수열과급수+르벡적분론+복소함수론

*Seq, Series

1. 양항수열에 대해, Ratio와 root의 liminf와 limsup의 부등식을 밝혀라.
(s<limsup an <r에 대해서 알 수 있는 것은?)

2. Cauchy Product Test를 말하고 증명하여라.

3. Product Test(Dirichlet's, Abel's Test)를 말하고 증명하여라.(Series of number랑, series of function랑)

4. In Complex, uni cv한 fn에 대해, diff와 int와 limit의 change의 충분조건을 말하라.

note) Power Series의 논의 흐름

Complex에서 R개념존재밝힘->R구하는법

(Real에선 Abel'sTheorem으로 경계로의 uni cv확장가능->conti, int확장됨)

->같은 center일 때 R구하기(power series의 곱이나 합 등으로 인해)

기타(Closed form구하기)

5. Taylor Formula와 Lagrange form을 말하여라.

*Convergence의 types(정의역이 R^n에서만 생각, 더 abstract는 실변수함수론 들은 후에 정리)

ptcv:Pointwise Convergence
unicv:Uniform Convergence
Lpcv:Lp의 norm convergence
cvM:Convergence in measure(별말 없으면 globally, locally의 경우는 cvlM이라 하자.)

*Function의 정의역

finiteMS:Measure Space with mu(X)<inf
InfiniteMS:Measure Space with mu(X)=inf
(별말 없으면 infiniteMS인 경우이고, finiteMS는 명시한다.)

*Theorems

1. MF는 Simple function으로 근사가능 하다. (pt cv)

(MF가 infinite value을 가지지 않을 때는, simple function으로 unicv하게 근사가능할 때가 있다. MF가 bdd라거나...)
2. (finiteMS)MF는 ContiF으로 가능(not 근사, 꼭같음) on smaller domain
3. (finiteMS)ptcv는 unicv로 가능 on smaller domain
4. (finiteMS)unicv는 ptcv, Lpcv의 충분조건이 된다.
5. ptcv이면 Lpcv를 보장해주진 않지만, Lpcv의 수렴함수의 후보(f)가 정해진다.(||f_k||_p->||f||_p조차도 아닐 수 있음)

(MCT가정을 만족하면 ||f_k||_p->||f||_p임을 알 수 있음, 게다가 f_k와 f가 LpF이면 ptcv->Lpcv됨)

(DCT가정을 만족하는 경우엔, dominated by LpF, ptcv이면 Lpcv가 된다.)
6. Lpcv이면 ptcv를 보장해주진 않지만, ptcv하는 subseq의 존재성을 보장해준다.
7. Lpspace에서 f_k가 ptcv to LpF일 때, Lpcv <-> ||f_k||_p -> ||f||_p
(GDCT이용한다.) 
8. cvM이면 ptcv를 보장해주진 않지만, ptcv하는 subseq의 존재성을 보장해준다.
9. Lpcv이면 cvM이다. 역은 성립하지 않는다. 

6. LpF는 compact support and bdd function으로 근사가능(Lpcv)
    ->LpF은 C^inf_c로 근사 가능(Lpcv)

*Real Analysis(Analysis+Lebesgue+Real Analysis)

1. f:R->R, nowhere diff but conti function을 건설하여라.

2. f:[0,1]->R, disconti점이 dense하고 Riemann Integrable한 function을 건설하여라.

3. About Cantor Set

(1) Cantor Ternary Set의 원소의 3진법 표현

(2) Cantor Set이 Closed Set임을 보여라.

(3) Cantor Set이 Perfect Set임을 보여라.(Using Complement가 open interval의 disjoint union인데 각 interval의 끝점이 다름)

(4) Cantor Set이 Uncountable임을 보여라.(Using (1), or T2K가 Perfect임)

(5) Cantor Set이 Compact임을 보여라.(Using FBK)

(6) Cantor Set이 Nowhere Dense임을 보여라.

(7) Cantor Ternary Set이 L-measure 0임을 보여라.

(8) Cantor Ternary Set + Cantor Ternary Set=[0,2]임을 보여라.

(9) Cantor Ternary Set - Cantor Ternary Set=[-1,1]임을 보여라.

(10) Fat Cantor Set의 의의:nowhere dense인데 measure가 non-zero인 예

4. About the Lebesgue Function for Cantor Set A

(1) the lebesgue function f:R->[0,1]을 건설하여라.

(2) f on A와 f on A^C을 묘사하여라.

5. About Measure(Jordan, Lebesgue)

(1) [0,1]의 subset S에 대해, S가 J-Measurable <-> 1_S가 Riemann Integrable on [a,b] 임을 보여라.

(2) J에 속하지 않는 open set과 compact set을 밝혀라.

(3) J와 L에 대해, Set Operation(4), Monotonicity(2), additivity(2), Approximation by Simpler, Invariance(Closure, Translation, Interior, LT)에 관하여 논하라.

(4) L의 2가지 추가 성질(About Measure)

(5) Not Borel, but L-measurable set을 밝혀라.

(6) Not L-measurable but subset of R^n을 밝혀라.

(7) Sigma-algebra(3)와 measure(2)의 정의를 말하라.(Abstract)

(8) measurable X measurable은 measurable set임을 보여라.

note)
measure가 양수라해서 포함된 어떠한 interval을 잡을 수 있는 것은 아니다.
bounded measurable에 대해서만 보여도...measurable에 대해서 보일 수도?!

6. About Measurable functions and Integration

note)
M은 open과 closed set으로 근사 가능, 이 때, R^n의 subset M인 경우는, finite union of open intervals로 근사가능
Mf는 simple function으로 근사 가능, 이 때, 정의역이 R^n인 경우는, Step function과 Bf로 근사가능
(simple function은 characteristic function의 선형결합이므로, characteristic on M에 대한 조사만 하면 됨)
(Rf는 Step function으로 근사가능)

(1) Main Theorems(Lusin, Egorov, MCT, Fatou, DCT, GDCT)을 말하라.
(Lusin, Egorov는 finite measure을 정의역으로 할 때!)
note) MCT나 DCT를 쓰는 형태
simple function으로의 표현(bdd한 특징을 이용하고자 할 때)
limit(Diff, Int)형태로 정의된 함수
f*charac으로 increasing하게 만드는

(2) Riemann Integrable<->불연속점의 measure=0 임을 보여라.

(3) Fubini's Theorem을 말하라. Area or Volume으로의 해석을 하여라.(2가지 방법)
note)Characteristic function의 조작이 관건((x,t)<->(t,x))

7. About Lp Space on R^n(Abstract한 부분보단 R^n먼저)

(1) Lp가 Complete Normed Vector Space(Banach)임을 보여라.

(a) Holder's Inequality과 Minkowski Inequality 증명하기
(Holder's Inequality의 필요조건을 R^n, countingM, finiteM에서 체크)
(b) Completeness을 증명하여라.
(c) FiniteM에선 Lp<Lq, CountingM에선 Lq<Lp, R^n에선 f in Lp라면 p는 interval 임을 보여라.
(마지막 내용은 log-convexity inequality이용)
(f가 Lq의 원소이고 Linf의 원소인 경우에도 성립함)
(d) Linf의 기호를 왜 inf를 쓸까? 즉, f in Lp 이면(p<inf) p->inf ||f||_p = ||f||_inf임을 보여라.
(finiteMS에서는 모든 MF에 대해 p->inf일 때, ||f||_p=||f||_inf가 만족됨

(2) Lp의 Density and Separablity

(a) f in L1, g in C^1 with |편도함수of g|<=M ->f*g in C^1을 증명하여라. 
(b) an approximation of identity의 정의를 State하여라. 
(approximation of identity를 이용한 근사(Lpcv)을 밝혀라.)
(c) density theorem을 state하고 증명하여라.
note) p=inf일 때의 density Theorem이 성립하지 않음을 보여라.
(d) Lp가 separable임도 보여라. 
note) p=inf일 때 성립하지 않음을 보여라.

(르벡 총복습후, Hw5의 Separable풀고 differentiation공부, duality는 제외 ㅠ)

*Complex Analysis

1. FTC in Real과 FTC in Complex의 차이점은?(Primitive의 존재성)

2. CIF을 말하여라. CI을 말하여라.

3. f:hol on G -> f:analytic on G임을 증명하여라.(local한 영역에서 다루기 좋아짐, local->global로 하기도 좋음)

4. Identity's Theorem을 말하고 증명하여라.

5. Morera's Theorem을 말하고 증명하여라.

6. holomorphic function은 its zero에 의해 결정된다? 를 설명하여라.

7. About Isolated singularity(빵구난 holomorphic생각)

(1) pole의 정의를 말하여라. laurent's series로 쓰여질 수 잇음을 밝혀라.

(2) principal part of f에서 residue만 남음을 이해하여라.

(3) finding residue와 residue formula을 말하고 증명하여라.

(4) removable과 pole은 |f|로 판정할 수 있음을 증명하여라.

(5) essential singularity의 경우, f에 의한 image가 C의 dense subset됨을 증명하여라.

8. About Meromorphic on RS(Riemann Sphere)

(1) meromorphic <-> rational임을 보여라.
(사실상 meromorphic은 각 pole에서의 Principal part의 합+상수)

(2) f가 meromorphic일 때, f의 pole은 f'/f의 simple pole되고, f의 zero도 f'/f의 simple pole이 됨
-> argument principle 발생, 말하고 증명하여라.

(얻게되는 추가 hol의 Theorems-Rouche, Open mapping, Maximum Modulus Principle)

9. About Logarithm

note)논의 흐름
SC:Simply connected(Open and connected이면서 homotopic과 관련해서...)
f의 primitive의 존재성은 O(SC)이다. 따라서 0을 포함하지 않는 SC에서 1/z의 primitive(log)가 존재한다. 이 때, SC가 1을 포함한다면, log는 유일하게 결정된다.
f가 O*(SC)인 경우, log(f)가 SC에서 정의가 된다.