수학정리(Special Functions)

*Special Functions

1. Gamma function(T(z)라 적자.)

-History:Euler가 Factorial function n!의 domain 확장할 때 알아냄

-정의:factorial의 일반화(link1)(link2)

-성질:

-T(z):meromorphic with poles 0, (-1), (-2), ... 

-(1/T(z)):entire with zero at 0, (-1), (-2), ... 

-T(z+1)=z*T(z), T(1)=1(link)

-T(1/2)=sqrt(pi), T(3/2)=sqrt(pi)/2 (더 감소한다, 증가할 것 같았는데)(link)

-Re(z)>0인 z에 대해 T(z)는 적분으로 표현가능(link1)(link2)

2. Beta function(Β(z1,z2)라 적자.)

-정의:for Re(z1)>0, Re(z2)>0, Β(z1,z2):=int over [0,1] t^(z1 - 1) * (1-t)^(z2 - 1) dt.

-성질:

-Β(z1,z2)는 z1,z2에 대해 symmetry

-Β(z1,z2)={T(z1)*T(z2)}/(T(z1+z2))(link1)(link2)