*Group Theory
-About Group, Subgroup관련
-Subgroup Criteria
-E:finite->non-empty, closed under multiplication
-E:infinite->closed under multiplication, closed under taking inverse.
-Z(G) _< C_G(~) _< N_G(~) _< G의 성질
-E
-Z(G) _< C_G(E) _< N_G(E) _< G
-C_S(E)=C_G(E)교S
-N_S(E)=N_G(E)교S
-E1<E2일 때 C_G(E2) _< C_G(E1)
-<g> _< C_G(g)
-C_G(<g>)=C_G(g)=N_G(g) _< N_G(<g>)
-C_G(E)=G iff E < Z(G)
-S
-C_G(Z(G)) = N_G(Z(G)) = G
-S _<! N_G(S)
-C_G(S) _<! N_G(S)(link)
-N_G(S)/C_G(S) giso a subgroup of Aut(S)(link)
(Aut(S)를 먼저 조사해서 N_G(S)/C_G(S)에 반영할 수 있음)
-S가 abelian이면 S _< C_G(S)
-S _< Z(G)이면 C_G(S)=N_G(S)=G이고 S _<! G이다.
-|S|=2이면 N_G(S)=C_G(S)
-S1 _< S2, S2:abelian이면, S1 _< S2 _< N_G(S1)
-NS
-C_G(NS) _<! G
-N_G(NS)=G
-|NS|=2이면 NS _< Z(G) _< C_G(NS) = N_G(NS) = G
-기타
-G/Z(G)은 Inn(G)와 giso라는게 Z(G)의 핵심
-Z(G) _<! G, Z(G)는 abelian normal subgroup of G
-C_G(G)=Z(G)=intersection over all subset A, C_G(A)
-G/Z(G) giso Inn(G)
-G/Z(G):cyclic iff Inn(G):cyclic iff G:abelian
(Generally, S _< Z(G) G/S:cyclic이면 G:abelian)(link)
-Z(G)i:char in G for any 0<=i
-S1S2의 성질
-|S1S2|=|S1||S2|/|S1교S2| (즉 S1S2의 order와 S2S1의 order가 같음, S1S2 _< G인지는 아직 모름)(link)
-S1S2 _< G iff S1S2=S2S1 iff Si _< N_G(Sj), 즉 1개가 다른 1개의 normalizer에 포함
-S1S2 _< G 이면 S1 _< S1S2 and S2 _< S1S2 and S2S1 _< G
-S1만 normal인 경우
-S1S2 _< G, S2S1 _< G(normal subgroup인지는 모름)
-S1S2=S2S1
-S1, S2 둘 다 normal인 경우
-S1S2 _<! G, S2S1 _<! G
-S1S2=S2S1인건 당연
-S1 union S2 _< G iff S1 _< S2 or S2 _< S1
-Normality Criteria
-generator에 대해서만 판단해도 충분
-Abelian Group의 모든 S는 NS이다.
-[G:S]=2이면 S는 NS이다.
-[G:S]=the smallest prm factor of |G|이면 S는 NS이다.(link)
-S _< Z(G)이면 S _<! G
-N_G(S)=G판단에 있어서 G의 generating set의 원소와, S의 generating set의 원소로만 판단해도 됨
-S:normal in G iff [S,G] _< S
-C(G) _< S이면 S는 normal(게다가 G/S는 abelian도 됨)(역도 성립)
-대표적인 normal subgroup:Z(G), C(G), Z(G)의 subgroup, normalizer, Sp(Sp는 normal 아닐 수도 있지만, normal될 때가 잦음), C(G)를 포함하는 Subgroup,
-Characteristic
-필요조건:NS
-충분조건:given order, S is unique이면 S char G
-S1 char S2 and S2 _<! G이면 S1 _<! G
-S1 char S2 and S2 char G이면 S1 char G
-대표적인 char S:C(G), Z(G)
-(Cayley's Theorem)Every G giso S _< S_G
-G to S 보존되는 것
-abelian
-cyclic
-nilpotent(G의 upper central series에 H를 intersecting시키면 각 항은 H의 Upper central series보다 작은 걸 생각해보면 됨)
-solvable
-G to homomorphic Image 보존되는 것
-abelian
-cyclic
-nilpotent
-solvable
-G to quotient
-abelian
-cyclic
-divisible
-nilpotent
-solvable
-G_i to EDP(G_i) 보존되는 것
-abelian
-cyclic은 안됨
-nilpotent
-solvable
-Hall Subgroup관련
-NS:Hall subgroup이면 |NS|=|S|인 S는 NS뿐이다.(link)
(Hall subgroup이 NS인 경우에 적용가능함, NS인 것도 중요함)
-기타 성질들
-S1교S2는 subgroup된다.
-NS1교NS2는 normal subgroup된다.
-임의의 subgroup S는 S_[n]의 subgroup과 isomorphic하다.(S_[n], 중요)
-
-About Homomorphism관련
(homog:G1->G2, S1 _< G1, S2 _< homog(G1) _< G2, NS1 _<! G1, NS2 _<! homog(G1))
-homog(S1) _< homog(G1)
-homog^(-1)(S2) _< G1
-homog(NS1) normal in homog(G1)
-homog^(-1)(NS2) normal in G1
(즉 S2, NS2든 homog(G1)에서 생각하면 된다.)
-|homog(g1)| | |g1|
-|homog(G1)| | |G2|, |homog(G1)| | |G1|
(따라서 |homog(G1)| | gcd(|G1|,|G2|) 이다.)
-|homog^(-1)(G2)| | |G1|
-|G1| | |G2|*|Ker(homog)| (이 자체는 너무 강함, Factor Group으로서 order 세는 것을 상기하는게 포인트)
-About Group Action관련
-Ker(act) _< G_x _< G
-Ker(act) _<! G
-G/Ker(act) acts faithfully
-te act iff te homog by act(G->S_J)
-|O_x|= [G:G_x]
(O_x도 G의 약수여야 한다는 점)
-g*x1=x2라면, G_x2=gG_x1g^(-1)(link)
(즉, 같은 orbit안에 있었다면, stablizer가 서로 conjugate하고, 따라서 stablizer의 order도 서로 같다.)
(G=1이면 역은 성립 안함)
-G=S_[n], J=[n]일 때
-transitive, faithfully
-|G_i|=(n-1)!, O_i=[n]
-for g in S_[n], act_[n] by <g>의 orbits은 g의 cycles가 나온다.
-G:permutation group on J
-(Burnside)the number of orbits = the average number of points fixed by an element of G(link)
-left multiplication action
-G=G, J=G, g1 act g2=g1*g2일 때
-G_g={e}
-G=G, J={left cosets of S}, g1 act g2S =g1g2S일 때
-Transitively, 따라서 Orbit은 1개뿐
-G_S=S
-G_(g1S)=g1Sg1^(-1)
-ker(act)는 S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup이 된다.
-|G|는 {[G:S]!*|S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup|}을 나눈다.
-Conjugation action
-G=G, J=P(G), g act E =g*E*g^(-1)일 때
-G_E=N_G(E)
-[G:N_G(E)]:the number of the conjugates of E
-S giso (g act S)
-ker(homo)=Z(G)
-G=G, J=G, g1 act g2=conj(g2), 특히 g1*g2*(g1)^(-1)
-G_g=N_G(g)=C_G(g)
-|g|=|g1 act g|
-homo by act에 대해서, Ker(homo)=Z(G) and G/Z(G) giso Inn(G)
-Z(G)의 원소들의 orbit은 singleton set
-(Class Equation)|G|<inf일 때, |G|=|Z(G)|+sum [G:C_G(g_i)]
-NS _<! G일 때, 임의의 conjugacy class E는 E교NS=empty or E<NS이다.
-G=S_[n], J=S_[n]일 때(아래 Examples란과 중복될 수 있음)
-g2=(a1,a2,a3...)(b1,b2,b3)...로 cycle decomposition, g1*g2*g1^(-1)=(g1(a1),g1(a2),...)(g1(b1),g1(b2))....
(cycle decomposition이란, (1~~~)(이전 cycle에 안나온 제일 작은 걸로 시작 ~~~)(이전 cycle에 안나온...))
-g1=conj(g2) iff g1과 g2가 같은 cycle type을 가짐
(cycle type이란 cycle decomposition한 후에 cycle length가 큰것부터 나열했을 때(disjoint cycle은 commute이므로)의 cycle length 수열, 길이가 1인 cycle도 적는다. 그렇게 하면 f:S_[n]->{ptt(n)}
-S_[n]의 conjugacy classes의 개수는 #ptt(n)과 같다.(link)
(g:{conjugacy classes}->{ptt(n)} is bijection)
(for a f:ptt(n), f=(a1번,a2번,...,an번), f를 cycle type으로 갖는 S_[n]원소개수는 n!/(1^a1 2^a2 ... n^an (a1!a2!...an!)))
(즉 한 conjugacy class안의 원소개수를 앎)
-E가 singleton이면 |C_(S_[n])(E)|구할 수 있음
-g가 commutator와 같은 cycle type을 가지면 conj(g)도 commutator가 된다.
-G=G, J=NS, g1 act g2 = g1*g2*g1^(-1)
-G_g=N_G(g)=C_G(g)
-for each g in G, conjugation by g is in Aut(NS)
-homo by act:G->S_NS인데, range를 줄여 G->Aut(NS)만 생각가능, Ker(homo)=C_G(NS)
(이때 conjugation by g on NS는 Aut(NS)의 원소이지만, Inn(NS)의 원소는 아닐 수 있다.)
-About Generator, Order관련
-abelian인지, normal인지 판단은 generator에 대해서만 해도 충분
-order(g)=order(conj(g))
-order(g1*g2)=order(g2*g1)
-order(g)=n일 때, order(g^a)=n/gcd(a,n)
-order(g)=n일 때, <g>의 generator는 ephi(n)개
-|G|=n and G:cyclic, m|n이면 te! S s.t. |S|=m(link)
-(Lagrange's Theorem)|G|<inf일 때, |S| | |G|, [G:S]=|G|/|S|
(G의 모든 S가 NS이면 Converse가 성립, 예를 들면 abelian인 경우)(link)
(p_n=prm, |G|=(p_1)^alpha1 * (p_2)^alpha2 ..., order가 (p_1)^alpha1, (p_1)^alpha1-1, ... 인 subgroup 존재, Sylow의 강한버전)
-|G|=prm이면 G giso Z_prm
-(Cauchy's Theorem)|G|<inf, prm||G|이면 G has an element of order(prm).(link)
-(Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups)G:finitely generated abelian이면 free rank와 list of invariant factors가 유일하게 결정되고 invariant factor decomposition이 가능(반대로 list of invariant factors와 free rank만 결정해주면 finitely generated abelian group 1개를 결정할 수 있다는 것)
(따라서 finite abelian of order n은 n만 소인수분해해버리면classification가능 by making list of invariant factors)
(invariant factor (n1,...,nk)가 만족해야될 것은, 각각이 2보다 같거나 큰 정수이고, n(i+1)|ni를 만족)
-(Sylow's Theorem)(특정 order의 G이 not simple임을 보일 때 자주 사용)
-Sp는 항상 존재한다.(link)
(더욱 강력한 명제는, |G|=p^n*m, (hall divisor, p:prm), te S s.t. S _< G and |S|=p^k, for k=0,1,...,n)(link)
-p-S, Sp에 대해서, te g in G s.t. p-S _<g(Sp)g^(-1)(특히 Sp1과 Sp2 2개는 반드시 conjugate and giso)(link)(link)
(Sp1과 Sp2는 같은 p에 대해서 얘기, S(p1)과 S(p2)는 다른 p에 대해서 얘기)
-#Sp=[G:N_G(Sp)] ≡ 1 (mod p)(link)(link)
-if #Sp !≡ 1 (mod p)이면 te distinct P:Sp, R:Sp s.t. [P:P교R]=[R:P교R]=p(link)
-Theorem 증명 순서
-Cauchy's Theorem for abelian
-Sylow's Theorem, Existence
-Cauchy's Theorem for general
-Sylow's Theorem, 강력한 명제
-Sylow's Theorem, p-S관련
-Sylow's Theorem, #Sp
-TFAE
-#Sp=1
-Sp:NS
-Sp char G
-All subgroups generated by elements of prm power order are p-G
-Sp의 성질들
-for NS of G, Sp of G일 때 NS교Sp:sylow p-subgroup in NS(link)
-for NS of G, Sp of NS일 때, G = NS N_G(Sp) (join) (link)
-for Sp of G, S:p-subgroup of G, S교N_G(Sp) = S교Sp(link)
-Classification Steps
-|G|를 통해 proper NS를 찾는다.(Sp같은 걸로다가)
-complement를 구한다.
-NS와 complement 각각을 조사한다.
-semidirect product를 위한 homog를 만들어 본다.
-NS, complement와 homog를 이용하여 semidirect를 만들고 non-isomorphic인걸 나열
-|G|=prm일 때
-G giso Z_prm
-p-G일 때
-Z(p-G)는 nontrivial(증명은 Class Equation생각)
-nilpotent
-every proper S of G는 proper S of N_G(S)이기도 하다.(proper가 포인트)(link)
-NS가 nontrivial이었으면 NS 교 Z(p-G)도 nontrivial(link)
-|NS|=p인 NS가 있다면 NS는 Z(p-G)에 포함됨
-|p-G|=prm^2이면 abelian이고 Z_prm x Z_prm 이거나 Z_(prm)^2
-|p-G|=prm^3이면(link1)(link2)(link3)
-abelian type
-Z/p^3Z
-Z/p^2Z x Z/pZ
-Z/pZ x Z/pZ x Z/pZ
-nonzbelian type
-Z(p-G)=C(p-G)(link)
-p-G/Z(p-G) giso Z/pZ x Z/pZ(link)
-prm=2일 때
-prm != 2일 때(link참고)
-prm-power map is group homomorphism
-<x,y | x^(p^2) = y^p = 1, yxy^(-1) = x^(p+1)>
-<x,a,b | x^p = a^p = b^p = 1, ab=ba, xax^(-1)=ab, xbx^(-1)=b>
-Sp는 자기자신, unique
-(Fixed Point Congruence)J:finite set, act_J by G에 대해, |J|≡|{fixed points}| (mod p)(link)
-|G|=p^m일 때, G has a normal subgroup of order p^n for 0<=n<=m(link)
-every MS는 [G:MS]=p를 만족하고 NS가 된다.
-|G|=prm1*prm2일 때(prm1<prm2)
-Sp(p=prm2) :NS
-따라서 G:solvable
-prm1이 (prm2 - 1)을 나누지 않으면(즉 prm1=2일 때) G는 cyclic
-prm1이 (prm2 - 1)을 나누면(즉 prm1 != 2 일 때)
-G giso OSDP(Sp(p=prm2), Sp(p=prm1)), up to isomorphic, 1개뿐
-|G|=prm1*prm2*prm3일 때(prm1<prm2<prm3)
-not simple(link)
-|G|=12(link)
-abelian type
-Z/12Z
-Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z
-nonabelian type
-Alt(4)
-D_12
-OSDP(Z/3Z,Z/4Z, f) where f:Z/4Z->Aut(Z/3Z), inversion
-Sp(3)과 Sp(5)중 적어도 1개는 normal
-Z/15Z과 giso인 S를 가짐
-abelian type
-Z/30Z
-nonabelian type
-Z/3Z x D_10
-Z/5Z x D_6
-D_30
-(Feit-Thompson Theorem)G:simple, |G|:odd 이면 G giso Z_p for some p:prm
-G:finite, N:normal in G, Sp:sylow p-subgroup of N, then G=N_G(Sp)N and |G:N| divides |N_G(Sp)|(link)
-About Quotient Group관련
-(First GISO Thorem)homog:G1->G2이면 ker(homog) _<! G1 and G1/ker(homog) giso homog(G1)
(NS존재 <-> homog 존재)
-(Second GISO Theorem)S1 _< G, S2 _< G, S1 _< N_G(S2)이면
S1S2 _< G이고
S1S2 _< N_G(S2)이고 따라서 S2 _<! S1S2
by First GISO Theorem, S1교S2 _<! S1이고 S1S2/S2 giso S1/S1교S2임을 알 수 있다.
(주의:S1 _<! S1S2인지는 모른다. 성립안할 수도 있음)
(S1 _<! S1S2아니더라도, [S1S2:S1]=[S2:S1교S2]는 앎)
-(Third GISO Theorem)NS1 _< NS2 이면(G/NS1)/(NS2/NS1) giso (G/NS2)
(NS가 아니어도, S1 _< S2 _< G이면 [G:S1]=[G:S2][S2:S1]이 성립)(link)
-(Fourth GISO Theorem)NS가 있을 때, te bijection from {S s.t. NS _< S} to {S s.t. S _< G/N}
(NS _< S _< G인 S에 대해서, S _<! G iff S/NS _<! G/NS 을 얻을 수 있다.)
(주의:|G1|=|G2|, N1 giso N2, G1/N1 giso G2/N2라 해도 G1 giso G2인지는 모름)
-[G:NS]=m이면 for all g in G, g^m is in NS.
-(G/NS)의 largest abelian quotient group giso (h(G)/h(NS) where h:G->G/C(G) projection
-About Commutator관련
-G/C(G):the largest abelian quotient group(만약 G/NS:abelian이면 C(G) _<! NS임), 이게 C(G)의 핵심
-C(G) _< S이면 S:NS이고 G/S는 abelian(link)
-g1g2=g2g1[g1,g2](where [g1,g2]=g1^(-1)g2^(-1)g1g2)
-for any aut in Aut(G), aut[g1,g2]=[aut(g1),aut(g2)], 즉 commutator를 aut에 적용해도 commutator됨
-따라서 C(G) char G
-C(G)의 원소 중 commutator가 아닌 원소가 있을 수 있다.
(Free group on {a,b,c,d}에서 aba^(-1)b^(-1)cdc^(-1)d^(-1) 생각)
-C(G)를 구하는 방법
-G/NS해서 abelian되기만 하면 C(G) _< NS이므로, NS아무거나로 일단 quotient시켜 abelian인지 따져본다.
-S:normal in G iff [S,G] _< S
-(Abelianization of quotient = quotient of Abelianization)f:G->G/NS, g:G->G/C(G)일 때, f(G)/C(f(G)) giso g(G)/g(NS)(link)
-About Group Product관련
-About Direct Product
-Direct Product의 의의
-smaller로 larger group만들거나
-finitely generated abelian을 cyclic factor로 쪼개거나
-non-abelian이더라도 factor들(NS인)로 쪼갤 수 있다는 것, 쪼개면, 각각은 commute하고 order가 작아 조사하기 쉬움)
-EDP(G_i)에서 restricted direct product of the groups G_i는 normal subgroup in product of G_i
-EDP(G1,G2)의 conjugacy classes의 개수 = (G1의 conjugacy classes의 개수)*(G2의 conjugacy classes의 개수)
-EDP(G1,G2,...,Gn)/EDP(NS1,NS2,...,NSn) giso EDP(G1/NS1,G2/NS2,...,Gn/NSn)
-EAG(p,n)의 성질
-non identity 원소는 order가 p
-(p,n)일 때, order가 p인 subgroup의 개수는 (p^n -1) / (p - 1)
-(Recognition Theorem version Direct Product)
:NS1, NS2에 대해 NS1교NS2=1이면 IDP(NS1,NS2) giso EDP(NS1,NS2)
-About Semidirect Product
-Semidirect Product의 의의
-S1 _< G1, NS1 _<! G1, S2 _< G2, NS2 _<! G2일 때 S1 giso S2, NS1 giso NS2라 해서 ISDP(NS1,S1)과 ISDP(NS2,S2)가 giso인거 보장못함
-OSDP(G1,G2)의 성질
-G1:NS of OSDP(G1,G2)
-G2:S of OSDP(G1,G2)
-order of OSDP(G1,G2)=|G1|*|G2|
-(G1,1)교(G2,1)=1
-OSDP(G1,G2,f)가 EDP(G1,G2)와 same일 TFAE
-g can be written in a unique way as nh where n in NS, h in S
-g can be written in a unique way as hn where h in S, n in NS(nh에다가 h h^-1 n h해주면 됨)
(즉, G=S1S2=S2S1)
-f1:S->G, identity function, f2:G->G/NS, natural projection, f2 o f1:isomorphism
-te homog:G->S s.t. homog:identity on S and ker(homog)=NS
-About Series In Group Theory관련
-G/MNS:simple
-(Jordan-Holder Theorem)finite nontrivial G는 composition series을 갖고(not unique), composition factors는 unique
(주의: G1 giso G2가 아니어도 same list of composition factors를 가질 수도 있다.)
-cyclic group<abelian group<nilpotent group<solvable group<all group
-About Solvable
-G:solvable이면 S:solvable
-G:solvable이면 homomorphic image도 solvable
-따라서 quotient of G도 solvable
-NS:solvable and G/NS:solvable이면 G도 solvable
-S1:solvable and S2:solvable and S1S2(defined as subgroup)이면 S1S2도 solvable
-finite EDP of solvable is solvable
-G:nilpotent이면 G:solvable
-additional theorem(증명들이 김)
-(Philip Hall)G:solvable iff for any n s.t. gcd(n,|G|/n)=1, G has a subgroup S of order n.
-(Burnside)|G|=(p1)^a (p2)^b이면 G:solvable
-(Feit-Thompson)|G|:odd이면 G:solvable
-(Thompson)If for every pair x,y in G, <x,y>:solvable, then G:solvable
-모든 proper subgroup이 abelian이면 G는 solvable
-About nilpotent
-G:nilpotent이면 S:nilpotent
-G:nilpotent이면 homomorphic image도 nilpotent
-따라서 quotient of G도 nilpotent
-(주의)NS:nilpotent and G/NS:nilpotent라 해서 G가 nilpotent이진 않다.(Ex:Take G=S_[3], NS=A_[3])
-G:nilpotent이면 G:solvable
-S1:nilpotent and S2:nilpotent and S1S2(defined as subgroup)이면 S1S2도 nilpotent
-G/Z(G):nilpotent이면 G:nilpotent(왜냐하면 Z(G/Z(G))k = G/Z(G) = Z(G)k+1/Z(G) )
-finite EDP of nilpotent is nilpotent
-finite nilpotent관련
-G:finite nilpotent
-iff every proper subgroup of G is a proper subgroup of its normalizer in G
-iff every sylow subgroup is normal in G
-iff G is the direct product of Sp1, Sp2, ..., Spr where p1,p2,...pr is all distinct primes dividing |G|
-iff every maximal subgroup is normal
-About Free관련
-FG(E) is a group(즉 concatenating이 well-defined하고 associative만족함)
-(Universal Property of Free Group)f:E->G인 map이 있다면, te! g:FG(E)->G s.t. g:homog, restriction of g on E = f
-FG의 subgroup은 free이다.
-for any G, te FG and homog:FG->G s.t. G=homog(FG)
-(Universal Mapping Property of free product)for f_i:G_i->G, homog, te! F:FP(G_i)->G s.t. f_i=i_i o F where i_i:inclusion from G_i to FP(G_i)
-About Presentation관련
-
-About Short Exact Sequence관련
-ES(G1,G2,G3,f1,f2) iff SES(f1(G1),G2,G2/ker(f2),inclusion,quotient)
(따라서 Exact관련해서는 SES형태로 바꿔서 다루기 가능)
(Short Five Lemma)(Md에서도 성립)(link)
:For homo from SES1(G1,G2,G3,f1,f2) to SES2(G1',G2',G3',f1',f2')인 g1,g2,g3,
-g1과 g3가 injective(surjective, isomorphism)이면 g2가 injective(surjective, isomorphism)
-SES(G1,G2,G3,f1,f2):left split iff equivalent to SES(G1,EDP(G1,G2),G2,embedding,projection)
(증명은 f:G2->EDP(G1,G2) 잘만들기)
-SES(G1,G2,G3,f1,f2):right split iff equivalent to SES(G1,OSDP(G1,G3,homog:G3->Aut(G1)),G3,embedding,projection)
where homog(g3)(g1)=f1^(-1) ( (f2'(g3) * f1(g1) * f2'((g3)^-1)) )
(증명은 f:OSDP->G2 잘만들기)
(따라서 left split가 훨씬 강하다.)
(Module에서는 abelian group일 때므로, OSDP=EDP이고 따라서 left split iff right split)
-Some Techniques using Sylow and another things(link참고)(link1)(link2)(link3)(link4)(link5)
-Counting Elements
-Subgroup Index and left multiplication action on left cosets
-G을 S_[n]의 subgroup으로 보고 해결
-Normalizer of Sylow의 Sylow 생각(another prime)
-Normalizer of distinct Sylow p-subgroups생각(same prime)
-Representation관련
-Every G has at least one rep(trivial rep생각)
-G=<g>, of order n
-f:G->GL(1:C), f가 MT-rep iff {f(g)}^n = 1
-For G:group, {rep of G} bijection {G-Md VS(F)}
-(Construction of G-Md VS(F) from a G-set)For J:G-set, make VS(F)=direct sum of Fj,act_VS(F) by G는 g를 basis원소에 act하는 걸로하면 됨
(즉, G:group이 있고 G-Set을 하나 안다면, G-Md VS(F)를 얻을 수 있고, 그로인해 rep of G를 하나 얻는다.)
-G:group이 있고 G-Set으로 G그 자체 택하고 action을 left translation을 주면, G-Md F[G]을 얻는다. 이때의 rep of G를 regular rep of G라 한다.
-for finite G
-F[G]=direct sum of miVi, where mi=dim(Vi), Vi,Vj:nonisomorphic for distinct i,j, 게다가 모든 irr G-subMd appears in F[G]
-V:G-Md VS(F)가 W:nonzero proper G-subMd를 갖는다면, W의 basis를 이용해 대응된 rep of G의 MT-rep of G의 형태가 block upper triangular MT로만 되게(for any g in G) basis를 잡을 수 있다.
-만약 W가 G-subMd인 complement를 갖는다면 block diagonal MT로만 되게(for any g in G) basis를 잡을 수 있다.
-(Maschke's Theorem)(F=R(Std), C일 때)for G:finite group, V:nonzero G-Md f-dim VS(F), V is a direct sum of irreducible G-subMds(link)
(즉 G:finite group, G-Md f-dim VS(R(Std) or C)는 completely reducible이다.)
-G-Md homo관련(G:group, f:V1->V2가 G-Md homo, V,V1,V2:G-Md VS(F))
-ker(f):G-subMd of V1
-Im(f):G-subMd of V2
-(Isomorphism Theorem for G-Md VS(F))te! F:V1/ker(f)->Im(f) s.t. F:G-Md isomorphism
-f:V1->V2:G-Md homo iff u:rep of G to GL(V1), v:rep of G to GL(V2)라 할 때 f(u(g)) = v(g)(f)), link보고 그림보는게 이해 쉬움(link)
-f가 G-Md iso면 u(G)->v(G) conjugation isomorphism을 얻는다.
-(Schur's Lemma)for V1,V2:irreducible G-Md VS(F), f:V1->V2는 G-Md homo일 때 f는 zero map or G-Md iso
-for V1:irreducible G-Md VS(F), Hom_G(V1,V2)=0 iff te no G-subMd of V2 s.t. G-Md isomorphic to V1
(V2의 irreducible factor중 V1과 isomorphic(as G-Md VS(F))한 것은 없다는 지표가 됨)
-End_G(V)관련
-for F=C일 때, V:irreducible G-Md VS(F), f in End_G(V,V)일 때, f=egv*id where egv(f)(link)
-따라서 f의 egv가 1개뿐이라는 것도 알게 됨
-for V:irreducible G-Md VS(F), End_G(V) aiso F
-End_G(V)에 해당되는 Matrix rep 버전이 Com(X), where X:MT-rep(isomorphic as algebra란 소리)
-for V=direct sum of V1 and V2 s.t. V1,V2:G-subMd of V s.t. Hom_G(V1,V2)=Hom_G(V2,V1)=0, End_G(V) aiso End_G(V1) x End_G(V2)(link)
-k개여도 확장됨, End_G(V) aiso End_G(V1) x End_G(V2) x ... x End_G(Vk)
(물론 이 Vi중 irreducible인게 있다면 그건 F와 aiso if F:ac-F)
-for V=direct sum of V1 and V2 s.t. V1,V2:irreducible G-subMd of V s.t. Hom_G(V1,V2):nonzero, End_G(V) aiso MT(2x2)(F)(link)
-m개여도 확장됨, End_G(V) aiso MT(mxm)(F)
-(위의 2개 내용으로부터)V=m1V1 + m2V2 + ... +mkVk(즉 irreducible V1이 G-Md isomorphic한게 m1개 ...)(as direct sum)일 때
End_G(V) aiso MT(m1xm1)(F) + MT(m2xm2)(F) + ... + MT(mkxmk)(F)(as direct sum)
-dim(V)=sum of mi*dim(Vi)
-dim(End_G(V))=sum of square(mi)
-Z(End_G(V))=F^k, (즉 not G-Md isomorphic submodule의 개수를 가르쳐줌)
-Class function관련(G:Group, V:G-Md VS(F), c:character of V, h:class function of G, R(G):=set of all class function of G, F(G):=set of all function from G to F)
-F(G):VS(F)
-R(G):subspace of F(G)
-{irr characters of G}:basis for R(G)
-G가 finite일 때(|G|=n)
-F(G):VS(F) isomorphic to F^n
-dim(F(G))=n >= dim(R(G))
-F(G)에 inner product를 줄 수 있다.(F가 R이나 C이면) for f1,f2 in F(G), <f1,f2>:=1/n * {sum over g in G f1(g)*ct(f2(g))}(1/n = 1/|G|은 normalize위해서)
(즉, F(G)는 IPS(F)됨)
-Character of rep(G)관련
-(Linear Independence of multiplicative characters)for f1,f2,...,fk:distinct multiplicative characters on G, f1,f2,...,fk:linearly independent over F
-c(identity)=degree of c(즉 dim(V))
-c is a class function on G
-for another U:G-Md VS(F) s.t. isomorphic to V as G-Md, c=character of U
(즉 G-Md iso한 V에서의 Character는 서로 같은 함숫값가짐 for any g in G)
(역은 F=C일 때 성립)
-for V=m1V1 + m2V2 + ... +mkVk(즉 irreducible V1이 G-Md isomorphic한게 m1개 ...)(as direct sum)일 때 character of V=sum of (mi*character of Vi)
-G가 finite일 때(|G|=n)
-for c:character of F[G], c(identity)=|G|, c(g)=0 for any non identity g.
-(F=C일 때)<c1,c2> = 1/n * {sum over g in G c1(g)*ct(c2(g))} = 1/n * {sum over g in G c1(g)*c2(g^(-1))}(link)
(사실 for all g in G, c1(g)*ct(c2(g)) = c1(g)*c2(g^(-1))이기 때문에 성립)
-for irr character c1 of G-Md V1, irr chacracter c2 of G-Md V2, <c1,c2>=1(if V1 G-Md isomorphic to V2) or 0(otherwise)(link)
-(F=C일 때)for V:f-dim and V=m1V1 + m2V2 + ... +mkVk, ci:character of Vi, Vi:irr G-subMd
-c=sum of mi*ci
-<c,ci>=mi
-<c,c>=sum of (mi)^2
-<c,c>=1 iff V:irr G-Md iff c:irr
-decomposition is unique(ci가 linearly independent임을 이용)
-irr G-Md V개수=irr character of G=conjugacy class of G의 개수(link)
-TP(V1,V2)관련(Vi:Gi-Md)
-TP(V1,V2):G1xG2-Md
-character of TP(V1,V2)(g1,g2):=character of V1(g1) * character of V2(g2)
-V1:irr G1-Md and V2:irr G2-Md iff TP(V1,V2):irr G1xG2-Md
-Every irr G1xG2-Md V is isomorphic to TP(V1,V2) for some irr G1-Md V1 and irr G2-Md V2
-Restricted, induced관련
-induced rep은 well-defined and independent of a choice of a transversal(link1)(link2)
-(Frobenius Reciprocity)<char of G, induced>=<char of H, restricted>(link)
*Ring Theory
-Ring, Subring관련
-zd는 not unit
-unit은 not zd
-for any x in R, x^3=x이면 R:CR(link)
-for any x in R, x^4=x이면 R:CR(link1)(link2)
-C_R(subR):subring
-N_R(subR):the largest subring of R which includes subR as ideal
-Z(R)관련
-commutative SR이다.
-for any ring R, R = Z(R)-A(algebra over its center)
-R=R일 때
-id1 + id2는 smallest id containing id1 and id2
-id1id2는 id contained in id1교id2
-R=CR일 때
-r:nilpotent이면 1+r:unit
-a|b iff a in (b) iff (a)<(b)
-(gcd(a,b))>({a,b})
(=될 충분조건은 ({a,b})가 p-id로 ({a,b})=(d)였다면 d=gcd(a,b)이다.)
-cprm-id는 element-wise하게 얘기할 수도 있음
-(Existence of the smallest ring containing R in which all elements in E become units)
E:subset of R, not contain 0 of R, not contain zd of R, closed under multiplication일 때
te CR_[1]인 R2 s.t. R2 contain R as subR and every element in E is a unit in R2
-R=R_[1]일 때
-id=R iff 1 is in id
-every proper id is contained in a M-id(link)
-R=DR일 때
-(Wedderburn's little theorem)finite DR은 field
-R=CR_[1]일 때,
-R:field iff id of R은 0과 자기자신 뿐
-id:M-id iff R/id:field
(field를 construct하는 방법을 제시)
-id:cprm-id iff R/id:ID
-every M-id는 cprm-id이다.
-R=ID일 때
-finite ID는 field
-(a)=(b)이면 a,b:associate in R
-(uniqueness of gcd)c=gcd(a,b)이고 d=gcd(a,b)이면 c,d:associate in R
-r:prime이면 r:irreducible in R
-(Existence of Quotient Field)QF(ID)는 유일하게 존재한다.
-R=UFD일 때
-for nonzero nonunit r in R, r:prime iff r:irreducible
-for nonzero a, nonzero b in R, gcd(a,b)는 factorization of primes로 구할 수 있다.
-R=PID일 때
-(Characterization of PID)ID:PID iff ID has a multiplicative DHnorm_ID(link)
-for nonzero a, nonzero b in R, (a,b)=(r)인 r이 존재하고 r=gcd(a,b) up to associate, 따라서 te x,y, in R s.t. gcd(a,b)=ax+by
-for nonzero a, nonzero b in R, te x,y in R s.t. gcd(a,b)=ax+by, 따라서 (gcd(a,b))=({a,b})
-Every nonzero cprm-id is M-id(역은 CR_[1]에서도 성립)
(Characterization 빼곤 2개는 inverse가 성립함을 가리킴)
-Noetherian
-R=ED일 때
-(Characterization of ED)ID:ED iff ID has a EFnorm_ID
-Every id is p-id(그때의 generator는 norm이 minimum인 원소)
-for nonzero a, nonzero b in R, gcd(a,b)는 Euclidean Algorithm으로 구할 수 있다.
-Z(R)관련
-subring
-graded관련
-R:graded, id:graded일 때, R/id 또한 graded이고 homogeneous component of degree k 는 Rk/(id교Rk)와 isomorphic
-Functions Ring관련
-R=CR_[1]일 때 R[x]
-R[x]:CR_[1]
-R[x1,x2]:=R[x1][x2]로 several variables polynomial ring정의됨
-id:id of R, R[x]/id[x] riso R/id[x]
-따라서 id:cprm-id of R일 땐, id[x]:cprm-id of R[x]가 된다.
(M-id에 대해선 성립하지 않는다. 즉 id:M-id of R이라 해서 id[x]가 M-id of R[x]가 되진 않음)
-(Characterization of unit in R[x])P(x)=a0+a1x+...+anx^n:unit in R[x] iff a0:unit and ai:nilpotent for i>=1
-(Hilbert's Basis Theorem)(link1)(link2)
:R이 Noetherian이면 R[x]도 Noetherian
-R=ID일 때 R[x]
-R[x]:ID
-deg(P1)+deg(P2)=deg(P1P2)
-R[x]^* = R^* (zd가 없어서 nonzero nilpotent가 없기 때문)
-for nonconstant and monic P(x) in R[x], P(x):reducible in R[x] iff te a(x), b(x) in R[x] s.t. P(x)=a(x)b(x) and a(x),b(x)모두 nonconstant and monic
-for nonconstant and monic P(x) in R[x], P(x):reducible in R[x]이면 for any proper id of R, the reduced P(x) in (R/id)[x] can be factored into two smaller degree polynomials in (R/id)[x]
(이때 two polynomials가 nonconstant인지, monic인지 둘다 보장 안됨)
(역은 성립하지 않음)
(대우를 통해서 irreducible판정의 충분조건 얻음)
(Several Variables인 경우 조심, 예를 들면 Z[x,y]=Z[x][y]이고, (x)는 proper id in Z[x]이지만, Z[x]/(x) riso Z, 이런 경우)
-R=UFD일 때 R[x]
-(Gauss's Lemma)for P(x) in R[x], P(x):reducible in QF(R)[x]이면 P(x):reducible in R[x]
-(Gauss's Lemma의 Partial Converse)for P(x) in R[x], P(x):reducible in R[x] and gcd of coefficients of P(x)=1이면 P(x):reducible in QF(R)[x]
(gcd=1이란 조건이, 어떻게 사용되냐면 P(x)=a(x)b(x), a(x)와 b(x)모두 not constant임을 보장해줌)
(gcd=1이란 조건위해 대게 monic인 것 사용)
(예를 들면 2x+2는 Z[x]에서 reducible, Q[x]에서 irreducible이고 2x+1은 Z[x]에서 irreducible Q[x]에서도 irreducible)
-R:UFD iff R[x]:UFD
-따라서 R:UFD이면 R[x], R[x1,x2],...도 UFD
-for P(x) in R[x], if p/q in QF(R) s.t. P(p/q)=0 and gcd(p,q)=1, p는 P(x)의 constant를 나누고, q는 P(x)의 leading coefficient를 나눈다.
(특히 Z[x], QF(Z)=Q에서 주로 사용)
(for P(x) in R[x], P(x) has no root in QF(R)임을 보일 때 사용하기도 함, 2,3 degree가 no root in QF(R)이면 irreducible in QF(R)이고 따라서 P(x):irreducible in R[x])
-R=PID일 때 R[x]
-R[x]:PID이면 R은 사실 Field여야만 함
-R=ED일 때 R[x]
-R=F일 때 R[x]
-R[x]:ED(using degree norm), VS(F)
(역도 참)
-R[x]:ED이므로 UFD이고
-for any G(x) in R[x], G(x)=(P1(x))^m_1 * (P2(x))^m_2 * ... * (Pk(x))^m_k, 각 Pi(x)는 distinct하고 irreducible polynomials in R[x]
-R[x]/(G(x)) riso R[x]/((P1(x))^m_1) x R[x]/((P2(x))^m_2) x ... x R[x]/((Pk(x))^m_k)(using Chinese Remainder Theorem)
-P(x) has a factor of degree 1 iff P(x) has a root a in F, i.e. P(a)=0
-(Irreducible Criteria)P(x), degree 2 or 3, 가 reducible iff P(x) has a root a in F, i.e. P(a)=0
-(Lagrange Interpolation Formula)(link)
:특정 지점에서 특정 값을 갖게하는 최소 degree polynomial 건설방법(unique), link참고
-특히 F_p[x]의 경우
-x^p - x +a:irreducible over F_p for nonzero a in F_p(link)
-F[x1,x2,...,xn]관련
-qdf_F관련
-qdf1, qdf2:equivalent iff MT_qdf1 =_congruent MT_qdf2
(따라서 M_qdf, quadratic map부분 참조)
-F(x)관련
-F=QF(ID)라면, QF(ID[x])=QF(ID)(x)
-Aut(F(x)/F)의 원소 f는 f(x)만 결정되면 for a in F(x), f(a)가 결정됨(link1)(link2)
-Irreducibility of a polynomial
-실질적 방법
-(Finding Proper id)
:nonconstant and monic P(x) in ID[x], te proper id s.t. P(x) in (ID/id)[x] cannot factored two smaller degree polynomials이면 P(x):irreducible in ID[x]
(만약 모든 proper id에 대해서 factored two smaller degree된다면 irreducible인지 판정할 수 없다, 하지만, 어떤 id에 대해서 irreducible factorization의 degree와 다른 id에 대해서 irreducible factorization의 degree가 다르다면, P(x)는 irreducible일 수 밖에 없다.)
-(Finding Cprm-id, Eisenstein Criteria)
:nonconstant and monic P(x) in ID[x], te cprm-id s.t. coefficients of P(x)가 leading빼곤 다 cprm-id의 원소이고 상수항은 (cprm-id)^2의 원소가 아닌, 이면 P(x):irreducible in ID[x]
-(Root존재여부)
:nonconstant and (monic) P(x) in F[x],
-deg(P(x))=1이면 P(x):irreducible in F[x]
-deg(P(x))=2이고 no root in F이면 P(x):irreducible in F[x]
-deg(P(x))=3이고 no root in F이면 P(x):irreducible in F[x]
-P(x):reducible iff P(x+1):reducible
-관계
-P(x):irreducible in UFD[x]이면 P(x):irreducible in QF(UFD)[x]
-nonconstant and (monic) P(x):irreducible in QF(UFD)[x]이면 P(x):irreducible in UFD[x]
-Homomorphism관련
-ker(homor)는 id가 된다. homor:R1->R2일 때 R1의 id
-homor:R1->R2일 때 homor(R1):SR of R2
-homor:R1->R2에서 R1:field면 homor는 injective이거나 zero homor이다.
-Quotient Ring관련
-(First RISO Theorem)homor:R1->R2일 때, R1/ker(homor) riso homor(R1)
-(Second RISO Theorem)SR1 + id = SR2 이고 SR1교id1=id2 of SR1 이고 (SR + id)/id riso SR/(SR교id)(제일 마지막 결과가 앞선 2개를 포함함)
-(Third RISO Theorem)id1<id2일 때, id2/id1:id of (R/id1) 이고 (R/id1)/(id2/id1) riso (R/id2)
-(Fourth RISO Theorem)id가 있을 때, te bijection from {SR containing id} to {SR of R/id}게다가 id<E에 대해 E:ideal of R iff E/id:ideal of R/id
-(Chinese Remainder Theorem for CR_[1])id1,id2,...,idn에 대하여,
-homor:R->(R/id1)x(R/id2)x...x(R/idn) (homor된다는 점)
-ker(homor)은 id1교id2교...교idn
-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 ker(homor)=id1교id2교...교idn=id1id2...idn 그리고 homor가 surjective
-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 induced riso에 양변에 ^*을 취해도 성립(group of units끼리도 giso된다는 것)
-Matrix Ring관련
-for id of R, MT(id):id of MT(R)
-id:id of R일 때, id=ker(homor), where homor:MT(R)->MR(R/id)
-MT(R_[1])의 id는 MT(id) where id is ideal of R_[1]이 된다.
-MT(F)의 id는 0과 MT(F)뿐
-Group Ring관련
-R[G]가 CR <-> G가 abelian
-R의 1이 RG의 1이다.
-SR _< R, S _< G일 때, SR[G]와 R[S]는 R[G]의 subring이다.
-zd가 항상 존재.
-augmentation map:R[G]->R관련
-homor되고, ker은 계수합이 0인 것들
-ker은 ({g-1|g in G})
-ker은 M-id된다.
-다른 대표적 id는 g_i의 계수가 다 같은 것들
*Field Theory
-Basic
-id of F는 0와 자기자신뿐
-for SR of F s.t. contains the 1 of F, SR=ID
-char(F)=0 or prm이다. char(F)=0이면 F has a subfield isomorphic to Q, char(F)=prm이면 F has a subfield isomorphic to F_p
-F는 VS(F)로도 간주할 수 있다. 특히 F2/F도 가능
-F^*의 finite subgroup은 cyclic이다.(link)
-Extension Field관련
-(Existence of Extension Field using irreducible polynomial)
:P(x):irreducible in F[x]이면
-te F2/F s.t. F2 contain F as subfield and F2 contain a root of P(x)이고(link)
(homor f:F[x]->F[x]/(P(x)), for any P1(x) in F[x], P1(f(x))=f(P1(x))인 걸 생각)
-a=x (mod (P(x)) in F2라 할 때, a가 그 root이고, {1,a,a^2,...,a^(n-1)}:basis for F2 over F(deg(P(x))을 n이라할 때)
(즉 [F2:F]=n임을 앎)
(F2/F가 P(x)의 root를 갖고 있긴 한데, 모든 roots를 갖고 있진 않을 수 있음, 하지만 반복한다면 F와 all roots of P(x)를 포함하는 extension field만들 수 있음)
-F(a) isomorphic to F2(=F[x]/(P(x)))
-따라서 F(a)={linear combinations of {1,a,a^2,...,a^(deg(P(x))-1)}}로써 describe가능
(F와 P(x)의 root를 포함하는 field의 존재성을 보였는데, P(x)가 irreducible in F[x]일 땐사실상 증명을 통해 그게 unique up to isomorphism인 걸 보인 셈)
(사실 F[x]는 ED이고 따라서 UFD이므로 for any nonconstant P(x) in F[x]에 대해서도 같은 논의 가능, irreducible인 factor잡아서)
-char(F)=0이면 every finite length extension of F는 simple extension이다. 즉 F(a1,a2,...,an)=F(b)인 b존재
-F1 riso F2 by f이면
-induce F1[x] riso F2[x] by g이고
-for P(x):irreducible in F1[x], a:root of P(x), b:root of g(P(x))라 두면(b가 f(a)일 필요는 없음)
-te riso h:F1(a)->F2(b) s.t. h(a)=b and restriction of h on F1 is equal to f
(F2=F1인 경우면서 a != b인 경우 생각하면, F(a)와 F(b)는 대수적으로 같은 구조임을 앎)
-(Describing Simple Extension using algebraic element)
:a:alg(F)이면
-mP_(a,F)는 defined되고
-F(a) isomorphic to F2(=F[x]/(mP_(a,F)))
-deg(a)=deg(mP_(a,F))=[F(a):F]
-iff [F(a):F]:finite(a:alg(F)임을 판단하는 데에 쓰이기도 함)
-F2:FEF of F1이면 F2:AEF of F1(link)
-F2/F1, a:alg(F1)이면
-a:alg(F2)이고
-mP_(a,F2) | mP_(a,F1)
-F3/F2 and F2/F1이면 [F3:F1]=[F3:F2][F2:F1]
-F2:FEF of F1 iff F2=F1(a1,a2,...,ak) for some algebraic ai over F1
-for F2/F1, F2=F1(a1,a2,...,ak) for some algebraic ai over F1 s.t. [F1(ai):F1]=ni이라면 [F2:F1]<=n1*n2*...*nk
-for F2/F1, the collection of all algebraic element over F1 in F2 is the subfield of F2
-F3:AEF of F2, F2:AEF of F1이면 F3:AEF of F1(link)
-[F1F2:F]<=[F1:F][F2:F] with equality if gcd([F1:F],[F2:F])=1
-Classical Straightedge and Compass Constructions관련
-Construction Rule
(1) straightedge-이미 주어진 두 점을 이어 선분(직선)을 그릴 수 있다.
(2) compass-이미 주어진 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.(원점은 어디든 가능)
->기본적으로 가능한 일은,
-평행하지 않는 두 직선이 만나는 점을 찍을 수 있다.
-원과 직선이 만나는 점을 찍을 수 있다.
-두 원이 만나는 점을 찍을 수 있다.
-기초적으로 작도가능한 것들
(1) Euclidean Plane상에 각 좌표의 성분이 정수인 점들을 그릴 수 있다.
(2) 주어진 한 점(A), 한 직선(l), l에 평행이고 A를 지나는 직선을 작도 할 수 있다.
(3) 주어진 한 직선(l)상에 이미 아는 점(P)가 놓여있을 때, P를 지나고 동시에 l에 수직인 직선을 작도할 수 있다.
(구체적인 방법은 다음을 참고)
-http://blog.naver.com/mclub3/10184519519
-몇가지 Theorems
(1) a와 b가 constructible이면
a+b, a-b, ab, a/b도 constructible이다. (when b is not 0)
(a,b가 constructible일 때, ab가 constructible인 이유는 닮은삼각형 이용)
따라서 모든 contructible numbers의 set(F라 하자.)은 subfield of real numbers R
따라서 Q(rational numbers)은 subfield of 모든 constructible numbers의 set
(Q는 R의 smallest subfield이므로)
따라서 모든 유리수 길이의 segment는 그릴 수가 있다.
따라서 Euclidean Plane상에 각 좌표의 성분이 유리수인 점들을 그릴 수 있다.
(이 plane상에 추가적으로 더 찍힐 수 있는 points의 가능성은...3가지가 있다.
유리수 좌표의 두 점을 지나는 두 직선의 교점,
유리수 좌표의 두 점을 지나는 직선과 유리수 좌표의 점을 중심으로 하고 반지름을 유리수로 갖는 원의 교점,
유리수 좌표의 점을 중심으로 하고 반지름을 유리수로 갖는 두 원의 교점.
이 중에서
첫번째는 관심이 없고(새로 추가적으로 찍히는 point가 생기지는 않는다.)
세번째는 두번째로 귀결된다.
두번째는 관심이 있다. 새로 얻은 교점의 좌표가 유리수에 square root를 씌운 값이 나오기 때문
(2) F는 Q의 원소에 유한번의 사칙연산 과 유한번의 taking square을 통해 얻을 수 있는 모든 real numbers를 포함한다.(precisely)
(유한번의 사칙연산과 유한번의 taking square를 통해 얻은게 아닌 것은 F에 포함되지 않음을 보인다음, 유한번의 taking square만 증명하면 된다. 유한번의 사칙연산은 (1)에서 보임)
따라서 어떤 real number r이 constructible 이면 [Q(r):Q]=2^s for some integer s>=0.
따라서 F는 algebraic extension of Q (not finite extension!!!)
-3대 작도불가능
(1) 주어진 cube에 대해 그 cube의 volume의 2배인 cube을 작도할 수는 없다.
(2) 주어진 원의 넓이와 같은 정사각형을 작도할 수는 없다.
(3) 임의의 각을 3등분 하는 것은 불가능하다.(각 t의 작도<->cos(t)의 작도와 cos의 3배각 공식+20도 이용)
-각 t를 작도할 수 있음 iff cos(t)를 작도할 수 있음
-ac(F):ac-F
-for any F1, te a extension field F2 s.t. F1<F2 and F2:ac-F
-{x in F2 s.t. x:alg over F1}=ac(F1), ac(F1) is unique up to isomorphism
(즉 어떠한 ac-F인 F의 subfield F2의 algebraic closure는 F안에 있다, 예를 들면 C는 Q의 algebraic closure를 포함한다.)
-for char(F)=p, Frobenius_F is injective
-SptEF관련(F2:SptEF_(P(x),F1))
-For an irreducible poly Q(x) in F1[x] s.t. it has a root in F2, Q(x) splits completely in F2[x](link)
(역은 [F2:F1]<inf란 조건 필요)(link)
-Separable관련(F1<F2, f(x) in F1[x])
-(separable criteria)f(x) has a multiple root a iff a is a root of both f(x) and D_x(f(x))
-f(x):separable over F1 iff gcd(f(x),D_x(f(x)))=1 in F1[x]
-(separable criteria for a perfect field)F1:perfect일 때,
-f(x):separable over F1 iff f(x):product of distinct irreducible polynomials
-for F1:perfect일 때 F2:AEF of F1이면 F2:SEF of F1
-for F2:SptEF_(P(x),F1) with F1:perfect이면 F2:GEF of F1
-Cyclotomic Field of nth root of unity관련(Q(
-Cyclotomic Field of nth root of unity=SptEF_(x^n-1,Q)=Q(primitive nth root of unity)
-x^n - 1 = prod over all d:divisor of n CCTMP(x)_d(각 root of x^n - 1도 x^d - 1에선 primitive root가 되기 때문에)
-n=sum over all d:divisor of n ephi(d)(위의 identity에서 degree만 생각)
-CCTMP(x)_n은
-it is in Z[x](by induction on n, x^n - 1 identity and Gauss's Lemma)
-irreducible over Z(따라서 over Q에서도 irreducible)
-
-[Cyclotomic Field of nth root of unity:Q]=ephi(n)
-Aut관련, Galois Theory관련
-for f in Aut(F), f fixes the prime subfield of F
-for a in F2 s.t. alg over F1, for any f in Aut(F2/F1), a와 f(a) 모두 roots of m_(a,F1)
(즉, P(x) in F1[x]의 근 a in F2이면 for any f in Aut(F2/F1) f(a)도 P(x)의 근)
-for F1<F2<F3, Aut(F3/F2)<Aut(F3/F1)
-for S1<S2<Aut(F), F_S2 < F_S1
-for F2:SptEF_(P(x),F1), |Aut(F2/F1)|<=[F2:F1](=성립 iff P(x):separable over F1)
(좌측은 minimal polynomial의 distinct roots개수배만큼 곱해나가는 과정이고 우측은 minimal polynomial의 degree배만큼 곱해나가는 과정)
-for F1<F2<F3, S:subgroup of Aut(F3/F1)
-F3_S is a subfield of F3
-[F3:F3_S]=|S|<=[F3:F1], 특히 S=Aut(F3/F1)일 때를 보면, [F3:F3_Aut(F3/F1)]=|Aut(F3/F1)|<=[F3:F1]
(중요함, 첫번째 등호가 중요한데, multiplicative character on S, group의 character이용)
-Aut(F3/F3_S)=S, 즉 F3:GEF of F3_S for any S(증명은 [F3:F3_S]=|S|랑, S<=Aut(F3/F3_S)(subgroup)을 이용)
-S1 != S2이면 F3_S1 != F3_S2이다.
-if F2:FEF of F1, then F2:GEF of F1 iff |Aut(F2/F1)|=[F2:F1](이 경우 Aut(F2/F1)=G(F2/F1))
(증명은, ->은 위에서 보였고, <-은 minimal poly가 separable인 것을 보이면 됨)
(증명과정 중 다음도 알 수 있다. for a in F2, {all roots of m_(a,F1)}={all distinct galois conjugates of a over F1}
-for any f in Aut(F3/F1), Aut(F3/f(F2)) = f Aut(F3/F2) f^(-1)
-If F3:GEF of F1(즉 [F3:F1]=|Aut(F3/F1)|)
-F3:GEF of F2(즉 [F3:F2]=|Aut(F3/F2)|)(SEF NEF생각해보면 됨)(link)
-te bijection from {subgroup G s.t. G<Aut(F3/F1)} to {subfields F s.t. F1<F<F3}(link)
(Injection은 F3:GEF of F1이 없어도 성립, surjection은 F3:GEF of F1이어서 F3:GEF of F여서 성립)
-[F2:F1]=[Aut(F3/F1):Aut(F3/F2)](우변은 group index)
(F2:GEF of F1인지 모름, 보장안됨)
-[F3_S:F1]=[Aut(F3/F1):S]
-F<->G일 때 F:GEF of F1 iff G:normal in Aut(F3/F1)(link1)(link2)
(증명할 때를 참고하면 다음을 알 수 있다. If F3:GEF of F1, then every embedding g of F2 into closure of F1 fixing F1 is a restriction of f in Aut(F3/F1) on F2)
(즉, g(F2) < F3 라는 것)
-J<->G, K<->H일 때
-J교K <-> <G,H>
-JK <-> G교H
-for P(x):separable over F, disc(P(x)) is in F(왜냐하면 Aut(SptEF/F)의 모든 원소에 의해 fixed되므로)
-for monic P(x), disc(P(x)) is polynomial in the coefficients(왜냐하면 roots의 symmetric function이므로)
-finite field관련(F:finite field, char(F)=p, |F|=q)
-Frobenius_F is isomorphism
-the number of distinct subspaces W of dimW=k of dimV=n = (q^n - 1)(q^n - q)...(q^n - q^(k-1)) / (q^k - 1)(q^k - q)...(q^k - q^(k-1))
*Module Theory
-(R-subMd Criteria)E:subset of R-Md가 다음을 만족하면 E는 R-subMd이다.
:E is non-empty
for all r in R, for all x,y in E, x+ry is E
(Vector Space배울 때, subspace판별법과 같다.)
-Torsion관련
-Tor(Md)가 submodule되려면 R:ID여야함
-T
-Ann관련(M:R-Md, N:subMd of M, id:Rid of R)
-Ann_R(N)관련
-for N1<N2이면 Ann_R(N2)<Ann_R(N1)
-for R:PID, N1<N2 with Ann_R(N1)=<a>, Ann_R(N2)=<b>이면 a|b
-Ann_M(id)
-we can make Ann_M(id) an (R/id)-Md
-EDP(M1,M2,...,Mn)/EDP(S1,S2,...,Sn) R-md iso EDP(M1/S1,M2/S2,...,Mn/Sn), where Mi:R-Md, Si:R-subMd of Mi
-for finitely many R-subMd들 N1,N2, ..., Nk, L:=N1+N2+...+Nk라 했을 때
-TFAE
-L이 direct sum of Ni
-for any j in {1,2,3,...,k}, the intersection of Nj and the sum of Ni without Nj = {0}
-L isomorphic N1xN2x...xNk(componentwise로 R-Md만든거)
-for R:R_[1], M:R-Md, te I:injective R-Md s.t. M<I(따라서 Injective hull of M의 존재성 보일 수 있다.
(즉, any R_[1]-Md is a submodule of an injective Md)
-(Characterization of Noetherian Module)
for M:left R-Md, TFAE
-M:Noetherian
-Every nonempty set of submodules of M contains a maximal element under inclusion
-Every submodule of M is finitely generated
(주의:M:finitely generated라 해서 M의 subMd가 finitely generated인 게 보장이 안됨)
-Homomorphism, Quotient Module관련
-Hom(R-Md1,R-Md2):abelian group
-R이 commutative이면 Hom(R-Md1,R-Md2)는 R-Md가 될 수 있다.
-End(R-Md)은 R_[1]
-R이 CR_[1]이면 End(R-Md)는 R-A도 됨
-for M:R-Md, N:R-subMd of M, M/N:R-Md된다.
-for M:R-Md1, N:R-Md2, f in Hom(M,N), M/ker(f) isomorphic to Im(f) as module
-for R:R_[1], M:left R-Md, Hom(R,M) isomorphic to M as module
-for M:R-subMd, N:R-subMd, (M+N)/N isomorphic to M/(M교N)
-for N:R-subMd of L, N:R-subMd of M, (L/M)/(N/M) isomorphic L/N
-{R-subMd of M containing R-subMd N} bijective {R-subMd of M/N}
-This correspondence commutes with the processes of taking sums and intersections
-Hom(M,~)을 취하는 경우, M:R-Md
-Hom(M,EDP(M_i)) isomorphic to EDP(Hom(M,M_i))(finite경우만 link)
-for f in Hom(R-Md1, R-Md2), te homog f' s.t. f':Hom(M,R-Md1)->Hom(M,R-Md2)
(f가 injective이면 f'도 injective)
-for M,M1,M2,M3:R-Md, ES(0,M1,M2,M3) iff ES(0,Hom(M,M1),Hom(M,M2),Hom(M,M3))(link1)(link2)
(따라서 Hom(M,~)을 left exact covariant functor라 한다.)
-SES(M1,M2,M3,f1,f2):split iff SES(Hom(M,M1),Hom(M,M2),Hom(M,M3),f1',f2'):split
(split란 조건없었으면 SES가 유지안됨)
-(Characterization of Projective R-Md)for M,N,L,P:R-Md, TFAE(link1)(link2)
-P:Projective
-P is a direct summand of a free R-Md
-if SES(L,M,N), then SES(Hom(P,L),Hom(P,M),Hom(P,N))
-(Projective modules의 성질)
-P1,P2:Projective R-Md이면 EDP(P1,P2)도 Projective R-Md
-for R:CR_[1]이고 P1,P2:Projective R-Md이면 TP(P1,P2)도 Projective R-Md
-Hom(~,M)을 취하는 경우, M:R-Md
-Hom(direct sum of M_i,M) isomorphic to EDP(Hom(M_i,M))(finite경우만 link)
(direct sum이란 것에 주의)
-for M,M1,M2,M3:R-Md, ES(M1,M2,M3,0) iff ES(0,Hom(M3,M),Hom(M2,M),Hom(M1,M))(link1)(link2)
(따라서 Hom(~,M)을 left exact contravariant functor라 한다.)
-SES(M1,M2,M3,f1,f2):split iff SES(Hom(M3,M),Hom(M2,M),Hom(M1,M),f1',f2'):split
(split란 조건없었으면 SES가 유지안됨)
-(Characterization of Injective R-Md)for M,N,L,I:R-Md, TFAE(link1)(link2)(link3)(link4)
-I:Injective
-for any Lid of R, any f in Hom(Lid,I) can be extended to Hom(R,I)
-if SES(L,M,N), then SES(Hom(N,I),Hom(M,I),Hom(L,I))
-(R:PID일 때) for any nonzero r in R, rI=I
(따라서 R:PID일 때, injective R-Md를 Injective R-subMd로 쪼개면 Injective R-Md됨)
-for R:CR_[1], M,N:left R-Md, f:M^n->N이 n-multilinear alternating일 때
-정의역의 adjacent components 2개를 바꾸면 함숫값이 -1달고 나옴
-정의역의 index에 permutation씌우면 함숫값에 the sign of the permutation을 곱한 것을 얻음
-꼭 인접한 것 2개 아니더라도 정의역의 components중 2개가 같으면 0됨
-
-Free관련
-For R:R_[1], A:set, te FM(R,A) satisfying universal property(link)
-For M:R-Md free on A, M:isomorphic to FM(R,A)
(따라서 free on A인 R-Md끼리는 모두 isomorphic as R-Md)
-Any R-Md1 is quotient of a free R-Md2
-For R:CR_[1], M:R-Md free on A, |A|=n일 때
-M isomorphic R^n(즉 finite rank free module은 사실상 R^n)
-For S:ring s.t. R<S, S^n isomorphic TP(S,R^n) as left S-Md
-For R:CR_[1], M:R-Md free on A, |A|=n, N:R-Md free on B, |B|=m일 때
-TP(M,N) isomorphic R^(mn)
-free, projective, injective, flat포함관계
-free이면 projective
-projective이면 flat
-For R:ID, M:R-Md free of rank n<inf일 때 any n+1 elements는 R-linear dependent(증명은 R의 quotient field로 끌고가서 해서 vector space thm이용)
(즉 free Md에 대한 rank정의와 R:ID일 때 rank정의는 Md가 free이면 부합됨을 알 수 있으나, not free Md인 경우에는 rank개념 조심)
(예를 들면 R:ID, M:R-Md, rank(M)=n이라해서 M이 free인게 보장이 안됨)
-For M:free R-Md이면
-every subMd of M is torsion free
-Tensor Product관련
-for R:R_[1], M:left R-Md, TP(R,M) isomorphic M
-for R:R_[1], M:right R-Md, TP(M,R) isomorphic M
(Universal Property of TP wrt balanced maps)
-for R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md, G:abelian group, |{f:MxN->G s.t. f:R-balanced}|=|{homog:TP(M,N)->G}|
(정의역이 TP(M,N)이고 공역이 G인 homog를 정의하려고할 때, homomorphism인지 체크하기가 쉬워진다.)
-TP(M,N)의 algebraic structure
-R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md이면 TP(M,N):abelian group
-S:R_[1]. R:R_[1], M:(S,R)-biMd, N:left R-Md이면 TP(M,N):left S-Md
-S:R_[1]. R:R_[1], M:right R-Md, N:(R,S)-biMd이면 TP(M,N):right R-Md
-R:CR_[1], M:SR-Md, N:SR-Md이면 TP(M,N):SR-Md
(Universal Property of TP wrt bilinear maps)(link)
-for R:CR_[1], M:SR-Md, N:left R-Md, L:left R-Md, |{f:MxN->L s.t. f:R-bilinear}|=|{homoMd(TP(M,N),L)}|
(정의역이 TP(M,N)이고 공역이 L인 homoMd를 정의하려고할 때, homomorphism인지 체크하기가 쉬워진다.)
(n-multilinear로 확장가능)
-TP(f1,f2)의 algebraic structure
-For R:R_[1], M1:right R-Md, M2:right R-Md, N1:left R-Md, N2:left R-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2)이면 TP(f1,f2):homog
-For S:R_[1], R:R_[1], M1:(S,R)-biMd, M2:(S,R)-biMd, N1:left R-Md, N2:left R-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2)이면 TP(f1,f2):left R-Md homomorphism
-For R:CR_[1], M1,M2,N1,N2:SR-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2)이면 TP(f1,f2):R-module homomorphism(SR)
-(composite commutes with tensor product of R-Md homo)TP(f1,f2) o TP(g1,g2) = TP(f1 o g1, f2 o g2)
(Associativity of Tensor Product)
-TP(M,TP(N,L)) isomorphic TP(TP(M,N),L)(각각이 잘 정의된 상황에서 그리고 그 때의 algebraic structure로써 isomorphic)
(따라서 Tensor Product를 여러번하는게 잘 정의됨)
(Tensor Products commute with direct sums)
-TP(direct sums of Mi,N) isomorphic direct sums of TP(Mi,N)
-TP(M,direct sums of Ni) isomorphic direct sums of TP(M,Ni)
(summand가 유한개일 필요 없다, 무한개라도 direct product가 아닌 direct sum이기만 하면 성립함)
(각각이 잘 정의된 상황에서 그리고 그 때의 algebraic structure로써 isomorphic)
(Commutativity of Tensor Product)
-For R:CR_[1], M,N:SR-Md이면 TP(M,N) isomorphic TP(N,M)
(그렇다고 tp(m,n)이랑 tp(n,m)이 같은 것은 아님)
-TP(M,~)(TP(~,M)도 같음, commutativity of Tensor Product때문)를 취하는 경우
-for M:right R-Md, M1,M2:left R-Md, f in Hom(M1,M2)일 때 f가 surjective이면 tp(1,f):TP(M,M1)->TP(M,M2)도 surjective
-for M:right R-Md, M1,M2,M3:left R-Md, ES(TP(M,M1),TP(M,M2),TP(M,M3),0) iff ES(M1,M2,M3,0)
-if SES(M1,M2,M3):split, then SES(TP(M,M1),TP(M,M2),TP(M,M3)):split
-(Adjoint Associativity)
-for M1:right R-Md, M2:(R,S)-biMd, M2:right S-Md일 때 Hom(TP(M1,M2),M3) giso Hom(M1,Hom(M2,M3))
-MD over PID관련
-R:PID이고 M:R-Md, N:subMd of M
-M이 free이고 finite rank n 이라면 N도 free이고 te a basis {x1,x2,...,xn} for M s.t. te a1,a2,...,am in R s.t. {a1x1,a2x2,...,amxm}:basis for N and a1|a2|a3|...
-M:cyclic인 경우 M은 R/(a) where (a)=Ann_R(M)(homoMd:R->M에서 kernel과 first isomorphism thm이용)
-M이 finitely generated이면
-(invariant factor form)M is isomorphic to direct sum of {R^r, R/(a1), R/(a2), ... , R/(am)} s.t. r:nnn integer, a1|a2|...인 not unit ai들
-(elementary divisor form)M is isomorphic to direct sum of {R^r, R/(p1^a1), R/(p2^a2), ... , R/(pm^am)} s.t. r:nnn integer, pi:prime(not necessarily distinct)
-M:free iff M:torsion free
-Tor(M) is isomorphic to direct sum of {R/(a1), R/(a2), ... , R/(am)}, 이경우 Ann_R(M)은 (am)
-(Primary Decomposition Theorem)
M:nonzero torsion R-Module with nonzero annihilator a=u(p1)^a1(p2)^a2...(prime factorization, u:unit), Ni:={x in M s.t. (pi)^ai x =0}일 때 M은 direct sum of Ni
-R:F[x]인 경우, V:VS(F), f:LT(V), P(x) in F[x](V는 F-Md일 뿐만 아니라, F[x]-Md도 됨, using f for x action on V)
-mP(f) is the largest invariant factor of V and all invariant factors of V divide mP(f)
-Z-Md관련(Abelian Group의 성질)
-Every Abelian Group is a Z-Md
-Every Z-Md is an abelian group
-Z-Md homomorphisms are the same as abelian group homomorphisms
-|G|=m일 때 G is Z/mZ-Md
-특히 m=prm이면 G is Z/pZ-Md, 즉, G is VS(pZ)
-For M:Z-Md, M:Injective iff M:divisible
-For M1,M2:injective Z-Md, EDP(M1,M2):injective
-Every Z-Md is a subMd of an injective Z-Md
(즉 any abelian group은 divisible group의 subgroup)
-there is no finite abelian divisible group
-any quotient of divisible group is a divisible group
-EDP of divisible is divisible
-for M:divisible group, N:torsion abelian Group, TP(M,N)=0(as Z-Md)
-finite abelian group의 성질
-direct product of of its sylow subgroups(nilpotent이므로)
-invariant factor가 group을 결정하고 group이 invariant factor을 결정함, G:of type (n_1,n_2,...,n_k)으로 표현 가능
-|G|=n일 때, 다음을 만족해야함
-n_i>=2 for all i=1,2,...,k
-n_(i+1) | n_i
-n_1*n_2*...*n_k=n
(따라서 n_1은 n의 모든 prm factor을 가진다.)
-elementary divisors을 이용한 elementary divisor decomposition을 이용하면 |G|=n인 abelian group classification 쉬움
(왜냐하면 n_i에 관한 곱셈조건이 덧셈조건으로 바뀌기 때문)
(elementary divisors를 이용하여 finite abelian group classification한 다음에 표를 만들어 invariant factors로 표현!)
-infinite인데 finitely generated abelian인 group의 성질
*Vector Space
-Basic
-(Hamel Basis)모든 VS(F)는 basis를 갖는다.
-따라서 VS(F)의 임의의 subspace는 complement를 갖는다.(즉 direct summand인)
-따라서 free F-Md이고 projective이다.
-F의 원소에 norm을 줄 수 있다면, 모든 VS(F)는 nvs가 될 수 있다.(using Hamel Basis)
-(Rank Theorem for LT)dim(VS(F))=n이고 dim(LS)=m이면 dim(VS(F)/LS)=dim(VS(F))-dim(LS)(n,m중 inf가 있어도 성립)
(따라서 LT(VS1(F),VS2(F))를 이용해 생각하면 dim(VS1(F))=dim(ker(LT))+dim(Im(LT))
-projective, injective, flat
-For V1,V2:VS(F)일 때 TP(V1,V2):VS(F)
(특히 이 경우 tp(v1,v2):nonzero for nonzero v1,v2임을 알 수 있다. 그냥 R-Md의 TP에선 성립안할 수도 있음)
-F:finite field with q elements일 때
-dim(VS(F))=n인 경우
-VS(F)의 different bases개수는 (q^n - 1)(q^n - q)...(q^n - q^(n-1))
-dim(LS)=k인 LS의 개수는 C(n,k)_q
-f-dim관련
-dim(VS(F))=n이면 VS(F):isomorphic as vector space to F^n
(따라서 dimension이 같고 base field가 같은 VS는 서로 isomorphic)
-F^n:VS(F)
(n=1일 때 생각하면 어떤 F든 VS(F)로 간주가능)
-VS(F)와 linear인 f:VS(F)->VS(F)를 1개씩 택할 때 마다 F[x]-Md를 만들 수 있고(set으로는 VS(F)그 자체이면서) 역으로도 가능
(x에 대한 action을 f로써 이용하여 정의하면 됨)
({W:F[x]-submodule} bijective {W:subspace of V and W:f-invariant})
-Function관련(정의역의F와 공역의 F가 다를 순 있으나 그래봤자 subfield관계여야함)
-VS(F)xVS(F)->F
-for (VS(F), b):quadratic space, SMT:a symmetric matrix associated to one of the forms in the equivalence class, f:qdf corresponding to SMT
-TFAE
-SMT:invertible
-b:regular
-rad(b)={0}
-if b:regular, then
-(Dimension Formula)dim(LS)+dim(LS^ㅗ)=dim(VS(F))
-(LS^ㅗ)^ㅗ = LS
-D(f) consists of a union of cosets of F-{0}/(F-{0})^2 as multiplicative groups
-D(f) is not a subgroup of F-{0}, in general
-
-for symmetric bilinear form f on VS(F)
-for E:orthonormal set, E:maximal iff for any x in VS(F) s.t. {x},E:orthogonal, x=0
-for E1:orthonormal set, te E2:maximal orthonormal set s.t. E1<E2
-rad(f) is a LS of VS(F)
-te a linear subspace W s.t. f=f_rad(f) ㅗ f_W and f_W:regular(unique up to isometry)
-W교W^ㅗ=rad(f_W)
-for a linear subspace W,
-TFAE
-dim(VS(F))=dim(W)+dim(W^ㅗ)(link)
(이렇다고해서 VS(F)=direct sum of W, W^ㅗ란 소리는 아님)
-W교rad(f)=0
-TFAE
-f_W:regular
-VS(F)=IDP(W,W^ㅗ)
(따라서 f_W:regular이면 f=f_W ㅗ f_(W^ㅗ))
-if f:regular, then W=(W^ㅗ)^ㅗ
-if f:regular and f_W:regular, then f_(W^ㅗ):regular
-any symmetric bilinear form f is diagonalizable(즉 특정 basis for VS(F)를 잡으면 f의 대응되는 matrix가 DMT(0,0,...0,a1,a2,..,ak)됨(앞 zero파트는 rad, 뒷 nonzero ai파트는 regular part)
-diagonal form계산관련
-<a1,a2,...,ak>, 어느 entry에도 F^*의 제곱을 곱해도 form은 isometric
-<a1,a2,...,ak>, a의 index를 permutation해도 form은 isometric
-for H(VS(F))
-h:regular
-(Characterization of H(VS(F)))
-for
-VS1(F)->VS2(F)
-LT(VS1(F),VS2(F))가 bijective하면 inverse도 linear(그냥 바로 확인됨)
-VS(F)->F(as VS(F))
-LF관련(V:VS(F), S:subspace of V, g:S->F, f:V->F)
-(Hahn-Banach in VS)(link)
-g:subLF(V,R), f:LF(S) s.t. f<=g on S일 때, te F:LF(V) s.t. F=f on S and F<=g on V
(즉 LF(S)가 어떤 subLF보다 작다면(subLF는 전체에서 정의된), LF(S)는 extension가능)
(증명은 일단 S에다가 1차원만 늘리는 걸 찾은 다음에 HMP써서 얻으면 됨)
(g:convF여도 성립)
-VS(F)가 f-dim일 때(dim(VS(F))=n)
-LF관련(V:VS(F), S:subspace of V, g:S->F, f:V->F)
-with inner product <,>
-f:LF일 때, for any v in V, f(v)=<v,a> for some a in V(Orthonormal basis잡고 표현한거 생각)
({b_i}:orthonormal basis일 때 a=sum ct(f(b_i))b_i라 두면 된다. )
-M_qdf관련
-qm_qdf1 = qm_qdf2 iff qdf1=qdf2
-qm_qdf(ax)=a^2 * qm_qdf(x)
-b_qdf:symmetric bilinear form
-qm_qdf and b_qdf determined each other
-b:symmetric bilinear form on VS(F)가 주어지면 qdf_b, qb_b정의가능
-(VS(F),b) determines uniquely an equivalence class of qdf
(따라서 qdf관련 내용은 symmetric bilinear form에 대한 성질로부터 연구됨)
(symmetric bilinear form부분 참고)
-VS1(F)와 VS2(F)가 둘다 f-dim일 때(dim(VS1(F))=n , dim(VS2(F))=m)
-LTC(VS1(F),VS2(F)) is isomorphic to CMT(F)(mxn) as vector space
(따라서 LTC(VS1(F),VS2(F))는 dim이 mn인 VS(F))
(즉 LT(VS1(F),VS2(F))는 MT(F)로 표현이 가능 using fixed two ordered basis)
(이때 이 MT(F)는 represents LT(VS1(F),VS2(F))라 한다.)
-f1:LT(VS1(F),VS2(F)), f2:LT(VS3(F),VS4(F)), with dim(VS3(F))=l, dim(VS4(F))=k일 때
-TP(f1,f2):LT(TP(VS1(F),VS3(F)),TP(VS2(F),VS4(F)))이고
-represent하는 MT는 KP(f1의 represent MT, f2의 represent MT)
(TP(MT1(F),MT2(F))를 가리킴, where MT1(F):representing f1, MT2(F):representing f2)
-Every MT(F) is similar to a UMT(F)(F:ac-F일 때)
-About LMT, UMT
-LMT끼리 곱하면 LMT
-UMT끼리 곱하면 UMT
-About OMT
-det(OMT)=(-1) or 1
-About TMT
-임의의 invertible MT는 TMT(B1,B2)로 간주할 수 있다.
-TMT(B1,B2)를 구하는 방법은 B1의 원소들의 B2좌표들로 column을 만들면 된다.
-TMT(B1,B2)에다가 [v]_B1을 곱하면 [v]_B2가 나온다.
-TMT(B1,B2)는 invertible and TMT(B2,B1)=inv(TMT(B1,B2))이다.
-TMT(B1,B2)의 (i,j)성분은 B1의 j번째 원소의 i번째 좌표 along B2
-About Proj(LS1,LS2)
-MT:Projection Matrix iff MT is idempotent(link)
-MT:projection matrix onto LS1 along LS2라면 IMT-MT는 Projection matrix onto LS2 along LS1이다.
(Im(MT)=ker(IMT-MT), ker(MT)=Im(IMT-MT)가 성립됨)
-dim(LS1)=r일 때, MT:Projection matrix onto LS1 iff MT:similar to diag(1,1,1,...,1,0,...,0), 1이 r개(link)
-rank(Projection matrix)=tr(projection matrix)(link)
-det=1
-About det
-det(MT1MT2)=det(MT1)det(MT2)
-det(MT)=det(rt(MT))
-det(ct(MT))=ct(det(MT))
-det(IMT - MT1MT2) = det(IMT - MT2MT1) if MT1MT2 and MT2MT1 are defined(link)
-spec(MT1MT2) = spec(MT2MT1) if MT1MT2 and MT2MT1 are defined except 0(즉 0의 중복도는 다를 수도 있음)
-About perm(MT)
-MT of mxn (m<=n)에서도 정의 된다 using σ:[m]->[n], injective
-Square MT일 때
-invariant over P*MT*Q where P,Q:permutation matrix
-invariant over transpose
-Laplace Expansion Theorem for permanent, (link)
-perm(MT1+MT2) = ... (link)
-
-About unimdMT
-invertible
-inverse도 unimdMT(M^(-1) = adj(M)/det(M)생각)
-integral egv는 반드시 1 or -1(link)
-About Invertible
-{x1,x2,...,xm}이 lind일 때 MT=[x1,x2,...,xm], ct(MT)*MT는 invertible이다.(Null(ct(MT)*MT)생각)
-TFAE
-MT:invertible
-MT has not 0 eigenvalue(link)
-det(MT) not 0
-About trace
-tr(MT)=tr(rt(MT))
-tr(MT1MT2)=tr(MT2MT1)
-tr(MT1MT2MT3)=tr(MT2MT3MT1)=tr(MT3MT1MT2), not equal to tr(MT1MT3MT2)
-tr(MT)=sum of egv with the coefficients of am(egv)(using jordan form)
-tr(projection matrix)=rank(projection matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)
-tr(idempotent matrix)=rank(idempotent matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)
-tr(nilpotent matrix)=0(왜냐하면 nilpotent matrix의 egv는 0뿐인 걸 통해 알 수 있음)
-(Shoda's Theorem)tr(MT)=0 iff MT:commutator(즉 te MT1, MT2 s.t. MT=MT1MT2 - MT2MT1)(link)
-If W:subspace of V, LT:V->V, LT(V)<W, then tr(LT)=tr(restriction of LT on W)(link)
-LT:MT(nxn)(R)->R(std) s.t. LT(MT1MT2)=LT(MT2MT1)이면 LT는 trace의 scalar multiplication
(proof는 e_(i,j)적절히 사용, LT(MT)=trace(MT)LT(e_(1,1))을 보임)
-About MPinv(MT)
-MPinv(MT)구하는 방법
-MT의 rank를 구한다. say r
-LU-Factorization of MT한 다음 L의 first r columns로 B, U의 first r rows로 C
-MPinv(MT)=rt(C) * inv(C*rt(C)) * inv(rt(B)*B) * rt(B)
-Ginv(MT)구하는 방법
-MT의 rank를 구한다. say r
-LU-Factorization of MT한 다음 L의 first r columns로 B, U의 first r rows로 C
-(CB):invertible이면 Ginv(MT) = B * inv(CB) * inv(CB) * C
-About Rank
-rank is subadditive
(rank(A+B)<=rank(A)+rank(B)-max(c,d), where c=dim(col(A)교col(B)), d=dim(row(A)교row(B))
-M:real entries이면
-rank(M)=rank(rt(M)M)=rank(Mrt(M))=rank(rt(M))
(증명은 M과 rt(M)M의 kernal비교)
-M:complex entreis이면
-rank(M)=rank(ct(M))=rank(rt(M))=rank(bar(M))=rank(ct(M)M)=rank(Mct(M))
(bar(M)은 모든 성분에 conjugate씌운 것)
-About charP(MT), mP(MT)
-{charP(MT)=0의 해}={egv(MT)}
-charP(MT)=charP(rt(MT))=charP(ct(MT))
-for monic P(x) in F[x], charP(cpMT(P(x)))=P(x)
-direct sum of MT1, MT2, ... 의 charP는 the product of charP(MTi)
-charP(MT)=the product of all invariant factors of MT(MT랑 RCF(MT)는 similar니까)
-(Cayley-Hamilton Theorem)mP(MT)|charP(MT)(mP(MT)는 the largest invariant factor이므로)
-charP(MT)|(mP(MT))^k for some k
-mP(diag)은 squarefree
-mP(JCF(MT))은 lcm(mP(jordan block1), mP(jordan block2), ...)이다.
-charP(MT,x)의 계수
-x^n의 계수 =1
-x^(n-1)의 계수 = sum of all first-order diagonal minors of MT * (-1) = tr(MT) * (-1)
-x^(n-2)의 계수 = sum of all second-order diagonal minors of MT
-...
-x^0의 계수 = det(MT) * (-1)^n
-About Equivalence Relations
-About Equivalence
-MT1 =_equi MT2
iff MT2 can be transformed into MT1 by a combination of ERO and ECO
iff MT1, MT2 have the same rank
-MT =_equi RREF of MT
-About Similar
-MT1과 MT2가 similar란, same linear operator인데 with different basis
-for F1<F2, MT1과 MT2가 over F1에서 similar iff MT1과 MT2가 over F2에서 similar(using RCF, uniqueness)
-similar이면 공유하는 것들
-rank
-det
-charP(즉 charP is independent of choice of basis)(link)
-tr
-egv and am(egv), gm(egv) (주의, egS는 공유안함, similar하게해주는 invertible MT에 의해 달라짐)
-mP
-elementary divisor(module하면서 정리)
-RCF
(MT와 RREF of MT는 similar가 아니다)
-dgMT경우
-similar인 DMT의 대각성분은 egv이고 invertible MT는 egv에 대응되는 egv로 이루어진다.
-(Characterization of dgMT) TFAE(link1)(link2)(link3)
-MT:dgMT
-lind인 n개의 egv를 가짐
-VS(F)=direct sum of all egs of MT
-any MT-invariant subspace has an MT-invariant complement(단 ac-F일 때)
(즉 MT:semisimple)
(따라서 MT의 egv가 서로 다른 n개로 존재한다면 dgMT가 됨, 하지만 dgMT라 해서 서로 다른 n개의 egv를 가지는 건 아니다.)
-mP(MT):squarefree
(각 invariant factor에서 linear factor가 1개씩만 있다는 것)
-{MT}:commuting이면 te a common egv for {MT}(link)
-for C:{dgMT}, C:commuting iff C:dg{MT}(link)
-C:dg{MT}이면 C의 원소의 합과 차도 dgMT가 된다.
-MT:dgMT이고 S:MT-invariant subspace이면 restriction of MT on S도 dgMT
-Every MT =_sim UMT(Using Jordan Canonical Decomposition)
-(Schur)Every MT =_usim UMT with egv diagonals
-About Congruent
-if MT2 = rt(...)MT1(...), then MT1 =_congruent MT2
(MT1에 ERO을 좌승하고 그 ERO의 transpose를 우승, 이렇게 반복해서 얻으면 congruent)
-MT:SMT iff MT:odgMT iff MT =_congruent DMT
-(Sylvester's Law of Intertia)MT1:SMT, MT2:SMT일 때
MT1 =_congruent MT2 iff inertia(MT1)=inertia(MT2)
-About egv, egv, egS
-임의의 MT에 대해 적어도 1개의 egv가 존재(ac-F란 조건 필요)
-egv(MT)를 모두 곱하면(counted by algebraic multiplicities) det(MT)를 얻는다.(charP(MT)에 x=0대입해보면 앎)
-egv(MT)를 모두 더하면 tr(MT)가 나옴(직접 (n-1)의 계수를 구하는 방식으로)
-한 MT에서 얻은 서로 다른 egv의 egv는 lind(link)
-egs(MT,egv1)+egs(MT,egv2)+...은 direct sum이 항상 됨
-egs(MT,egv1), egs(MT,egv2)...의 direct sum이 전체 VS(F)이 된다면, MT는 dgMT(역도 성립)
-gm(MT, egv1)<=am(MT, egv1)
-the sum of gm(MT,egv_i)=MT의 size iff MT:dgMT iff gm(egv_i)=am(egv_i) for each i
-spec(MT1MT2) = spec(MT2MT1) if MT1MT2 and MT2MT1 are defined(0의 중복도는 빼고)
-if {λ1,λ2,...,λn}:spec(MT)
-{λ1+1, λ2+1,...,λn+1}:spec(MT+IMT)
-{a+b*λ1, a+b*λ2, ..., a+b*λn}: spec(a*IMT+b*MT)
-specR(MT+IMT)<=1+specR(MT)
-(egv,egv1=x) of rt(MT) and (egv, egv2=y) of MT일 때
-egv * sum of xi = sum of xi*ith row sum
-egv * sum of yi = sum of yi*ith column sum
-Canonical Form관련
-RCF(MT):the rational canonical form of MT
-RCF(MT) is unique
-MT =_sim RCF(MT)
-MT1 =_sim MT2 iff RCF(MT1)=RCF(MT2)
-for F1<F2, M:MT(F1)이라 할 때, M은 MT(F2)로도 간주되고, 전자로보나 후자로보나
-RCF 같게 나옴(by uniqueness)
-invariant factors가 같음
-mP(MT)가 같음(the largest invariant factor이므로)
-charP(MT)가 같음(모든 invariant factors의 곱이므로)
-SNF(MT):the smith normal form of MT
-SNF(MT) =_equi (xIMT-MT) and SNF(MT) is unique
-
-JCF(MT):the jordan canonical form of MT
-JCF(MT) is unique up to a permutation of the jordan blocks along the diagonal
-MT =_sim JCF(MT)
-(Jordan-Chevalley Decomposition)JCF(MT)에서 diag인 부분을 semisimple part, upper triangular part를 nilpotent part(link1)(link2)
구체적으로 쓰면
-for F:ac-F, any f-dim VS(F), any f:LT(VS(F)), te! f1:LT(VS(F)), f2:LT(VS(F)) s.t. f=f1+f2 and f1:semisimple, f2:nilpotent, f1 and f2:commute
-te polynomials P1(x), P2(x) s.t. P1,P2 둘다 constant term없고 P1(f)=f1, P2(f)=f2,
-for LS1<LS2<VS(F) s.t. f(LS2)<LS1일 때, f1(LS2)<LS1 and f2(LS2)<LS1이다.
(P1만 잘 만들면 P2(x)=x-P1(x)하면 되고 다 확인됨)
-FNF(MT):the Frobenius normal form of MT
-(Existence of FNF for any MT in MT(nxn)(C))(link)
-About Irreducible MT
-MT:irreducible이면 k*IMT + l*MT도 irreducible(for nonzero k,l)
-the smallest number of nonzero elements of an irreducible MT of order n = n(link)
-MT has at least one nonzero element in each line(행, 열 모두) iff te Q:permutation MT s.t. MTQ:irreducible(link1)(link2)
-F=C인 경우(R(std)도 포함, SMT관련 등)
-(Gershgorin Circle Theorem)for A:MT(C)(nxn), R_i:=sum over j(j!=i) |a_(i,j)|, D_i:=B(aii,R_i), called Gershgorin disc, then for any egv of A, egv in D_i for some i(link)
-About Normal, NMT
-HMT, skew-HMT, UnMT 모두 NMT이다.
-TFAE
-MT:NMT
-for any x in C^n, ||MT*x||_2 = ||ct(MT)*x||_2(link)
-MT:udgMT
-MT:maximal orthonormal egv를 가짐(즉 lind인 n개의 egv)
(MT=MT1 * DMT * inv(MT1), where MT1:columns이 egv, DMT:diagonal이 egv, 이걸 MT의 eigendecomposition이라 한다. MT가 NMT일 때 가능, iff)
-MT =_usim NMT iff MT:NMT
-About HMT
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-(Characterization of HMT)
-M:HMT
iff for any x in C^n, ct(x)Mx:real
iff NMT이고 모든 egv가 real이면 HMT이다.(link)(and NMT이면 udgMT이용)
-{all HMT}:closed under real scalar multiplication and +
-모든 대각성분은 real
-for H:HMT(h_(i,j)), column vector h=[h_(1,1), h_(2,2), ..., h_(n,n)], λ=[λ1, λ2, ..., λn] where λi:egv of HMT, te DSMT s.t. h=DSMTλ(link)
-(Toeplitz decomposition)for any M in M(nxn)(C), te! HMT1,HMT2 s.t. M=HMT1 + i*HMT2
-(HMT)^k도 HMT
-for any x in C^n, ct(x)Mx:real iff M:HMT
-HMT가 가역이라면 inverse도 HMT이다.
-MT1:HMT of rank r이면 te P:permutation matrix and M:psubMT of MT1 s.t. M:rxr and of full rank r and ... (link)
-(Courant-Fischer Formula)HMT의 egv를 구하는 방법 제시, link참고(link)
(lin에서 rt대신 ct쓰면됨)
(빨간 부분 오류임, 다음의 link참고)(link)
-(Weyl's Inequalities)for 1<=j<=i<=k<=n, λ_n <= λ_(n-1) <= ... <= λ_1
λ_k(HMT1) + λ_(i-k+n)(HMT2) <= λ_i(HMT1+HMT2) <= λ_j(HMT1)+λ_(i-j+1)(HMT2)(link)
-(Cauchy-Poincare Separation)HMT1:psubMT of HMT2, HMT1과 HMT2의 egv(link1)(link2)
-M1:psubMT of M2, M2:HMT,
-positive inertia(M1) <= positive inertia(M2)
-negative inertia(M1) <= negative inertia(M2)
-M1:psubMT of M2, size (M1)=(n-1)x(n-1), te x s.t. M2x=0 and ...(link참조)일 때 inertia(M2) = inertia(M1) + (1,1,-1)(link)
-M2:invertible, a0=1, ak=det(Mk) where Mk:leading principal kxk subMT of M2일 때 # of negative egv of M2 = # of sign changes in the seq (a0,a1,...,an)(link)
-spec(HMT1)={a1,a2,...,an}, spec(HMT2)={b,0,0,...,0}, spec(HMT1+HMT2)={a1+b,a2,a3,...,an}이면 HMT1HMT2=HMT2HMT1(link1)(link2)
-positive-definite(pd)의 성질
-모든 대각성분은 양수이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)
-positive-definite HMT는 invertible이고 inv도 positive-definite이다.(link)
-(Characterization using egv)HMT:pd iff all egv of HMT is positive
-positive-semidefinite(psd)의 성질
-모든 대각성분은 nnn이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)
-psd:invertible iff psd:positive-definite(characterization of psd,pd using egv 사용 with det)
-(Chacracterization using egv)HMT:psd iff all egv of HMT are nnn
(->는 egv대입, <-는 HMT이면 NMT이고 udgMT이고 udgMT표현에서 ct(x)DMTx >= 0생각)
-(Chacracterization using decomposition)HMT:psd iff te MT s.t. HMT=ct(MT)MT (MT가 square matrix일 필요 없음)(->는 HMT가 NMT이므로 udgMT이고 psd이므로 nnn DMT는 square로 분해되는 걸 이용)
-psd1 + psd2도 psd
-psd + pd는 pd
-spec(psd)는 majorize diagonals(if nonincreasing order하게 rearrange했을 때)
-i번째 큰 egv(psd + SMT) <= i번째 큰 egv(SMT)
-SMT의 경우
-HMT이므로 HMT, NMT성질 다 따름
-egv가 real인것도 알고, egv도 real이 되게 선택가능->SMT:odgMT가 된다.
-MT:odgMT이면 MT:SMT도 성립
-(Courant-Fischer Formula)SMT의 egv를 구하는 방법 제시, link참고(link)
-SMT1,SMT2 with tr(SMT1)>=0, tr(SMT2)<0이면 te x in R^n s.t. rt(x)SMT1x >= 0 and rt(x)SMT2x < 0
-about A:ACMT, (λ,x):egv, eigenvector of A
-te DMT s.t. D^2 = IMT and DAD의 모든 off diagonal entries는 nnn(link)
-if A(1,1,...,1) = 0, then inertia(A)=(a,b,c),
where a=A의 strict upper entries중 음수인 것의 개수, b=A의 strict upper entries중 양수 인 것의 개수, c=n-a-b 이고 n-a-b-1=the degree of reducibility of A(link)
-if A:irreducible and all coordinates of x are nonzero
then λ:simple and all subMT of order n-1 of A-λIMT are invertible(link)
-if te no i,k s.t. a_(i,k) != 0 and x_i = x_k =0
then the multiplicities of λ = p + 1 + sum from k=3 to n-1 (k-2)*s_k(link)
where p:the degree of reducibility of A,
s_k:the number of those indices j for which x_j = 0 and a_(j,l):nonzero for exactly k indices l != j.
-if A:irreducible and λ1>=λ2>=...>=λn and λ=λr and x_i:nonzero for any i
then λr:simple and te! unordered pairs r-1개 (i,k) s.t. i != k and a_(i,k)*x_i*x_k < 0(link)
-if A:irreducible and λ:multiple egv
then x has at least one vanishing coordinate.(link)
-if A:irreducible and λ:simple and te no (i,k) s.t. a_(i,k):nonzero, x_i=x_k=0
then x_j=0 이면 d(v_j)=2(여기서 d(v_j)란, A로 만든 graph에서의 degree)(link)
-about bSMT
-M:bsMT iff M=matrix with (1,1)-block=U, (1,2)-block=JVJ, (2,1)-block=V, (2,2)-block=JUJ, where J=square matrix with ones along the antidiagonal and zeros elsewhere.
-spec(M)=the union of spec(U+JV) and spec(V-JU)
-skew-HMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 egv는 complex(imaginary)
-UnMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 column은 orthonormal basis를 만든다.
-모든 row은 orthonormal basis를 만든다.
-egv의 절댓값이 항상 1(복소평면상에서 UO1에 놓임)
-Some Decomposition(from recent papers)
-(Vilmar)Find spec(MT) using partition MT into smaller one when MT looks little symmetric(link)
-(Vilmar)MT=block MT(A B C D), 2x2일 때, block MT(A αΒ α^-1C D)의 spectrum은?(link)
-About M1-MT
-for M:M1-MT
-all diagonals of M are nnn
-M:Z-MT
-any psubMT of M is also M1-MT
-if irreducible and not invertible
-0 is egv with am(0)=1 and positive eigenvector
-every psubMT of M(not M) is M2-MT(i.e invertible M1-MT)
-if irreducible and invertible, then inv(M):positive(nnn;보다 강함)(link)
-for M:Z-MT
-M:M1-MT iff all egv(M)'s real part is nnn(link)
-M:M1-MT iff all real egv of M is nnn(link)
-M:M1-MT iff all its principal minors are nnn(link)
-M:M1-MT iff M+eps*IMT:invertible for any eps
-for M:invertible and Z-MT
-M:M1-MT iff inv(M):nnn(link)
-
-About M2-MT
-for M:Z-MT
-M:M2-MT iff all egv(M)'s real part is positive
-M:M2-MT iff all real egv of M is positive
-M:M2-MT iff all its principal minors are positive
-for M:M1-MT
-M:invertible iff M:M2-MT(즉 M1-MT중 invertible인게 M2-MT)
-for M:M2-MT
-if M:irreducible, then inv(M) > 0 (not nnn인 것, positive)
-matrix norm관련(|| ||:any matrix norm)(M in M(nxn)(C))(|M1|<=M2, where |M1|각 성분에 modulus취한 것)(N in M(nxn)(C), nnn)(P in M(nxn)(C), positive entries)(n:nnn vector in C^n)(p:positive vector in C^n)
-specR(M)<=||M||(link)
-for any eps, te a matrix norm || || s.t. specR(M)<=||M||<=specR(M)+eps(link)
(따라서 specR(M) is the greatest lower bound of matrix norms of M)
-if te || || s.t. ||M||<1, then lim k->inf M^k = 0(link)
-lim k->inf M^K = 0 iff specR(M)<1(link)
-specR(M) = lim k->inf ||M^k||^(1/k)(link)
-specR(M1)<=specR(|M1|)<=specR(M2)(link)
-About N
-sum of all diagonals <= specR(N)
-for any psubMT N' of N, specR(N')<=specR(N)(link)
-if all row sums of N is fixed, then specR(N)=||N||, maximum row sum matrix norm(link)
-if all column sums of N is fixed, then specR(N)=||N||, maximum column sum matrix norm(link)
-min over i (sum over j N_(i,j)) <= specR(N) <= max over i (sum over j N_(i,j))(link)
(If N:irreducible, then either = holds iff all row sums are constant)
-min over j (sum over i N_(i,jf)) <= specR(N) <= max over j (sum over i N_(i,j))(link)
(If N:irreducible, then either = holds iff all column sums are constant, )(link)
(유사한 형태도 있음, (link))
-if for some a, b in R, ap <= Np <= bp이면 a <= specR(N) <= b(link1)
-if for some a, b in R, ap < Np < bp이면 a < specR(N) < b(link1)
-if for some a in R, an < Nn < bn이면 a <= specr(A) ( < bn관련해선 성립안함)(link)
-specR(N+IMT) = specR(N) + 1
-(Frobenius-Konig theorem)perm(N) = 0 iff te P,Q:permutation MT s.t. PNQ=block MT, (1,1)=X, (1,2)=O, (2,1)=Y, (2,2)=Z where O is an sxt zero MT with s+t = n+1
-If N has positive egv p,
-해당되는 egv는 specR(N)이고 specR(N):nonzero
-N^m의 row sum의 bound을 얻는다 using p(link1)(link2)
-if N has positive left egv p
-if n s.t. Nn >= specR(N)n, n:nonzero, then Nn = specR(N)n(link)
-N:irreducible iff (IMT+N)^(n-1):positive matrix(link)
-if specR(N) < 1, then inv(IMT - N) = sum from i=0 to i=inf N^i, nnn, invertible(link)
-specR(N) is egv with nnn egv n(link)
-if specR(N) <1, then
-(IMT - N):invertible
-inv(IMT - N) = sum from i=0 to i=inf N^i, 따라서 nnn
-if N^k:positive for some k>=1, then am(specR(N))=1(link)
-if N:irreducible(link)
-specR(N) > 0
-te positive egv corresponding specR(N)
-am(specR(N))=1
-(Characterization of primitive MT)
N:primitive
iff lim n->inf (N/specR(N)^n:exists
(이 때 limit = p*rt(q) / rt(q)*p > 0, p:perron vector of N, q:perron vector of rt(N))
iff for some m > 0, N^m:positive MT
-the index of imprimitivity of N = gcd of lengths of the directed cycles in dG(N)
-for M s.t. |M|<=N, if specR(M)=specR(N), then M =_sim N, link참고(link1)(link2)
-for any psubMT N'(not N) of N, specR(N') < specR(N)
-for N<=M, M != N, specR(N) < specR(M)
-for M <= N, N != M, specR(M) < specR(M)
-N:SMT이고 for fixed one s and column vector v s.t. 2<=s<=n, N*v >= λ_s * v일 때
if J={i in [n], vi >=0},
then J:nonempty and the degree of reducibility of submatrix N[J]<= s-2
(where N[J]=J에 있는 것들만 row, column가지고 온 것)
(degree of reducibility란, irreducible한 submt의 대각 blocks의 direct sum표현 시 block개수)(link1)(link2)
-About DQSMT
-for MT in MT(nxn)(C), MT:DQSMT iff 1:egv for MT and rt(MT) with egv = (1,1,...,1)
-About DSMT
-specR(DSMT)=1 with (1,1,...,1) eigenvector
-0<=μ(DSMT)<=1
-μ(DSMT)=0 iff MT:reducible(따라서 μ를 measure of irreducibility라 한다.)
-for a>=0, b>=0, a+b=1, μ(a*DSMT1 + b*DSMT2) >= a*μ(DSMT1) + b*μ(DSMT2)
-perm(DSMT) > 0(link)
-DSMT1*DSMT2:DSMT(Need to check)
-(Characterization by Majorization)MT:DSMT iff for any x in R^n(std), DSMTx majorize x
-for any DSMT of order n, minimum of perm = n!/(n^n), maximum of perm = 1
(minimizing matrix은 unique, 1/n * J, maximizing matrix는 n!개, all permutation MT)
-if DSMT:reducible, then DSMT =_psim diagonal block MT whose all diagonals:DSMTs(link)
-if DSMT:irreducible, then h:=the index of imprimitivity of DSMT일 때 h|n and DSMT =_psim superdiagonal block form, all the blocks are (n/h)-square(link)
(따라서 n:소수인 경우 h=1되고, 따라서 DSMT는 primitive임을 알 수 있다.)
-(Birkhoff's Theorem)
{all DSMT of order n} = conv({all permutation MTs of order n}, the convex polytope(link)
-About DSSMT
-{all DSSMT of order n}=conv({MT(nxn) s.t. MT:(0,1)-MT and 각 행, 열마다 1이 0개 혹은 1개})
-(Characterization by weakly submajorization)
MT:DSSMT iff for any x in R^n(std), MTx weakly submajorize x
-About DSPMT
-{All DSPMT of order n}=convex but not convex hull
-(Characterization by weakly supermajorization)
MT:DSPMT iff for any x in R^n(std), MTx weakly supermajorize x(Need to check)
-About P
-specR(P) is egv with positive egv p이고 am(specR(P))=gm(specR(p))=1(link1)(link2)
-
-Matrix Group관련
-GL(n,F)관련
-GL(n,F) giso OSDP(SL(n:F),F^*)(link)
-Z(GL(n,F))={k*identity s.t. k is in F}
-F가 R(std)일 때
-GL(n,R(std)) is open submanifold of MTC(nxn)(R(std))(det:continuous이고 det=0인 MT들의 모임은 closed이므로)
-dim(GL(n,R(std))=n^2(왜냐하면 open submanifold이므로 dimension유지됨)
-LG(prod, inverse 모두 smooth)
-Lie(GL(n,R(std))) isomorphic MTC(nxn)(R(std))
-F가 C일 때
-GL(n,C) is open submanifold of MTC(nxn)(C)(det:continuous이고 det=0인 MT들의 모임은 closed이므로)
-LG(prod, inverse 모두 smooth)
-F가 finite field with q elements인 경우
-|GL(n,F)|=(q^n - 1)(q^n - q)...(q^n - q^(n-1))
(basis 하나 택한 다음에1열, 2열,...순으로 만들어가면 됨)
-O(n,F)관련
-F가 R(std)일 때
-O(n,R(std)):closed submanifold of GL(n,R(std))
-Matrix에서의 특수한 연산, MT1:nxn, MT2:mxm
-About Kronecker Product, KP
-spec(KP(MT1,MT2))={all possible product of egv(MT1), egv(MT2)}
-About Kronecker Sum, KS
-spec(KS(MT1,MT2))={all possible sum of egv(MT1), egv(MT2)}
-Dual Space관련
-(VS(F))^* is a VS(F)
-te natural(basis안쓰고) injective LT(VS(F),dd(VS(F))(E:VS(F)->dd(VS(F)), E(v):evaluation at v)(link)
(위의 injective LT를 Ev_VS(F)라 하자.)
-f:VS1(F)->VS2(F), linear일 때 (f^*와 관계)
-f:injective(surjective) iff f^*:surjective(injective)(link1)(link2)
-for f-dim VS(F), (VS(F))^*의 성질
-dim(VS(F))=dim((VS(F))^*), 따라서 isomorphic as vector space
-for V,W:VS(F), f in Hom(V,W), M:represents f인 matrix, f^* in Hom(W^*,V^*)일 때, f^*를 represents하는 matrix는 rt(M)
-for inf-dim VS(F), (VS(F))^*의 성질
-Tensor algebra of V관련(V:VS(F),
-ET(V)관련
-f-dim V일 때(dimV=n일 때)
-for 1<=k<=n, dim(kth exterior power of V)은 C(n,k)
*Algebra Theory
-Algebra관련
-F-A가 dim이 n일 때, basis의 원소끼리의 A-multiplication해서 낳은 결과의 basis의 계수들의 table만 만들어두면, 다른 vectors의 A-multiplication도 쉽게 할 수 있다.
-C_(F-A)(E)와 N_(F-A)(E)는 subalgebra가 안될 수 있다.(Jacobi's identity가 있으면 가능, 즉 Lie F-A에선 subalgebra됨)
-Associative R-A is a ring R2 s.t. R2=R_[1] with f:R->R2 mapping identity of R->identity of R2 s.t. f(R) of R2 is contained in Z(R2)
(즉 Associative R-A는 ring으로써 정의가능)
-TA(M)관련
-M을 포함하는 R-A(M:R-Md일 때)
-TA(M)은 universal property를 갖는다.f:M->A인 R-module homomorphism은 TA(M)->A로 유니크하게 extended
-TA(VS(F))은 noncommutative polynomial algebra over F로 간주될 수 있다.
-TA(M):graded(TA(M)의 homogeneous component of degree k를 k-factor of M이라 하고, 그 원소를 k-tensor라 한다.)
-SA(M)관련
-M을 포함하는 R-A(M:R-Md일 때)
-C(M):graded where C(M):=id generated by all elements of the form tp(m1,m2)-tp(m2,m1) for all m1,m2 in M
-따라서 SA(M)도 graded이고(SA(M)의 homogeneous component of degree k를 kth symmetric power of M이라 한다.)
-kth symmetric power of M is equal to TP(M,M,...,M)을 subMd generated by {tp(m1,m2,...,mk)-tp(permuted)}로 quotient한 것
-dim(kth symmetric power of M)=CC(m,k) where m:dim(M)
-dim(SA(M))=sum over k=0 to m CC(m,k)
-kth symmetric power of M은 universal property를 갖는다. f:MxMx...xM->N가 k-multilinear symmetric map이면 te! g:kth symmetric power of M->N s.t. g:R-Md homomorphism and f=g o i
where i:MxMx...xM->kth symmetric power of M, N:R-Md
-SA(M)은 universal property를 갖는다.f:M->A인 R-module homomorphism은 SA(M)->A로 유니크하게 extended(where A:any R-A)
-dim(VS(F))=n일 때 SA(VS(F))은 commutative polynomial algebra in n variables over F로 간주될 수 있다.
-EA(M)관련
-M을 포함하는 R-A(M:R-Md일 때)
-A(M):graded where A(M):=id generated by all elements of the form tp(m,m) for all m in M
-따라서 A(M)도 graded이고(EA(M)의 homogeneous component of degree k를 kth exterior power of M이라 한다.)
-simple tensors에서는 anticommutative, 즉 for m1, m2 in M, tp(m1,m2)=-tp(m2,m1)
(그렇다고 for a1,a2 in EA(M), a1a2=-a2a1인건 아님)
-kth exterior power of M is equal to TP(M,M,...M)을 subMd generated by {tp(m1,m2,...,mk) s.t. mi=mj for some different i,j}로 quotient한 것
-dim(kth exterior power of M)=C(m,k) where m:dim(M)
-dim(EA(M))=2^m where m:dim(M)
-kth exterior power of M은 universal property를 갖는다. f:MxMx...xM->N가 k-multilinear alternating map이면 te! g:kth exterior power of M->N s.t. g:R-Md homomorphism and f=g o i
where i:MxMx...xM->kth exterior power of M, N:R-Md
-F[[x]]관련
-(infinite product of formal power series의 convergence)
if f_i(x) in F[[x]], lim i->inf deg(f_i(x)-1) = inf, then prod over i>=1 f_i(x):converge
-F[[x]]관련
-F[[x]] is a S_[inf]-set, S_[inf]:=union over n>=2 S_[n]
-Λ관련
-Λ:subalgebra of F[[x]](즉, closed under multiplication)
-Λ = IDP over n>=0 Λ^n, Λ^n := the subspace of symmetric functions of homogenous degree n
-{m_ptt(x) s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n
-{p_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(link1)(link2)
-{e_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(link)
-{h_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(link)
-{s_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(RS-correspondence이용)(link)
-dimΛ^n=#ptt(n)
-generating function for e_n, E(t):=sum over n>=0 e_n * t^n
-generating function for h_n, H(t):=sum over n>=0 h_n * t^n
-generating function for p_n, P(t):=sum over n>=0 p_(n+1) * t^n, 특별히 p_(n+1)임
-E(t)H(-t)=1
-E(-t)H(t)=1
-ln (H(t)) = sum n>=1 p_n * t^n * 1/n(link)
-P(t)=H(t)/H'(t)
-(Jacobi-Trudi Formula)for ptt(n)=(a1,a2,...,al), s_ptt(n) = det(h_(ai - i +j)) for 1<=i,j<=l(단 if ai - i +j<0, h_(ai - i +j)=0, if ai - i +j=0, h_(ai - i +j)=1)
-Quotient Algebra관련
-(First AISO Theorem)ahomo:R-A1->R-A2일 때 (R-A1)/ker(ahomo) aiso ahomo(R-A1)
-(Second AISO Theorem)id1 of R-A, id2 of R-A s.t. id1<id2일 때, (R-A/id1)/(id2/id1) aiso (R-A/id2)
-(Third AISO Theorem)id1 of R-A, id2 of R-A일 때, id1+id2/id2 aiso id1/id1교id2
-homomorphism관련(ahomo:R-A1->R-A2일 때)
-ker(ahomo):id of R-A1
-ahomo(R-A1):subalgebra of R-A2
-Tensor Product관련
-For R:CR_[1], A:R-A, B:R-A일 때 TP(A,B):R-A
(tp(a1,b1)tp(a2,b2)=tp(a1a2,b1b2)로 정의해서)
-A-Multiplication은 anticommutativity를 만족함, i.e. brk[x,y]=(-brk[y,x])
-(Ado's Theorem)Every f-dim Lie F-A(char(F)=0인)is isomorphic to some Linear Lie Algebra
(따라서 Linear Lie Algebra위주로 공부하면 된다. 별말 없으면 f-dim위주로 공부하고 inf-dim은 따로 정리)
-dim<=2인 L은 unique
-L:abelian iff Z(L)=L iff [LL]=0
-id1+
-about id
-linear subspace>subalgebra>id
-대표적인 id는 0, ker(ahomo), [LL], Z(L), L
-주의, Im(ahomo)는 not id, subalgebra까진 됨
-id연산 관련
-id1+id2도 id
-[id1,id2]도 id
-id1교id2도 id of L(id of id1, id of id2도 됨)
-(Third Isomorphism Theorem)id1+id2/id2 aiso id1/id1교id2
-e_(i,j)
-e_(i,j)e_(k,l)=e_(i,l)d_(j,k)
-e_(i,j)e_(j,l)=e_(i,l)인데 e_(i,l)의 level은 level of e_(i,j) + level of e_(j,l)
-Simple L관련
-any simple L aiso subalgebra of gl(L)
-L:Simple일 때, Z(L)=0, [L,L]=L
-Semisimple L관련
-simple이면 semisimple
-L:semisimple iff L has no nonzero abelian ideal(link)
-(F:acc0)L:semisimple iff kf_L:nondegenerate(link)
(<-부분은 F:acc0필요없음)
-(Decomposition of semisimple L)L:semisimple이면 te{L_i} s.t. L=IDP(L_i), L_i:simple ideal of L(link1)(link2)
(게다가 every simple ideal of L coincides with one of L_i임을 알 수 있고, converse도 성립함)
-L:semisimple이면
-L=[LL]
-for any id of L, id:semisimple이고 id:a sum of simple ideals of L
-any homomorphic images of L:semisimple
-adj representation of L의 성질
-Solvable관련
-L:solvable이면 subalgebra도 solvable
-L:solvable이면 homomorphic image도 subalgebra
-id:solvable and L/id:solvable이면 L은 solvable
-id1:solvable, id2:solvable이면 id1+id2도 solvable
-L:solvable iff RadL=L
-L:not solvable이면 L/Rad(L):semisimple(link)
-(F:acc0)f-dim L:solvable이면 te a flag (L_i) of L(link)
-(F:acc0)f-dim L:solvable이면 for x in [LL], ad_L(x):nilpotent(link), 따라서 [LL]:nilpotent 따라서 L:solvable
-(F:acc0)L:f-dim s.t. for any x in [LL], any y in L, tr(adxady)=0이면 L:solvable(link)
-Nilpotent관련
-L:nilpotent이면 subalgebra도 nilpotent
-L:nilpotent이면 homomorphic image도 subalgebra
-id1:nilpotent, id2:nilpotent이면 id1+id2도 nilpotent(link)
-L/Z(L):nilpotent이면 L:nilpotent
-L:nonzero nilpotent이면 Z(L):nonzero
-L^(n)<L^n, 따라서 L:nilpotent이면 L:solvable(역성립안함, t(n,F)생각)
-(Engel's Theorem)L:nilpotent iff for any x in L, x:ad-nilpotent(link1)(link2)(link3)
-L:nilpotent이고 id:nonzero ideal of L일 때, id교Z(L)은 nonzero(link)
-Trace, Killing Form관련(L:Lie algebra over F, dim(L)<inf,
-kf_L
-symmetric bilinear form on L
-associative(kf_L(x,[yz])=kf_L([xy],z))
-for I:id in L, kf_I=restriction of kf_L on IxI(link)
-rad(kf_L):id of L(link)
-for I:abelian id in L, I<rad(kf_L)<Rad(L)
-
-Linear Lie Algebra관련
-Linear Lie Algebra성질
-Trace, Killing form관련
-for V:f-dim VS(F), LI of gl(VS(F)), x in LI
-tr([x1x2]x3)=tr(x1[x2x3])(link)
-for x in Ll s.t. x:nilpotent일 때 x:ad-nilpotent(역성립안함, identity matrix 생각)(link)
-for V:f-dim VS(F), Ll of gl(VS(F)) s.t. consisting of all nilpotent endomorphism,
-te nonzero v in V s.t. Lv=0(link)
-te a flag (V_i) in VS(F) with for all x in L x(V_i)<V_(i+1)
-for F:acc0, V:f-dim VS(F), LI of gl(VS(F))
-if LI:solvable, then te nonzero v in V s.t. v:egv for all x in LI(즉 common eigenvector)(link1)(link2)(link3)(link4)
(char(F)=prm이면 반례 존재, gl(2,F_p)에서 x=(0 1 1 0), y=(0 0 0 1), L=span{x,y}생각, x,y는 2x2 matrix)
(common egv라는게 같은 eigenvalue에 해당되지않아도 됨)
-(Lie's Theorem)if LI:solvable, then te a flag (V_i) in VS(F) with LI stablizes the flag.(link)
-for A<B, subspaces of gl(VS(F)), M={x in gl(V) s.t. [x,B]<A}, if x in M s.t. tr(xy)=0 for all y in M, then x:nilpotent(link1)(link2)(link3)
-(Cartan's Criterion)for all x in [LILI], y in LI, tr(xy)=0 iff LI:solvable(link1)(link2)
-for F:ac-F, V:f-dim VS(F), Ll of gl(VS(F)), x in Ll, x=x_ss + x_n where x_ss:semisimple part, x_n:nilpotent part(By Jordan-Chevalley Decomposition)
-x:semisimple이면 adx도 semisimple(link)
-adx=ad(x_ss)+ad(x_n)=(adx)_ss + (adx)_n (ad(x_ss)=(adx)_ss인 것)(link)
-for F:acc0, V:f-dim VS(F), LI of gl(VS(F))
-Classical Algebras
-gl(n,F)관련
-dim=n^2
-sl(n,F)관련
-dim=n^2 - 1
-char(F) != 2 and n=2일 때 simple
-[LL]=L
(즉 basis의 원소를 commutator 형태로 표현하면 됨)
(즉 모든 원소가 tr=0)
-sp(2n,F)관련
-원소를 matrix로 표현시 gl(n,F)의 3개의 원소로 표현가능(link)
(사실 sp의 form을 정의할 때 쓴 MT는 nondegenerate하고 skew-symmetric인 form은 저런 형태뿐임 적절한 basis잡아서)
-dim=2n^2+n
-[LL]=L
(즉 모든 원소가 tr=0)
-o(2n+1,F)관련
-원소를 matrix로 표현시 gl(n,F)의 3개의 원소로 표현가능(link)
-dim=2n^2+n
-[LL]=L
(즉 모든 원소가 tr=0)
-o(2n,F)관련
-dim=2n^2-n
-[LL]=L
(즉 모든 원소가 tr=0)
-t(n,F)
-t(n,F)=direct sum of n(n,F), d(n,F)
-solvable
-n(n,F)
-d(n,F)
-[d(n,F),n(n,F)]=n(n,F)
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