a<b, beta(a,b)<inf where beta(a,b)는 link참조
-Series관점
-{x_n}:abs summable, {y_n}:abs summable->{x_n conv y_n}:abs summable
-Kempner Series Problem:{1/n}:series에서 특정 숫자 배열(예를 들면 2015711574)가 분모에 들어간 것을 제외하고 더한다면 수렴할까?
-답은 Yes
-Topologist's Sine Curve의 특징(0x[-1,1]없는 걸 E라 하자. cl(E)도 주요 관심대상, 대게 cl(E)를 topologist's sine curve라 한다.)
-cl(E)는 connected
-cl(E)는 not path-connected
-C의 성질
-open and connected subset of C를 Region이라 하자.
-Construction
-R^2(std)이면서 덧셈과 곱셈을 다르게 정의한 형태
-R^2(std)와 isomorphic as topological space and VS(R)
-quotient ring R[x]/(1+x^2)으로 정의한 형태
-top 2-mnf이므로 top n-mnf성질 따름
-F된다.
-ac-F(by Fundamental Theorem of Algebra)
-Associative R-A
-infinite product of complex numbers의 convergence
-정의:c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)이 cv if te k s.t. c-product from i=k to i=n (1+a_i) cv to nonzero as n->inf
-성질:
-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 cv iff c-sum from i=1 to i=inf log(1+a_n):cv(link)
(단, Re(a_n) > (-1) for n=1,2,3,..., 만약 아니면 이게 성립할 때부터 곱셈시작으로 간주하면 됨)
-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 abs cv iff c-sum from i=1 to i=inf a_i:abs cv(link)
-f:[0,1]->C, f(t)=x(t)+y(t)i관련
-smooth path f란 x(t), y(t)가 diff이고 x'(t)=y'(t)인 t가 존재하지 않을 때(t=0, t=1은 상관없음)
-piecewise smooth path f란, smooth curve를 이어서 만든 것(각 경계에선 not smooth하지만 거진 smooth한 경우가 된다.)
-smooth or piecewise smooth path가 closed란, f(0)=f(1)일 때
-smooth or piecewise smooth path가 simple이란, not self-intersecting(closed일 때는 endpoint에서같아도 simple이라 함)
-f:[0,2pi]->C 관련
-About L2-space
-특히 [0,2pi] as L2-space(Fourier Series)
-활용방안:
주기함수을 연속함수(sine파)들의 급수로 표현, 이때 sin(2pi*진동수*t)의 계수, 를 통해 진동수에 해당하는 진폭(계수)를 알아내서 어떠한 주기함수(파형)의 진동수마다의 진폭을 구할 수 있게 된다.
유한한 구간에서만 정의된 함수를 expansion,
몇가지 급수 값을 구할 수 있음
푸리에 계수(하단에 <f,e_n>)은 다양한 물리적 의미를 갖는다.
-<f,g> := int from x=0 to x=2pi f*conj(g) dλ 이러면 < > 은 inner product가 된다. 이걸로 HS가 된다.
-{e_n(t)}, e_n(t)=(2pi)^(-1/2) * exp(i*n*t), 는 maximal orthonormal set이 된다.
-(complex valued)for f in L2-Space[0,2pi], f(t)=sum over all int n <f,e_n> e_n(t)로 표현이 된다.
-[0,2pi]까지만 정의된 함수를 expansion(even, odd에 따라)가능하다
-Bessel's inequality, Parsevel's identity사용가능, 참고
-f:C->C관련(z=x+yi, f=u+vi, 정의역이 꼭 C전체 아니어도, C의 open subset이어도 가능)
-holo f의 properties
-용어관련
-f가 holo at z 란 domain of f는 z를 포함하는 open set이고 lim h->0 {f(z+h)-f(z)}/h가 존재할 때(f:R^m->R^n과는 다른 이유가, C->C에서는 곱셈연산이 있기 때문)
-f가 holo on open set E란, f가 holo at any z in D
-f가 holo on closed set E란, te nbd(E) s.t. f가 holo on nbd(E)
-primitive of f on open set E란, E에서 holo이면서 미분해서 f되는 함수
-f가 biholo(conformal map이라고도 함)란, holo이고 bijective이고 inverse도 holo일 때
-f:holo on C이면 f:entire라 한다.
-holo의 충분조건
-f가 CRE를 만족하고 Re(f)와 Im(f)가 C^1이면 f는 holo on 가정만족하는 영역
-holo의 필요조건
-(Cauchy-Riemann Equation, CRE)
:u의 x미분=v의 y미분 and u의 y미분=v의 x미분*(-1), 이것은 holo의 필요조건
(real analysis와 complex analysis를 잇는 equation이다.)
(iv function의 real part만이 전부를 determine한다는 의미도 있다.)
-f가 holo at z이면 f is diff in real sense(역은 성립 안함)
-f가 holo on open set E이면 f has infinitely many complex derivatives in E(Cauchy's Integral Formula for Derivatives에 의해)
-Power Series 관련(Center가 0인 경우만 따져도 됨)(PS(z)=sum from n=1 to n=inf (a_n)*(z)^n라 하자)
-PS(z1):cv이면 for |z|<|z1|, PS(z):cv
-(RoC의 존재성)for any PS,
te R s.t.
-0<=R<=inf,
-|z|<R이면 PS(z):abs cv
-|z|>R이면 PS(z):diverge
-PS:uni cv on {z s.t. |z|<=A<R}
-RoC 구하기
-RoC={limsup(|a_n|)^1/n}^(-1)
-PS의 도함수 또한 RoC가 같다.
-PS1, PS2(with same center), PS1+PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}, PS1*PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}
-lim n->inf a_n=0이면 RoC>=1
-PS는 holo inside RoC
(on RoC에서는 cv할지도 diverge할 지도 모름)
(즉 analytic function은 holo하다는 것을 앎)
-PS의 도함수는 term-by-term 미분해서 얻을 수 있다.
-Integration along path
-piecewise smooth path f1, f1의 image에서 conti인 f2에 대해 integral정의함
-for g:E->C conti, f1:piecewise C^1 in E, int of g along f:= int from 0 to 1 g(f(t))f'(t)dt로 정의
-any parametrization of f gives the same value of integral above
-|int of g along f|<=(max over z in f([0,1]) |f(z)|) * length of f
-(Fundamental Theorem of Calculus version Complex)
:f on open set E가 conti
f가 primitive on E, F를 갖고
f1:piecewise smooth path in E이면
int over f1 f는 F(f1(1))-F(f1(0))가 된다.
(Fundamental Theorem of Calculus, real version과는 다른 점이, primitive의 존재성이 보장받지 않다는 것)
(f가 primitive를 갖는지 판단시 사용가능 using closed path)
-f:holo on a region E, f'=0 on E일 때 f는 constant(E가 connected인 것도 중요)
-(Cauchy's Theorem으로 가는 Step, E:open in C, R:region in C, D:open ball in C, T:image of simple closed piecewise smooth path in C)
-(Step 1, Cauchy's Theorem on E containing T)
:T:triangle with its interior in E, f:holo on E이면 int over T f=0
(triangle의 interior가 포함되어있다는 것은 거진 connected조건느낌)
(rectangle로도 확장가능)
(f:conti on E, for any T:triangle with its interior in E int over T f=0이면 f:holo on E, 즉 역도 성립)
-(Step 2)
:f:holo on UB2이면 f has a primitive on UB2
(UB2보다 일반적으로 convex open subset에서도 성립함)
-(Step 3, Cauchy's Theorem on UB2 containing any closed path)
:f:holo on UB2이면 for any closed path f1 in D이면 int over f1 f=0
-(Step 4, Cauchy's Theorem on E containing T and its interior, using Jordan Curve Theorem)
:f:holo on E containing T and int(T)<E이면 int over T f=0
-(Cauchy's Integral Formula)
:T:image of simple closed piecewise smooth path in C이고 f가 holo on open set E containing cl(int(T))이고 C=bd(int(T))=C with positive orientation라 할 때
for z in int(T), f(z)=1/(2*pi*i) int over C f(t)/(t-z) dt
-(Cauchy's Integral Formula for Derivatives)
:T:image of simple closed piecewise smooth path in C이고 f가 holo on open set E containing cl(int(T))이고 C=bd(int(T))=C with positive orientation라 할 때
for z in int(T), f^(n)(z)=n!/(2*pi*i) int over C f(t)/(t-z)^(n+1) dt
(즉 f:holo at z이면 infinitely differentiable at z이다.)
-(Cauchy's Inequality)
:for z in open E, B(z,r) <E s.t. cl(B(z,r))<E, f:holo on E이면 for any n in N, |f^(n)(z)|<=n!/r^n * sup over z' in bd(B(z,r)) |f(z')|
(즉 holo f의 도함수값 at z은 f의 함숫값(z의 주위에서의)에 영향을 받는다.)
-analytic function f의 properties
-용어관련
-f가 C-analytic on open set E란, for any x in E, te nbd(x) s.t. f is equal to its taylor series on nbd(x)(f:R(std)->R(std)에서의 analytic과는 정의가 같지만 성립하는 properties는 다름)
-f가 C-analytic at z란, te nbd(z) s.t. f is analytic on nbd(z)
-properties
-f의 C-analytic 가능한 points의 모임은 open이다.
-f:C-analytic on open E이면 for z_0 in E, f의 taylor series centered at z_0의 RoC는 dist(z_0, Bd(E))
(즉 f:C-analytic on open E이면 수렴반지름을 그저 f가 holo가 되는 영역이 되는데, R-analytic에선 이런게 안된다. 단순히 미분무한번가능한영역으로의 확장이 analytic이 보존되지 않는다.)
-f:C-analytic at z iff f가 holo at z
-f:holo on open connected E이고 {an} in E s.t. an->a in E and {an}:distinct and f(an)=0이면 f=0 on E
(즉, the zeroes of f on E는 isolated)
(증명을 series전개해서... 그렇다보니 f:R->R에선 성립안함)
-f:holo on open connected E, U:open in E일 때 restriction of f on U =0 on U이면 f=0 on E
-f, g:holo on open connected E, U:open in E, f=g on U일 때, f=g on E
(즉 extension이 unique, but 이렇게 가면 extension이 multivalued일 순 있음, log(x) 생각)
-entire function(f:entire)
-(Liouville's theorem)f:bdd이면 f는 constant
(C^inf(R)선 성립하지 않음)
-{f_n}, f_n:C->C관련, E:open in C,
-{f_n}:holo on E, uni-cv to f on every compact subset K of E이면 f:holo on E and {f'_n}:uni-cv to f' on every compact subset K of E
-
-Laurent's Series관련
-Elementary functions
-log(with principal branch):ocl(C) - (-inf,0] ->C
-exp:C->C-{0}
-entire
-
-(Binomial Theorem)
:(1+z)^a where a:complex는 다음 taylor series를 갖는다.
sum from n=0 to n=inf (aCn)*x^n
(단, RoC는 a마다 그때그때 구해야함)
-(Residue Theorem)
-(Fundamental Theorem of Algebra)
:a polynomial f(x) in C[x] of degree>=1 has a root in C(using homotopy link)
-(Riemann Mapping Theorem)
:U:nonempty, proper, open, simply connected, x in U이면 te! f:U->UB2 in C s.t. f:biholo
-P(R^n+1)
-정의:R^(n+1)(std) - {0}/~, where x=(x1,x2,...,xn+1)~y=(y1,y2,...,yn+1) where xi=kyi for some nonzero k in R
-topology는 quotient로 줌
-topological mnf됨(locally euclidean to R^n(std))
-second-countable
-T2
-locally euclidean to R^n(std)
-FHG=Z_2(n>=1), Z(n=0일 때)
-m-fold projective planes
-정의:
-(a1a1a2a2...amam)이란 scheme으로 만든 도형
-성질:
-FHG=FP(Z,m개)/<a1a1a2a2...amam>
-first homology group:FAG of rank m-1
-UO1
-Strong Deformation Retract of R^2 - {0}
-FHG(UO1) giso cyclic group Z(covering map의 induced group homomorphism이용, R(std)이simply-connected라)
-h:UO1->TS, conti일 때 TFAE(link1)(link2)
-h:nulhomotopic
-h extends to a continuous map k:cl(UB2)->TS
-homo from h is the trivial homomorphism of fundamental groups
-inclusion(UO1,R^2(std)-{0}) is not nulhomotopic
-identity:UO1->UO1 is not nulhomotopic(즉 not contractible이다 UO1은)
-antipode-preserving:UO1->UO1이 conti이면 not nulhomotopic(link1)(link2)
-LG
-n-torus
-정의
-prod(UO1), UO1을 n번 prod한 TS
-R^n(std)에서 (x1,x2,...,xn)~(x1,x2,...,xn)+ei, ei=i성분만 1, for all i=1,2,3,...,n, quotient space (R^n(std),~)
-성질
-topological mnf됨
-second-countable
-T2
-locally euclidean to R^n(std)
-n=1은 UO1과 같음
-FHG(n-torus)=Z x Z x ... x Z
-n-fold torus
-정의
-(a1b1a1^(-1)b1^(-1))...(anbnan^(-1)bn^(-1))이란 scheme으로 만든 도형
-성질
-compact connected surface
-FHG=FP(Z,2n)/<a1b1a1^(-1)b^(-1)...(anbnan^(-1)bn^(-1))>
-first homology group=FAG of rank 2n
-UO2
-(UO2 <-> R^2(std))f:UO2-{b}->R^2(std) homeo가 compact set을 뺏을 때 생기는 component를 어떻게 보내는지(link)
-X:compact, f:X->UO2-{a}-{b}:conti일 때, a,b가 UO2-f(K)의 same component에 존재하면 f:nulhomotopic(link)
(역은 f가 injective면 성립)(link1)(link2)
-UO2=A1UA2UA3 where Ai:closed in UO2일 때 te {x, -x} s.t. x and -x are in Ai for some i(link)
-UOn
-for n>=2, simply connected, 즉 FHG(UOn)=trivial(using Pre van-kampen or Strong Deformation)
-embedded n-submanifold of R^(n+1)(std)(link)
-smooth O(n+1,R(std))-space
-transitive
-smooth SO(n+1,R(std))-space
-transitive
-(Borsuk-Ulam Theorem)m<=n, f:UOn->R^m(std), conti이면 te x in UOn s.t. f(x)=f(-x)
-UB2
-te no continuous retraction(cl(UB2),UO1)
-(Brouwer Fixed-point theorem for the disc)f:cl(UB2)->cl(UB2), conti이면 te a fixed point x(즉 f(x)=x인 x in cl(UB2))(link)
-
-UO1VUO1
-FHG(UO1VUO1) giso FP(Z,Z) giso OSDP(Z,Z/2Z) using van-kampen theorem
-GL(1,R)
-GL(1,R)^+
-SL(1,R)
-SO(2,R)
-O(3,1,R)(Lorentz Group)
-SO(n,1,R)
-HSBG
-Functions Spaces to R(std)
-fC(TS,R(std))
-VS(R(std))
-(CMetricS,d_uni)(이걸로 norm은 못만들고...)
-fCbdd(TS,R(std))
-NVS using uniform norm, sup{|f(x)|}
-BS
-(fC(TS,R(std)), d_uni)로 얻은 top=uniform norm으로 얻은 top
-closed in (fC(TS,R(std)), d_uni)
-fCconti(TS,R(std))
-closed in (fC(TS,R(std)), d_uni)
-fCcontibdd(TS,R(std))
-NVS using uniform norm
-BS
-fCcontiV(TS,R(std))
-closed in (fCcontibdd(TS,R(std), d_uni)
-BS
-fCcontiKS(TS,R(std))
-need not be BS(TS=R(std)넣으면 BS안됨)
Mixed Distribution(discrete과 continuous 혼합)의 예
-전구를 갈아끼우고 스위치를 켜면 q의 확률로 전구가 터지고, p(=1-q)의 확률로 전구가 들어온다. 그리고 불이 들어오는 전구의 수명(T)은 지수분포를 따른다고 할 때,
F(t)=P(T<=t)=0 if t<0,
q, if t=0,
1-p*e^(-1*lambda*t) if t>0
*Exercises
*Lagrange's Theorem의 역이 성립안하는 예(link)
*N_G({g})와 N_G(<g>)가 다른 예(link)
*S1S2=S2S1인데 S1 _< N_G(S2)가 아닌 예(link)
*S1S2가 not subgroup of G인 예(link)
*SNS가 not normal in G인 예(link)
*S1 _< N_G(S2)인데 S1 _<! S1S2인 예(link)
*order(g1)<inf, order(g2)<inf인데 order(g1g2)=inf인 예(link)
*G=G, J=NS, conjugation action on J by G, homo by act, homo(g)가 Inn(NS)의 원소가 아닌 예(link)
*homog:G1->G2, homog(G1) is not normal in G2인 예(link)
*모든 원소가 finite order를 갖고, 임의의 자연수 n을 order로 갖는 g가 항상 존재하는 group의 예(link)
*S<G, Aut(S)의 원소이지만, Inn(S)의 원소가 아닌 예(link)
*TS:T2인데 QS(TS,~)가 not T2인 예(link)
*TS:simply connected인데 QS(TS,~)가 not simply connected인 예
*TS:contractible인데 QS(TS,~)가 not contractible인 예
*TS:locally compact인데 QS(TS,~)가 not locally compact인 예
*bdd인 (MetricS,d)가 not totally bdd인 예
*CR에서 (gcd(a,b))랑 ({a,b})다른 예
*ID인데 not ED인 예
*PID인데 not ED인 예
*ID의 원소 r이 irreducible in R인데 not prime인 예
*Maximal subgroup MS가 존재하지 않는 group G의 예, <Q,+>
*f:R^2(std)->R^2(std)로 봐서는 diff인데 not holo인 complex function인 예
*F(a1,a2)인데 simple extension of F인 예
*Grp(V(G),E(G))가 its complement와 same인 예
*F:not perfect, char(F)=p, irreducible inseparable polynomial f(x) in F[x]인 예(link)
*for every proper prime id of ID, P(x):reducible in (ID/id)[x]인데 P(x):irreducible in ID[x]인 예(link)
*for every proper id of ID, P(x):reducible in (ID/id)[x]인데 P(x):irreducible in ID[x]인 예
*finite extension of F인데 not splitting field over F인 예
*NEF of F인데 not SEF of F인 예(link)
*SEF of F인데 not NEF of F인 예(link)
*p=inf일 때 (Lp)^*이 Lq와 not iiso인 예
*R-Md:finitely generated인데 subMd가 not finitely generated인 예(link)
*gSg^(-1) < S (strictly인) 의 예(link)
*homor:R->R인데 not R-md homomorphism의 예(link)
*f:R->R이 R-md homomorphism인데 not homor인 예(link)
*R:ring, M:left R-MD인데 not right R-MD인 예(link)
*DSMT인데 UDSMT인 예(link)
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