*Contents
Set Theory(link)
-Measure Theory
Group Theory(link)
-Ring Theory
-Field Theory
-Module Theory
-Vector Space
-Algebra Theory
Topology(link)
-Algebraic Topology+Differential Geometry
-Metric Space
Topological Vector Space(link)
-Normed Vector Space
Applicatio
-Combinatorics(link)
-Graph Theory(link)
-Spectral Graph Theory
-Adjacent, Incidence, Incidence for Directed Graph(link)
-Distance, Index(link)
-Laplacian, Signless Laplacian(link)
-Weighted Graph(link)
-Elementary Inequalities(link)
-Integral Transformation
-Linear Programming
-Numerical Analysis
-Convex Optimization(수업)
-Queueing Theory
-Special Functions(link)
-Probability, Statistics
-Probability, Statistics(link)
-Econometrics(link)
풀 문제들(link)
Examples, Exercises(link)
*Set Theory
-logic관련
-iff:if and only if
- := defined
-te:there exist(s)
-te!:there unique exist(s)
-≡:congruence
-J:Any Set
-<:set과 set 사이에서는 subset임을 가리키고, order가 있을 때(실수와 실수같은)는 order relation을 가리킨다.
-P(J):Power set of J
-S:subspace, or subgroup 등(구분 필요하면 topological subspace:topS/linear subspace:LS)/subgroup:subgS)
-E:subset
-X_i:X들의 collection, countable일 필요는 없음
-X_n:X들의 collection, countable일 필요 있음, sequence로도 간주가능
-A교B:intersection, A교B
-AUB:union,
-AΔB:symmetry difference
-a-union:arbitrarily union
-u-union:uncountable union
-c-union:countable union
-a-intersection:arbitrarily intersection
-u-intersection:uncountable intersection
-c-intersection:countable intersection
-f-union:finite union
-f-intersection:finite intersection
-C, R, Q, Z, N등 숫자관련
-nnn:nonnegative
-rv:real-valued
-erv:extended real-valued
-iv:complex-valued
-N:the natural numbers set
-Z:the integer numbers set
-[[x]]:floor of x
-]]x[[:ceiling of x
-ETR:the extended real numbers set
-R^n:the finite cartesian product of R
-R^J:the cartesian product of R, indexed by J
-R^N:the cartesian product of R, indexed by N
-n:integer
-[n]:{1,2,3,...,n}
-gcd:greatest common divisor
-ephi:Euler phi function, ephi(n):=n보다 같거나 작은 자연수 중에서 n과 서로소 인 것들의 개수
-prm:prime integer(혹은 p라 쓰자.)
-(a,b):ordered pair, open interval, 만약 open interval이랑 헷갈리면 ordered pair를 axb라 쓰기로 하자.
-[a,b]:closed interval
-]a,b[:x<=a or x>=b
-)a,b[:x<a or x>=b
-UOn:unit sphere in R^(n+1)
-UO1:unit circle in R^2
-UO2:unit sphere in R^3
-UBn:unit open ball in R^n
-UB2:unit open disk in R^2,
-UB3:unit open ball in R^3
-n-cell:homeo to UBn
-f-sum:finitely many sum, sigma
-함수관련
-indi_(E) (x):indicator function on E
-inclusion(E,J):f:E->J, f(x)=x인 function
-retraction(J,E):f:J->E, f(x)=x for x in E인 function(혹은 f^2=f인 것, 즉 projection같은 것인데, topology에선 retraction이라고 많이함)
-fC(J1,J2):the collection of all functions from J1 to J2
-fC(J):the collection of all functions from J to R
-f:J1->J2, section of f란, g:J2->J1 s.t. f(g)=identity on J2
(즉 f의 right inverse이고 left inverse를 retraction)
(section의 경우 surjective일 때만 존재)
-f:J1->J2, g:J3->J2일 때, lift(f) to J3란 lift(f):J1->J3 s.t. f = g o lift(f)
-(E,p,B):bundle
-p:E->B, surjective, p를 projection이라 하고
-E:total space
-B:base space of bundle이라 한다.
-p^(-1)(b)를 fiber of the bundle over b라 한다.
-(E1,p1,B1):subbundle
-E1<E, B1<B, p1=restriction of p on E1일 때를 가리킨다.
-Relation관련
-aRb:a is related with b
-equivalence relation:reflexive, symmetry, transitive인 relation
-Relation:transitive
-for any a,b,c in J, aRb, bRc이면 aRc
-Relation, Symmetric관련
-Relation:symmetric
-for any a,b in J, aRb이면 bRa
-Relation:asymmetric
-for any a,b in J, aRb이면 not bRa
-Relation:antisymmetric
-for any a,b in J, aRb이고 bRa이면 a=b
(혹은 for any a,b in J, aRb이고 a != b이면 not bRa로도 쓸 수 있다.)
-Relation, Reflexive관련
-Relation:reflexive
-for any a in J, aRa
-Relation:irreflexive
-for any a in J, not aRa
-Relation, Totality관련
-Relation:total
-for any a,b in J, aRb or bRa
-Relation:trichotomous
-for any a,b in J, 다음 3가지 중 단 1개만 성립, aRb, bRa, a=b
-Order Relation관련
-Order Relation:Trichotomous and transitive인 relation
-Well-ordered Order Relation:Order Relation이면서 every nonempty subset E of J has a smallest element
-J with strict total order relation, E<J일 때(subset E)
-a:largest element of E 란 a in E이고 x=<a for any x in E일 때
-a:upper bound for E란, a in J이고 x<=a for any x in E일 때
-E:bounded above란, te j in J s.t. for any x in E, x<=j일 때
-J have the least upper bound property란, every nonempty E of J that is bounded above has a least upper bound.
*Measure Theory
-Measurable Space, Measure Space관련
-MAS:Measurable Space
-논의하는 전체집합을 포함하고, closed under complement, closed under c-union일 때
-MS:Measure Space
-MAS와 measure(nnn이고 empty는 0이고 c-additive일 때)
-C(MS):Completion of Measure Space
-MS를 CMS로 만든 것(Null-ME의 subset을 기존 ME와 union한것들을 추가로 C4에 넣어주면 됨)
-CMS:Complete Measure Space
-for any subset E of any Null-ME, E is also ME
-Measureable Sets, Collection관련
-MC:Monotone Class
-논의하는 전체집합을 포함하고
-inc seq of subset의 c-union에 closed
-dec seq of subset의 c-intersection에 closed
-C1:적어도 empty를 포함하는 Collection
-C2:적어도 empty와 전체 set을 포함하는 collection
-C3:algebra, field
-non-empty
-closed under complement
-closed under f-union
(field라 불리는 이유는, +연산을 union에, +연산 identity를 empty에, *연산을 intersection에, *연산 identity를 전체집합에 대응)
-SC3:semialgebra
-non-empty
-원소의 complement가 disjoint f-union in SC3으로 표현가능
-closed under f-intersection
-C4:sigma-algebra, or sigma-field
-non-empty
-closed complement
-closed c-union
-RC3:ring(대수학에서의 ring과는 다름)
-non-empty
-closed under relative complement
-closed under f-union
-RSC3:semiring
-non-empty
-원소의 relative complement가 disjoint f-union in SC3으로 표현가능
-closed under f-intersection
-RC4:Sigma-ring
-non-empty
-closed under relative complement
-closed under c-union
-C3(~):~을 포함하는 가장 작은 algebra
-C4(~):~을 포함하는 가장 작은 sigma algebra
-C(U)는 C의 원소들의 countable union들도 포함하는 collection
-C(I)는 C의 원소들의 countable intersection들도 포함하는 collection
-PC:Pi-system
-non-empty
-closed f-intersection
-LC:Lambda-system
-non-empty
-closed complement
-closed under c-union of pairwise disjoint subsets
-OME:Outer measurable subset
-E:OME란 for any subset E1 of J, OM(E1)=OM(E1 intersection E)+OM(E1-E)
-PM*ME:PM*의 OME
-MR:measurable rectangle, 즉 M1,M2의 measurable set의 product
-PrC1:C4({MR})
-PrC2:C4({all PrM*ME})
-C4(1)*:{ME1xJ2 s.t. ME1 in C4(1)}, sigma algebra되고 {All MR}의 subset
-C4(2)*:{J1xME2 s.t. ME2 in C4(2)}, sigma algebra되고 {All MR}의 subset
-ME:Measurable subset
-sf-ME:sigma finite measurable subset
-Null-ME:null measurable subset
-M(ME)=0인 ME
-+ME(with respect to sM):positive measurable set
-for any ME s.t. ME<+ME, sM(ME)>=0
--ME(with respect to sM):negative measurable set
-for any ME s.t. ME<-ME, sM(ME)<=0
-Null-sME(with respect to sM):null set(Null-ME와는 약간 다르게 정의됨)
-for any ME s.t. ME<Null-sME, sM(ME)=0
-Measurable Function관련
-MF:Measurable Function
-F:simple이란, MF이고 finite values만 가질 때(즉 linear combination of characteristic functions)
-X1:(J1,C4(1))->(J,C4), X2:(J2,C4(2))->(J,C4), 각각이 MF일 때, X1*:(J1xJ2,PrC1)->(J,C4), X1*(x,y)=X1(x), X2*:(J1xJ2,PrC1)->(J,C4), X2*(x,y)=X2(y)
(그냥 X2 곱하기 (x,y)와 구분하기)
-Lp(MS):Lp-space over MS(MS가 관심없으면 안적기도 함)
-MF:MS->C중에서 p-norm이 finite인 것들의 모음(C대신에 R(std)을 쓰기도 함)
-Locally Lp(MS)(for MS=(TS,{ME}, M))
-{f:TS->C s.t. for any compact K in TS, restriction of f on K is in Lp(K)}
(top도 함께 있는 MS에서 정의하고, 그 때 Lp(MS)보다 Locally Lp(MS)가 더 크다. 즉 원소 f가 더 많음)
-lp-space:Lp(N, counting measure)
-f:(J1,C4(1), M)->(ETR,C4(TS))인 경우
-{MF_n}:pt cv a.e.(to MF)란, pt cv하지 않는 정의역 J1상의 pts의 measure가 0
-{MF_n}:almost uni cv란, for any eps>0 te ME s.t. M(ME)<eps and {MF_n}:uni cv to MF on (ME)^C
-{MF_n}:cauchy in M이란, for any eps>0, te N and ME s.t. M(ME)<eps and for all n,m>=N, x in (ME)^C s.t. |MF_n(x)-MF_m(x)|<eps
-{MF_n}:cv in M (to MF)이란, for any eps>0, te N s.t. for all n>=N M({x s.t. |MF(x)-MF_n(x)|>=eps})<eps
-{MF_n}:cv in Lp (to MF)이란, lim n->inf ||MF_n - MF||_p = 0
-Set Function, Measure 관련
-sf:set function, a class of sets에서 ETR로 가는 function
-nnn sf가 monotone:
-for J1, J2 in domain s.t. J1<J2에 대해 sf(J1)<=sf(J2)
-nnn sf이 monotone(if):
-for J1, J2 in domain s.t. J1<J2 and J2-J1 in domain에 대해 sf(J1)<=sf(J2)
-nnn sf이 countably monotone1:
for J, {J_n} in domain s.t. J<c-union J_n에 대해 sf(J)<=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone1(if):
for J, {J_n} in domain s.t. J<c-union J_n, c-union J_n in domain에 대해 sf(J)<=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone2(if):
for {J_n} in domain s.t. c-union J_n in domain에 대해 sf(c-union J_n) <= c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone2(if)(dis):
for {J_n} in domain s.t. c-union J_n in domain and disjoint에 대해 sf(c-union J_n) <= c-sum sf(J-n)
-nnn sf이 f-additive:
-domain이 closed under f-union
-disjoint finite seq {J_n} in domain에 대해 sf(f-union J_n)=f-sum sf(J_n)
-nnn sf이 f-additive(if):
-disjoint finite seq {J_n} in domain s.t. f-union {J_n} in domain에 대해 sf(f-union J_n)=f-sum sf(J_n)
-nnn sf이 c-additive:
-domain이 closed under c-union
-disjoint countable seq {J_n} in domain에 대해 sf(c-union J_n)=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 c-additive(if):
disjoint countable seq {J_n} in domain s.t. c-union {J_n} in domain에 대해 sf(c-union J_n)=c-sum sf(J_n)
(워낙 general하게 정의한 것, (if)버전만 잘 알면 된다. nnn sf의 domain이 적절해지면, 예를 들면 C3, C4 등 (if)이면 not (if)가 성립)
-OM:Outer measure
-nnn sf on P(J)
-countably monotone1
(일반 Measure는 ME, Measure 순이지만, Outer Measure는 Measure, OME순으로 정의함)
-b-OM:Borel Outer Measure란, every borel set is OME일 때
-f-OM:finite Outer measure
-r-OM:Regular Outer Measure
-for any subset E, for any eps, te OME s.t. E<OME and OM(OME)<OM(E)+eps
-PM:premeasure
-nnn sf on C1
-PM(empty)=0
-c-additive(if)
(PM으로 OM만들고 그래서 M만드는 방법이 가능하다는 게 Measure Theory에서 중요한 내용임, PM을 C3에서 정의해주기만 하면 되므로 not C4)
-f-PM:finite premeasure, (PM은 domain이 C1이면 되는데, f-PM은 domain이 적어도 C2여야 함)
-sf-PM:sigma finite premeasure, (마찬가지로 sf-PM의 domain은 C2여야 함)
-PM*:Outer measure induced by PM:C3->[0,inf]
-M:measure
-M:nnn, M(empty)=0 and M:c-additive
-smf-M:semifinite measure
-for any ME1 s.t. M(ME1)=inf, te ME2 s.t. ME2<ME1, 0<M(ME2)<inf
-sf-M:sigma finite measure
-CM:complete measure
-LM:Lebesgue Measure
-RSC3={empty, all bdd intervals}, RSC3에 vol이란 PM을 주고, {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(top)가 된다. 즉 Borel sigma algebra)
-R(LM):Real numbers with Lebesgue measure
-PrM(M1,M2):Product Measure
-sM:signed Measure
-sM(empty)=0
-sM은 +inf, -inf중 기껏해야 1개만 take
-c-additive
-ms:mutually singular(sM1 ms sM2)(2개의 sM 혹은 M이 같은 C4일 때 논의함)
-te ME1, ME2 s.t. ME1 union ME2=전체집합, ME1,ME2:disjoint, ME1:Null-sME wrt sM1, ME2:Null-sME wrt sM2
-+sM:positive variation of sM(Jordan Decomposition Theorem참고)
--sM:negative variation of sM(Jordan Decomposition Theorem참고)
-|sM|:total variation of sM(Jordan Decomposition Theorem참고)
-f-sM:finite sM
-sM1<<sM2(Abs conti, (J,C4), 같은 C4에서의 signed measure에 관한 개념)
-sM1<<sM2 if |sM1|(E)=0 for E in C4 s.t. |sM2|(E)=0
*Group Theory
-Group, Subgroup 관련
-G:group
-이항연산에 대해 닫혀있고
-associative
-항등원 존재
-역원 존재
-Gp:groupoid with unary function ^(-1)과 partial function *
-not binary operation, Gp X Gp -> Gp인 함수가 임의의 a, b in Gp에 대해 정의되지 않음
-associativity( a*b가 정의되고 b*c가 정의될 때 (a*b)*c 와 a*(b*c)가 정의되고, equal)
-for all a in Gp, a*a^(-1)와 a^(-1)*a가 defined
-a*b가 defined되면 a*b*b^(-1)=a and a^(-1)*a*b=b
-p-G:p-group
-group이면서 order가 p^a for some integer a>=0
-g:G의 원소를 가리킴
-S:subgroup(Linear subspace, topological subspace등과 헷갈릴 땐 subgS라 적는다.)
-Hall S:Hall subgroup
-gcd(|S|,[G:S])=1일 때, 즉 subgroup의 order와 index가 서로소인 경우
-p-S:p-subgroup
-subgroup이 order가 p^a for some integer a>=0
-Sp:Sylow p-subgroup
-어떤 G의 subgroup이 order가 p^a이면서 p^a||G| and p^(a+1) not | |G|일 때의 subgroup, 즉 the largest p-S in the sense of factor p
-#Sp:The number of all Sylow p-subgroup
-J(Sp):the set of all Sylow p-subgroup
-NS:normal subgroup
-S이면서 for all g in G, gSg^-1=S인 S
-MS:maximal subgroup(Measurable Space와 구분)
-proper S이면서 S를 포함하는 subgroup은 S와 G만 있는 subgroup
-MNS:maximal normal subgroup
-proper NS이면서 NS를 포함하는 normal subgroup은 NS와 G만 있는 normal subgroup
-S_<G:S is subgroup of G
-S_<!G:S is normal subgroup of G
-S_J:Symmetric group on J
-모든 permutations on J들의 모임 with composite, 따라서 group
-Z(G):center of G
-Z(G):={g1 in G s.t. g*g1*g^(-1)=g1 for all g in G}
-C_G(E):centralizer of E on G
-C_G(E):={g in G s.t. g*z*g^(-1)=z for all z in E}
-즉 E가 center가 되게끔 하는 G의 원소들만 다 모은 것, 따라서 Z(C_G(E))=E가 성립할 것 같지만, E가 subgroup이 아니므로 안됨
(하지만 E가 subgroup이었다면 됨)
-N_G(E):normalizer of E on G
-N_G(E):={g in G s.t. g*E*g^(-1)=E}
-즉 E가 normal이 되게끔 하는 G의 원소들만 다 모은 것(하지만 E가 subgroup이 아닐 땐 조심)
(Center, Centralizer, Normalizer 는 Group에서도 쓰이지만, Ring, Algebra에서도 쓰임, 후자에는 second operation에 대해서 씀, first는 commute하므로 노관심)
(Normalizer가 Ring, Algebra에서 쓰일 때는 group과는 약간 다른게, 차라리 idealizer로 보는게 이해하기 쉽다.)
(Group에서의 N_G(S)는 the largest subgroup of G which includes S as normal)
(Ring에서의 N_R(S)는 the largest subring of R which includes S as ideal)
(Algebra에서의 N_A(S)는 the largest subalgebra of A which includes S as ideal가 안될 수 있다. Lie F-A에선 Jacobi's identity때문에 subalgebra가 된다.)
-[G:S]:index of S in G
-the number of left cosets of S in G
-simple G:simple group
-proper NS가 Trivial만 있으며 order가 1보다 큰 G
-V_4:klein 4 group
-V_4:=<a,b s.t. a^2=b^2=(ab)^2=1>
-Q_8:Quaternion Group
-Q_8:=<-1,i,j,k s.t. (-1)^2=1, i^2=j^2=k^2=ijk=(-1)>
-Alt(n):alternating group of degree n
-Alt(n):=[n]에서 even permutations group with operation=composite
-G가 divisible이란, abelian이고 G=nG for any nonzero n in Z
-Homomorphism관련
-S char G:S is characteristic in G
-for all aut in Aut(G), aut(S)=S인 subgroup S
-conj(g):conjugate of g, e.g. x*g*x^(-1)
-homog:group homomorphism
-structure-preserving map between two algebraic structures(여기서는 two groups)
-endo of G:homog:G->G
-G1 giso G2:G1 is group isomorphic to G2
-Aut(G):the automorphism group of G
-Aut(G):={all automorphism on G} with composite
-aut in Aut(G):the automorphism in Aut(G), 편의상 aut라 쓰기도 하자.
-Inn(G):the inner automorphism group of G
-inner automorphism이란 conjugation으로 만든 automorphism을 가리킨다.
-Inn(G)란 inner automorphism을 모두 모은 group with composite
-End(G):the Endomorphism ring of G
-{homog:G->G}, composite연산을 생각하면 monoid는 된다.
(만약 G가 Abelian additive(+) Group이었으면 (End(G),+, composite)은 ring이 된다.)
-ker(homog):the kernel of homog:G1->G2
-ker(homog)={g in G1 s.t. homog(g)=identity in G2}
-For S<G s.t. [G:S]<inf, transfer of S란,
-G를 S로 나눈 다음에 {x1S,x2S,x3S,...,xnS}, for any g in G any i in {1,2,3,...,n}, gxi=xjsi인 si들을 다 곱한 것의 image in S/C(S), f:G->S/C(S)인 이 f를 transfer of S라 한다.
(representatives x1,x2,...,xn을 뭘 택하든 transfer는 같음)(link)
({x1,x2,...,xn}같이 representatives를 각각 1개씩 in 각각 orbits, 이것을 transversal이라 한다.)
(transfer는 group homomorphism이다.)(link)
-Group Action관련
-act_J by G:action on J by G, GxJ->J
-act((e,j))=j and act((g1g2,j))=act(g1,act(g2,j))
(그리고 이때 J를 G-set이라 함, 즉 action by G을 줄 수 있는 set)
-act_J by g:permutation from action on J by g, J->J
-act_J by G가 있을 때 g 하나당 permutation:J->J를 얻을 수 있는데 그것을 가리킴
-homo by act:homomorphism, G->S_J
-O_x:orbit of x under the action of G(필요하다면 in G on X등을 뒤에 적는다.)
-O_x:={y in X s.t. y=g act x for some g in G}
-G_x:stablizer of x in G
-G_x:={g in G s.t. g act x = x}
-Ker(act):kernel of act_J by G
-Ker(act):={g in G s.t. g act x =x for all x in X}
-즉 homo by act의 kernel이라 생각하면 쉬움
-Generator, order관련
-<g>:the group generated by g, i.e. cyclic group
-<E>:the smallest subgroup of G containing E
-Commutator관련
-C(G):commutator subgroup of G
-C(G):=<all commutators>
-[g1,g2]:commutator of g1 and g2
-[g1,g2]:=g1^(-1)*g2^(-1)*g1*g2
-[E1,E2]:the group generated by commutators of elements from E1 and from E2.
-[E1,E2]:=<{[g1,g2] s.t. g1 in E1 and g2 in E2}>
-Group Direct Product, Direct Sum관련
-EDP(G1,G2):External Direct Product of G1, G2
-for any group G1, G2, EDP(G1,G2)는 G1 x G2이고 operation은 coordinate-wise
-EDP(G_i):External Direct Product of {G_i}
-2개일 때의 자연스러운 확장
-IDP(NS1,NS2):Internal Direct Product of NS1, NS2
-for any proper non trivial Normal subgroups NS1,NS2 of G, IDP(NS1,NS2):=NS1NS2 when NS1교NS2=1
(실은 IDP(NS1,NS2) giso EDP(NS1,NS2)성립함)
-IDP(NS_i):Internal DIrect Product of {NS_i}
-2개일 때의 자연스러운 확장
-EAG(p,n):Elementary abelian group, EDP((Z/pZ) n개곱)
-EAG(p,n)=EDP((Z/pZ) n개곱)
-Group Semidirect Product관련
-OSDP(G1,G2,homog:G2->Aut(G1)):Outer Semidirect Product of G1 and G2 wrt homog
-OSDP(G1,G2,homog) is the cartesian product G1 x G2 에서의 group with binary operation *, (g1,g2)*(g3,g4):=(g1homog(g2)(g3), g2g4)
(이렇게 연산 정의된 것은 G=ISDP(NS,S)에서 연산이 어떻게 되는지를 보면 앎, n1s1n2s2=n1s1n2(s1)^(-1)s1s2), 즉 ISDP는 homog가 conjugate action인 것)
-ISDP(NS,S):Inner Semidirect Product of NS and S(where NS:normal subgroup of G, S:subgroup of G)
-G=S1S2 where S1:the NS, S2:S, S1교S2={e}
-UWP(G1,G2,E):the unrestricted wreath product of G1 by G2, where act_E by G2
-G:=G1xG1x...xG1, E개만큼 곱함(infinite도 가능) 그리고 G2 act on E를 G의 원소의 index에 적용, 따라서 G2 act on G, UWP(G1,G2,E)=OSDP(G,G2)
-RWP(G1,G2,E):the restricted wreath product of G1 by G2, where act_E_by G2
-G:=direct sum of G1, E개만큼 곱하는데, finite개 빼곤 e(identity of G1), 나머진 UWP와 같음
-Series in Group Theory관련
*Ring Theory
-Ring, Subring관련
-R:ring
-(R,+):abelian group
-*:associative
-distributive laws가 성립일 때 (R,+,*):ring이라 한다. 줄여서 R이라 쓰기로 하자.
(주 관심대상은 R_[1], CR_[1], ID)
-r:ring의 원소, Ring의 원소관련
-zd:zero divisor
-for r in R, r:zero divisor if r:nonzero and te r2 in R s.t. r2:nonzero and r1*r2=zero
-r:nilpotent if r을 유한번 곱했더니 0
-R=R_[1]에서
-u:unit
-te v in R s.t. u*v=v*u=1일 때
-CR에서
-a divide b란(단 a가 nonzero일 때만 정의)(혹은 a:divisor of b, a|b, b:multiple of a라고도 씀)
-te r in R s.t. a=r*b
-gcd(a,b)란
-gcd(a,b):=d s.t. d|a and d|b and if x|a and x|b then x|d
-R=ID에서
-r:irreducible in R이란 r:nonzero and non unit이고 whenever r=a*b일 때, a,b둘 중 하나는 반드시 unit in R일 때
(irreducible이 아니면 reducible이라 한다.)
-R_[0]:ring without unity
-Zero Ring:Ring With Unity = zero
-CR:commutative ring
-DR:Division ring
-for any non zero r in R, r has the multiplicative inverse
(R_[1]이긴 해야되는데 commutative일 필요는 없다, noncommutative DR을 (strictly)skew field라 한다.
-SR:subring, (SR _< R)
-R의 subgroup이면서 closed under *인 것
-R^*:the set of units in R
-char(R):characteristic of R(R=R_[1]일때만 characteristic정의)
-1+1+1+...+1=0되게하는 최소 1의 개수를 characteristic of R이라 하고, 이러한 1이 없다면 char(R)=0이라 정의)
-ID:Integral domain
-CR_[1]이 zd를 하나도 안가질 때 ID라 한다.
-R:Noetherian
-R:CR_[1]이고 every id is finitely generated
-Ideal관련
-Lid:Left Ideal
-SR이면서 for all r in R, r*Lid<Lid
-Rid:Right Ideal
-SR이면서 for all r in R, Rid*r<Rid
-id:ideal
-Lid가 Rid도 되면 id라 한다.
-r + id:={r + s s.t. s in id}
-r * id:={r * s s.t. s in id}
-id1 + id2:={s1+s2 s.t. s1 in id1 and s2 in id2}
-id1, id2:comaximal이란 id1+id2=R전체가 될 때
-id1id2:={all f-sum of elements of the form s1*s2 s.t. s1 in id1 and s2 in id2}
-id1=id2인 경우 (Id1)^2으로 표현한다.
-M-id:Maximal ideal(Maximal normal subgroup에 대응됨)
-proper id이면서 자기를 포함하는 id는 자신과 전체 R뿐
-prm-id:prime ideal(general한 정의, CR에서는 다른 정의를 보통 이용, using element-wise)
-id1id2가 id3에 포함될 때, id1, id2중 적어도 1개가 id3에 포함, 을 만족하는 id3를 prm-id라 한다.
-CR에서만 논의
-cprm-id:completely prime ideal
-proper id이면서 Ring - cprm-id의 원소 a,b의 a*b는 Ring - cprm-id일 때
-혹은 proper id이면서 for some a,b in R, a*b in cprm-id이면 a,b중 적어도 하나는 cprm-id의 원소일 때
-R_[1]에서만 논의
-(E):the smallest id of R containing E
-id는 교집합해도 id이므로 E를 포함하는 id들을 intersection한 것
-특히 (r):=({r})=R{r}R인 셈
(R_[1]이 아닌 R에서 논의하자면 (E)가 RER에다가 몇개 원소 더 추가해야됨, E의 원소끼리의 합 이런게 표현안됨)
-p-id:principal ideal(cyclic subgroup에 대응됨)
-single element로 generated된 id, 즉 ({r}), 쉽게 (r)이라 쓰기도 함.
-f-id:finitely generated ideal
-finite elements로 generated된 id
-Z(R):the center of R
-Z(R):={r in R s.t. rx=xr for all x in R}
-norm_ID:Norm on Integral Domain
-f:ID->{0,1,2,...} s.t. f(0)=0을 norm on ID라 한다.
-+norm_ID:positive norm on ID
-for non zero x in ID, f(x)>0인 norm on ID를 +norm이라 하자.
-DHnorm_ID:Dedekind-Hasse norm on ID
-+norm_ID이면서 for nonzero a, nonzero b in ID, a:mutiplie of b이거나 te x, y in ID s.t. 0<f(ax-by)<f(b)
(ED일 때 만족해야될 norm_ID보다 좀 더 weak한 경우임)
-UFD:Unique Factorization Domain
-ID이면서 모든 nonzero nonunit element는 finite product of irrducibles로 표현가능 unique up to associates
-PID:principal ideal domain
-ID s.t. every id is p-id
-ED:Euclidean domain
-ID s.t. te norm_ID s.t. for any a,b(b는 nonzero) in ID, te q,r in ID with a=qb+r with r=0 or norm_ID(r)<norm_ID(b).
(Euclidean Division을 일반화시킨게 가능한 ID를 가리킴)
(q를 quotient, r을 remainder라 한다.)
(위의 norm을 EFnorm_ID라 하자. Euclidean Function의 EF을 땀)
-R:graded란
-R:direct sum of additive subgroups R=R0+R1+R2+..., s.t. RiRj < R(i+j) for all i,j>=0
(이 때 Ri의 원소를 homogeneous of degree i라 하고 Ri를 homogeneous component of R of degree i라 한다.)
(대표적인 예는 polynomial ring, tensor algebra of M)
-graded id란?
-for R:graded, id:ideal of R, id=direct sum of (id intersection Ri)형태일 때
-Functions Ring관련
-P:polynomial
-R[x]:the ring of polynomials in the variable x with coefficients in R(R이 CR_[1]일 때를 생각할 때가 많다.)
-GP(x1,x2,...,xn):the general polynomial, (x-x1)(x-x2)...(x-xn)
-R[x1,x2,...,xn]:the polynomial ring in the variables x1,x2,...,xn with coefficients in R
-aform(algebraic form):homogeneous polynomial in R[x1,x2,...,xn], 각 term이 same degree인 polynomial(aform, form 혼용해서 쓰자.)
-for P in R[x1,x2,...,xn], homogeneous component of P of degree k란, terms of P중 degree가 k인 것들의 sum, P_k라 쓰자.
-(n-ary)quadratic form over F:homogeneous of degree 2 in F[x1,x2,...,xn]
qdf_F(x1,x2,...,xn) or qdf_F(x) or qdf(x)라 쓰자.(F생략해서 막 쓰면 같은 F에 대한 얘기임)
-qdf1, qdf2:equivalent if te MT in GL(n,F) s.t. qdf1_F(x)=qdf2_F(MTx) for any x
-MT_qdf:SMT from qdf, SMT_(i,j)=1/2*(xixj의 계수 + xjxi의 계수)
-qm:quadratic map by qdf, F^n->F, x=(x1,x2,...,xn) in F^n represented by the standard basis of column form, qm_qdf(x):=rt(x)*MT_qdf*x(하단 참고 VS(F)->F)
-b_qdf:form from qdf on F^n, b_qdf(x,y):=1/2 * {qm_qdf(x+y) - qm_qdf(x) - qm_qdf(y)}
-D(qdf_F):={d in F-{0} s.t. qdf(x)=d for some x in F^n}
-F(x):the field of rational functions
-QF(F[x]), quotient field of F[x]
-for f(x1,x2,...,xn) in F(x1,x2,...,xn), f(x1,x2,...,xn)가 symmetric이란,xi의 index를 어떻게 permute해도 f값이 같을 때
-Homomorphism관련
-riso:ring isomorphic
-homor:ring homomorphism
-ker(homor):kernel of ring homomorphism(homog의 kernel로써 정의됨)
-for R,S:graded, homor:R->S, homor가 graded란 homor(Ri)<Si일 때
-Quotient Ring관련
-R/id:quotient ring of R by id
-Matrix Ring관련
-MT(R)(nxn):Matrix of size nxn with entries in R
-
-Group Ring, Group Algebra관련
-R[G]:Group ring
-R:CR_[1]이고 G={g1,g2,...,gn}으로 finite group G이고
-계수는 R의 원소인 G의 linear combinations 모임으로, ring이 된다.
-RE:the set of all finite sums of elements of the form like R[G], 비슷하게 ER, RER등도 정의 됨
(E는 R의 any subset일 때를 가리킴)
-F[G]:Group algebra
-F[G]:direct sum of Fv_g over g, 따라서 VS(F)이고 multiplication은 R[G]처럼 v_g v_h =v_(gh)로써 정의해서 F-algebra됨
*Field Theory
-F:Field
-OF:Ordered Field
-QF(ID):quotient field of ID
-[F2:F1]:dimension of F2=VS(F1)
-F(a1,a2,...,an):the field generated by a1,a2,...,an over F(where ai in a extension of F), the smallest field containing ai and F
-F(a1):simple extension field of F
(이때 a1을 primitive element of F(a1)이라 한다.)
-F2>F1이란 F2:extension field of F1
-an embedding of F1 into F2란, f:F1->F2 s.t. injective and homomorphism을 가리킨다.
-FEF of F1, F2>F1 with finite [F2:F1]일 때 F2를 Finite extension field of F1이라 하고, FEF of F1으로 나타내기로 하자.
-a:alg(F):algebraic over F, F의 extension field의 원소이면서 te P(x) in F[x] s.t. P(alg(F))=0인 것
-a:transcendental over F란, F의 extension field의 원소이면서 not algebraic over F인 것
-for F2>F1, E:subset of F2, E:algebraically independent over F1이란,
for every finite subset E' of E, E'={a1,a2,...,an}, there is no nonzero polynomial f(x1,x2,...xn) in F1[x1,x2,...,xn] s.t. f(a1,a2,...,an)=0
-a transcendence base for F2>F1이란 maximal subset of F2(wrt set inclusion) which is algebraically independent over F1
-m_(alg(F),F)(x):the minimal polynomial for alg(F), alg(F)를 root로하면서 unique monic irreducible poly in F[x]을 가리킴
-F2:AEF of F1, F2>F1이고 for any a in F2, a:alg(F1)이면 F2를 algebraic extension field of F1이라 하고 AEF of F1으로 나타내기로 하자.
-F2F1, F3>F2이고 F3>F1일 때 F2F1을 the smallest subfield of F3 containing both F2 and F1을 나타내고 composite field of F2 and F1이라 한다.
-prime subfield, unity를 포함하는 the smallest subfield
-F2:SptEF_(P(x),F1), F2>F1이고 P(x) in F1[x]에 대해 a splitting field for P(x) in F1[x]란, P(x)가 factors completely into linear factors in F2[x]인 F2이고 F2>F3>F1인 proper F3에 대해 F3[x]에서는 splits completely가 안될 때, F2를 a splitting field for P(x) in F1[x]라 하고 줄여서 SptEF_(P(x),F1)
(즉 P(x) in F1[x]의 모든 roots를 포함하면서 F1의 extension인 것들 중 smallest)
(SptEF_F란, polynomial이 존재하긴 하는데 그게 관심이 아닌 splitting field를 가리킬 때 사용, splitting field over F)
-NEF of F1, normal extension of F1, AEF of F1가 SptEF_({P(x)},F1)였다면 AEF of F1을 normal extension of F1이라고 한다.
-ac(F)란, algebraic closure of F, F2:AEF of F이고 for every polynomial P(x) in F[x], P(x) splits completely in F2[x]일 때 F2를 algebraic closure of F1이라한다.(정의상으로는 unique up to isomorphism which fix F인지는 모르지만 ac-F를 잡아서 건설하면 알 수 있음)
-ac-F란, algebraically closed field, ac(F)=F인 F를 ac-F라 한다.
(즉 F[x]의 any nonconstant polynomial의 모든 roots가 F에 있다는 것)
-F:acc0, algebraically closed and characteristic 0(자주나오므로)
-P(x)가 separable over F란, P(x) in F[x]인 P(x)의 all roots가 모두 distinct in ac(F)
(roots가 F에 있냐는 건 관심 없음, ac(F)에서, 즉 모든 roots를 일단 다 구하고나서 그게 distinct하냐는게 관심)
(over F라는 걸 적어줘야만 의미 있음, x^2-1을 over Q, over F_2 각각에 따라 다름)
-formal derivative란, 극한없이 poly->poly인 연산자로써 정의, D_x(P(x))로 표현
-F:perfect란, char(F)=0 or char(F)=p s.t. each element x in F can be written as y^p for some y in F
-char(F)=prm인 p이고 for an irreducible f(x) in F[x] the separable degree of f란
-F:perfect이면 f(x)는 separable되서 the separable degree of f = the degree of f
-Otherwise, f(x)=g(x^p^k)이면서 g(x):separable over F인 irreducible poly가 있는데 degree of g(x)를 가리킨다.
(p^k를 inseparable degree of f라 한다.)
-f:F->F f:Frobenius란 char(F)=p일 때 정의하고 f:F->F, x->x^p인 map
(injective인 endomorphism, 따라서 finite field F1이었다면 Frobenius_F1는 automorphism)
-SEF of F이란, Separable Extension field of F, F2:AEF of F이면서 for any a in F2, m_(a,F):separable over F
-Cyclotomic Field of nth root of unity관련
-CCTMF_n이란 SptEF_(x^n-1,Q)를 가리킨다. the cyclotomic field of nth root of unity라 한다.
-{x^n-1의 roots in C}는 group이 되고 여기서 generator를 primitive nth root of unity라 한다.(ephi(n)개만큼 존재)
-CCTMP(x)_n이란 the nth cyclotomic polynomial, prod over all primitive nth root of unity t (x-t)(따라서 deg가 ephi(n))
-내용정리, extension관련
-포함관계:
AEF of F1>FEF of F1>SptEF_(P(x),F1)
AEF of F1>SEF of F1>ac(F1)(단 SEF of F1>ac(F1)은 F1이 perfect일 때만 가능)
-Classical Straightedge and Compass Construction관련
-for a in R, a:constructible이란 we can construct a line segment of length |a| in a finite number of steps from this given segment of unit length by using a straightedge and a compass.
-for F:field, S:subset of F, Aut(F/S)는 Aut(F)의 원소중에서 S를 fix하는 애들만 모아둔 group
-Aut(F2/F1), Aut(F2)중에서 F1을 fix하는 애들만 모아둔 group
-for a subgroup S of Aut(F), F_S란?(called fixed field of S), S의 모든 원소가 fixed하는 F의 원소들의 모임, subfield of F된다.
-GEF of F란? NEF SEF of F일 때를 말한다.
-for F2:GEF of F1일 때,
-G(F2/F1):=the galois group of F2 over F1이라 하고 Aut(F2/F1)을 가리킨다.
-for x in F2, f in G(F2/F1), f(x)를 galois conjugate of x over F1라 한다.(any f마다 conjugate인 셈)
-for F1<F<F2, f in G(F2/F1), f(F)를 conjugate field of F over F1라 한다.
-F2:abelian GEF of F1이란, F2가 GEF of F1이고 G(F2/F1):abelian일 때
-for P(x):separable over F,G(P(x),F):=the galois group of P(x) over F라 하고 Aut(SptEF_(P(x),F)/F)를 가리킨다.
-for F2:SEF of F1(may not NEF of F1), gc(F2/F1)이란, called "the galois closure of F2 over F1"
-F2가 NEF이고 SEF이면 GEF되지만, SEF이기만해서는 GEF가 안된다. 하지만 F2를 좀 더 extension하면 SEF이면서 NEF되게할 수 있다. 그런 extension중에서 가장 작은 것을 가리킨다.
(만약 F2가 not SEF였으면 F2를 어떻게 extension해도 not SEF이므로 galois closure란 것은 정의 못함)
-for F2:SEF of F1일 때(may not NEF of F1), G(F2/F1):=the galois group of F2 over F1이고 Aut(gc(F2/F1)/F1)을 가리킨다, 즉 galois clousure로 대체시켜 생각
-for P(x) in F[x] of degree n, the discriminant of P(x)(disc(p(x))라 적자)란, SptEF_(P(x),F)에서의 P(x)의 all roots {r1,r2,...,rn}(중복해서 적음)에 대하여 prod over i<j (ri - rj)^2,
(따라서 P(x):separable over F이면 disc(P(x))=nonzero, inseparable이면 disc(P(x))=0
*Module Theory
-Module관련
(기본적으로 sth-Md이란, 어떠한 대수적 구조가 있는 object Md에 sth이란 대수적 구조가 있는 object를 Md좌측에다가 붙이는 연산을 정의할건데, 각 sth에 있는 연산과 Md에 있는 연산이 compatible하게끔 정의가 될 때를 가리킨다.)
-R-Md:(left)R-module
-R:Ring
-(Md,+):abelian group
-scalar multiplication:R x Md->Md s.t.
-r1(m1+m2)=r1m1+r1m2
-(r1+r2)m1=r1m1+r2m1
-(r1r2)m1=r1(r2m1)
(R이 이미 잘 안다면 R-Md말고 Md라 하자 그냥)
-G-Md:(left)G-Module
-G:group
-(Md,+):abelian group
-act_Md by G:G x Md -> Md s.t.
-for any g in G, x,y in Md, g(x+y)=gx + gy
-(action이니까) for any g,h in G, x in Md, (gh)x=g(hx)
(Md가 VS(F)일 땐 act_Md by G가 linearity도 만족, 즉 g(ax+by)=a(gx)+b(gy) where g in G, a,b in F, x,y in VS(F)할 때 G-Md VS(F)라 함)
(for any g in G, x in Md, (g,x)->x이면 이 때 trivial G-Md라 한다.)
-for M:G-Md and H:subgroup of G, M을 H-Md로도 간주할 수 있다.
-unital R-Md:Unital R-module
-R-module에서 R이 unity 1을 갖고 1m=m을 만족할 때의 R-module
-R-subMd:submodule of R-Md
-subMd:closed under group operation and scalar multiplication
-G-subMd:submodule of G-Md
-closed under group operation and group action
(Md가 VS(F)일 땐 G-subMd란 subspace이고 그 자체로 G-Md일 때, 즉 W:subspace of V, V:G-Md일 때 gw가 W에 속할 때(for any g in G, w in W))
-for m in R-Md, m이 torsion
-te nonzero r in R s.t. rm=0일 때 m을 torsion이라 함
-Tor(Md):={all torsion of Md}
-Tor(Md)를 the torsion submodule이라 하고(R:ID일 때), Tor(Md)의 submodule를 a torsion submodule이라 한다.
-Tor(Md)=0이면 Md를 torsion free라 한다.
-for R-Md인 M, subMd인 N, Ann_R(N):={r in R s.t. rn=0 for all n in N}
(Ann_R(N)은 two-sided id됨)
-for R-Md인 M, Rid of R인 id, Ann_M(Id):={m in M s.t. am=0 for all a in id}
(Ann_M(id)는 subMd됨)
-For N1:R-subMd1, N2:R-subMd2 of M:R-Md, N1+N2:={n1+n2 s.t. n1 in N1 n2 in N2}
(the smallest subMd containing N1 and N2됨)
-For M:R-Md, A:subset of M, RA:={f-sum of ra for r in R, a in A}, called the submodule of M generated by A
(the smallest subMd containing A)
(Group Ring에서와 헷갈리지 않게, RE는 E는 R의 subset일 때임)
-For N:R-subMd of M:R-Md, for A:subset of M, N=RA인 경우 A를 a set of generators for N이라 한다.
-finite set인 A가 존재하면 N을 finitely generated라 한다.
-singleton인 A가 존재하면 N을 cyclic이라 한다.
-For M_i:R-Md, EDP(M_i), direct product of {M_i}
-For R:R_[1], S:R_[1], M:(R,S)-biMd란, called (R,S) bimodule
-M:left R-Md and M:right S-Md, for r in R, s in S, m in M, (rm)s=r(ms)
-For R:CR_[1], M:SR-Md, called the standard R-module
-M:(R,R)-biMd을 가리킨다.
-For R:CR_[1], M,N,L:left R-Md, f:MxN->L이 R-bilinear이란?
-그냥 bilinear
(정의역의 곱이 n개면 n-multilinear over R이라 한다.)
-For R:CR_[1], M1,M2,...,Mn,L:left R-Md, f:M1xM2x...xMn->L이 n-multilinear over R이 alternating이란?
-정의역의 이웃하는 2개 terms가 same일 때마다 f=0일 때)
-For R:CR_[1], det on R이란
-det:CMT(R)(nxn)->R s.t. det:n-multilinear alternating over R on R^nxR^nx...xR^n, 각 components는 MT의 columns이고 det(IMT)=1
(위의 2성질을 만족하면 det라 한다. determinant)
-For M:left R-Md, M:Noetherian이란
-te no infinite increasing chains of submodules
-For R:ID, M:R-Md일 때 rank of M:=the maximum number of R-lind elements of M
-For R:ID, M:R-Md일 때 divisible M이란, for any nonzero r in R, rM=M
-simple Md이란, submodule이 0와 자기자신 뿐
-semisimple Md란, simple인 submodules의 direct sum으로 decompose가능할 때
-
-Quotient Module관련
-R-Md/R-subMd:Quotient Module of R-Md by R-subMd
-quotient group과 똑같이 만들어지고, module이 됨
-Homomorphism관련
-R-Md1, R-Md2(같은 R에 대해) homoMd(R-Md1,R-Md2)란, f:R-Md1->R-Md2 s.t. f(x+y)=f(x)+f(y) and f(rx)=rf(x)인 f를 가리킨다.
(vector spaces에서는 linear transformation이라 함)
(R-Module homomorphism이라 부른다.)
-Hom(R-Md1,R-Md2), the set of all homoMd(R-Md1,R-Md2)
-End(R-Md):=Hom(R-Md,R-Md)
(ring이 된다. multiplication은 composite로 두면)
-
-Free관련
-For M:R-Md, A:subset of M, M:free on A란(혹은 A를 R-Basis라 한다.)
-A:basis for M, 즉 M의 모든 원소가 finite linear combinations of A로 유일하게 표현된다는 것
(이때 M을 free module이라 한다.)
-For R:CR_[1], M:R-Md free on A, rank(M):=|basis|=|A|(R이 commutative여야 well-defined)
-For A:set, R:ring, FM(R,A)이란, called a free R-module on A
-free on A인 R-Md
-For A:set, FAG(A):=FM(Z,A), called free abelian group on A
(Z-Md인데 사실 Md이긴한데 그냥 abelian group structure만 가질 뿐, 그래서 free module이라 하지 않고 group이라함)
-Tensor Product관련
-For R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md, TP(M,N)이란? called the tensor product of M and N over R
-FAG(MxN)의 quotient group, bilinear되게끔
-TP(M,N)은 기본적으로 abelian group structure만 갖고 있는데 M,N에 조건 더 있을수록 Md되기도 하고 함
-TP(M,N)의 원소를 tensor라 하고, for m in M, n in N, tp(m,n):=coset of (m,n), called the simple tensor of m,n
(TP(M,N)의 모든 원소는 finite sum of simple tensors로 쓰여진다. 건설법을 생각해보면)
-For R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md, G:abelian group, f:MxN->G이 R-balanced란?
-f(m1+m2,n)=f(m1,n)+f(m2,n)이고 f(m,n1+n2)=f(m,n1)+f(m,n2)이고 f(mr,n)=f(m,rn)인 f
-For R:R_[1], M1:right R-Md, M2:right R-Md, N1:left R-Md, N2:left R-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2), TP(f1,f2)란
-TP(f1,f2):TP(M1,N1)->TP(M2,N2), TP(f1,f2)(tp(m1,n1))=tp(f1(m1),f2(n1))
(group homomorphism이 되고 M,N에 structure가 더 조건 붙으면 module homomorphism까지 됨)
-Short Exact Sequence관련
-SES(Md1,Md2,Md3,f1,f2):Short Exact Sequence란, Group에서와 정의 같음, 단지 Md1,Md2,Md3:R-Md일 뿐
-SES(Md1,Md2,Md3,f1,f2):split란, left split or right split or equivalent to SES(Md1,EDP(Md1,Md3),Md3,embedding,projection)일 때
-Md:R-Md가 projective란, every SES(Md1,Md2,Md)가 split일 때
-Md:R-Md가 injective란, every SES(Md,Md1,Md2)가 split일 때
-Md:R-Md가 flat이란, every SES(left R-Md1,left R-Md2, left R-Md3)에 Md을 tensor product을 좌승 취해도 SES가 얻어질 때
(이때 얻어진 SES는 group의 SES)
-Md1:R-Md, Md2:an essential extension of Md1이란, for every subMd S2 in Md2, Md1교S2={0}이면 S2={0}일 때
-Md1:R-Md, Md2:an injective hull of Md1이란, Md2:injective R-Md이고 Md2:essential extension of Md1일 때
-MD over PID관련
-R:PID, M:R-Md일 때
-M with annihilator nonzero a=u(p1)^a1(p2)^a2...일 때 pi-primary component of M란, Ni:={x in M s.t. (pi)^ai x =0}
-R:PID, M:finitely generated R-Md일 때
-free rank of M이란, M의 cyclic modules decomposition에서의 free파트 rank
-invariant factors of M이란, M의 cyclic modules decomposition에서의 R/(ai)인 ai들을 가리킨다.
-elementary divisors of M이란, M의 cyclic modules decomposition(using primes)에서의 R/((p_i)^a_i)에서 (p_i)^a_i를 가리킨다.
-R:F[x]일 때
-for any monic P(x) in F[x], cpMT(P(x)), companion matrix란, 대각성분은 0, 대각성분 바로 밑은 1, 마지막 열은 P(x)의 계수들*(-1)을 상수항부터 위에서부터, 나머진 0
*Vector Space
-Basic
-VS(F):Vector Space over F, ()언급 없으면 R을 가리킴
-VS(F):=F-Md
-f-dim:finite dimensional
-inf-dim:infinite dimensional
-x:any vector
-s:any scalar
-LS:Linear Subspace(subgS, topS, LS)
-F^n:n-dimensional VS(F)
-A:absorbing subset
-VS(F)에서 F가 R(std)이거나 C인 경우 정의를 하며, for any x in VS(F), te c>0 s.t. for |t|>c, x in tA
-B:balanced subset
-VS(F)에서 F가 OF인 경우 정의를 하며(대게 OF=R(std)), for any t in [-1,1], tB<B인 경우 B를 Balanced라 한다.
-V:convex subset
-VS(F)에서 F가 OF인 경우 정의를 하며(대게 OF=R(std)), for all x, y in V, for all t in [0,1], (1-t)x+ty in V일 때 V를 convex라 한다.
-AV:absorbing convex subset
-lind:linearly independent
-a flag (V_i) of VS(F)란
-a seq of subspace s.t. dim(V_i)=i and V_i<V_(i+1)
-VS(F)에 topology 주는 방법
-normable
-F:topological field(즉 +,*,나누기 가 continuous인 field)일 때(즉 R(std)거나 C)
-addition과 scalar multiplication이 conti가 되게끔 smallest top주는 법(TVS가 됨)
-(VS(F))^*의 모든 원소가 conti가 되게끔(weak topology참고, NVS에선 conti LF들이 conti가 되게끔하는 최소 top)
-Linear combination관련
-1-linc:계수의 합이 1인 linear combination
-1p-linc:계수가 positive이고 합이 1인 linear combination
-c-ilnc:계수가 nnn이고 합이 1인 linear combination(convex combination)
-Direct Product, Direct Sum관련
-EDP(VS1(F),VS2(F)):External Direct Product of VS1(F), VS2(F)(대게는 Direct Sum이라 하지만, VS(F)가 infiite개면 product와 sum구분 필요)
-EDP(VS1(F),VS2(F)):=the cartesian product of VS1(F), VS2(F), 연산은 component-wise, 새로이 VS(F)가 된다.
-IDP(LS1,LS2):Internal Direct Product of LS1,LS2(대게는 Direct Sum이라 하지만, VS(F)가 infiite개면 product와 sum구분 필요)
-IDP(LS1,LS2):={x + y s.t. x in LS1, y in LS2} and LS1교LS2={0} (LS1과 LS2모두 같은 VS(F)의 linear subspace)
(IDP(LS1,LS2) isomorphic EDP(LS1,LS2)성립)
(nontrivial, proper LS1,LS2에 대해서 정의함)
-Function관련(정의역의F와 공역의 F가 다를 순 있으나 그래봤자 subfield관계여야함)
-VS(F)xVS(F)->F
-f:form on VS(F)
-f:VS(F)xVS(F)->F인 function
-Bilinear form on VS(F)
-f:VS(F)xVS(F)->F이면서 bilinear인 function을 가리킴
(bilinear form의 matrix표현은 VS(F)의 basis={v1,v2,...,vn}를 고정시켜버리고 f(vi,vj)를 (i,j)성분으로 하는 matrix를 M이라 하면 f(u,v)=rt(x) M y, 각 x와 y는 u와 v를 basis {v1,v2,...,vn}의 계수들로 표현한 것)
(다른 basis {u1,u2,...,un}를 택했었다면, [u1, u2, ..., un]=[v1,v2,...,vn]S where S:invertible MT, rt(S)MS가 represent matrix가 된다.)
-Symmetric form on VS(F)
-f:bilinear form onVS(F)이면서 for all x,y in VS(F), f(x,y)=f(y,x)
-for b:symmetric bilinear form on VS(F),
-qm_b:quadratic map, VS(F)->F, qm_b(x)=b(x,x)
-qdf_b:quadratic form by b, qdf_b(x1,x2,...,xn)=sum b(ei,ej)xixj, where {e1,e2,...,en}:a basis for VS(F), qdf_b in F[x1,x2,...,xn]
-(VS(F), b):quadratic space라 한다.
-(VS1(F),b1), (VS2(F),b2):isometric
if te g:isom from VS1(F) to VS2(F) s.t. b1(x,y)=b2(g(x),g(y)) for any x,y in VS1(F)
-Alternating form on VS(F)
-f:bilinear form on VS(F)이면서 for all x in VS(F), f(x,x)=0
-Skew-symmetric form on VS(F)
-f:bilinear form on VS(F)이면서 for all x,y in VS(F), f(x,y) = (-f(y,x))
-regular bilinear form이란, g:VS(F)->(VS(F))^*, g(v):=f(v,~) or h:VS(F)->(VS(F))^*, h(v):=f(~,v), 둘 중 1개가 isomorphism일 때
-for symmetric bilinear form f on VS(F), for LS of VS(F), for LS1 of VS(F), for LS2 of VS(F), for E subset of VS(F)
-(LS)^ㅗ :={x in VS(F) s.t. f(x,y)=0 for all y in LS}, the orthogonal complement of LS라 한다.
-rad(f):=(VS(F))^ㅗ, radical of f라 불린다.
-f_LS:subform of f on LS라 하고 정의는 restriction of f on LS
-f=f_LS1 ㅗ f_LS2란, VS(F)=IDP(LS1,LS2) with (LS1)^ㅗ < LS2일 때의 f표현이고, the internal orthogonal sum of f_LS1 and f_LS2라 한다.
-f의 regular part란, f=f_W ㅗ f_rad(f)로 uniquely up to isometry인 W가 존재하고 f_W on W를 regular part of f라 한다.
-f의 diagonal form <a1,a2,...,ak>란, f의 regular part만을 대응되는 matrix의 diagonal form을 가리킴
-for nonzero x in VS(F), x:isotropic란, f(x,x)=0일 때
-for nonzero x in VS(F), x:anisotropic이란, f(x,x):nonzero
-f:isotropic이란 te x in VS(F) s.t. x:isotropic일 때
-f:anisotropic이란 there is no isotropic vector
-for a linear subspace W of VS(F), W:totally isotropic란 f(w1,w2)=0 for all w1, w2 in W
-E:orthonormal이란 for any distinct x,y in E, f(x,y)=0, f(x,x)=1
-E:maximal orthonormal이란 E를 strictly 포함하는 orthonormal set이 없을 때
-f:hyperbolic이란 te H(VS(F))=(VS(F),h) s.t. h isometric f
-for symmetric bilinear form f1 on VS1(F), for symmetric bilinear form f2 on VS2(F)
-f1 ㅗ f2, the external orthogonal sum of f1 and f2라 하고, f1 ㅗ f2:(VS1(F)xVS2(F)) x (VS1(F)xVS2(F))->F,f1 ㅗ f2((a1,a2),(b1,b2)):=f1(a1,b1) + f2(a2,b2)
-H(VS(F)):hyperbolic space란, h:symmetric bilinear form on EDP(VS(F),VS(F)^*), h((v1,f1),(v2,g2)):=f1(v2)+g2(v1), (VS(F),h)를 가리킴
-H(F):hyperbolic space라 한다.
-F=C인 경우
-sesquilinear form on VS(C)
-f:VS(C)xVS(C)->C이면서 first argument는 linear, second argument는 antilinear(덧셈은 그대로나오는데 scalar는 conjugate달고나옴)
-Hermitian form on VS(C)
-f:sesquilinear form on VS(C)이면서 conjugate symmetric일 때
-VS1(F)->VS2(F)
-LT(VS1(F),VS2(F)):linear transformation from VS1(F) to VS2(F)
(homoMd(R-Md1,R-Md2)랑 같은 것임, 단지 VS1(F), VS2(F)로 바뀐 것 뿐)
-LT(VS(F)):linear transformation from VS(F) to VS(F)
(Endomorphism of VS(F)라고도 한다.)
(LT(VS(F))가 bijective하면 Automorphism of VS(F)라고 한다.)
-egv(LT(VS(F)):eigenvalue of LT(VS(F))
-scalar f in F s.t. LT(VS(F))(x)=fx for some non zero vector x in VS(F)
(LT(VS)의 decomposition(over F[x]:PID이용)elementary divisor에 해당되는 root를 eigenvalue라고 함)
-egv(LT(VS(F)):eigenvector of LT(VS(F))
-nonzero vector x in VS(F) s.t. LT(VS(F))(x)=fx for some scalar f in F
(eigenvalue도 언급필요하면 egv(LT(VS(F)),egv)라 쓰자.)
(LT(VS)의 decomposition(over F[x]:PID이용)elementary divisor(degree가 1인 linear factor)에 해당되는 Torsion submodule의 원소를 가리킴)
-gegv(LT(VS(F)):generalized eigenvector of LT(VS(F))
-LT(VS)의 decomposition(over F[x]:PID이용)elementary divisor(degree가 k인 linear factor)에 해당되는 Torsion submodule의 원소를 가리킴
-subspace of VS(F)가 LT(VS(F))-invariant란, LT(subspace)<subspace일 때(예를 들면 eigenspace of f는 f-invariant)
(혹은 LT(VS(F))가 subspace를 stablize라고도 함)
-LT(VS(F))가 simple이란
-VS(F)가 nonzero이고 LT-invariant subspace가 0와 VS(F)뿐일 때
-LT(VS(F))가 semisimple이란
-대응되는 F[x]-Md가 semisimple, 즉 대응되는 Md가 simple submodules의 direct sum으로 decompose가능
-(iff)모든 LT-invariant subspace가 LT-invariant complement를 가짐
-LTC(VS1(F),VS2(F)):collection of all LT(VS1(F),VS2(F))
-LTC(VS(F)):collection of all LT(VS(F))
-다르게는 End(VS(F))라고도 쓴다. (End(VS(F)), +, composite):associative F-algebra
-Aut(VS(F)):Automorphism Group of VS(F)
-{f:VS(F)->VS(F), bijective, linear}
-VS(F)->F(as a vector space over F)일 때
-LF(VS(F)):linear functional from VS(F) to F
-subLF(VS(OF), OF):sublinear functional from VS(OF) to OF
-f:VS(OF)->OF s.t. for any x,y in VS(OF) any nnn s in OF, f(x+y)<=f(x)+f(y) and f(sx)=sf(x)
-convF(VS(R),ETR):convex functional from VS(R) to ETR
-f:VS(R)->ETR s.t. for any x,y in VS(R), any nnn s in R, f(x+y)<=f(x)+f(y) and f(sx)=sf(x) and f(x)>=0
-|| ||:norm, VS(F) to R(F는 C의 subfield)
-qm_qdf:quadratic map by qdf, F^n->F, x=(x1,x2,...,xn) in F^n represented by the standard basis of column form, qm_qdf(x):=rt(x)*MT_qdf*x
-qdf(VS(F)):quadratic form on VS(F)
-2-homogeneous and b:VS(F)xVS(F)->F s.t. b(v1,v2)=1/2 * {qdf(v1+v2)-qdf(v1)-qdf(v2)}가 bilinear일 때
(후자를 polar form of qdf라 하고 b_qdf라 적기로 하자.)
(VS(F)가 중요하지 않으면 생략)
-qdf1(VS1(F)) isom qdf2(VS2(F)):isometric(two qdf에 대한, 단 F는 같은 F)
-te isomorphism f:VS1(F)->VS2(F) s.t. for any x in VS1(F), qdf1(x)=qdf2(f(x))
-for qdf(VS(F)), for LS1 of VS(F), for LS2 of VS(F)
-rad(qdf):={v in rad(b_qdf) s.t. qdf(v)=0}
-qdf=qdf_LS1 ㅗ qdf_LS2란, VS(F)=IDP(LS1,LS2) with (LS1)^ㅗ < LS2
-qdf:regular란 rad(qdf)={0}
-for nonzero x in VS(F), x:isotropic란, qdf(x)=0
-for nonzero x in VS(F), x:anisotropic이란, qdf(x):nonzero
-VS1(F)와 VS2(F)가 둘다 f-dim일 때(dim(VS1(F)=n , dim(VS2(F))=m)
-MT(F)(mxn):matrix over the field F, size of mxn
(별말 없으면 F=C이고 크기는 nxn, 분명히 제시해줘야할 때는 field, size순을 제시)
-CMT(F)(mxn):the collection of all matrix over F, size of mxn
(별말 없으면 F=C이고 크기는 nxn, 분명히 제시해줘야할 때는 field, size순을 제시)
-direct sum of MT1 MT2란, MT1의 오른쪽 하단에 MT2를 붙이는 것, 나머진 0
-Matrix분류(마찬가지로 F와 size언급 필요시 뒤에 적기)
-subMT of MT:submatrix
-psubMT of MT:principal submatrix of MT(i row를 제거했으면 i column도 제거해서 얻은 submatrix)
-leading psubMT of MT:leading principal submatrix of MT, 왼쪽 상단에 것들로 구성된 square submatrix
-reducible MT이란, Μ in M(nxn) s.t. M =_psim block upper triangular matrix
iff te nonempty subset J of {1,2,3,...,n} s.t. M_(i,j) = 0 for all i in J, all j in {1,2,3,...,n}-J
-irreducible이란 ΜΤ가 not reducible일 때
(n=1일 땐 0 matrix는 reducible이라 한다.)
(M:reducible이면 적어도 (n-1)개의 entries가 0여야 함)
-IMT:Identity Matrix
-LMT:lower triangular matrix
-UMT:upper triangular matrix
-DMT:diagonal matrix
-DdMT:diagonally dominant matrix, |a_ii| >= sum over j |a_(i,j)| for any i
-dgMT:diagonalizable matrix
-similar to a DMT
-{MT}:commuting이란,
-for any two MT1, MT2 in {MT}, MT1MT2=MT2MT1
-dg{MT}:simultaneously diagonalizable이란,
-te invertible MT1 s.t. MT1MT(MT1)^(-1):a DMT for any MT in dg{MT}
(즉 하나의 가역행렬로 family {MT}의 모든 원소가 대각가능화될 때를 가리킴)
-TMT(B1,B2):Transition matrix from ordered basis B1 to ordered basis B2
-B1의 1번째 원소의 좌표 under B2를 1열에, 2번째 원소의 좌표 under B2를 2열에...해서 얻은 matrix
-Proj(LS1,LS2):Projection onto LS1 along LS2
-VS(F)=IDP(LS1,LS2)이고 Proj(LS1,LS2):VS(F)->VS(F), Proj(LS1,LS2)(x)=x1 where x=x1+x2, x1 in LS1, x2 in LS2
(LT(VS(F))가 되고, 이것의 MT표현을 Projection matrix, Proj(LS1,LS2)라 하면 MT를 가리키는 것이라 하자.)
-MT가 Idempotent란, MT^2=MT일 때
-ct(MT)란, MT의 conjugate transpose
-F=C일 때
-NMT:normal matrix
-ct(MT)MT=MTct(MT)인 MT
-HMT:Hermitian matrix
-MT=ct(MT)인 MT
-inertia(HMT)=(p,q,z), where p:the number of positive egv, q:the number of negative egv, z:the number of zero egv, including multiplicities
-UnMT:unitary matrix
-inv(MT)=ct(MT)인 MT
-udgMT:unitary diagonalizable matrix
-similar to a DMT인데 그 similar에 쓰이는 invertible MT가 UnMT일 때
-pd:positive-definite
-matrix를 bilinear form으로 보고 nonzero vector z에 대한 결과가 >0(ct(z)HMTz>0)
-psd:positive-semidefinite
-matrix를 bilinear form으로 보고 nonzero vector z에 대한 결과가 >=0(ct(z)HMTz >= 0)
-F=R일 때
-SMT:symmetry matrix
-rt(MT)=MT인 MT
-ACMT:acyclic matrix
-SMT이고 for any subset E={k1,k2,...,ks} of {1,2,3,...,n}, s>=3,
a_(k1,k2) * a_(k2,k3) * ... * a_(ks,k1) = 0인 행렬
-OMT:Orthogonal matrix
-inv(MT)=rt(MT)인 MT
-odgMT:orthogonally diagonalizable matrix
-similar to a DMT인데 그 similar에 쓰이는 invertible MT가 OMT일 때
(MT1 =_sim DMT by OMT, 즉 MT1 =_congruent DMT)
-N:nnn matrix
-모든 성분이 nnn
-N:nnn and irreducible일 때
-spectral circle에 egv가 1개만 있으면 primitive MT라 한다.
-N:primitive MT일 때 te m > 0 s.t. N^m:positive MT, 이때 the smallest m을 the exponent of N이라 한다.
-spectral circle에 egv가 k(k>1)개 있으면 imprimitive MT라 한다. 이때 k를 the index of imprimitivity of N이라 한다.
-P:positive matrix
-모든 성분이 positive
-이 때 P가 square이면 specR(P):egv with positive egv with multiplicity 1, 이 때 specR(P)를 Perron root of P라 하고 positive egv with sum of components equal to 1를 Perron vector of P라 한다.
-rt(P)또한 positive이고 the Perron vector of rt(P)를 left Perron vector of P라 한다.
-Z-MT:Z-Matrix
-M:Z-matrix if all off-diagonals are nonpositive, 즉 M_(i,j)<=0 for i != j
-M1-MT:M-Matrix(Minkowski의 M을 딴 것)
-M:M1-MT if te N:NNN s.t. M = c * IMT - N for some c s.t. c >= specR(N)
-M2-MT:M-Matrix
-M:M2-MT if te N:NNN s.t. M = c * IMT - N for some c s.t. c > specR(N)
-bSMT:bisymmetric
-SMT and /에 대해서도 symmetric
-tr(MT):the trace of MT
-inv(MT):the inverse of MT
-MPinv(MT):the Moore-Penrose inverse
-MT*sth*MT=MT
-sth*MT*sth=sth
-MT*sth = rt(MT*sth)
-sth*MT=rt(MT*sth)을 모두 만족하는 sth을 MPinv(MT)라 한다. non-square MT여도 항상 unique하게 존재함
-Ginv(MT):the Group inverse
-MT*sth*MT=MT
-sth*MT*sth=sth
-sth*MT = MT*sth을 모두 만족하는 sth을 Ginv(MT)라 한다. squre MT일때만 정의되고 특정 조건에서 존재하고 존재하면 unique하게 존재함.
-det(MT):the determinant of MT
-unimdMT:unimodular MT, all entries are integers, det(MT)=1 or -1
-perm(MT):the permanent of MT, sum over all f in S_[n] prod from i=1 to i=n (MT)_(i,f(i))
-adj(MT):the adjugate of MT, (adj(MT))_(i,j) = (-1)^(i+j)det(MT - ιth row - jth column)
-rt(MT):the transpose of MT
-charP(MT):the characteristic polynomial of MT
-charP(MT):=det(x*IMT - MT), x:variable인 polynomial
(If neccessar, use charP(MT,x))
-mP(MT):the minimal polynomial of MT
-MT를 root로 하는 monic and 최소 degree polynomial
(MT를 주면, LT(F^n)인 것이고, 그러면 F^n은 F[x]-Md로 간주되고, Ann_F[x](F^n)은 F[x]의 ideal인데 F[x]은 PID이므로 Ann_F[x]의 generator로 mP(MT))
-egv(MT):eigenvalue of MT
-MTx=sx를 만족하는 nonzero vector x가 있을 때 scalar s를 eigenvalue of MT라 한다.
-egv(MT, egv):eigenvector of MT associated with egv, 그냥 egv라 쓰면 eigenvalue를 가리킴
-MTx=sx를 만족하는 nonzero vector x가 있을 때 vector x를 eigenvector of MT associated with s라 한다.
-am(egv(MT)):the algebraic multiplicity of egv
-charP(MT)에서의 egv의 root 중복도
-gm(egv(MT)):the geometric multiplicity of egv
-egS(MT,egv)의 dimension
-spec(MT):the set of all eigenvalues of MT, called "the spectrum of MT"
-specR(MT):spec(MT)중 절댓값(modulus)이 가장 큰 것의 절댓값
-equivalence relation관련
-MT1 =_equi MT2:equivalent
-MT1 = P MT2 Q where P,Q:invertible MT일 때(MT1,MT2가 square일 필요 없음)
(LT:VS1->VS2, 같은 dimesion아니어도, 각 VS1, VS2의 basis를 바꿀 때를 가리킴)
(similar는 equivalent의 한 case)
-MT1 =_sim MT2:similar
-MT1 = inv(MT) MT2 MT where MT:invertible일 때
(LT:VS->VS, same domain and codomain, 각 domain, codomain 모두 같은 basis사용, 그 때 그 basis를 바꿀 때를 가리킴)
-MT1 =_psim MT2:permutation similar
-MT1 = inv(MT) MT2 MT where MT:invertible and permutation MT일 때
(Graph의 relabel에 쓰임)
-MT1 =_congruent MT2:congruent
-MT1 = rt(MT) MT2 MT where MT:invertible일 때
(bilinear form이 isomorphic하냐 따질 때 씀)
-F=C일 때
-MT1 =_usim MT2:unitary similar
-MT1 = inv(MT) MT2 MT where MT:invertible and UnMT
-F=R일 때
-MT1 =_osim MT2:orthogonally similar
-MT1 = inv(MT) MT2 MT where MT:invertible and OMT
-Matrix를 통해 만든 Space관련
-Row(MT):Row space of MT
-Col(MT):Column Space of MT
-Null(MT):Null Space of MT
-egS(MT, egv):the eigenspace of egv
-Canonical Form관련
-RCF(MT):the rational canonical form of MT(rational이라 부르는 이유는 이 MT가 어떤 F에서든 계산이 잘 되기 때문)
-MT가 주어지면 LT(F^n)이 주어진 셈이고 F^n with LT(F^n)은 F[x]-Md로 간주될 수 있고 그럼 F[x]가 PID이므로 F^n을 decomposition(using invariant factors)을 할 수 있고 그 때의 invariant factors 각각의 monic형태는 unique하고 그것의 cpMT들(즉 decomposition의 direct summand마다 basis를 잡았더니(F[x]/(P(x))에서 주로 쓰는 basis로 1, bar{x}, ...가 taken) cpMT형태의 LT가 나온것)을 direct sum해서 얻은 matrix
-SNF(MT):the smith normal form of MT
-(xIMT-MT) =_equi diag(1,1,1,...,1,f1(x),f2(x),f3(x),...,fk(x)) where fi(x):all invariant factors of MT, 이 때 후자 diag를 SNF(MT)라 한다. SNF(MT)는 MT(F[x])(nxn)인 것, entries가 F[x]
-JCF(MT):the jordan canonical form of MT(egv(MT)가 F에 포함될 때로 가정, 즉 invariant factors들이 linear factor만 가져서 elementary divisors가 (x-t)^k form만 있을 때)
-MT가 주어지면 LT(F^n)이 주어진 셈이고 F^n with LT(F^n)은 F[x]-Md로 간주될 수 있고 그럼 F[x]가 PID이므로 F^n을 decomposition(using elementary divisors)을 할 수 있고 그 때의 direct summand마다 basis를 잡았더니(F[x]/(x-a)^bi에서 1, (bar{x}-a), (bar{x}-a)^2, ...으로 basis로 taken) 나온 UMT(jordan block of size bi with egv a라 한다)를 direct sum해서 얻은 matrix
-FNF(MT):the Frobenius Normal Form of MT, for MT in MT(nxn)(C), dG(MT)의 condensation으로 나타낸 form
-Matrix Group관련
-GL(n,F):General Linear Group
-MT(F)(nxn)중 invertible인 것들만 모아서 만든 group, operation:matrix multiplication
-GL(n,F)^+:GL(n,F)중 det>0인 것들만 모아서 만든 subgroup
-SL(n,F):Special Linear Group
-GL(n,F)중에서 det=1인 것들만 모아서 만든 subgroup
-O(n,F):Orthogonal Group
-GL(n,F)중에서 MT*rt(MT)=rt(MT)*MT=IMT인 MT들만 모아서 만든 subgroup
-SO(n,F):Special Orthogonal Group
-O(n,F)중에서 det=1인 것들만 모아서 만든 subgroup
-O(n,k,F):Indefinite Orthogonal Group
-SO(n,k,F):
-Sp(2n,F):Symplectic group
-HSBG:Hisenberg Group
-UMT인데 대각성분은 1인(나머지 성분은 CR_[1]에서, 보통은 R(std)을 택함)
-E(n):Euclidean Group
-{f:R^n->R^n s.t. f:isometry and f:bijection} with composite
-Matrix에서의 특수한 연산
-KP(MT1,MT2):kronecker product, TP(f1,f2)의 matrix represent
-KS(MT1,MT2):kronecker sum, KP(MT1,IMT2)+KP(IMT1,MT2)
-Matrix norm관련(기존 norm에다가 submultiplicative일 때 생각하자.)
-대표적인 norm:l1, l2, LT로 봤을 때 operator norm, maximum row sum, maximum column sum, spectral norm,
-DSSMT:Doubly SubStochastic Matrix란, nnn entries and every row sum and every column sum <= 1
(동치인 게 MT:DSSMT if MT with nnn entries and te DSMT s.t. MT <= DSMT with <= entrywise)
-DQSMT:Doubly quasi-stochastic Matrix란 MT(nxn)(R) and every row sum = every column sum = 1
-DSPMT:Doubly Superstochastic Matrix란, nnn entries te DSMT s.t. MT >= DSMT with >= entrywise
(nnn entries and every row sum and every column sum >= 1 과 동치가 아님, 전자이면 후자인데 후자라서 전자가 안됨)
(따라서 DSPMT, DSSMT의 정의는 DSMT의 존재성으로 외워두기)
-DSMT:Doubly stochastic Matrix란 DQSMT인데 nnn entries
-the measure of irreducibility, μ(DSMT):=min over all nontrivial proper subset M of {1,2,3,...,n} sum over all i in M and j in {1,2,3,...,n}-M {DSMT_(i,j)}
-UDSMT:Unitary-stochastic matrix, DSMT인데 all entries are the squares of the absolute values of the entries of some UnMT, a_(i,j) = |u_(i,j)|^2
-ODSMT:Orthostochastic matrix, DSMT인데 all entries are the squares of the absolute values of the entreis of some OMT, a_(i,j) = |o_(i,j)|^2
-Dual Space관련
-(VS(F))^*:={all LF(VS(F))} dual space of VS(F)라 한다.
-dd(VS(F)):=double dual of VS(F)), 즉 dual의 dual
-f:VS1(F)->VS2(F)일 때 f^*, called dual of f
-f^*:(VS2(F))^*->(VS1(F))^*, f^*(g)=g o f
-Ev_VS(F):evaluation map, from VS(F) to dd(VS(F))
-Affine Space관련
-for S:a set, V:VS(F), S가 V-AS란(V가 앞에 달린, affine space), te a map f s.t. f:VxS->S, f(v,s)=v+s and f:left identity, associativity, uniqueness
(f:uniqueness란, for any s in S, f(*,s):V->S가 bijection일 때)
*Algebra Theory
-Algebra관련
-R-A:R-Algebra
-R:CR_[1]
-R-A=R-Md with A-multiplication satisfying bilinear
(A-Multiplication of x,y를 그냥 xy라 쓰자)
(xy를 commutator라 부르기도 한다. group에서 처럼)
(Algebra는 Ring이면서 Module인 것으로 이해)
-R-subA:R-subalgebra of R-A
-R-subMd s.t. closed under A-multiplication
-Associative R-A:Associative R-Algebra
-R-A이면서 A-multiplication이 associative with identity일 때
-F-A:Algebra over F
-자연스럽게 VS(F) with A-Multiplication satisfying bilinear
-F-A:simple
-te no nontrivial proper two-sided ideal and A-multiplication is not uniformly zero(즉 te a,b in F-A s.t. ab:nonzero)
-F-A:CSA(Central Simple Algebra over F)
-simple F-A with Z(F-A) isomorphic F
-[R-subA1, R-subA2]:the commutators subalgebra
-the subalgebra of R-A spanned by commutators xy where x in R-subA1, y in R-subA2
-Structure constants from F-A
-F-A이 f-dim일 때, basis의 원소들의 A-multiplication해서 basis로 나타냈을 때의 계수들을 structure constants라 한다.
(이것만 알면, 다른 vectors의 A-multiplication도 쉽게 할 수 있다. A-multiplication이 bilinear하므로)
(반대로 Structure Constants와 Basis와 몇개의 조건들을 통해 Lie F-A를 인위적으로 만들 수도 있다.)
-Z(R-A):the center of R-A
-{x in R-A s.t. xy=yx for all y in R-A}
-Lid of R-A:left ideal of R-A
-R-subA이면서 for any x in R-A, any y in Lid, xy in Lid일 때
-Rid of R-A:Right ideal of R-A
-id of R-A:ideal of R-A
-Lid 이고 Rid일 때
-for R:CR_[1], M:R-Md일 때 TA(M), tensor algebra of M이란
-direct sum of (R,M,TP(M,M),TP(M,M,M),...), R-A가 된다.(not commutative일 수 있음)
(multiplication은 이어붙이면서 tensor product한 것, 그래서 graded됨)
(R-Md를 algebra화 만들고 싶을 때 사용)
-for R:CR_[1], M:R-Md일 때, SA(M), symmetric algebra of M이란
-TA(M)/C(M), where C(M):=id generated by all elements of the form tp(m1,m2)-tp(m2,m1) for all m1,m2 in M
(commutative algebra가 될 수 있음)
-for R:CR_[1], M:R-Md일 때, EA(M), exterior algebra of M이란
-TA(M)/A(M), where A(M):=id generated by all elements of the form tp(m,m) for all m in M
-EA(VS(F))에서 k-vector란, kth exterior power of VS(F)의 원소를 가리킨다.
-F[[x]]:formal power series algebra
-F[[x]]:={sum over n>=0 a_n x^n s.t. a_n in F for all n}
(formal이란, convergence에는 관심없다는 것, 왜냐하면 x에 어떤 value도 넣지 않을 것이므로, 그저 coefficient에 관심)
-for f(x), f_n(x) in F[[x]], prod over n f_n(x) cv to f(x) if for any n, coefficient of x^n of f(x) = coefficient of x^n of prod over i=1 to i=N f_i(x) whenever N is sufficiently large
-for f(x) in F[[x]], deg(f(x))란, 계수가 0가 아닌 가장 낮은 차수의 degree
-F[[x]]:algebra of formal power series in x
-F[[x]]:={sum over α:cps c_α * x^α s.t. c_α in F and α_i = 0 for sufficiently large i}
-원소가 homogeneous of degree k란, 각 monomial의 degree가 k로 같을 때
-원소가 symmetric이란, preserved by any action by an element of S_[inf]
-m_ptt(x)란, monomial x^ptt을 포함하는 가장 작은 symmetric function in F[[x]], called monomial symmetric function corresponding to ptt
-Λ:subalgebra of F[[x]] spanned by {m_ptt(x) s.t. ptt:any partition}, called the algebra of symmetric functions
-p_n:=m_(n)(x), called the nth power sum symmetric function
-p_ptt:=prod over i>=1 p_(ptt_i)
-e_n:=m_(1,1,1,...,1)(x), called the nth elementary symmetric function
-e_ptt:=prod over i>=1 e_(ptt_i)
-h_n:=sum over ptt:ptt(n) m_ptt(x), called the nth complete symmetric function
-h_ptt:=prod over i>=1 h_(ptt_i)
-x^sst:=x_i를 sst에 적힌 i 개수만큼 곱한 것
-s_ptt:=sum over sst in SST(ptt) x^sst, called the schur function corresponding to ptt
-Quotient Algebra관련
-R-A/id:quotient algebra
-
-homomorphism관련
-ahomo:R-A1->R-A2 :Algebra homomorphism
-R-A1의 R과 R-A2의 R은 same ring
-ahomo satisfies linear, preserve A-Multiplication
-R-A1 aiso R-A2:Algebra isomorphic
-te ahomo s.t. bijective
-Aut(R-A):all automorphisms group on R-A
-
-derivation관련
-derivation of R-A
-f:R-A -> R-A s.t. f(xy)=xf(y)+f(x)y and linear, 이때 juxtaposition은 A-multiplication을 가리킴, 인 f를 derivation of R-A라 한다.
(f의 정의역과 공역이 같을 때)
(Lie Algebra에 대해선 juxtaposition에 Lie Bracket이용)
-nilpotent derivation of R-A
-f:derivation of R-A이고, f를 k번 합성했더니 zero function나오게하는 k가 존재한다면, f를 nilpotent derivation of R-A라 한다.
(도함수 구하는 연산자같은 것을 생각해보면 linear하면서도 반복하면 zero function나옴)
-Der(R-A):the collection of all derivation of R-A
-Lie Algebra관련(L:Lie algebra, Ll:Linear Lie Algebra)
-Lie F-A:Lie Algebra over F
-F-A이면서 A-multiplication이 alternating and jacobi's Identity 만족
(이때 A-multiplication of x,y를 특히 xy가 아닌 [x,y]라 쓰자.)
-id of L:Ideal of L
-vector subspace이면서 [L,id of L] < id of L일 때(subalgebra보다 강한조건)
(사실상 subalgebra가 되므로 정의할 때도 subalgebra라 해도 됐었음)
-[LL]:derived Algebra of Lie F-A
-the commutators subalgebras, 마치 group에서 C(G)과 유사.
([E1, E2]형태로도 정의가능, commutators참고)
(id of L됨)
-Simple L:Simple Lie Algebra over F
-non abelian L이면서 id of L가 0랑 자기자신뿐 일 때(simple group과 유사)
-General Lie Algebra, Linear Lie Algebra관련
-gl(VS(F)):General Lie Algebra over F
-End(VS(F)) as a Lie F-A with A-Multiplication [x,y]=x o y - y o x, using composite
(dim(VS(F))=n인 경우 gl(n,F)라 표현하고 원소는 matrix를 갖도록 하기도 함)
-Linear Lie F-A:Linear Lie Algebra over F
-gl(VS(F))의 F-subA
(Ll이라 쓰자, 필요하다면 Ll(VS(F)))
-sl(VS(F)):Special Lie Algebra over F
-gl(n,F)중에서 trace=0인 것들의 모임
-dim(VS(F))=n일 때 sl(n,F)라 쓰기도 함.
-sp(VS(F)):Symplectic Lie Algebra over F
-dim(VS(F))=n=짝수일 때만 정의, def은(link)
(nondegenerate skew-symmetric bilinear form은 항상 matrix form이 (0 1 -1 0)으로 가능하게 해주는 basis존재)
-o(2n+1,F):Orthogonal Lie Algebra over F
-dim(VS(F))=2n+1,홀수일 때만 정의, def은(link)
(nondegenerate symmetric bilinear form은 항상 matrix form이...)
-o(2n,F):Orthogonal Lie Algebra over F
-dim(VS(F))=2n,짝수일 때만 정의, def은(link)
-t(n,F):Upper triangular matrices
-gl(n,F)중에서 UMT모임
-n(n,F):Strictly Upper triangular matrices
-t(n,F)중에서 대각성분조차도 0인 UMT모임
-d(n,F):diagonal matrices
-t(n,F)중에서 DMT모임
-Abelian L
-[x,y]=0 for all x,y in L
-ad_(x,L):inner derivation
-for x in L, f:L->L, i.e f:y->brk[x,y]는 derivation이 되고 특히 inner derivation이라 한다.
(inner derivation을 제외한 derivation 모두는 outer derivation이라 한다.)
(brk[x,y]나 brk[y,x]나 어떻게 정의하든 derivation이 되긴 함)
-representation of L
-ahomo:L->gl(VS(F))가 존재한다면, 이 ahomo를 representation of L라 한다.
(그리고 이 때 VS(F)를 L-Md VS(F)라고 한다.
-adj representation of L:the adjoint representation of L
-map:L-> Der(L) s.t. map(x)=ad_(x,L), 이 map을 adj representation of L라 한다.
(representation of L의 예)
-Int(L):inner automorphisms group(char(F) = 0 일 때)(int(E)와 헷갈리지 말것, topology)
-Aut(L)중 exp(nilpotent inner derivation)형태를 inner automorphism of L라 하고 이것만을 모아서 만든 Aut(L)의 subgroup
-a seq of id, Id0=L, id1=[id0, id0], id2=[id1,id1]...
-Solvable L란
-Derived Series of L에서 idn=0 for some n 일 때
-e_(i,j):=(i,j)성분만 1이고 나머진 0인 MT
-for i<j, e_(i,j)의 level이란 j-i
-d_(i,j)=1(if i=j) otherwise, 0, 즉 kronecker delta function
-RadL:=the maximal solvable ideal(maximal dimension인 ideal 택한 다음에 그게 RadL됨을 보이면 되고, 유일성은 solvable id1+solvable id2=solvable id임을 이용)
-Semisimple L란
-RadL=0
-lower central series of L이란, group에서와 유사, denoted by L^n
-a seq of id, id0=L, id1=[L,id0], id2=[L,id1], id3=[L,id2], ...
-L이 nilpotent란,
-L^k=0 for some k
-Killing form on L이란(kf나 kf_L이라 하자.)(dimL<inf일 때 정의)
-kf_L:LxL->F, kf_L(x,y)=tr(adxady)(symmetric bilinear form on L이 된다.)
*Topology
-Space, subspace관련
-TS:Topological Space
-top_X:X에서의 topology
-weak top from C={f:a set X->TS}란, C의 원소들이 conti가 되게끔 하는 가장 smallest top_X
-E:basis for top이란
-모든 open set in top이 union of elements of E일 때(empty set 경우는 union of empty collection으로 보고)
-E(x):local basis for x in TS란
-C(x):={all nbd(x)}라 할 때,E(x):subset of C(x) s.t. for any a in C(x), te b in E(x) s.t. b<a
-Baire TS:Baire Space
-any c-union of closed sets with empty interior has empty interior.
(equivalently, Every nonempty open set is Second-category, 즉 countable union으로 표현됐으면 summand중 nonempty interior인게 존재)
-E:First-category
-E=c-union of nowhere dense subsets
-E:Second-category
-E:not First-category
-
-surface:top 2-mnf
-curve:top 1-mnf
-Order Topology관련
-Subspace관련
-Product관련
-Prod(TS_i):Product TS
-유한개의 open sets from each TS_i, 그외는 전체 TS_i를 택해서 얻은 sets의 collection을 basis로 하는 top
-Quotient관련
-QS(TS,~):Quotient Space from (TS,~)
-TS에 equivalence relation ~가 있을 때 canonical map f:TS->TS/~을 통해서 TS/~에 top을 준 TS를 QS라 한다.
-TS2 with QT(TS1,f):Quotient Topology on TS2
-J=TS2, f:TS1->J가 onto일 때 f를 통해서 J에 top을 준 topology를 Quotient Topology라 한다.
-QS(TS,E):Quotient Space from (TS,~) where ~의 equivalence classes가 E랑 E에 없는 singleton인 것들
-Saturation(E,~):Saturation of E
-Saturation(E,~):={x in TS where ~:equivalence relation s.t. x ~ a for some a in E}
(즉 E랑 relate된 것 모두 모은 것)
(f:TS->other TS인 경우의 Saturation(E,~)에서의 ~란, f^(-1)에 의해서 생긴 relation on TS를 생각)
-Saturation(E,~)=E일 때, E를 saturated라 한다.(즉 f:TS1->TS2, E:subset of TS1, E:saturated wrt f란, E=f^(-1)(f(E))일 때)
-Wedge Sum(Product) of {TS_i}란, disjoint union of TS_i한 다음에 각각 1개의 점을 TS_i에서 뽑아서 identification한 것, TS1VTS2혹은 V(TS_i)라 쓰자.
-Suspension of X란, SX라 쓰고, the quotient of Xx[0,1] obtained by collapsing Xx{0} to one point and Xx{1} to another point
-Cone of X란, CX라 쓰고, Xx[0,1]/Xx{0}을 가리킴, 즉 suspension은 two cone의 union
-Join of X,Y란, J(X,Y)라 쓰고, XxYx[0,1]을 quotient under the identifications (x,y1,0)~(x,y2,0) and (x1,y,1)~(x2,y,1)
-the join of n points is a convex polyhedron of dimension n-1이 되고 이걸 simplex라 부른다. Δ^(n-1)라 적는다.
-LKT2관련
-LKT2:locally compact Hausdorff space
-KT2관련
-KT2:compact Hausdorff space
-CGT관련
-CGT:Compactly generated Topological Space
-E:closed in TS iff for any K, K교E:closed in K
-Retract of TS
-retraction(TS,S)가 conti인게 존재하는 경우 S를 Retract of TS라 한다.
-구체적인 TS
-R(std):real with the standard topology
-{open intervals}을 basis로서 만든 top
-R(l):real with the lower limit topology
-{[a,b)}를 basis로서 만든 top
-Sorgenfrey Plane
-R(l)xR(l) with product top
-R(K):real with K-topology
-R(std)의 top의 각 원소에 {1,1/2,1/3,...}을 빼서 얻은 sets의 collection도 top에 추가시킨 top({1,1/2,1/3,...}을 K라 나타냄)
-Prod(R,n):R^n, with the product topology from the standard topology
-S_Z:minimal uncountable well-ordered set.
-(존재배경은 uncountable set에 well-ordering theorem적용)largest element의 section은 uncountable인데 그 외 section은 countable인 set
-LL:Long Line
-LL=S_Z x [0,1) with dictionary order with deleted smallest element
-Subset관련(open, closed, compact, connected, convex, dense...)
-Gd:countable intersection of open sets
-Fd:countable intersection of closed sets
-nbd(x):neighbourhood of x
-open(x)를 포함하는 set
-open(x):open set containing x
-x를 포함하는 open set
-{E_i}:cover of TS
-a collection of subsets {E_i} of TS s.t. union of E_i = TS
-{E_i}:open cover of TS
-cover of TS and each E_i:open in TS
-{E'_i}:refinement of cover {E_i}
-cover of TS and each E'_i is a subset of some set in old cover {E_i}
-operation on subset관련
-cl(E):the closure of E
-intersection of all closed sets containing E
-int(E):the interior of E
-union of all open sets contained in E
-ext(E):the exterior of E
-union of all open sets disjoint of E
-Bd(E):Boundary of E
-Bd(E):=cl(E) - int(E)
-E:dense in X
-cl(E)=X
-E:nowhere dense
-int(cl(E))=empty
-pre-K:precompact, i.e. closure가 compact인
-Limit point관련
-x:limit pt of E
-for any open(x), open(x) intersects E at some pt other than x
-Connected관련
-C:connected
-there is no separation
-separation {E1,E2} of TS
-{E1,E2}:a partition of TS s.t. E1:open, E2:open, 둘다 non-empty
-Compact관련
-K:compact
-for any open cover, there is finite subcover.
-E:Limit Point Compact
-임의의 infinite subset J of E has a limit point in E
-E:Sequentially Compact
-임의의 seq in E가 cv인 subseq(limit이 E에 있는)를 가짐
-E:countably compact
-every countable open cover has a finite subcover.
-E:paracompact
-Every open cover has a locally finite open refinement that covers TS
-E:σ-compact
-E=the countably union of compact subspaces
-{f_i}:a partition of unity on TS dominated by {E_i}, f_i:TS->[0,1], {E_i}:indexed open cover
-f_i:conti
-support of f_i < E_i for each i
-{support of f_i}_i:locally finite
-sum f_i (x) = 1 for each x in TS
(4개를 모두 만족할 때를 가리킨다.)
-Convex관련(오직 Strict Total Order Relation을 가진 E에서만 생각)
-V:convex subset(strict total order relation을 가진 E에서만 생각)
-for any x,y in V, (x,y) lies in V
-Local Property관련
-TS:locally connected at x
-TS has a basis at x whose consists of connected open sets
-TS:locally connected
-TS has a basis whose consists of connected open sets
-TS:locally path-connected at x
-TS has a basis at x whose consists of path-connected open sets
-TS:locally path-connected
-TS has a basis whose consists of path-connected open sets
-TS:locally simply connected
-for any x in TS, TS, te nbd(x) s.t. nbd(x):simply connected
-TS:locally compact at x
-te K containing open(x)
-TS:locally compact
-for all x in TS, x:locally compact
-TS1 locally homeo TS2:locally homeomorphic
-te f:TS1->TS2 s.t. for any x in TS1, te open(x) s.t. f(open(x)) is open is TS2 and restriction f on open(x) is homeomorphism
(이 때 f를 local homeomorphism이라 한다.)
-{E_i}:collection of subsets of TS가 locally finite
-for any x in TS, te nbd(x) s.t. nbd(x) intersects only finitely many E_i
-Countability관련
-first-countable
-every x in TS has a countable local basis(즉, any x, any open(x)에 대해 open(x)보다 작은 open(x)가 countable개 존재)
-second-countable
-TS has a countable basis
-separable
-TS has a countable dense set
-lindelof
-every open cover has a countable subcover
-Subsets E1,E2의 Separating관련
-E1,E2:topologically distinguishable
-te open set U s.t. U가 E1, E2중 1개만 포함하는
-E1,E2:separated
-cl(E1), cl(E2)가 disjoint
-E1,E2:separated by open nbd
-te open G1, open G2 s.t. G1은 E1포함하고 G2는 E2포함하고 G1, G2:disjoint
-E1,E2:separated by closed nbd
-te closed F1, closed F2 s.t. F1은 E1포함하고 F2는 E2포함하고 F1, F2:disjoint
-E1,E2:separated by conti function
-te conti f:TS->R(std) s.t. f(E1)=0, f(E2)=1
-E1,E2:precisely separated by conti function
-te conti f:TS->R(std) s.t. E1={x in TS s.t. f(x)=0} and E2={x in TS s.t. f(x)=1}
-T_n 분류법 관련
-T0:임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 topologically distinguishable
-T1:임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 separated
-T2:임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 separated by open nbd
-T2.5:임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 separated by closed nbd
-CT2(Completely Hausdorff):임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 separated by conti function
-RTS(Regular):임의의 closed E와 x(즉 E1:closed, E2={x})가 separated by open nbd
-RTS+T1이면 T3라 한다.(T0,T1,T2 중 어느것이 되도 상관없음, 이후 일관성 때문)
-CRTS(Completely Regular):임의의 closed E와 x(즉 E1:closed, E2={x})가 separated by conti function
-CRTS+T1이면 T3.5라 한다.(T0,T1,T2 중 어느것이 되도 상관없음, 이후 일관성 때문)
-NTS(Normal):임의의 closed E1, closed E2가 separated by open nbd
-NTS+T1이면 T4라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-CNTS(Completely Normal):임의의 separated E1, E2에 대해 E1, E2가 separated by open nbd일 때
-CNTS+T1이면 T5라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-PNTS(Perfectely Normal):임의의 closed E1, closed E2에 대해 E1, E2가 precisely separated by conti function
-PNTS+T1이면 T6라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-Sequence관련
-seq cv:converge
-sCez:R^N중 eventually zero인것들의 collection(유한개의 terms빼곤 다 0 term인 seq)
-sClz:R^N중 limit이 zero인것들의 collection
-sCcv:R^N중 cv하는 것들의 collection
-Directed Set, Net, Net Convergence관련
-Map관련(Conti, Homeo, Open map, closed map, quotient map, Projection, proper)
-conti:continuous
-f:TS1->TS2가 proper란, conti and f^(-1)(compact subset):compact일 때
-TS1 homeo TS2:TS1 is homeomorphic to TS2
-quotient map f:TS1->TS2
-f:conti and onto and for any subset E2 in TS2, f^(-1)(E2):open이면 E2:open in TS2
(-f:quotient map iff f:conti and f:surjective and f(saturated open set)=open set)
(-f:quotient map iff f:conti and f:surjective and f(saturated closed set)=closed set)
-topological embedding
-f:TS1->TS2, conti, injective일 때 range(f)를 f(TS1) with the subspace top으로 제한시켰을 때 homeo가 되면 f를 embedding이라 한다.
-Topological Properties관련
-topological property란, homeomorphism에 의해 preserve되는 topology로만 described되는 성질
-Compactification관련
-TS2=compactification of TS1란, TS2:LKT2이고 cl(TS1)=TS2일 때
-for two compactification of TS1, TS2,TS3가 equivalent란, te f:TS2->TS3 s.t. f:homeo and restriction of f on TS1 is identity일 때
-SCcl(TS), TS:T3.5일 때, Stone-Cech Compactification
-ocl:one-point compactification of LKT2
-Functions Collection관련(혹은 Functions Seq관련)(Domain과 Range에 Metric이 없어도 되는 경우)
-fC(J,TS):the collection of all functions from J to TS
-top of pt cv on fC(J,TS):topology of pointwise convergence on fC(J,TS)
-for any x in J, any open G in TS, S(x,G):={f in fC(J,TS) s.t. f(x) in G}인 {S(x,G)}:subbasis for top on fC(J,TS)인 top
-fC(TS1,TS2):the collection of all functions from TS1 to TS2
-fCconti(TS1,TS2):the collection of all conti functions from TS1 to TS2
-KG-top on fCconti(TS1,TS2):compact open topology on fCconti(TS1,TS2)
-for any K in TS1, any open G in TS2, S(K,G):={f in fCconti(TS1,TS2) s.t. f(K) in G}인 {S(K,G)}:subbasis인 top on fCconti(TS1,TS2)
-With Measure
-C4(TS):Borel sigma algebra
-BM:Borel Measure on TS ( (TS,C4) where C4(TS)<C4인 C4, 에서의 measure를 BM이라 정의하도록 하자.)
-inner regular BM이란, for any E in C4, BM(E)=inf{BM(U) s.t. U:open and E<U}
-outer regular BM이란, for any E in C4, BM(E)=sup{BM(K) s.t. K in C4 and K<E}
-r-BM이란, BM:inner regular and outer regular일 때
*Algebraic Topology+Differential Geometry
-Algebraic Topology의 의의:
Category {TS,conti}에서 Category {Group, homog}로 가는 functor를 찾는 것, 여기서 covariant, contravariant functor 등을 찾고 성질 조사
-Homotopy, Homotopy of Paths관련
-f1 =_homotopic f2
-f1:TS1->TS2, f2:TS1->TS2, f1,f2:모두 conti일 때 te conti F:TS1x[0,1]->TS2 s.t. F(x,0)=f1(x), F(x,1)=f2(x) for all x in TS1
(이 때의 F를 homotopy f1,f2라 하자.)
-homotopy f1,f2 relative to E
-(for E in TS1)homotopy f1,f2 s.t. for any t in [0,1], for any x in E, F(x,t)=f1(x)=f2(x)
-f1:nulhomotopic
-f1 =_homotopic f2에서 f2가 constant일 때
-initial point final point가 같은 path1, path2에 대해서 path1 =_phomotopic path2
-두 paths:[0,1]->TS이고 conti이고 te conti F:[0,1]x[0,1]->TS s.t. F(x,0)=path1, F(x,1)=path2, F(0,t)=x_0, F(1,t)=x_1 for all x, t
(이 때의 F를 phomotopy path1, path2라 하자.)
(즉 정의역이 [0,1]이면서 relative to {starting point, end point})
-[TS1,TS2]:=homotopy classes of conti maps of TS1 into TS2
-TS:contractible
-identity:TS->TS가 nulhomotopic일 때
-FHG(TS,x):First Homotopy Group of TS at x
-phomotopic classes of loop based at x where x in TS
(혹은 fundamental group of TS relative to the base point x라 한다.)
(TS:path-connected인 경우 FHG(TS)라고도 표현하기로 하자. base point가 중요하다면 언급)
-TS:simply connected
-TS:path-connected이고 FHG(TS,x)=trivial group for some x in TS일 때
-homo from (h,x_0)
-h:TS1->TS2, h(x_0)=y_0, h:conti일 때, H:FHG(TS1,x_0)->FHG(TS2,y_0), H:group homomorphism을 얻을 수 있고, 이것을 homo from (h,x_0)라 하자.
(TS1:path-connected였다면 homo from h만 써도 된다. base point x_0가 무엇이든 안중요함)
-TS1,TS2 have the same homotopy type
-te f:TS1->TS2 and g:TS2->TS1 s.t. f:conti, g:conti, (g o f) =_homotopic identity on TS1, (f o g) =_homotopic identity on TS2
(이때 f를 homotopy equivalence with g, g도 마찬가지로 부름)
-Fiber bundle관련(F,E,B:TS)
-motive:B에다가 F를 product한 product space보다 좀 더 일반적인 걸 도입하고 싶음, 예를 들면 Mobius strip은 cylinder랑은 다르게 global parametrization이 안됨, E를 B의 각점에 F를 붙여서 만든 건데, E의 local은 (B의 open x F)이지만, E=BxF는 아닌 경우 고려하기 위함, 즉 주 관심은 E
-(E,p,B):F-bundle이란(p^(-1(b), F 모두 fiber라 부름, 왜냐하면 homeo니까 구분 안함)
-p:conti(surjective는 당연, bundle이므로), 즉 E의 B부분의 좌표는 항상 안다는 것
-every fiber is homeo to F, 즉 E는 B의 각 점에다가 F를 붙인 것
-for any x in E, te (U,V,f) s.t. U:p^(-1)(V)(따라서 nbd(x)), V:nbd(p(x)), f:U->VxF, homeo and proj_1 o f =p
((V,f)를 local trivialization이라 한다.)
((B,f_x) as local trivialization으로 잡을 수 있다면 (E,p,B):F-trivial bundle이라 한다.)
-(E1,p1,B1):F1-bundle (E2,p2,B2):F2-bundle일 때 f:E1->E2, g:B1->B2 s.t. p2 o f = g o p1일 때, (f,g)를 bundle map이라 한다.
-g는 f에 의해 determined되므로 f를 bundle map이라 하자.
-f^(-1)도 bundle map되면, f를 bundle isomorphism이라 한다.
-(E,p,B):R^k(std)-vector bundle이란
-(E,p,B):R^k(std)-bundle
-every fiber has the structure of a k-dim VS(R), 즉 fiber가 R^k(std)와 homeo이고 linear iso
-local trivialization (V,f), restriction of f on fiber가 linear isomorphism
(k=1일 때 line bundle이라 한다.)
-(E1,p1,B1), (E2,p2,B2)가 vector bundle일 때는 기존 bundle map f가 다음을 만족할 때 bundle map이라 한다.
-restriction of f on fiber가 linear map일 때
-for U:open in B, local section of p over U이란, f:U->E s.t. p o f = id_U
-global section of p란, f:B->E s.t. p o f = id_B
-for U:open in B, local frame for E over U란, ordered-tuple of local sections of p over U s.t. ordered tuple at b = basis for p^(-1)(b) for each b in U
(U=B일 땐 global frame for E라 한다.)
(sections가 smooth로 이루어져있으면 smooth local/global frame이라 함)
-(M1,p,M2):smooth R^k(std)-vector bundle이란
-(M1,p,M2):R^k(std)-vector bundle이고
-p:smooth
-local trivialization이 diffeo도 되게 choose할 수 있을 때
-(E1,p1,B1), (E2,p2,B2)가 smooth vector bundle일 때는 기존 bundle map f가 다음을 만족할 때 bundle map이라 한다.
-restriction of f on fiber:linear이고
-f,g:smooth일 때
-f^(-1)도 bundle map이고 f가 diffeo이면 f를 smooth bundle isomorphism이라 한다.
-SGS(p):the set of all smooth global sections:M2->M1
-(TM,p,M)관련
-TM=disjoint union of the tgs_p at all p in M, TM은 smooth mnf될 수 있꼬 p:TM->M natural projection은 smooth map이 된다.
-section of p를 이경우 특별히 Vector Field라 한다. vf_U(x), vf_U:U->TM, (U:open in M)
-for any f in C^inf(U), vf_U(f):U->R(std), 따라서 vf_U:C^inf(U)->C^inf(U)이고 derivation이다.
(rv-bundle다른 것과는 특별히 구분되는 성질, TM에서의, section이면서 derivation이다.)
-SGS(p)를 VF(M)라 하자. 즉 all smooth vf on M
-F:M1->M2, smooth, vf1 in VF(M1), vf2 in VF(M2)일 때, vf1,vf2:F-related란
-for any x in M1, pf_x(F)(vf1(x))=vf2(F(x))
-local frame for M, 더이상 말하지 않아도 (TM,p,M)에서의 local frame을 가리킨다.
-global frame for M도 마찬가지
-M:parallelizable이란, smooth global frame for M이 존재할 때
-(CTM,p,M)관련
-CTM은 disjoint union of the ctgs_p at all p in M, CTM은 smooth mnf될 수 있고, p:CTM->M natural projection은 smooth map이 된다.
-section of p를 이경우 특별히 Covector Field라 한다.
(cvf_U(x)대신에 cvf_(U,x)라 쓰자. (x)라 쓰면 linear functional에 x넣은 것과 오해됨 (U:open in M)_
(혹은 cvf_U, cvf_x만 쓰기로 하자.)
(별말 없으면 smooth cvf만 생각)
-local frame for M을 CTM에서는 local coframe for M over U라고도 한다.
-global coframe for M도 마찬가지
-SGS(p)를 CVF(M)라 하자. 즉 all smooth cvf on M
(cvf를 생각시 가장 중요한 application은 first partial derivatives가 component of cvf로 간주될 수 있다는 것이다.)
-for U:open in M, x in U, f in C^inf(U), df_(U,x)란? called the differential of f
-df_x:tgs_x(M)->R(std), df_x(tgv_x):=tgv_x(f)
(vf_U에 f 넣은것과 비교)
(즉 pf_x(f)인 것, 단지 f의 codomain이 R(std)일 땐 differential이라 부르자는 것)
-for any x in M, cvf_(M,x) = df_x일 때, cvf를 exact라 한다. 그리고 f를 cvf의 potential이라 한다.
-for any x in M, cvf_(M,x)가 conservative란, lint over any closed piecewise smooth curve segment cvf is zero일 때
-cvf가 closed란, chart잡고 coordinate로 표현했을 때, 계수들의 미분이 뭔가 만족할 때(link)
-Covering관련
-(f:TS1->TS2, conti, onto일 때)E:open in TS2가 evenly covered by f
-f^(-1)(E)=union of disjoint open sets in TS1 where the restriction of f on each open set is a homeomorphism onto E
-f:TS1->TS2:covering map of TS2
-f:conti, surjective, for any y in TS2, te open(y) s.t. open(y):evenly covered by f일 때 f를 covering map of TS2라 하고 TS1을 covering space라 한다.
(주관심은 TS2)
(즉 total=TS1, base=TS2, projection=f(local homeo인)이고 fiber=discrete인 fiber-bundle이다.)
-lifting correspondence_(f,x1)
-f:TS1->TS2:covering map of TS2, f(x1)=x2일 때, h:FHG(TS2,x2)->f^(-1)(x2) s.t. h([loop]):=the end point of lift(loop) to TS1인 h를 lifting correspondence_(f,x1)라 한다.
(lifting correspondence는 x1의 choice에 depend)
-f:TS1->TS2 covering map of TS2, TS2가 simply connected이면 TS1을 universal covering space라 한다.
-Deformation관련
-S:Deformation Retract of TS
-te homotopy identity on TS, retraction(TS,S)
(이 homotopy를 Deformation Retraction of TS onto subspace S라 한다.)
-S:Strong Deformation Retract of TS
-te homotopy identity on TS, retraction(TS,S) s.t. F(x,t)=x for all t, for all x in S
-Topological Group관련
-TG:topological group
-G이고 having two operation(multiplication, inversion) s.t. multiplication:GxG->G, inversion:G->G 각각 continuous게 되게하는 top을 가진 TS, 즉 G이면서 TS
-subTG:subgroup of TG
-topological subspace이면서 subgroup인 경우
-homotg:TG1->TG2 homomorphism of TG1, TG2
-homog이면서 continuous
-SME:Symmetric Subset E
-E=E^(-1)일 때 E를 symmetric이라 한다. (E^(-1):={g^(-1) s.t. g in E})
(혹은 inversion에 preserve되는 subset)
-SME(g):Symmetric subset 이면서 nbd(g)인 것, 특히 SME(e)를 많이 씀
-Topological Manifold관련
-top n-mnf:topological manifold of dimension n
-T2이고 second-countable이면서 locally euclidean of dimension n
(locally euclidean of dimension n이란, every x in top n-mnf has open(x) that is homeo to an open subset of R^n(std))
-chart(top n-mnf, open, f):a coordinate chart on top n-mnf
-(open,f)를 가리킨다. where open:open set in top n-mnf이고 f:open->an open in R^n(std)가 homeomorphism
(top n-mnf정의에 따라, for any x in top n-mnf, te open(x) s.t. open(x):domain of a chart)
(open을 coordinate domain이라 한다. f를 (local)coordinate map이라하고, f의 component functions을 local coordinates on open이라 한다.)
(f(open):open ball일 땐 open을 coordinate ball이라 한다.)
-chart(top n-mnf, open, f)가 centered at p란
-te p in coordinate domain s.t. f(p)=0
-orientable top n-mnf란, te maximal atlas s.t. all transition functions have positive jacobian matrix
-Smooth Manifold관련(Topological Manifold+Smooth Structure)
-transition(chart1,chart2):transition map from chart1 to chart2
-chart1과 chart2가 같은 top n-mnf의 chart이고 각각의 coordinate domain U1, U2 coordinate map f1, f2라 할 때, f2 o (f1)^(-1) : f1(U1교U2)->f2(U1교U2)
(편의상 transition((U1,f1),(U2,f2))라 쓰기로 하자.)
(정의로부터, transition은 homeo이다.)
-chart1, chart2:smoothly compatible
-chart1(top n-mnf,U1,f1), chart2(topn-mnf,U2,f2)일 때, U1교U2=empty or transition(chart1,chart2):diffeo일 때
-atlas(top n-mnf):atlas for top n-mnf
-collection of charts whose coordinate domains cover top n-mnf(즉 union해서 전체 space일 때)
-smooth atlas(top n-mnf)란
-any two charts in atlas가 smoothly compatible
-maximal atlas(top n-mnf)란
-smooth atlas(top n-mnf)이면서 not contained in any strictly larger smooth atlas(complete smooth atlas(top n-mnf)라고도 함)
(이때 maximal atlas의 원소를 smooth chart라 한다.)
-(top n-mnf, maximal atlas), 이 2개가 함께 있을 때 smooth manifold라 한다. maximal atlas를 explicitly 표현할 필요는 자주 있지 않음, mnf라 하자.
(smooth란 말 없이 쓰자, 자주 나오므로)
-prod(mnf1,mnf2)란, cartesian product하면 top-manifold되고, smooth structure는 다 product map으로써 만든 것
-for any V:f-dim VS(R(std)), te standard smooth structure on V
(any norm은 equivalent이니까 아무 norm잡아서 만든 top는 다 같고, 이후 smooth structure를 만들면 된다.)
(atlas를 어떻게 주냐면 n=dim(V)일 때 basis for V를 잡을 때 마다 생기는 E:V->R^n(std), linear isometry(homeo도 되는), {(V,E)}로 atlas)
(어떤 basis를 잡더라도 같은 smooth structure를 주므로 natural한 개념임)
-function on mnf(M:mnf)
-f:M->R^m(std)가 smooth란, for any x in M, te smooth chart (U,g) s.t. x in U and f o g^-1:g(U)->f(U)가 smooth(R^n->R^m의 smooth)일 때
-C^inf(M)이란, {f:M->R(std) s.t. f:smooth}의 모임
-f:M1->M2가 smooth란, for any p in M1, te smooth charts (U,g) in M1 containing p and (V,h) in M2 containing f(p)
s.t. f(U)<V and h o f o g^(-1):g(U)->h(V)가 smooth일 때
(이 때 M1이 interval in R(std)일 때 f를 smooth curve라 한다.)
-f:M1->M2가 diffeo란, bijective이고 smooth이고 inverse도 smooth일 때
-for smooth f:M1->M2, rank of f at p in M1이란, pf_p(f)가 linear map이 되는데 그것의 rank를 가리킴
(for any p in M1, rank of f가 일정하면 f has constant rank라 하고, rank(f)=k라 적는다.)
-for smooth f:M1->M2, f가 submersion이란, pf_p(f)가 surjective for any p in M1일 때(constant rank인)
-for smooth f:M1->M2, f가 immersion이란, pf_p(f)가 injective for any p in M1일 때(constant rank인)
-for smooth f:M1->M2, f가 smooth embedding이란, f가 topological embedding이면서 immersion일 때(constant rank인)
-for smooth f:M1->M2, p in M1일 때 p:regular pt of f란, pf_p(f)가 surjective일 때
(p:critical pt of f란 not regular pt일 때)
-for smooth f:M1->M2, p in M2일 때 p:regular value of f란, f^(-1)(p)의 모든 점이 regular pt of f일 때
(그리고 그 때 level set를 regular level set이라 한다.)
(p:critical value of f란 not regular value of f일 때)
-기타:
-section(vf,cvf),frame
-Line Integral of covector field w on M over smooth curve r in M
-r:[a,b]->M, smooth, w:cvf_(M)일 때 lint over r w := lint over [a,b] pb_(r)(w2) = int from a to b w2_(r(t))(r'(t))dt
(Line integral of scalar field f on M over smooth curve r in M은 lint over r f = int from a to b f(r(t))r'(t)dt)
(Line integral of vector field vf on M over smooth curve r in M는 lint over r vf = int from a to b <vf(r(t)),r'(t)> dt)
-function on C^inf(M)(M:mnf)
-for smooth f:M1->M2, pullback of f란, pb(f):C^inf(M2)->C^inf(M1)
-for smooth f:M1->M2, pullback of f at f(p)란, pb_(f(p),f):ctgs_f(p)(M2) -> ctgs_p(M1), pf_p(f)의 dual로써 정의됨
-for M:mnf, p in M
-derivation at p란, A:C^inf(M)->R(std), linear, A(fg)=f(p)A(g)+A(f)g(p) 인 A를 가리킴
-tgs_p(M):={all derivation at p}, called tangent space at p, 그리고 원소를 tangent vector at p라 함
(tgs_p(M)의 원소를 tv_p라 하자.)
-for M:mnf
-derivation이란, A:C^inf(M)->C^inf(M), linear, A(fg)=fA(g)+A(f)g for all f,g in C^inf(M)
(vf가 derivation의 예)
-function on tgs_p(M)(M:mnf)
-for smooth f:M1->M2, pushforward of f at p란, pf_p(f):tgs_p(M1)->tgs_f(p)(M2),
-ctgs_p(M):=(tgs_p(M))^*, dual space, called cotangent space at p
(ctgs_p(M)의 원소를 ctv_p라 하자.)
-for f in C^inf(U), df_p:tgs_p(M)->R(std)
-submanifold관련(M:n-mnf, E:subset of M)
-for E:open in M, E:open submanifold of M(atlas를 아주 자연스럽게 주면 됨)
-E:embedded k-submanifold of M
-for any x in E, te smooth chart (U,g)
s.t. x in U and g(U교E)={(x_1,x_2,...,x_k,x_(k+1),...,x_n) s.t. x_(k+1)=c_(k+1), x_(k+2)=x_(k+2), ... ,x_(n)=c_n for some constants c_i}
(이때 n-k를 codimension of E in M이라 한다.)
(embedded (n-1)-submanifold of M을 embedded hypersurface라 한다.)
-E:Immersed k-submanifold of M
-E with a k-manifold topology(not necessarily the subspace topology)
together with a smooth structure s.t. inclusion:E->M가 smooth immersion
-covering관련(M:mnf)
-f:M1->M2가 smooth covering map of M2란
-f:M1->M2에서의 covering map of M2이면서 local diffeo일 때(즉 every p in M1 has a nbd(p) s.t. restriction of f onto nbd(p):nbd(p)->its image : diffeo)
-tgs, ctgs, vf, df등에 관한 이해
-고려대상:M, M위의 점, M위의 함수, M위의 점마다 방향
-연습대상:p, tgs_p, vf_U(x), vf_U(f), df_p, ctgs_p, cvf_(U,x), cvf = a dx + b dy
-Complex manfiold관련
-for X:TS, complex chart on X란, f:U->V, U:open in X, V:open in C, f:homeo일 때, f를 가리킨다.
-chart1, chart2가 compatible이란, chart2 o chart1^(-1)가 holomorphic일 때(혹은 정의역이 공집합이거나)
-complex atlas on X란 pairwise compatible complex charts의 collection이고 domain의 union이 X일 때
-A complex structure on X란, a maximal complex atlas on X
-Riemann Surface란, T2이고 second-countable이고 complex structure를 가질 때 그리고 connected
(즉 complex manifold of dimension one을 가리킨다.)
(connected일 때를 주로 다루니 connected도 포함시키는게 편해서 넣은 것)
-Complex Plane이란, C(as topologically R^2(std))에서 {f:U->V s.t. U:open in R^2(std), V:open in C, f(x,y)=x+yi}을 complex structure로 가질 때의 C를 가리킨다.
-Riemann Sphere란, UO2 with complex structure {f:UO2 - {(0,0,1)} -> ~~, g:UO2 - {(0,0,-1)} -> ~~}
-An n-dimensional complex manifold란, T2이고 second-countable이고 n-dimensional complex structure를 가질 때 그리고 connected
-Lie Group관련(M:mnf)
-LG:Lie group이란,
-LG:smooth manifold and group(multiplication과 inverse가 smooth map인)
-f:LG1->LG2가 homoLG란(called Lie group homomorphism)
-f가 homog이면서 smooth
-f:LG1->LG2가 lgiso란(called Lie group Isomorphism)
-f가 homog diffeo이고 inverse도 homog diffeo
-act_M by LG:conti란, LGxM->M이 conti(M:LG-space라 한다.)
-이 때 M을 LG-Space라 함
-act_M by LG:smooth란, LGxM->M이 smooth(M:smooth LG-space라 한다.)
-이 때 M을 Smooth LG-space라 함
-LG:discrete란
-countable set with discrete top(따라서 zero-dimensional인 LG)
-subLG of LG란
-subLG:subset of LG and inclusion이 immersion이고 homog일 때
-for vf in VF(LG), vf가 left-invariant, L_g:LG->LG, L_g(g1)=g*g1, 즉 left translation by g라 할 때, pf(L_g)(vf_g1)=vf_(g*g1) for all g, g1 in LG일 때
-Lie(LG):={all left-invariant vf}, called Lie algebra of LG라 한다.
-left-invariant frame of LG란, Lie(LG)의 basis로 만든 smooth global frame을 가리킨다.(LG는 항상 parallelizable이라 가능)
-M1:LG-space, M2:LG-space일 때 F:M1->M2가 equivariant란
-F(gp)=gF(p) for all g in LG, p in M1
*Metric Space
-Space관련
-(MetricS,d):Metric Space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 MetricS라 하자.
-(CMetricS,d):complete metric space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 CMetricS라 하자.
-every cauchy seq in (MetricS,d) cv일 때.
-(KMetricS,d):Compact Metric Space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 KMetricS라 하자.
-cl(MetricS):the completion of MetricS
-f:(MetricS1,d1)->(CMetricS2,d2)이 isometry일 때, cl(f(MetricS1))를 completion of MetricS1이라 한다.
-totally bdd:totally bounded
-(MetricS,d)가 totally bdd란 for any eps>0, te finite covering by eps-balls.
-Metric관련
-d_sb:the standard bounded metric corresponding to d.
-d_sb(x,y):=min(1,d(x,y))
-diam(E):diameter of E
-diam(E):=sup{d(x,y)} over x in E and y in E
-isom(MetricS1,MetricS2):isometry from MetricS1 to MetricS2
-distance preserving하는 f:(MetricS1,d1)->(MetricS2,d2)
-Continuous, Map관련
-uni conti:uniform continuous
-contraction on (MetricS,d)
-f:(MetricS,d)->(MetricS,d), te 0<=a<1 s.t. for all x,y in (MetricS,d) d(f(x),f(y))<=a*d(x,y)일 때, f를 contraction on (MetricS,d)라 한다.
-Functions collection관련(혹은 functions seq관련)(Range에 Metric이 있는 경우)
-fC(J,MetricS)에서 정의되는 것들
-{f_n}이 uni cv:uniformly convergence of functions seq
-E:subset of fC(J,(MetricS,d)), E가 pt bdd란, for any x in J, any f in E, {f(x)}:bdd under d일 때
-d_uni:the uniform metric on fC(J,(MetricS,d))
-for f1, f2 in fC(J,(MetricS,d)), d_uni(f1,f2):=sup(d_sb(f1(x),f2(x)) over x in J
(이걸로 만든 top을 uni top이라 한다.)
-fC(TS,MetricS)에서 정의되는 것들
-top of K cv on fC(TS,(MetricS,d)):topology of compact convergence
-for any compact K in TS, any f in fC(TS,(MetricS,d)), any eps>0, B(K,f,eps):={g in fC(TS,(MetricS,d)) s.t. d_sup(f,g)<eps}인 {B(K,f,eps)}:basis for top on fC(TS,(MetricS,d))인 top
-fCbdd(J,MetricS)에서 정의되는 것들
-d_sup:the sup metric on fCbdd(J,(MetricS,d))
-for f1, f2 in fCbdd(J,(MetricS,d)), d_sup(f1,f2):=sup(d(f1(x),f2(x))) over x in J
-fCbdd(TS,MetricS)
-fCconti(TS,MetricS)에서 정의되는 것들
-equiconti at x:equicontinuous at x
-x in TS, E:subset of fC(TS,(MetricS,d)), E가 equiconti at x란 for any eps>0, te nbd(x) s.t. for any f in E, any y in nbd(x), d(f(y),f(x))<eps
(at x가 없단 말은 for all x in TS인 경우)
-fCcontibdd(TS,MetricS)
-fCcontiV(TS, R(std)):the collection of all conti functions from TS to R(std) s.t. eps {x in TS||f(x)|>=eps} is compact
-E:subset of fCcontiV(TS,R(std))가 vanish uniformly at infinity란 for any eps>0 te K in TS s.t. |f(x)|<eps for any f in E any x in TS-K
-fCcontiV(TS, C):the collection of all conti functions from TS to C s.t. eps {x in TS||f(x)|>=eps} is compact
-fCcontiKS(TS,R(std)):the collection of all conti functions from TS to R(std) with compact support
-fCcontiKS(TS,C):the collection of all conti functions from TS to C with compact support
*Topological Vector Space
-Space관련
-TVS(F):topological vector space over F
-vector space over F이면서 vector addition이랑 scalar multiplication이 conti인 top을 갖고 있을 때
(이 때 F 자체도 usual top을 갖고 있을 때를 생각하고, vector addition, scalar multiplication의 각 domains은 product top을 생각)
(te B_0 s.t. elements가 symmetric and balanced, absorbing,
-LCTVS:locally convex TVS
-te B_0 s.t. elements가 convex인
-LBTVS:locally bounded TVS
-te E in B_0 s.t. E:bounded
-LKTVS:locally compact TVS
-te E in B_0 s.t. E:pre-K
-NMTVS:normable TVS
-it can be endowed with a norm whose induced metric is compatible with 기존 top
-Subset관련
-B_0:local basis for 0
-E:bdd란, for all O:nbd(0), te a in F s.t. aE<O
-E:blc란(balanced), for all a in F s.t. |a|<=1, aE<E
-E:symmetric이란, E=(-E)
-GV:open convex subset
-supporting function
-sf(GV):supporting function of open convex GV containing 0(set function을 가리키는 sf와 헷갈리지 않도록)
-sf(AV):supporting function of absorbing convex AV containing 0
-(TVS)^*관련, Dual
-LF(TVS)가 conti란,
*Normed Vector Space
-Space관련
-NVS(F):normed vector space over F(별말없이 BS는 over R)
-VS(F), F:subfield of C, with norm || ||
-norm은 3가지 조건 만족(separates pts, absolute homogeneity, triangle inequality)하는 || ||:VS(F)->nnn R인 function
(Vector Space에 Norm이 있어서 Metric생기고 그래서 topology도 있는 상황, NVS의 이해)
(NVS(R(std))와 NVS(C)위주로 정리, 그 외는 생각하지말고)
(별말없으면 zero VS는 생각하지 않도록 한다. 그래야 불필요한 명제가 없어진다.)
-completion of NVS(F):NVS를 포함하면서 가장 작은 BS
-seq {x_n} in NVS가 abs cv란 sum from i=1 to i=inf ||x_n||가 finite
-NVS(F)의 2 norms가 equivalent
-|| ||_1과 || ||_2이 equivalent if te L>0 and U>0 s.t. for x in NVS(F), L||x||_1<=||x||_2<=U||x||_1
-NVS:uniformly convex란
-for any 0<eps<=2, te 0<d<=1 s.t. for any x,y in NVS with ||x||=1 and ||y||=1, if ||x-y||>=eps, then ||(x+y)/2||<=1-d
(not uniformly convex의 예로는 R^2(std)에서 square metric줬을 때 생각, 하지만 ball metric일 땐 uniformly convex됨)
-BS(F):Banach Space over F(별말없이 BS는 over R), complete NVS(F)
-NVS(F)는 norm이 있으니까 metric이 있고 따라서 top이 있고 그 top이 complete(cauchy seq는 cv)할 때
-NVS:reflexive란, Ev_NVS가 onto일 때, 즉 NVS iiso dd(NVS)일 때(따라서 사실 NVS가 reflexive이면 일단 BS였었던 것)
-Semi IPS(F):VS(F) with semi-inner product <,>
-<x,x> = 0 이라해서 x=0인진 모름
-IPS(F):inner product space over F
-F는 C or R(std)이고 VS(F) with inner product <,>:VS(F)xVS(F)->F
-inner product는 symmetric bilinear form with positive-definite or Hermitian form with positive-definite(따라서 form의 용어들을 그대로 쓸 수 있음)
-for x,y in IPS(F), x,y:orthogonal이란 <x,y>=0
-for E1, E2 subsets of IPS(F), E1,E2:orthogonal이란, for any x1 in E1, x2 in E2, <x1,x2>=0
-for E subset of IPS(F), E:orthogonal set이란, for any distinct x,y in E, <x,y>=0
-for f:LT(IPS(F))일 때 adjoint of f란?(adj(f)라 쓰자.)
-<f(v1),v2>=<v1,adj(f)(v2)> for all v1,v2 in IPS(F)일 때 LT(IPS(F))인 adj(f)를 가리킨다.
-for f:LT(IPS(F))일 때 f:self-adjoint(혹은 hermitian이라고도함)란?(f=adj(f)라 쓰든가, f in HLT(IPS(F))라 하자. H는 Hermitian이라 함)
-adj(f)=f일 때
-for f:LT(IPS(F))일 때 f:unitary란
-f:ipiso on IPS(F)
-for f:LT(IPS(F))일 때 f:strictly monotone이란
-for any distinct x,y in IPS(F), <f(x-y),(x-y)> > 0일 때
-for IPS(F):G-Md, <,>가 G-invariant란
-<v1,v2>=<gv1,gv2> for all v1,v2 in IPS(F), for all g in G
-for IPS1(F), IPS2(F)가 ipiso란
-f:IPS1(F)->IPS2(F), isomorphic as a vector spaces and f preserve inner product인 f가 있을 때(iiso보다 강한 조건)
-HS(F):hilbert space
-IPS(F)가 inner product를 갖고있으니 norm을 갖고 따라서 metric을 갖고 따라서 top을 갖고 그 top이 complete(cauchy seq는 cv)할 때
-Transformation관련
-LT(nvs1,nvs2)인 F가 bdd
-te C>=0 s.t. for any x in nvs1, ||F(x)||_2<=C*||x||_1
(즉 bdd에서의 F값은 bdd하게)
-LT(nvs1,nvs2)인 F의 norm정의될 수도 있음 using || ||_1 and || ||_2
-||F||:=inf{C>=0 s.t. ||F(x)||_2<=C*||x||_1}
(||F||<inf인 F를 bdd라 하는 것)
-LT(nvs1,nvs2)인 F가 linear isometry란
-||F(x)||_2=||x||_1 for any x in nvs1(이경우 F는 injective가 자동으로 됨)
-Continuous, Isomorphic관련
-NVS1 tiso NVS2:NVS1, NVS2 are topologically isomorphic
-isomorphic as vector spaces and homeomorphic as topological spaces using one mapping
(즉 bijective, linear, conti이면서 inverse도 linear, conti인 map존재)
-NVS2 iiso NVS2:NVS1, NVS2 are isometrically isomorphic
-isomorphic as vector spaces and isometric as metric spaces
(즉 bijective, linear, isometry이면서 inverse도 linear, isometry인 map존재)
-Functions Collection관련
-LTCconti(NVS1,NVS2):collection of all conti LT(NVS1,NVS2)
-About BS
-
-About LT(BS1,BS2)
-f:LT(BS1,BS2)가 compact란, for any bdd subset E1 in BS1, f(E1):pre-K
(특히 inclusion이 compact일 땐 BS1 <_compact BS2라 하자.)
-About topologies
-top1:=NVS를 TVS로 봤을 때 얻은 top
-top2:=weak top from (NVS)^*(weak top of X라 함)
-top3:=induced from norm(strong top이라 함)
-for {x_n} in X:NVS, {x_n}:cv weakly to x란, {x_n}:cv in the sense top2 to x, 즉 for any f in X^*, lim n->inf f(x_n) = f(x)
-X:NVS, E:weakly bdd란 if for any x in E, sup over all f in X^* |f(x)|<inf
-About nvs^*, Dual space관련
-(nvs(F))^*:={all bdd LF(nvs(F))} dual space of nvs(F)라 한다.
(주의:bdd한 LF모은 것임)
-top1:=
-top2:=weak top from {Ev_X(x)}(weak^* top of (NVS)^*라 함)
-top3:=weak top from (NVS)^**(weak top of (NVS)^*라 함)
-top3:=induced from norm in (NVS)^*
-for {f_n} in (X:NVS)^*, {f_n}:cv weak^* to f란, {f_n}:cv in the sense top2 to f, 따라서 for any x in X, lim n->inf f_n(x) = f(x)
*Applications
*Combinatorics
-분할 관련
-ptt(n):partition of n>=1 integer
-a decreasing seq of positive integer whose sum is n
-ptt(n)=(a1,a2,a3,...,ak)로 표현하거나, ptt(n)=(a1번,a2번,...,ak번), 후자는 1이 a1번, 2가 a2번, ...쓰였는 ptt(n)를 가리킴
-ptt'(n)=(a'1, a'2, ..., a'k)라 하면, ptt(n)의 transpose를 가리킴,
-ptt(n)_k:partition of n into exactly k parts
-ptt(n)_o:partition of n with all parts odd
-ptt(n)_e:partition of n with all parts even
-ptt(n)_d:partition of n with all parts distinct
-PTT:=the set of all partitions
-PTT(n):=the set of all partitions of n
-PTT has partial order
-lexicographic order <_lexi, ptt1 <_lexi ptt2 if te k in N s.t. ptt2_k > ptt1_k and ptt2_i = ptt1_i for i<k
-dominance order <_d, ptt1 <_d ptt2 if for any k>=1 sum from i=1 to i=k ptt2_i >= sum from i=1 to i=k ptt1_i
-cps(n):composition of n>=1 integer
-a seq of positive integer whose sum is n
-#ptt(n):the number of all partitions of n>=1
-rank of ptt:rank of partition, largest part - part개수, 즉 ferrar diagram으로 봤을 때, 1행크기 - 행 개수, 즉 가로 - 세로
-C(n,k):n choose k
-CC(n,k):n choose k with repetitions
-DF(m,n):decreasing factorial
-DF(m,n):=m * (m-1) * ... * (m-(n-1))
-IF(m,n):increasing factorial
-IF(m,n):m * (m+1) * ... * (m+(n-1))
-Q-analog관련
-[n]_q:q-number of n
-[n]_q:=(1-q^n)/(1-q)
-[n]_q!:q-factorial
-[n]_q!:=[1]_q * [2]_q * ... * [n]_q
-DF(m,n)_q:q-shifted factorial
-DF(m,n)_q:=(1-m) * (1-m*q) * (1-m*q^2) * ... * (1-m*q^(n-1))
-C(n,k)_q:q-binomial coefficients
-C(n,k)_q:=[n]_q!/([n-k]_q! * [k]_q!)
-ef(q):Euler function
-ef(q):=prod over n>=1 (1-q^n) = (1-q)(1-q^2)(1-q^3)...
-Polygonal Number
-P(s,n), 정 s각형을 n번 gnomon해서 만들었을 때 vertex 개수
-s=3일 때 triangular number, s=4일 때 square number, s=5일 때 pentagonal number
-s=5일 때 n=0, -1, -2, ...에서의 값도 생각한다면 generalized pentagonal number라 한다.
-Generating Function of some objects
-gf_obj(x):generating function of obj with variable x
-Tableaux
-Tb(a1,a2,a3,...):ptt(n)을 box로 쓴 것, young diagram, ferrar diagram, 등이라고 불린다.
-Tb1 - Tb2란, Tb1에 포함되는 Tb2를 제외시킨 young diagram, called skew diagram
-Tb1 boxes중 right and below에 Tb1의 box가 없는 box를 outside corner라 한다.
-Tb2 boxes중 right and below에 Tb2의 box가 없는 box를 inside corner라 한다.
-conj(Tb(a1,a2,a3,...)):the conjugate of Tb
-tr(Tb(a1,a2,a3,...)):the trace of Tb, diagonal에 있는 box개수
-ST_(shape):Standard Tableau, Tb(a1,a2,a3,...)의 각 box에 1,2,3,4,...,n을 채운 것
-SST:=the set of all semistandard tableaux
-weight of sst란, (sst의 box중 1의 개수, 2의 개수, ...)
-SST_(shape, weight):=the set of all semistandard tableau of shape with weight
-sst_(shape, weight):a semistandard tableaux
-word_r(sst), called the row word of sst, from left to right, from bottom to top
-elementary Knuth transformation K', xyz -> (if y>z and x>z, then) xzy
-elementary Knuth transformation K'', xyz -> (if y>z and x<=z, then) yxz
(그냥 Knuth transformation이라 하면 K', K'', their inverse를 가리킨다.)
(sst에 row bumping하고 난 다음 word 구하는 것을, word차원에서 구하기 위해 도입됨)
-two words가 Knuth transformation이라하면, word에 elementary Knuth transformation을 유한번 적용시켜 다른 word를 얻을 때
-sst(word)란, every word is knuth equivalent to the word of a unique sst이기 때문에, 그때 unique sst를 sst(word)라 쓰자.
-skew sst란, sst1 - sst2가 아니라, skew diagram Tb1 - Tb2에 semistandard tableaux처럼 채운 것, row는 weakly inc, column은 strictly inc
-skew sst에서 sliding이란 연산은, inside corner에 위치한 box를 택해서 시작, right, below에 위치한 boxes중 작은 것과 위치를 바꾸는 걸 가리킨다. 이것을 right, below에 숫자가 없을 때까지 한다.
(만약 right, below에 위치한 two boxes의 숫자가 같으면 below와 위치 바꿈, 그래야 sst유지됨)
(right, below 둘중 1군데에만 숫자가 있다면 그것과 바꿈)
-Rect(skew sst)란, called rectification of skew sst, skew sst에서 inside corner가 없을 때까지 sliding해서 얻은 sst를 가리킨다.
-word_r(skew sst), called the row word of skew sst from left to right, from bottom to top
-K_(shape, weight)란 |SST_(shape, weight)|, called the Kostka number)
-x _r> sst, called row-insertion or row bumping
-step 1 x가 first row에서 가장 크거나 같다면, first row의 가장 오른쪽에 x를 붙인다. done
-step 2 x가 first row에서 가장 큰게 아니면, x보다 큰 놈들 중 가장 왼쪽인 놈을 x로 바꾸고 원래 있던 x'을 second row에 apply한다.
-이때 갈아치워진 box의 위치자국들을 bumping route by x라 하자.
-x _c> sst, called column-insertion or column bumping
-step 1 x가 first column에서 가장 크다면, first column의 가장 밑에 x를 붙인다. done
-step 2 x가 first column에서 가장 큰게 아니면, x보다 같거나 큰 놈들 중 가장 윗쪽인 놈을 x로 바꾸고 원래 있던 x'을 second column에 apply한다.
-sst1*sst2, product of sst
-def1, sst1*sst2, sst2의 from bottom to top, from left to right
-def2, sst1*sst2, sst1을 하단에, sst2를 우측에 두어 만든 skew sst의 rectification
-def3, sst1*sst2, sst(word_r(sst1)word_r(sst2))
(def1,def2,def3모두 agree)
-TbR_[m], called the sst ring with entries [m]
-M1={all knuth equivalence class of words on [m]}, then M1:associative Z-monoid
-M2={all words on [m]}, then M2:free Z-monoid, M2/R Z-monoid isomorphic to M1
-M3={all sst with entries [m]}, then M3 isomorphic to M1
-FAG(M3)를 TbR_[m]이라 한다.
*Graph Theory
-Basic(별말없으면 Simple Graph만을 다루도록 하자.)
-V(G):vertex set, {v1,v2,...,vn}
-|G|:=|V(G)|, called order of G
-cut(G)=(U,V), where {U,V}:a partition of V(G)
-for nonempty proper subset U of V(G), cut(U)=(U,V(G)-U)
-for nonempty subset U of V(G), u in U, v in V(G)-U, v:external private neighbor of u wrt U란, N(v)교U={u}일 때
(v:epn(u,U)라 쓰자.)
-τ(G):the number of minimum vertices meeting every edges, 즉 vertex cover의 cardinality중 minimum
-γ(G):=the domination number of G란 the minimum size of a dominating set
-α(G):=the independence number of G란, the largest independent set of V(G)에서의 vertices개수
-p(G):=the number of pendant vertices
-q(G):=the number of neighbors of pendant vertices
-E(G):edges set, {e1,e2,...,em}
-|E(G)|, called size of G
-E(v):the set of all edges which is incident with v
-for any cut(G)=(U,V), cutset(U,V):={all edges with one end in U and another in V}
-for nonempty proper subset U of V(G), cutset(U):={all edges with one end in U and another in V(G)-U}
-e1~e2, equivalence relation, if te simple cycle containing e1 and e2
-[e1]의 모든 원소와 incident한 vertices포함한 subgraph of G를 block of G라 한다.
-a point of articulation of G란, 2개 이상의 block에 포함된 vertex를 가리킴
-a point of articulation of G 2개가 neighbouring이란, 그 2개 vertices를 동시에 포함하는 block이 있을 때를 가리킴
-for subset E' of E(G), E':edge-cut if te proper nonempty U of V(G) s.t. cutset(U)=E'
(E':edge-cut이고 G[U], G[V(G)-U]가 connected이면, te! U, 즉 cut은 유일함)
-for G:connected and subset E' of E(G), E':edge-cutset if
-E'의 Edge(vertices)모두 지우면 G는 disconnected
-E'의 Edge(vertices)몇몇개(but not all)를 지우면 G는 still connected
-for nonempty proper subset U of V(G), ed(U):=|cutset(U)|/(|U||V(G)-U|), called the edge-density of U
-Τ(G):=the edge's covering number of G란, the minimum number of edges needed to cover all vertices
-ν(G):the max size of a matching of G
-for nonempty subset U of V(G), U:dominating이란 every v in V(G)-U is adjacent to some member in U
-for v1, v2 in V(G), v1~v2 if (v1v2):edge in E(G) called v1, v2 are adjacent
-for e1, e2 in E(G), e1~e2 if e1 and e2 have common ends(not necessarily both)
-v1:incident with e if e=(v1~)
-for V' of V(G), V':independent(stable) if no two of its elements are adjacent
-N_G(vi):=the set of all neighbors of vi in V(G)
-N_G[vi]:=the set of all neighbors of vi in V(G) U {vi}, called the closed neighborhood of vi in G
-for U:subset of V(G), N_G(U)=the set of all neighbors in V(G) - U of some vertex in U
-d(vi)=|N_G(vi)|, called the degree of vi
-v:pendant if d(v)=1 (tree에서는 leaf라 함)
-1-Zagreb(G):=sum over all i d(vi)^2=sum over all vi~vj, d(vi)+d(vj)=sum over all i d(vi)*m(vi)=sum over all entries of [AdMT(G)]^2
-2-Zagreb(G):=sum over vi~vj d(vi)*d(vj) = 1/2 * {sum over all i, [d(vi)^2 * m(vi)]}
-dseq(G):=(d(v1),d(v2),...,d(vn))
-decdseq(G):=(Δ_1,Δ_2,...,Δ_n), generally called the degree seq of G
-dec seq of positive integers is called graphical if te G s.t. decdseq(G) = the seq
-Tb(G), tableaux from graph G, decdseq(G)로 만든 young tableaux, Ferrers-Sylvester diagram이라고도 함
-vi:isolated if d(vi)=0
-δ(G):=the minimum degree of G
-deg(G):=max{δ(H) over H:subgraph of G}, called the degeneracy of G
-Δ(G):=the maximum degree of G
-sd(G):=the star degree of G,
-Δ_k(G):=the kth maximum degree of G, 즉 Δ_2(G):the second maximum degree of G
-tr(G):=max over i s.t. Δ_i >= i, called the trace of G
-d(G):=the average degree
-m(vi):=the average degree of the adjacent vertices of vi
-G:k-regular if for any vi in V(G), d(vi)=k
-G:srg(n,k,a,b), called strongly k-regular graph if for any vi~vj, they have a common neighbors, for any vi,vj:non-adjacent, they have b common neighbors and G:k-regular
-G:(r,s)-semiregular if d(vi)=r or s
-d_G(v1,v2):=the shortest path length, called distance of v1, v2
-e(vi):=max over vj in V(G) {d_G(vi,vj)}, called the eccentricity of vi
-r(G):=min over vi in V(G) {e(vi)}, called the radius of G
-D(G):=max over vi in V(G) {e(vi)}, called the diameter of G
-md_G:=the average of all distances between distinct vertices of G, (sum over all v S(v))/n(n-1), where S(v)=1*(v와 distance가 1인 애들의 개수) + 2*(v와 distances가 2인 애들의 개수) +...
-d(G,k):=the number of vertex pairs at distance k.
-W(G):= sum over all (vi,vj) d_G(vi,vj), called the wiener index of G
-HW(G):=sum over all (vi,vj) {d_G(vi,vj) + (d_G(vi,vj))^2}, called the hyper-Wiener index
-H(G):=sum over all (vi,vj) 1/(d_G(vi,vj), called the Harary index
-RCW(G):=sum over all (vi,vj) {1/(D(G) + 1 - d_G(vi,vj))}, called the Reciprocal complementary Wiener index
-TW(G):=sum over all pendant vi,vj d_G(vi,vj), called the Terminal Wiener index
-MTI(G):=sum over all i [dseq(G)*(AdMT(G)+DistMT(G))]_i, called the molecular topological index, MTI
-DD(G):=sum over all (vi,vj), [d(vi)+d(vj)]*d_G(vi,vj), called the degree distance of G
-For a connected G, GG(G):= sum over all (vi,vj), sqrt( {n(vi)+n(vj)-2}/{n(vi)n(vj)} ), called the Graovac-Ghorbani index of G,
where n(vi):=|{w in V(G) s.t. d(vi,w) < d(vj,w)}|, n(vj):=|{w in V(G) s.t. d(vj,w) < d(vi,w)}|
-For a connected G, NGG(G):= sum over all (vi,vj), sqrt( 1/{n(vi)n(vj)} ), called the Normalized Graovac-Ghorbani index of G,
where n(vi):=|{w in V(G) s.t. d(vi,w) < d(vj,w)}|, n(vj):=|{w in V(G) s.t. d(vj,w) < d(vi,w)}|
-RD(G):=sum over all (vi,vj) 1/sqrt((d(vi)d(vj))), called the randic index of G
-max-RD(G):=sum over all (vi,vj) 1/max{d(vi), d(vj)}, called the max-randic index of G
-HM(G):=sum over all (vi,vj) 2/(d(vi)+d(vj)), called the harmonic index of G
-vi:central if e(vi)=r(G)
-genus(G):=the minimal integer n s.t. the graph can be drawn without crossing itself on a sphere with n handles
-genus(G)=0이면 G를 planar라 한다.
-G:maximal planar란, planar이고 edge를 추가한다면 planar가 아닐 때
-for U:subset of V(G), U:vertex cover란, every edge는 U의 원소와 incident
-G:forest if G:acyclic
-G has a star forest F=(S_n1, S_n2, ..., S_nk) if there exists a seq of pairwise vertex-disjoint subgraphs H_i of G with H_i and S_ni:graph-iso for all 1<=i<=k
-G:tree if G:connected forest
-A rooted tree T contained in G is called normal in G if the ends of every T-path in G are comparable in the tree-order of T
(T-path란 G상의 Path인데 양 끝점만 T에 속하는 path, comparable이란 tree-order로 봤을 때)
-T(a,b):tree where 한개의 vertex vi에 a개의 K_(1,b-1)의 중심을 이은것(이은 선 포함안해서 K_(1,b-1)
, 따라서 |V|=ab+1
-T1(a,b):tree where d(vi)=a+1, d(vj)=b+1, vi~vj,따라서 |V|=a+b+2
-T2(a,b):tree where d(vi)=a+1, d(vj)=b+1, vi~v0, v0~vj, 따라서 |V|=a+b+3
-T(a,b,c):tree where d(vi)=a+1, d(vj)=b+1, vi~v1, v1~v2, ..., vc~vj, |V| = a+b+c,
-TZ(k):tree where |V(TZ(k))|=(2k-1)(k+1)+1, K_(1,2k-2)의 k+1개를 둔 다음, 그 외의 점 v에 각 stars의 center를 이은 것
-Tp1:Type-(I) tree
-Tp2:Type-(II) tree
-root는 tree의 아무 vertex로 지정가능, 그걸 top이나 bottom에 두고 tree그려나가면 됨
-Tree:bethe if d(root)=d, d(v)=(d+1) for v:not root and not pendant, d(last level)=1
-Tree:generalized bethe if d(v)=d(u) for v,u in the same level.
-specific trees
-CTPL:caterpillar, a tree in which all the vertices are within distance 1 of a central path.
-binary tree:te! vi s.t. d(vi)=2 and other vertices degree 1 or 3
-vi:leaf if vi:degree 1 and vertex of tree
-G:r-partite if V(G) admits a partition into r classes s.t. every edge has its ends in different classes.
-G:bipartite if {A,B}:partition of V(G) and every edge in E(G) has one end in A and another end in B인 Graph(즉 2-partite인 셈)
-K_n:complete graph with n vertices
-G:complete r-partite if G:r-partite s.t. every two vertices from different partitions classes are adjacent
-K_(k1,k2):complete bipartite graph with |V(U)|=k1, |V(W)|=k2
-S_n:graph G s.t. Δ(G)=(n-1) with n vertices
-K_(1,n-1):star graph
-G:multigraph if it is permitted to have parallel edges
-P_n:n개의 점을 일직선으로 나열하여 edge로 이은 simple graph
-C_n:cycle with n order
-C_n을 구성하는 edge는 아니지만, C_n을 구성하는 vertices를 이은 edge를 chord라 한다.
-G:chordal graph(또는 rigid circuit graph) if all cycles in G of 4 or more vertices have a chord.
-W_n:wheel, K_1 V C_n을 가리킨다.
-Q_n:n-cube, Q_1 = P_2, Q_n = Q_(n-1) x P_2 for n>=2
-X(Z_n, C), where C:subset of Z_n - {0}, called a circulant of order n, C:called its connection set
(V(X)=Z_n, vi~vj iff i-j in C인 Graph, 따라서 C={1,n-1}이면 X(Z_n,C)는 C_n이 된다.)
-J(v,k,i):v>=k>=i>0, positive integers이고 Ω:fixed set of size v, V:=all subsets of size k of Ω, two subsets are adjacent iff their intersection has size i.
-v>=2k이고 i=(k-1)일 때 the Johnson Graphs라 한다.
-v>=2k이고 i=0일 때 the Kneser graphs라 한다.
-J(5,2,0)을 특히 The petersen graph라 한다.
-Intersection Graph
-Interval Graph, vertex는 real interval을 가리키고 v1,v2:adjacent iff the intersection of the corresponding two intervals is non-empty
(not interval graph의 예:C_4), the boxicity of C_4 = 2
-만약 2차원이면 rectangle, 3차원이면 box,
-The boxicity of G := the smallest integer p s.t. we can assign to each vertex of G a box in R^p s.t. two vertices are adjcent iff their boxes overlap
(계산 어려움 boxicity는)
-CS(n,w), w<=n, a complete split graph라 하고 graph consisting of a clique on w vertices and a stable set with n-w vertices in which each vertex of the clique is adjacent to each vertex of the stable set
-G:split if te partition (U,V) of V(G) s.t. U:clique, V:independent set
-PA_(n,w), w<=n, a pineapple graph라 하고 graph consisting of a clique on w vertices and a stable set with n-w vertices in which each vertex of the stable set is adjacent to only one vertex in the clique.
-Ki_(n,w):kite, K_w +P_(n-w)에다가 a vertex of K_w와 an endpoint of P_(n-w)를 이은 것
-DfG:difference graph if te a_1, a_2, ..., a_n associated with the vertices of G and a positive real number k s.t. |a_i|<k for all i, and v_i~v_j iff |a_i - a_j|>=k
-{V1,V2,...,Vk}:partition of V(G)일 때, equitable이란, for any i,j in {1,2,...,k}, te d_(i,j) s.t. for any vertex v in Vi, te d_(i,j)개의 vertices in Vj with adjacent v
-G:cograph if P_4-free, i.e. there is no P_4 as induced subgraph(동치인건, bar, +로 만든 것 from K_1)
(P_4 free로 되는 이유는, bar(P_4)=P_4)
-G:threshold if 2K_2-free and P_4-free and C_4-free(maximal graph라고도 한다.)
-G:Ramanujan if G:r-regular and max over (1<=i<=n and λ_i(G) != r) λ_i(G) <= 2*sqrt(r-1)
-G:geodetic if for every pair of vertices, there is a unique path of minimal length between them.
-n_0(x,k)
=(k=2r+1, odd일 때) 1 + (x * sum over i=0 to i=(r-1) (x-1)^i)
=(k=2r, even일 때) 2 * (sum over i=0 to i=(r-1) (x-1)^i)
-About subgraph
-G'<G, G':subgraph of G, if G에서 vertex, edge를 없앤 것(몇개든), G:supergraph of G'이라 한다.
-G' _ind< G, G':induced subgraph of G, if G'<G and G' contains all the edges (vi'vj') in E(G) with vi', vj' in V(G'), V(G') induces G' in G라 한다.
-for U:subset of V(G), G'=G[U], if U induces G' in G일 때
-G' _spn< G, G':spanning subgraph of G, if G'<G and V(G')=V(G)
-for any x,y, in V(G), w(x,y), walk, alternating seq x e1 v1 e2 ... en y를 가리킴,이때 edge개수를 length of walk라 하고 |w(x,y)|라 표현
-G':a pendant star of G란, maximal subgraph formed by pendant edges all incident with the same vertex
-G':pendant star of G일 때, d(G'):=the number of its pendant vertices - 1, degree of pendant star라 한다.
-따라서 임의의 G에 대해 sd(G):=the star degree, the sum of the degrees of all pendant stars
-for any x,y, in V(G), t(x,y), trail, walk인데 seq중 edge반복없는 것
-for any x,y, in V(G), p(x,y), path, trail인데 seq중 vertex반복 없는 것(x,y를 애초에 다른 걸 잡아야 함)
(vertices개수만 관심인 path라면 P_n이라 적자, order가 n인 path)
-t(x,y):Eulerian if t(x,y):closed and it traverses every edge of the graph exactly once
-G:Eulerian if G has Eulerian trail
-C(cycle, 3개 이상의 vertex로 구성되고 path에다가 1개 edge 더 추가한 것
-g(G):=the minimum length of a cycle in G, celled girth of G
-G(G):=the maximum length of a cycle in G, called circumference of G
-e:chord of C if e joins two vertices of C but is not itself an edge of the cycle
-C:induced cycle if C:cycle in G and C:induced subgraph of G(즉 chordless cycle을 가리킴)
-G':k-factor if G':spanning subgraph of G and G':k-regular
-G':clique of G if G':subgraph of G and G':complete graph
-ω(G):=the order of the largest clique of G, the clique number of G라 한다.
-triangle of G:clique of order 3 of G
-clique (vertex) cover of G := a partition of V(G), V1, ..., Vk s.t. Vi:clique of G
-clique cover of G가 존재할 때, 가능한 작은 k를 clique vertex cover number of G라 한다.(cvc(G))
-clique edge cover of G := a set of cliques of G which covers all edges of G.
-clique edge cover of G가 존재할 떄, 가능한 작은 cliques의 개수를 clique edge cover number of G라 한다.(cec(G))
-t(G):the number of spanning tree of G
-About generated graph
-bar(G):the complement of G if bar{G} has the same vertex set as G but (vivj) in E(G) iff (vivj) not in E(bar(G))
-G:self-complementary if G graph-iso bar(G)
-L(G):line graph of G, V(L(G))=E(G) in which ei~ej in L(G) as vertex iff ei~ej in G as edges
-G:quasi-line graph if for any v, cvc(N_G([v]))<=2(locally co-bipartite라고도 함)
-T(G):total graph of G, V(T(G))=V(G)UE(G) in which vi~vj in T(G) iff vi, vj:adjacent or incident in G
-for an edge of G, G/e:the graph s.t. e:contracted(G/e를 하는데 cycle이 있었다면, 중복해서 edge만들지 않음)
-for an edge e=(uv) of G, H:subdivision of e란, new graph H s.t. V(H)=V(G)U{w} , E(H)=E(G)U{(uw),(wv)}
(inverse과정을 smoothing w라 한다.)
-H:subdivision of G란, if H is obtained from G by subdividing edges of G
(G의 원래 vertex를 branch vertices, 새로생긴 vertex를 subdividing vertices라 한다.)
-H:topological minor of G if G contains a subdivision of H as a subgraph
-H:inflated minor of G if each vi in V(G), connected disjoint {Gi}로 바꾸고 xy in G iff te an edge between G_x and G_y in H일 때
-H:minor of G if H:undirected and H can be formed from G by deleting edges and vertices and by contracting
edges
-G1,G2, G1+G2란, disjoint union
-G1,G2, G1VG2란, join of G1,G2, G1+G2에다가 adding new edges from each vertex of G1 to Every vertex of G2.
-G1,G2, G1xG2란, product of G1, G2, V(G1xG2)=V(G1)xV(G2)이고 (v1,u1)~(v2,u2)는 v1=v2이고 u1~u2이거나 v1~v2이고 u1=u2일 때
-그리는 방법은 G1을 G2의 각 vertex에 copy한 다음에 각 G1의 점끼리 잇는데 G2에 따라 이으면 된다.
-G1,G2, EDP(G1,G2)란, Direct product of G1, G2, V(TP(G1,G2))=V(G1)xV(G2)이고 (v1,u1)~(v2,u2)는 v1~v2이고 u1~u2일 때
-(for V(G1)=V(G2)), DS(G1,G2)란, Direct Sum of G1, G2, G1, G2가 edge-disjoint일 때
-for V(G)=UUV(partition), VD(G)=(G[U],G[V]), called vertex decomposition of U,V
-for G1,G2, Connected sum H of G1,G2란, G1의 1개의 점과 G2의 1개의 점을 임의로 택해서 이어서 얻은 graph H
-About Connectivity
-G:connected if G:nonempty and any two vi, vj in V(G), te p(vi,vj)
-connected component란 maximal connected subgraph를 가리킴
-vi:cutvertex if vi를 G에서 제거하면 component 개수가 증가할 때
-G:nonseparable if G does not contain a cutvertex.
-ei:bridge if ei를 G에서 제거하면 component 개수가 증가할 때(iff edges do not lie on any cycle)
-G:k-connected란, |V(G)|>k 이고 for any vertex subset X s.t. |X|<k, G - X:still connected일 때
(혹은 k개를 제거했더니 disconnected되게하는 가장 작은 k)
-κ(G):the connectivity of G, κ(G):the greatest integer k s.t. G:k-connected
-G:l-edge-connected란, |V(G)|>1이고 for any edge subset X s.t. |X|<l, G - X:still connected일 때
(혹은 l개를 제거했더니 disconnected되게하는 가장 작은 l)
-λ(G):the edge connectivity of G, λ(G):the greatest integer l s.t. G:l-edge-connected
-odd(G):the number of components of G with odd order
-c-rank(G), called the circuit rank of G or cyclomatic number of G, the minimum number of edges whose removal from G breaks all its cycles
(c-rank(G) = m - n + # of components)
-About hypergraph
-G:hypergraph (V(G), E(G)) if E(G):subset of P(V(G)) - empty, 즉 the elements of E(G) are non-empty subset of V(G)
(edge가 connected any number of vertices하려는 개념)
-About Directed(dG:digraph를 가리킴)
-G:directed if G has two maps init:E(G)->V, ter:E(G)->V assigning to every edge e an initial vertex init(e) and a terminal vertex ter(e), G:digraph라고도 함, dG라 쓰자.
-orientation is an assignment of a direction to each edge, turning the initial graph into a directed graph함
-dG^t := the minimal transitive digraph containing dG and has the same vertex set of points as dG, called the transitive closure of dG.
-for a,b in V(dG), a,b are strongly connected if te a directed walk from a to b and te a directed walk from b to a
(for any vertex a in V(dG), a is strongly connected itself)
-for any a in V(dG), the strongly component of a := the set of all vertices which is strongly connected to a.
-tnm_n:tournament graph if K_n에 모든 edge에 orientation 준 것,
-dG:strongly connected if te! strongly component of dG
iff any two distinct vertices can joined by a directed path
-for dG, dG* := the condensation digraph of dG, V(dG*) = {all strongly components}, arc(Vi,Vj) iff i,j:dictinct and te a in Vi and b in Vj s,t, arc(a,b) in E(dG)
-임의의 undirected graph에서의 edges는 양방향 arc로 봐서 directed graph로 해석가능, 그 때도 strongly connected얘기함
(즉, undirected graph는 connected iff strongly connected)
-for MT in MT(nxn)(C), dG(MT):digraph with V={1,2,...,n}, arc(i,j) exists iff MT(i,j):nonzero(혹은 weighted directed graph로도 간주 가능)
-About Competition graph of a dG
-For a dG, C(dG):the competition graph of dG, V(C(dG))=V(dG), e=ij in E(C(dG)) iff te arc (i,x) and (j,x) in E(dG) for some x in V(dG)
-c#(G):=the smallest number so that G U I_k is a competition graph of some acyclic dG(the competition number of G)
-About Matching
-M:matching if M:subset of independent edges
-given M, V(M):the set of all vertices meeting edge of M
-given M, p(x,y):M-alternating path if p(x,y):path in which the edges belong alternatively to M and not to M and x is not in V(M)
-given M, p(x,y):M-augmenting path if p(x,y):alternating and x, y are not in V(M) and length>=1
-maximum matching이란, max size를 갖는 matching
-M:maximal matching이란, M < M'인 matching M'이 존재안할 때
-M:perfect matching이란, M:matching and covering every vertices
-for any vertex v, te a linear ordering <=_v on E(v), 이 때 M:stable matching이란, for any e in E(G) - M, te m in M s.t. e and m have a common vertex v with e <_v m
-About Coloring
-G:k-coloring이란, vertices에 color를 매기는데 adjacent하면 different color를 매기는 방식으로 k개의 color매긴 것
-G:k-colorable이란, G가 k-coloring가능할 때
-χ(G), chromatic number of G, 란 the smallest number k for which G is k-colorable
-a colour class of the colouring이란 같은 colour인 vertices을 모두 모은 subset of V(G)
-G:k-color-critical if χ(G)=k and for any proper subgraph G' of G, χ(G') < k.
-Algorithm for coloring
-Sequential coloring, ordered vertex set넣어서 각각을 색칠하는데, 꼭지점 순서대로 1,2,3,...을 색칠하는데 가능한 최소의 색으로 색칠하게
-Maximal stable set coloring, ordered vertex set넣어서 각각을 색칠하는데, 첫번째 vertex를 1로 색칠하고 그 이후에 vertex들 중에서 이미 1로 색칠한 것과 연결되지 않으면 다 1로 색칠한다. 이후 1로 색칠한 것들을 모두 지우고 얻은 induced subgraph에서 색2를 같은 방법으로 칠한다.
(Sequential coloring이든 Maximal stable set coloring이든 vertex ordering에 depend)
(Maximal stable set coloring은 vertex ordering을 잘만하면 χ(G)를 얻을 수도 있는데, 그게 ordering하는 polynomial algorithm은 없다.)
(Smallest last ordering이란, v_n은 deg가 δ(G)인 것으로, v_(n-1)은 G - v_n에서 degree가 최소인 vertex....)
(Largest first ordering이란, v_1, v_2, ..., v_n with d(v_1)>=d(v_2)>=...)
(Smallest last ordering or Largest first ordering의 철학은 {v_1,v_2,...,v_(i-1)}까지 색칠해진 induced subgraph에서 v_i를 추가해서 고려할 때 restrictions가 가능한 적게 되게끔 ordering한 것)
-col(G), the coloring number of G,
the minimum integer k s.t. te linear ordering < of the vertices of G s.t. for any v in V(G), we have |N(v) 교 {w in V(G) s.t. w<v}| < k
-Given G and L(v) for each v in V(G), a list coloring is a function f from V(G) to a color s.t. f(v) in L(v).
-for any edge vivj in E(G), f(vi) != f(vj)이면 f를 proper list coloring이라 한다.
-G:k-choosable if it has a proper list coloring no matter how one assigns a list of k colors to each vertex.
(전체 색의 종류가 몇개든 상관 없고, |L(v)|=k인, 즉 v마다 사용할 수 있는 색의 개수가 k인 거고, 그렇게 proper list coloring이 존재할 때 어떻게 색을 assign하든 proper가 만족할 때를 가리킨다. K_(2,4)는 χ=2, χ_l=3)
-χ_l(G), the list chromatic number of G is the minimum k for which G is k-choosable
-G:complete k-coloring if G:k-coloring s.t. for each pair of different colors (c1,c2), te (u,v) s.t. u~v and u with c1, v with c2
-aχ(G), the achromatic number of G, the maximum number k for which G:complete k-coloring
(P_4는 χ=2 aχ=3)
(maximum에 조심해야함)
-About Matrices
-G:integral, if egv of AdMT(G)가 모두 integers일 때
-G:L-integral, if egv of Lap(G)가 모두 integers일 때
-G:Q-integral, if egv of sLap(G)가 모두 integers일 때
-m_(G,~)(egv):the multiplicities of egv of ~ type matrix of G
-m_(G,~)(an interval):the number of egv of ~ in an interval including multiplicities
-IcMT(G), nxm matrix, vertex에 labeling하여 v1,v2,...,vn, edge에 labeling하여 e1,e2,...,em, vi~ej이면 (i,j) entry가 1, 아니면 0, called Incedence Matrix
-dIcMT(G), nxm matrix, IcMT에서 orientation생각한 경우, 1,-1,0을 entry로 갖는다.
-AdMT(G), nxn matrix, vertex에 labeling하여 v1,v2,...,vn, vi~vj이면 (i,j) entry가 1, 아니면 0, called Adjacency matrix
-specR(AdMT(G))를 index라 한다.
-the spectrum of G는 the spectrum of AdMT(G)를 가리킨다.
-the spectrum of G1 = the spectrum of G2이면 G1,G2:cospectral이라 한다.
-AdMT(dG)는 (i,j) entry에 the number of arc from vi to vj
-sum of |λ_G(i)|를 the energy of G라하고 energy(G)라 적자.
-ν^+(G):=m_(G,A)((0,inf)), i.e. the number of positive egv of AdMT(G), called positive inertia
-G:singular if λ_G=0인 egv of AdMT(G)가 있을 때(i.e. det(AdMT(G))=0)
-G:non-singular if all λ_G are nonzero(i.e. det(AdMT(G)):nonzero)
-G1, G2:equienergetic이란 energy(G1)=energy(G2)일 때
-G:hyperenergetic if energy(G) > 2n-2 (예를 들면 energy(K_n)=2n-2, 따라서 not hyperenergetic)
-G:hypoenergetic if energy(G) < n
-G:non-hypoenergetic if energy(G) >= n
-DegMT(G), nxn matrix, degree matrix, 대각성분은 d(vi), 그 외는 0
-Lap(G), nxn matrix, laplacian matrix, Lap(G)=DegMT(G)-A(G)
-second smallest egv of Lap(G)를 algebraic connectivity라 한다. a(G)라 적자.
-a(g)에 해당되는 egv를 Fiedler vector라 한다.(그리고 characteristic valuation of G라 한다.)
-Lap(G) - vi, the psubMT of Lap(G), deleting vi-row and vi-column
-sum of |μ_G(i) - d(G)|를 the laplacian energy of G라 하고 Lnergy(G)라 적자.
-σ(G):=m_(G,L)((d(G),n])
-μ:symmetric이란 eigencomponents are constants on orbits of Aut(G)(multiplicity생각해서 다룸, 즉 1은 symmetric이면서 not symmetric일수도 있음)
-μ:alternating이란 eigencomponent
-sLap(G), nxn matrix, signless laplacian matrix, sLap(G):=DegMT(G)+A(G)
-DistMT(G), nxn matrix, (i,j)-entry=d_G(vi,vj)
-RdMT(G), nxn matrix, (i,j)-entry = 1/d_G(vi,vj), called the reciprocal distance matrix of G
-SdMT(G), nxn matrix, SdMT(G) = J - IMT - 2*AdMT(G), where J:all entries are 1
-for M:MT(nxn)(R), dG_M:the underlying digraph of M, V(dG)=n이고 M_(i,j)가 nonzero이면 te a directed edge from vi to vj인 dG
-nLap(G), nxn matrix, normalized laplacian matrix, nLap(G):=DegMT^(-1/2)(G) * Lap(G) * DegMT^(-1/2), where DegMT^(-1/2):=diag(1/sqrt(d(vi)))
-About Weighted Graph
-wG:weighted graph, edge마다 positive number가 있을 때, unweighted는 모든 weight가 1일 때로 해석 가능하다.
-AdMT(wG), 각 성분을 1대신에 weight넣으면됨
-dIcMT(wG), 각 성분에 1대신에 sqrt(weight), -1대신에 -sqrt(weight)넣으면 됨
-Lap(wG), 각 대각 성분에 sum of weight, off-diagonal엔 -1대신에 -weight넣으면 됨
-
-About Homomorphism, Automorphism, Group etc
-f:homomorphism from G1 to G2란, f:V(G1)->V(G2), v1,v2:adjacent in G1이면 f(v1),f(v2):adjacent in G2
-G graph-iso G', te bijective f:V(G)->V(G') s.t. (vivj) in E(G) iff (f(vi)f(vj)) in E(G') for any vi, vj in V(G), 이 때 f를 Graph-isomorphism
-f:graph invariant if f:{all graphs}->sth, for f:G graph-iso G', f(G)=f(G')
-a class of graphs that is closed under isomorphism is called a graph property
-Aut(G):=the group of automorphism of G
-retract(G,S)란 S:subgraph of G, f:homomorphism from G to S s.t. restriction of f onto S is identity.
-endomorphism from G to G란, homomorphism from G to itself일 때
-About Space of a graph
-VS(G):the vertex space of G, (F_2)^V(G), the vector space over F_2, all functions from V(G) to F_2
-ES(G):the edge space of G, (F_2)^E(G), the vector space over F_2, all functions from V(G) to F_2
-IPS도 된다. 따라서 LS of ES(G), LS^ㅗ 등도 다룰 수 있음
-CS(G):the cycle space of G, ES(G)의 subspace로 spanned by the all cycles in G.
-dim(CS(G)), called the cyclomatic number of G.
-About Graph distance
-d(G1,G2), by Yutaka, link참조
(Order가 다른 two graphs의 distance 정의 가능, structural properties, dynamical properties를 반영하는 distance임이 확인됨)
-About Random Graph model
-WS-model(Watts-Strogatz model, denoted by WS(p,β)
-장점:small-world properties, short average path lengths, high clustering
*Spectral Graph Theory
*Elementary Inequalities
*Integral Transformation
*Linear Programming
*Numerical Analysis
*Convex Optimization(수업)
-
*Queueing Theory
*Special Functions
*Probability, Statistics
*Probability, Statistics
*Econometrics
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