Integral transform의 일반적 얘기 정리
Laplace Transform정리
Fourier Transform정리
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계산복잡도 수업 내용 정리
*Def
-FA(finite automata): FA are finite collections of states(Q) with transition rules that take you from one state to another.
-apb(alphabet):apb is any finite set of symbols
-str over apb:apb에 속한 원소들의 lists(juxtapositions)
-apb^*, the set of all strs over apb with empty string eps
-eps:empty string
-L(over apb)(language):a subset of apb^*
-DFA(deterministic finite automata): FA(5, Q,Σ,δ,q0,F)
with input apb(Σ), start states(q0), final states(F⊆Q), 이때 transition function δ은 domain이 (state, symbol), extend하면 (state, string)까지도 됨
-L(A):the set of all strs s.t. δ(q0,str) is in final states for some DFA A
-L is regular if L=L(A) for some DFA A.
-NFA(Nondeterministic finite automata):FA(5, Q,Σ,δ,q0,F) with δ(q,a) is a set of states
특히 NFA에서는 a string w is accepted if δ(q0,w) contains at least one final state.
-TM(Turing machine):(7, Q,Σ,Γ,δ,q0,Β,F), Γ:tape apb set(읽고 쓰기가 가능, 쓸대는 Σ에 없는 것도 사용 가능, Σ<Γ)
(input의 양옆에는 blank로 채워서 들어가는 infinite tape)
(δ(state,tape symbol)=(변경 후 state, 변경 후 tape symbol, head이동방향))
(algorithm이 없는 language를 보이기 위해서 TM다룸, C program보다 simple하면서도 powerful함)
-ㅏ:TM에 input 한개 계산
-ㅏ*:TM에 input 모두 계산
-L(TM):the set of all strs w s.t. q0wㅏ* in final
-L=L(TM)이면 L을 recursively enumerable languages라 한다.
-Algorithm:=TM s.t. 어느 input이어도 halt할지 안할지 guaranteed된 TM을 가리킨다.
-L=L(TM) with algorithm TM이면 L을 recursive language라 한다.
-CFG(Context-free grammar): CFG(4, V,Σ,R,S)
with V:variables, Σ:terminals, R:rules(variable넣으면 variable과 terminal의 조합으로 이루어진 string이 output인 rule), S(in V):start variable
-L(CFG):the set of all strs w s.t. Sㅏ*w(즉 start variable S로부터 시작해서 나올 수 잇는 모든 strings with only terminals)
*Thm
the reverse of a regular language is also regular
Equivalence of DFA and NFA using subset construction
(NFA, DFA모두 the same language를 갖게 만들 수 있고, NFA가 state개수가 exponentially 적게 가능하지만, 구현가능 한 것은 DFA뿐)
가능한 L over {0,1}의 개수는 uncountable(임의의 language는 infinitely binary seq로 만들 수 있고, infinitely binary seq의 개수는 uncountable이므로)
Language가 program보다 많다는 것을 가리킴, 즉 There are languages with no membership algorithm(w in L인지 아닌지 판단하는 것을 membership algorithm), 이러한 류의 증명 방식을 Hungarian Arguments라 한다. 가능한 총 개수가 더 많음을 보여서 무언가 존재하는지 안존재하는 지 보이는 방식을(존재성은 알지만 particular language를 제시하는 데에 어려움(with no membership algorithm인 language를 건설하기 어렵다)
DFA->TM(DFA꺼 그대로 하고 방향도 R만 쓰고 tape write안하면 됨)
모든 Data type은 integer로 변환 가능
Binary strings to Integer는 Binary sting마다 앞에 1 붙여서 순서매기면 된다. 101->1101 = 13번쨰 integer, 0101->10101 = 21번째 integer
GIF는 ASCII string으로 구성, ASCII string을 binary string으로 바꾸고 integer로 바꾸면 됨, 따라서 i번째 image라는 걸 생각 가능
*Example
(Non-regular language)
L={0^n1^n|n>=1}, a^i means a가 i개 병렬나열
L={0^n1^n|n>=1}={01,0011,000111,...}, finite state을 가지는 DFA로는 얻을 수 없다. 따라서 non-regular
TM으로는 가능
L={01*0}={00,010,0110,...}을 TM으로 묘사하기
(Mortality of matrices)S:given finitely generated submonoid of nxn matrices from MT(nxn)(Z)
Determine whether there exists a seq of matrices M1,M2,...,Mk in S s.t. M1M2...Mk = 0(link1)(link2)(link3)(link4)
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CFG이후의 내용 쭉 읽어서 PDA까지도 이해하기
수업내용 이해하기
undeciable관련해서 이해하기
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*Special Functions
1. Gamma function(T(z)라 적자.)
-History:Euler가 Factorial function n!의 domain 확장할 때 알아냄
-정의:factorial의 일반화(link1)(link2)
-성질:
-T(z):meromorphic with poles 0, (-1), (-2), ...
-(1/T(z)):entire with zero at 0, (-1), (-2), ...
-T(z+1)=z*T(z), T(1)=1(link)
-T(1/2)=sqrt(pi), T(3/2)=sqrt(pi)/2 (더 감소한다, 증가할 것 같았는데)(link)
-Re(z)>0인 z에 대해 T(z)는 적분으로 표현가능(link1)(link2)
2. Beta function(Β(z1,z2)라 적자.)
-정의:for Re(z1)>0, Re(z2)>0, Β(z1,z2):=int over [0,1] t^(z1 - 1) * (1-t)^(z2 - 1) dt.
-성질:
-Β(z1,z2)는 z1,z2에 대해 symmetry
-Β(z1,z2)={T(z1)*T(z2)}/(T(z1+z2))(link1)(link2)
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Probability, Statistics, and Process
-About Random Variable(rdv:(J1,C4(J1))->(R(std),C4(TS)), Z라 표현, ((ETR,C4(TS))에서도 다룰 때가 있음))
-Z는 MF이다. MF성질 다 만족
-rdv충분조건
-monotone이면 rdv이다.
-(R(std),C4(TS))에서 C4(TS)의 generating set에 대해서만 판단해도 됨
-정의역이 metric space인 경우, rdv가 conti이면 MF됨
-conti(rdv):rdv됨, 특히 rdv_1+rdv_2 같은 것도 rdv(각 rdv의 C4들이 같을 때 이야기)
-{rdv_n}에서 각 rdv_n의 C4들이 다 같을 때
-sup rdv_n, inf rdv_n, limsup(rdv_n), liminf(rdv_n) 모두 MF가 된다.(ETR,C4(TS))
-{x in J1 s.t. lim rdv_n(x) exists}는 C4(J1)의 원소이다.
-Event 분석
-E1=liminf {rdv_n = a}, E2=limsup {rdv_n = a}
-E3={liminf rdv_n = a}, E4={limsup rdv_n = a}
-E5={lim rdv_n = a}
이면
-E1:rdv_n(x)가 어느 순간부터 쭉 a인 x들
-E2:rdv_n(x)가 무한번 a인 x들
-E3:rdv_n(x)의 subsequence의 수렴값 중 가장 작은게 a인 x들
-E4:rdv_n(x)의 subsequence의 수렴값 중 가장 큰게 a인 x들
-E1<E2
-E1<E3
-E1<E4
-E1<E5
-E3교E4=E5
-E3=c-intersection over k, liminf {1-c_k<= rdv_n} 교 limsup{rdv_n<=1+c_k} for dec seq c_k cv to 0
-E4=c-intersection over k, liminf {rdv_n<=1+c_k} 교 limsup {1-c_k<=rdv_n} for dec seq c_k cv to 0
(따라서 E1혹은 E1의 여집합의 정보를 아는 것이 가장 강력하다.)
(Borel-Cantelli, Fatou, Borel Zero-one Law 등 rdv의 liminf, limsup이 아니라, Event의 liminf, limsup에 관한 것)
(따라서 E3, E4등이 나오면 Event의 liminf, limsup으로 바꾸고 다뤄라.)
-C4(f), (f:(J1,C4(1))->(R,C4(TS), f가 rdv란 가정은 없음)
-정의:f가 rdv되게끔 하는 smallest C4 of subsets of J1
(rdv_1, rdv_2가 있을 때 C4(rdv_1 + rdv_2) or C4(sup rdv_1, rdv_2)등은 rdv_1, rdv_2의 형태에 따라 다르다, 단지 알 수 있는 것은 C4(rdv_1 + rdv_2)<C4(rdv_1, rdv_2)와 C4(sup rdv_1, rdv_2)<C4(rdv_1, rdv_2)라는 것만 알 뿐)
-C4(rdv_i)
-정의:rdv_i들 모두가 rdv가 되게끔 하는 smallest C4 of subsets of J1(rdv_i들의 정의역은 모두 같을 때 논의)
-C4(rdv_n>k)
-정의:rdv_(k+1), rdv_(k+2)...모두가 rdv가 되게끔 하는 smallest C4 of subsets of J1
-C4(rdv_n<=k)
-정의:rdv_1, rdv_2, ..., rdv_k 모두가 rdv가 되게끔 하는 smallest C4 of subsets of J1
-C4(rdv)<C4(1)
-for C:collection of subsets of R s.t. C4(C)=C4(TS) of R, C4(rdv^(-1)(C))=C4(rdv)
-C4(lim rdv_n)의 대표적인 예
-C4(limsup rdv_n)의 원소들
-C4(liminf rdv_n)의 원소들
-{x in J1 s.t. lim rdv_n(x) exists}
-{x in J1 s.t. c-sum rdv_n(x) cv}
-{x in J1 s.t. lim n->inf [rdv_1+rdv_2+...+rdv_n]/n = a}
-ProbM(|rdv1|<inf)=1이면 for any eps>0, te bdd rdv2 s.t. ProbM(rdv1 ≠ rdv2)<e
-Two seq of {rdv1_n}, {rdv2_n}이 tail-equivalent
-정의:c-sum ProbM({rdv1_n ≠ rdv2_n})<inf
-성질
-{rdv1_n}과 {rdv2_n}이 tail-equivalent이면
-c-sum (rdv1_n - rdv2_n)<inf a.e.
-c-sum (rdv1_n):pt cv a.e. iff c-sum (rdv2_n):pt cv a.e.
-te {a_n} in R^N and te rdv s.t. (sum from k=1 to k=n rdv1_k)/a_n:pt cv a.e. to X이면
(sum from k=1 to k=n rdv2_k)/a_n:pt cv a.e. to X이다.
-About Random Vector((J1,C4(J1))->(R^n,C4(TS)), RDV라 표현, coordinate function은 rdv1,rdv2,...로 표현)
-RDV가 MF이다. 따라서 MF의 성질을 따름
(예를 들면 RDV가 Random Vector iff rdv1, rdv2, ..., rdvn이 rdv)
(또는 MF를 composite해도 MF유지)
-C4(RDV)=C4(rdv1, rdv2, ..., rdvn)
-rdv와 마찬가지로
-RDV가 있으면 (R^n,C4(TS))에 Distribution을 정의할 수 있고, DF(x):=Distribution((-inf,x])로 정의함
((-inf, x]따위를 논하기 위해 R^n에 ordering을 줌)
-DF(x)가 다음을 만족하면, (R^n,C4(TS))에 Distribution(Probability Measure)을 정의할 수 있다.
-lim x->inf(각각의 coordinate모두가) DF(x)=1
-for some x_i, lim x_i ->inf DF(x)=0
-DF is conti from above
-R^n 에서 inc
-DF(x)로도 rdv1,...,rdvn의 ind판정가능
-rdv1,rdv2...등 여러개 있고, 그것의 함수의 distribution 구하기(즉 f(RDV) 형태의 distribution)
-Method1, Use Transformation theorem
-Method2, Use chf
-Method3, Use Transformation and Jacobian(RDV의 joint density을 알고 있을 때)(link)
-About Probability Mass Function for RDV
-정의:discrete RDV가 있을 때 (R^n,C4(TS))에 정의된 Measure을 Probability Mass Function이라 하고 pmf라 적자.
-About Marginal Distribution
-정의:RDV에서 rdv1을 제외하곤 나머진 inf을 둠으로써 marginal DF을 얻을 수 있다.
(RDV의 Density를 통해 Marginal의 Density도 구할 수 있다.)
-성질
-Marginal Distribution이 같다고해서 Joint Density가 같다곤 보장 안해줌
-RDV가 density를 가지면 marginal density도 항상 존재한다.
-
-About Probability Measure(ProbM이라 하자.)
-f-M이다.
-f:C4->[0,1], f(J)=1이고 f가 finite-additive이면 다음 4개가 모두 동치이다.
-f가 ProbM이다.
-f가 conti from below
-f가 conti from above
-for {E_n} in (J,C4,M) s.t. ProbM(E_n)=1, ProbM(c-intersection E_n)=1
-for {E_n} in (J,C4,M) s.t. ProbM(E_n)=0, ProbM(c-union E_n)=0
(따라서 liminf, limsup 형태의 set을 ProbM을 구할 때 도움 됨)
-almost trivial C4란, 모든 원소의 ProbM이 0이거나 1일 때, C4를 almost trivial C4라 하자.
-ProbM(f-intersection k=1 to k=n E_k)=ProbM(E_1)*(f-product k=2 to k=n ProbM(E_k|f-intersection j=1 to j=k-1 (E_j))(link)
-(The Inclusion-Exclusion Formula)(link)
{E_n}:finite seq,
M(f-union E_n}=f-sum(M(E_n))
- sum 1<=i<j<=n M(E_i 교 E_j)
+ sum 1<=i<j<k<=n M(E_i 교 E_j 교 E_k)
...+(-1)^(n+1) * M(E_1교E_2교...교E_n)
-Transformation Theorem에 의해, E[X]를 abstract space인 X의 정의역상의 적분으로 구하지 말고, ProbM을 이용하여 Distribution F을 구한다음에 R에서 적분하면 된다.
-(J1,C4(J1))=(R(std),C4(TS))인 경우
-Probability Measure induced by DF라면 {all atoms}={{x} in R s.t. DF(x)-DF(x-)>0}
-About Independence(1개의 ProbM에 대한 Concept)
-{finite개의 events}, {finite개의 classes of events C_n}, {arbitrary개의 classes of events C_t}, {arbitrary개의 rdv_t}
(각각 정의 조심)
-{arbitrarily index개의 classes of events C_t}가 ind이고 각 C_t가 PC이면 {C4(C_t)}도 ind이다.(link)
(이걸로써 two events E_1과 E_2가 ind이면 (E_1)^C와 E_2가 ind인 것도 앎)
(이걸로써 rdv_1, rdv_2가 ind인지는 ProbM(rdv_1<=x, rdv_2<=y)=ProbM(rdv_1<=x)*ProbM(rdv_2<=y)만 따지면 됨)
-rdv_1, rdv_2가 ind, f:MF, g:MF이면 f(rdv_1), g(rdv_2)도 ind이다.
(절댓값을 씌우든 제곱을 하든, exp()을 하든... ind가 유지됨)
-{rdv1_n}, {rdv2_n}, for each n rdv1_n과 rdv2_n이 ind이고 {rdv1_n}:pt cv a.e. to rdv1, {rdv2_n}:pt cv a.e. to rdv2라면 rdv1과 rdv2는 ind이다.(link1)(link2)
-(Grouping Lemma)(link)
:T:index set, {arbitrary개의 C4_t}가 ind, S:another index set, {T_s} is a partition of T일 때 {C4_(T_s)}는 ind이다.
(C4_(T_s)란 T_s의 원소 t_0의 C4인 C4_(t_0)들을 포함하는 (over t_0 in T_s) 가장 작은 C4를 가리킴)
({arbitrary개의 rdv_t}가 ind일 때 주로 사용함)
-f-dim DF를 이용하여 {arbitrary개의 rdv_t}의 ind판정 가능(iff로)
-(Reyni's Theorem)(ind가 아닐 것 같은데 ind인 경우)
:{X_n}:iid with common conti DF, {R_n}:relative rank of {X_n}, E_n=[X_n is a record]일 때
(R_n은 X_1,...,X_n 중 X_n의 순위, 따라서 1,2,3,...,n이란 값을 가질 수 있다.)
(E_n은 X_n이 X_1,...,X_(n-1) 모두 보다 큰 event)
-ProbM[a tie occurs]=0
-{R_n}:ind이고 ProbM[R_n=k]=1/n for k=1,2,3,...,n
-{E_n}:ind이고 ProbM[E_n]=1/n(사실 ProbM[R_n=1]과 같음)
-(Kolmogorov's Convergence Criterion+Kronecker's Lemma을 이용하면)
lim n->inf (n까지 record일어난 횟수/ ln(n)) =1 a.e.인 것도 알 수 있다.(link1)(link2)
-(Borel Zero-One Law, BZO){E_n}:ind events일 때
-c-sum ProbM(E_n)<inf이면 ProbM(limsup(E_n))=0
-c-sum ProbM(E_n)=inf이면 ProbM(limsup(E_n))=1
(ProbM(liimsup(E_n))은 0아니면 1이다. 따라서 ProbM(limsup(E_n))형태로 만들고 주어진 것과 ProbM비교하라.)
note)ProbM(limsup(E_n))=1이 되는 다른 충분조건
-c-sum n=k to n=inf ProbM(E_n|f-intersection i=k to k=n-1 (E_i)^C)=inf for all k({E_n}이 ind일 조건이 없어도)
(Kolmogorov Zero-One Law)(link)
:{X_n}:ind일 때, for any E in C4(lim X_n) ProbM(E)=0 or 1(즉 C4(lim X_n) is almost trivial)
-따라서 [c-sum X_n:cv] 등 대표적인 C4(lim rdv_n)의 원소들은 {rdv_n}이 ind이면 ProbM이 1이거나 0이다.
-{X_n}:ind일 때, tail rdv Z에 대해 P[Z=c]=1인 c가 유일하게 존재
-{X_n}:ind일 때, 대표적인 tail rdv는
-limsup X_n
-liminf X_n
-{X_n}:ind일 때, 대표적인 tail event
-lim X_n(it exist하는 event)
-c-series X_n(it cv하는 event에서)
-{E_n}:iid, seq of events 이면 ProbM(c-intersection E_n)=c-product ProbM(E_n)
-(J1,C4(1),ProbM1), (J2,C4(2),ProbM2)의 Product Measure on PrC1에서
-C4(1)*와 C4(2)*는 independent
-X1:(J1,C4(1))->(ETR,C4(TS)), X2:(J1,C4(2))->(ETR,C4(TS))
X1*와 X2*는 independent
-rdv1, rdv2:ind이면 E[rdv1*rdv2]=E[rdv1]*E[rdv2](link)
-rdv1 with DF1, rdv2 with DF2, rdv1, rdv2:ind이면 rdv1+rdv2의 DF는 DF1 conv DF2(link)
-rdv1 with density1, rdv2 with density2, rdv1,rdv2:ind이면 rdv1+rdv2의 density는 density1 conv density2
-RDV=(rdv1,rdv2)의 density = rdv1의 density * rdv2의 density iff rdv1과 rdv2는 ind
-{rdv_n}:ind이고 S_n = sum from i=1 to i=n rdv_i의 성질(iid인 경우는 random walk와 Sample Distribution 참조)
-(Skorohod's Inequality)(link)
:a>0, c=sup over 1<=i<=n ProbM(|S_n - S_i|>a)<1이면
ProbM(sup over 1<=i<=n |S_i|>2a)<={ProbM(|S_n|>a)}/1-c
(즉 stochastic process의 sum의 sup의 확률이 final term의 확률로 표현이 가능하다.)
-(Kolmogorov's Inequality)(link)
:a>0, E[rdv_n]=0
ProbM(sup over 1<=i<=n |S_i|>a) <= E[(S_n)^2]/a^2
(Skorohod's Inequality보단 가정이 쎄서 이론적으로 약하지만, 응용하기엔 좋음)
-(Levy's Theorem)(link)
:{S_n}:pt cv a.e. iff {S_n}:cv in M
(즉 ind인 rdv_n의 S_n은 cv in M만 보여도 pt cv a.e.까지 됨)
-(Kolmogorov's Convergence Criterion, KCC)(link)
:lim n->inf V[S_n]<inf이면 lim n->inf (S_n - E[S_n]):pt cv a.e.
(가정부분이 성립하면 사실상, {S_n - E[S_n]}:cauchy in L2, 따라서 {S_n - E[S_n]}:cv in L2도 됨)
-(Partial Converse)(link)
:{rdv_n}이 uniformly bdd가 되면 역이 성립
-{rdv_n}:uniformly bdd이고 S_n:pt cv a.e.이면 E[S_n]:cv to finite value(link)
-(Kolmogorov's Three Series Theorem, KTS)(link)
:S_n이 pt cv a.e.iff te c>0 s.t.
-sum from n=1 to n=inf ProbM(|rdv_n|>c)<inf
-sum from n=1 to n=inf E[rdv_n * indi_{|rdv_n|<=c}]<inf
-sum from n=1 to n=inf V[rdv_n * indi_{|rdv_n|<=c}]<inf
(한 c에 대해 성립하면 모든 c에 대해서도 성립하고 {rdv_n}:nnn, ind였다면 V[~]조건은 redundant)
-Convergence
-(Egoroff's Theorem)(link)
:{rdv_n}:finite a.e., pt cv a.e. to rv rdv이면 {rdv_n}:almost uni cv
-{rdv_n}:pt cv a.e. to a rdv이면 {rdv_n}:cv in M(link)
-{rdv1_n}:cv in M, {rdv2_n}:cv in M이면 {rdv1_n * rdv2_n}:cv in M
-{rdv_n}:cv in M iff every subseq of {rdv_n} has a further subseq that pt cv a.e.(link)
-{rdv_n}:cv in M(real-valued) g:(R,C4(TS))->(R,C4(TS)):conti이면 {g(rdv_n)}:cv in M
-{rdv_n}:cv in M(real-valued), monotone이면 {rdv_n}:pt cv a.e.도 된다.
-{rdv_n}:pt cv a.e. to 0이면 표본평균(iid조건없이 general)도 pt cv a.e. to 0
-{rdv_n}:cv in Lp(p>=1) to 0이면 표본평균(iid조건없이 general)도 cv in Lp to 0
-다음 3개는 동치이다.(1<=p<inf)(link1)(link2)
-{MF_n}:cv in Lp
-{MF_n}:cauchy in Lp
-{|MF_n|^p}:u.i. and cv in M (즉 Lp with finite measure, 1<=p<inf는 BS임을 보여준다.)
-(Scheffe's Lemma for DF_n)(link1)(link2)
:{DF_n} with densities {f_n}, DF with density f가 있을 때(즉 DF_n이나 DF 모두가 abs conti with another measure)
sup over E in C4(TS) of R(std) |DF_n(E) - DF(E)| = 1/2 int |f_n - f| (int는 LM에 대해서)
(즉 {DF_n}이 cv in total variance to DF이면 {densities_n}:cv in L1 to density of DF)
역으로 {f_n}:pt cv (another measure)-a.e. to f이면 {f_n}:cv in L1 to f and thus DF_n cv in total variation to DF
-{rdv_n}:pt cv a.e. to rdv이면 {rdv_n}:cv in distrb to rdv(link)
-{rdv_n}:cv in distrb to rdv ({DF_n}, DF)일 때,
for t s.t. 0<t<1 and DF^(-1):conti at t, {(DF_n)^(-1)(t)}:cv to DF^(-1)(t)(link)
(즉, {rdv_n}:cv in distrb하면 left-conti inverse도 거진 cv in distrb)
-{rdv_n}:cv in distrb to constant이면 cv in M도 됨(link)
({rdv_n}:cv in distrb to constant iff {rdv_n}:cv in M to constant)
-{rdv_n}:cv in distrb to rdv(with DF:conti)이면 DF_n:uni cv to DF(link1)(link2)
-(Baby Skorohod's Theorem)(link)
:{rdv1_n}:cv in distrb to rdv1이면
te {rdv2_n}, rdv2 s.t.
-{rdv2_n}와 rdv2 defined on ([0,1],C4(TS),LM)
-rdv2_n =_d rdv1_n
-rdv2 =_d rdv1
-{rdv2_n}:pt cv a.e. to rdv2
-(Continuous Mapping Theorem)(link1)(link2)
:{rdv_n}:cv in distrb(pt cv, M) to rdv, MF:R->R with ProbM({rdv in {x s.t. MF is conti at x}})=1이면
{MF(rdv_n)}:cv in distrb(pt cv, M) to MF(rdv)
게다가 MF가 bdd이면 {E[MF(rdv_n)]}:cv to E[MF(rdv)]
(왜 continuous mapping Theorem이라 하냐면, MF가 conti일 때가 자주 쓰이므로)
(따라서 {rdv_n}:cv in distrb to rdv이면 {(rdv_n)^2}:cv in distrb to rdv 등 성립)
(주의해야할 것은, {rdv1_n}:cv in distrb to rdv1, {rdv2_n}:cv in distrb to rdv2한다해서 {rdv1_n + rdv2_n}:cv in distrb to rdv1+rdv2인 것은 아니다. 이러한 주장이 continuous mapping theorem적용해서 얻으려면 먼저 RDV_n의 element의 cv in distrb가 {RDV_n}:cv in distrb to RDV을 보장해주어야 하는데 이게 성립 안함, 따라서 Slutsky's Theorem이 의미가 있는 것)
-(Portmanteau Theorem)(link1)(link2)
:TFAE
-{rdv_n}:cv in distrb to rdv
-for any bdd and conti f, E[f(rdv_n)]->E[f(rdv)]
(bdd and uni-conti f에 대해서도 성립)
(conti and with compact support에 대해서도 성립)
-for any E in C4(TS) of R(std) with DF(bd(E))=0, {DF_n (E)}:cv to DF(E)
-{rdv_n}:cv in M이면 {rdv_n}은 cv in distrb(Using Portmanteau)
-(Slutsky's Theorem)(link)(asymptotically equivalent의 motive)
:{rdv1_n}:cv in distrb to rdv1, {rdv2_n}:cv in M to 0이면 rdv1_n + rdv2_n:cv in distrb to rdv1
(rdv3_n:=rdv1_n + rdv2_n이라두면 다음과 같이 state가능
-{rdv1_n}:cv in distrb to rdv1, {rdv3_n - rdv1_n=rdv_2}:cv in M to 0이면 {rdv3_n}:cv in distrb to rdv1
(즉 seq1가 cv in distrb하고 seq1-seq2가 cv in M to 0이면(asymptotically equivalent라함), seq2:cv in distrb to same of seq1)
-(Second Converging Together Theorem)(link)
:{rdv1_(un)}:cv in distrb to {rdv1_u} as n->inf
{rdv1_u}:cv in distrb to rdv1
for any eps>0, lim u->inf (limsup n->inf ProbM(|rdv1_(un) - rdv2_n|>eps)=0이면
{rdv2_n}:cv in distrb to rdv1
({rdv1_(un)}은 주로 {rdv1_n}의 truncation으로 택해짐)
(3번째 조건때문에 rdv1_(un)과 rdv2_n의 domain with C4가 같아야됨)
-About Convergence in Moments(기본적으로 integral과 limit의 change임, MCT, DCT 등을 이용할 생각)
-{rdv_n}:cv in Lp to rdv이면 ||rdv_n||_p:cv to ||rdv||_p
-{rdv_n}:cv in Lp to rdv이기 위한 충분조건은 {rdv_n}:cv in distrb to rdv and {(rdv_n)^(p+delta)}:u.i. for delta>0
(증명은 baby skorohod and u.i.이용)
-Integration on Probability Measure Space(f-M일 때를 가리킴, 만약 ProbM여야만 한다면 (ProbM일때만 가능)을 적기)
-rdv:integrable iff lim n->inf int over {|rdv|>n} |rdv| = 0(link)
-rdv_n:integrable, uni cv to rdv이면 rdv가 integrable이고 lim과 int change가능
-(Bounded Convergence Theorem)
:{rdv_n}이 uniformly bdd이면 DCT이용가능
-{rdv_i}:u.i. iff (link1)(link2)
sup over i int |MF_i|<inf and
for any eps>0. te delta>0 s.t. for any E in C4 with M(E)<delta, sup over i int over E |MF_i|< eps
-{rdv_i}:u.i.이고 rdv:integrable이면 {rdv_i - rdv}:u.i.이다.(link)
-(Jensen's Inequality)f:R->R, convex이면 E[f(Z)]>=f(E[Z])(ProbM일 때만 가능, 즉 전체 Measure가 1)(link)
-f:inc, g:inc, s:dec, t:dec일 때,
E[f(rdv)*s(rdv)]<=E[f(rdv)]*E[s(rdv)]
E[f(rdv)*g(rdv)]>=E[f(rdv)*g(rdv)]
E[s(rdv)*t(rdv)]>=E[s(rdv)*t(rdv)]
(직관적으로는 E[f(rdv)]=0, E[s(rdv)]=0일 때, Cov생각)(link)
-Lp-space with f-M
-0<a<b<=inf에 대해 Lb<La(link)
-구체적으로, for f in Lb, ||f||_a <= ||f||_b (link)
(따라서 {MF_n}이 f-M에서 cv in Lb하면 cv in La도 됨)
-lim p->inf ||rdv||_p = ||rdv||_inf(link)
-{rdv_n}:uni cv이면 {rdv_n}:cv in Lp 된다.(0<p<=inf)(link)
-0<a<b<inf에 대해, {rdv_n}:cv in Lb이면 {rdv_n}:cv in La이다.
-About Cov, Cor
-rdv1, rdv2:ind이면 Cov[rdv1,rdv2]=0(역은 성립안함)(둘다 ND이면 역도 성립)
-(-1)<=Cor[rdv1, rdv2]<=1(link)
-Cor[rdv1,rdv2]=1 iff te a>0 s.t. ProbM(rdv2=a*rdv1+b)=1(link)
-Cor[rdv1,rdv2]=(-1) iff te a<0 s.t. ProbM(rdv2=a*rdv1+b)=1(link)
(즉, Cor은 rdv1과 rdv2의 linear 정도를 판단하는 기준이 되며, 주의할 것은 rdv1과 rdv2가 strong relation이 있다하더라도 linear가 아니라면 Cor의 절댓값은 작게 나올 수 있다.)
-몇가지 examples
-sample space J=countable, C4=P(J),
-PrC1의 Measure(Product Measure보다 general한, using Kernel, or Transition function)
-Step 1 (J1,C4(1),ProbM1), (J2,C4(2)) (J2에는 ProbM가 없음), 에서 transition function을 건설
-Step 2 Prc1을 generating 하는 {all MR}에 PM 건설 using transition function and ProbM1
-Step 3 PM on {all MR}을 PrC1으로 extension(PM이 finite measure이므로 unique하게 extension가능)
-의의
-Transition function을 이용한 Measure on PrC1은 2개의 measure를 이용한 Product Measure on PrC1 보다 general하다.
-성질
-rdv on (J1xJ2,PrC1)이 있으면 Tonelli, Fubini Theorem처럼 rdv의 section의 int가 잘 정의되고,
rdv의 int=rdv의 section의 int의 int(link1)(link2)
-Conditional Expectation, Conditional Probability
-정의:
-rdv:(J,C4,ProbM)->(ETR,C4(TS)), C:sub sigma-algebra of C4, rdv is in L1(ProbM)일 때,
rdv로 만든 C에서의 f-sM의 density를 E[rdv|C]라 하고, Conditional Expectation of rdv given C라 읽는다.
(따라서 Conditional Expectation은 density이므로, 항상 적분형태로 써서 이용하도록 버릇들이자.)
-(J,C4,ProbM), E is in C4, C:sub sigma-algebra of C4일 때, ProbM(E|C):=E[indi_E|C]
-E[rdv|rdv_t, t is in T, T:index set]:=E[rdv|C4(rdv_t, t is in T)]
-V[rdv1|rdv2]:=E[(rdv1-E[rdv1|rdv2])^2|rdv2]
-for E1, E2 in C4 s.t. ProbM(E2)>0, ProbM(E1|E2)=ProbM(E1 intersection E2)/ProbM(E2)
-RDV=(rdv1,rdv2)이고 각 density(f)가 존재할 때, density of rdv1을 f1, density of rdv2을 f2라 할 때,
f(x2|x1):=f(x1,x2)/f1(x1)으로 정의하고 conditional density of rdv2 given rdv1=x1이라 읽는다.
-
-성질
-E[rdv|C]:C-measurable and in L1(rdv:in L1이므로)
-for any E in C, int over E E[rdv|C] dProbM = int over E rdv dProbM
-(J,C4,ProbM)->(rdv1,rdv2) with joint density whose is abs conti with LM일 때, for E in C4(TS) in R(std)
ProbM(rdv2 in E|rdv1)은 marginal density of rdv1을 이용하여 표현된다.
-(linearity), rdv1 in L1, rdv2 in L1, a,b가 실수일 때, E[a*rdv1+b*rdv2|C]=a*E[rdv1|C]+b*E[rdv2|C]
-rdv:C-measurable and in L1이면 E[rdv|C]=rdv a.e.
-E[rdv|{empty, 전체}]=E[rdv]
-(Monotone)
:rdv:nnn and in L1이면 E[rdv|C]>=0 a.e.
-(Modulus Inequality)
-rdv:in L1이면 |E[rdv|C]|<=E[|rdv||C]
-(Monotone Convergence Theorem for Conditional Expectation)(link)
:{rdv_n}:nnn and pt cv a.e. to rdv and in L1, rdv:in L1일 때, E[rdv_n|C]:pt cv a.e. to E[rdv|C]
-(Fatou's Lemma for Conditional Expectation)(link)
:{rdv_n}:nnn and in L1일 때, E[liminf rdv_n|C]<=liminf E[rdv_n|C] a.e.
-(Dominated Convergence Theorem for Conditional Expectation)(link)
:{rdv_n}:pt cv a.e. to rdv and in L1, rdv1:in L1, |rdv_n|<=rdv2 s.t. in L1일 때, E[lim rdv_n|C]=lim E[rdv_n|C] a.e.
-(Product Rule)(link)
:rdv1:in L1, rdv2:C-measurable, rdv1*rdv2:in L1일 때, E[rdv1*rdv2|C]=rdv2*E[rdv1|C] a.e.
-(Smoothing, or Tower Property)(link)
:C*:sub sigma-algebra of C, rdv:in L1일 때, E[E[rdv|C]|C*]=E[E[rdv|C*]|C]=E[rdv|C*]
(특히, E[E[rdv|C]]=E[rdv], 특히 mixtured distribution에 쓰인다.)
-(Projections)(link)
:E[rdv|C] is the projection of rdv onto L2(C) if rdv is in L2(C4)
(즉, L2에선 Conditional Expectation을 Projection으로 볼 수도 있다.)
-C와 C4(rdv)가 ind일 땐 E[rdv|C]=E[rdv](link)
-rdv1, rdv2, rdv1:C-measurable, rdv2:ind wrt C, MF:R^2->R, bdd일 때
E[MF(rdv1,rdv2)|C](w)=E[MF(rdv1(w),rdv2)](link)
-(Jensen's Inequality for Conditional Expectation)(link1)(link2)
:f:R->R, convex, rdv:in L1, f(rdv):in L1일 때, f(E[rdv|C])<=E[f(rdv)|C]
-rdv:in Lp(p>=1)일 때, p-norm of E[rdv|C] <= p-norm of rdv(link)
(따라서, {rdv_n}:cv in Lp to rdv이면 {E[rdv_n|C]}:cv in Lp to E[rdv|C])
-rdv:in L1, {E[rdv|C]}, where collection of conditional expectation over C, is u.i.(link)
-for E in C4(TS) in R(std), (rdv1,rdv2) have joint density일 때 ProbM(rdv2 in E|rdv1)=?(link1)(link2)
-rdv1:in L2, rdv2:in L_inf일 때, E[rdv1*E[rdv2|C]]=E[rdv2*E[rdv1|C]]
-rdv:nnn(or | |취함) and in L1일 때, E[rdv|C]=int over [0,inf] ProbM(rdv>t|C] dt(link)
-(Markov's Inequality, Chebysheff's Inequality for conditional expectation)(link)
:ProbM[|rdv|>=a|C]<=a^(-k)*E[|rdv|^k | C]
-(Conditional Variance Identity)(link)
:V[rdv1]=E[V[rdv1|rdv2]+V[E[rdv1|rdv2]]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
-Conditional Expectation을 알 경우 전체 Expectation을 구할 수 있음
(1반과 2반의 평균과 학생수를 알면 1반+2반 전체의 평균을 구할 수 있단 소리)
(Conditional variance는 위와 같은 성질이 만족하지 않음)
(반대로 E[Z]구함에 있어서 E[Z|X]를 이용할 수도 있다. unconditional mean=mean of conditional mean)
-E[Z1|Z2]:rdv, Z2->R->R
-E[Z1+Z2|Z3]=E[Z1|Z3]+E[Z2|Z3]
-E[aZ1|Z2]=aE[Z1|Z2]
-E[Z|Z]=Z
-E[Z1|Z1,Z2]=E[Z1], E[Z1|Z2,f(Z2)]=E[Z1|Z2]
-(unconditional mean=mean of conditional mean)E[E[Z1|Z2]]=E[Z1]
-E[E[Z1|Z2,Z3]]=E[Z1|Z2], E[E[Z1|Z2]|Z2,Z3]=E[Z1|Z2]
-V[Z1]=E[V[Z1|Z2]]+V[E[Z1|Z2]]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
-About Distribution Function, DF, PDF
-DF의 정의:R(std)->[0,1], right-conti, inc, F(-inf)=0, F(inf)=1
(F(-inf)=0이나 F(inf)=1 둘 중 하나가 성립하지 않고 나머진 다 성리한다면, defective DF라 하자.)
-DF의 motive는 rdv:(J1,C4, ProbM)->(ETR,C4(TS)), ProbM과 rdv를 이용하여 (ETR,C4(TS))에 ProbM에 주는 것
(특히 ETR을 generating하는 closed left rays에 관해서)
-Distribution의 정의:ProbM2(E)=ProbM(rdv^(-1)(E)) for any E in C4(TS)
(즉 DF는 Distribution(Measure)의 정의역이 제한된 형태)
-DF((a,b]):=DF(b)-DF(a)
-rdv1 =_d rdv2란, rdv1과 rdv2의 DF가 같음을 의미한다.
-{DF_n}:cv to DF(which is DF or defective DF)
-{DF_n}:cv vaguely to DF
:for I=(a,b] s.t. DF is conti at a and b, DF_n (I) cv to DF(I) (pt cv 랑 비슷하게 임의의 I fixed하고 n을 inf로)
-{DF_n}:cv properly to DF
:{DF_N}:cv vaguely to DF and DF:non-defective
-{DF_n}:cv weakly to DF
:{DF_n}:pt cv to DF for x s.t. DF:conti at x
-{DF_n}:cv completely to DF
:{DF_n}:cv weakly to DF and DF:non-defective
(위 4개의 cv의 definition은 DF가 non-defective이기만 하면 4개 모두 equivalent)
(DF_n, DF 모두 rdv에서 induced된거인 경우, 위의 4개 모두 equivalent하다.)(link)
(그때 {DF_n}의 cv를 cv in distrb 혹은 {rdv_n}:cv in distrb라 하자.)
-{DF_n}:cv in total variation to DF
:{sup over E in C4(TS) of R(std) |DF_n(E) - DF(E)|}:cv to 0(real numbers seq의 cv)
(rdv_n, rdv로 induced된 DF_n, DF의 cv를 논할 땐 rdv_n과 rdv의 domain이 일치할 필요가 없다.)
-DF의 성질({DF_n}의 cv관련해서는 {rdv_n}의 convergence란에 적기로 한다.)
-DF is determined on a dense set of R(std)(link)
(즉 DF1과 DF2가 dense set에서 같다면, R에서도 같음)
-inc이므로 불연속점이 at most countable
-right-conti
-{x in R s.t. DF(x)>=y} is closed in R(std)
-DF가 conti이면 uni conti도 됨
-DF가 conti이고 rdv with DF라면, DF(rdv)~UD([0,1])(link)
-DF:conti iff ProbM(X=a)=0 for any a in R
-rdv1 =_d rdv2이면 E[rdv1^n]=E[rdv2^n] 따라서 V[rdv1]=V[rdv2]도 앎
-rdv1 =_d rdv2이면 MF(rdv1) =_d MF(rdv2) where MF:(R, C4(TS))->(R, C4(TS)), measurable
-Continuous rdv의 FR(Failure Rate, Hazard Rate라 하기도 한다.)
-정의:for x>0, FR(t):=lim x->0+ {ProbM(t<=rdv<t+x|rdv>=t)/x}
-의미:rdv가 the failure time of an item일 때, FR(x)는 the rate of instantaneous failure을 가리킨다.
-성질:(rdv:the failure time of an item, DF:the rdv의 DF, pdf:the rdv의 density)
-FR(t)=pdf(t)/(1-DF(t))
-{DF}, family of DF(defective일 수 있음)의 성질
-E:countable dense in R(std), {DF_n}:seq of DF(defective일 수도 있음)일 때,
te subseq {DF_(n_k)} s.t. weakly cv to DF(defective일 수도 있음)(link)
-(Selection Theorem)
:Any seq {DF_n} contains a weakly cv subseq(defective일 수도 있음)(증명은 바로 위 문장 이용)
-Collection of DF(not defective)관련
-Collection of DF(not defective)가 relatively compact의 정의
:every seq in the collection has a subseq weakly cv to DF(not defective)(즉 complete cv도 됨)
-Collection of DF가 tight의 정의
:for all eps>0, te K in R(std) s.t. for all DF in the collection, 1-DF(K)<eps
-{rdv_n}이 stochastically bdd의 정의
:{DF_n}이 tight
-(Prohorov's Theorem)(link)
:collection of DF(not defective)가 relatively compact iff the collection is tight
-{rdv_n}관련해서 stochastically bdd 충분조건
-{rdv1_n}, {rdv2_n} 둘 다 stochastically bdd이면 {rdv1_n + rdv2_n}도 stochastically bdd
-te a>0 s.t. limsup n->inf E(|rdv_n|^a)<inf
-{rdv_n}이 [a,b]에서만 함숫값을 가질 때(for all n)
-rdv_n =_d rdv2_n s.t. rdv2_n ~ND(mu_n, (sigma_n)^2), 이 때 {mu_n}, {sigma_n}이 bdd일 때
-DF(x)가 ProbM on (R(std), C4(TS))(즉, DF(E) for E in C4(TS))를 정의할 수 있다. using LM on (0,1]
-DF가 있으면 left-conti inverse of DF(DF^(-1)라 하자)를 생각할 수 있다.
-DF^(-1)의 성질
-DF^(-1):(0,1)->R(std)
-DF가 y값을 가지는 구간이 [x1,x2)일 때, DF^(-1)은 y에서 jumping
-DF가 x1에서 jumping이면(DF(x1-)<DF(x1)=y), DF^(-1)은 (DF(x1-),DF(x1)]에서 x1값을 갖는다.
-inc
-left-conti(link)
-DF(DF^(-1)(y))>=y
-DF(x)>=y iff DF^(-1)(y)<=x
(따라서 DF(x)<y iff DF^(-1)(y)>x도 성립)
(정리하면
DF(x)>=y이면 x>=DF^(-1)(y)
DF(x)>y이면 x>=DF^(-1)(y)
DF(x)<=y이면 x<=DF^(-1)(y)
DF(x)<y이면 x<DF^(-1)(y), 마지막 결과가 중요, 'x<...'에 등호가 안붙음
마찬가지로 DF^(-1)(y)<x일 때가 중요, y<DF(x)가 성립, 등호없이)
-for E in C4(R(std)), the inverse image of E of DF^(-1) is in C4(TS), TS=(0,1] as subspace of R(std)
-{arbitrary개의 rdv_t} with index set T가 있을 때, E:finite subset of T이라 하면 f-dim DF for E를 정의 가능
-f-dim DF for E로 {arbitrary개의 rdv_t}의 ind 판정 가능(iff로써)
-About MGF
-정의:
-MGF_(rdv)(t):=E[exp(t*rdv)]
-MGF_(rdv)(t):exists if te a>0 s.t. (-a,a)에서 MGF_(rdv)가 finite
-성질:
-MGF_(rdv)(t):exists iff te K>0, c>0 s.t. for any x>0, ProbM(|rdv|>x) <= K*exp((-c)*x) (link)
-MGF_(rdv)(t):exists이면
-kth-moment:finite(for all k=1,2,3,...), 즉 rdv in Lp for all p(link)
-MGF_(rdv)(t)의 t에 대한 taylor expansion에서 degree n의 계수=E[rdv^k]/k!(link)
-MGF_(rdv1)(t)=MGF_(rdv2)(t) for all t in R iff rdv1 =_d rdv2이다.
(MGF_(rdv1)(t)=MGF_(rdv2)(t) for all t in some neighborhood containing 0 이기만해도 ->성립)
-rdv1, rdv2:ind일 때, MGF_(rdv1+rdv2)=MGF_(rdv1)*MGF_(rdv2)
(모든 moments가 존재하더라도, MGF는 not exist가능)
-(Convergence of MGFs)
MGF_(rdv_n)(t):exists for all n, lim n->inf MGF_(rdv_n)(t)=MGF_(rdv)(t) for t in a nbd(0)이면
rdv_n:cv in distrb to rdv
(rdv_n이 cv in distrb하는 지랑, limit의 distrb를 알 수 있게 해준다.)
-About chf
-정의:
-chf_(rdv)(t):=E[exp(i*t*rdv)] (iv function이고 항상 modulus가 1보다 같거나 작음)
-성질:
-elementray properties(modulus, uni-conti, etc)(link1)(link2)
-{chf_(rdv)}^2은 rdv - rdv*의 chf이다. where rdv*:iid with rdv
-rdv in L1이면 chf으로 E[|rdv|]구할 수 있다.(prob path책 p324, #9-(f)참고)
-MGF_(rdv)(t) exists for all t in R, 이면 Taylor Expansion가능 using exp(ix)(link1)(link2)
(MGF_(rdv)(t)가 exists하지 않더라도 어느 정도까지 expansion가능하기도 하다.)
-k-th abs moment가 finite이면 chf는 k번 미분가능하고,
chf_(rdv)(t)를 k번 미분하면 E[(i*rdv)^k * exp(i*t*rdv)] for all t in R (link)
-for any rdv1 rdv2, rdv1 =_d rdv2 iff DF1=DF2 iff chf_(rdv1)=chf_(rdv2)(link1)(link2)(link3)
(rdv, DF, chf s.t. chf:integrable이면 bdd, conti인 density가 존재하고 chf를 적분함으로써 구할 수 있음도 앎)
-(Easy Part of Continuity Theorem for chf)
:{rdv_n}:cv in distrb to rdv이면 대응되는 chf_(rdv_n)(t) cv to chf_(rdv)(t) for all t in R
(continuous mapping theorem이용하면 바로 증명됨, deeper가 자주쓰임)
-(Deeper Part of Continuity Theorem for chf)(link1)(link2)
:lim n->inf chf_(rdv_n)(t)가 exist for all t in R, 일 때
-limit function이 0에서 conti이면 {DF_n}:cv in distrb to DF(not defective)
(이 때 DF는 limit function을 chf로 갖는 것)
(즉 cv in distrb의 충분조건이 될 수 있다. 역도 성립, 역이 바로 밑 문장)
-About Laplace Transform of densities
-성질:
-density1, density2가 다르면 laplace transforms도 각각 다르다.
(단, density1, density2 둘 중 하나가 [0,inf)에서 0인 경우 제외)
->따라서 laplace transform of density를 보고 density를 알 수도 있다.
-Family of densities
-(Curved, or Full)Exponential families, Natural Parameter Space
-정의:(link)
(natural parameter space는 link안에서 w_i(theta)를 eta_i로 reparametrization해서 얻음)
-의미:어떠한 properties을 만족하는 densities의 family, 구체적인 density가 exponential families의 원소라면, 성질에 의해 moment계산등이 간편해짐
-curved exponential family란, exponential family와 같은 형태의 densities를 갖지만, parameter사이 restriction이 존재해서 dim(parameter)<k일 때를 가리킴, dim(parameter)=k일 때를 full exponential family라 함.
(즉, curved든 full이든 모두 exponential family이므로 일단 exponential family의 성질을 따름?)
-성질:
-어느 family of densities에서 원소의 support가 parameter vector에 depend하면 대게 exponential family되기 힘듦
(여기서 support는 pmf나 pdf가 양수인 정의역의 영역)
-(Interchange differentiate and integral)(link)
-density function에 ln취하고 partial diff wrt theta한 뒤 pmf나 pdf에 x말고 X를 대입해서 E취하면 0
-density function에 ln취하고 partial diff wrt theta한 뒤 pmf나 pdf에 x말고 X를 대입해서 V취했을 때
-(Population의 density가 exponential families의 원소라면 statistic의 densities의 형태)
-Cramer-Rao Inequality에서의 Information Number를 구하기가 쉽다.
-Natural parameter space의 경우
-Natural parameter space는 항상 convex이다.
-Natural parameter space 또한 exponential families이므로 exponential families성질 만족
-E[t_i(X)]를 C^*(eta)로 구할 수 있다.(link)
-curved exponential family란, exponential families처럼 densities형태
-not exponential family의 예
-UD(0,theta)
-BD(n,p) with n:vary
-TD(n)
-Beta-binomial(a,b,n,p)
-Dirichlet-multinomial
-FD(n,m)
-CD(l,s)
-HGD(N,n,K)
-logistic distribution
-Location families, Scale families, Location-Scale families of the standard density
-정의:density하나를 평행이동한 것들의 모임, scale한 것들의 모임, 둘다 한 것들의 모임(link)
-성질:
-families의 원소의 ProbM는 Standard density로 구할 수 있다.
-f:density이면 1/a*f((x-b)/a)) 또한 density(for any b, any a>0)
-rdv1 have density f1일 때, rdv2=b+(a*rdv1)은 density를 1/a*f((rdv2-b)/a))를 갖는다.
-복원추출 관련 분포
-Bernoulli-Distr(rdv~BrnD(p)로 표현)
-의미:rdv가 0,1(일반적으론 2개의 값)만 가질 때의 distribution
-DF, MGF, moment(link)
-Exponential family됨
-chf(link)
-Binomial-Distr(rdv~BD(n,p)로 표현)
-의미:동일한 그리고 독립인 시행을 n번 했을 때 사건 A가 발생하는 횟수의 distribution
-DF, MGF, moment(link)
-Exponential family됨(n이 known이라 not in parameter vector일 때)
-rdv_n~BrnD(p)이고 iid이면, rdv=sum from i=1 to i=n rdv_i, rdv~BD(n,p)
-Characteristic,
-rdv~B(n,p)일 때, Y=(rdv/n)이라 하면, E[Y]=p, V[Y]=p*(1-p)/n, 즉 n이 커질수록 Y는 p에 가까운 값을 가질 확률이 증가한다.
-approximation by ND(np,npq) using CLT가능
-p=0.5이면 symmetric해서 approximation이 이해가 될 수 있으나
-예를 들어 p=0.3인경우 오른쪽 tail이 ignorable
-np>3이면 ND로 approximation, np<=3이면 PD로 approximation
(PD(lambda=np)로 근사가 가능한 이유는 PD는 non-overlapping intervals에선 발생이 ind인 점과 lambda가 1초 동안 poisson process에서의 평균발생횟수임을 이용)
-approximatio할 때, rdv~BD(n,p), P[rdv<=30] approximated, P[ND<=30.5]로 한다. 0.5 correction필요
-Geometric-Distr(rdv~GD(p))
-의미:첫번째 사건 A가 일어날 때까지 시행하는 독립시행의 횟수의 distribution
-독립시행의 횟수의 분포이므로, memoryless property가짐
-DF, MGF, moment(link)
-Exponential family됨
-Characteristic,
-Negative Binomial-Distr(rdv~NBD(r,p), r은 기준횟수, p는 1번 시행에서 A가 일어날 확률)
-의미:사건 A가 일어난 횟수가 r번이 될 때까지 시행하는 독립시행의 횟수(적어도 n)의 distribution
(사건 A가 r번 나오는 순간, 더이상의 시행은 없는 상황)
(혹은 사건 A가 r번 나오는 순간까지의 실패횟수로 rdv를 정의할 수도 있고, 그때도 NBD(r,p)라 한다. NBDF(r,p)라 적자)
-DF, MGF, moment(link)
-(Hwang)(link)
:rdv~NBDF(r,p), g(rdv):in L1, g(-1):finite일 때, E[(1-p)*g(rdv)]=E[rdv*g(rdv - 1)*(1/r+rdv-1)]
-r이 known이면 Exponential family됨
-Uniform-Distr(rdv~UD(interval), conti Uniform Distrb도 참고)
-의미:n회의 독립시행에서 단 한번 사건 A가 일어났다고 했을 때, A가 발생한 시행의 분포, 이 경우 1/n으로 동일(link)
-Multinomial-Distr(RDV~MND(n,E1,p1,E2,p2,...,Ek,pk)), {E1,E2,...,Ek}는 partition of sample space,ProbM(Ei)=pi)
-의미:n회의 독립시행에서, (E1이 일어난 횟수, ..., Ek가 일어난 횟수)의 분포
(Binomial-Distr는 n=사건A일어난 횟수+사건A^C일어난 횟수 인 경우다. 따라서 Binomial은 Multinomial의 특수한 경우)
-Exponential family됨(n:known이어서 n:not in parameter vector일 때)
-RDV~MND(n,E1,p1,...Ek,pk)의 conditional distrb on (rdv_1,...,rdv_g) 또한 MND을 따른다.(link)
(normalizing 과정 실수 주의)
-비복원추출 관련 분포
-Hypergeometric-Distr(rdv~HGD(N,n,K))
-의미:N개 중 K개의 관심대상이 있는데 n번 비복원으로 추출할 때, 관심대상의 개수의 분포
-PMF, Expectation, Variance(link)
-Negative Hypergeometric-Distr
-의미:사건A가 일어난 횟수가 n이 될 때 까지의 시행횟수(추출 횟수)의 distribution
-Multivariate Hypergeometric-Distr
-의미:n회의 비복원 추출시, n=사건A1일어난 횟수+...+사건Ak일어난 횟수=j1+...+jk, (j1,j2,...,jk)의 분포
note:
Binomial<->Hypergeometric(복원이냐 비복원이냐)
Binomial<->Negative Binomial(총 시행횟수:fixed이고 일어난횟수 관심<->일어난 횟수:fixed이고 시행횟수 관심)
Binomial<->Multinomial(사건A만 관심<->여럿 사건 관심)
Hypergeometric<->Negative Hypergeometric(시행횟수:fixed, 일어난횟수 관심<->일어난 횟수:fixed, 시행횟수 관심)
Hypergeometric<->Multivariate Hypergeo(사건 A만 관심<->여럿 사건 관심)
Multinomial<->Multivariate Hypergeo(복원이냐 비복원이냐)
...비교하며 이해하고 외우기 필요
-Poisson Process 관련 Distribution
-Poisson-Distr(rdv~PD(lambda), poisson process with lambda,t에서 t=1일 때 사건발생횟수의 분포)
-Exponential family의 원소 됨
-PMF, MGF, Moment(link)
-chf
-rdv_n~PD(lambda_n):cv in distrb to rdv~PD(lambda) iff parameter의 cv(link)
-[{PD(n)-n}/sqrt(n)]:cv in distrb to ND(0,1)(link)
-S_n~BD(n,p)에서 p->0, n->inf, 단 np=lambda이면 S_n:cv in distrb to PD(lambda)(link)
-ProbM(rdv=a+1)=lambda/(a+1) * ProbM(rdv=a)(link)
-(Hwang)(link)
:rdv~PD(lambda), g(rdv):in L1, g(-1):finite일 때, E[lambda*g(rdv)]=E[rdv*g(rdv - 1)]
-rdv1~PD(lambda1), rdv2~PD(lambda2), rdv1, rdv2:ind이면 rdv1+rdv2~PD(lambda1+lambda2)(using MGF)
-rdv1~PD(lambda1), rdv2~PD(lambda2), rdv1, rdv2:ind이면
rdv1|(rdv1+rdv2)~BD(rdv1+rdv2,lambda1/(lambda1+lambda2)가 성립
-Exp-Distr(rdv~ED(lambda))
-의미:Poisson Process에서 첫 사건A가 일어날 때까지의 걸리는 T의 분포
(GMD의 special case로 간주 가능)
-DF, MGF, Moment(link)
-chf(link)
-Exponential family됨
-특징:
-rdv~U((0,1))일 때, -log(rdv)~ED(1)이다.
-FR(t)=lambda
-memoryless property를 갖는다.
-{rdv_n}:iid, {rdv_n}~ED(1)이면 ProbM(limsup rdv_n/ln(n) = 1)=1이다.(link)
-{rdv1_n}:iid, {rdv1_n}~ED(1), M_n:=sup over 1<=i<=n (rdv1_i), {M_n - ln(n)} =_d rdv2
s.t. DF(of rdv2)(x)=exp(exp(-x))
-태생적으로, rdv1~ED(lambda), rdv2~PD(x/lambda)일 때, P[rdv1>=x]=P[rdv2=0]을 만족
-Double Exp-distr(rdv~DED(mu, sigma))
-의미:
-ED를 평균을 중심으로 reflection시킨 형태, 따라서 symmetric이고 tail이 fat(ND보다 훨씬) 하지만 moment도 다 가짐(CD처럼 moment가 없을정도의 tail은 아님)
-혹은 X1~ED(lambda), X2~ED(lambda), X1,X2:iid일 때, X1-X2의 distribution이 motive(합하면 GMD)
-density, Moment(link)
-Erlang-Distr(rdv~ERLD(lambda, n))
-의미:Poisson Process에서 사건 A가 n번째 일어날 때까지의 걸리는 T의 분포
-rdv_n ~ ED(lambda)이고 iid일 때, rdv=sum from i=1 to i=n rdv_i, rdv ~ ERLD(lambda,n)
-Density(link)
-rdv1~ERLD(lambda,n), for any x, ProbM(rdv1<=x)=ProbM(rdv2>=n) where rdv2~PD(lambda*x)(link)
-Gamma-Distr(rdv~GMD(lambda, y))
-의미:Poisson Process에서 사건 A가 y번째 일어날 때까지의 걸리는 T의 분포(y는 실수)
(이때 gamma function필요, 실수!을 위해)
-lambda^(-1)는 scale parameter라 불리고 y는 GMD의 pdf의 shape parameter라 한다.
-DF, MGF, moment(link)
-Exponential family됨
-using GMD(lambda, y-1), Computation가능, identity(link)
(y=0일 땐 지수분포이므로(상대적으로 쉬운), 반복해나가면 확률 구할 수 있음)
-태생자체가, PD랑 관련있어서, 다음과 같은 부등식 성립
:rdv1~GMD(lambda,y), rdv2~PD(lambda*x)일 때, P[rdv1<=x]=P[rdv2>=y]
-rdv1~GMD(lambda,y1), rdv2~GMD(lambda,y2), rdv1,rdv2:ind일 때
rdv1+rdv2~GMD(lambda,y1+y2)를 따른다. using MGF
-Weibull-distr(rdv~WBD(lambda, n)
-의미:(ED(lambda))^(1/n)해서 얻은 것
-lambda는 scale parameter라 불리고 n은 shape parameter라 한다.
-DF, MGF, Moment(link)
-Exponential family됨
-FR(t)=(lambda)*n*t^(n-1)
-주로 사용되는 모델형태
-기계의 수명의 분포(각 부품들마다 WBD(lambda, n)대응 시켜버림)
(왜냐하면 FR(t)가 간단함, ProbM(rdv>t)따위도 간단하게 나옴)
(Distribution 관계도 link)
-Conti Uniform-Distr(rdv~UD(interval)
-의미:interval=(0,s)동안에 한번 사건 A가 발생했을 시, (T,T+dt)에서 발생했을 확률은 모든 (T,T+dt)에 대해서 dt/s로 동일한, T의 분포(link)
-DF, MGF, moment(link)
-Beta-Distr(rdv~BTD(a,b), a>0, b>0)
-의미:(0,1)동안에 Poisson Process에서 사건 A가 a+b-1번 발생시 (T,T+dt)에서 a번째 A가 발생할 확률을 가진 시간 T의 분포
(dt->0, a,b는 양의 실수이고 이 때 a!, b!을 위해 gamma function, beta function필요)
(a,b모두 shape parameter라 한다.)
-성질:
-Density유도(link)
-Density, DF, Moment(link)
-Exponential family됨
-a=b=1일 때, rdv~BTD(a,b)=UD([0,1])된다.
-Dirichlet-Distr(RDV~DD(vec{theta_K}) where theta의 성분은 positive real, theta의 dimension은 K)
-의미:
-BTD의 일반화된 것, RDV의 성분의 값들이 각각 (0,1)사이에 놓이는 경우이고 성분의 값 합이 1이 됨
-MND의 probability들의 conjugate prior로써 사용됨
-vec{theta}의 dimension=K라 하면 RDV은 dimension이 K-1(RDV의 마지막 성분:=1-(나머지성분합))
-성질:
-RDV~DD((theta_1,theta_2,theta_3))라 하자. 이 때를 bivariate DD라 한다.
-marginal RDV_1~BTD(theta_1, theta_2+theta_3)
-marginal RDV_2~BTD(theta_2, theta_1+theta_3)
-Normal Distribution(rdv~ND(expectation, variance))
-의미:{Z_1,...,Z_n}이 iid이고 E[Z_1]<inf, V[Z_1]<inf일 때, Sample mean은 ND(E[Z_1],V[Z_1]/n)을 따른다.
(Z_1이 무슨 분포이든 상관없다.)
-성질
-DF, density, MGF, moment(link)
(특이하게 density에 평균과 분산이 포함되어있다.)
-Exponential family됨
-chf
-rdv_n~ND(mu_n,(sigma_n)^2):cv in distrb to rdv~ND(mu,sigma^2) iff 각 parameters의 cv(link)
-X~ND(E[X],V[X])일 때
-E[X]+SD[X]에서 변곡점을 갖는다.
-E[X]에서 선대칭인 density를 갖는다.
-X_n~ND(mu, sigma^2)일 때 sample mean~ND(mu, sigma^2/n)이 된다.
-E[g'(rdv)]을 위한 identity(link)
(g가 특히 polynomial일 때가 유용, Stein's Lemma라 하고, Stein의 shrinkage estimator만들 시에 알게된 identity)
-ND와 관련 분포
-Cauchy Distribution(rdv~CD(l,s))
-의미:이론적인 의미가 큼, moment of any order가 존재하지않는 distribution
-l:location parameter, s:scale parameter, (l,s)=(0,1)일 때, standard cauchy distribution이라 한다.
-rdv1~ND(0,1), rdv2:iid with rdv1일 때, rdv1/rdv2~CD(0,1)(link)
(증명에서 꼭 |rdv2|로 정의하지않아도 됌, V=rdv2로 절댓값없이 해도 결과는 같음)
-성질
-density, DF, chf(link)
-rdv1~CD(0,s1), rdv2~CD(0,s2), rdv1, rdv2:ind일 때 rdv1+rdv2~CD(0,s1+s2)
-rdv~CD(0,s)일 때 a*rdv~CD(0,a*s)(using chf)
-Chi-Squared-Distr(rdv~CSD(d), d은 degrees of freedom이라고 rdv_k~ND(0,1)인 것의 개수)
-의미:rdv_n~ND(0,1)인 iid인 것의 d개의 각각 제곱의 합으로 볼 수도 있고, GMD의 특수한 경우로도 볼 수 있다.
-성질
-Exponential family됨
-sample variance의 distribution approximation때 사용
-density, DF, Moment(link)
-E[h(rdv_d)]=d*E[h(rdv_(d+2))/rdv_(d+2)], where rdv_d~CSD(d), rdv_(d+2)~CSD(d+2)(link)
-활용
-model화한 distribution과 empirical density사이의 거리가 CSD를 따를 수 있다. 그것을 통해, hypothesis test하기도 함
-Noncentral Chi-Squared-Distr(rdv~NCSD(d,lambda)), d는 degrees of freedom, lambda는 noncentrality parameter)
-의미:총 N개,rdv_n~ND(mu_n,sigma^2_n), {rdv_n}:ind일 때, Z=sum from n=1 to n=N (rdv_n/sigma_n)^2의 분포
-성질:
-lambda=sum from n=1 to n=N (mu_n/sigma_n)^2
-rdv1~PD(lambda), rdv2|rdv1~CSD(d+2*rdv1)으로 hierarchy를 구성하면
-marginal rdv2는 NCSD(d,lambda)임을 알 수 있다.
-E[rdv2], V[rdv2]를 쉽게 구할 수 있다.
-t-Distr(rdv~TD(d))
-의미:population~ND(mu,sigma^2)일 때, 얻은 random sample로서 mu을 inference할 때, sigma도 모른다. 이 때 standard ND에 sigma자리에 sqrt(V_n)을 넣었을 때 얻는 distribution이고 sample size가 n일 때 TD(n-1)을 따르며 이것을 이용해 mu추정함
-성질
-의미로부터 density 유도 가능(link)
-MGF 존재 안함
-rdv~TD(d)일 때, d-1번째 까지의 moments만 존재
-rdv~TD(d)일 때, E[rdv]=0, V[rdv]=(d/d-2) for d>2
-rdv~TD(d)일 때, rdv^2 ~ FD(1,d)
-F-Distr의 특수한 경우로도 볼 수 있다.
-F-Distr(rdv~FD(n,m))
-의미:population1~ND(mu1,(sigma1)^2), population2~ND(mu2,(sigma2)^2), population1과 population2가 ind일 때, sigma1, sigma2을 비교하고자 {(V1_n)/(sigma1)^2}/{(V2_m)/(sigma2)^2}을 조사하고 싶고, 이것의 distribution이 F-Distr, FD(n-1,m-1)을 따른다. 이것을 이용해 두 populations의 sigma ratio을 추정할 수 있다.
(두 population이 굳이 ND을 따르진 않더라도, 어떠한 조건이 성립하면
{(V1_n)/(sigma1)^2}/{(V2_m)/(sigma2)^2}은 FD(n-1,m-1)을 따르기도 한다.(Kelker)
-성질
-rdv~FD(n,m)이면 rdv^(-1)~FD(m,n)
-rdv~FD(n,m)이면 {(n/m)*rdv}/{1+(n/m)*rdv)} ~ BTD(n/2, m/2)
-Lognormal-Distr(rdv~LND(mu, sigma^2))
-의미:rdv~ND(mu, sigma^2)인 rdv에 exp을 씌우면 exp(rdv)~LND(mu,sigma^2)
(right-skewed인 모델에 사용, 예를 들면 income~LND(mu, sigma^2))
-성질
-rdv~LND(mu, sigma^2)일 때, log(rdv)~ND(mu sigma^2)이다.
(즉, rdv~LND(mu, sigma^2)에서 mu와 sigma는 log(rdv)의 평균과 표준편차지 rdv의 평균과 표준편차는 아님)
-DF, density, MGF, moment, variance(link)
(모든 moments가 존재하는데 MGF는 exist하지 않는 예)
-Multivariate Normal Distribution(RDV~ND_k(mu, ∑))
-정의
-RDV=(rdv1,rdv2,...,rdvk)인 random vector, every linear combination of its component ~ ND일 때, RDV~ND_k라 한다. (k는 random vector RDV의 size)(link)
-RDV~ND_k(mu, ∑)일 때, ∑가 pdHMT(주로 pdSMT겠지만)일 때, non-degenerate라 한다.(link)
(별말 없으면 non-degenerate만 다루기로 하자.)
-성질
-non-degenerate RDV~ND_k(mu, ∑)일 때 density function은 간편하게 나타내진다.(link)
-rdv1~ND, rdv2~ND라 해서 RDV=(rdv1,rdv2)~ND_2 인것은 아니다.
-특히 Bivariate Normal Distribution((rdv1,rdv2)~BND(mu, ∑)
-rdv1|rdv2또한 ND를 따른다.(link)
-E[rdv1|rdv2]은 rdv2에 의존, V[rdv1|rdv2]은 rdv2값과 무관(link)
-Brownian Motion, Random walk 관련 Distribution
-arcsine-Distb(rdv~arcsine-distrb)
-의미:rdv의 값이 [0,1]까지만 가지고 rdv의 DF, DF(x)=(2/pi) * arcsine(sqrt(x))일 때를 가리킨다.
-Mixture Distribution
-어느 distribution을 보고 hierarchy를 만들 수 있다. 예를 들면 BD(n,p)의 pmf를 보면, p^a*(1-p)^b의 형태를 포함하고 있어서 이것을, p의 분포로써 BTD를 도입하면 hierarchy를 만들 수 있다.
-위의 사실을 이용해, X~distrb1의 평균, 분산 계산등이 용이하지 않을 때, Y~distrb2, X|Y~distrb3 형태로 분석해보고 이 때, distrb3가 비교적 간편하게 나온다면, X의 expectation, variance 등을 distrb1대신 distrb3를 이용 with tower property
(예를 들면 NSCD가 있다.)
-대표적인 예
-rdv1~NCSD(d,lambda), rdv2~PD(lambda), rdv1|rdv2~CSD(d+2*rdv2)
-rdv1~BD(n,p), rdv2~BTD(a,b), rdv1|rdv2~Beta-binomial distribution(rdv2는 p를 결정하는 rdv)
-Beta-binomial distrbution(a,b,n)(rdv~BBD(a,b,n))
-not exponential family(n:known이라면 어떻게 될 까?)
-RDV1~MND(n,E1,p1,E2,p2,...,EK,pK)), RDV2~DD(vec{theta_K}), RDV2|RDV1~Dirichlet-Multinomial
-Dirichlet-Multinomial Distribution(RDV~DMND(vec{theta_K})
-not exponential family
-About 통계량 계산, 의의
-평균과 기댓값의 차이
-평균은, 총 변량/총 개수
-기댓값은 확률변수가 가질 값의 가중치인 확률을 곱해서 모두 더해 놓은 것
-둘이 같을 수도 있으나 태생이 다름
-평균과 중앙값(median)
-N개의 data, z_1<z_2<...<z_N이라 하고 각각이 발생할 확률이 1/N으로 같다고 하자.
-이때 z의 평균은 z_i들로부터의 거리를 제곱한 값의 합이 최소가 되는 값이다.
-이때 z의 중앙값은 z_i들로부터의 거리의 절댓값의 합이 최소가 되는 값이다.
(N이 홀수이면 중앙값은 z_{(N+1)/2}이고 N이 짝수일 땐 관례상, z_(N/2)와 z_{(N/2)+1}의 평균으로 정의한다.
-Z1과 Z2가 not ind일 때
-(Cauchy-Schwartz Inequality)E[Z1Z2]<={E[(Z_1)^2]*E[(Z_2)^2]}^(1/2)
-V(Z1+Z2+Z3+...+Zn)=sum over i,j cov(Zi,Zj)=sum V(Zn) + sum over i≠j cov(Zi,Zj)
-V(aZ1+bZ2)=a^2V(Z1)+b^2V(Z2)+2abcov(Z1,Z2)
-V(aZ1-bZ2)=a^2V(Z1)+b^2V(Z2)-2abcov(Z1,Z2)
(X=Y1+Y2, A에 투자, B에 투자한 금액이 각각 1억이고 1년 뒤 Y1,Y2억이 된다 했을 때를 생각하면, 투자할 때 cov(Y1,Y2)<0인 곳에 투자를 해야 V(X)가 작아진다. 즉 risk가 작아진다.)
-cov(Z1,Z2)=E[(Z1-E(Z1))(Z2-E(Z2))]=E(Z1Z2)-E(Z1)E(Z2), 중간의 식으로 cov의 의미를 생각할 수 있다.
-cov(Z,Z)=V(Z), 따라서 분산은 cov의 일종을 볼 수 있다.
-cov(sum a_i X_i, sum b_j Y_j)=sum sum a_i b_j cov(X_i, Y_j)가 성립
(i와 j의 ending index가 같을 때, cov(sum a_i X_i, sum b_j Y_j)=0 iff sum a_i b_i =0, 이때 sum a_i X_i와 sum b_j Y_j가 orthogonal이라고 통계학에선 부른다.)
-cor(Z1,Z2)=cov(Z1,Z2)/[SD(Z1)*SD(Z2)]
(cor은 Z1과 Z2의 선형종속성의 척도, |cor|가 1에 가까울수록 Z1과 Z2는 선형종속에 가까움, i.e. Z1=aZ2+b꼴에 가까움)
(Z1=aZ2+b, a가 양수이면 cor(Z1,Z2)=1, a가 음수이면 cor(Z1,Z2)=(-1))
-About Stochastic Process(SP)
-정의:
-(J,C4,P):Probability Space, (S,C4):MAS가 있을 때,
S-valued stochastic process(S-SP)란 collection of S-valued random variables on J, indexed by a totally ordered set T
(S를 State Space라 하고, T를 time이라 한다.)
-S-SP(X라 하자.)가 있을 때, for every finite seq T'=(t1,t2,...,tk) in T^k, X_T'의 distribution on (R^k, C4(TS))을 f-dim distribution of X라 한다.
-Independent Increment
-Stationary Increment
-Markov Property
-
-분류방법
1. Time이 discrete이냐 continuous이냐
2. State Space가 discrete이냐 continuous이냐
3. Special
-AR Process
-Branching Process
-Brownian Motion
-Cox Process
-Covariance Stationary(=2nd Order Stationary=Weakly Stationary)
-Gaussian Process
-Linear Process
-MA(q), MA(inf)
-Markov Process
-Markov Shot Noise Process
-Martingale
-Poisson Process
-Renewal Process
-Random Walk
-Stationary Process
-Semi-Markov Process
-WN, IWN
-성질(time, state의 discrete여부로 성질분류해보고, 이후 중요 Process별로 성질 정리)
-
-Discrete Time
-(Duality Principle)
:{rdv_n}:iid이면 (rdv_1,rdv_2,...,rdv_n) has the same (multivariate) distribution (rdv_n,...,rdv_2,rdv_1).
(이것으로써 다른 events이지만 같은 ProbM값을 갖는 경우를 만들 수 있다. 문제 해결이 더 쉬운 것으로 change가능)
-Discrete State
-
-Continuous State
-
-Continuous Time
-
-Discrete State
-
-Continuous State
-
-Using Filter and Lag Operation
-filter with {x_n}란 x_0 + x_1 L + x_2 L^2 +..., where L:lag operator
-p-th degree lag polynomial (1) of {x_n}란 filter with {x_n}에서 L^p까지만
-p-th degree lag polynomial (2) of {x_n}란, 1 - x_1 L - x_2 L^2 - ... - x_p L^p
-abs summable filter with {x_n}란 {x_n}이 abs summable일 때
-inverse of a filter with {x_n}란, (~)*(filter with {x_n})=1인 ~를 가리킴
-multivariate filter with {MT_n}란, 각 성분이 filter with {성분 in MT_n}을 따르는 것(MT가 square일 필요는 없음)
-성질
-filter with {x_n conv y_n}=product of filter with {x_n} and filter with {y_n}(multivariate filter일 때도 성립)
-따라서 filter는 multiplication에 대해 commutative(multivariate filter일 때는 성립안함)
-x_0가 nonzero이기만하면 inverse of a filter with {x_n}이 항상 존재
-abs summable filter with {x_n}이고 inverse가 존재한다해서 inverse가 abs summable임은 보장안됨
-p-th degree lag polynomial (2) of {x_n}의 inverse가 abs summable할 충분조건은 the polynomial에 L대신 z 넣고 = 0 해서 얻은 방정식의 모든 근의 절댓값>1이면 된다. stability condition
-Autocovariance-Generating Function of weak stationary process
-정의:autocovariance를 계수로하는 -inf에서 inf의 power series(centered at 0)
-성질:
-weak stationary process만을 다룬다면, series의 index를 j=1 to j=inf로 one-side로 표현가능
-
-주요 Process
-AR(1)
-정의:SP(={X_n}, n:integer)가 AR Process란, {eps_n=X_n - lambda*X_(n-1)}가 uncorrelated, E[eps_n]=0, V[eps_n]=sigma^2일 때 {X_n}을 AR Process of order 1이라 한다.(deviation-from-the-mean form)
(즉, 다른 form으로는 X_n=c+lambda*X_(n-1)+eps_n, {eps_n}:WN
-성질
-|lambda|<1일 때
-Y_k:=sum from j=1 to j=k (lambda)^j * eps_(n-j)라 할 때, {Y_k}:cv in L2 to X_n(link)
(즉, AR(1) with |lambda|<1은 MA(inf) representation을 갖는다.)
-Cov(X_n,X_(n+k))=(sigma)^2 * lambda^k * (1/(1-(lambda)^2)(link)
(즉 n에는 independent하고 k에만 dependent함)
(사실상 AR(1)을 MA(inf)로 표현해서 MA(inf)에서 cov구하는 방법따른 것)
-|lambda|>1일 때
-AR(1) with |lambda|>1은 future values of eps_n의 MA(inf)로 표현된다.
-|lambda|=1일 때
-AR(1)은 weak stationary process solution을 갖지 않는다. random walk됨
-AR(p)
-정의:
-성질:
-phi_t:Stability Condition을 만족하면
-MA(inf) 표현가능
-Autocovariance-GF가짐
-weak stationary
-
-ARMA(p,q)(no common root일 때만 다룸)
-정의:
-성질:
-phi_t:Stability Condition을 만족하면
-MA(inf) 표현가능
-Autocovariance-GF가짐
-weak stationary
-theta_t:Stability Condition을 만족하면
-AR(inf) 표현가능
-Stationary Process
-정의:SP(={X_t})가 stationary process란, for any h>0, for any finite seq T', X_(T') =_d X_(T'+h)
-성질
-for any t, E[X_t]:finite, V[X_t]:finite이면 E[X_t]=constant, V[X_t]:constant이다.(over t)
-Cov[X_t1,X_t2]=R(|t2-t2|), where R(h)=E[(X_h - E[X_h]*(X_0 - E[X_0])]
-Autocorrelation(h)=R(h)/R(0)로 표현가능
-Covariance Stationary Process(second order stationary, weakly stationary라고도 한다.)
-정의:SP(={X_t})가 Covariance Stationary Process란,
for any t, E[X_t]=constant, Cov[X_t1,X_t2] depends on |t2-t1|
(따라서 Stationary Process일 때처럼 R(h)란게 존재)
-성질
-E[(X_t)^2]=constant over t(따라서 first two moment에 대해서 constant over t라서 second order라고도 함)
-{X_t}:covariance stationary, X_n predict하고 싶을 때 {a_1*X_(n-1)+a_2*X_(n-2)+...+a_p*X_(n-p)|a_i:real}중에서 Mean Square Error(L2 norm error)가 최소인 estimator가 존재하고 estimator을 구할 수 있다.(link)
-(Mean Square Ergodic Theorem)(link)
:{X_t}:covariance stationary with R(h)일 때
lim n->inf (sum from i=0 to i=(n-1) R(i))/n = 0 iff {S_n / n}:cv in L2 to E[X_1]
-abs summable filter with {x_n}은 mapping, {weak stationary process}->{weak stationary process}
(X_t가 vector process이고 multivariate filter여도 성립한다.)
-{X_t}:weak stationary with abs summable autocovariance and Autocovariance-GF이면
for any abs summable {a_n}, a(L)X_t 또한 weak stationary with abs summable Autocovariance-GF
(X_t가 vector process이고 multivariate filter여도 성립한다.)
-Gaussian Process
-정의:SP(={X_t, t>=0}가 Gaussian Process란, for any finite T'=(t_1,...,t_n), X_T'~ND_n
-Linear Process
-정의:{eps_t}:WN이고 X_t=mu+[sum from j=(-inf) to j=inf (theta_j * eps_(t-j))] with theta_0 =1, {X_t}를 Linear Process라 한다.
-MA(q)
-정의:
-{eps_t}:WN이고({eps_t}:weak stationary이기만해도 정의하기도 함)
X_t=mu + [sum from j=0 to j=q (theta_j * eps_(t-j))] with theta_0 = 1, {X_t}를 MA(q)라 한다.
-성질:
-{X_t}:weak stationary
-MA는 기본적으로 not stochastic, initial condition만 주어지면 이후 값은 not random
-Autocovariance-GF이 존재
-MA(inf)
-정의:{eps_t}:WN이고({eps_t}:weak stationary이기만해도 정의하기도 함)
X_t=mu+[sum from j=0 to j=inf (theta_j * eps_(t-j))] with theta_0=1, {X_t}를 MA(inf)라 한다.
-성질:
-{theta_j}가 square-summable이면
-[sum from j=0 to j=inf (theta_j * eps_(t-j))]:cv in L2, 즉 정의 잘됨
-{X_t}:weak stationary
-E[X_t]=mu
-{theta_j}가 abs summable이면
-{X_t}의 jth autocovariance=sigma^2 * sum from k=0 to k=inf {theta_(j+k) * theta_k}
-{eps_t}의 autocovariance가 abs summable이면, {X_t}의 autocovariance도 abs summable됨
-{eps_t}가 iid이면 {X_t}는 stationary and ergodic됨
-Autocovariance-GF존재
-Markov Process, discrete-time
-정의:Stochastic Process {Z_n}이, P(Z_(n)=j_(n)|Z_(n-1)=j_(n-1),...,Z_0=j_0)=P(Z_(n)=j_(n)|Z_(n-1)=j_(n-1))을 만족할 때, {Z_n}을 Markov Process라 한다.
-성질:
-어떤 Stochastic Process가 Independent Increments라면, Markov Process가 된다.
(역은 성립 안함)
-Markov Decision Process, discrete-time
-정의:(S,A,{transition probability P_a(s,s') depending action a at time t from state s at time t to state s' at time t+1}, R), where S:set of state, A:set of actions, R:set of reward
-Martingale({mg_n}을 martingale로 표현하겠다. 그냥 stochastic process는 {rdv_n}으로)
-정의:
-mg, supermg, submg, fair seq, superfair seq, subfair seq
{C4_n}:Filtration of C4이고
{rdv_n}:(J,C4)->(ETR,C4(TS))이 integrable and adapted이고
for 0<=m<n, E[rdv_n | C4_m] = rdv_m a.e.일 때 {(rdv_n,C4_n)}을 martingale이라 한다.(mg)
(마지막 조건은 for any n>=0, E[rdv_(n+1) | C4_n] = rdv_n a.e.와 동치이다.)
(E[rdv_n | C4_m] >= rdv_m a.e.일 때는 {(rdv_n, C4_n)}을 submartingale이라 한다.(submg))
(E[rdv_n | C4_m] <= rdv_m a.e.일 때는 {(rdv_n, C4_n)}을 supermartingale이라 한다.(supermg)
(대게는 {Z_n}이 mg, submg, supermg라고 한다. Filtration은 생략하고 적기로 함)
특히 1,2번째 만족하면서 3번째 조건이 다음과 같을 땐 fair seq라 하고 {(d_n,C4_n)}으로 적는다.
"for 0<=m<n, E[rdv_n | C4_m] = 0" (>=일 땐 subfair, <=일 땐 superfair라 한다.)
-{(rdv_n,C4_n)}:predictable이란, rdv_0:C4_0-measurable, rdv_n:C4_(n-1)-measurable
-{(rdv_n,C4_n)}:increasing process(inc process)란, predictable and 0=rdv_0<=rdv_1<=rdv_2<=...(a.e.)
-τ:J->{0,1,2,3,...,inf} wrt filtration {C4_n}가 stopping time이란, for any n in {0,1,2,3,...,inf}, {τ=n} is in C4_n
-C4(τ):={E in C4(C4_n) s.t. for any n in {0,1,2,3,...,inf}, ([τ=n] intersection E) in C4(C4_n)}
(따라서 C4(τ)는 C4(C4_n)의 sub sigma algebra가 된다.)
-{(mg_n,C4_n)}:closed란, lim n->inf mg_n이 exist a.e.이고 E[lim n->inf mg_n |B_m]=mg_m
-regularmg_n란, mg_n이 rdv:in L1, E[rdv|C4_n]=mg_n되는 rdv가 존재하는 mg_n을 regularmg_n이라 한다.
-성질:
-general한 mg, seq만들기
-(From rdv in L1 with Filtration)
:rdv:in L1(C4-measurable), C4_n:inc(to C4)일 때, rdv_n:=E[rdv|C4_n]하면 {(rdv_n,C4_n)}:mg
-(From {rdv_n} in L1)
:C4_0:=Trivial, C4_n:=C4(rdv_1,...,rdv_n)일 때, {(rdv_n-E[rdv_n|C4_(n-1)],C4_n)}:fairseq
-(From {rdv_n} in L1 s.t. ind, mean zero)
:{rdv_n}:ind, in L1, E[rdv_n]=0, rdv_0:=0, C4_n:=C4(rdv_0,...,rdv_n)일 때,
{(sum from i=1 to i=n (rdv_i),C4_n)}:mg
-(From fairseq with predictable rdv_n)
:{(d_n * U_n, C4_n)}:fairseq if U_n:predictable
-(From {rdv_n}:iid, {0,1,2,3,...} valued, C4_0=trivial, C4_n=C4(rdv_1,...,rdv_n), using generating function)
:{(mg_n(t),C4_n)}:mg where mg_n(t) := {t^(S_n)}/{generating function (t)}^n, 0<=t<=1
-(From State Space = integer인 Markov Chain {Y_n} with transition prob matrix P)
:a=egv(P), f=egv(P,a)라 할 때, {(f(Y_n)/a^n,C4(Y_1,...,Y_n)}은 mg
-Stopping Times(filtration생략하고 τ라 적자.)관련 성질
-τ:C4(τ)-measurable, and C4(C4_n)-measurable
-[τ=n],[τ<n],[τ>n],[τ<=n],[τ>=n] 모두 in C4_n(in C4(τ)은 당연)
-sup τ_n, inf τ_n 모두 stopping time이 된다.
-τ_n이 monotone이면 lim n->inf τ_n은 존재하고 stopping time도 된다.
-τ_1 + τ_2:stopping time이 된다.
-[τ_1 < τ_2], [τ_1 = τ_2], [τ_1 <= τ_2] 모두 C4(τ_1) intersection C4(τ_2)에 속한다.
-for E in C4(τ_1), E intersection [τ_1 <= τ_2]는 C4(τ_2)에 속한다.
-for E in C4(τ_1), E intersection [τ_1 < τ_2]는 C4(τ_2)에 속한다.
-τ_1 <= τ_2 on J이면 C4(τ_1) < C4(τ_2)
-rdv:in L1이면 E[rdv|C4(τ)]=sum from i=0 to i=inf E[rdv|C4_i]*indi_(τ=i)(link)
-{rdv_n}:adapted, in L1일 때 {rdv_n}:mg
iff for any bdd, predictable {U_n}, for any N, E[sum from i=0 to i=N U_n*d_n]=0 where d_n:mg difference, d_0=rdv_0 - E[rdv_0](link)
-supermg(supermg_n)의 성질(별말 없으면 같은 filtration에 대한 내용임)
-(Pasting Two Supermgs)(link)
:{supermg1_n}, {supermg2_n}, τ s.t. supermg1_τ >= supermg2_τ on {τ<inf}일 때,
{rdv_n:=supermg1_n * indi_{n<τ} + supermg2_n * indi_{n>=τ}}은 supermg가 된다.
-(Freezing)(link)
:rdv_n:=supermg_min(n,τ)은 supermg이다.
-Positive Supermg({supermg_n}이 nnn라 하자. 생각)에 대해서
-(Boundedness of positive supermg)(link)
:a>0 or C4_0-measurable rdv일 때,
ProbM(sup over n (supermg_n)>=a|C4_0) <= min(supermg_0/a, 1)이고
sup over n (supermg_n) < inf a.e.
-(Dubin's Inequality, with upcrossing)(link1)(link2)
:0<a<b, k>=1일 때
ProbM(beta(a,b)>=k|C4_0)<=(a/b)^k*min(supermg_n/a , 1)이고 beta(a,b)<inf a.e.
(beta(a,b)란, supermg_n이 a->b을 upcrossing하는 횟수, link참조)
-(Convergence Theorem for a positive supermg)(link1)(link2)
:{supermg_n}은 limit을 갖고 supermg property가 limit에서도 적용, (limit in L1)
-τ_1<=τ_2 a.e.일 때 E[supermg_(τ_2)|C4_(τ_1)]<=supermg_(τ_1) a.e.(link1)(link2)
-submg(submg_n)의 성질
-(Doob Decomposition)(link)
:for any submg_n, te! {mg_n} and {inc process_n} s.t. submg_n = mg_n + inc process_n
-f:R->R, convex, inc, E[|f(mg_n)|]<inf일 때, {(f(mg_n))}:submg(link)
-(Krickeberg's Decomposition)(link1)(link2)
:{submg_n} with sup over n E[(submg_n)^+]<inf에 대해
te {mg_n}, {supermg_n} s.t. mg_n:nnn, supermg_n:nnn, submg_n = mg_n - supermg_n
-(Submg Convergence Theorem)(link)
:{submg_n} with sup over n E[(submg_n)^+]<inf에 대해
te limit of submg_n whose is in L1
(만약 submg_n가 mg_n이었다면 closed mg_n도 된다.)
-{rdv_n}이 mg이면({mg_n}이라 적자)
-iff {mg_n}:submg and supermg(따라서 submg, supermg 성질들 다 만족함)
-E[mg_n]=E[mg_(n-1)]=...=E[mg_1], 즉 E[mg_n]:constant over n
-te fairseq(subfair, superfair) iff te mg(submg, supermg)(link)
(즉, martingale <-> fairseq, 둘중 하나를 체크하든, 둘중 하나를 만들든...)
-fairseq {(d_n,C4_n)}의 각 d_n이 in L2였으면 d_n은 orthogonal(link)
(이때 {(d_n,C4_n)}으로 induced된 mg_n, E[(mg_n)^2]=E[sum from i=1 to i=n (d_i)^2])
-f:R->R, convex, E[|f(mg_n)|]<inf일 때, {(f(mg_n))}:submg(link)
-rdv:nnn, in L1, {C4_n}:filtration, {mg_n=E[rdv|C4_n]}:pt cv a.e. and cv in L1 to E[rdv|C4(C4_n)]
-About Regularmg_n
-{(mg_n,C4_n)}에 대해 TFAE(link)
-{mg_n}:cv in L1
-{mg_n}:sup over n E[|mg_n|]<inf and E[lim n->inf mg_n|C4_n]=mg_n(closable)
-te rdv in L1 s.t. E[rdv|C4_n]=mg_n , 즉 regularmg_n
-{mg_n}:u.i.
-τ에 대해 mg_τ is in L1(link)
-τ_1 <= τ_2이면 E[mg_(τ_2)|C4(τ_1)]=mg_(τ_1) a.e.(link)
-f:R->R, convex, {f(mg_n)}은 submg by Jensen's Inequality
(따라서 {|mg_n|}, {(mg_n)^2}은 submg됨)
-for any eps>0 and any fixed n in N,
P(max{|mg_1|,...,|mg_n|}>eps)<=E[|mg_n|]/(eps)
P(max{|mg_1|,...,|mg_n|}>eps)<=E[(mg_n)^2]/(eps)^2
-n<m에 대해 E[mg_n * mg_m]=E[(mg_n)^2](link)
-(Martingale Convergence Theorem)
:sup over n {E[(mg_n)^2]}<=M for some 0<=M<inf이면 lim n->inf mg_n은 exist and finite w.p.1
-(Extended Martingale Convergence Theorem)
:sup over n {E[|mg_n|]<=M<inf for some M>=0이면 lim n->inf mg_n은 exist and finite w.p.1
(따라서 nnn {mg_n}은 반드시 lim n->inf mg_n은 exist and finite w.p.1)
-(Azuma's Inequality)(link)
:mg_0=E[mg_1], -α_i <= mg_i - mg_(i-1) <= β_i for some α_i, β_i >=0 for any a>0이면
ProbM(mg_n - E[mg_n] >= a)<=exp((-2a^2)/sum from i=1 to i=n (α_i+β_i)^2)
ProbM(mg_n - E[mg_n] <= -a)<=exp((-2a^2)/sum from i=1 to i=n (α_i+β_i)^2)
-{rdv_n}이 submg이면({submg_n}이라 하자.)
-iff {-submg_n}이 supermg
-E[submg_n]:inc over n
-(Kolmogorov's Inequality)
:for any eps>0 and {Z_n}:nnn submartingale, ProbM(max{Z_1,...,Z_n}>eps)<=E[Z_n]/eps
-te {mg_n}, {rdv_n} s.t. submg_n = mg_n + rdv_n and {rdv_n}:inc(link)
-{rdv_n}이 supermg이면({supermg_n}이라 하자.)
-E[supermg_n]:dec over n
-mg만들기
-{rdv_n}:iid, integrable, E[rdv_n]=0일 때, 처음부터 n까지 합 S_n, {S_n}:mg
-{rdv_n}:iid, rdv_n=sum from i=1 to i=n rdv_i, E[e^(a*rdv_1)]=1인 a가 존재하면 {e^(a*S_n)}:mg(link)
-{rdv_n}:iid, integrable, E[rdv_n]=1일 때, k=1 to k=n까지 rdv_k의 곱 P_n, {P_n}:mg
-{rdv1_n}:integrable, {rdv2_n=rdv1_n - E[rdv1_n|rdv1_1,rdv1_2,...,rdv1_(n-1)]}일 때
S_n=sum from i=1 to i=n Y_i, {S_n}:mg
-Branching Process
-Doob Martingale
-정의:rdv1:integrable, {rdv2_n}가 있을 때,
{E[rdv1|rdv2_1,rdv2_2,...,rdv2_n]}:mg가 되고, Doob martingale이라 한다.(D-mg라 하자.)
-{rdv_n}:D-mg iff {rdv_n}:u.i.(link1)(link2)
-About Random Time(꼭 {mg_n}이 주어진건 아닌 상황)
-정의:
{rdv_n}:(J,C4)->(ETR, C4(TS))
N:(J,C4)->(ETR, C4(TS)), integer-valued or inf-valued인 rdv
{N=t} depends on only values of rdv_1, rdv_2, ..., rdv_t일 때, N을 random time for {rdv_n}이라 한다.
(ProbM(N<inf)=1이면 random time N for {rdv_n}을 stopping time for {rdv_n}이라 한다.)
(random time N for {rdv_n}에 대해, bar{rdv_n}:=rdv_n(if n<N) or rdv_N(if n>=N), 이 때 bar{rdv_n}을 stopped process with N이라 한다.)
-성질:
-N이 random time for {rdv_n}일 때
-{N>=n}은 rdv_1, rdv_2,..., rdv_(n-1)만 주어지면 determined(여사건 생각)
-N이 stopping time for {rdv_n}일 때
-lim_n->inf bar{rdv_n}=rdv_N w.p.1
-bar{rdv_n} - rdv_N = [bar{rdv_n} - rdv_N]*indi_{n<N}
-rdv_N = rdv_1 * indi_{N=1} +rdv_2 * indi_{N=2} +....
-(Wald's Equation)(link)
:{rdv_n}:iid, quasi-integrable이고 N:stopping time for {rdv_n}, integrable이면
E[sum from i=1 to i=N X_i]=E[N]*E[X_1]
(P(N<inf)=1보다 E[N]<inf가 강한 조건이다.)
-{mg_n}과 N:random time for {mg_n}, {submg_n}, {supermg_n} 이 주어지면
-stopped process {bar{mg_n}}도 martingale이다.(link)
(따라서 E[bar{mg_n}]=E[bar{mg_(n-1)}]=...=E[bar{mg_1}]=E[mg_1]이다.)
-N:stopping time for {mg_n}이기도 할 때
-{bar{mg_n}}:uniformly bdd이면 lim n->inf E[bar{mg_n}]=E[mg_N](=E[mg_1])(link)
-N:bdd w.p.1이면 lim n->inf E[bar{mg_n}]=E[mg_N](=E[mg_1])(link)
-N:integrable and te M<inf s.t. E[|mg_(n+1)-mg_n| | mg_1, ..., mg_n]<=M for all n이면
limE[bar{Z_n}]=E[Z_N](=E[Z_1])(link1)(link2)
(for all n을 for all n s.t. n<N으로 바꿔도 상관 없음)
-N:stopping time for {submg_n}
-stopped process bar{submg_n}도 submg이다.
-{bar{submg_n}}:uniformly bdd이면 E[submg_N]>=E[submg_1]
-N:bdd w.p.1 by (n_0)이면 E[submg_(n_0)]>=E[submg_N]>=E[submg_1]
-N:integrable and te M<inf s.t. E[|submg_(n+1)-submg_n| | submg_1, ..., submg_n]<=M for all n이면
E[submg_N]>=E[submg_1]
(for all n을 for all n s.t. n<N으로 바꿔도 상관 없음)
-N:stopping time for {supermg_n}
-stopped process bar{supermg_n}도 supermg이다.
-{bar{supermg_n}}:uniformly bdd이면 E[supermg_N]<=E[supermg_1]
-N:bdd w.p.1이면 E[supermg_N]<=E[supermg_1]
-N:integrable and te M<inf s.t. E[|supermg_(n+1)-supermg_n| | supermg_1, ..., supermg_n]<=M for all n이면 E[supermg_N]<=E[supermg_1]
(for all n을 for all n s.t. n<N으로 바꿔도 상관 없음)
-About Random Walk
-{rdv_n}:iid, E[rdv_1]>0, S_0=0, S_n:=sum from i=1 to i=n rdv_i, N=min{n|S_n>0}이면 E[N]<inf이다.(link1)(link2)
-{rdv_n}:iid, E[|rdv_1|]>0, S_0=0, S_n:=sum from i=1 to i=n rdv_i, A>0, B>0, N=min{n|S_n>A or S_n<(-B}이면 E[N]<inf이다.(link)
-(Spitzer's Identity){S_n}:random walk, {Max_n=max{0,S_1,...,S_n}}일 때, E[Max_n]=sum from k=1 to k=n E[S_k^+]*1/k
-WN(White Noise)
-정의:E[X_t]=0, E[(X_t)^2]=sigma^2, Cov[X_t,X_(t-j)]=0 for j not equal to t
-성질:
-Covariance Stationary 성립
-iid이면서 WN을 IWN이라 한다.
-VWN(Vector White Noise)
-정의:{X_t, column vector}, E[X_t]=0, E[X_t * ct(X_t)]=positive-definite(fixed for t), E[X_t * ct(X_(t-j))]=0
-성질:
-E[X_t * ct(X_t)]의 대각성분이 다 같다라는 제한이 없다.
-X_t의 성분끼리의 perfect correlation은 있을 수 없다.(positive-definite때문)
-VMA(inf)(Vector MA(inf) process)
-정의:MA(inf)와 유사, 단지, mu, theta_j(seq of square matrix), {eps_t}:VWN, theta_0=IMT일 뿐
-성질:
-{theta_j}가 abs summable이라함은 각 성분들이 각각의 series가 abs summable이란 것
-MA(inf)의 성질들이 모두 만족함
-Continuous-time Process
-{Z_t, t>=0}가 continuous time stochastic process on the probability space (J,C4,M) whose paths are continuous인 경우, rdv_1:(J,C4)->[0,inf)가 있다면 Z_rdv_1는 rdv가 된다. P(rdv_1<inf)=1이라는게 중요
-Counting Process{N(t):t>=0}
-정의:[0,t]까지 사건 A가 일어난 횟수가 N(t)
-몇가지 용어들
-N(t)가 independent increments:for any two disjoint time intervals I1,I2, 각각에서 A가 일어난 횟수는 independent
-N(t)가 stationary increments:사건 A가 일어난 횟수의 distribution on any interval은 interval의 길이에만 dependent(interval의 위치와는 independent)
(즉 N(t2+s)-N(t1+s)와 N(t2)-N(t1)의 distribution이 같음, t1<t2, s>0)
-성질
-N(t)>=0
-N(t) integer valued
-t1<t2이면 N(t1)<N(t2)
-t1<t2이면 N(t2)-N(t1)은 (t1,t2]에 일어난 횟수
-Poisson Process with lambda>0
-정의:counting process N(t)가 N(0)=0 and independent increments and 길이가 dt인 interval에서 사건 A가 일어난 횟수가 poisson distributed with mean (lambda*dt)인 counting process을 Poisson Process라 한다.
혹은 (link)처럼 건설 가능
-성질
-counting process의 성질들을 만족한다.
-stationary increments
-counting process N(t)가 poisson process with lambda>0
iff N(0)=0, stationary increments, independent increments, P{N(h)=1}=lambda*h+o(h), P{N(h)>=2}=o(h)
(이 성질로써 어떠한 counting process가 poisson process인지 확인 하기 쉬워짐)
-Brownian Motion
-Definition
-X_0=0
-{X_t}:stationary increments, independent increments
-X_t~ND(0,c^2 * t) for some fixed constants c(c=1일 때, Standard Brownian Motion이라 한다.)
-Properties
-{X_t}:Brownian Motion이면 {X_t * 1/c}:Standard Brownian Motion이 된다.
(Standard Brownian Motion에 대해서만 공부해도 됨, 따라서 이하 별말 없으면 Standard인 경우만 고려)
-{X_t (w) : t>=0}, sample path, 모든 sample path는 continuous over t
-모든 Sample path는 nowhere differentiable
-X_t의 density는 f_t(x)=1/sqrt(2*pi*t) * exp(-x^2/2t)
-{X_(t_1), X_(t_2), ..., X_(t_n)}의 joint density f(x_1,x_2,...,x_n)은
f_(t_1)(x_1)*f_(t_2 - t_1)(x_2)*...*f_(t_n - t_(n-1))(x_n)
-for s<=t, Cov(X_s, X_t)=s(link)
-Markov Process가 된다.
-Gaussian Process가 된다.
-{X_s|s<t, X_t = b}의 분포는 ND((b*s)/t, s*(t-s)/t)을 따른다.(link)
(b=0, t=1일 때, {X_s}을 Brownian Bridge라 한다. {X_t}:Standard Brownian Motion, {X_s}:Brownian Bridge)
-Gaussian Process이다.X_s~ND(0, s*(1-s))
-0<a<=b<1일 때, Cov[X_a, X_b|X_1 =0]=a*(1-b)(link)
-Z_t = X_t - t*X_1로 표현가능하다.(Z_t는 Brownian Bridge)(link)
-About Hitting Time
-a>0, T_a :=inf{t>0|X_t =a}, 즉 T_a는 {X_t}가 a를 hit하는 최소시간일 때
-(Reflection Principle)(link)
:Y_t:=(X_t) * indi_(t<=T_a) + (2*X_(T_a) - X_t) * indi_(t>T_a)도 standard brownian motion
-ProbM(T_a<inf)=1(link1)(link2)
-ProbM(T_a<=t)도 앎(link1)(link2)
-ProbM(T_a<=t)=2*ProbM(X_t>=a)=ProbM(|X_t|>=a)=ProbM(sup over s in [0,t] X_s >=a)
(따라서 |X_t| =_d sup over [0,t] X_s)
-(Absorbed Brownian Motion)
-X_t:=X_t for t<=T_a, a for t>T_a일 때, X_t를 absorbed brownian motion이라 한다.
-Absorbed Brownian Motion의 CDF(link)
-t1<t2에 대해 E(t1,t2):={x in J s.t. X_t hits 0 at least one in (t1,t2)}
-ProbM(E(t1,t2))=1 - {(2/pi) * arcsine(sqrt(t1/t2))}(link)
(따라서, for 0<x<1, ProbM(X_t has no zeros in (xt,t))=(2/pi)*arcsine(sqrt(x)))
-(Arcsine Law)
-L:=sup{t in [0,1] s.t. X_t = 0}, L~arcsine-distrb(link)
-M*:=argmax over t in [0,1] (X_t), M*~arcsine-distrb(link)
-(Occupation Time)
-A_t:=the amount of time in [0,t] s.t. X_t>0일 때, {A_t / t}~arcsine-distrb
-About Reflected Brownian Motion
-|X_t|를 reflected brownian motion이라 한다.
-reflected brownian motion의 CDF, Expectation, Variance(link)
-About Maximum process {sup over s in [0,t] X_s}
-ProbM(sup over s in [0,t] X_s >= a) = ProbM(T_a <= t)=ProbM( |X_t| >= a) = 2*ProbM(X_t>=a)
({sup over s in [0,t] X_s}과 |X_t|은 have the same law라 한다.)
-(Levy's Theorem on the maximum process)
:{(sup over s in [0,t] X_s) - X_t} is a reflected brownian motion
-About Geometric Brownian Motion
-exp(X_t)를 Geometric Brownian Motion이라 한다.
-Expectation, Variance(link)
-About Integrated Brownian Motion
-int over [0,t] X_s ds(pathwise integration)을 Integrated Brownian Motion이라 한다.
-
-About Brownian Motion with drift mu
-X_0=0, {X_t}:stationary increment and independent increment, X_t~ND(mu*t, t)일 때
{X_t}를 Brownian Motion with drift mu라 한다.
-Approximation by random walk(link)
-About Hitting time
-A>0, B>0, P(X_t hits A before -B)=(1-exp(-2*mu*B))/(1-exp(-2*mu*(A+B)))
-
-About Queueing Theory(A/B/C model이란, A는 Customer arrive의 분포, B는 Service time의 분포, C는 server개수)
-G/G/1 Model
-Situation:
-Customer arrive at time C_1, C_2, ...
-Interarrival time X_1=C_1, X_2=C_2-C_1,...
-Service time C_1 has Y_1, C_2 has Y_2, ...
-{X_n}:iid, {Y_n}:iid
-D_n:=n번째 손님이 도착했을 때, 남아있었던 workload, 즉 D_n:=max(D_(n-1)+Y_(n-1)-X_n,0)
-성질
-U_n:=Y_n - X_(n+1)이라 할 때
-E[U_1]>0이면 D_n->inf w.p.1
-E[U_1]<0이면 D_n->D_inf w.p.1 for some rdv D_inf
-for any C>0, P(U_1>0)>0 이고 te theta>0 s.t. E[exp(theta*U_1)]=1이면
-P(D_inf>=C)<=exp((-theta)*C)(link1)(link2)
-(G/M/1)게다가 {Y_n}~ED(mu)라면 P(D_inf>=C)={(mu-theta)*e^(-theta*c)}/(mu), P(D_inf = 0)=(theta)/(mu)(link1)(link2)
-(M/M/1)게다가 {X_n}~ED(lambda)라면
-lambda<mu
-P(D_inf>0)=(lambda)/(mu)
-About Statistics
-기초
-Sample(표본)을 이용하여 Population(모집단)의 Characteristic(성질)을 Inference(추론)하는 것
-Inference는 estimation(추정)과 hypothesis test(검정)으로 이루어짐
-prediction(or forecasting, 예측)은 대게 시간이 지나면 실제값이 알려지나 안 알려질 수도 있다.
-population은 '필요한 정보'가 무엇이고 '얻을 수 있는 정보'가 무엇인지에 달려있다.
-통계학의 주요과제는 통계적 추론의 목적에 적합한 통계량(statistic)을 찾은 다음, 그 분포(표본분포, 통계량의 분포)를 구하는 것인데, 이 때 likelihood function이 핵심적인 역할을 한다. (sample {Z1,...,Z_n}이 iid인 경우)
LF는 통계량의 분포를 구하는데에만 쓰이는 게 아니라, 적합한 통계량을 찾는데에도 쓰인다.
-Data Type, categorical(=nominal, category가 2개이면 binary), numerical
-Data Presentation
-categorical data용
-bar chart
-Pareto chart
-pie chart(각 category의 total data set에서의 proportion 강조)
-numerical data용
-histogram
-box plot
-"복원 추출", "독립 시행"과 관련된 모든 것이 독립인 것은 아님
-About Sample
-정의:
-(Z_1,Z_2,...,Z_n), random sample(of size n from the population), if {Z_1,Z_2,...,Z_n}:iid일 때
-(Z_1,Z_2,...,Z_n), simple random sampling, if 비복원 from a finite population(별 언급없으면 random sample)
-S(Z_1,Z_2,...,Z_n)을 statistic이라 한다. (rdv, RDV 가능)
(즉 random sample의 function(scalar-valued일 수도, vector-valued일수도)
(S의 distribution을 sample distribution of S라 한다. 대표적인 statistic으론 sample mean, sample median, sample trimmed mean, sample mode, sample variance, sample quantile 등이 있다.)
-SS(Z_1,Z_2,...,Z_n), sufficient statistic for theta란, (Z_1,...,Z_n)|SS(Z_1,Z_2,...,Z_n), 즉 conditional distribution이 not depend on theta일 때의 statistic
-minimal SS(Z_1,Z_2,...,Z_n)란, 임의의 SS(Z_1,Z_2,...,Z_n) for same parameter의 function으로 표현되는 SS(Z_1,...,Z_n)을 가리킨다.
-AS(Z_1,Z_2,...,Z_n), ancillary statistic for theta란, the statistic의 distribution이 not dependent on theta일 때를 가리킨다.
-{densities of statistic along theta}:complete란
for any theta, for any MF인 g s.t. independent of theta
E[g(the statistic)]=0이면 ProbM(g(the statistic=0))=1 for any theta.
그리고 이 때 statistic을 complete statistic이라 한다.
-Order Statistic, (Z_(1),Z_(2),...,Z_(n)), random sample을 ascending순으로 나열한 것
-sample range, Z_(n) - Z_(1)을 가리키며 population의 dispersion의 indicator가 될 수 있음
-sample median, Z_({(n+1)/2})(n이 odd일 때), (Z_({n/2})+Z_({n/2 + 1}))/2, sample mean보다 outlier에 덜 영향을 받는게 주요특징
-sample midrange, (Z_(1)+Z_(n))/2
-estimate error란 estimator of parameter - parameter를 가리키고, estimator - parameter는 확률변수가 된다. 왜냐하면 estimator가 확률변수이므로, parameter는 확률변수 아님, 단지 모를 뿐임
-estimate error가 양수이면 overestimation, 음수이면 underestimation이라 한다.
-Notation:
-observed(or realized) sample의 표현은 {z_1,z_2,...,z_n}으로 나타낸다.(각각은 real number)
-모집단의 평균을 mu, 표준편차 sigma, 그냥 density는 모집단의 density
-S_n:=Z_1+Z_2+...+Z_n
-bar{Z}:=(sum from i=1 to i=n Z_i)/n, 즉 sample mean
-V_n:=(sum from i=1 to i=n (Z_i - bar{Z})^2)/(n-1), 즉 sample variance
-성질:
-simple random sampling의 경우 ind는 보장안되지만 identically distributed는 됨
-simple random sampling이더라도 population의 size N이 n에 비해 많이크면 random sample취급 가능
-About Sample Distribution
-About Sample mean, bar{Z}(Sample Variance의 내용도 많이 포함됨)
-E[bar{Z}]=mu
-V[bar{Z}]=(sigma)^2/n
-bar{Z}는 d((z_1,z_2,...,z_n),(bar{Z},bar{Z},...,bar{Z}))가 최소가 되게한다.
where d:euclidean metric
-Population의 density가 Location-Scale Family의 원소였다면, standard의 sample mean에 대해서만 조사해도 나머지 family의 원소의 density를 따를 때도 sample mean의 distribution쉽게 앎
-{Z_n}:iid일 때 TFAE(link)
-Z_1:integrable
-for any eps>0, sum from n=1 to n=inf ProbM(|Z_1|>eps*n)<inf
-|Z_n / n|:pt cv a.e. to 0
(처음거랑 두번째거는 iid와는 무관하게 equivalent, 걍 하나의 rdv에 관한 이야기)
(Kolmogorov's S-LLN과도 연관있음)
-(Weak Law of Large Number, W-LLN)(bar{Z}의 cv in M)
:{Z_n}:iid, V[Z_1]:finite일 때(finite mean도 됨, finite variance->L2->L1->finite mean)
-bar{Z}:cv in M to mu(link)
-V_n:cv in M to (sigma)^2(link)
-(General W-LLN)(identically distribution과 finite mean, finite variance조건이 없어짐)(link)
:{Z_n}이 ind이고
lim n->inf sum from i=1 to i=n ProbM(|Z_i|>n) = 0이고
lim n->inf [sum from i=1 to i=n E[(Z_i)^2 * indi_{|Z_i|<=n}]]/n^2 = 0이면
for a_n=sum from i=1 to i=n E[(Z_i)*indi_{|Z_i|<=n}], S_n=sum from i=1 to i=n (Z_i)
[S_n - a_n]/n : cv in M to 0
note)(General W-LLN의 배경)
-finite mean 조건 약화시키기
-Z:integrable(즉 finite mean과 동치)이면 lim n->inf n*ProbM(|Z|>n) = 0 (역은 거짓)(link)
-Z:integrable iff for any eps>0, sum from n=1 to n=inf ProbM(|Z_1|>eps*n)<inf)(link)
note)(General W-LLN으로 나머지 W-LLN체크)
-{Z_n}:iid with finite variance(link)
-(Khintchin's W-LLN){Z_n}:iid with finite mean(link)
-{Z_n}:iid with finite mean using chf(link)
-(Feller's W-LLN){Z_n}:iid with lim x->inf x*ProbM(|Z_1|>x)=0(link)
-(Strong Law of Large Number, S-LLN)(bar{Z}:pt cv a.e.)
:{Z_n}:ind, {a_n}:inc with lim n->inf a_n = inf, sum from i=1 to i=inf V[Z_i / a_i] <inf이면
{S_n - E[S_n]}/a_n:pt cv a.e. to 0
(Kronecker's Lemma+Kolmogorov's Convergence Criterion 이용하여 증명)
(a_n = n일 때를 생각해보라.)
-(S-LLN Using MGF)
:{Z_n}:iid with MGF(Z_1)(t) is finite for |t|<=T for some T>=0이면
[S_n/n]:pt cv a.e. to mu(link1)(link2)
-(Kolmogorov's S-LLN)(link1)(link2)
:{Z_n}:iid일 때
-te c in R s.t. [S_n/n]:pt cv a.e. to c iff Z_1:integrable in which case E[Z_1]=c
(만약 Z_1 in L2라면, [(sum from i=1 to i=n (Z_i - E[Z_i])^2)/n]:pt cv a.e. to V[Z_1])
(cv in L1도 된다.)(link)
(Generalizd version은 Ergodic Theorem이 있다.)
-(Central Limit Theorem, CLT)(link1)(link2)
:{Z_n}이 iid이고 in L2일 때
bar{Z}:cv in distrb to Z, Z~ND(mu, [sigma^2]/n)
(S_n=sum from k=1 to k=n (Z_k):cv in distrb to ND(n*mu, n*sigma^2))
(S_n/sqrt(n):cv in distrb to ND(sqrt(n)*mu, sigma^2))
-(Delta Method, using first-order derivative)(parameter의 function을 inference할 때)(link)
:{rdv_n}이 sqrt(n)*(rdv_n - theta):cv in distrb to rdv1, rdv1~ND(0,sigma^2)이고
for g and specific theta_0, g'(theta_0):exist and nonzero이면
sqrt(n)*(g(rdv_n)-g(theta_0)):cv in distrb to rdv2, rdv2~ND(0,sigma^2*[g'(theta_0)]^2)
(쉬운 예로는 rdv_n이 bar{Z}이고 추정 대상이 모평균 mu의 function일 때)
(일반화하면 rdv1~ND일 필요 없다. 단지 가정을 만족하는 경우가 bar{Z} with CLT일 때가 많음)
-(Delta Method, using second-order derivative)
:{rdv_n}이 sqrt(n)*(rdv_n - theta):cv in distrb to rdv1, rdv1~ND(0,sigma^2)이고
for g and specific theta_0, g'(theta_0)=0 and g''(theta_0):exist and nonzero이면
n*(g(rdv_n)-g(theta_0)):cv in distrb to rdv2, rdv2~sigma^2*g''(theta_0)*0.5*CSD(1)
(Delta Method using first-order derivative에서 first-order derivative가 0일 때 사용)
-(Delta Method for Multivariate)
:나중에 필요할 때 정리
-(Demoivre-Lapalce Theorem)
:{Z_n}:iid, 각각이 BrnD(p)을 따를 때, S_n:cv in distrb to ND(np,np(1-p))
(S_n ~ BD(n,p))
(물론 n이 무한대로 가므로 ND(np,np(1-p))로 approximation이 가능하다는 것을 뜻함)
-simple random sample인 경우
-E[bar{Z}]=mu
-V[bar{Z}]=[(sigma)^2/n]*[(N-n)/(N-1)], N은 모집단의 크기(link)
-About Sample Variance, V_n
-E[V_n]=(sigma)^2
-(n-1)*(V_n) = {sum from i=1 to i=n (Z_i)^2} - n*(bar{Z})^2(link)
-V[V_n] cv to 0 as n->inf이면 V_n:cv in M to sigma^2(using chebysheff inequality and W-LLN)
-About Order Statistic
-성질
-discrete population으로 얻은 random sample order statistic인 경우
-각 order statistic의 pmf(link)
-conti population으로 얻은 random sample order statistic인 경우
-각 order statistic의 DF와 density(link)
-order statistic에서의 joint DF와 joint density(link)
-About Generating a Random Sample
-의미:어떠한 distribution(원하는)을 따르는 random sample을 만드는 방법
-과정
-기본적인 fact:UD을 따르는 random sample은 만들 수 있다.
-Direct Method(U_n~UD((0,1))이라 하자.)(구체적인 DF^(-1)을 이용하는 방법)
-ED(lambda)을 만드는 방법(random sample)(link)
-CSD(2d)을 만드는 방법(1개의 rdv)(link)
-GMD(lambda,y)을 만드는 방법(y가 integer일때만, 즉 ERLD(lambda,y))(1개의 rdv)(link)
-BTD(a,b)을 만드는 방법(a,b가 integer일때만)(1개의 rdv)(link)
-(Box-Muller Algorithm)
:rdv1~ND(0,1), rrdv2~ND(0,1) s.t. rdv1과 rdv2는 ind인 rdv1, rdv2 만드는 방법
-BD, NBD, PD 등 discrete distribution 만드는 방법
-Indirect Method
-(Accept/Reject Algorithm)(link)
원하는 distribution의 density과 ind인 UD(0,1), UD(0,1) 두개로 원하는 rdv~the distribution을 만들 수 있다.
(Criteria인 M<inf도 중요하고(즉 V선택이 중요함), 원하는 rdv가 heavy-tail distrb인 경운 힘듦)
-(Markov Chain Monte Carlo Method)
-(Metropolis Algorithm)
:heavy-tail인 rdv도 만들 수 있지만, 정확한 density를 만들기보단 그 density로 수렴하는 rdv_n을 얻을 수 있다.
-About Data Reduction
-의미:적절한 statistic으로, sample모두의 value말고 statistic의 value만으로 parameter의 inference가능
-About SS(Z_1,Z_2,...,Z_n), sufficient statistic
-Joint density of (Z_1,...,Z_n)과 density of S(Z_1,...,Z_n)로써 S(Z_1,Z_2,...,Z_n)이 SS(Z_1,...,Z_n)인지 판단가능
-exponential family의 원소가 아닌 경우(population의 density) 혹은 nonparametric density인 경우, Order Statistic말곤 SS(Z_1,Z_2,...,Z_n)찾기가 어렵다. 크게 Reduction되지 않음
-(Factorizatioon Theorem)
:Joint density of (Z_1,Z_2,...,Z_n)을 보고 적절한 SS(Z_1,...,Z_n)을 찾을 수 있다.
:
-population의 density가 exponential family의 원소였다면, SS(Z_1,Z_2,...,Z_n)을 쉽게 알 수 있다.
(게다가 parameter space가 open set을 포함한다면 complete이기도한 statistic 얻음)
-(Lehman-Scheffe's Theorem)(SS(Z_1,Z_2,...,Z_n)이 minimal인지 판단하는Theorem)
:
(minimal SS(Z_1,Z_2,...,Z_n)이라 할지라도 dimension이 parameter의 dimension보다 클 수도 있다.)
(minimal SS(Z_1,...,Z_n)은 not unique)
-About AS(Z_1,Z_2,...,Z_n), ancillary statistic
-parameter가 location-parameter인 경우, sample range는 ancillary statistic이 된다.(link)
-parameter가 scale-parameter인 경우, (Z_1/Z_n, Z_2/Z_n,...,Z_(n-1)/Z_n)으로 이루어진 function(즉 statistic)은 ancillary statistic of scale-parameter가 된다. (link)
(특히, rdv1~ND(0,sigma^2), rdv2~ND(0,sigma^2), rdv1,rdv2:iid이면 rdv1/rdv2~CD(0,1) for any sigma)
-(Basu's Theorem)(직관적으론 sufficient가 ancillary랑 ind일 것 같은데 completeness필요)
:statistic이 complete and sufficient이면 ind of every ancillary statistic이 된다.
(그리고 the complete and sufficient statistic은 minimal임도 알 수 있다.)
(두 statistic이 ind임을 보일 때 유용, 하지만 complete임을 보이는게 문제인데...바로 밑 theorem이용)
-Using Likelihood Function
-(Likelihood Principle)(한 population에서 2개의 random sample을 얻었을 때)
-In the inference about parameter, after (Z_1,Z_2,...,Z_n) is observed, all relevant experimental information is contained in the likelihood function for the observed (Z_1,...,Z_n).
-(Z_1,Z_2,...,Z_n), (Z'_1,Z'_2,...,Z'_n) 두개의 random sample1, random sample2을 얻었을 때, for all parameter, LF from (Z_1,Z_2,...,Z_n) = LF from (Z'_1,Z'_2,...,Z'_n) * C(random sample1, random sample2)로 표현된다면, random sample1으로 parameter를 inference하나 random sample2으로 parameter를 inference하나 같은 결론을 얻는다.
-한 random sample에서 parameter1, parameter2 각각이 LF1<LF2라면 parameter2가 더욱 plausible
(그리고 LF2/LF1만큼 plausible하다는 결론을 내릴 수 있다.
-4 Principles(link1)(link2)(link3)
-Equivariance Principle을 따른다면,
-About Inference(population의 parameter에 관한 지식 from sampling,은 population 전체 density에 관해서 알려준다. 따라서 parameter을 estimate하는게 관건, 동시에 이 parameter의 function을 estimate할 수도 있다.)
-About Point Estimation
-About Finding Estimator
(MM, MLE, Bayes Estimator, EM-Algorithm, min MSE, MVUE)
-정의:
-theta, theta란 parameter of population를 가리킨다고 하자.
-모집단의 property(예를 들면, 모평균, 모분산, 모집단의 density의 parameter 등)을 parameter라 한다.
-추정용 statistic을 estimator라 하고
-검정용 statistic을 test statistic이라 한다.
-bias of a statistic for a parameter:=|E(statistic) - the parameter|, 작을수록 better statistic
(절댓값없이 정의하기도하고 절댓값을 포함해서 정의하기도함)
-bias=0인 statistic을 unbiased statistic이라 한다.
(표본분산(n)대신에 표본분산(n-1)을 이용하면 unbiased됨)
-MSE of a point estimator of a parameter란 parameter의 function, E[(estimator-parameter)^2]
(parameter와 관련된 population의 density형태는 이미 modeled됐을 때)
-MVUE:Minimum Variance Unbiased Estimate(좋은 statistic이 됨)
-efficiency of statistic:=V[parameter]/V[statistic] where statistic=MVUE
-relatively efficiency of (statistic1 for parameter, statistic2 for the same):=V[statistic1]/V[statistic2] where both statistics are unbiased
(unbiased인 2개의 statistics 중 어느게 variance가 작아서 좋은지 비교시 쓰임, 작은걸 efficient라 한다.)
-statistic_n for a parameter depending on sample size n이 consistent란,
as n->inf, {the statistic_n}:cv in M to the parameter
-asymptotic bias of statistic for a parameter란, cv in M limit of (statistic - parameter)
-statistic ~_a Distribution이란, n이 커질수록 statistic의 DF의 approximation(cv in distrb가 보장된)
-consistent estimator_n(statistic)이 asymptotically normal이란, sqrt(n)*(estimator - parameter):cv in distrb to ND일 때를 가리키고, 이때의 estimator를 sqrt(n)-consistent라 한다. 혹은 CAN estimator라 한다. 그리고 이때 ND의 variance matrix을 asymptotic variance라 하고 Av[estimator_n]라 하자.
-E_theta란 expectation function of theta를 가리킨다고 하자.
-UMVUE of f(theta)란, E_theta [UMVUE]=f(theta)인 것중 the smallest variance를 갖는 것
-Method of Moments(MM)
-방법:sample의 moment랑 population의 moment(parameter의 function)을 = 두고 equation풀어 estimator 얻는 방법
-특징:
-MM으로 얻은 estimator의 range와 estimating하는 parameter의 range가 일치하지 않을 수 있다.
-Method Maximum Likelihood Estimators(MMLE)(얻은 Estimator나 Estimate모두 MLE라 적자.)
-방법:
-likelihood function을 argumax하는 parameter를 estimator로 함
-일단 first-derivative로 필요조건 구함(log 이용하기도)
-Hessian 등 이용해서 maximum인지 minimum인지 판단
-Bd에서 Check해서 Global Maximum인지 판단
-특징:
-MLE의 range와 estimating하는 parameter의 range가 일치함
-parameter의 range내에서만 MLE를 찾아야한다. parameter의 어떠한 physical한 assumption이 들어가 있을 때, global maximum이 estimator의 값에 따라 달라질 수 있음,
-MLE 자체를 구하기가 어려울 수 있음, 그래도 Numerical Method이용하면 됨
-sample이 약간만 달라져도 MLE가 크게 달라질 수 있음(Maximization의 problem)
(이럴 경우 MLE로 얻은 Estimator의 신뢰도가 떨어짐)
-(Invariance Property of MLE)
:MLE for parameter가 있을 때 MLE for g(parameter) for any transformation g는 g(MLE for parameter)
(즉 sqrt(V_n*(n-1)/n)이 모표준편차의 MLE가 된다.)
-CLT를 이용하면 MLE ~_a ND가 된다.
-Bayes Estimator
-방법:
-parameter가 어떠한 distribution을 따른다는 생각이 있다면,
-sample로써 parameter의 distribution을 update하고
-conditional expectation of parameter given sample이 estimator가 된다.
-특징:
-parameter에 따른 sample의 distribution의 collection C1과 parameter의 distribution의 collection C2, 이때 C2가 conjugate family for C1이란, prior distribution이 update되서 posterior되서도 다시 C2에 속할 때를 가리킨다. 이경우 계산이 편리해진다는 장점이 있다.
-parameter의 분포와 sample의 data를 합한 정보를 준다는 특징이 있다.
-EM-Algorithm(Incomplete-data가 있을 때, Estimator를 만드는 방법)
(Statistical Inference, 2nd edition보고 작성한 글)
-About Evaluating Estimators
(위에 4가지 방법으로 만든 Estimator가 다를 수가 있다. 이경우 어느 게 좋은지 판단기준필요)
-Mean Square Error(MSE)(Finding Estimator의 한방법이 되기도 함, MSE가 최소인 estimator를 찾는다거나, MVUE를 찾는다거나 등)
-방법:estimator of parameter가 있을 때, (The estimator - parameter)의 L2-norm을 재서, L2-norm이 작은게 좋은 것
-특징:
-L2-norm이 analytically tractable, bias란 개념도입가능한 해석가능해서 좋음
-MSE는 estimator의 variance와 bias 둘다 다룸, unbaised이면 estimator의 variance만 고려
-MSE가 낮을수록 좋은 estimator같지만, 항상 그런 것만은 아님
-unbiased estimator가 좋을 것 같지만, bias를 약간 늘리고 variance를 확 줄일 수도 있기도 하다.
(예를 들면, population~ND(mu,sigma^2)일 때, MLE로 얻은 estimator of (population의 variance)가 MM으로 얻은 estimator of (population의 variance)보다 더 MSE가 낮다, 비록 전자가 biased이고 후자가 unbiased일지더라도. unbiased이면 평균적으로 parameter 전후로 놓여진다. biased이면 평균적으로 parameter 전후중 한방향에만 놓이게 된다. 이런 이유로 MLE로 얻은 estimator of (population의 variance)보다 MM으로 얻은게 더 많이 이용된다.)
-MSE는 parameter의 function이므로 best estimator가 1개만 있는 것은 아니다.
-estimator1이 estimator2보다 uniformly better하지 않을 수 있다. parameter의 distribution이나 n에 따라서
-MSE는 group of transformation이 주어진 equivariance principle을 따르는 estimator중에서 best estimator를 찾는데 도움이 되기도 함
-Unbaised Estimator중에서만 생각하면(or, E_theta [estimator]=f(theta)인 class만 생각, 으로 확장가능)
-for any parameter value, the smallest variance인 게 최고 좋음
-(Cramer-Rao Inequality)
:estimator of theta의 variance의 lower bound를 제공해준다.
((Z_1,Z_2,...,Z_n)에 apply하면, lower bound를 take하는 estimator가 UMVUE가 될 수 있다.)
(discrete case도 사용 가능)
(Information Number가 크면 theta에 관한 정보가 많다는 뜻이며 동시에 variance lower bound가 작아짐)
(General한 Inequality로는 Information Inequality가 있다.)
(Assumption, interchangble of int and diff, 이 성립안할 때도 있다. 체크필요)
-Cramer-Rao Inequality를 쓰더라도 정작 lower bound가 attainable인진 모를 수 있다.
(좀 더 look into해야할 지, 어떠한 estimator도 lower bound를 take안할지 모른다는 게 단점)
하지만 필요충분조건 있음
-Cramer-Rao를 이용못하는 population density인 경우 Stuart, Ord, and Arnold책 참조
-구체적인 Population의 Distribution class를 알 때
-population이 CD(0,1)을 따를 때
-bar{Z}~CD(0,1)
-population이 ND(mu, (sigma)^2)을 따를때
-bar{Z}, V_n:ind(link)
-{(n-1)*(V_n)}/(sigma)^2 ~ CSD(n-1)(link)
-(bar{Z}, V_n):SS(Z_1,Z_2,...,Z_n) for (mu, sigma^2)이 된다.
(SS(Z_1,...,Z_n)은 model-dependent이다. population이 ND(mu, (sigma)^2)이 아닐 땐, SS(Z_1,Z_2,...,Z_n)이 (bar{Z},V_n) 보다 더 많이 필요할 수 있다.)
(V_n:SS(Z_1,Z_2,...,Z_n) for (sigma^2)이 되는진 모른다. 그런데 Equivariance Principle을 따른다면 알 수 있다.)
-bar{Z}, V_n 모두 unbiased estimator
-MSE of bar{Z}=(sigma)^2/n
-MSE of V_n=2*(sigma)^4 / (n-1)
-About Bayesian Statistics
-
-About Estimate
-정의:
-구체적인 Sample Distribution
-Sample Proportion(hat(p))
-Estimate Quantile, DF
-상황, DF를 모르는 모집단에서 random sample을 통해 quantile, DF을 Estimate할 수 있을까?
-정의:
-Empirical Cumulative Distribution Function DF_n이란,
DF_n(x):=(1/n)*sum from i=1 to i=n indi_{X_i<=x}, (w는 생략)
(when, {X_i}:random sample일 때, 즉 iid with DF)
-(Glivenko-Cantelli Lemma)(link1)(link2)
:Empirical CDF는 DF에 uni cv(a.e. Empirical CDF 또한 rdv인 것을 상기)
-(Empirical CDF)^(-1)는 DF^(-1)를 estimate한다.(cv in M)
-(Kolmogorov-Smirnov Test)
:나중에 보충,CLT+Hypothesis Testing 익숙해지고나서 복습
-About Hypothesis Test
-About LRT(Likelihood Ratio Test)
-LF(x)/L_max가 significance level보다 이상이면 X=x라는 주장을 받아들인다.
| 수학정리(Complexity Theory) (0) | 2016.09.07 |
|---|---|
| 수학정리(Special Functions) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(풀 문제들) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, weighted graph) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Lap(G), sLap(G)) (0) | 2016.02.29 |
-{0,1,2,...,n-1} is not laplacian realizable for any n>=2, (즉 S를 Spec(Lap(G))로 갖는 graph는 존재하지 않는다.)
-
-λ_G(2) <= 2 * λ_G(1)
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-About Weighted Graph
-About Matrices
-About Lap(wG)
-Lap(wG):exactly psd
-(Matrix Tree Theorem for wG)
:the sum over all spanning trees of wG (prod of all weights of the spanning tree)
= |the cofactor of Lap(wG)|
-About a(wG)
-for wG, any r >= 0, f:Fiedler vector, M(r):={vi|fi + r >= 0}, induced subgraph on M(r) is connected(link)
-for wG, any r <= 0, f:Fiedler vector, M(r):={vi|fi + r <= 0}, induced subgraph on M(r) is connected
-for wG, f:Fiedler vector, any 0 <= c < max{fi}, M:={vi|fi < c}, induced subgraph on M is connected
-for wG, f:Fiedler vector s.t. for all i, fi:nonzero, then {vivj s.t. fi*fj < 0}:subset of E(G)를 제거하면 components가 2개가 나온다.
-if G:unweighted, te a subset E' of E(G) s.t. G - E' have two connected components, then te weight on G s.t. f:Fiedler vector, fi:nonzero for all i and {vivj s.t. fi*fj <0 }=E'(link)
-for G:connected wG, f:Fiedler vector, if fi > 0, then te j s.t. vi~vj, and fj < fi(link)
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-About Lap(G), egv of Lap(G), μ
-sum of all egv = 2m
-Lap(G):not invertible(모든 row sum = 0이므로)
-rank(Lap(G))= n - |# of connected components|
-Lap(G) + Lap(bar(G)) = Lap(K_n)
-n >= μ_G(1) >= μ_G(2) >= ... >= μ_G(n)=0 (using Gershgorin Circle Theorem)
-Lap(G):exactly psd, 즉, not positive-definite(nnn egv가지면서 not invertible이므로)
-(Factoring Lap(G))Lap(G) = ct(A) * A where A:(-1,0,1)-(e,v) incidence matrix, (link)
-if μ_G:nonzero, then the sum of components of egv corresponding μ_G is 0(link)
-μ:symmetric인 μ의 개수 = the number of orbits of Aut(G)
(characteristic function on orbit으로 eigenvector를 span함을 생각하면 됨)
-μ:symmectric인 μ찾는 방법(link참조)(link)
-μ:alternating iff te egv(μ) s.t. orthogonal all characteristic functions of the orbits of Aut(G)
-About perm(Lap(G))
-if G:bipartite, then perm(x*IMT - Lap(G)) = perm(x*IMT - sLap(G))
-(Relation with λ(G), edge-connectivity)
λ(G) = min over J:nontrivial proper subset of V(G) (sum over i in J, j in V(G)-J)|Lap(G)_(i,j)|
-About a(G), f:fiedler vector(link1)(link2)(link3)
-G:connected이고 vi:point of articulation일 때, G-v의 components G1,G2,...,Gr에 대해
-fi > 0 일 땐 te! Gj s.t. Gj contains a negative eigencomponent(다른 component들은 모두 fi보다 큰 eigencomponents를 가짐)
-fi = 0이고 어떤 Gj가 positive eigencomponent and negative eigencomponent모두 가진다면 Gj만 그렇고 나머지 components은 0 eigencomponents를 가짐
-fi = 0이고 te no Gj having positive eigencomponent and negative eigencomponent이면 each Gi contains either only negative or only positive or only 0 eigencomponents
-(Interlacing, deleting edges, adding edges)
-G'=G-e일 때, μ_G(1)>=μ_G'(1)>=μ_G(2)>=μ_G'(2)>=...μ_G(n)>=μ_G'(n)>=0(link)
-G'=G-e, e=vivj이고 μ_G(n) = μ_G'(n) <= μ_G(n-1) = μ_G'(n-1) <= ... <= μ_G(p) = μ_G'(p) for some p<=2일 때, for each r in {n,n-1,...,p} G and G' have the same orthonormal eigenvector corresponding to μ(r) of which the ith and jth entries are equal(link)
-N(vi)=N(vj)이고 vj,vi:not adjacent인 e=vivj추가했을 때 생각 가능, same neighbors파트 참고
-TFAE(link)
-the spectral integral variation of G occurs in one place by adding edge e=vivj
-N_G(vi)=N_V(vj)
-(0,0,...0,1,0,0,...,0,-1,0,...,0):eigenvector corresponding to |N_G(vi)|, where ith=1, jth=(-1)
-If adding edge e=vivj and the spectral integral variation of G occurs in two places(μ_G(k), μ_G(l))
then, μ_G(k) + μ_G(l)) = d(vi) +d(vj) + 1 and μ_G(k) * μ_G(l) = d(vi)*d(vj) + |N_G(vi)교N_G(vj)|(link)
-for |V(G1)|<=|V(G2)| and G1,G2:disjoint connected graphs, TFAE(link)
-the spectral integral variation of G1+G2 occurs in two places by adding an edge e=uv, where u in V(G1), v in V(G2)
-|V(G1)|=1 and |V(G2)| >= 2 and d(v)=|V(G2)| - 1
-Let G' be a graph from G by removing an edge and adding a new edge that was not there before
then spec(Lap(G))과 spec(Lap(G'))비교(link)
-(Interlacing, deleting vertices, adding vertices)
-G':subgraph from deleting 1 vertieces from G,
then μ_G'(i) >= μ_G(i+1) - 1 for i=1,2,...,n-2(link)
-G':subgraph from deleting k vertices from G, then a(G') >= a(G) - k(link)
(link, 혹은 위에 걸로 증명됨)
-V(G)=UUV(decomposition), then a(G) <= min(a(G[U])+|V|, a(G[V])+|U|)
-G':subgraph from deleting cutvertex v from G, then μ_G(2) <= 1 + |largest components의 vertices개수|(link)
-G:connected, U={v1,v2,..,vs}, s>=2, U:subset of V(G), G[U]:induced subgraph of G, (μ,x):eigenvalue, eigenvector
-if G[U]=K_s and N_G(v1) - U = N_G(v2) - U = ... = N_G(vs) - U and μ != d(vi) + 1 for any i=1,2,...,s
then x1 = x2 = ... = xs(link)
-if G[U]=sK_1 and N_G(v1) = ... = N_G(vs)
then x1 = x2 = ... = xs(link)
-if G[U]=sK_1 and for any 0<=t<=C(s,2) edges, G_t:=a graph obtained from G by adding any t edges among U,
then μ_G(1) = μ_(G_t)(1)(link)
-Let s>=2 new paths with equal length k, Pi:(v,v_ik,v_i(k-1),...,v_i1), i=1,2,...,s, are attached to G at v respectively, to form a new graph (G_(s,k)), let G_(s,k,t1,t2,...,tk) be the graph obtained from G_(s,k) by adding 0<=tj<=C(s,2) edges among {v1j, v2j, ..., vsj}. If Δ(G_(s,k)) >= s+3,
then μ_(G_(s,k,t1,t2,...,tk))(1) = μ_(G_(s,k))(1)(link1)(link2)
-G:connected, G_k:=the graph obtained from G by attaching a new path P:(v0,v1,v2,...,vk) at v0, where v1, v2,...,vk are distinct new vertices. Let X be a unit eigenvector of G_k crpd to μ_(G_k)(1). If μ_(G_k)(1)>=4,
then(link)
-for any 0<=i<=(k-1), |x_(i+1)| <= |x_i| and x_i * x_(i+1) <= 0 with = iff x_0 = 0
-x_0 = 0 iff x_k = 0
-G:connected, u,v:disticnt vertices of G, G_t:=the graph obtained from G by attaching t new paths (v,v_(i,1),v_(i,2),...,v_(i,qi)) (i=1,2,...,t) at v. Let X be a unit eigenvector of G_t crpd to μ_(G_t)(1) >= 4.
Let G_u be G_t - vv_(1,1) - vv_(2,1) - ... - vv_(t,1) + uv_(1,1) + uv_(2,1) + ... + uv_(t,1).(link)
-if |x_u| >= |x_v|, then μ_(G_u)(1) >= μ_(G_t)(1)
-if |x_u| > |x_v|, then μ_(G_u)(1) > μ_(G_t)(1)
-(Upper Bound of a(G))
-(n, δ, m)a(G) <= (n/(n-1)) * δ <= 2m/(n-1)(link)
-(κ, λ, δ)G:not graph-iso K_n이면 a(G) <= κ(G) <= λ(G) <= δ(G)
-(independent vertex)if G contains an independent set of k vertices, then a(G) <= n-k(증명은 bar(G)생각하면됨)
-if G:not graph-iso K_n, then a(G) <= n-2
-(m)if G:not graph-iso K_n, then a(G) <= ]]-1 + sqrt(1+2m)[[ for all m >= 2
(증명은 Variable Neighborhood search for...참고)
-(n, α) a(G) <= n - α(G)(증명은 complement와 subgraph생각)
-(genus(G)) if genus(G)=0, then a(G)<=4, with = iff G:K_4 or G:K_(2,2,2)
-
-(Lower Bound of a(G))
-(n, δ)2δ - n + 2 <= a(G)(link)
-(n, λ),a(P_n)*λ(G) <= a(G)
-(n, κ, Δ)2*cos(pi/n - cos(2pi/n))*κ(G) - 2*cos(pi/n * (1-cos(pi/n)))*Δ <= a(G)
-(n, D(G)) 4/(D(G)*n) <= a(G)
-(Upper Bound of a(bar(G))
-(n, α)a(bar(G)) <= n*(1 - 1/α(bar(G)), with = iff α|n and G has α개 components equal to K_(n/α)
-(Given m, te G s.t. a(G)=maximum)
-Given m>=2, te n, G s.t. G:connected and not graph-iso K_n with maximum a(G) and bar(G) is the disjoint union of K_1, K_2, K_3, P_3(여기서 maximum a(G)란, fixed m이고 n을 변화시킬 때를 가리킴, 단 G:not K_n이면서)
(a(G)는 n-2이거나 n-3이다.)
-(Given n, te G s.t. a(G)=maximum)
-Given n>=4, te (n-1)개의 m s.t. G:not graph-iso K_n with maximum a(G), order n
(여기서 maximum a(G)란, fixed m이고 n을 변화시킬 때를 가리킴, 단 G:note K_n이면서)
(그리고 처음의 [[(n-1)/2]]개는 a(G)=n-2, 나머진 a(G)=n-3
(증명은 위의 Variable..참고)
-(Upper Bound of μ_G(1))
-μ_G(1) <= max i~j |N_G(vi) U N_G(vj)| <= n(link)(link가 잘못된게 xj잡을 때, i와 adjacent한 것 중 잡아야)
-If G:connected, = holds iff ... link참고
-μ_G(1) <= q_G(1) <= max over i {d(vi)+m(vi)}(link)
-if G:connected, = holds iff G:regular bipartite or G:semiregular bipartite(link)
-μ_G(1) = n iff G:join of two graphs( ->방향 증명은, bar(G)생각)
-If G':subgraph of G, then μ_G'(i) <= μ_G(i) for any i
(edge를 지웠으면 weyl's inequality생각, vertex지우면 interlacing생각)
-G:connected bipartite일 때 μ_G'(1) = μ_G(1) iff G'=G(link)
-About m_(G,L)
-if G:connected, n > 2, q(G)*2 = n,
then m_(G,L)([0,1))=q(G), m_(G,L)([1,2))=0, m_(G,L)(2)=1, m_(G,L)((2,n])=q(G)-1(link)
-If G:connected, n > 2, n > q(G)*2,
then m_(G,L)((2,n]) >= q(G)(link)
-(Connected Sum and m_(G,L))
-H:connected sum of G, K_(1,k-1)이면 m_(G,L)(k)=m_(H,L)(k)(link1)(link2)
(Reduction관점으로 보기 좋음, 특히 P_3나 P_2를 없애는 관점으로)
-H:connected sum of G, P_3, s.t. G의 1개 점과 P_3의 pendant와 이은 경우이면 m_(G,L)(1)=m_(H,L)(1)(link)
-H:connected sum of G, P_3, s.t. G의 1개 점과 P_3의 중간점을 이은 경우이면
m_(G,L)(1) <= m_(H,L)(1) <= m_(G,L)(1) + 2(link)
-(the number of Not Faria vectors)a:=m_(G,L)(1) - p(G) - q(G), S:induced subgraph of G by inner vertices(inner vertices란, V(G)에서 pendant랑 quasipendant 모두 빼고 남은 것)
-Lap(S) = Lap(G)의 inner vertices part - IMT
-a = nullity of Lap(S) = am(1) of Lap(G)의 inner vertices part
-a <= τ(G)
-a <= k where k:the number of components of S, if each of the k components of S satisfies *(link)
(*:complete graph or for any nonadjacent vi,vj, d(vi)+d(vj) >= n)
-(Upper Bounds for m_(G,L))
-m_(G,L)(n) <= [[δ/(n-Δ)]](link)
-if δ=0, then n must not egv of Lap(G)
-if δ=1, then am(n)=1 or 0
-σ(G) <= n - p(G)
-m_(G,L)([0,1)) <= γ(G)
-(Lower Bounds for m_(G,L))
-m_(G,L)([0,1)) >= q(G)(link)
-m_(G,L)((1,inf)) >= q(G)(link)
-m_(G,L)(1) >= p(G) - q(G)(pendants pair에 (1,-1)주고 나머진 0주는 방식으로 eigencomponent만들면됨) -m_(G,L)([δ,n]) >= α(G)
-m_(G,L)([0,Δ]) >= α(G)
-m_(G,L)([1,n]) >= n - γ(G)
-m_(G,L)((2,n]) >= [[l/2]], where l:the length of the longest path in G.(link)
-G:connected일 때, for V'={v1,v2,...,vk} of V(G), G'=G[V']=(V',E'), If E':consists of r pairwise disjoint edges이면
μ_G(1)+μ_G(2)+...+μ_G(k) >= d(v1) + d(v2) + ...+ d(vk) + k - r(link1)(link2)(link3)
-(Lower Bound of μ_G(1))
-k=1대입하면 μ_G(1) >= Δ + 1 (G:connected일 때, = iff Δ = (n-1)(link))
-μ_G(1) >= (n-1)/n * Δ(link)
-(Lower Bound of μ_G(1) + μ_G(2)), n >= 3일 때
-μ_G(1) + μ_G(2) >= Δ_1 + Δ_2 + 1
-if d(v1)=Δ_1, d(v2)=Δ_2, v1,v2:not adjacent, then μ_G(1) + μ_G(2) >= Δ_1 + Δ_2 + 2
-(Brouwer Conjectures)
-m + 1/2*(k^2 + k) >= μ_G(1)+μ_G(2)+...+μ_G(k)
-Holds for cograph(증명은 inductive 과정이 부등식을 만족함을 보이면 된다.)
-Holds for regular증명은 아래 참고
-(Lower Bound of μ_G(2))
-if G:connected and n>=3, then μ_G(2) >= Δ_2,
with = if G:K_(r,s) or G:tree with n:even and degree (n/2, n/2, 1,1,...,1)(link)
-(Necessary condition for μ_G(1)=(n-1))
-G:connected일 때, μ_G(1)=(n-1)이면 for any i, d(vi) <= n-3
-G:connected일 때, μ_G(1)=(n-1)이면 max i~j |N_G(vi) U N_G(vj)| = n
-G:connected일 때, μ_G(1)=(n-1)이면 D(G)=2 or 3
-μ_G(1)=(n-1) and a(G)=1이면 D(G)=D(bar(G))=3
-(Matrix Tree Theorem)t(G)=1/n * μ_G(1)*μ_G(2)*...*μ_G(n-1) = the cofactor of any element of Lap(G)
-G:disconnected iff t(G)=0 iff a(G)=0
-the number of connected components = the multiplicities of zero egv of Lap(G)
-n*t(G) = charP(Lap(G),x)의 x의 계수 = μ_G(1)*μ_G(2)*...*μ_G(n-1)(charP(MT)의 계수 성질 참고)
-(Using equitable partition){V1,V2,...,Vk}:equitable partition of G with d_(i,j), and B = (b_(i,j)) where b_(i,j)=(-d_(i,j)) for i != j, b_(i,i) = {sum over s d_(i,s)} - d_(i,i) for i=j, 일 때 egv of B는 egv of Lap(G)도 된다.(link)
(더 size낮은 matrix의 egv로써 더 size큰 Lap(G)의 egv를 구한다는 것이 의의)
-Lap(bar(G)) = DegMT(bar(G)) - AdMT(bar(G)) = {(n-1)*IMT - DegMT(G)} - {1 - IMT - AdMT(G)}
-spec(Lap(G))={n >= μ_G(1) >= ... >= μ_G((n)=0}일 때,
spec(Lap(bar(G))={n-μ_G(n-1) >= n-μ_G(n-2) >= ... >= n-μ_G(1) >= 0}, 즉 complement의 spec(Lap)도 알 수 있다.(link)
-About G1xG2, G1=(V1,E1,n1,m1,...), G2=(V2,E2,n2,m2,...)
-spec(Lap(G1xG2))={all possible sums of μ_G1(i) + μ_G2(k) for 1<=i<=n1, 1<=k<=n2}(link)
-a(G1xG2)=min{a(G1),a(G2)}
-About DS(G1,G2)
-Lap(DS(G1,G2)) = Lap(G1) + Lap(G2)
-a(G1)+a(G2) <= a(DS(G1,G2))
-About VD(G), V(G)=UUV
-a(G) <= min(a(G[U])+|V|, a(G[V])+|U|)
-(Same Neighborhoods)
-sub-vertex set V' having same set of neighbors Ν with |V'|=k and |Ν|=j 이면 j:egv of Lap(G) with am(j)=at least k-1
-sub-vertex set V'에서 몇몇 edges E'를 없애서 having same set of neighbors N with |V'|=k and |N|=j이고 spec(Lap((V',E'))={a1>=a2>=...>=aκ=0}일 때, j+ai:egv of Lap(G) for i=1,2,3,...,(k-1)이고 remaining egv는 same
(증명은 eigenvalue, eigenvector관련 equation잘잡아서)
-vi,vj:not adjacent, e=vivj를 추가했을 때, 역도 성립, 즉 egv가 +2만 됐다면 same neighbors(link)
-(Neighbor of several pendants)
-v1, v2:pendant이고 same neighbor를 갖는다면, μ( != 1)에 대응되는 eigencomponents는 same
-If (μ_G,x):(egv,egv) for Lap(G)이고 x_i:the largest eigencomponent of egv이고 x_j:the smallest eigencomponent of egv일 때 then min over k~i {x_k} >= (1 - μ_G)x_i and max over k~ i {x_k} <= (1- μ_G)x_i(link)
-(0 < μ_G < 1)If 0 < μ_G <1
-the eigencomponents corresponding to the neighbors of vi are the same sign of x_i, also the eigencomponents corresponding to the neighbors of vj are the same sign of x_j
-if vi, vj are not adjacent, then N_G(vi)교N_G(vj):empty
(위에서 결정한 vi, vj에 대해서임)
-if G:connected, then D(G)>=3
-If (μ_G(1),x):(egv,egv) for Lap(G)이고 x_i:the largest(modulus가) eigencomponent of egv이고 x_j:the second largest eigencomponent(modulus가) of egv일 때(link)
-d(vi) >= μ_G(1)/2
-if μ_G(1)=Δ_1 +Δ_2,
-d(vi)=Δ_1
-if Δ_1 != Δ_2, then vi~vj and |xj| >= (Δ_2 / Δ_1)|xi|
-G:connected이고 Δ_1 != Δ_2이면 μ_G(1) = Δ_1 + Δ_2 iff G:graph iso K_(1,n-1)(link)
-(Adding an pendant edge)If we add an pendant edge e to G, then a(G+e) <= a(G)
-(Joining K_1)(link)
:If G'=GVK_1, then
μ_G'(1) = n+1 >= μ_G'(2) = μ_G(1) + 1 >= μ_G'(3) = μ_G(2) + 1 >= ... >= μ_G'(n) = μ_G(n-1) + 1 >= μ_G'(n+1) = 0
(증명은 bar(G') = bar(G) + K_1 이용)
-(Joining General G)
:{μ_G1(1) >= μ_G1(2) >= ... >= μ_G1(n1) = 0}, {μ_G2(1) >= ... >= μ_G2(n2) = 0}일 때 G1VG2의 spectrum of laplacian은 {n1+n2, n1+μ_G2(j), n2+μ_G1(i), 0 | i=1,...,n1-1, j=1,...,n2-1}(link)
-a(G1VG2) = min (n1+a(G2), n2+a(G1))
-(subdividing some edges)
Let P:(v1,v2,...,vk):internal path(정의는 link참조)
Let G' be a graph obtained from G by subdividing some edge of P(1개 edge만 subdividing)
then μ_G'(1) < μ_G(1)(link1)(link2)
-(Subdividing a general edge)
Let G' be a graph obtained from G by subdividing one edge of G
then a(G') <= a(G)(link1)(link2)
-(Identifying two verices)
Let G1, G2, v1 in G1, v2 in G2, G:=formed by identifying v1 and v2 into v1
then a(G)<=min(a(G1),a(G2))(link)
-About Lnergy(G)
-Lnergy(G)
= 2* (sum from i=1 to i=σ μ_G(i)) - (4*m*σ)/n(link)
= max over 1<=i<=(n-1) {2 * (sum from j=1 to j=i μ_G(j)) - 4*m*j/n}(link)
-(Lower Bound of Lnergy(G))
-if G:connected, then Lnergy(G) >= 2 * (1 + Δ - d(G)), with = iff G:K_(1,n-1)(link1)(link2)
-(Upper Bound of Lnergy(G))
-if m >= n/2, then Lnergy(G) <= 4m - 2Δ - 4m/n + 2, with = iff G:K_(1,n-1) or K_(1,Δ) + bar(K_(n-Δ-1)(link)
-Lnergy(G) <= 4m*(1 - 1/n), with = iff G:K_2 + bar(K_(n-2))
-(Lower Bound of Lnergy(G) + Lnergy(bar(G)))
-Lnergy(G) + Lnergy(bar(G)) >= 2*(n-1), with = iff G:K_n or G:bar(K_n)
-Lnergy(G) + Lnergy(bar(G)) >= 2*(n-1 + Δ - δ)(link1)(link2)
, with iff G:K_n or G:bar(K_n) or G:K_(1,2) or G:(K_2 + K_1) V K_1
-(Upper Bound of Lnergy(G) + Lnergy(bar(G)))
-Lnergy(G) + Lnergy(bar(G)) <= n*sqrt(n^2 - 1)
-Lnergy(G) + Lnergy(bar(G)) <= 8m - 4Δ +2n -12m/n, with = iff G:K_(1,n-1)(link1)(link2)(link3)
-(Extremal Lnergy among Connected Threshold Graphs with n:fixed >= 5)
-PA_(n,]](2n+1)/3[[):has the maximal Lnergy among connected threshold Graphs with n:fixed > 5
-About Specific Cases
-G:r-regular이면 spec(Lap(G)) = {r - λ_G(1), r - λ_G(2), ..., r - λ_G(n)}
-spec(Lap(K_n))={n,n,n,...,n,0}
-spec(Lap(K_(1,n-1))={n,1,1,...,1,0}
-spec(Lap(P_n))={2 - 2cos((pi*k)/n), k=0,2,...,n-1}
-spec(Lap(C_n))={2 - 2cos((2*pi*k)/n), k=n-1,n-2,...,0, not ordered임}
-spec(Lap(K_(r,s))={r+s, r, r, ..., r,s,s,...,s,0}, r이 s-1, s가 r-1개
-spec(Lap(PA(n,w))={n,w,w,...,w,1,1,...,1,0}, w가 w-2개, 1이 n-w개
-μ_(r,s)-semiregular bipartite(1) = r+s(link개)
-about Tree(G:tree)
-if μ:integral egv of Lap(G), μ >= 2, then(link)
-μ | n
-am(μ) = 1, 즉 m_(G,L)(μ)=1 for G:Tree, μ>=2 if μ:eigenvalue of G
-no coordinate of egv corresponding to μ is zero
-(Lower bound of μ_G(1))
-if te v s.t. e(v)<=2,
then μ_G(1) >= 1/2 * {(d(v)+m(v)+1) + sqrt((d(v)+m(v)+1)^2 - 4(d(v)m(v)+1))
, with = iff for any vi, vj s.t. vi~v and vj~v, d(vi)=d(vi)(link1)(link2)
-μ_G(1) >= max over i 1/2 * {(d(vi)+m(vi)+1) + sqrt((d(vi)+m(vi)+1)^2 - 4(d(vi)m(vi)+1))
-μ_(P_n)(1) <= μ_(G)(1) <= μ_(K_(1,n-1))(1) = n with left = iff G:graph-iso P_n, with right = iff G:graph-iso K_(1,n-1)(link1)(link2)
-if x:Fiedler vector, then exactly one of the following two cases occurs:
(A)
-No entry of x is 0
-te! vi~vj s.t. xi > 0 and xj < 0
-any p(vi,~) which doesn't contain vj, entries are inc
-any p(vj,~) whcih doesn't contain vi, entries are dec
(B)
-te zero entries of x
-U={vi s.t. xi=0}, then G[U]:connected
-te! vi s.t. xi=0 and vi~vj with xj:nonzero(vj가 unique하진 않을 수 있음)
-any path p(vi,~), entries are either inc, dec, identically 0
(We say T is type-(I) if T satisfies (B), We say T is type-(II) if T satisfies (A))
-Lap(G) - vi is invertible for any vi(using matrix-tree theorem)
-the (i,j)-entry (Lap(G) - vk)^(-1) = the number of edges of G which are on both the path from vi to v and the path from vj to v
-(Lower Bound of μ_G(2) for tree)
-if n>2(link1)(link2)(link3)(link4)
-if Δ_1 ~ Δ_2, then μ_G(2) >= Δ_2, with = if(not iff) G:T1(Δ_1 - 1,Δ_2 - 1)
-if Δ_1, Δ_2 are not adjacent, then μ_G(2) >= {(Δ_2 + 1) + sqrt((Δ_2+1)^2 - 4)}/2, with = if(not iff) G:T2(Δ_1 - 1, Δ_2 - 1)
-if n>2 and Δ_1 = Δ_2 = μ_2(G), then G:T1(d-1,d-1)(link)
-(Lower Bound of μ_G(1)+μ_G(1) for tree) n >= 3
-if d(v1)=Δ_1, d(v2)=Δ_2 and vi~vj, then
μ_G(1) + μ_G(2) >=
-1/2 * {Δ_1 + 2*Δ_2 + m(v1)+1) + sqrt((Δ_1 + m(v1) + 1)^2 - 4*(Δ_1 * m(v1) + 1))}
-Δ_1 + 1/2 * {Δ_2 + 2 + sqrt((Δ_2 +2)^2 - 8))}(link1)(link2)
-if d(v1)=Δ_1, d(v2)=Δ_2 and vi,vj:not adjacent, then
μ_G(1) + μ_G(2) >=
-1/2 * {Δ_1 + Δ_2 + m(v1) + 2 +sqrt((Δ_2 + 1)^2 - 4) + sqrt((Δ_1 + m(v1) +1)^2 - 4*(Δ_1 * m(v1) + 1))}
-Δ1 + 2 + 1/2 * {sqrt((Δ_2 - 1)^2 + 4 * |N(v1)교N(v2)|) + sqrt((Δ_2 + 1)^2 - 4 * |N(v1)교N(v2)|)}(link1)(link2)
-(Upper Bound of a(G) with n >= 6)
-if G:not K_(1,n-1), then a(G) < 0.49(증명은 tree with 6 vertices중에서 가장 큰 a(G)=0.48...near star, 그리고 adding pendant edges 생각)
-(Upper Bound of a(G) with D(G))
-a(G) <= a(P_(D(G)+1)), 즉 diameter가 같은 path의 a(G)가 최대이다. tree의 경우
-(Lower Bound of a(bar(G)))
-(n, α) a(bar(G)) > n - 2*α(T)
-(Upper Bound of μ_G(k) for tree)
-μ_G(k) <= [[n/k]] for k=1,2,3,...,n
-About T1(a,b), G=T1(a,b)
-0 < a(G) < 1, and other μ >= 1
-for 1 <= a <= (n-2)/2, fixed n, a(G):strictly decreasing of a
(즉, n이 고정되어 있을 때, 양쪽으로 vertex가 골고루 있을 수록 a(G)가 낮다.)
(증명은 Ordering trees by algebraic connectivity, Grone, Merris참고)
-About TZ(k), G=TZ(k)
-m_(G,L)(k) = 1, eigencomponents가 pendant는 1, quasipendant는 -1, center는 1 - (k)^2
-About m_(T,L)
-n>=2이고 for any μ, m_(T,L)(μ) <= p(T) - 1(link)
-m_(T,L)((0,2)) >= [[D(G)/2]](link)
-m_(T,L)((2,inf) >= [[D(G)/2]](link)
-About sLap(G), egv of sLap(G), q
-x^(m-n) * charP(sLap(G),x) = charP(AdMT(L(G)),x-2)(link)
-(Factoring sLap(G))sLap(G) = IcMT(G) * ct(IcMT(G))
-sLap(G):psd
-q_G(i)>=0, for all i
-(Interlacing, deleting one edge)G'=G-e일 때, q_G(1)>=q_G'(1)>=q_G(2)>=q_G'(2)>=...q_G(n)>=q_G'(n)>=0
(증명은 line graph와의 관계+interlacing, deleting vertex, in AdMT사용)
-(Same Neighborhoods)
-sub-vertex set V' having same set of neighbors Ν with |V'|=k and |Ν|=j 이면
j:egv of sLap(G) with am(j)=at least k-1
-About perm(sLap(G))
-sd(G) = the multiplicity of perm(x*IMT - sLap(G))
-G has pendant stars with more than one pendant vertex iff 1 is a root of perm(x*IMT - sLap(G))
-About q_G(1)
-(Upper Bound of q_G(1)
-μ_G(1) <= q_G(1) <= max i {d(vi)+m(vi)}(증명은 -μ_G <= max i {d(vi)+m(vi)}와 유사)
-if G:connected, then right = hold iff G:regular or semiregular bipartite iff d(vi)+m(vi):fixed(link)
(증명을 보면, G:bipartite이면 spec(sLap(G))=spec(Lap(G))임을 알 수 있다. (usim이라), 그리고 역도 성립)
-if G:connected, then left = hold iff G:bipartite
(따라서 left = and right = holds iff G:regular bipartite or semiregular bipartite)
-if G:connected, then q_G(1) <= Δ_1 + Δ_2, with = iff G:regular or G:graph-iso K_(1,n-1)
-(Lower Bound of q_G(1))
-q_G(1) >= Δ + 1
-if G:connected, then = hold iff G:graph-iso K_(1,n-1)
-About q_G(2)
-(Lower bound of q_G(2))
-if Δ_1 ~ Δ_2, then q_G(2) >= {Δ_1 + Δ_2 - sqrt((Δ_1 - Δ_2)^2 + 4)}/2
-if Δ_1, Δ_2 are not adjacent, then q_G(2) >= Δ_2
-q_G(2) >= Δ_2 - 1, if = holds, then Δ_1=Δ_2 and corresponding vertices are adjacent
(왜냐하면 Δ_2 >= {Δ_1 + Δ_2 - sqrt((Δ_1 - Δ_2)^2 + 4)}/2 >= Δ_2 - 1)
-if G:connected, then q_G(2) >= d(G) - 1 with = iff G:graph-iso K_n
-if G:connected, then q_G(2) >= δ - 1 with = iff G:graph-iso K_n
-if G:connected and n>=4, G:not graph iso K_n, then q_G(2) >= a(G)
with = iff
-G:K_(1,n-1)
-G:K_(1,3,3)
-G:K_(n-δ, n-δ, ..., n-δ), complete p-partite graph, n-δ>=2
-G:K_(1,1,...,1,2,2,...,2), complete (k+t)-partite graph, 1이 k개, 2가 t개
-(Upper bound of q_G(2))
-If G:connected and n>=3, then q_G(2) <= n + δ - 3, with = iff G:graph-iso Ki_(n,n-1)
-If G:connected, then q_G(1) - q_G(2) <= n, with = iff G:graph-iso K_n
-If Δ_2 = n-1, then q_G(2) = n-2
-(Lower Bound, Related with the index)
-n>2, G:not K_3 and not K_4이면 1- sqrt(n-1) <= q_G(2) - λ_G(1), with = G:K_(1,n-1) or K_5
-About q_G(n)
-If G:connected, q_G(n) < δ(G)(증명은 Rayleigh에 (0,0,...,1)넣어서)
-G:connected and non-bipartite with q_G(i):integer for all i이면 G has no pendant vertices.
-G:connected일 때, q_G(n) = 0 iff G:bipartite(증명은 incidence로 표현해서)
-G:connected and te vi~vj s.t. N_G(vi) - {vj} != N_G(vj) - {vi}이면, q_G(n) < (d(vi) + d(vj) - 2)/2
-About Specific Cases
-G:r-regular일 때
-G:connected이면 q_G(n) <= r-1 with = holds iff G:K_n
-sLap(K_n)={2n-2, n-2, n-2, ..., n-2}
-spec(sLap(P_n))=spec(Lap(P_n))
-spec(sLap(C_n))={2 + 2cos((2*pi*k)/n), k=n-1,n-2,...,0, not ordered임}
-sLap(CS(n,w))...link참고
-sLap(K_(n-δ,n-δ,...,n-δ), n-δ가 p개)
= {2δ, δ,..., δ, (n-δ)(p-2), (n-δ)(p-2), ..., (n-δ)(p-2), δ:p(n-δ-1)개, (n-δ)(p-2):p-1개}(link)
-About Tree(G:tree)
-if n>=4, then q_G(1) - q_G(2) <= n-1, with = iff K_(1,n-1)
-Graph distance
| 수학정리(풀 문제들) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Applications, weighted graph) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Distance, Index) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Adjacent, IcMT, dicMT) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Examples, Exercises) (0) | 2016.02.29 |
*Distance, Index
-about W(G)
-W(G)
= sum over k>=1 (k*d(G,k))
= [sum over all i,j DistMT(G)_(i,j)] * 1/2
-about MTI(G)
-MTI(G)
=1-Zagreb(G) + DD(G)
=1-Zagreb(G) + sum over entries [AdMT(G)*DistMT(G)]
=sum over all entries [AdMT(G)]^2 + sum over all entries [AdMT(G)*DistMT(G)]
-For G:tree
-MTI(G) = 4*W(G) - (n-1)(n-2) + 2*(# of paths of length 2)
-about DD(G)
-DD(G)
=sum over entries [AdMT(G)*DisMT(G)]
-For G:tree
-DD(G) = 4*W(G) - n(n-1)
-about GG(G)
-Among G with n vertices, K_n is the graph with minimum GG(G)
-Among bipartite G with n vertices, K_([n/2], ]n/2[) is the graph with maximum GG(G)
-Among T with n vertices, P_n is the tree with minimum GG(T)
-Among T with n vertices, K_(1,n-1) is the tree with maximum GG(T)
-about NGG(G)
-If G:bipartite, then GG(G)=NGG(G)*sqrt(n-2)
-lim n->inf NGG(P_n) = pi
-about RD(G), max-RD(G), HM(G)
-max-RD(G) <= HM(G) <= RD(G), by simple calculation
-(Hansen)χ(G) <= 2*RD(G) with = iff G:complete, possibly with some additional isolated vertices
-(Deng)χ(G) <= 2*HM(G) with = G:complete, possibly with some additional isolated vertices
-(Wu, Yan, Yang)If G without isolated vertices, then col(G) <= 2*RD(G) with = iff G:K_n
-(Wu, Elphick)If G without isolated vertices, then
col(G) <= 2*max-RD(G) with = iff G is formed by K_k and K_(1,n-k) identifying one vertex in K_k with the center of K_(1,n-k) for some k
χ(G) <= 2*max-RD(G) with = iff G is formed by K_k and K_(1,n-k) identifying one vertex in K_k with the center of K_(1,n-k) for some k
χ_l(G) <= 2*max-RD(G) with = iff G is formed by K_k and K_(1,n-k) identifying one vertex in K_k with the center of K_(1,n-k) for some k
col(G) <= 2*HM(G)
with = iff G is K_n
-(Tang)aχ(G) <= 2*RD(G)
-G:connected일 때 d(vi)+m(vi):fixed for all iff G:regular or G:semiregular bipartite(link)
-max{d(vi)+m(vi)} <= (2m/n-1) + (n-2) with equality iff G graph-iso S_n or G graph-iso K_(n-1) U K_1(link1)(link2)
-(Upper Bound of 1-Zagreb(G))
-G:connected일 때 1-Zagreb(G) <= m*max{d(vi)+m(vi)}
with equality iff G:regular or G:semiregular bipartite(link)
-1-Zagreb(G) <= m*{2m/n-1 + (n-2)/(n-1)*Δ +(Δ-δ)*(1 - Δ/(n-1))}
with equality iff G:K_(1,n-1) or regular or K_(Δ+1) with n-Δ-1 isolated vertices
-1-Zagreb(G) <= 2m*(2m+(Δ-δ)(n-1))/(n+(Δ-δ))
with equality iff G:regular or K_(Δ+1) with n-Δ-1 isolated vertices, (증명은 Maximizing the sum of...참고)
-1-Zagreb(G) <= 2m*(Δ-δ) - n*Δ*δ
with equality iff G has only two type of degree Δ, δ(증명은 Maximizing the sum of...참고)
-1-Zagreb(G) = sum over i sum over j (Adj)^2_(i,j)(link)
-About RdMT(G)
-(Lower Bound of SpecR(RdMT(G)))
-G:connected, n>=2이면 specR(RdMT(G)) >= 2m/n + 1/(n*D(G)) * [n(n-1)-2m] + 1/(n*Δ^2) * [(1-1/D(G))*sum over all i d(vi)^3 - 4m^2/D(G) + n/D(G) * 1-Zagreb(G) - 2*(1 - 1/D(G))*2-Zagreb(G)]
with = iff G:K_n or G:regular with D(G)=2(link)
| 수학정리(Applications, weighted graph) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Applications, Lap(G), sLap(G)) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Adjacent, IcMT, dicMT) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Examples, Exercises) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Basic Graph Theory) (0) | 2016.02.29 |
-About AdMT(G), egv of AdMT(G), λ
-sum of all λ = 0
-sum of all (λ)^2 = 2m
-sum over all i < j λ_G(i)*λ_G(j) = (-m)
-sum of all (λ)^3 = 6t
-ith row sum of AdMT(G) = d(vi)
-ith row sum of (AdMT(G))^2 = d(vi)m(vi)
-(i,j)-entry of (AdMT(G))^k = the distinct number of walk(vi,vj) of length k
-(Characterization of Connected Bipartite)G:connected일 때 TFAE(link)
-G:bipartite
-a:egv of AdMT(G)이면 so does (-a)
-(-specR(AdMT(G))):egv of AdMT(G)
-AdMT(G) has exactly one positive egv iff the non-isolated vertices form a complete multipartite graph(link)
-charP(AdMT(G))의 linear equation은 G의 figure를 보고 바로 작성 가능, λ*xi=sum of all xj s.t. vi~vj
-charP(AdMT(G)) = the prod of all charP(AdMT(C)) where C:connected components of G
-G1 graph-iso G2 iff AdMT(G1) is similar to AdMT(G2) (특히 이 similar에 쓰이는 Invertible MT가 permutation임)
-the spectrum of graph is graph invariant
-하지만 charP(AdMT(G1))=charP(AdMT(G2))라 해서 G1 graph-iso G2가 아닐 수 있음,
-(Same Neighborhoods)
-sub-vertex set V' having same set of neighbors Ν with |V'|=k이면, 0는 λ되고 gm(0)=am(0)=at least k-1
(AdMT(G)는 symmetry이고 따라서 HMT이고 NMT이고 따라서 udgMT이므로 am(λ)=gm(λ)가 성립)
-vi와vj가 have same set of neighbors일 때 vi와 vj를 이어버린다면 resultant graph에서는 -1는 λ되고 multiplicities는 최소 1
-(Neighbor of several pendants)
-v1, v2:pendant이고 same neighbor를 갖는다면, nonzero λ에 대응되는 eigencomponents는 same
-G:connected, G':proper spanning subgraph of G이면 λ_G(1) > λ_G'(1)(using irreducible, nnn matrix property)
-(Recurrence Relation of charP(AdMT(G)))
for e=vivj, charP(AdMT(G)) = charP(AdMT(G-e)) - charP(AdMT(G-vi-vj)) - 2 sum over all trail T containing e charP(AdMT(G-V(T)))
-AdMT(bar(G)) = J - IMT - AdMT(G), where J is a matrix with all entries 1(SdMT랑 비슷하나 다름)
-λ를 찾는 다른 방법
-f:V(G)->R, AdMT(G)f:V(G)->R로 보고 찾는 방법이 있다.
-λ_L(G)(n)) >= -2
-λ_L(G)(1)*IMT - AdMT(G):psd
-G':induced subgraph of G일 때 (link)
-min of egv of AdMT(G) <= min of egv of AdMT(G')
-max of egv of AdMT(G') <= max of egv of AdMT(G)
-(Interlacing, deleting one vertex)
:G'=G-v일 때, λ_G(1)>=λ_G'(1)>=λ_G(2)>=λ_G'(2)>=...>=λ_G'(n-1)>=λ_G(n)(by cauchy-poincare)
-(Upper Bound of λ_G(1))
-λ_G(1) <= Δ_1, with = iff G:regular(link)
(증명은 maximum eigencomponent잡아서 linear equation생각과, =증명은 constant row sum생각)
-G:connected일 때 λ_G(1) <= sqrt(2m -(n-1)δ + (δ-1)Δ) with = iff G graph-iso K_(1,n-1) or G:regular(link)
-G:connected일 때 λ_G(1) <= sqrt(2m - n +1) with = iff G graph-iso K_n or K_(1,n-1)
-G:connected일 때 λ_G(1) <= {(Δ_2 - 1 + sqrt((Δ_2 - 1)^2 + 4Δ_1))/2}, with = iff G:regular or G:(n-1, Δ_2)-semiregular graph with Δ_2 < (n-1)(link)(link)(link)
-G:connected일 때 λ_G(1) <= max over i m(vi)(증명은, D^(-1)AD의 row sum생각)
-G:connected일 때 λ_G(1) <= max over i~j sqrt(m(vi)m(vj)), with = iff G:m(vi):fixed
or G:bipartite with {U,W}, all v in U, m(v):fixed and all w in W, m(w):fixed
(better than above)
(증명은 바로 밑에 것에 D^(-1)AD로 시작하면 됨)
-λ_G(1) <= max over i~j sqrt(d(vi)d(vj)), with = iff G:regular or semiregular bipartite(link1)(link2)
-λ_G(1) <= max over isqrt(d(vi)m(vi)), better than above
(증명은 (AdMT(G))^2의 row sum생각)
-λ_G(1) <= 2 iff G is...(link)
-λ_G(1) < 2 iff G is ...(link)
-(Lower Bound of λ_G(1))
-λ_G(1) >= 2m/n(증명은 Courant-Fischer에다가 x=(1,1,...,1)대입)
-(Lower bound of λ_G(n))
-G:connected일 때 λ_G(n) >= (-1) * sqrt(2m - (n-1)δ + (δ-1)Δ)(link)
-About Energy
-G1,G2가 graph-isomorphic이면 equienergetic, 역은 성립 안함
-if G:non-singular,
-|det(AdMT(G))| >= 1(왜냐하면 구할 때 생각해보면 entry가 모두 0,1이므로, det가 정수이며 nonzero)
-G:non-hypoenergetic
-(Lower Bound of energy(G))
-energy(G) >= 2 * sqrt(m), with = iff G:complete bipartite plus some isolated vertices(link)
-energy(G) >= sqrt( 2m + n(n-1)*(|det(AdMT(G))|)^(2/n) )(link)
-G:non-singular connected일 때 energy(G) >= 2m/n + (n-1) + ln(|det(AdMT(G))| - ln(2m/n),
with = iff G:K_n(link1)(link2)
(better than above)
-(Upper Bounds of energy(G))
-energy(G) <= sqrt(2*m*n) <= 2*m, with = iff G:m개의 K_2 plus some isolated vertices(link)
-About m_(G,A)
-
-About Specific Cases
-G:r-regular iff r는 λ with (1,1,...,1):egv for r
-if G1, G2:r-regular,
-spec(AdMT(G1))={r,λ_G(2),λ_G(3),...,λ_G(n)}
-charP(AdMT(L(G1),x) = (x+2)^(m-n) * charP(AdMT(G1),x-r+2)(link)
-(Sach's Theorem)spec(AdMT(L(G))={λ_G(i) + r - 2, -2 s.t. i=1,2,3,...,n}
(-2의 multiplicity는 m-n)
-spec(AdMT(bar(G1)))={n-r-1, -1-λ_G(2), -1-λ_G(3),..., -1-λ_G(n)}(link)
-bar(G1) have the same egv of G
-if n1=n2=n, then L(L(G1)), L(L(G2)):equienergetic(Sach's Theorem쓰면 됨)
-L^k(G1),L^k(G2):equienergetic for all k >= 2
-if G has no isolated vertices, then G:non-hypoenergetic
-spec(AdMT(G))={n-1, -1, ..., -1} iff G:K_n
-spec(AdMT(K_n))={n-1, -1, ..., -1}(link)
-energy(L(K_n))=2*n*(n-3)
-for n >=4, L(K_n):hyperenergetic
-spec(AdMT(K_(1,n-1)))={sqrt(n-1),0,0,...,0,-sqrt(n-1)}, 0는 n-2개(link)
-G:connected일 때 spec(AdMT(G))={sqrt(n-1),0,0,...,0,-sqrt(n-1)}, 0는 n-2개이면 G는 tree이고
-D(G)=2라면 K_(1,n-1), D(G) != 2라면 G has induced subgraph of P_4
-spec(AdMT(K_(p,q))={sqrt(pq),0,...,0,-sqrt(pq)}, 0은 p+q-2개
-spec(AdMT(the friendship graph on n=2t+1)) = {(1+sqrt(1+8t))/2, 1,1,...,1,-1,-1,...,-1, (1-sqrt(1+8t)/2}, 1은 t-1개, -1은 t개(link)
-spec(AdMT(T(a,b))) = {sqrt(a+b-1), sqrt(b-1), 0,0,...,0, -sqrt(b-1), -sqrt(a+b-1)}, 0은 ab-2a+1개
-spec(AdMT(P_n))={2*cos((pi*j)/(n+1)), where j=1,2,...,n}
-spec(AdMT(C_n))={2*cos((2*pi*j)/n), where j=0,1,...,n-1}
-About Trees
-(Upper Bound of λ_G(1) for Tree)
-G:tree with n>2, then λ_G(1) <= sqrt( (n-1) - {(Δ+Δ'-1)-sqrt((Δ+Δ'-1)^2 - 4(Δ-1)(Δ'-1))}/2 )
where v1 s.t. d(v1)=Δ, Δ' := max over k~1 d(vk)(link)
-(Lower Bound of λ_G(1) for Tree)
-G:tree with a vertex v s.t. e(v)<=2일 때 λ_G(1) >= sqrt(d(v)+m(v)-1) (꼭 λ_G(1)이 아니라 nonzero λ이면 성립)(link)
-G:tree 이면 λ_G(1) >= max over i sqrt(d(vi)+m(vi)-1) using above and interlacing property
-(Lower Bound of λ_G(2) for Tree)
-G:tree with n>2, then λ_G(2) >= sqrt( {(Δ+Δ'-1) - sqrt((Δ+Δ'-1)^2 - 4(Δ-1)(Δ'-1))}/2 )
where v1 s.t. d(v1)=Δ, Δ' := max over k~1 d(vk)(link)
-About m_(T,A)
-m_(T,A)(λ) <= p(T) - 1(link)
-if q(T) != 1 and λ != 0, then m_(T,A)(λ) <= q(T) - 1(link)
-p(T) - q(T) <= m_(T,A)(0) <= p(T) - 1
-About IcMT(G)
-if the inner product of distinct two columns is nonzero, then the value is equal to the number of common vertices of corresponding edges
-rt(IcMT(G)) * IcMT(G) = 2IMT +AdMT(L(G))
-if the inner product of distinct two rows is nonzero, then the value is equal to the number of edges joining the corresponding vertices
-IcMT(G) * rt(IcMT(G)) = sLap(G)
-rank(IcMT(G))= n - |# of connected components|
-About dIcMT(G)
-|rt(dIcMT(G)) * dIcMT(G) - 2*IMT| = AdMT(L(G))
-dIcMT(G) * rt(dIcMT(G)) = Lap(G)(각 edge의 orientation이 어떻든간에)
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| 수학정리(Applications, Distance, Index) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Examples, Exercises) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Basic Graph Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Combinatorics) (0) | 2016.02.29 |
*Examples
-S_Z(order top이므로 order top의 성질을 모두 따름)
-S_Z는 largest element를 갖지 않는다.
-not compact
-not metrizable
-S_Z의 countable subset E는 upperbound in S_Z를 갖는다.
-least upperbound property만족
-모든 closed interval(not singleton)은 compact
-LKT2
-sequential closure와 그냥 closure가 다를 수 있음
-limit point compact
-sequentially compact
-first-countable
-not separable
-not second-countable
-not lidelof
-ocl(S_Z)=cl(S_Z)
-cl(S_Z)의 특징
-least upper bound property
-compact
-not first-countable
-not second-countable
-not separable
-lindelof
-not metrizable
-Z가 limit point of S_Z이다.
-LL(with dictionary order with deleted smallest element)
-path-connected
-locally homeomorphic to R(std)
(not imbedded in R(std))
-V_4의 성질
-order:4
-ab=c, bc=a, ca=b형태
-abelian
-Aut(V_4) giso S3
-Inn(V_4)=1
-D_2n의 성질
-order:2n, reflection:n, rotation:n
-rotation(2pi/n)을 r이라하고 reflection(중심과 1을 이은 직선 기준인)을 s라 하면 r과 s로 모든 원소 representation가능
-r*s=s*r^(-1), [r,s]=r^(-2)
-C(D_2n)=<r^2> _<! D_2n
-<r>:NS
-<s>:S (not normal), D_2n/<r> giso <s>
-D_2n giso OSDP(Z/nZ,Z/2Z)
-따라서 solvable(따라서 D_k, k=not power 2^n이면 solvable인데 not nilpotent의 예)
-Z/nZ대신 Z이면 D_inf라 쓰고 infinite dihedral group이라 한다.
-n>=3인 odd면
-Z(D_2n)={e},
-<r^2>의 order:n
-D_4n giso D_2n x Z/2Z
-n=2k인 even이면
-Z(D_2n)={e, r^k}
-<r^2>의 order:2n/4
-D_2n/<r^2> giso V_4
-D_8의 성질
-Z(D_8)=<r^2>=C(D_8)
-NS=<s,r^2>, <r>, <rs,r^2>, <r^2>
-conjugate class={1}, {r^2}, {r,r^3}, {s,sr^2}, {sr,sr^3}
-Aut(D_8) giso D_8
-D_2^n, 즉 order가 power of 2인 경우(2^k)
-nilpotent하고 nilpotent class:k-1
(order가 power of 2가 아닌 경우는 not nilpotent)
-3차원 정다면체 관련
-정다면체의 한 꼭지점에서의 정다각형들의 내각의 합은 360도보다 작다.
-정다면체가 5종류이고, n:정n각형, p:한 점에서 만나는 정n각형의 개수
(n,p)=(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)임을 앎
-v-e+f=2를 이용하면 다 앎
-symmetries group의 order는 v*(한 꼭짓점에 걸리는 변의 개수)
-Q_8의 성질
-order8이면서 non-abelian인 예, 하지만 모든 S는 NS.
-Z(Q_8)=<-1>=C(Q_8)
-Upper central series:{1}, {-1,1}, Q_8, 따라서 nilpotent class of 2
-<i>={-1, -i, 1, i}
-N_(Q_8)(<i>)=Q_8
-N_(Q_8)(i)=<i>
-conjugate class={1},{-1},{i,-i},{j,-j},{k,-k}
-Aut(Q_8) giso S_4
-nilpotent, nilpotent class=2
-te rep(Q_8):Q_8->SL(2,C) s.t. i->(i 0 0 i ), j->(0 1 -1 0), k->(0 i i 0)
-(a,b)_F, called Quaternion algebra, defined by F[Q_8], i^2=a, j^2=b,
-(-1,-1)_R(std)을 주로 Quaternion이라 부르고 H라 나타냄
-S_[n]의 성질
-임의의 원소는 disjoint cycles의 곱으로 표현이 된다.(unique, 곱의 order는 생각안할 시)
-임의의 원소는 adjacent transposition의 곱으로 표현이 된다.(not unique)
(직관적인 이해는 사다리 타기의 가로이동을 adjacent transposition으로 보면 된다.)
(먼저 disjoint cycles로 표현한 뒤, 각 cycle를 transposition으로 표현한뒤 각 transposition을 adjacent transposition으로 표현)
(f(a,b,c)f^-1 = (f(a),f(b),f(c))이용, conjugate)
-임의의 subgroup S는 S_[n]의 subgroup과 isomorphic하다.(S_[n], 중요)
-S_[n]은 GL(n,F)의 subgroup과 isomorphic하다.(GL(n,F), 중요)
-임의의 원소의 sign판단은 사다리 타기의 가로이동 갯수로 가능(즉 adjacent transposition 개수 = transposition개수 mod2)
-(i+1,i+2)(i,i+1)(i+1,i+2)=(i,i+1)(i+1,i+2)(i,i+1), called braid relation, 외우기 쉽게는 (23)(12)(23)=(12)(23)(12)
-S_[n] giso OSDP(Alt(n),Z/2Z)
-(G<S_[n]일 때 G<alt(n)일 조건)If there is no subgroup S of G s.t. [G:S]=2, then G<alt(n)(link)
-n>=3이면
-Z(S_[n])=1
-not nilpotent
-n>=5이면 nontrivial proper normal subgroup은 Alt(n)뿐
-따라서 S_[n]:solvable iff n<=4
-n이 6만 아니면, Aut(S_[n])=Inn(S_[n]) giso S_[n]
-n=6이면 [Aut(S_[n]):Inn(S_[n])]=2
-n=prm일 때,
-|N_S_[n](Sprm)|=prm*(prm-1), Sprm이란, Sylow prm-subgroup
-p-cycle and a transposition generates S_[n] (n=prm일 때만 됨)
-sum g in S_[n] q^inv(g) = [n]_q
-S_[3]의 성질
-NS=<(1,2,3)>
-Sp(p=3)=<(1,2,3)>
-Sp(p=2)=<(1,2)>, <(1,3)>, <(2,3)>, 총 3개
-S_[4]의 성질
-Sp(p=2), 총 3개, giso D_8
-Sp(p=3), 총 4개, giso Z_3
-representation관련
-f:S_[n]->GL(1,C), f(g)=sgn(g), it is called sign rep
-f:S_[n]->GL(n,C), (f(g))_(i,j)=1 if g(j)=i, otherwise, (f(g))_(i,j)=0, it is called defining rep(image의 MT들은 permutation MT가 된다.즉 각 열마다 1은 1번, 행마다 1은 1번)
(정의할 때 , g(i)=j 부분의 i,j를 위치를 바꾸면 rt((f(g)))가 나온다, 그래서 f가 group homomorphism이 되지 않는다.)
-S_[inf]:=union over n>=2 S_[n]관련
-not equal to {f:N->N s.t. f:bijection}, S_[n]은 유한개만 permute함
-
-N
-(Well-ordering Principle)N의 nonempty subset은 smallest element를 갖는다.
-Well-ordering Principle iff Induction Principle iff Strong Induction Principle
-(Induction Principle)Let S(n) be a statement on N satisfying S(1):true and for any n in N if S(n):true then S(n+1):true. Then S(n):true for all n in N
-(Strong Induction Principle)Let S(n) be a statement on N satisfying S(1):true and for any n in N if S(1),S(2),...,S(n):true then S(n+1):true. Then S(n):true for all n in N
-N(std)인 경우
-LKT2
-ocl(N(std)) homeo {0}U{1/n s.t. n is in N}
-Z
-(Euler's Theorem)gcd(n1,n2)=1 이면 (n1)^ephi(n2) ≡ 1 (mod n2)
-(Euclid Algorithm)gcd(n1+n2*n3,n3)=gcd(n1,n3)
-Inn(Z) giso 1
-Projective Z-Md
-Z[i]:ED(link)
-p:prm with p=4k+1 for some k in Z, then p is the sum of squares(link)
-|G|의 factor당 subgroup이 유일하게 존재
-모든 S가 char
-abelian
-G of order n의 generator개수:ephi(n)
-FP(Z/2Z, Z/2Z) giso OSDP(Z,Z/2Z), i.e. infinite dihedral group과 giso
-Aut(Z/nZ) giso (Z/nZ)^*(link1)(link2)
-Aut(Z/nZ):abelian, order:ephi(n)
-(Z/nZ)^*은 사실상 다 앎, n만 factorization하면, link참고
-Aut(EAG(p,n)) giso GL(n,F) with |F|=p 인 field
(Z-md structure is consistent with F-scalar multiplication이 되기 때문)
-Inn(Z/nZ) giso 1
-TP(Z/nZ, Z/mZ) giso Z/gcd(n,m)Z(모두 Z-Md에 대해서)(link)
-id={deg가 >=2인 것들}union{0}, Z[x]/id는 zd를 갖지만, Z[x]는 zd를 안가짐
-id={계수가 모두 even인 것들},
-Q
-additive group로 볼 때
-divisible
-injective Z-Md
-Q/Z:Injective Z-Md
-not cyclic
-te no maximal subgroup(link)
-not projective Z-Md(link)
-field로 볼 때
-[ac(Q):Q]=inf
-R(std)의 subspace로 볼 때
-not open subspace
-not closed subspace
-not locally compact
-R(std)
-Aut(R)=Aut(R/Q)=1
-C4(TS)는 C4({(a,b)}, C4({(a,b]}), C4({[a,b]}), C4({(-inf,a]}), C4({(-inf,a)})와 같다.
-모든 nonempty open set은 disjoint c-union open intervals로 표현가능(link)
-모든 closed interval(not singleton)은 uncountable이다.
any subset whose complement is countable is dense in R(std)(link)
-homeo (-1,1)(둘다 order top)
-R(std)<R(l)
-R(std)<R(K)
-nonempty perfect subset은 uncountable
-uncountable subset은 반드시 limit pt를 갖는다.
-[0,1]
-compact, limit point compact, sequentially compact
-connected, path-connected, locally connected, locally path-connected
-ocl(R(std)) homeo 1-dim sphere
-second-countable
-contractible(link)
-metrizable
-T2
-T3
-T4
-C4(top)은 generating set을 {(a,b)}, {[a,b)}, {(a,b]}, {[a,b]} 다 가능
-About Cantor Ternary Set
-closed
-compact
-let x in [0,1]. x in Cantor Ternary Set iff x has a ternary expansion consisting only of 0's and 2's.(따라서 uncountable)
-Lebesgue Measure, 0
-totally disconnected
-KT2
-no isolated pt(즉 perfect set)(따라서 uncountable)
-Lebesgue Measure(LM)
-건설:RSC3={empty, all bdd intervals}, RSC3에 vol이란 PM을 주고, {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(TOP)가 된다. 즉 Borel sigma algebra)
-특징
-complete(Borel sigma algebra에서는 not complete,
-f:R(std)->R(std)의 성질(a,b in R)
-정의역이 [a,b]인 경우
-f가 monotone이면
-불연속점의 개수는 at most countable
-(Lebesgue's Theorem)미분가능한 점의 개수는 lebesgue measure에 대해 almost everywhere
-{f_n} on [0,1], Berenstein Polynomial of degree n, uni cv to conti f(link1)(link2)
-f가 conti이면 antiderivative를 갖고,
-(Fundamental Theorem of Calculus, FTOC)
:f:conti on [a,b], F(x)=int from t=a to t=x f(t)dt일 때, F는 미분가능, F'(x)=f(x)
(즉 f가 conti이면 anti-derivative를 갖고 그것은 diff라는 것)
-(Integration by Substitution)
:f1 on [a,b]:conti이고 te f2 s.t. C^1 on [c,d], f2([c,d])=[a,b]인 f2가 있다면
int from x=a to x=b f1(x)dx = int from t=c to t=d f1(f2(t))*f2'(t) dt가 성립
(즉 실제 적용시, 전자를 후자로 하게끔하는 f2를 찾는 것이다.)
(f1의 conti는 integral 정의를 위함이고, f2의 C^1도 등식의 후자에 integral 정의를 위함)
(증명은 FTOC이용)
-About Bounded Variation
-the total variation of f := sup over all partition of [a,b] (sum of |f(x_(i+1)) - f(x_i))|)
-f가 bdd variation이란(f:BV) its total variation is finite일 때
-the positive variation of f := sup over all partition of [a,b] (sum of max(f(x_(i+1)) - f(x_i)),0))
-the negative variation of f := sup over all partition of [a,b] (sum of -min(f(x_(i+1)) - f(x_i)),0))
-total variation of f = sum of the positive and negative variations of f
-g1,g2:[a,b]->R이고 BV이면 g1+g2:BV
-3개의 variations중 1개라도 finite면
-나머지도 finite(link)
-the positive variation - the negative variation = f(b)-f(a)(link)
-(Jordan Decomposition of a function)f가 bdd variation iff te g1,g2:[a,b]->R s.t. g1,g2:inc and f=g1-g2(link)
-About Absolutely continuous(abs conti)(정의역이 그냥 interval이기만 하면 됨)
-f가 abs conti란, for any ε > 0, te δ > 0 s.t. for any finite segments [x_1,x_2], ..., [x_(n-1),x_n] s.t. sum of all lengths of segments < δ, sum of all |f(x_(i+1) - f(x_i)| < ε
-f가 abs conti
iff f has f' in Lp(LM) s.t. f(x)=f(a)+int from t=a to t=x f'(t) dt for all x in [a,b]
iff te g in Lp(LM) s.t. f(x)=f(a)+int from t=a to t=x g(t) dt for all x in [a,b]
(위의 equivalents는 [a,b]에서만 성립, compact필요)
-정의역이 (a,b)인 경우
-(Chain Rule for one-dimensional)g:diff at a, f:diff at g(a)일 때, (f o g):diff at a이고 d(f o g)/dx at x=a =f'(g(a))g'(a)
-(Darboux 's Theorem)f:(a,b)->R(Std), f:diff일 때, for c,d in (a,b) s.t. f'(c) != f'(d), for t between f'(c) and f'(d), te e in [c,d] s.t. f'(e)=t
-정의역이 R인 경우
-f가 monotone이고 bdd이면 불연속점의 개수는 at most countable
-{f_k}, {a_n}:any rv seq일 때, te {f_(n_k)} s.t. cv at all a_n(그 수렴값은 +inf, -inf을 취해도 된다고 할 때)(link)
-정의역이 뭐든간에
-f가 analytic on open set E란, for any x in E, te nbd(x) s.t. f is equal to its taylor series on nbd(x)
-About Taylor Series
-f가 x=a에서 infinitely many diff이면 Tay_(f,a)가 정의됨
-Tay_(f,a)가 정의될 때, a에서의 RoC 구해서 f(x)=Tay_(f,a)(x)가 가능한 x범위를 구할 수 있다.
(ratio test, root test 등이 있다.)
-혹은 f:C->C로 이해해서 a에서 가장 가까운 not diff점까지의 거리를 통해 RoC를 구할 수도 있다.)
-Taylor Series는 기본적으로 f의 local property
-f가 x=a에서 infinitely many diff이어서 Tay_(f,a)가 정의 되더라도, f가 not analytic at x=a일 수 있다.
(f(x)=e^(-1/x^2) for nonzero x, 0 for x=0)
-analytic function관련 성질
-f가 analytic on open set E이면 f in C^inf(E), 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 f(x)=e^(-1/x^2) for nonzero x, 0 for x=0
-About Convex Functions
-정의:
-I(interval, open이든 closed이든, finite이든 뭐든 어쨋든 interval, singleton일 수도)에서 정의된 f가 convex란,
f(ax+(1-a)y)<=a*f(x)+(1-a)*f(y) for all x,y, in I, for all a in [0,1]
-f on I, f has support at t in I란, te linear function g(x)=f(t)+m*(x-t) s.t. g<=f on I
-성질:
-f:convex on I일 때,
-[a,b]<I에 대해 f는 Lipschitz-conti on [a,b], f는 abs conti on [a,b], f는 conti at x in Int(I)
-left(right)-derivative exist on Int(I), 그리고 각각은 inc이다.
-f:convex on open interval I일 때, E={x in I s.t. f' not exist at x}, E:at most countable이고 I-E에서 f'은 continuous
-f:convex on (a,b) iff te at least one line of support for f at each x in (a,b)
-R(l)
-R(l)과 R(K)는 not comparable
-First-countability
-separable
-lindelof
-not second-countable
-not metrizable
-totally disconnected(path-connected component, connected component 모두 singleton)
-not compact
-not limit point compact
-not sequentially compact
-[0,1]
-not limit point compact
-not compact
-not sequentially compact
-T2
-T3
-T4
-CN
-T5
-not TVS([0,1)을 a배 해도 -1을 포함하지 않는 걸 생각)
-Sorgenfrey plane(inverse diagonal {(x,-x)}가 중요한 역할함)
-not lindelof(but lindelof 2개 곱해서 얻은 product topology임)
-T2
-T3
-not T4
-R(K)의 특징
-[0,1]이 not compact subspace
-not path-connected, path-connected component={(-inf,0],(0,inf)}
-not locally connected
-not locally path-connected
-T2
-not T3
-connected
-[0,1]x[0,1] with dictionary order(ordered square라 함)의 성질
-R(std)xR(std) with dictionary order의 subspace랑은 다르다.
-First-countability
-linear continuum
-connected
-compact
-not path-connected
-locally connected
-not locally path-connected
-lindelof
-not metrizable
-not second countable
-R^n의 특징(n>=2)
-C4(TS)=C4({open rectangles})=C4({(-inf, x)}
(R^n에서의 order는 각 coordinate 모두에 성립하는 order로써 정의가능)
-임의의 nonempty open set은 nonoverlapping c-union of closed cubes로 쓰여질 수 있다.
(nonoverlapping이란, interior가 disjoint인)
-product top from each order top=uniform top=box top=top from euclidean metric=top from square metric
-with dictionary order from each standard order top이면, metrizable
-countable set을 빼도 path-connected, connected
-open connected E는 path-connected된다.
-E:compact iff E:closed and bdd wrt euclidean metric
-second-countable
-complete in euclidean metric, or square metric
-(Vitali Covering Theorem)
-Version 1(link)
:E:bdd subset, F:a collection of open balls which are centered at points of E s.t. every point of E is the center of some ball of F일 때
->te a seq (B1,B2,...)(유한 seq일 수도 있음) of balls from F s.t. (B1,B2,...):disjoint and E<union of (3B_i)
-Version 2(infinitesimal)(link)
:E:subset, F:a collection of closed balls with positive radius which satisfies
"x in E, eps>0이면 te B in F s.t. x in B and rad(B)<eps"
이면 ->te a seq (B1, B2, ...)(유한 seq일 수도 있음) of balls from F s.t. (B1,B2,...):disjoint and E<union of (B_i) except for a null set
-Lebesgue Measure(LM)
-건설:RSC3={empty, cartesian product of bdd intervals}, vol이란 PM를 주고 extension해서 {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(TOP)가 된다. 즉 Borel sigma algebra, {all PM*ME}가 더 넓은 sigma-algebra)
-Lebesgue Measurable Set을 LME라 하자.
-특징:
-complete(Borel sigma algebra에서는 not complete)
-Borel Sigma algebra의 completion이 Lebesgue sigma algebra됨을 알 수 있다.
-Lebesgue Measure 건설 과정을 보면은, RSC3->C3(RSC3)->C3(RSC3)(U)->C3(RSC3)(U)(I)->...->{all PM*ME}
-C3(RSC3)(U)(I)로 Lebesgue Measurable set을 approximation할 수 있다.(sf-M이므로 가능해짐)
(C3(RSC3)(U)(I)엔 open, closed, compact 다 포함되어있다.)
(outer measure값이 finite이면 조금 작은 compact 잡을 수 있다.)
(조금 큰 open set, 조금 작은 closed set 잡을 수 있음)
-C3(RSC3)(U)나 C3(RSC3)(U)(I)로 임의의 E in P(R^n)의 Lebesgue Outer Measure approximation가능
-Lebesgue Measurable인데 not borel set
-P(R^n)에서 not Lebesgue Measurable set
-sCez<lp, p in [1,inf)<sClz<sCcv<lp, p=inf
-f:R^n(std)->R^m(std)의 성질(꼭 정의역과 공역이 전체가 아니어도 상관없을 때가 많다. open->open이기만 하면 될 때가 많음)
-f:vector-valued일 때
-정의
-D_f(x_0)란 derivative of f(matrix을 가리킨다. entries는 partial derivatives, Jacobian Matrix라고도 함)
(f=(f1,f2,...,fm)에서 각 fi의 gradient를 row로 하는 matrix가 된다.)
-n=m일 땐, J_f란 det(D_f)을 가리킨다. (Jacobian of f)
-D_(f,x_0)(x), directional derivative of f along x_0 at x란, lim h->0 (f(x+h*x_0)-f(x)/h), h는 scalar임
-x_0:critical point of f란 f:diff at x_0 and D_f(x_0)=0일 때
-C^k-f란, f의 각 coordinate function 모두가 C^k일 때(C^inf는 특별히 smooth라 한다.)
-(n=m일 때 정의함)diffeo:C^inf이고 C^inf인 inverse를 가질 때
-f:diff at x_0란 D_f(x_0)가 lim h->0 {f(x_0+h)-f(h)-D_f(x_0)(h)}/||h||=0을 만족할 때
-Jordan Curve란 f:[0,1]->R^2(std), conti, f(0)=f(1), restriction of f on [0,1) is injective, 이때 f의 image를 Jordan Curve라 하자.
-성질
-(Inverse Function Theorem for multivariate, m=n)
:C^1-f on open U의 J_f가 non-zero at x_0라면(즉 derivative가 invertible), te nbd(x_0) and nbd(f(x_0)) s.t. nbd(x_0)<U and nbd(f(x_0))<f(U) f|nbd(x_0):nbd(x_0)->nbd(f(x_0))에서 bijective이고 inverse도 C^1 on nbd(f(x_0)). 게다가 D_f(x_0)의 inverse matrix는 D_f^(-1)(f(x_0))
(단순히 미분가능, 도함수의 존재가 아니라 도함수가 연속하다는 조건이 꼭 필요, 그래야 nbd에서 injective해짐)
-(Rank Theorem for R^m)
:U1:open in R^m(Std), U2:open in R^n(std), F:U1->U2가 smooth with constant rank k일 때
for any p in U1, te smooth charts (V1,g1) for R^m(std) centered at p and (V2,g2) for R^n(std)
s.t. V1<U1 and F(V1)<V2<U2 and g2(F(g1^(-1)(x1,x2,...,xm)))=(x1,x2,...,xk,0,0,...,0)
-D_f(x_0)의 성질
-f:diff at x_0일 때(derivative의 존재성보다 약간 강한 조건임), D_f(x_0)는 the best linear approximation near at x_0가 된다.
-D_(f,x_0)(x)의 성질
-D_(f,x_0) is linear in x_0
(단, 존재할 때 이야기성립)
-
-J_f의 성질
-Inverse Function Theorem
-Multiple Integral에서 transform이용
:좌표변환이라 함은, 기존좌표계 with dV(대게 직교좌표계)에서
"이전 좌표계(구면, 원통 등 있다고 생각)->기존좌표계"인 함수 g를 찾고,
g를 이용하여 multiple integral 수정 with dV'=dV*|J_g|
-(Chain Rule for Multi-dimensional)
-g:R^n(std)->R^m(std), f:R^m(std)->R^k(std)에서 D_(f o g)(x_0)=D_f(g(x_0)) * D_g(x_0) where *은 matrix multiplication
-(Implicit Function Theorem)
-motive:
-f:R^n(std)->R^m(std)에서 n>m이고 n=k+m, C^1
-a in R^k, b in R^m, U:open(a) in R^k, V:open(b) in R^m, f(a,b)=c
-g:U->V s.t. {(x,g(x)) s.t. x in U}={(x,y) < UxV s.t. f(x,y)=c} and C^1인 g를 찾는게 목표
-Statement:
-f:R^n(std)->R^m(std)에서 n>m이고 n=k+m, C^1(정의역이 좀 더 작은 open set이어도 가능)
-D_f(a,b)에서 뒷열에서부터 mxm matrix가 invertible이면 te desired g,U,V s.t. U:open(a) in R^k, V:open(b) in R^m, f(a,b)=c
(f가 C^n이면 g도 C^n인게 존재함, f가 C^inf였어도 마찬가지로 g가 C^inf인게 존재함)
-any diffeo is homeo
-(Invariance of Domain, m=n)f:conti,injective이면 f:open이다.
-따라서 there is no homeomorphism between R^n(std) and R^m(std) for different n,m
(만약 f:R^n(std)->R^(n-1)(std), f:homeo라면, i:R^(n-1)(std)x{0}->R^n(std), inclusion, i o f 는 conti injective이므로 invariance of domain에 의해 homeo가 되는데, image인 R^(n-1)(std)x{0}은 not open in R^n(std))
-증명으로 가는 길
-(Homotopy Extension Lemma)Xx[0,1]:T4, A:closed in X, Y:open in R^n(std), f:A->Y:conti and nulhomotopic일 때
te g:X->Y s.t. g=f on A and g:nulhomotopic(link1)(link2)
-(Jordan Curve Theorem)
-C가 Jordan Curve이면 complement of C는 two connected components를 갖고 하나는 bdd하고 다른 하나는 unbounded, 전자가 interior, 후자가 exterior가 된다.
(즉, piecewise smooth path의 intereior가 well-defined됨을 보장해준다.)
-MT(R(std))(3x3)이 entry 모두가 positive real인 경우 이 MT는 has a positive real eigenvalue
-f:rv일 때
-정의
-grad(f)=(df/dx1, df/dx2, ...)
-C^n-f란, f의 n번 partial derivative(mixed도 포함)가 exist and continuous
-f has local maximum at x_0란 f(x_0)>=f(x) on a nbd(x_0)
-x_0 is a extreme point of f란 f가 x_0에서 local maximum이나 local minimum을 가질 때
-x_0:saddle point of f란 critical point x_0 of f가 not extreme point of f일 때
-Hessian of f at x_0란 D_(D_f)(x_0)
-D_(f,x_0)(x), directional derivative of f along x_0 at x란, lim h->0 (f(x+h*x_0)-f(x)/h), h는 scalar임
-for G:bdd,open,connected, 0<a<=1, f가 Holder-conti on G with a란, sup over x,y in G |f(x)-f(y)|/|x-y|^a가 finite일 때고 이 값을 Holder-coefficient라 한다.
-for G:open in R^n(std), fCC^k(G):={f:G->R(Std) s.t. C^k-f}
-for m=0,1,2,3,..., 0<a<=1, G:bdd,open,connected,fCHconti_(m,a)(cl(G),R(std))이란, f in fCC^k(cl(G))이면서 ||f||_(m,a)<inf인 것들
where ||f||_(m,a)정의는 link참고
(줄여서 fCH_(m,a)라 적자, 정의역 공역 모두 생략, 필요하면 적기)
-f:Schur-convex on E if for any seq (a_n), (b_n) in E with b_n majorize a_n, f(a_n) <= f(b_n)
-f:strictly Schur-convex on E if for any seq (a_n), (b_n) in E with b_n majorize a_n and b_n is not a_n up to permutation, f(a_n) <= f(b_n)
-f:Schur-concave on E if for any seq (a_n), (b_n) in E with b_n majorize a_n, f(a_n) >= f(b_n)
-f:strictly Schur-concave on E if for any seq (a_n), (b_n) in E with b_n majorize a_n and b_n is not a_n up to permutation, f(a_n) >= f(b_n)
-성질
-lim (x,y)->(0,0) f(x,y)가 존재하면, lim x->0 f(x,0)도 존재하고 lim y->0, f(0,y)도 존재
(역은 성립하지 않는다.)
-f:diff at x_0, x_0:extreme point of f일 때 D_f(x_0)=0이다.
-C^2-f에 대해 x_0:critical point of f and Hessian of f at x_0:negative-definite이면 f has a local maximum at x_0
(C^2-f에 대해 partial converse:f has a local maximum at x_0엿다면 Hessian of f at x_0:negative-semidefinite)
-partial integral로 얻은 함수의 성질(편의상 n=2일 때 생각)
-f:(x,y)->R(std), int f(x,y) dx=F(y)라 하자. 이 때 F(y)가 conti at y_0할 충분조건은,
-te g(x) in L1 s.t. |f(x,y)|<=g(x)
-f(x,y):conti wrt and at y_0
2가지를 다 만족시키면 된다.(Using Dominated Convergence Theorem)
-dF(y)/dy의 경우도 유사, link참조(link)
-(Integration by Substitution)
:f1:conti with compact support contained in some open set V in R^n이고
te f2:U->V s.t. U:open in R^n, f2:1-1, C^1, J_f2:non-zero in U일 때
int in V f1 = int in U f1(f2)|J_f2|
-(Mean Value Theorem for Multi-dimensional)
-f:R^n(std)->R(std):C^1, x1,x2 in R^n(std)일 때, f(x2)-f(x1) can be described into partial derivative and coordinate difference(link참조)
-Lp(R^n(std), C4(TS), LM))
-(0,inf]에서
-(0,inf)에서
-[1,inf]에서
-[1,inf)에서
-separable
(증명은 MF in Lp 잡고 pt cv a.e. 인 simple functions seq잡고 그게 cv in Lp인걸 보인다. 이후 simple function이 step functions에 의해 근사 됨을 보인다.(Lp norm) 유리수값을 가지는 유리수 좌표의 rectangles에 의한 step function으로 MF를 근사할 수 있으므로 countable dense set 가짐)
-fCcontiKS(R^n(std), R(std)):dense in Lp(R^n(std), C4(TS), LM))
-(0,1)에서
-주의
-directional derivatives가 존재해도(어느 방향이든) not diff일 수 있다.
-directional derivatives가 존재해도(어느 방향이든) not conti일 수 있다.
-partial derivatives가 존재해도 directional derivative가 존재하지 않을 수 있다.
-fCHconti(cl(G),R(std))의 성질
-BS(R(std))
-About Schur-convex and Schur-concave
-(Characterization of Schur-convex)
Let E be a symmetric and convex subset of R^n(std), and f be a C^1 on int(E).
Then f:Schur-convex on E
iff f:symmetric on E and (x1-x2)*(∂f/∂x1(x) - ∂f/∂x2(x)) >= 0 for any x in E, the latter is called the Schur condition.
(f:symmetric일 때 Schur-condition은 n=2일때만 생각해서 보여도 충분하다.)
-f:symmetric and convex on E이면 f는 Schur-convex
-f:symmetric and concave on E이면 f는 Schur-concave
-f:E<R^n(Std)->R(std), g:R(std)->R(std), h:E->R(std) s.t. h(x)=f(g(x1), g(x2),..., g(xn)), j:E->R(std) s.t. j=g(f)
-f:Schur-convex and inc, g:convex이면 h는 Schur-convex
-f:Schur-convex and dec, g:concave이면 h는 Schur-convex
(f가 inc란 정의역에선 componentwise inequality사용, not majorization)
-f:Schur-convex, g:inc이면 j는 Schur-convex
-f:Schur-convex, g:dec이면 j는 Schur-concave
-대표적인 Schur-convex function
-f(x)=sum over i=1 to i=n x_i
-f:Schur-convex iff g:convex
-g가 1/x이면 h(x) = sum over i=1 to i=n 1/x_i
-g가 -log(x)이면 h(x) = sum over i=1 to i=n (-log(x_i))
-(-1)*(e_n), where e_n:nth elementary symmetric function,
-(-1)*{(e_n)/(e_(n-1))}
-for 1<=p<=k<=n, (-1)*[e_k/e_(k-p)]^(1/p)
-About Convex
-Def
-A subset E of R^n(std) is said to be convex if E is closed under c-linc
-for a subset E of R^n(std), conv(E):the convex hull of E, conv(E):=the intersection of all convex sets containing E
-for a finite subset E of R^n(std), conv(E) is called a convex polytope
-for a convex set E or R^n(std), dim(E):=dim(aff(E))
-Properties
-E:convex iff it contains all the clinc of its all elements
-convex subset은 star-convex subset이다.
-star-convex subset은 simply connected이다.
-star-convex open subset에서의 closed cvf는 exact이다.
-any convex subspace has a trivial FHG
-smooth GL(n,R(std))-space
-O_x={0} or O_x = R^n(std)-{0}
-smooth O(n,R(std))-space
-O_x={0} or spheres centered at origin.
-About Affine set
-Def
-A subset E of R^n(std) is called an affine set if for any x,y in E, any 1-linc of x,y is in E.
-for E:a subset of R^n(std), aff(E):the affine hull of E, aff(E):=the intersection of all affine sets containing E.
-E1,E2:affine of R^n(std)일 때 E1//E2(parallel)란 if te a in R^n(std) s.t. E1=E2+a
-for E:affine of R^n(std), dim(E):=dim(S) s.t. S:linear subspace of R^n(std) s.t. S//E
-for E:affine of R^n(std) s.t. dim(E)=(n-1), we call E a hyperplane of R^n(std)
-Properties
-E:affine set of R^n(std)이면 a+E도 affine
-for any E:affine of R^n(std), te! linear subspace S of R^n(std) s,t, S//E
-(Representation of Affine set of R^n(std))E:affine set iff E={x s.t. Ax=b}(link)
-About Majorization of two seqs (a_n), (b_n)
-Def
-for real seq (a_n), (b_n), (a_n) majorize (b_n)이란 (a_n)과 (b_n)을 monotone dec하게 rearrange한 다음에 partial sum은 a_n이 더 크거나 같고, 전체 합은 같을 때), denoted by a <_m b
-for real seq (a_n), (b_n), (a_n) weakly submajorize (b_n)이란 (a_n)과 (b_n)을 monotone dec하게 rearrange한 다음에 partial sum은 a_n이 더 크거나 같을 때
denoted by a <_wm b
-for real seq (a_n), (b_n), (a_n) weakly supermajorize (b_n)이란 (a_n)과 (b_n)을 monotone inc하게 rearrange한 다음에 partial sum은 b_n이 더 크거나 같을 때
denoted by a <^wm b
-Properties
-(Characterization of Majorization using perm and DSMT)
for nnn seq (a_n), (b_n), (b_n) majorize (a_n)
iff for any nnn seq (x_n), perm(A(x_n)) <= perm(B(x_n)) where A(x_n)(i,j)=(x_i)^(a_j), B(x_n)(i,j)=(x_i)^(b_j)
iff te DSMT s.t. (a_n) = DSMT (b_n), 양변 모두 column
-For nnn seq (a_n), (b_n) with (b_n) majorize (a_n),
-{all DSMT of order n s.t. (a_n) = DSMT (b_n)} is convex polytope, called the majorization polytope
-n=3일땐 extreme points가 알려져 있음
-for any x in R^n(std), DSMTx majorize x iff MT:DSMT
-About weakly submajorize
-for any x in R^n(std), MTx weakly submajorize x iff MT:DSSMT
-for nnn seq (a_n), (b_n), (b_n) weakly submajorize (a_n) iff (a_n) = MT (b_n) for some MT:DSSMT
-About weakly supermajoriize
-for any x in R^n(std), MTx weakly supermajorize x iff MT:DSPMT
-for nn seq (a_n), (b_n), (b_n) weakly supermajorize (a_n) iff (a_n) = MT(b_n) for some MT:DSPMT
-R^J의 특징(uncountable cartesian product)
-product top<uniform top<box top(J가 infinite이면 다 strict해짐)
-product top
-not metrizable
-not normal
-Function Space입장
-J=(MetricS, d), (R(std), euclidean metric)
-for f in R^J, the set of discontinuities of f is ME(link)
-R^N의 특징
-product top
-metrizable(그리고 그 때 complete도 됨)
-path-connected
-connected
-not locally compact
-not compact
-second-countable
-uniform top
-metrizable by d_uni
-not connected, by bdd seq and unbdd seq(separation됨)
-locally path-connected(따라서 path-connected component=connected component)
-x,y가 같은 connected component iff x - y:bdd
-first-countable
-not second-countable
-not separable
-not lindelof
-box top
-not metrizable
-not connected, by bdd seq and unbdd seq(separation됨)
-not locally path-connected
(하지만 path-connected component와 connected component가 같음)
-x,y가 같은 connected component iff x - y:eventually zero
-not first-countable
-Sequence관점({x_n}, {y_n} in R^N, S_n:=sum from i=1 to i=n x_i, T_n:=sum from i=1 to i=n y_i)
-limsup과 liminf는 monotone
-limsup x_n = sup {all limit points of x_n} / liminf x_n = inf { all limit points of x_n}
-limsup x_n < r이면 x_n < r for large n
-limsup x_n > r이면 x_n > r for infinitely many n
-liminf x_n + liminf y_n <= liminf(x_n + y_n)<=limsup x_n + liminf y_n <= limsup(x_n+y_n) <= limsup x_n + limsup y_n
(따라서 {x_n}이 cv to x이면 limsup(x_n+y_n)=x+limsup y_n)
-{x_n}과 {y_n}이 nnn이면 limsup(x_n*y_n)<=limsup(x_n)*limsup(y_n)
-{x_n}이 nnn이면 limsup(1/x_n)=1/(liminf x_n), liminf(1/x_n)=1/(limsup x_n)
-(Kronecker's Lemma)(link)
:{x_n}:inc with lim n->inf x_n =inf이고 sum from n=1 to n=inf (y_n / x_n) cv with finite value이면
(T_n / x_n):cv to 0
-(using Upcrossing)(link)
:{x_n}:cv in ETR(std) iff for any rationals a<b, beta(a,b)<inf where beta(a,b)는 link참조
-Series관점
-{x_n}:abs summable, {y_n}:abs summable->{x_n conv y_n}:abs summable
-Kempner Series Problem:{1/n}:series에서 특정 숫자 배열(예를 들면 2015711574)가 분모에 들어간 것을 제외하고 더한다면 수렴할까?
-답은 Yes
-Topologist's Sine Curve의 특징(0x[-1,1]없는 걸 E라 하자. cl(E)도 주요 관심대상, 대게 cl(E)를 topologist's sine curve라 한다.)
-cl(E)는 connected
-cl(E)는 not path-connected
-C의 성질
-open and connected subset of C를 Region이라 하자.
-Construction
-R^2(std)이면서 덧셈과 곱셈을 다르게 정의한 형태
-R^2(std)와 isomorphic as topological space and VS(R)
-quotient ring R[x]/(1+x^2)으로 정의한 형태
-top 2-mnf이므로 top n-mnf성질 따름
-F된다.
-ac-F(by Fundamental Theorem of Algebra)
-Associative R-A
-infinite product of complex numbers의 convergence
-정의:c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)이 cv if te k s.t. c-product from i=k to i=n (1+a_i) cv to nonzero as n->inf
-성질:
-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 cv iff c-sum from i=1 to i=inf log(1+a_n):cv(link)
(단, Re(a_n) > (-1) for n=1,2,3,..., 만약 아니면 이게 성립할 때부터 곱셈시작으로 간주하면 됨)
-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 abs cv iff c-sum from i=1 to i=inf a_i:abs cv(link)
-f:[0,1]->C, f(t)=x(t)+y(t)i관련
-smooth path f란 x(t), y(t)가 diff이고 x'(t)=y'(t)인 t가 존재하지 않을 때(t=0, t=1은 상관없음)
-piecewise smooth path f란, smooth curve를 이어서 만든 것(각 경계에선 not smooth하지만 거진 smooth한 경우가 된다.)
-smooth or piecewise smooth path가 closed란, f(0)=f(1)일 때
-smooth or piecewise smooth path가 simple이란, not self-intersecting(closed일 때는 endpoint에서같아도 simple이라 함)
-f:[0,2pi]->C 관련
-About L2-space
-특히 [0,2pi] as L2-space(Fourier Series)
-활용방안:
주기함수을 연속함수(sine파)들의 급수로 표현, 이때 sin(2pi*진동수*t)의 계수, 를 통해 진동수에 해당하는 진폭(계수)를 알아내서 어떠한 주기함수(파형)의 진동수마다의 진폭을 구할 수 있게 된다.
유한한 구간에서만 정의된 함수를 expansion,
몇가지 급수 값을 구할 수 있음
푸리에 계수(하단에 <f,e_n>)은 다양한 물리적 의미를 갖는다.
-<f,g> := int from x=0 to x=2pi f*conj(g) dλ 이러면 < > 은 inner product가 된다. 이걸로 HS가 된다.
-{e_n(t)}, e_n(t)=(2pi)^(-1/2) * exp(i*n*t), 는 maximal orthonormal set이 된다.
-(complex valued)for f in L2-Space[0,2pi], f(t)=sum over all int n <f,e_n> e_n(t)로 표현이 된다.
-[0,2pi]까지만 정의된 함수를 expansion(even, odd에 따라)가능하다
-Bessel's inequality, Parsevel's identity사용가능, 참고
-f:C->C관련(z=x+yi, f=u+vi, 정의역이 꼭 C전체 아니어도, C의 open subset이어도 가능)
-holo f의 properties
-용어관련
-f가 holo at z 란 domain of f는 z를 포함하는 open set이고 lim h->0 {f(z+h)-f(z)}/h가 존재할 때(f:R^m->R^n과는 다른 이유가, C->C에서는 곱셈연산이 있기 때문)
-f가 holo on open set E란, f가 holo at any z in D
-f가 holo on closed set E란, te nbd(E) s.t. f가 holo on nbd(E)
-primitive of f on open set E란, E에서 holo이면서 미분해서 f되는 함수
-f가 biholo(conformal map이라고도 함)란, holo이고 bijective이고 inverse도 holo일 때
-f:holo on C이면 f:entire라 한다.
-holo의 충분조건
-f가 CRE를 만족하고 Re(f)와 Im(f)가 C^1이면 f는 holo on 가정만족하는 영역
-holo의 필요조건
-(Cauchy-Riemann Equation, CRE)
:u의 x미분=v의 y미분 and u의 y미분=v의 x미분*(-1), 이것은 holo의 필요조건
(real analysis와 complex analysis를 잇는 equation이다.)
(iv function의 real part만이 전부를 determine한다는 의미도 있다.)
-f가 holo at z이면 f is diff in real sense(역은 성립 안함)
-f가 holo on open set E이면 f has infinitely many complex derivatives in E(Cauchy's Integral Formula for Derivatives에 의해)
-Power Series 관련(Center가 0인 경우만 따져도 됨)(PS(z)=sum from n=1 to n=inf (a_n)*(z)^n라 하자)
-PS(z1):cv이면 for |z|<|z1|, PS(z):cv
-(RoC의 존재성)for any PS,
te R s.t.
-0<=R<=inf,
-|z|<R이면 PS(z):abs cv
-|z|>R이면 PS(z):diverge
-PS:uni cv on {z s.t. |z|<=A<R}
-RoC 구하기
-RoC={limsup(|a_n|)^1/n}^(-1)
-PS의 도함수 또한 RoC가 같다.
-PS1, PS2(with same center), PS1+PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}, PS1*PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}
-lim n->inf a_n=0이면 RoC>=1
-PS는 holo inside RoC
(on RoC에서는 cv할지도 diverge할 지도 모름)
(즉 analytic function은 holo하다는 것을 앎)
-PS의 도함수는 term-by-term 미분해서 얻을 수 있다.
-Integration along path
-piecewise smooth path f1, f1의 image에서 conti인 f2에 대해 integral정의함
-for g:E->C conti, f1:piecewise C^1 in E, int of g along f:= int from 0 to 1 g(f(t))f'(t)dt로 정의
-any parametrization of f gives the same value of integral above
-|int of g along f|<=(max over z in f([0,1]) |f(z)|) * length of f
-(Fundamental Theorem of Calculus version Complex)
:f on open set E가 conti
f가 primitive on E, F를 갖고
f1:piecewise smooth path in E이면
int over f1 f는 F(f1(1))-F(f1(0))가 된다.
(Fundamental Theorem of Calculus, real version과는 다른 점이, primitive의 존재성이 보장받지 않다는 것)
(f가 primitive를 갖는지 판단시 사용가능 using closed path)
-f:holo on a region E, f'=0 on E일 때 f는 constant(E가 connected인 것도 중요)
-(Cauchy's Theorem으로 가는 Step, E:open in C, R:region in C, D:open ball in C, T:image of simple closed piecewise smooth path in C)
-(Step 1, Cauchy's Theorem on E containing T)
:T:triangle with its interior in E, f:holo on E이면 int over T f=0
(triangle의 interior가 포함되어있다는 것은 거진 connected조건느낌)
(rectangle로도 확장가능)
(f:conti on E, for any T:triangle with its interior in E int over T f=0이면 f:holo on E, 즉 역도 성립)
-(Step 2)
:f:holo on UB2이면 f has a primitive on UB2
(UB2보다 일반적으로 convex open subset에서도 성립함)
-(Step 3, Cauchy's Theorem on UB2 containing any closed path)
:f:holo on UB2이면 for any closed path f1 in D이면 int over f1 f=0
-(Step 4, Cauchy's Theorem on E containing T and its interior, using Jordan Curve Theorem)
:f:holo on E containing T and int(T)<E이면 int over T f=0
-(Cauchy's Integral Formula)
:T:image of simple closed piecewise smooth path in C이고 f가 holo on open set E containing cl(int(T))이고 C=bd(int(T))=C with positive orientation라 할 때
for z in int(T), f(z)=1/(2*pi*i) int over C f(t)/(t-z) dt
-(Cauchy's Integral Formula for Derivatives)
:T:image of simple closed piecewise smooth path in C이고 f가 holo on open set E containing cl(int(T))이고 C=bd(int(T))=C with positive orientation라 할 때
for z in int(T), f^(n)(z)=n!/(2*pi*i) int over C f(t)/(t-z)^(n+1) dt
(즉 f:holo at z이면 infinitely differentiable at z이다.)
-(Cauchy's Inequality)
:for z in open E, B(z,r) <E s.t. cl(B(z,r))<E, f:holo on E이면 for any n in N, |f^(n)(z)|<=n!/r^n * sup over z' in bd(B(z,r)) |f(z')|
(즉 holo f의 도함수값 at z은 f의 함숫값(z의 주위에서의)에 영향을 받는다.)
-analytic function f의 properties
-용어관련
-f가 C-analytic on open set E란, for any x in E, te nbd(x) s.t. f is equal to its taylor series on nbd(x)(f:R(std)->R(std)에서의 analytic과는 정의가 같지만 성립하는 properties는 다름)
-f가 C-analytic at z란, te nbd(z) s.t. f is analytic on nbd(z)
-properties
-f의 C-analytic 가능한 points의 모임은 open이다.
-f:C-analytic on open E이면 for z_0 in E, f의 taylor series centered at z_0의 RoC는 dist(z_0, Bd(E))
(즉 f:C-analytic on open E이면 수렴반지름을 그저 f가 holo가 되는 영역이 되는데, R-analytic에선 이런게 안된다. 단순히 미분무한번가능한영역으로의 확장이 analytic이 보존되지 않는다.)
-f:C-analytic at z iff f가 holo at z
-f:holo on open connected E이고 {an} in E s.t. an->a in E and {an}:distinct and f(an)=0이면 f=0 on E
(즉, the zeroes of f on E는 isolated)
(증명을 series전개해서... 그렇다보니 f:R->R에선 성립안함)
-f:holo on open connected E, U:open in E일 때 restriction of f on U =0 on U이면 f=0 on E
-f, g:holo on open connected E, U:open in E, f=g on U일 때, f=g on E
(즉 extension이 unique, but 이렇게 가면 extension이 multivalued일 순 있음, log(x) 생각)
-entire function(f:entire)
-(Liouville's theorem)f:bdd이면 f는 constant
(C^inf(R)선 성립하지 않음)
-{f_n}, f_n:C->C관련, E:open in C,
-{f_n}:holo on E, uni-cv to f on every compact subset K of E이면 f:holo on E and {f'_n}:uni-cv to f' on every compact subset K of E
-
-Laurent's Series관련
-Elementary functions
-log(with principal branch):ocl(C) - (-inf,0] ->C
-exp:C->C-{0}
-entire
-
-(Binomial Theorem)
:(1+z)^a where a:complex는 다음 taylor series를 갖는다.
sum from n=0 to n=inf (aCn)*x^n
(단, RoC는 a마다 그때그때 구해야함)
-(Residue Theorem)
-(Fundamental Theorem of Algebra)
:a polynomial f(x) in C[x] of degree>=1 has a root in C(using homotopy link)
-(Riemann Mapping Theorem)
:U:nonempty, proper, open, simply connected, x in U이면 te! f:U->UB2 in C s.t. f:biholo
-P(R^n+1)
-정의:R^(n+1)(std) - {0}/~, where x=(x1,x2,...,xn+1)~y=(y1,y2,...,yn+1) where xi=kyi for some nonzero k in R
-topology는 quotient로 줌
-topological mnf됨(locally euclidean to R^n(std))
-second-countable
-T2
-locally euclidean to R^n(std)
-FHG=Z_2(n>=1), Z(n=0일 때)
-m-fold projective planes
-정의:
-(a1a1a2a2...amam)이란 scheme으로 만든 도형
-성질:
-FHG=FP(Z,m개)/<a1a1a2a2...amam>
-first homology group:FAG of rank m-1
-UO1
-Strong Deformation Retract of R^2 - {0}
-FHG(UO1) giso cyclic group Z(covering map의 induced group homomorphism이용, R(std)이simply-connected라)
-h:UO1->TS, conti일 때 TFAE(link1)(link2)
-h:nulhomotopic
-h extends to a continuous map k:cl(UB2)->TS
-homo from h is the trivial homomorphism of fundamental groups
-inclusion(UO1,R^2(std)-{0}) is not nulhomotopic
-identity:UO1->UO1 is not nulhomotopic(즉 not contractible이다 UO1은)
-antipode-preserving:UO1->UO1이 conti이면 not nulhomotopic(link1)(link2)
-LG
-n-torus
-정의
-prod(UO1), UO1을 n번 prod한 TS
-R^n(std)에서 (x1,x2,...,xn)~(x1,x2,...,xn)+ei, ei=i성분만 1, for all i=1,2,3,...,n, quotient space (R^n(std),~)
-성질
-topological mnf됨
-second-countable
-T2
-locally euclidean to R^n(std)
-n=1은 UO1과 같음
-FHG(n-torus)=Z x Z x ... x Z
-n-fold torus
-정의
-(a1b1a1^(-1)b1^(-1))...(anbnan^(-1)bn^(-1))이란 scheme으로 만든 도형
-성질
-compact connected surface
-FHG=FP(Z,2n)/<a1b1a1^(-1)b^(-1)...(anbnan^(-1)bn^(-1))>
-first homology group=FAG of rank 2n
-UO2
-(UO2 <-> R^2(std))f:UO2-{b}->R^2(std) homeo가 compact set을 뺏을 때 생기는 component를 어떻게 보내는지(link)
-X:compact, f:X->UO2-{a}-{b}:conti일 때, a,b가 UO2-f(K)의 same component에 존재하면 f:nulhomotopic(link)
(역은 f가 injective면 성립)(link1)(link2)
-UO2=A1UA2UA3 where Ai:closed in UO2일 때 te {x, -x} s.t. x and -x are in Ai for some i(link)
-UOn
-for n>=2, simply connected, 즉 FHG(UOn)=trivial(using Pre van-kampen or Strong Deformation)
-embedded n-submanifold of R^(n+1)(std)(link)
-smooth O(n+1,R(std))-space
-transitive
-smooth SO(n+1,R(std))-space
-transitive
-(Borsuk-Ulam Theorem)m<=n, f:UOn->R^m(std), conti이면 te x in UOn s.t. f(x)=f(-x)
-UB2
-te no continuous retraction(cl(UB2),UO1)
-(Brouwer Fixed-point theorem for the disc)f:cl(UB2)->cl(UB2), conti이면 te a fixed point x(즉 f(x)=x인 x in cl(UB2))(link)
-
-UO1VUO1
-FHG(UO1VUO1) giso FP(Z,Z) giso OSDP(Z,Z/2Z) using van-kampen theorem
-GL(1,R)
-GL(1,R)^+
-SL(1,R)
-SO(2,R)
-O(3,1,R)(Lorentz Group)
-SO(n,1,R)
-HSBG
-Functions Spaces to R(std)
-fC(TS,R(std))
-VS(R(std))
-(CMetricS,d_uni)(이걸로 norm은 못만들고...)
-fCbdd(TS,R(std))
-NVS using uniform norm, sup{|f(x)|}
-BS
-(fC(TS,R(std)), d_uni)로 얻은 top=uniform norm으로 얻은 top
-closed in (fC(TS,R(std)), d_uni)
-fCconti(TS,R(std))
-closed in (fC(TS,R(std)), d_uni)
-fCcontibdd(TS,R(std))
-NVS using uniform norm
-BS
-fCcontiV(TS,R(std))
-closed in (fCcontibdd(TS,R(std), d_uni)
-BS
-fCcontiKS(TS,R(std))
-need not be BS(TS=R(std)넣으면 BS안됨)
Mixed Distribution(discrete과 continuous 혼합)의 예
-전구를 갈아끼우고 스위치를 켜면 q의 확률로 전구가 터지고, p(=1-q)의 확률로 전구가 들어온다. 그리고 불이 들어오는 전구의 수명(T)은 지수분포를 따른다고 할 때,
F(t)=P(T<=t)=0 if t<0,
q, if t=0,
1-p*e^(-1*lambda*t) if t>0
*Exercises
*Lagrange's Theorem의 역이 성립안하는 예(link)
*N_G({g})와 N_G(<g>)가 다른 예(link)
*S1S2=S2S1인데 S1 _< N_G(S2)가 아닌 예(link)
*S1S2가 not subgroup of G인 예(link)
*SNS가 not normal in G인 예(link)
*S1 _< N_G(S2)인데 S1 _<! S1S2인 예(link)
*order(g1)<inf, order(g2)<inf인데 order(g1g2)=inf인 예(link)
*G=G, J=NS, conjugation action on J by G, homo by act, homo(g)가 Inn(NS)의 원소가 아닌 예(link)
*homog:G1->G2, homog(G1) is not normal in G2인 예(link)
*모든 원소가 finite order를 갖고, 임의의 자연수 n을 order로 갖는 g가 항상 존재하는 group의 예(link)
*S<G, Aut(S)의 원소이지만, Inn(S)의 원소가 아닌 예(link)
*TS:T2인데 QS(TS,~)가 not T2인 예(link)
*TS:simply connected인데 QS(TS,~)가 not simply connected인 예
*TS:contractible인데 QS(TS,~)가 not contractible인 예
*TS:locally compact인데 QS(TS,~)가 not locally compact인 예
*bdd인 (MetricS,d)가 not totally bdd인 예
*CR에서 (gcd(a,b))랑 ({a,b})다른 예
*ID인데 not ED인 예
*PID인데 not ED인 예
*ID의 원소 r이 irreducible in R인데 not prime인 예
*Maximal subgroup MS가 존재하지 않는 group G의 예, <Q,+>
*f:R^2(std)->R^2(std)로 봐서는 diff인데 not holo인 complex function인 예
*F(a1,a2)인데 simple extension of F인 예
*Grp(V(G),E(G))가 its complement와 same인 예
*F:not perfect, char(F)=p, irreducible inseparable polynomial f(x) in F[x]인 예(link)
*for every proper prime id of ID, P(x):reducible in (ID/id)[x]인데 P(x):irreducible in ID[x]인 예(link)
*for every proper id of ID, P(x):reducible in (ID/id)[x]인데 P(x):irreducible in ID[x]인 예
*finite extension of F인데 not splitting field over F인 예
*NEF of F인데 not SEF of F인 예(link)
*SEF of F인데 not NEF of F인 예(link)
*p=inf일 때 (Lp)^*이 Lq와 not iiso인 예
*R-Md:finitely generated인데 subMd가 not finitely generated인 예(link)
*gSg^(-1) < S (strictly인) 의 예(link)
*homor:R->R인데 not R-md homomorphism의 예(link)
*f:R->R이 R-md homomorphism인데 not homor인 예(link)
*R:ring, M:left R-MD인데 not right R-MD인 예(link)
*DSMT인데 UDSMT인 예(link)
| 수학정리(Applications, Distance, Index) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Applications, Adjacent, IcMT, dicMT) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Basic Graph Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Combinatorics) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Topological Vector Space, Normed Vector Space) (0) | 2016.02.29 |
*Basic Graph Theory
-G:simple graph, n:order of G, m:size of G, t:the number of triangle of G
-invariant map의 예:order, size, δ(G), d(G), Δ(G), g(G), G(G), components 개수, D(G), r(G), central,
-sum of all degree = 2m
-the number of vertices of odd degree is always even
-d(G) = 2m/n
-r(G)<=D(G)<=2r(G)(link)
-Every G with at least one edge has a subgraph G' s.t. 2*δ(G') > m(G') >= m(G)
-Every G contains a path of length δ(G)
-Every G contains a cycle of at least length δ(G)+1(if δ(G) >= 2)
-Every G containing a cycle satisfies g(G) <= 2*D(G) + 1
-if r(G) <= k and Δ(G) <= d, then n <= d * (d-1)^k * 1/(d-2)
-n >= n_0(δ(G), g(G))
-if δ(G) >= 3, then g(G) < 2 * log_(2)(n)
-if m(G) >= m >= 2 and g(G) >= g, then n >= n_0(m,g)(Alon, Hoory, and Linial 2002)
-(Mader)if m(G) >= 4k, then G has a (k+1)-connected subgraph G' s.t. m(G') > m(G) - 2k(link1)(link2)
-D(G)>=3 이면 D(bar(G)) <= 3(link)
-a_k:dec seq of positive integers with n terms일 때
-a_k:graphical이면
-a_1 <= n-1
-sum over k a_k는 even
-for b_j s.t. a_k majorize b_j, b_j:graphical
-(Characterization of graphical seq, Havel-Hakimi Theorem)
-a_k:graphical
iff a_k의 a_1을 없애고 a_2부터 총 a_1개의 terms에 -1해서 얻은 seq도 graphical
(위 thm을 반복해서 적용, 그러다 negative값이 나오면 not graphical 혹은 graphical한거나오면 됨)
iff sum from i=1 to i=tr(Tb(G)) (a_i + 1) <= sum from i=1 to i=tr(Tb(G)) conj(a_k)_i
(for each i=1,2,...tr(Tb(G)), decdseq(G)_i + 1 = conj(decdseq(G))_i iff G:threshold)
-given fixed n, the graph with the smallest D(G) is K_n, the quantity = 1
-given fixed n, the graph with the smallest md_G is K_n, the quantity = 1
-given fixed n, the graph with the largest D(G) is P_n, the quantity = n-1
-given fixed n, the graph with the largest md_G is P_n, the quantity = (n+1)/3
-G has two vertex having the same degree(link)
-G:self-complementary이면 4|n or 4|(n-1)(link)
-G:bipartite iff G has no odd cycles
-About α(G)(V, independence), τ(G)(V, covering), v(G)(E, matching), γ(G)(V, domination)
-α(G)+τ(G) = n
-ν(G) <= τ(G)
-G:odd cycle이면 ν(G) +1 = τ(G)
-G:even cycle이면 ν(G) = τ(G)
-ν(G) = α(L(G))
-G:isolated-free
-γ(G) <= ν(G)
-G has a minimum dominating set U in which every member u in U has epn(u,U)
-G has a star forest F=(S_n1,...,S_nγ) s.t. every v in V(G) belongs to exactly one star, and the centers of the stars form a minimum dominating set.
-About DfG
-Bipartite
-
-About Split Graph
-About cograph, G:cograph
-any cograph may be constrcted using complement and disjoint union
-cograph is closed under complement, finitely many disjoint union
-bar(G):cograph
-G1:cograph, G2:cograph이면 G1+G2도 cograph
-any connected cograph is a join of two graphs(왜냐하면 G1VG2 = bar(bar(G1) + bar(G2))
-Any Cograph is L-integral
-About Threshold Graph
-G:split and cograph, then G:threshold graph
-(Criteria of threshold)if G:threshold, then decdseq(G)_(i+1) = conj(decdseq(G))_i for all i > tr(Tb(G))
-(Characterization of Threshold Graph)G:Threshold
iff G:obtained from K_1 by a seq of operations (i) add an isolated vertex, or (ii) take the complement
iff G:obtained from K_1 by a seq of operations (i) add an isolated vertex, or (ii) add an dominating vertex
iff decdseq(G) is not majorized by any other decdseq
iff for each i=1,2,...tr(Tb(G)), decdseq(G)_i + 1 = conj(decdseq(G))_i
-About genus
-(Euler's Formula)G:connected with genus(G)=0이면 n - m + r = 2, where r:the number of region from G
(증명은 induction on m, G:tree일때와 아닐 때로 구분)
-if G with genus(G)=0
-m <= 3n - 6(즉 no crossing edges로 그래프 그릴려면 m이 그렇게 클 수가 없음)
-δ <= 5
-if G:maximal planar
-every region is bounded by three edges
-every vertex v is the center of a wheel subgraph induced by v and all vertices adjacent to v.
-δ >= 3
-(Kuratowski's Theorem, Criteria of Planar)
:G가 planar iff G does not contain K_5, K_(3,3), or any subdivision of K_5, or K_(3,3) as a subgraph.
-About subgraph
-Every graph G with at least one edge has a subgraph G' with δ(G') > d(G')/2 >= d(G)/2(link)
-G:eulerian iff G:connected and d(vi):even for all i
-for r:even, G:r-regular이면 G has a 2-factor
-t(G)=t(G-e) + t(G with e) for any edge e
-About generated graph
-bar(K_p)Vbar(K_q)=K_(p,q)
-Every topological minor of G is minor of G(역 성립 안함)
-bar(G1+G2) = bar(G1) V bar(G2)(드모르간 같음)
-bar(G1VG2) = bar(G1) + bar(G2)(드모르간 같음)
-G':sub
-(Characterization of Line Graph)
G:line graph
iff E(G) can be partitioned into a set of cliques with the property that any vertex lies in at most two cliques.
(G에서 pendant말고 다른 vertex생각해보면 그때마다 cliques in L(G)생김)
iff each induced subgraph of G on at most six vertices is a line graph
-(Whitney's Line Graph Theorem)G1:Connected and G2:connected일때
G1 graph-iso G2 iff L(G1) graph-iso L(G2) except for G1=K_(1,3), G2=K_3
-δ(G1)>=4 and δ(G2)>=4이면(connected일 필요 없음) G1 graph-iso G2 iff L(G1) graph-iso L(G2)
-G:connected이면 L(G):connected(역은 성립안함)
-G:connected이고 L(G):regular이면 G:regular or semiregular bipartite
-G:connected이고 G graph-iso L(G)이면 G:cycle
-L(G)의 예
-L(K_(1,n))=K_n
-L(P_(n+1))=P_n
-L(C_n)=C_n
-L(G)의 구조
-|V(L(G))| = m
-|E(L(G))| = 1/2 * [sum over i~j (d(vi)+d(vj)-2)] = (1/2 * {sum of all d(vi)^2}) - m
-G=L(G) and G:connected인 것은 C_n뿐(link)
-About quasi-line graph
-G:L(G') for some G'이면 G:quasi-line graph
-G:quasi-line graph이면 G:claw-free
-About Connectivity
-About tree
-G:tree이면
-m=(n-1)
-G has at least Δ(G) leafs, n>=2
-bipartite, 따라서 bipartite성질을 모두 따른다.
-for vi~vj, d(vi)+d(vj) <= n
-center가 1개 or 2개 존재함(증명은 leaf를 없앨 때마다 e(vi)가 -1 그래서 계속 없애다보면 center되는 애나 애들만이 남음)
-edge1개 지우면 component는 정확히 2개, 각각은 다시 tree됨
-d(vi)=s인 vi를 지우면 components는 정확히 s개, 각각은 다시 tree됨
-항상 {v1,v2,...,vn} enumerate가능 s.t. G[{v1,v2,...,vi}]:connected for every i=1,2,3,..,n and vi has a unique nbd in {v1,v2,...,vi-1}
-For any a in N, te v in V(T) s.t. te! component C of T - v with |C| <= max(n-1-a,a) and all other components C_i of T - v with |C_i| <= a(link)
-G:tree(connected acyclic)(link1)(link2)(link3)(link4)(link5)
iff G:1-edge-connected , i.e. minimally connected
iff G+e have a cycle
iff G:connected with n-1 edge
iff for any vi, vj in G, te! path from vi to vj
-About Binary Tree
-te 1/2 * (n+1) vertices s.t. degree=1
-m>=1/2*(n-1)(n-2) + 1이면 G:connected(link)
-δ(G)>1/2*n - 1이면 G:connected(link)
-G:disconnected이면 bar(G):connected
-G:connected이면
-n >= D(G) * δ(G) * 1/3
-항상 {v1,v2,...,vn} enumerate가능 s.t. G[{v1,v2,...,vi}]:connected for every i=1,2,3,..,n
-G contains a normal tree with any specified vertex as its root(root에서 시작해서 아직 안가본 any vertex로 edge따라 이동, 만약에 그런 점이 없을 경우가 오면, 현재 그 점에 가장 처음에 왔던 edge를 따라 이동, 그리고 그런 점이 없을 경우가 root가 된다면 stop, 이렇게 얻은 tree가 normal이 된다.)
-G contains a normal spanning tree with any specified vertex as its root.
-G has at least n-m connected components(link)
-G:connected이면 m >= n-1
-κ(G) <= λ(G) <= δ(G)(link)
-About cutvertex
-(Characterization of cutvertex)G:connected일 때 TFAE
-v:cutvertex
-te u,w in V(G) s.t. u != v and w != v and u lies on every path from u to w .
-v:a point of articulation of G
-About κ(G)
-κ(P_n) = 1
-κ(C_n) = 2
-κ(tree)=1
-About λ(G)
-λ(P_n)=1
-λ(K_n)=n-2
-λ(C_n)=2
-λ(tree)=1
-About hypergraph
-About Directed
-If dG:acyclic, then [n]로 level assign, with no two vertices have the same level, and if vivj is in E(dG) then ni<nj, 가능!
-If dG:acyclic with a longest path of length k, then k+1 is the smallest number of levels in any level assignment of dG
(즉, dG가 acyclic이면 |longest path|+1개의 숫자써서 level assign가능)
-dG* has no loops
-dG* has no closed directed walks(link)
-TFAE
-dG has no cycles
-every strong components of dG consists of one point
-dG is isomorphic to dG*
-dG and dG* have the same number of points
-Every walk is a path
-It is possible to order the points of dG so that AdMT(dG) is UMT(link)
-It is possible to assign levels ni to the points vi in such a way that if vivj is in E(dG) than ni<nj
-dG^t has no loops, asymmetric(arc (a,b)가 있으면 (b,a)는 없음), transitive
-About competition graph C(dG)
-(Opsut 1982)It is an NP-complete problem to compute c#(G)
-c#(G) >= cec(G) - n + 2
-If G without K_3, then c#(G) >= m - n + 2
-If G without K_3 and conncected, then c#(G) = m - n + 2
-Every chordal graph G has c#(G) <= 1 with = iff G has no isolated vertices
-Every interval graph has c#(G) <= 1
-(Opsut 1982)c#(G) <= cec(G)
-(Opsut 1982)c#(G) >= min over vi cvc(N_G(vi)), N_G(vi)를 induced subgraph of G로 보고 계산
-If G is L(G') for some graph G', then cvc(N_G(vi))<=2
-If G is L(G') for some graph G', then c#(G) <= 2 with = iff every v in V(G), cvc(N_G(v)) = 2
-About Matching
-M:maximum matching iff G has no M-augmenting path(link)
-(First Tutte's Theorem)G has a perfect matching iff for any subset U of V(G), odd(G-U)<=|U|
-for every component C with odd order and v in V(C), C - v has a perfect matching
-(Tutte-Berge Formula)ν(G) = 1/2 * min over U:subset of V(G) {(|U| + |V(G)| - odd(G-U))}
-(Konig's Matching Theorem)G:bipartite이면 ν(G) = τ(G)(link)
-(Hall's Marriage Theorem)G:bipartite with partition (A,B) of V(G)일 때,
te M covering A iff for any subset U of A, |N_G(U)|>=|U|(link)
(Marriage Theorem이라 불리는 이유는 다음과 같은 상황을 생각하자. A:남자들의 모임, B:여자들의 모임, 각 남자 mi는 결혼하면 행복할 여자들 Bi가 존재한다. (즉, Bi:nonempty subset of B) 그리고 여자들은 자기를 좋아해주는 남자와 결혼하면 행복하다고 하자. 이때 모든 남자들이 행복한 결혼생활을 할 수 있게 matching시켜줄 수 있는 필요충분조건을 제시함)
-(Gale-Shapley Theorem)Every bipartite graph has a stable matching
-for r>=1, G:r-regular bipartite이면 G has a perfect matching
-G:3-regular and has no bridge이면 G has a perfect matching
-About Coloring
-col(G) = deg(G) + 1
-χ(G) <= χ_l(G) <= col(G) <= Δ(G) + 1.
-χ(G) <= aχ(G)
(aχ(G) and col(G) are incomparable)
-About k-color-critical
-G:k-color-critical이면
-δ(G) >= k-1
-About Homomorphism, Automorphism, Group etc
-Aut(G)=Aut(bar(G))
-χ(G)=the minimum number a s.t. te f:homomorphism from V(G) to V(K_a)
-End(G)는 monoid가 된다.
-Aut(C_n) giso D_2n(아마도?)
-S_[v] <= Aut(J(v,k,i)), as a subgroup
(사실 = 일 때가 많다, 증명은 어렵지만)
-n!/|Aut(G)| = |isomorphism class of G| (즉, vertices개수가 n인 graph중에서 G와 isomorphic인 애들의 개수)
-About Matrices
-MT:irreducible iff dG(MT):strongly connected(link)(other link)
-About Space of a graph
-Let E be a subset of E(G). Then TFAE
-E is in CS(G)
-E is a disjoint union of cycles in G(empty일 수도)
-all vertex degree of (V,E) is even
| 수학정리(Applications, Adjacent, IcMT, dicMT) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Examples, Exercises) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Combinatorics) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Topological Vector Space, Normed Vector Space) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Topology, Algebraic Topology, Differential Geometry, Metric Space) (0) | 2016.02.29 |
*Applications
*Combinatorics
-About counting, p:permutation on J, |J|=n, P:permutation groups on J
-def
-the cycle index monomial of p is a monomial in variables a_i, prod over j=1 to j=n a_j^b_j, where a_j:variables, b_j:p를 cycle decomposition했을 때 길이가 j인 cycle의 개수
-ex) p=(1)(234)(5)(67)인경우 the cycle index monomial of p = a_1^2 * a_2^1 * a_3^1
-the cycle index polynomial of P := 1/|P| * sum over p in P (the cycle index monomial of p)
(즉, the average of the cycle index monomials of its elements)
(어떤 permutation on J는 permutation on J'으로 바꿔서 생각할 수 있다. 가령 C_4:반시계 방향 rotation, e, 90, 180, 270, 같은 경우 J={1,2,3,4}에서 action을 생각할 수도 있지만, J'={{1,2}, {2,3}, {3,4}, {1,4}}, J는 Square 1개에 각 꼭짓점에 시계방향으로 1,2,3,4를 새긴 경우, J'은 같은 square의 선분을 가리킴
the cycle index polynomial of C_4 on J와 the cycle index polynomial of C_4 on J'은 다르다.
전자는 C_4의 원소를 J에서의 permutation으로 보고, 후자는 C_4의 원소를 J'에서의 permutation으로 본다.)
(따라서 the cycle index는 단순히 Group에만 의존하는게 아니라 Group action에 의존, 즉 acting되는 set도 중요)
(Z(G,X)라 쓰도록 하자.)
-G acts on X일 때, for each x in X, wt:X->Y s.t. wt(x)=wt(gx) for all g in G, 즉 X의 orbit은 같은 값가지는 function
-ex)G=C_4, X={all squares with each vertex with colored black or white}, wt(x)=b^i * w^j, where i=# of blacks, j=# of whites
-G acts on X with wt, wt(Orbit)=wt(x) for some x in Orbit, well-defined
-G acts on X with wt, the wt enumerator := sum over all orbit O wt(O)
-thm
-(Burnside Lemma)
G acts on X일 때 the number of orbits = the average number of points fixed by an element of G(link)
-(Weighted Version of Burnside Lemma)
G acts on X with wt일 때 the wt enumerator = the average wt of points fixed by an element of G(link)
-(Polya Enumeration Theorem)(link)
-G acts on X, Y=finite colors={c_1,c_2,...,c_k}, then G acts on Y^X
-G acts on Y^X with wt:=prod over i=1 to i=k c_i^d_i, where d_i:=# of c_i in element of Y^X일 때
the wt enumerator := Z(G,X) with a_i replaced by (c_1^i + c_2^i + ... + c_3^i)
(좌변을 구하기 위해서 우변을 이용하란 의미고, 우변의 전개식에서 원하는 (c_1^d_1, c_2^d_2,..., c_k^d_k)조합의 계수를 읽어 냄으로써 counting
-Examples, Burnside, Weighted Burnside, Polya 구분하기 위한 예제모음
-회전하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 4명의 사람 배열, 서로 다른 배열의 개수?
->Burnside, G=C_4, X={일렬로 4명을 배열한 모든 경우}, |X|=24, the number of orbits이 답,
1/4*4!=3!
-회전하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 각 꼭짓점에 black, white 둘중 1개 색칠, 서로 다른 배열의 개수?
->Burnside, G=C_4, X={일렬로 4개의 점을 색칠한 모든 경우}, |X|=16, the number of orbits이 답,
1/4*(16+2+4+2)=6
-회전하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 각 꼭짓점에 R,G,B 셋중 1개 색칠, 서로 다른 배열의 개수?
->Burnside, G=C_4, X={일렬로 4개의 점을 색칠한 모든 경우}, |X|=3^4=81, the number of orbits이 답,
1/4*(3^4 + 3 + 3^2 + 3)=24
-회전하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 각 꼭짓점에 R,G,B 셋중 1개 색칠, (R,G,B)=(2,1,1)개 사용된 서로 다른 배열의 개수?
->Polya, G=C_4, X={1,2,3,4}, Z(G,X)구한 다음 a_i에 (r^i + g^i + b^i)대입하여 r^2g^1b^1의 계수구하면 됨
-회전 및 대칭하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 각 꼭짓점에 R,G,B 셋중 1개 색칠, (R,G,B)=(2,1,1)개 사용된 서로 다른 배열의 개수?
->Polya, G=D_8, X={1,2,3,4}, Z(G,X)구한 다음 a_i에 (r^i + g^i + b^i)대입하여 r^2g^1b^1의 계수구하면 됨
-About gf
-Motive:
sequence자체나 recursive formula는 양이 너무 많다. 따라서 대응되는 gf의 explicit는 간단하고 정보를 다 담고 있다.
-Basic
-From {a_n} to gf
-recursive formula 양변에 적당히 x^sth을 곱하고 더하고 하면 얻을 수 있다.
-From gf to {a_n}
-partial fraction
-About prod of gf
-A(x):gf_{a_n}, B(x):gf_{b_n}, C(x):gf_{c_n}, where c_n:=the cauchy prod of a_n and b_n일 때
A(x)B(x)=C(x)
-A(x):gf_{a_n}, B(x):gf_{b_n}, C(x):gf_{c_n}, D(x):gf_{d_n}, where d_n:=...일 때
A(x)B(x)C(x)=D(x)
-About composition of gf
Case 1(link)
a_n:=# of ways to build a certain structure on a set E, |E|=n, a_0 = 0
h_n:=# of ways to split [n] into an unspecified number of disjoint nonempty intervals, then build a structure of the given kind on each of these intervals, h_0 = 1
Then A(x):gf_{a_n}, H(x):gf_{h_n}일 때 H(x)=1/(1-A(x))
Case 2(link)
a_n:=# of ways to build a certain structure on a set E, |E|=n, a_0 = 0
b_n:=# of ways to build a second structure on a set J, |J|=n, b_0 = 1
g_n:=# of ways to split [n] into an unspecified number of nonempty intervals, then build a structure of the given kind on each of these intervals, and then build a structure of the second kind on the set of the intervals, h_0 = 1
Then G(x) = B(A(x))
-분할 관련
-gf_#ptt(n)(x) = sum over n>=0 #ptt(n)x^n
= prod over n>=1 1/(1-x^n) = (ef(x))^(-1)(link)(link, 수렴성관련)
=1+ sum over k>=1 q^k / (1-q)(1-q^2)...(1-q^k)
=1+ sum over k>=1 q^k / (1-q^k)(1-q^(k+1))...(link)
-ef(q) = gf_(#ptt(n) with distinct even parts - #ptt(n) with distinct odd parts)(q)
-(PTT, <_lexi):total order
-(PTT, <_d):partial order
-{ptt s.t. ptt=ptt(n)}
bijective {conjugacy classes of S_[n]}
bijective {irreducible characters of S_[n]}
bijective {Ferrar diagram, boxes 개수 = n}
-gf_#ptt(n)_o = gf_#ptt(n)_d (link)
-ptt(n)_o = ptt(n)_d
-Q-analogue관련
-DF(m,n)_q관련
-analytic on unit disk on C
-(Pentagonal Number Theorem)DF(q,inf)_q = ef(q) = sum over k in [-inf,inf] (-1)^k * q^P(5,k)(link)
-Polygonal Number관련
-P(5,n)=(3n-1)*n*1/2
-
-Tableaux관련
-(Hook Length Formula)shape을 보고 가능한 ST를 count하는 formula, link참조(link)
-SST:associative monoid
-x _r> sst is a sst
-(Inverse Process of Row bumping)
:added box의 위치와 그 숫자(y)를 안다면, inverse가능(원래 sst와 무엇을 insert했는지 알 수 있음)
-y의 row 바로 윗 row에서 y보다 작은 놈들 중 가장 오른쪽에 있는 놈을 y로 바꾸고 원래 y'을 그 윗 row에 apply
(Inverse Process of Column bumping도 가능)
-(Robinson-Schested Correspondence, RS-correspondence)
:Row or Column bumping이 inversible이므로 다음의 Bijection을 얻는다. {all words of length n} bijective SST_(ptt(n)) x ST_(ptt(n)) for any ptt(n) in PTT(n)
-{all words of length n on [n]} bijective ST_(ptt(n)) x ST_(ptt(n)) for any ptt(n) in PTT(n)
-(Row Bumping Lemma)for a sst, a _r> sst with bumping route R_a by a and new box A, b _r> (a _r> sst) with bumping route R_b by b and new box B
:if a<=b, then R_b is strictly right of R_a 이고 B:strictly right of A 이고 B:weakly above A
:if a>b, then R_b is weakly left of R_a 이고 B:weakly left of A 이고 B:strictly below A
(한 경우만 외우면 나머지는 완전 반대임)
-sliding of skew sst is also skew sst
-계속하면 sst를 얻음
-(Inverse Process of Sliding)
:sliding의 result와 removed된 empty box의 마지막 위치를 안다면 inverse가능
-empty box의 left, above를 비교하여 큰것과 위치이동, left와 above가 같다면 above를 이동
-(Unique of Rect(skew sst))for any skew sst, any choice of series of inside corners, the result sst is same.
-for any sst, positive integer x, word_r(x _r> sst) is knuth equivalent to word_r(sst)x
-word_r(sst1*sst2 using def1) is knuth equivalent to word_r(sst1)word_r(sst2)
-sliding해도 word는 knuth equivalent
-Rect(skew sst) is the unique sst s.t. word_r(sst) is knuth equivalent to word_r(skew sst)
-Every word is knuth equivalent to the word of a unique sst
-word=x1x2x3...xk인 경우 xk _r> (...(x2 _r> x1)...)인 sst의 word와 knuth equivalent, 이 sst를 sst(word)라 쓰자.
(construction of sst는 위의 방법대로 하면되는데 uniqueness is not obvious)
-If word_r(skew sst1) is knuth equivalent to word_r(skew sst2), then Rect(skew sst1) = Rect(skew sst2)
-About TbR_[m]
-Z-Md, associative ring, not commutative
-TbR_[m] riso to Z[x1,x2,...xm] and as Z-Md, using f:TbR_[m]->Z[x1,x2,...,xm] f(sst)=x^sst
-K_(shape, weight)를 해석하는 방법
-정의대로, shape, weight를 가지는 sst 개수
-shape을 weight=(a1,a2,...,al), l개로 partition하는 방법의 수,
-(Stirling's Formula)
:lim n->inf n!/{(sqrt(2*pi*n) * n^n * e^(-n)}=1, 즉 n!을 근사할 수 있음
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|---|---|
| 수학정리(Applications, Basic Graph Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Topological Vector Space, Normed Vector Space) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Topology, Algebraic Topology, Differential Geometry, Metric Space) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Group Theory, Ring Theory, Field Theory, Module Theory, Vector Space, Algebra Theory) (0) | 2016.02.29 |
*Topological Vector Space(NVS는 따로, TVS, LCTVS, LBTVS, LKTVS까지 정리)
-TVS에서
-Basic Properties(X:TVS(F), x in X, U:open in X, E:subset of X, a in F)
-(a1+a2)E<a1E+a2E
-translation by x는 X->X인 homeo이다.
-따라서 x+U은 open, E+U도 open(for any subset E)
-local basis for 0만 알면 사실상 top모든 원소 다 아는 셈
-multiplication by a는 X->X인 homeo이다.
-aU도 open
-if U:nbd(0), then aU:nbd(0)
-f:F^n x X^n -> X, f((a1,a2,...,an),(x1,x2,...,xn))=sum of aixi일 때 f는 conti
-X:T2 iff every singleton subset is closed
-다음의 성질을 만족하는 local basis for 0(B_0)는 항상 존재
-if U1 in B_0, te U2 in B_0 s.t. U2+U2<U1 and U2:symmetric(induction쓰면 U2+U2+...+U2<U1도 가능)
-if E1,E2 in B_0, te E3 in B_0 s.t. E3<E1교E2(Basis로써 성립해야됨)
-if x in E1 in B_0, te E2 in B_0 s.t. x+E2<E1(translation이 homeo니까)
-if x in X and E1 in B_0, te a in F s.t. x in aE1(absorbing이란 소리)
-if E1 in B_0 and 0<|a|<=1, aE1<E1 and aE1 in B_0(balanced란 소리)
-(X가 T2이면)intersection of all E1 in B_0 = {0}
-X:T2이면 T3도 된다.
-cl(LS):LS
-LCTVS에서
-LBTVS에서
-LKTVS에서
-f-dim
-TVS(F):T2 iff every singleton is closed
-TVS(F)에서 || ||은 conti이다.(? || ||이란 norm인것 같은데 어떤 norm을 가리키는거지? 나중에 체크)
-f-dim LS는 closed이다.
-F=R(std)일 때만 되는 것들
-R(std)에 norm을 줄 수 있으므로 TVS(R)는 NVS(R)된다.
-F=C일 때만 되는 것들
-C에 norm을 줄 수 있으므로 TVS(C)는 NVS(C)된다.
*Normed Vector Space
-기본적인 성질들
-NVS에서 vector addition, scalar multiplication, || ||은 conti이다.
(Every NVS is TVS)
-cl(LS)도 LS(link)
-|| ||_1과 || ||_2가 equivalent하면 같은 topology를 만듦
-NVS:f-dim
iff every closed and bdd subset is compact(link)
-f-dim NVS인 경우
-모든 norms은 equivalent(link)
-dim(NVS)=n이면 NVS tiso R^n(std)
-dim(NVS1)=dim(NVS2)=n이면 NVS1 tiso NVS2
-reflexive
-|| ||_1과 || ||_2가 equivalent하면 (NVS,|| ||_1)과 (NVS, || ||_2)는 tiso
-VS가 || ||_1에서 BS가 되고, || ||_2에서도 BS가 된다면, || ||_1과 || ||_2가 equivalent iff te C>0 s.t. ||x||_1 <= C||x||_2 for any x in VS
(즉 각 norms에서 complete되는 norms끼리는 equivalent 판단을 한방향으로만 보여도 된다.)
(증명은 identity를 이용하여 Open Mapping Theorem 적용)
-(Completion of Normed Vector Space)Every NVS has unique completion up to iiso
(구체적으로는 BS가 존재 s.t. f:NVS->BS linear, injective, isometry, f(NVS):dense in BS인 f가 있는 것)
(혹은 dd(NVS(F))와 Ev_NVS(F)를 생각해서 Ev_NVS(F)(NVS(F))<dd(NVS(F))이고 dd(NVS(F))가 BS인건 아니까, cl(Ev_NVS(F)(NVS(F)))생각하면 됨)
-(Riesz's Lemma)(link)
:For S:proper closed linear subspace of NVS, let 0<a<1, te x_0 in NVS s.t. ||x_0||=1 and diam(x_0,S)>=a
(a=1일땐 성립 안함)
-for X:nvs1, Y:nvs2, XxY:nvs with norm ||(x,y)||:=||x||_1 + ||y||_2
-이 때 XxY:BS iff X:BS and Y:BS
-about BS
-(Characterization of BS(F))NVS가 complete iff every abs cv인 series가 cv(link)
-f-dim NVS는 BS이다.
-f-dim NVS에서는 임의의 two norms가 equivalent
-f-dim LS는 closed in NVS(단, base field가 R(std)이나 C일 때만, 만약 Q일 때 생각하면 성립안됨)
-BS의 closed LS는 BS이다.(complete에서 closed subset도 complete되니까)
-X:BS일 때, X:reflexive iff (X)^*:reflexive(link)
-about LT(NVS1,NVS2)인 F
-||F||
=inf{C>=0 s.t. ||F(x)||_2<=C*||x||_1}
=sup over nonzero x in NVS1 {||F(x)||_2/||x||_1}
=sup over unit x in NVS1 {||F(x)||_2}
=sup over ||x||<=1 in NVS1 {||F(x))||_2}
-TFAE(link)
-F:bdd
-F:conti at one pt in NVS1
-F:conti at 0 in NVS1
-F:conti
-F:uniformly conti on NVS1
-{x in NVS1 s.t. ||F(x)||_2<=1}:nonempty interior
-dim(NVS1)<inf이면 F:bdd
-about LT(BS1,BS2)(X:BS1, Y:BS2, U:NVS1, V:NVS2)
-(Extension of Conti Linear Map on nvs)S:dense in X, G:S->Y가 linear, bdd이면 te! F s.t. F:X->Y, linear, bdd, ||F||=||G||(link)
(G가 compact였으면 F도 compact임)
-F:X->Y가 linear, bdd이고 onto이면 for any eps>0, te a>0 s.t. {y in Y s.t. ||y||<a} < F({x in X s.t. ||x||<eps})(link)
-(Open Mapping Theorem)F:X->Y가 linear, bdd이고 onto이면 open이다.(link)
(따라서 F가 injective이기도했다면 X tiso Y)
-(Closed Graph Theorem in BS)F:X->Y가 linear일 때 F:bdd iff F has a closed graph.
-for a set E, C:={all f:E->Y s.t. sup over x in E ||f(x)||<inf}, for f in C, ||f||:=sup over x in E ||f(x)||라 할 때 (C,|| ||)은 BS가 된다.
-(Uniform Boundedness Principle)a collection C:={f:X->U s.t. f:bdd and linear}일 때 if for all x in X, sup over f in C ||f(x)||:finite이면
sup over f in C ||f||:finite이다.(즉 x마다 bdd이면 X에서 bdd, pointwise bdd->uniform bdd)(link)
-for f:X->Y, f:strongly-strongly conti iff f:weakly-weakly conti(link)
-about LTC(nvs1,nvs2)
-VS가 된다.
-about LTCconti(nvs1,nvs2)
-NVS가 된다.
-dim(LTCconti(nvs1,nvs2)=dim(nvs1)*dim(nvs2)
-LTCconti(nvs1,nvs2):BS iff nvs2:BS(link1)(link2)
-LTCconti(nvs,F):BS(F=R(std) or C이므로 BS이니까)
-about NVS^*, Dual space관련(X:NVS(F), S:linear subspace of X)
-(Hahn-Banach Extension)for S:LS of NVS g:bdd LF(S)일 때 te f:bdd LF(X) s.t. ||f||=||g|| and f=g on S(link)
(Extension of Conti Linear Map과 비교하면, 정의역이 좀더 작아도 쓸수 있는 대신 공역이 애초에 좀더 작은 형태)
-for nonzero x1 in NVS, te bdd LF(NVS) f s.t. ||f||=1 and f(x1)=||x1||(link)
(f-dim NVS이면 LF(NVS)가 다 bdd이니까 당연)
(NVS:nonzero reflexive일 때 (NVS)^*에 적용하면 for f in (NVS)^*, te x in NVS s.t. ||x||=1 and f(x)=||x||)
-for v1,v2,...,vn:lind in nvs and a1,a2,...,an in F, te bdd LF(nvs) f s.t. f(vi)=ai
-||x_0||=sup over unit f in (nvs)^* {|f(x_0)|}=sup over ||f||<=1 in (nvs)^* {|f(x_0)|}
-for S:linear subspace of nvs, x_0 s.t. diam(x_0,S)>=a_0>=0 for some a_0, te bdd LF(nvs) f s.t. f=0 on S and f(x_0)=a_0 and ||f||<=1(link)
-for S:linear subspace of nvs, x_0 s.t. diam(x_0,S)=a_0>0 for some a_0, te bdd LF(nvs) f s.t. f=0 on S and f(x_0)=a_0 and ||f||=1(link)
-for S:linear subspace of nvs, x_0 s.t. diam(x_0,S)>0, diam(x_0,S)=max{|f(x_0)| over f:bdd LF(nvs), ||f||<=1 and f=0 on S}
-(nvs)^*가 separable이면 nvs도 separable(countable dense subset)(link)
-Ev_nvs는 isometry도 된다.(linear isometry)(link)
-weak^*관련
-X:reflexive iff weak^* top of X^* = weak top of X^*
-{f_n}:cv weak^* to f이고 X:BS이면 {f_n}:bdd(norm sense) and ||f||<=liminf ||f_n||
-(Alaoglu's Theorem){f in X^* s.t. ||f||<=1}:weak^* compact(link)
-E:weak^* compact iff E:weak^* closed and norm bounded(where X:BS일 때, 증명은 conti(compact):compact이랑, UBP)
-about topologies(X:NVS, top1:X를 TVS로봤을 때 top, top2:weak top from (NVS)^*, top3:induced from norm)
-top2<top3, top1<top3
-즉 weakly open이면 strongly open, weakly closed이면 strongly closed
-top2:T2(즉 hausdorff)
-for f:LF(X)일 때 f:conti in top2 sense iff f:conti in top3 sense
-for x in X, basis at x는 eps, f1,f2,...,fk in (NVS)^*로 만들어짐(유한개의 linear functional)
-top2=top3 iff dim(X)<inf(link)
-for E:nonempty convex subset, E:weakly closed iff E:strongly closed(link)
-E:stongly bdd iff E:weakly bdd(즉 bdd는 weak sense나 norm sense나 같네)(link)
-about cv weakly
-for {x_n} in X, {x_n}:cv weakly to x를 for each f in (X)^*, f(x_n):cv to f(x)로 정의가능
-for {x_n}:cv weakly to x라면, {x_n}:bdd(norm sense) and ||x||<=liminf ||x_n||
-{x_n}:cv weakly to x, and {f_n}:strongly cv to f in (NVS)*이면 {f_n(x_n)}:cv to f(x) in R(std)
-about NVS(C)(NVS(R(std))와 비교 대조 위주로)
-
-IPS(F)관련(symmetric bilinear form에서의 성질 참고)
-inner product로 norm을 만들 수 있다.
-(Cauchy-Schwarz inequality)|<x,y>|<=||x||||y||, 여기서 norm || || 은 from < >
-If X:NVS(F) with norm || || satisfying parallelogram law, then X can be IPS(F) with <x,y>:=1/4 * (||x+y||^2 - ||x-y||^2) (F가 C일 땐 다른 형태임)
-for E subset of IPS(F), (E)^ㅗ:closed LS and E<(E)^ㅗㅗ, (E)^ㅗㅗ:closed LS containing E
-for LS of IPS(F), LS교(LS)^ㅗ=0(direct sum은 안될 수 있음, X=direct sum of LS, (LS)^ㅗ은 안될 수 있음)
-항상 maximal orthonormal set E={e_i}이 존재한다.(countable인지를 모름)
-E^ㅗ=0
-for any x in IPS(F), x=sum over i <x,e_i>e_i
(maximal orthonormal set이 basis인건 아닐 수 있다. finite linear combination으로 표현하는게 아니다보니)
-any two maximal orthonormal sets have the same cardinality.
-(Best Approximation)for E:nonempty complete convex subset of IPS(F), for any x in IPS(F) te! x_0 in E s.t. ||x-x_0||=dist(x_0,E)
-for LS:complete of IPS(F), for any x in IPS(F), 위에서 구한 x_0에 대해 x-x_0 in (LS)^ㅗ
-(Projection Theorem)for LS:complete of IPS(F), IPS(F)=direct sum of LS, (LS)^ㅗ
-P_LS:IPS(F)->LS, orthogonal projection map 정의 가능
-P_LS의 성질
-linear
-Im(P_LS)=LS
-idempotent
-ker(P_LS)=(LS)^ㅗ
-(LS가 nonzero)||P_LS||=1
-P_LS in HLT(IPS(F))
-for LS:complete of IPS(F), (LS)^ㅗㅗ=LS
-for X:IPS(F), {x_n}:cv to x, {y_n}:cv to y일 때, <x_n,y_n>:cv to <x,y>(cv라는게 in the sense <,>)
-for D:dense subset of X:IPS(F), for all x in D <x,y>=0이면 y=0
-(Bessel's Inequality)for {u_n}:orthonormal seq in X:IPS(F), for any x in X, (sum from n=1 to n=inf |<x,u_n>|^2) <= ||x||^2
-sum from n=1 to n=inf <x,u_n>u_n이 cv to some y for any x in X
(증명은 y_m:=x - sum from n=1 to n=m |<x,u_n>|u_n , <y_m,y_m>>=0이용)
-(Gram-Schmidt Process)basis의 각 원소가 norm이 1이고 서로 orthogonal하게해서 새 basis를 얻는 process
-cl(IPS(F))(as a metric space, completion)은 HS(F)가 된다.
-IPS(R(std))에서
-f-dim에서
-for f in LT(IPS(R(std))), f:isometry iff f의 MT는 OMT
-IPS(F)가 G-Md이고 G-invariant한 inner product <,>가 있고 LS:G-subMd일 때, (LS)^ㅗ도 G-subMd가 된다.
(IPS(F)가 G-Md이고 G-invariant한 inner product <,>가 있으면, for any g in G, rep(G)(g):unitary된다.)
-IPS1(F)->IPS2(F)관련
-LT(IPS1(F),IPS2(F))관련(X:IPS1(F),Y:IPS2(F),f:LT(X,Y), c in F)
-f:preserve inner product iff f:preserve norm(link)
-Y=X일 때
-f:unitary iff te adj(f) and adj(f):inverse of f
-adj관련
-if S:subspace of X s.t. S:f-invariant and te adj(f), then S^ㅗ:adj(f)-invariant.
-f in HLT(IPS(F))일 때
-for any x in X, <f(x),x>:real
-egv(f):real
-{egv(f,egv_i)}:orthogonal(즉 다른 egv의 eigenvector는 orthogonal)
-{u_n}:countable or finite complete orthonormal seq s.t. u_n:egv(f)이면 대응되는 {egv(f)}는 모든 egv(f)를 포함한다.
-conti인 f일 때
-||f||=sup over ||x||=1 {|<f(x),x>|}(link)
-
-IPS(F)->F(as VS(F))
-LF관련(X:IPS(F), S:subspace of X, g:S->F, f:V->F)
-IPS1(F), IPS2(F)가 f-dim일 때
-LF관련(X:IPS(F), S:subspace of X, g:S->F, f:V->F)
-f:LF일 때, for any v in X, f(v)=<v,a> for some a in X(Orthonormal basis잡고 표현한거 생각)
({b_i}:orthonormal basis일 때 a=sum ct(f(b_i))b_i라 두면 된다. )
-LT(IPS1(F),IPS2(F))관련(X:IPS1(F),Y:IPS2(F),f:LT(X,Y), c in F)
-X,Y:ipiso iff dim(X)=dim(Y)
-Y=X일 때
-f:unitary iff f의 matrix 표현 MT_f in some ordered orthonormal basis is a UnMT
-adj관련
-te! adj(f)
-for B={b1,b2,...,bn} orthonormal basis of X일 때, f의 matrix 표현 MT_f라 할 때 MT_f_(i,j) = <f(b_j),b_i>
-for B={b1,b2,...,bn} orthonormal basis of X일 때, MT_adj(f)=ct(MT_f)
-adj(f1+f2)=adj(f1)+adj(f2)
-adj(cf)=ct(c) * adj(f)
-adj(f1 o f2)=adj(f2) o adj(f1)
-adj(adj(f))=f
-f in HLT(IPS(F))일 때
-HS(F)관련
-for {u_n}:orthonormal seq in X:HS(F), for any x in X일 때 sum from n=1 to n=inf <x,u_n>u_n은 cv to some y in X
(증명은 cauchy인 것만 보이면 되는데 그건 Bessel's inequality의 좌항이 수렴하는 것 이용)
-for LS:closed of HS(F), HS(F)=direct sum of LS, (LS)^ㅗ
-(Riesz Representation Theorem)f:HS(F)->(HS(F))^*, f(x)=<y,x>, f가 isometrical isomorphism, 즉 HS(F) iiso (HS(F))^*, (F=C일 땐 약간 다름)
-HS(F)는 reflexive
-dim(HS(F))=inf일 때
-HS(F):separable관련
-iff |any maximal orthonormal set|=aleph_0
-any two separable infinite-dimensional HS(F) are isomorphic
-X:separable이면 for {u_n}:countable maximal orthonormal set, for any x in X일 때 sum from n=1 to n=inf <x,u_n>u_n = x
-HS1(F)->HS2(F)관련
-LT(HS1(F),HS2(F))관련(X:HS1(F), Y:HS2(F), f:LT(X,Y), c in F)
-Y=X일 때
-adj관련
-f in HLT(HS(F))일 때
-conti인 f일 때
-(Hilbert-Schmidt Theory, Main Theorems)(link1)(link2)(link3)(link4)
:dim(X)=inf이고 f(nonzero map)가 compact이고 injective이면
-te {(u_n,v_n)} s.t.
-{(u_n,v_n)}:countable
-(u_n,v_n):eigensolution of f
-all u_n are real, gm이 finite, lim n->inf u_n=0
-all eigenvalues of f are in {u_n}
-{v_n}:complete orthonormal seq
(증명과정을 보면 dim(X):not inf여도 비슷한 얘기 가능)
-(Courant Minimax principle)
:X:HS(R)이고 f가 compact이고 strictly monotone이면
-te {(u_n,v_n)} s.t.
-{(u_n,v_n)}:countable
-(u_n,v_n):eigensolution of f
-all u_n are real, gm이 finite, u_1>=u_2>=...>0, dim(X)=inf이면 lim u_n=0
-all eigenvalues of f are in {u_n}
-{v_n}:complete orthonormal seq
-u_m=max min <f(u),u>, where max over M in L_m = {S교L s.t. L:m-dimensional LS of X}, S={x in X s.t. ||x||=1}, min over u in M
(즉, eigenvalue를 찾는 방법 제시)
| 수학정리(Applications, Basic Graph Theory) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Applications, Combinatorics) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Topology, Algebraic Topology, Differential Geometry, Metric Space) (0) | 2016.02.29 |
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| 수학정리(Set Theory, Measure Theory) (0) | 2016.02.29 |
-Space, subspace관련
-어떤 subsets을 포함하는 가장 작은 top생각가능(즉, top의 intersection은 top됨)
-top들의 collection에 의해 generated top도 생각가능
-Order Topology관련
-T4(따라서 T3,T2 이런 것도 다 됨)
-least upperbound property가 성립 iff 모든 closed interval(not singleton)은 compact
-linear continuum가 성립 iff TS가 connected
-linear continuum이 성립할 때 구체적으로는
-V는 connected이고 따라서 전체집합, intervals, rays모두 connected됨
-locally compact
-T4
-well ordered인 경우(least upper bound가 성립)
-T5
-Subspace관련
-From TS to S
-모든 S에 대하여
-strict total order relation
-open
-closed
-basis
-closure(E<S, cl(E) in S =cl(E) in TS intersection S)
-T2
-T2.5
-T3
-T3.5
-CN
-T5
-f:X->Y, conti, S<X이면 g:S->Y도 conti
-f:X->Y, conti, f(X)<S1<Y이면 g:X->S1도 conti
-first-countability
-second-countability
-covering map(f:TS1->TS2, covering map일 때 TS2의 subspace S2를 잡고,f:f^(-1)(S2)->S2가 covering map도 된다는 것)
-S가 open in TS일 때만
-LKT2(LK만 되는지는 모름)
-S가 closed in TS일 때만
-compact
-paracompact
-LK
-lindelof
-T4
-기타
-S with induced order은 S as subspace랑 다르다. (S가 convex in TS이면 가능)
-From S to TS
-모든 S에 대하여
-f:X->S, conti, S<Y이면 g:X->Y도 conti
-S가 open in TS일 때만
-open
-S가 closed in TS일 때만
-closed
-NTS
-Product관련
-Prod(S_i) = subspace of Prod(TS_i)
-From TS_i to Prod(TS_i) (곱이 countable개이냐 아니냐/product top이냐 box top이냐 구분)
-open(box top에서만 됨)
-closed
-basis
-T2
-T3
-T3.5(product top에서만 됨)(link)
-f:TS->Prod(TS_i)의 conti(product top에서만 됨)
-seq의 수렴성(product top에서만 됨)
-connected(product top에서만 됨)
-(Tychonoff's Theorem)compact(product top에서만 됨, product를 uncountable개 하더라도)
-path-connected(product top에서만 됨)
-TS1,TS2:path-connected일 때 FHG(TS1xTS2,x1,x2) giso FHG(TS1,x1)xFHG(TS2,x2)
-Countable Prod일 때
-first-countability
-second-countability
-separable
-metrizable
-complete
-totally bdd(각 TS_n가 MetricS)
-Finite Prod일 때
-covering map
-From Prod(TS_i) to TS_i
-Using projection
-open
-f:TS->Prod(TS_i)의 conti
-seq의 수렴성
-metrizable
-connected
-T2
-T3
-T4
-Quotient Space, QS(TS,~)관련
-From TS to QS(TS,~)
-TS:connected이면 QS(TS,~):connected
-TS:path-connected이면 QS(TS,~):path-connected
-TS:locally connected이면 QS(TS,~):locally connected(link)
-TS:compact이면 QS(TS,~):compact
-TS:T3이고 E:closed in TS이면 QS(TS,E):T2(T3가 아니라 T2가 맞음)
-TS:T4이고 E:closed in TS이면 QS(TS,E):T4
-From QS(TS,~) to TS
-QS(TS,~):connected, 각 class가 connected in TS이면 TS도 connected
-LKT2관련
-LKT2의 해석방법
-compact nbd
-pre-K open set
-TS1:LKT2 iff te TS2 s.t. TS1<TS2 and TS2-TS1 is singleton and TS2:KT2(link)
(TS1:LKT2일 때, TS2를 ocl(TS1)이라 표기하기로 하자. 왜냐하면 추가한 point가 TS1의 limit pt가 됨)
(TS2는 유일 up to homeomorphic)
(TS1:open subspace of ocl(TS1))
-E1:open containing x일 때, te E2:open containing x s.t. E2:pre-K, cl(E2)<E1(link)
-E1:open containing K일 때, te E2:open containing K s.t. E2:pre-K, cl(E2)<E1
-Baire
-CGT
-T3
-T3.5
-KT2관련(KT2도 일단 LKT2이므로 LKT2의 성질들 만족)
-isolated pt가 하나도 없으면 uncountable space이다.(link)
(isolated pt란, {pt}:open일 때, 그 pt를 isolated pt라 한다.)
-BaireS(link)
-LKT2됨(LKT2 성질들 다 만족)
-T3
-T4
-Metrizable iff second-countable
-CGT관련
-CGT의 예:LK, K, first-countable, MetricS
-f:CGT->TS가 for any K, restriction of f on K is conti이면 f는 conti
-Retract of TS관련
-TS:T2이면 Retract of TS:closed in TS(link)
-Classification of Surfaces
-Polygonal region을 pasting edges해서 얻은 space는 T2 compact connected surface가 된다.
(quotient는 compact,connected을 preserve하고, 원래 polygonal region이 2-dim이므로)
(finite polygonal regions이면 connected빼곤 다됨, quotient가 closed map이므로 T2 preserve함)
-만약 모든 vertex가 1개의 vertex로 mapping되면(by quotient), 얻어진 surface의 FHG는
FP(Z, label개수만큼)/<scheme을 한바퀴 돈것>
-two schemes가 equivalent란, 얻어진 quotients가 homeo일 때
-scheme연산(equivalent를 얻는) 것으로는
-cut
-paste
-relabel
-permute
-flip
-cancel
-uncancel
-한개의 polygonal region으로 만든 T2 compact connected surface는 homeo S2 or n-fold torus or m-fold projective plane
-compact surface관련
-모든 compact surface는 triangulable
-모든 connected compact surface는 하나의 polygonal region을 pasting edges해서 얻을 수 있다.
-따라서 connected compact surface는 classification됨
-{n-fold torus, n=1,2,3,..} bij {compact orientable Riemann Surfaces}
-Subset관련(open, closed, compact, connected, convex, dense...)
-operation on subset관련
-cl은 monotone, commute with finite union, product
-cl취해도 변하지않는 성질들
-connected
-diam
-E의 interior, exterior, boundary는 TS를 partition함, 이때 interior, boundary는 cl(E)를 partition함
-(cl(E))^c = int(E^c) / (int(E))^c = cl(E^c) (드모르간 법칙 같네)
(따라서 Baire Space의 정의를 closed sets이용해서 state할 수 있고, 혹은 open sets을 이용할 수도 있다.)
(E:dense in TS iff E^c has empty interior)
-Bd(E) = empty iff E:open and closed
-Limit point관련
-E1<E2, x:limit point of E1이면 x:limit point of E2
-Connected관련
-C가 connected TS란,
-there is no separation이 정의
(separation (U,V)란, U와 V가 disjoint, nonempty, open, union=TS을 가리킴)
-empty set is connected
-every singleton subset set is connected
-separation G1,G2에 대해 G1의 limit pt는 G2에 속하지 않는다. (G2의 limit pt는 G1에 속하지 않는다.)
(즉 Separation은 separated sets이다.)
-TS:connected iff te no separation
-TS:connected iff clopen sets은 TS랑 empty뿐
-G1,G2:separation of TS, S:connected이면 S<G1 or S<G2
-S_i가 connected일 때, union S_i도 connected(단 common pt가 있을 때)
-(Intermediate Value Theorem)f:C->TS with order top, conti이고 f(a)<r<f(b)이면 te c in C s.t. f(c)=r
-connected component는 closed이다.
(open일 때도 있는게, component가 유한개거나, locally connected이면 된다.)
-path-connected관련(connected임을 보이는 쉬운 방법중 하나)
-TS:path-connected이면 connected이다.(역은 성립 안함)
-S_i가 path-connected일 때, union S_i도 path-connected(단 common pt가 있을 때)
-path-connected components는 connected components에 포함된다.
(S:path-connected라해서 cl(S)가 path-connected인 것은 아니다.)
(path-connected component는 closed일 필요도 없고 open 일 필요도 없다.단, locally path-connected이면 open은 된다.)
-totally disconnected관련
-Compact관련
-empty set은 compact
-compact set is closed if TS:T2
-모든 singleton set은 compact
-TS:compact iff every collection of closed sets in TS having finite intersection property, intersection of all elements in the collection is nonempty
-finite union of compact is compact
-LK
-CGT
-(Tube Lemma)
-TS1xTS2, TS2:compact, N:open in TS1xTS2 containing x_0 x TS2이면 te E s.t. N contains ExTS2, x_0 is in E, E:open in TS1
(꼭 N이 x_0 x TS2를 contain할 상황 말고도 subset x TS2형태를 contain하더라도 적용가능, 얻은 E를 union해버리면 되므로)
-S1<TS1, S2<TS2, S1과S2 둘다 compact, N:open in TS1xTS2 containing S1xS2이면 te E1,E2 s.t. E1:open in TS1, E2:open in TS2, S1xS2 < E1xE2 < N(link)
(두번째 것이 첫번째 것을 포함하지만, 첫번째 것만으로도 자주 나오니 구분해서 적음)
-(Extreme Value Theorem):f:K->TS with order top, conti이면 te c,d in K s.t. f(c)<=f(x)<=f(d) for all x in K
-비슷한 compact관련
-compact이면 limit point compact이다.
-compact이면 lindelof이다.
-Metrizable일 땐, compact=limit point compact=sequentially compact
-limit point compact의 closed subset은 limit point compact
-paracompact관련
-TS:metrizable이면 paracompact
-TS:RTS and lindelof이면 paracompact
-TS:T2 and paracompact이면
-TS:T4
-for any finite open cover {E_i}, te a partition of unity on TS dominated by {E_i}
-smooth mnf는 paracompact
-Convex관련(오직 Strict Total Order Relation을 가진 E에서만 생각)
-Local Property관련
-Locally Connected관련
-TS:locally connected iff every connected components of every open in TS is open
-Locally Path-Connected관련
-TS:locally path-connected iff every path-connected components of every open in TS is open
-TS:locally path-connected이면 path-connected component=connected component, 게다가 open(link)
-Locally Compact관련
-E:compact->E:locally compact
-Locally Homeomorphic관련
-every homeomorphism is local homeomorphism
-local homeomorphism은 open map, conti(link)
-bijective local homeomorphism은 homeomorphism
-f:TS1->TS2, local homeomorphism일 때 preserve하는 성질들
-TS1이 locally path-connected이면 f(TS1)도 locally path-connected
-TS1이 locally connected이면 f(TS1)도 locally connected
-TS1이 locally compact이면 f(TS1)도 locally compact
-TS1이 first-countable이면 f(TS1)도 first-countable
-Countability관련
-first-countable관련
-TS:가 first-countble이고 E<TS일 때 x:limit point of E이면 te {x_n} in E s.t. cv to x(역은 first-countability아니어도 성립)
-f:X->Y, X가 First-Countability이면 Sequentially conti->conti
-TS:first-countable이면 TS는 CGT
-Second-Countable관련
-TS:second-countable이면 모든 discrete subspace는 countable이다.
-second-countable이면 separable이다.(metrizable이면 역도 성립)
-second-countable이면 lindelof이다.(metrizable이면 역도 성립)
-second-countable이면 first-countable이다.
-TS:second-countable이고 E:uncountable이면 uncountable many pts in E는 E의 limit pt이다.
(즉 second-countable이면 uncountable E들은 limit pts를 uncountable개 갖는다 in E)
-Lindelof
-countable TS이면 lindelof이다.
-compact이면 lindelof이다.
-Separable
-TS:separable이면 every collection of disjoint open sets는 countable
-Separation관련
-포함관계
-T0>T1>T2>T2.5>CT2>T3>T3.5>T4>T5>T6
-R>CR
-N>CN>PN
-T0(2pt, topologically distinguishable)관련
-T1(2pt, separated, separated란 each가 cl(the other)와 disjoint, or open sets으로도 해석 가능)관련
-(iff)모든 finite set은 closed
-E의 limit L iff open(L) intersection E는 infinitely many pts을 포함
(first-countability는 L을 포함하는 open set의 개수가 countable개 있음을 보장해주고, T1은 intersection의 원소가 무한개임을 보장해준다.)
-T2(2pt, separated by open nbd)관련
-seq의 limit은 기껏해야 1개
-TS:T2S iff TSxTS의 diagonal은 closed in TSxTS
-compact subspace는 closed됨
-compact와 pt는 separated by open nbd
-2 compact는 separated by open nbd
-f:TS1->TS2 conti, g:TS1->TS2 conti, TS2:T2일 때, {x in TS1|f(x)=g(x)}는 closed in TS1
(따라서 f:TS->TS conti, TS:T2일 때, fixed points의 모임은 closed in TS됨)
-T2.5(2pt, separated by closed nbd)관련
-CT2(2pt, separated by conti function)관련
-R(closed와 pt, separated by open nbd)관련
-(iff)closed와 pt에 대해 separated by closed nbd
-(iff)for any x in TS, any open U containing x, te open V containing x s.t. cl(V)<U
-(T1도 되면)T3라 한다.(T0,T1,T2 중 어느것이 되도 상관없음, 이후 일관성 때문)
-TS:T3이고 lindelof이면 T4
-TS:T3이고 second-countable이면 T4, CN, T5, metrizable, imbedded in R^N(product top or uniform top)
(metrizable임을 보일 때, TS가 imbedded in R^N (with product top or uniform top)임을 보인다.)
-CR(closed와 pt, separated by conti function)관련
-closed와 compact가 주어지면 separated by conti function 가능
(단, closed와 closed일 때까지로는 확장 못함)
-(T1도 되면)T3.5라 한다.(T0,T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-TS:T3.5 iff TS homeo S of [0,1]^J for some J.
([0,1]^J 는 KT2됨)
-TS:T3.5 iff TS has a compactification
-TS:T3.5이면 te! SCcl(TS) up to homeo s.t. for any f:TS->KT2, conti, f can be uniquely extended to SCcl(TS), conti.
-N(2closed, separated by open nbd)관련
-TS:NTS
iff for any closed set E1 in TS, any open E2 s.t. E1<E2, te open E3 containing E1 s.t. cl(E3)<E2(link)
iff (Urysohn's Lemma)2closed, separated by conti function(link1)(link2)
iff (Tietze Extension Theorem)for any closed E in TS, for any conti f:E->[0,1],
f has extension g:TS->[0,1], conti, restriction of g on E=f(link)
(Tietze Extension Theorem에서 [0,1]대신 [a,b], (a,b), R(std), [0,1]^n형태도 가능)(link)
-(T1도 되면)T4라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-TS:T4이고 connected이면 |TS|=1 or uncountable이다.(확인필요 꼭 T4여야하는지)
-T4
-(Existence of Partitions of Unity)for any finite open cover {E_i}, te a partition of unity on TS dominated by {E_i}
-CN(2separated sets, separated by open nbd)관련
-(iff)모든 subspace가 N
-(T1도 되면)T5라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-PN(2closed, precisely separated by conti function)관련
-(iff)모든 closed set이 Gd
-(T1도 되면)T6라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-Sequence관련
-Directed Set, Net, Net Convergence관련
-Net convergence를 도입시 좋은 점
-x in cl(E) iff te seq {x_n} in E cv to x(단 TS가 first-countable일 때 only if가 성립-(*))
-f:sequentially conti iff f:conti(단 domain이 first-countable일 때 only if가 성립-(*))
-TS:sequentially compact iff TS:compact(단 TS가 Metric일 때 only if가 성립-(*))
((*)에서 seq를 net으로 바꾸면 단~~ 부분이 필요없어지게 된다.)
-Map관련(Conti, Homeo, Open map, closed map, quotient map, Projection,)
-Projection의 성질
-open map(closed map는 아닐 수 있음)
-conti
-not closed(TS1xTS2->TS1에서 TS2가 compact라면 closed map됨, (link))
-conti criteria, f:X->Y
-X의 open개수가 많고 Y의 open개수가 적을수록 conti될 가능성이 높아짐
-Use closed in Y
-Use open in Y
-Use basis in Y
-Use subbasis in Y
-f(cl(E))<cl(f(E))
-Using Pasting lemma, open sets in X(uncountable개여도 상관없음)
-Using pasting lemma, finite closed sets in X
-f가 conti이면 sequentially conti(역은 domain TS가 first-countability필요)
-(Closed Graph Theorem in TS)Y:KT2일 때는, f가 conti iff the graph of f is closed in XxY가 성립(if는 K인걸 이용, only if는 T2인 걸 이용)(link)
-open map, closed map, continuous map, quotient map의 성질(f(TS1)에서의 성질들이다 continuous image관련해서는)
-f:TS1->TS2, conti,
-f:(TS1,C4(TS1))->(TS2,C4(TS2))가 conti면 MF도 된다.
-f:S(<TS1)->TS2, TS2:T2일때, extension of f on cl(S)는 unique(link)
-f(connected)=connected
-f(compact)=compact
-f(path-connected)=path-connected
-f(lindelof)=lindelof
-f(dense)=dense
-f(separable)=separable
-f:open이기도 하면
-f(basis)=basis of f(TS1)
-f(locally compact)=locally compact
-f(first-countable)=first-countable
-f(second-countable)=second-countable
-f:surjective이면 f:quotient map
-f:closed이기도 하면
-f(T4):T4(link)
-f:surjective이면 f:quotient map
-TS2:order top이고, g:TS1->TS2, conti일 때, {x in TS1|f(x)<=g(x)}:closed in TS1, h=min(f,g):conti(link)
-f:quotient map일때
-restriction of quotient map to class or union of classes
-class or union of classes가 open혹은 closed였으면 restriction도 quotient
-quotient map이 open or closed map이었으면 restriction도 quotient
-f:injective이기도하면 f:homeomorphism
-(Characteristic Property of Quotient Map)
:g:TS2->TS3:conti iff g o f:conti
-f:TS1->TS2, closed
-TS1:T1이면 f(TS1):T1
-U:open in TS1, E2:subset in TS2, s.t. f^(-1)(E2)<U이면 te V:open in TS2 s.t. E2<V, f^(-1)(V)<U(link)
-proper map관련
-TS2가 first-countable이고 pt마다 pre-K nbd를 가지고 f:proper conti이면 f는 closed
-f:TS1->TS2, proper되기위한 충분조건
-TS1:compact and TS2:T2이고 f가 conti이면 f는 proper
-f가 proper이고 E<TS1이 saturated wrt f일 때 restriction of f on E는 proper
-TS1,TS2가 T2이고 f가 conti이고 te g:left inverse of f s.t. g:conti이면 f는 proper
-Topological Properties관련
-모음
-connectedness
-compactness
-local connectedness
-metrizability
-first-countable
-second-countable
-lindelof
-separable
-fundamental group(giso일 듯? 이후 수정)
-Compactification관련
-TS has a compactification TS2이면 TS는 T3.5
-Functions Collection관련(혹은 Functions Seq관련)(Domain과 Range에 Metric이 없어도 되는 경우)
-fC(J,TS)에서(top of pt cv정의가능)
-seq {f_n} in fC(J,TS) cv in the top of pt cv iff {f_n}:pt cv.(fC(J,TS)의 product top과도 같음)
-fC(TS1,TS2)에서
-fCconti(TS1,TS2)에서(KG-top정의가능)
-top of pt cv < KG-top
-eval:LKT2 x fCconti(LKT2,TS) -> TS는 conti
-With Measure
*Algebraic Topology+Differential Geometry
-Homotopy, Homotopy of Paths관련
-about =_homotopic
-equivalence relation을 만든다
-f1 =_homotopic f2 of TS1 into TS2, g1 =_homotopic g2 of TS2 into TS3일 때 g1(f1) =_homotopic g2(f2)(link)
-TS1->R^2(std)인 경우
-straight-line homotopy를 통해서 임의의 conti function f1,f2가 =_homotopic임을 알 수 있다.
-특히 f1, f2의 image가 convex set에서만 생긴다면 straight-line homotopy의 image모두 convex set안에 유지
-about [TS1,TS2]
-[TS1, [0,1]] has a single element(link)
-[[0,1], path-connected TS] has a single element(link)
-TS2:contractible이면 [TS1,TS2] has a single element(link)
-TS2:path-connected더라도(contractible보단 약한), TS1:contractible이면 [TS1,TS2] has a single element(link)
-about contractible
-contractible TS는 path-connected이다.(link)
-TS1:contractible iff for any TS2, for any f:TS2->TS1, g:TS2->TS1, 둘다 conti, f =_homotopic g
-TS:contractible이라해서 strong deformation retract singleton이 존재하는건 아님, zigzag예 생각
-about =_phomotopic(1개의 TS의 성질 관심)
-equivalence relation을 만든다.
-path1의 final이 path2의 initial인 paths끼리 product연산(*)을 줄 수 있다.
(별말없이 path1*path2라 썻다면 path1의 final=path2의 initial인 상황)
-[path1]*[path2]=[path1*path2]로 정의하면 phomotopic classes에 product연산(*)을 줄 수 있다.
-phomotopy path1,path2(in TS1)에 conti인 k:TS1->TS2를 합성하면, phomotopy k(path1), k(path2)가 된다.
-conti인 k:TS1->TS2가 있을 때 k(path1*path2)=k(path1)*k(path2)가 성립
-product연산 on phomotopic classes은 groupoid properties를 만족(link)
(group axioms가 성립하지 않는 유일한 다른점은 final과 initial이 같은 path classes사이에서만 연산된다는 점)
-path in TS를 n개의 path로 쪼개기 가능, [path]=[path1]*[path2]*...*[pathn]
-[0,1]->R^2(std)인 경우
-straight-line homotopy를 통해서 임의의 path1, path2 with same initial, final가 =_homotopic임을 알 수 있다.
-특히 path1, path2의 image가 convex set에서만 생긴다면 straight-line homotopy의 image모두 convex set안에 유지
-R^2(std)-{0}에서는 성립안함. UO1에서 시계방향, 반시계방향 path가 not phomotopic
-About Fundamental group(FHG(TS,x))
-FHG(TS,x)는 group이 된다.
-path from x to y가 있다면 FHG(TS,x)->FHG(TS,y)인 giso를 얻을 수 있다.
-TS가 path-connected이면 for any x, y in TS FHG(TS,x) giso FHG(TS,y)
(TS가 path-connected인 경우에 Fundamental Group에 대해서 이론전개하는 이유이다.)
(TS가 path-connected이면 FHG(TS,x)에서 base point 언급이 필요없을 것 같지만, base point 사이 path결정에 따라 giso가 달라지므로 일반적으로 TS가 path-connected여도 base point언급을 한다.)
-E:path-connected component(subspace)인 경우 FHG(E,x)=FHG(TS,x)가 된다.
-TS:path-connected이면 for x in TS, FHG(TS,x)가 abelian iff giso from FHG(TS,x) and FHG(TS,y)는 unique(link)
-TS:simply connected인 경우
-FHG(TS,x)=trivial
-TS의 임의의 두 paths with same initial, final인 path1, path2는 phomotopic이다.
-FHG은 topological property이다.
(homeo:TS1->TS2, homeo(x)=y일 때 FHG(TS1,x) giso FHG(TS2,y))
-(Pre Van-Kampen Theorem)(link)
:if TS=union of E_i, E_i:path-connected and open, E_i교E_j:path-connected, te x in all E_i, then any loop in X based at x is homotopic to a product of loops based at x each of which is contained in E_i
-(Van-Kampen Theorem)
:if TS=union of E_i, E_i:path-connected and open, E_i교E_j:path-connected, te x in all E_i,
then the homog F:FP(FHG(E_i,x))->FHG(X,x) is surjective where i_i:E_i->X, inclusion이므로 homog from i_i인 f_i:FHG(E_i,x)->FHG(X,x)이고 Universal mapping property of free product에 의해 만든 F
그리고 E_i교E_j교E_k for any i,j,k가 path-connected이면 ker(F)=the normal subgroup of FP(FHG(E_i,x)) generated by all elements of the form i_(ij)(w)i_(ji)(w)^(-1) for w in FHG(E_i교E_j,x), where i_(ij)와 i_(ji)는 inclusions:E_i교E_j->E_i, :E_j교E_i->E_j에 의해 induced homog
-(Adjoining 2-cells)(link)
-따라서 어떤 TS의 FHG를 구하고 싶을 때
-covering map
-deformation
-van-kampen
-scheme을 구한 다음, label개수만큼 UO1을 wedge product한 다음, scheme을 adjoin해서 구할 수 있다.
-FHG(P(R^2))=Z/2Z
-FHG(2-torus)=ZxZ
-FHG(Klein bottle)=FP(Z,Z)/<aabb> where Klein bottle:aba^(-1)b를 scheme으로 가지는 것
-(FHG Functor is surjective)For any G:group, te X:TS s.t. FHG(X)=G using presentation of G and adjoing 2-cells
-About homo from (h,x_0)
-h1:TS1->TS2, h1(x_0)=y_0, h1:conti이고 h2:TS2->TS3, h2(y_0)=z_0, h2:conti일 때,
homo from (h2 o h1, x_0)=homo from (h2,y_0) o homo from (h1,x_0)
-homo from (identity,x_0)는 identity group homomorphism이다.
-h가 homeomorphism일 땐 homo from (h,x_0)는 giso가 된다.
-h:TS1->TS2, h:conti이고 TS1:path-connected였다면 homo from (h,x_0)에서 x_0로 뭘 택하든 같은 homomorphism을 얻는다.
(path-connected까진 아니어도 TS1에서 path가 있었다면... 다음 참고 link)
-About Same homotopy type
-Homeomorphic한 2 spaces끼린 same homotopy type
(역은 성립안함, same homotopy type을 가진다 하더라도 homeo하진 않을 수 있다.)
-{TS_i}에서 same homotopy type이란 relation을 주면 equivalence relation된다.
-Fiber bundle관련
-(E,p,B):F-bundle일 때
-p^(-1)(b) homeo F
-p:open
-따라서 p는 quotient map(근데 이게 원래 정의보다 강력하지 않음, 그냥 open conti surjective로 아는게 도움됨)
-for any open V in B, (F, p^(-1)(V), restriction of p on p^(-1)(V), V)또한 f-bundle된다.
-(E,p,B):R^k(std)-vector bundle일 때
-(conti or smooth)local frame for E over V가 있으면 local section on V가 (conti or smooth)한지 판단가능, using component functions wrt given local frame(link)
-vf_U의 경우는 local frame for TM over U를 coordinate chart on M과 R^n(std)상의 partial derivatives의 inverse로 이용해서 판단가능
-cvf_U의 경우는 위의 local frame의 dual basis로 이용해서 판단가능
-(M1,p,M2):smooth R^k(std)-vector bundle일 때
-M:smooth manifold일 때, smooth R^k(std)-vector bundle만드는 방법(link)
-transition function의 정의와 성질, link참고(link)
-(M1,p1,M), (M2,p2,M)사이의 smooth bundle map f:M1->M2는 다음을 만족한다.
-f:SGS1(M)->SGS2(M)은 C^inf(M)-linear
-g:SGS1(M)->SGS2(M)이 C^inf(M)-linear이면 te smooth bundle map f:M1->M2 s.t. f=g
-p:submersion
-SGS(M2):VS(R(std)) and C^inf(M2)-Md
-(Extension of smooth local section over closed to global)for A:closed in M2, f:A->M1 s.t. smooth and section of p, U:open containing A일 때 te g in SGS(M2) s.t. g=f on A and support of g < U
-{Smooth local frame} bijective {Smooth local trivialization}(->가 어려움)(link1)(link2)
-(M1,p,M2):trivial iff it admits a smooth global frame
-for a (smooth)coordinate chart (V,g) for M2, smooth local frame for M1 over V, te a (smooth)coordinate chart (p^(-1)(V),f) for p^(-1)(V)(link)
(즉, (M1,p,M2)에서 M2에서 좌표잡겠다고 (smooth) coordinate chart on V갖고오면 p^(-1)(V)에서도 좌표논의 가능)
-(TM,p,M)관련
-vf:smooth iff for any U:open in M, for any f in C^inf(U), vf_U(f):smooth
-f:C^inf(M)->C^inf(M):derivation iff f is of the form vf_M for some smooth vector field vf
-srv-bundle of rank n where n=dim(M)
-transition function은 Jacobian matrix가 된다.
-M:parallelizable iff (TM,p,M):trivial
-VF(M), derivation의 collection으로 보면
-for F:M1->M2, smooth, vf1 in VF(M1), vf2 in VF(M2)일 때, vf1,vf2:F-related iff vf1(f o F)=vf2(f) o F for any f in C^inf(V), V:any open in M2
(즉 F-related판정을, vf를 derivation으로 보아 판정 가능)
-for F:M1->M2, diffeo, vf1 in VF(M1), te! vf2 in VF(M2) s.t. vf1,vf2:F-related(vf2(F(p))=pf_p(F)(vf1(p)))
-Lie R-A된다.
-for vf1,vf2 in VF(M), [vf1,vf2]의 계산은, 각각을 먼저 coordinate로 표현하면 쉬워진다.(link)
-Lie R-A이면서 C^inf(M)-Md인 걸 생각하면 다음 공식얻는다.
for f,g in C^inf(M), vf1,vf2 in VF(M), [fvf1,gvf2]=fg[vf1,vf2]+(fvf1g)vf2-(gvf2f)vf1(link)
-for F:M1->M2, smooth, vf1,vf3 in VF(M1), vf2,vf4 in VF(M2), vf1,vf2:F-related and vf3,vf4:F-related일 때 [vf1,vf3],[vf2,vf4]:F-related
-(CTM,p,M)관련
-cvf:smooth iff for any U:open in M, any vf_U, (cvf,vf_U):U->R(std)가 smooth
-local frame for M over U가 있으면 local coframe을 만들 수 있다. using duality 이 때 얻은 coframe을 dual coframe to the given frame이라 함.
-for U:open in M, x in M, f in C^inf(U), df_x는 smooth cvf_(U,x)이다.
-(Properties of df)(U:open in M, f,g in C^inf(U), a,b in R(std),
-d(af+bg)=adf+bdg
-d(fg)=fdg+gdf
-d(f/g)=(gdf-fdg)/g^2 on the set where g != 0
-if Im(f)<J, J:interval in R(std), h in C^inf(J), then d(h o f) = (h' o f) df
-df=0 iff f is constant on each component of M
-df_p(v) is the best approximation f(p+v)-f(p)
-f in C^inf(M), r:J->M, smooth curve in M일 때 (f o r)'(t) = df_(r(t))(r'(t))(link)
-for F:M1->M2, smooth, cvf2 in CVF(M2)일 때 we can define cvf1 in CVF(M1) s.t. cvf_p = pb_(F(p),F)(cvf2_F(p))
(cvf2가 smooth이면 cvf1도 smooth하게 가능)
-for F:M1->M2, smooth, g in C^inf(M2), h in CVF(M2)(link)
-pb_(F)(dg)=d(g o F)
-pb_(F)(gh)=(g o F) pb_(G)(h)
-cvf:conservative iff cvf:exact
-cvf:exact이면 cvf:closed(따라서 exacteness체크 쉬움, 게다가 모든 charts가 아니라 M을 cover하는 charts collection에 대해서만 보여도 충분함)
-cvf:closed이면 exact이다는 domain(M)의 모양에 depends
-star-convex open in R^n(std)이면 성립
-every closed cvf is exact on any simply connected manifold
-(Local Exactness of Closed Covector Fields)cvf:closed on M이면 every p in M has a nbd(p) on which cvf:exact
-for f:M1->M2, local diffeo일 때 pb_(f)은 closed cvf를 closed cvf로, exact cvf를 exact cvf로 mapping
-cvf:exact일 때 potential은 여러개 있을 수 있으나 상수만큼만 차이남
-Covering관련
-TS1:covering space of TS2 with covering map f:TS1->TS2일 때, for any y in TS2, f^(-1)(y) has a discrete topology induced from TS1
-covering map f:TS1->TS2이면
-surjective
-continuous
-f:local homeomorphism
-f:open map
-g:TS2->TS3가 covering map이고 g^(-1)(z):finite set for all z in TS3이면 f o g도 covering map(link)
-f(x1)=x2이고
-(Existence of Lift(path), uniqueness)path:[0,1]->TS2, path(0)=x2일 때 te! lift(path) to TS1 s.t. lift(path):a path and lift(path)(0)=x1(link1)(link2)
-(Existence of Lift(phomotopy), uniqueness)F:[0,1]x[0,1]->TS2, conti, F(0,0)=x2일 때 te! lift(F) to TS1 s.t. lift(F):conti and lift(F)(0,0)=x1
(F가 phomotopy였으면 lift(F)도 phomotopy됨)
-path1:[0,1]->TS2, path2:[0,1]->TS2가 phomotopic이면 lift(path1) to TS1, lift(path2) to TS1도 photomopic
-TS1:path-connected이면 lifting correspondence_(f,x1):FHG(TS2,x2)->f^(-1)(x2)은 surjective이다.(link)
-TS1:simply connected이면 liffting correspondence_(f,x1):FHG(TS2,x2)->f^(-1)(x2)은 bijective이다.(link)
-homo from (f,x1)은 injective이다.
-S:=homo from (f,x1)(FHG(TS1,x1)), lifting correspondence_(f,x1) induce g:FHG(TS2,x2)/S->f^(-1)(x2) and g:injective
(TS1:path-connected이면 g:bijective까지도 됨)
-l:loop in TS2 based x2일 때 [l] in S iff lift(l) to TS1은 a loop in TS1 based x1
-가장 쉬운 예: f:R(std)->UO1(subspace of R^2(std)), f(t)=(cos(2*pi*t),sin(2*pi*t))
-From TS1 to TS2
-
-From TS2 to TS1
-T2
-T3
-T3.5
-locally compact hausdorff
-compact(단, covering map f:TS1->TS2, f^(-1)(y):finite for all y in TS2인 경우만)
-Universal covering관련
-(Universal Covering이라 부르는 이유)TS1:universal covering space of TS2일 때, for any g:TS3->TS2 covering map, te h:TS1->TS3 covering map
(즉 Universal covering space는 다른 covering space를 cover한다. 즉 cover 중에서 가장 넓은 개념)
-(Existence of Universal Covering Space)if TS:connected and locally simply connected이면 te universal covering space of TS
-Retraction관련
-retraction(TS,S):conti일 때
-quotient map이 된다.
-S를 retract of TS라 부른다.
-inclusion:S->TS를 f라 하면 homo from (f,x):injective for any x in S
-Topological Group관련(*는 group의 operation으로보자)
-자주 쓰이는 함수관련
-f:TGxTG->TG, f(g1,g2)=g1*(g2)^(-1):conti
-conjugation by g, left multiplication by g, inversion, 3개다 TG->TG인 homeo
-{all SME(e)}는 nbd basis됨, 즉 for any nbd(e), te nbd2(e) in {SME s.t. SME=nbd(e)} s.t. nbd2(e)<nbd(e)
-left multiplication by any element가 homeomorphism이므로 {all SME(e)}만 이용하면 많은 문제 해결됨
-TG가 discrete top을 가진다 iff {e}:open
(포인트는 이 명제 자체가 아니라, TG에서는 nbd(e)에 대해서만 생각하면 된다는 것이 포인트)
-for any g in TG, for any nbd(g), te SME(e) s.t. SME(e)*g*SME(e) < nbd(g)
-for any nbd(e) and n:자연수, te SME(e) s.t. (SME(e))^n < nbd(e)
-For any subset E, cl(E)=intersection E*SME(e) over all SME(e)=intersection SME(e)*E over all SME(e)=intersection SME(e)1*E*SME(e)2 over SME(e)1, SME(e)2
-cl(subTG):subTG(subgroup이 된다는 게 포인트)
-cl(NS):NS(normal이 유지된다는 게 포인트)
-Topological Manifold관련
-smoothness는 not topological property
-T2가 정의상 필요한 이유는 TS에서 T2가 필요한 것과 마찬가지, limit의 유일성, finite set의 closedness가 필요
-Second-countable이 필요한 이유는 partitions of unity의 존재성보일 때 등등
-top n-mnf이 동시에 top m-mnf이 될 수는 없다.(Invariance of Domain참고)
-모든 top n-mnf
-has a countable basis of pre-K coordinate balls
-locally compact
-locally path-connected(이것이므로 아래 3개가 성립)
-locally connected
-top n-mnf:connected iff top n-mnf:path-connected
-path-connected components = connected components
-connected components가 각각이 모두 open subset이고 top n-mnf가 된다.
-connected components의 개수가 at most countable
-for any x in top n-mnf, |FHG(top n-mnf,x)|:countable
-Smooth Manifold관련(Topological Manifold+Smooth Structure)
-T4
-second-countable
-paracompact
-homeomorphic인데 not diffeomorphic인 mnf들이 존재한다. 즉 mnf를 구분 짓는데에 smooth structure도 필요
-smooth chart는 모두 diffeo이다.(공역을 치역으로 제한하면)
-function on mnf(M:mnf)
-C^inf(M)은 VS(R(std))이다.
-for smooth f:M1->M2, pb(f):unital homor가 된다.
-(Fundamental Theorem for Line Integral of cvf)for f in C^inf(M), r:[a,b]->M, piecewise smooth curve in M일 때
lint over r df = f(r(b)) - f(r(a))
-(Existence of Smooth Partitions of Unity)for any open cover {E_i}, te a partition of unity {f_i} on TS dominated by {E_i}
(적당한 C^inf(M) 원소 잡을 때 쓰임)
-(Existence of Bump Function)for any U:open in M, A:closed in U, te f:smooth bump function for A supported in U(Partitions of unity쓰면 됨)
-(Extension Lemma)for any U:open in M, A:closed in U, f:A->R^k(std), smooth일 때
te F:M->R^k(std) s.t. restriction of F on A = f and support of F < U
-(Inverse Function Theorem for Manifolds)
(가정을 smooth말고 C^1으로 줄일 수도 있을 듯)
:f:M1->M2가 smooth이고 pf_p(f)가 bijective이면 te nbd(p) and nbd(f(p)) s.t. f|nbd(p)는 diffeo 게다가 pf_(f(p))(f^(-1))=(pf_p(f) )^(-1)
(만약 g:M1->M2, smooth, immersion and submersion이면 g:local diffeo를 알 수 있다.)
(pf가 원래 smooth map에 영향을 주는 예가 된다.)
-(Rank Theorem for Manifolds)
:for dim(M1)=m1, dim(M2)=m2, f:M1->M2가 smooth with constant rank k
for each x in M1, te smooth charts (V1,g1) for M1 centered at x and (V2,g2) for M2 s.t. (g2 o F o g1^(-1))((x1,x2,...,xm))=(x1,x2,...,xk,0,0,...,0)
(즉 smooth map이 아주 간단해짐, 그리고 image가 rank-dimensional, 이 theorem때문에 rank가 의미가 있는 것)
(마찬가지로 pf가 원래 smooth map에 영향을 주는 예가 된다.)
-for smooth f:M1->M2, M1:connected, TFAE
-for any p in M1, te smooth charts (V1,g1) containing p, (V2,g2) containing f(p), s.t. (g2 o F o g1^(-1))((x1,x2,...,xm))=(x1,x2,...,xk,0,0,...,0) for some k
-F has constant rank
-for smooth f:M1->M2, S:embedded submanifold of M2, Im(f)<S이면 f:M1->S도 smooth
-for smooth f:M1->M2 with constant rank
-f가 surjective이면 f는 submersion
-f가 injective이면 f는 immersion
-f가 bijective이면 f는 diffeomorphism
-(Equivariant Rank Theorem)
:M1:transitive smooth LG-space, M2:smooth LG-space, F:M1->M2 smooth, equivariant이면 F has constant rank,
그리고 level set은 closed embedded submanifolds of M1
-submersion관련(f:M1->M2가 submersion)
-product of mnfs->mnf, projection과 srv-bundle의 map p가 대표 submersion예
-closed under composition
-f:open map
-every p in M1 is in the image of a smooth local section of f
-if f:surjective, then f:quotient map
-for g:M2->M3, if f:surjective submersion, then g:smooth iff g o f:smooth
-for f:surjective submersion, if g:M1->M3:smooth, constant on the fibers of f, then te! h:M2->M3 s.t. h:smooth and h o f = g
-(uniqueness of smooth manifold quotient by surjective submersion)
:for f1:M1->M2, f2:M1->M3, 둘다 surjective submersions s.t. constant on each other's fibers, te! g:M2->M3 s.t. g:diffeo, g o f1 = f2
-immersion관련
-smooth curve f:interval->mnf with f'(t):nonzero for all t in interval이 대표 immersion예
-closed under composition
-f:M1->M2가 immersion이면 locally embedding이다.(for any p in M1, te nbd(p) in M1 s.t. restriction of f onto nbd(p):smooth embedding)
-smooth embedding관련
-inclusion:mnf->product of mnfs가 대표 smooth embedding예
-for smooth embedding f:M1->M2, M1 diffeo f(M1)
-f:M1->M2가 injective immersion이라해서 smooth embedding되지 않는다.(link)
(M1이 compact or f:proper란 조건이 붙으면 smooth embedding됨)
-closed under composition
-function on C^inf(M)(M:mnf, p in M)
-for smooth f:M1->M2, pb(f):C^inf(M2)->C^inf(M1), pb(f)(g)=g(f))
-tgs_p(M):VS(R(std))
-tgs_p(M), tv_p의 성질
-for any constant f in C^inf(M), tv_p(f)=0(link)
-for any f, g in C^inf(M) s.t. f(p)=g(p)=0, tv_p(fg)=0(link)
-(tgs_p is purely local)for any tv_p in tgs_p(M), any f, g in C^inf(M) s.t. f=g on a nbd(p) 일 때 tv_p(f)=tv_p(g)(link)
-(tgs_p(open submnf) iso tgs_p(M) as VS(F))U:open submanifold이고 i:inclusion of U일 때, pf_p(i)는 isomorphism (as VS(F)) for any p in U(link)
-f:M1->M2가 local diffeo면 pf_p(f)는 isomorphism for any p in M1
-따라서 f:submersion and immersion도 됨
-for V:f-dim VS(R(std)), any p in V, te F:isomorphism from V to tgs_p(V)
s.t. for any g in LT(V,W), pf_p(g) o F = G o g where G:isomorphism from W to tgs_g(p)(W)(즉 commute하게)
(따라서 V:f-dim VS(R(std))의 경우 일단 a in V를 택하면 for v in V, v can be identified with D_(*,v)(a) as derivation)
-(Chacracterization of tgs_p(M), using curves)
every tgv_p is the tangent vector to some smooth curve in M
(따라서 tgv는 derivation으로 이해하나, 혹은 M상의 smooth curve의 접vector로 이해하나 가능)
-(tgs of product mnfs)tgs_(p,q)(M1xM2) iso tgs_p(M1) x tgs_q(M2) as vector space
-function on tgs_p(M)(M:mnf)
-pf_p(f)의 성질(f:M1->M2, smooth, p in M1, g:M2->M3, smooth)
-pf_p(f):tgs_p(M1)->tgs_f(p)(M2)
-for g:tv_p, h in C^inf(M2), pf_p(f)(g)(h)=g(h(f)))
-pf_p(f):linear
-pf_p(g o f)=pf_f(p)(g) o pf_p(f)
-if id:identity on M, then pf_p(id)=identity on tgs_p(M)
-if f:diffeo, then pf_p(f):isomorphism from tgs_p(M1) to tgs_f(p)(M2)
-for any smooth chart (U,g), pf_p(g):tgs_p(M)->tgs_g(p)(R^n(std)), diffeo이다.
(따라서 for p in M, tgs_p(M)의 basis는 tgs_g(p)(R^n(std))의 basis의 inverse로 사용)
(for p in M, ctgs_p(M)의 basis는 위의 basis의 dual basis로 사용)
-pf(f)는 smooth bundle이 된다. TM->TN
-실질적인 계산 관련
-tgs_p(M)의 basis는 p에서의 coordinate system(즉 smooth chart)를 잡으면 해결됨(link)
-chart를 2개를 잡았다면(link)
-f:M1->M2 smooth, pf_p(f)는 p에서의 coordinate system과 f(p)에서의 coordinate system을 잡으면 pf_p(basis의 원소)가 어떻게 적히는 지 앎(link1)(link2)
-ctgs_p(M)의 basis는 p에서의 coordinate system를 잡으면 해결됨, chart를 2개 잡았을 때도 참고(link)
-for f in C^inf(U), df_p의 coordinate(link)
-submanifold관련(M:n-mnf, E:a subset of M)
-embedded k-submanifold관련
-if for some k, every p in E has nbd(p) in M s.t. nbd(p)교E:embedded k-submanifold of nbd(p), then E:embedded k-submanifold of M
(UOn이 embedded n-submanifold of R^(n+1)(std)임을 보일 때 사용됨, 즉 local에서 embedded submanifold만족하면...전체 subset도 된다는 것)
-E:embedded k-submanifold일 때, E:k-mnf(top k-mnf with subspace top, inclusion map E->M가 smooth embedding되게 smooth structure가짐)
(역 성립, smooth embedding의 image는 embedded submanifold가 된다.)
(위의 2 내용을 요약하면 embedded submanifolds are precisely the images of smooth embeddings)
-inclusion:E->M생각하면, pf_p(inclusion):tgs_p(E)->tgs_p(M), injective linear이니까 tgs_p(E) can be viewed as subspace of tgs_p(M)
-(Characterization tgs_p(E) as a subspace of tgs_p(M))
:for E:embedded submanifold and x in E, tgs_p(E)={X in tgs_p(M) s.t. Xf=0 for any f in C^inf(M) and f=0 on E}
-(Construct embedded submanifold, Graph)
:if U:open in R^n, F:U->R^k가 smooth이면 then the graph of F는 embedded n-dimensional submanifold of R^(n+k)
-(Constant-Rank Level Set Theorem)
:f:M1->M2 smooth with constant rank k일 때 level set of f는 closed embedded submanifold of codimension k.
-(Regular Level Set Theorem)
:f:M1->M2 smooth일 때 every regular level set은 closed embedded submanifold whose codimension is equal to the dimension of the range.
-(Characterization of embedded submanifold)
:E:embedded k-submanifold iff every p in E has a nbd(p) in M s.t. E교nbd(p) is a level set of a submersion F:nbd(p)->R^(n-k)(std)
-embedded submanifold 판정법
-정의대로
-image of smooth embedding으로써
-graph으로써
-level set으로써
-immersed k-submanifold관련
-immersed submanifolds are precisely the images of injective immersions.
-(Characterization tgs_p(E) as a subspace of tgs_p(M))
:embedded submanifold처럼 가능, 왜냐하면 smooth immersion의 image이므로
-covering관련(M:mnf(n-mnf), f:M1->M2 smooth covering map)
-f:immersion and submersion
-f가 injective이면 diffeo이다.
-(local continuous section of f의 존재성)for any x in M1, te nbd(f(x)) and g s.t. g:nbd(f(x))->M1, conti, f o g =id_nbd(f(x))
-for any M3, g:M2->M3:smooth iff g o f:smooth
-g:M1->M2가 proper local diffeo이면 g는 smooth covering map이다.
-if g:M1->M2가 topological covering map then M1:top n-mnf and M1 has a unique smooth structure s.t. g:smooth covering map.
-Complex Manifold관련
-any connected open subset of a Riemann surface is a Riemann surface
-Riemann surface is 2-dim C^inf manifold로 간주 될 수 있다.(여기서 2-dim 은 over R)
(왜냐하면 모든 holomorphic은 analytic이고 따라서 f(z)=u(z)+iv(z)를 f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))로 보면 f:holo이면 f는 C^(inf))
-Every Riemann surface is orientable(transition map들이 holomorphic이고 derivative가 nonzero이므로 conformal되니까)
-Every Riemann Surface is an path-connected 2-dimensional C^inf real manifold
-Every compact Riemann surface is diffe to the g-holed torus, for some unique integer g>=0(g를 topological genus라 한다.)
-Lie Group관련
-EDP(LGi)도 LG(연산은 componentwise)
-LG:parallelizable(Lie(LG)의 basis생각)
-act_M by LG관련
-LG:discrete일 때 M:smooth LG-space iff for any g in LG, act_M by g:smooth
(즉 discrete LG action경우 smooth 판정이 쉽다.)
-LG-space관련
-for any g in LG, act_M by g는 homeo
-f:LG1->LG2, homoLG일 때 LG1:smooth LG1-space(left multiplication), 이 action과 f로 act_LG2 by LG1가능, 그러면 f는 equivariant됨(link)
-smooth LG-Space관련
-for any g in LG, act_M by g는 diffeo
-for LG, LG itself smooth LG-space(left multiplication)
-Lie(LG)관련
-Lie(LG):Lie subalgebra of VF(LG)
-Lie(LG) isomorphic tgs_e(LG) as vector spaces(link)
-dim(Lie(LG))=dim(LG)
-LG:abelian이면 Lie(LG):abelian
-f:LG1->LG2, homoLG이면 g:Lie(LG1)->Lie(LG2), lie algebra homo를 얻는다.
-vf,g(vf)는 f-related가 된다.
*Metric Space
-Space, Subspace, Subset관련
-(MetricS,d)에서의 성질
-any subset E is the intersection of open sets(countable intersection아닐 수 있음)
(주의:U_n := Union ball(x,1/n) for x in E, Intersection U_n is not E, but cl(E))
-any open set is an countable union of an increasing closed sets
-any closed sets is an countable intersection of an decreasing open sets
-First-Countability
-CGT
-T6
-(MetricS,d):totally bdd이면
-bdd이다.
-totally bdd under d iff totally bdd under d_sb
-모든 compact set은 bdd and closed
(역은 성립안함)
-compact=limit point compact=sequentially compact
-seq {x_n} in (MetricS,d)가 cauchy이면 te subseq s.t. d(x_n_k+1,x_n_k)<=2^(-k)(link)
-seq {x_n} in (MetricS,d)가 cauchy이고 subseq가 cv이면 seq {x_n}도 cv(link)
-CMetricS의 성질
-(Baire Category Theorem in CMetricS)X:CMetricS이면 X:Baire(link)
-C=a collection of f:CMetricS->R(std), conti이고 for any x in X, te M_x s.t. |f(x)|<=M_x for all f in C라면
te open U in X and te M s.t. |f(x)|<=M for all f in C and all x in U(link)
-complete is not top property
-CMetrics의 closed S도 CMetricS됨
-(MetricS,d)가 complete iff (MetricS,d_sb)가 complete
-(MetricS,d)가 complete iff every cauchy seq {x_n} in MetricS has a cv subseq.
-(MetricS,d)가 complete iff every nested seq {E_n} of nonempty closed subsets s.t. diam(E_n)->0, the intersection of E_n is nonempty.
-for any MetricS, te isom(MetricS,S of completion of MetricS), uniquely up to isom
-(Banach Fixed Point Theorem)
:CMetricS의 complete subset E, f:contraction on E일 때, f는 fixed point을 유일하게 갖고, iteration으로 얻어진다.
-KMetricS의 성질(KMetricS,d)
-(Heine-Borel Theorem)(MetricS,d):compact iff (MetricS,d):complete and totally bdd
-(Lebesgue Number Lemma)for any open covering, te delta>0 s.t. diam(E1)<delta이면 te E2 in the covering s.t. E1<E2(link)
-compact이므로 lindelof
-lindelof인데 metric이므로 second-countable
-complete
-LKT2, KT2의 성질들 모두 만족
-Metric관련
-metric d is conti(link)
-metric d가 induce한 top은 d가 conti가 되게하는 the smallest top이다.
-metric d와 d_sb는 같은 topology를 induce한다.
-d(x,E)=0 iff x is in cl(E)
-d(x,K)=d(x,a) for some a in K
-d(E1,E2)=0, E1:closed, E2:closed, E1,E2:disjoint일 수 있다. (R^2(std)에서 xy=1과 x축 생각)
-{x|d(x,E)<eps}=union of the open balls {x|d(a,x)<eps} for a in E(따라서 open)
-d(x,E):TS->R>=0 is conti
-K<open1이면, te open2 s.t.K<open2<open1 and open2={x|d(x,K)<eps}
-F1과 F2가 disjoint closed인데 d(E1,E2)=0일 수도 있다.
-isom(MetricS1,MetricS2)는 imbedding이고 따라서 isometric imbedding이라 하기도 함
-diam(E)의 성질
-monotone
-E1교E2 is not empty 이면 diam(E1UE2) <= diam(E1)+diam(E2)
-diam(E)=diam(cl(E))
-Continuous, Map관련
-MetricS에서의 conti criteria
-f:(MetricS1,d1)->(MetricS2,d2) conti <-> eps-delta definite이용((MetricS2,d2)가 R(std)일 때 주로 도움)
-f1:TS->R(std), f2:TS->R(std), f1 + f2, f1 - f2, f1 * f2, f1 / f2 모두 conti
-(Characterization of Closed Graph)(link)
:f:(MetricS1,d1)->(MetricS2,d2) has a closed graph iff if {x_n}:cv to x in MetricS1 and {f(x_n)}:cv to y in MetricS2 then y=f(x).
-compact metric space의 성질(KMetricS,d)
-(Uniform Continuity Theorem)f:KMetricS->MetricS가 conti이면 uni conti
-Functions collection관련(혹은 functions seq관련)(Range에 Metric이 있는 경우)
(Functions collection관련 in topology도 참고)
-for U:open in TS, A:closed in U, f:TS->R(std):conti, f:bump function for A supported in U란, 0<=f<=1 on TS, f=1 on A, support of f < U
-fC(J,MetricS)에서(uni cv, pt bdd, d_uni정의가능)
-fC(J,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni(link)
-(d_sup)_sb=d_uni, when d_sup이 정의될 때
(d_sup이 정의되면, d_sup으로 논하는게 마음 편함, d_uni는 복잡함)
(즉, d_uni(f1,f2)=min{d_sup(f1,f2),1})
-fC(TS,MetricS)에서(top of K cv정의가능)
-top of pt cv < top of K cv < uni top
-seq {f_n} in fC(TS, MetricS) cv in the top of K cv iff for any K in TS, {f_n}:uni cv on K
-TS=K일 때
-top of K cv = uni top
-TS=discrete일 때
-top of pt cv = top of K cv
-fCbdd(J,MetricS)에서(d_sup정의가능)
-fCbdd(TS,MetricS)에서
-closed in fC(TS,MetricS) with uni top
-fCbdd(TS,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni
-fCconti(TS,MetricS)에서(equiconti정의가능)
-KG-top = top of K cv
-(Uniform Limit Theorem)closed in fC(TS,MetricS) with uni top
-fCconti(TS,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni
-E가 totally bdd using d_uni이면 E는 equiconti
-(Ascoli's Theorem)E가 equiconti, for any a in TS, E_a:={f(a) s.t. for some f in E}:pre-K in MetricS이면
-te S of fCconti(TS,MetricS) with top of K cv s.t. E<S, S:compact
-TS=CGT일 때
-closed in fC(TS, MetricS) with top of K cv
-{f_n}:cv in the top of K cv to f이면 f도 conti
-TS=LKT2일 때
-E<S, S:compact in fCconti(TS,MetricS) with top of compact cv이면 E는 equiconti이고 for any a in TS, E_a:pre-K in MetricS
-TS=K일 때
-MetricS=KMetric일 때, E가 equiconti이면 E는 totally bdd
-MetricS:all closed, bdd subsets are compact일 때,
-E:pre-K iff E:pt bdd, equiconti
-MetricS=R(std)일 때
-(Dini's Theorem)seq {f_n} in fCconti(TS,R(std))가 monotone, pt cv, limit f is conti이면 f_n은 uni cv
(유사하게, seq {f_n} in fC(K in R(std), R(std)), 각각이 monotone(conti일 필요 없음), pt cv to f which is conti on K이면 f_n은 uni cv도 된다.)
-MetricS=R^n일 때
-E:compact iff E:closed, bdd, equiconti
-(Arzela's Theorem){f_n} in fCconti(K,MetricS), {f_n}:pt bdd, equiconti이면 {f_n}은 uni cv인 subseq을 갖는다.
-fCcontibdd(TS,MetricS)에서
-fCcontiV(TS,R(std))에서
-E of fCcontiV(TS,R(std)), E:pre-K iff E:pt bdd, equiconti, vanishes uniformly at infinity
-fCcontiV(TS,C)에서
| 수학정리(Applications, Combinatorics) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Topological Vector Space, Normed Vector Space) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Group Theory, Ring Theory, Field Theory, Module Theory, Vector Space, Algebra Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Set Theory, Measure Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Econometrics) (0) | 2016.02.09 |
*Group Theory
-About Group, Subgroup관련
-Subgroup Criteria
-E:finite->non-empty, closed under multiplication
-E:infinite->closed under multiplication, closed under taking inverse.
-Z(G) _< C_G(~) _< N_G(~) _< G의 성질
-E
-Z(G) _< C_G(E) _< N_G(E) _< G
-C_S(E)=C_G(E)교S
-N_S(E)=N_G(E)교S
-E1<E2일 때 C_G(E2) _< C_G(E1)
-<g> _< C_G(g)
-C_G(<g>)=C_G(g)=N_G(g) _< N_G(<g>)
-C_G(E)=G iff E < Z(G)
-S
-C_G(Z(G)) = N_G(Z(G)) = G
-S _<! N_G(S)
-C_G(S) _<! N_G(S)(link)
-N_G(S)/C_G(S) giso a subgroup of Aut(S)(link)
(Aut(S)를 먼저 조사해서 N_G(S)/C_G(S)에 반영할 수 있음)
-S가 abelian이면 S _< C_G(S)
-S _< Z(G)이면 C_G(S)=N_G(S)=G이고 S _<! G이다.
-|S|=2이면 N_G(S)=C_G(S)
-S1 _< S2, S2:abelian이면, S1 _< S2 _< N_G(S1)
-NS
-C_G(NS) _<! G
-N_G(NS)=G
-|NS|=2이면 NS _< Z(G) _< C_G(NS) = N_G(NS) = G
-기타
-G/Z(G)은 Inn(G)와 giso라는게 Z(G)의 핵심
-Z(G) _<! G, Z(G)는 abelian normal subgroup of G
-C_G(G)=Z(G)=intersection over all subset A, C_G(A)
-G/Z(G) giso Inn(G)
-G/Z(G):cyclic iff Inn(G):cyclic iff G:abelian
(Generally, S _< Z(G) G/S:cyclic이면 G:abelian)(link)
-Z(G)i:char in G for any 0<=i
-S1S2의 성질
-|S1S2|=|S1||S2|/|S1교S2| (즉 S1S2의 order와 S2S1의 order가 같음, S1S2 _< G인지는 아직 모름)(link)
-S1S2 _< G iff S1S2=S2S1 iff Si _< N_G(Sj), 즉 1개가 다른 1개의 normalizer에 포함
-S1S2 _< G 이면 S1 _< S1S2 and S2 _< S1S2 and S2S1 _< G
-S1만 normal인 경우
-S1S2 _< G, S2S1 _< G(normal subgroup인지는 모름)
-S1S2=S2S1
-S1, S2 둘 다 normal인 경우
-S1S2 _<! G, S2S1 _<! G
-S1S2=S2S1인건 당연
-S1 union S2 _< G iff S1 _< S2 or S2 _< S1
-Normality Criteria
-generator에 대해서만 판단해도 충분
-Abelian Group의 모든 S는 NS이다.
-[G:S]=2이면 S는 NS이다.
-[G:S]=the smallest prm factor of |G|이면 S는 NS이다.(link)
-S _< Z(G)이면 S _<! G
-N_G(S)=G판단에 있어서 G의 generating set의 원소와, S의 generating set의 원소로만 판단해도 됨
-S:normal in G iff [S,G] _< S
-C(G) _< S이면 S는 normal(게다가 G/S는 abelian도 됨)(역도 성립)
-대표적인 normal subgroup:Z(G), C(G), Z(G)의 subgroup, normalizer, Sp(Sp는 normal 아닐 수도 있지만, normal될 때가 잦음), C(G)를 포함하는 Subgroup,
-Characteristic
-필요조건:NS
-충분조건:given order, S is unique이면 S char G
-S1 char S2 and S2 _<! G이면 S1 _<! G
-S1 char S2 and S2 char G이면 S1 char G
-대표적인 char S:C(G), Z(G)
-(Cayley's Theorem)Every G giso S _< S_G
-G to S 보존되는 것
-abelian
-cyclic
-nilpotent(G의 upper central series에 H를 intersecting시키면 각 항은 H의 Upper central series보다 작은 걸 생각해보면 됨)
-solvable
-G to homomorphic Image 보존되는 것
-abelian
-cyclic
-nilpotent
-solvable
-G to quotient
-abelian
-cyclic
-divisible
-nilpotent
-solvable
-G_i to EDP(G_i) 보존되는 것
-abelian
-cyclic은 안됨
-nilpotent
-solvable
-Hall Subgroup관련
-NS:Hall subgroup이면 |NS|=|S|인 S는 NS뿐이다.(link)
(Hall subgroup이 NS인 경우에 적용가능함, NS인 것도 중요함)
-기타 성질들
-S1교S2는 subgroup된다.
-NS1교NS2는 normal subgroup된다.
-임의의 subgroup S는 S_[n]의 subgroup과 isomorphic하다.(S_[n], 중요)
-
-About Homomorphism관련
(homog:G1->G2, S1 _< G1, S2 _< homog(G1) _< G2, NS1 _<! G1, NS2 _<! homog(G1))
-homog(S1) _< homog(G1)
-homog^(-1)(S2) _< G1
-homog(NS1) normal in homog(G1)
-homog^(-1)(NS2) normal in G1
(즉 S2, NS2든 homog(G1)에서 생각하면 된다.)
-|homog(g1)| | |g1|
-|homog(G1)| | |G2|, |homog(G1)| | |G1|
(따라서 |homog(G1)| | gcd(|G1|,|G2|) 이다.)
-|homog^(-1)(G2)| | |G1|
-|G1| | |G2|*|Ker(homog)| (이 자체는 너무 강함, Factor Group으로서 order 세는 것을 상기하는게 포인트)
-About Group Action관련
-Ker(act) _< G_x _< G
-Ker(act) _<! G
-G/Ker(act) acts faithfully
-te act iff te homog by act(G->S_J)
-|O_x|= [G:G_x]
(O_x도 G의 약수여야 한다는 점)
-g*x1=x2라면, G_x2=gG_x1g^(-1)(link)
(즉, 같은 orbit안에 있었다면, stablizer가 서로 conjugate하고, 따라서 stablizer의 order도 서로 같다.)
(G=1이면 역은 성립 안함)
-G=S_[n], J=[n]일 때
-transitive, faithfully
-|G_i|=(n-1)!, O_i=[n]
-for g in S_[n], act_[n] by <g>의 orbits은 g의 cycles가 나온다.
-G:permutation group on J
-(Burnside)the number of orbits = the average number of points fixed by an element of G(link)
-left multiplication action
-G=G, J=G, g1 act g2=g1*g2일 때
-G_g={e}
-G=G, J={left cosets of S}, g1 act g2S =g1g2S일 때
-Transitively, 따라서 Orbit은 1개뿐
-G_S=S
-G_(g1S)=g1Sg1^(-1)
-ker(act)는 S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup이 된다.
-|G|는 {[G:S]!*|S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup|}을 나눈다.
-Conjugation action
-G=G, J=P(G), g act E =g*E*g^(-1)일 때
-G_E=N_G(E)
-[G:N_G(E)]:the number of the conjugates of E
-S giso (g act S)
-ker(homo)=Z(G)
-G=G, J=G, g1 act g2=conj(g2), 특히 g1*g2*(g1)^(-1)
-G_g=N_G(g)=C_G(g)
-|g|=|g1 act g|
-homo by act에 대해서, Ker(homo)=Z(G) and G/Z(G) giso Inn(G)
-Z(G)의 원소들의 orbit은 singleton set
-(Class Equation)|G|<inf일 때, |G|=|Z(G)|+sum [G:C_G(g_i)]
-NS _<! G일 때, 임의의 conjugacy class E는 E교NS=empty or E<NS이다.
-G=S_[n], J=S_[n]일 때(아래 Examples란과 중복될 수 있음)
-g2=(a1,a2,a3...)(b1,b2,b3)...로 cycle decomposition, g1*g2*g1^(-1)=(g1(a1),g1(a2),...)(g1(b1),g1(b2))....
(cycle decomposition이란, (1~~~)(이전 cycle에 안나온 제일 작은 걸로 시작 ~~~)(이전 cycle에 안나온...))
-g1=conj(g2) iff g1과 g2가 같은 cycle type을 가짐
(cycle type이란 cycle decomposition한 후에 cycle length가 큰것부터 나열했을 때(disjoint cycle은 commute이므로)의 cycle length 수열, 길이가 1인 cycle도 적는다. 그렇게 하면 f:S_[n]->{ptt(n)}
-S_[n]의 conjugacy classes의 개수는 #ptt(n)과 같다.(link)
(g:{conjugacy classes}->{ptt(n)} is bijection)
(for a f:ptt(n), f=(a1번,a2번,...,an번), f를 cycle type으로 갖는 S_[n]원소개수는 n!/(1^a1 2^a2 ... n^an (a1!a2!...an!)))
(즉 한 conjugacy class안의 원소개수를 앎)
-E가 singleton이면 |C_(S_[n])(E)|구할 수 있음
-g가 commutator와 같은 cycle type을 가지면 conj(g)도 commutator가 된다.
-G=G, J=NS, g1 act g2 = g1*g2*g1^(-1)
-G_g=N_G(g)=C_G(g)
-for each g in G, conjugation by g is in Aut(NS)
-homo by act:G->S_NS인데, range를 줄여 G->Aut(NS)만 생각가능, Ker(homo)=C_G(NS)
(이때 conjugation by g on NS는 Aut(NS)의 원소이지만, Inn(NS)의 원소는 아닐 수 있다.)
-About Generator, Order관련
-abelian인지, normal인지 판단은 generator에 대해서만 해도 충분
-order(g)=order(conj(g))
-order(g1*g2)=order(g2*g1)
-order(g)=n일 때, order(g^a)=n/gcd(a,n)
-order(g)=n일 때, <g>의 generator는 ephi(n)개
-|G|=n and G:cyclic, m|n이면 te! S s.t. |S|=m(link)
-(Lagrange's Theorem)|G|<inf일 때, |S| | |G|, [G:S]=|G|/|S|
(G의 모든 S가 NS이면 Converse가 성립, 예를 들면 abelian인 경우)(link)
(p_n=prm, |G|=(p_1)^alpha1 * (p_2)^alpha2 ..., order가 (p_1)^alpha1, (p_1)^alpha1-1, ... 인 subgroup 존재, Sylow의 강한버전)
-|G|=prm이면 G giso Z_prm
-(Cauchy's Theorem)|G|<inf, prm||G|이면 G has an element of order(prm).(link)
-(Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups)G:finitely generated abelian이면 free rank와 list of invariant factors가 유일하게 결정되고 invariant factor decomposition이 가능(반대로 list of invariant factors와 free rank만 결정해주면 finitely generated abelian group 1개를 결정할 수 있다는 것)
(따라서 finite abelian of order n은 n만 소인수분해해버리면classification가능 by making list of invariant factors)
(invariant factor (n1,...,nk)가 만족해야될 것은, 각각이 2보다 같거나 큰 정수이고, n(i+1)|ni를 만족)
-(Sylow's Theorem)(특정 order의 G이 not simple임을 보일 때 자주 사용)
-Sp는 항상 존재한다.(link)
(더욱 강력한 명제는, |G|=p^n*m, (hall divisor, p:prm), te S s.t. S _< G and |S|=p^k, for k=0,1,...,n)(link)
-p-S, Sp에 대해서, te g in G s.t. p-S _<g(Sp)g^(-1)(특히 Sp1과 Sp2 2개는 반드시 conjugate and giso)(link)(link)
(Sp1과 Sp2는 같은 p에 대해서 얘기, S(p1)과 S(p2)는 다른 p에 대해서 얘기)
-#Sp=[G:N_G(Sp)] ≡ 1 (mod p)(link)(link)
-if #Sp !≡ 1 (mod p)이면 te distinct P:Sp, R:Sp s.t. [P:P교R]=[R:P교R]=p(link)
-Theorem 증명 순서
-Cauchy's Theorem for abelian
-Sylow's Theorem, Existence
-Cauchy's Theorem for general
-Sylow's Theorem, 강력한 명제
-Sylow's Theorem, p-S관련
-Sylow's Theorem, #Sp
-TFAE
-#Sp=1
-Sp:NS
-Sp char G
-All subgroups generated by elements of prm power order are p-G
-Sp의 성질들
-for NS of G, Sp of G일 때 NS교Sp:sylow p-subgroup in NS(link)
-for NS of G, Sp of NS일 때, G = NS N_G(Sp) (join) (link)
-for Sp of G, S:p-subgroup of G, S교N_G(Sp) = S교Sp(link)
-Classification Steps
-|G|를 통해 proper NS를 찾는다.(Sp같은 걸로다가)
-complement를 구한다.
-NS와 complement 각각을 조사한다.
-semidirect product를 위한 homog를 만들어 본다.
-NS, complement와 homog를 이용하여 semidirect를 만들고 non-isomorphic인걸 나열
-|G|=prm일 때
-G giso Z_prm
-p-G일 때
-Z(p-G)는 nontrivial(증명은 Class Equation생각)
-nilpotent
-every proper S of G는 proper S of N_G(S)이기도 하다.(proper가 포인트)(link)
-NS가 nontrivial이었으면 NS 교 Z(p-G)도 nontrivial(link)
-|NS|=p인 NS가 있다면 NS는 Z(p-G)에 포함됨
-|p-G|=prm^2이면 abelian이고 Z_prm x Z_prm 이거나 Z_(prm)^2
-|p-G|=prm^3이면(link1)(link2)(link3)
-abelian type
-Z/p^3Z
-Z/p^2Z x Z/pZ
-Z/pZ x Z/pZ x Z/pZ
-nonzbelian type
-Z(p-G)=C(p-G)(link)
-p-G/Z(p-G) giso Z/pZ x Z/pZ(link)
-prm=2일 때
-prm != 2일 때(link참고)
-prm-power map is group homomorphism
-<x,y | x^(p^2) = y^p = 1, yxy^(-1) = x^(p+1)>
-<x,a,b | x^p = a^p = b^p = 1, ab=ba, xax^(-1)=ab, xbx^(-1)=b>
-Sp는 자기자신, unique
-(Fixed Point Congruence)J:finite set, act_J by G에 대해, |J|≡|{fixed points}| (mod p)(link)
-|G|=p^m일 때, G has a normal subgroup of order p^n for 0<=n<=m(link)
-every MS는 [G:MS]=p를 만족하고 NS가 된다.
-|G|=prm1*prm2일 때(prm1<prm2)
-Sp(p=prm2) :NS
-따라서 G:solvable
-prm1이 (prm2 - 1)을 나누지 않으면(즉 prm1=2일 때) G는 cyclic
-prm1이 (prm2 - 1)을 나누면(즉 prm1 != 2 일 때)
-G giso OSDP(Sp(p=prm2), Sp(p=prm1)), up to isomorphic, 1개뿐
-|G|=prm1*prm2*prm3일 때(prm1<prm2<prm3)
-not simple(link)
-|G|=12(link)
-abelian type
-Z/12Z
-Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z
-nonabelian type
-Alt(4)
-D_12
-OSDP(Z/3Z,Z/4Z, f) where f:Z/4Z->Aut(Z/3Z), inversion
-Sp(3)과 Sp(5)중 적어도 1개는 normal
-Z/15Z과 giso인 S를 가짐
-abelian type
-Z/30Z
-nonabelian type
-Z/3Z x D_10
-Z/5Z x D_6
-D_30
-(Feit-Thompson Theorem)G:simple, |G|:odd 이면 G giso Z_p for some p:prm
-G:finite, N:normal in G, Sp:sylow p-subgroup of N, then G=N_G(Sp)N and |G:N| divides |N_G(Sp)|(link)
-About Quotient Group관련
-(First GISO Thorem)homog:G1->G2이면 ker(homog) _<! G1 and G1/ker(homog) giso homog(G1)
(NS존재 <-> homog 존재)
-(Second GISO Theorem)S1 _< G, S2 _< G, S1 _< N_G(S2)이면
S1S2 _< G이고
S1S2 _< N_G(S2)이고 따라서 S2 _<! S1S2
by First GISO Theorem, S1교S2 _<! S1이고 S1S2/S2 giso S1/S1교S2임을 알 수 있다.
(주의:S1 _<! S1S2인지는 모른다. 성립안할 수도 있음)
(S1 _<! S1S2아니더라도, [S1S2:S1]=[S2:S1교S2]는 앎)
-(Third GISO Theorem)NS1 _< NS2 이면(G/NS1)/(NS2/NS1) giso (G/NS2)
(NS가 아니어도, S1 _< S2 _< G이면 [G:S1]=[G:S2][S2:S1]이 성립)(link)
-(Fourth GISO Theorem)NS가 있을 때, te bijection from {S s.t. NS _< S} to {S s.t. S _< G/N}
(NS _< S _< G인 S에 대해서, S _<! G iff S/NS _<! G/NS 을 얻을 수 있다.)
(주의:|G1|=|G2|, N1 giso N2, G1/N1 giso G2/N2라 해도 G1 giso G2인지는 모름)
-[G:NS]=m이면 for all g in G, g^m is in NS.
-(G/NS)의 largest abelian quotient group giso (h(G)/h(NS) where h:G->G/C(G) projection
-About Commutator관련
-G/C(G):the largest abelian quotient group(만약 G/NS:abelian이면 C(G) _<! NS임), 이게 C(G)의 핵심
-C(G) _< S이면 S:NS이고 G/S는 abelian(link)
-g1g2=g2g1[g1,g2](where [g1,g2]=g1^(-1)g2^(-1)g1g2)
-for any aut in Aut(G), aut[g1,g2]=[aut(g1),aut(g2)], 즉 commutator를 aut에 적용해도 commutator됨
-따라서 C(G) char G
-C(G)의 원소 중 commutator가 아닌 원소가 있을 수 있다.
(Free group on {a,b,c,d}에서 aba^(-1)b^(-1)cdc^(-1)d^(-1) 생각)
-C(G)를 구하는 방법
-G/NS해서 abelian되기만 하면 C(G) _< NS이므로, NS아무거나로 일단 quotient시켜 abelian인지 따져본다.
-S:normal in G iff [S,G] _< S
-(Abelianization of quotient = quotient of Abelianization)f:G->G/NS, g:G->G/C(G)일 때, f(G)/C(f(G)) giso g(G)/g(NS)(link)
-About Group Product관련
-About Direct Product
-Direct Product의 의의
-smaller로 larger group만들거나
-finitely generated abelian을 cyclic factor로 쪼개거나
-non-abelian이더라도 factor들(NS인)로 쪼갤 수 있다는 것, 쪼개면, 각각은 commute하고 order가 작아 조사하기 쉬움)
-EDP(G_i)에서 restricted direct product of the groups G_i는 normal subgroup in product of G_i
-EDP(G1,G2)의 conjugacy classes의 개수 = (G1의 conjugacy classes의 개수)*(G2의 conjugacy classes의 개수)
-EDP(G1,G2,...,Gn)/EDP(NS1,NS2,...,NSn) giso EDP(G1/NS1,G2/NS2,...,Gn/NSn)
-EAG(p,n)의 성질
-non identity 원소는 order가 p
-(p,n)일 때, order가 p인 subgroup의 개수는 (p^n -1) / (p - 1)
-(Recognition Theorem version Direct Product)
:NS1, NS2에 대해 NS1교NS2=1이면 IDP(NS1,NS2) giso EDP(NS1,NS2)
-About Semidirect Product
-Semidirect Product의 의의
-S1 _< G1, NS1 _<! G1, S2 _< G2, NS2 _<! G2일 때 S1 giso S2, NS1 giso NS2라 해서 ISDP(NS1,S1)과 ISDP(NS2,S2)가 giso인거 보장못함
-OSDP(G1,G2)의 성질
-G1:NS of OSDP(G1,G2)
-G2:S of OSDP(G1,G2)
-order of OSDP(G1,G2)=|G1|*|G2|
-(G1,1)교(G2,1)=1
-OSDP(G1,G2,f)가 EDP(G1,G2)와 same일 TFAE
-g can be written in a unique way as nh where n in NS, h in S
-g can be written in a unique way as hn where h in S, n in NS(nh에다가 h h^-1 n h해주면 됨)
(즉, G=S1S2=S2S1)
-f1:S->G, identity function, f2:G->G/NS, natural projection, f2 o f1:isomorphism
-te homog:G->S s.t. homog:identity on S and ker(homog)=NS
-About Series In Group Theory관련
-G/MNS:simple
-(Jordan-Holder Theorem)finite nontrivial G는 composition series을 갖고(not unique), composition factors는 unique
(주의: G1 giso G2가 아니어도 same list of composition factors를 가질 수도 있다.)
-cyclic group<abelian group<nilpotent group<solvable group<all group
-About Solvable
-G:solvable이면 S:solvable
-G:solvable이면 homomorphic image도 solvable
-따라서 quotient of G도 solvable
-NS:solvable and G/NS:solvable이면 G도 solvable
-S1:solvable and S2:solvable and S1S2(defined as subgroup)이면 S1S2도 solvable
-finite EDP of solvable is solvable
-G:nilpotent이면 G:solvable
-additional theorem(증명들이 김)
-(Philip Hall)G:solvable iff for any n s.t. gcd(n,|G|/n)=1, G has a subgroup S of order n.
-(Burnside)|G|=(p1)^a (p2)^b이면 G:solvable
-(Feit-Thompson)|G|:odd이면 G:solvable
-(Thompson)If for every pair x,y in G, <x,y>:solvable, then G:solvable
-모든 proper subgroup이 abelian이면 G는 solvable
-About nilpotent
-G:nilpotent이면 S:nilpotent
-G:nilpotent이면 homomorphic image도 nilpotent
-따라서 quotient of G도 nilpotent
-(주의)NS:nilpotent and G/NS:nilpotent라 해서 G가 nilpotent이진 않다.(Ex:Take G=S_[3], NS=A_[3])
-G:nilpotent이면 G:solvable
-S1:nilpotent and S2:nilpotent and S1S2(defined as subgroup)이면 S1S2도 nilpotent
-G/Z(G):nilpotent이면 G:nilpotent(왜냐하면 Z(G/Z(G))k = G/Z(G) = Z(G)k+1/Z(G) )
-finite EDP of nilpotent is nilpotent
-finite nilpotent관련
-G:finite nilpotent
-iff every proper subgroup of G is a proper subgroup of its normalizer in G
-iff every sylow subgroup is normal in G
-iff G is the direct product of Sp1, Sp2, ..., Spr where p1,p2,...pr is all distinct primes dividing |G|
-iff every maximal subgroup is normal
-About Free관련
-FG(E) is a group(즉 concatenating이 well-defined하고 associative만족함)
-(Universal Property of Free Group)f:E->G인 map이 있다면, te! g:FG(E)->G s.t. g:homog, restriction of g on E = f
-FG의 subgroup은 free이다.
-for any G, te FG and homog:FG->G s.t. G=homog(FG)
-(Universal Mapping Property of free product)for f_i:G_i->G, homog, te! F:FP(G_i)->G s.t. f_i=i_i o F where i_i:inclusion from G_i to FP(G_i)
-About Presentation관련
-
-About Short Exact Sequence관련
-ES(G1,G2,G3,f1,f2) iff SES(f1(G1),G2,G2/ker(f2),inclusion,quotient)
(따라서 Exact관련해서는 SES형태로 바꿔서 다루기 가능)
(Short Five Lemma)(Md에서도 성립)(link)
:For homo from SES1(G1,G2,G3,f1,f2) to SES2(G1',G2',G3',f1',f2')인 g1,g2,g3,
-g1과 g3가 injective(surjective, isomorphism)이면 g2가 injective(surjective, isomorphism)
-SES(G1,G2,G3,f1,f2):left split iff equivalent to SES(G1,EDP(G1,G2),G2,embedding,projection)
(증명은 f:G2->EDP(G1,G2) 잘만들기)
-SES(G1,G2,G3,f1,f2):right split iff equivalent to SES(G1,OSDP(G1,G3,homog:G3->Aut(G1)),G3,embedding,projection)
where homog(g3)(g1)=f1^(-1) ( (f2'(g3) * f1(g1) * f2'((g3)^-1)) )
(증명은 f:OSDP->G2 잘만들기)
(따라서 left split가 훨씬 강하다.)
(Module에서는 abelian group일 때므로, OSDP=EDP이고 따라서 left split iff right split)
-Some Techniques using Sylow and another things(link참고)(link1)(link2)(link3)(link4)(link5)
-Counting Elements
-Subgroup Index and left multiplication action on left cosets
-G을 S_[n]의 subgroup으로 보고 해결
-Normalizer of Sylow의 Sylow 생각(another prime)
-Normalizer of distinct Sylow p-subgroups생각(same prime)
-Representation관련
-Every G has at least one rep(trivial rep생각)
-G=<g>, of order n
-f:G->GL(1:C), f가 MT-rep iff {f(g)}^n = 1
-For G:group, {rep of G} bijection {G-Md VS(F)}
-(Construction of G-Md VS(F) from a G-set)For J:G-set, make VS(F)=direct sum of Fj,act_VS(F) by G는 g를 basis원소에 act하는 걸로하면 됨
(즉, G:group이 있고 G-Set을 하나 안다면, G-Md VS(F)를 얻을 수 있고, 그로인해 rep of G를 하나 얻는다.)
-G:group이 있고 G-Set으로 G그 자체 택하고 action을 left translation을 주면, G-Md F[G]을 얻는다. 이때의 rep of G를 regular rep of G라 한다.
-for finite G
-F[G]=direct sum of miVi, where mi=dim(Vi), Vi,Vj:nonisomorphic for distinct i,j, 게다가 모든 irr G-subMd appears in F[G]
-V:G-Md VS(F)가 W:nonzero proper G-subMd를 갖는다면, W의 basis를 이용해 대응된 rep of G의 MT-rep of G의 형태가 block upper triangular MT로만 되게(for any g in G) basis를 잡을 수 있다.
-만약 W가 G-subMd인 complement를 갖는다면 block diagonal MT로만 되게(for any g in G) basis를 잡을 수 있다.
-(Maschke's Theorem)(F=R(Std), C일 때)for G:finite group, V:nonzero G-Md f-dim VS(F), V is a direct sum of irreducible G-subMds(link)
(즉 G:finite group, G-Md f-dim VS(R(Std) or C)는 completely reducible이다.)
-G-Md homo관련(G:group, f:V1->V2가 G-Md homo, V,V1,V2:G-Md VS(F))
-ker(f):G-subMd of V1
-Im(f):G-subMd of V2
-(Isomorphism Theorem for G-Md VS(F))te! F:V1/ker(f)->Im(f) s.t. F:G-Md isomorphism
-f:V1->V2:G-Md homo iff u:rep of G to GL(V1), v:rep of G to GL(V2)라 할 때 f(u(g)) = v(g)(f)), link보고 그림보는게 이해 쉬움(link)
-f가 G-Md iso면 u(G)->v(G) conjugation isomorphism을 얻는다.
-(Schur's Lemma)for V1,V2:irreducible G-Md VS(F), f:V1->V2는 G-Md homo일 때 f는 zero map or G-Md iso
-for V1:irreducible G-Md VS(F), Hom_G(V1,V2)=0 iff te no G-subMd of V2 s.t. G-Md isomorphic to V1
(V2의 irreducible factor중 V1과 isomorphic(as G-Md VS(F))한 것은 없다는 지표가 됨)
-End_G(V)관련
-for F=C일 때, V:irreducible G-Md VS(F), f in End_G(V,V)일 때, f=egv*id where egv(f)(link)
-따라서 f의 egv가 1개뿐이라는 것도 알게 됨
-for V:irreducible G-Md VS(F), End_G(V) aiso F
-End_G(V)에 해당되는 Matrix rep 버전이 Com(X), where X:MT-rep(isomorphic as algebra란 소리)
-for V=direct sum of V1 and V2 s.t. V1,V2:G-subMd of V s.t. Hom_G(V1,V2)=Hom_G(V2,V1)=0, End_G(V) aiso End_G(V1) x End_G(V2)(link)
-k개여도 확장됨, End_G(V) aiso End_G(V1) x End_G(V2) x ... x End_G(Vk)
(물론 이 Vi중 irreducible인게 있다면 그건 F와 aiso if F:ac-F)
-for V=direct sum of V1 and V2 s.t. V1,V2:irreducible G-subMd of V s.t. Hom_G(V1,V2):nonzero, End_G(V) aiso MT(2x2)(F)(link)
-m개여도 확장됨, End_G(V) aiso MT(mxm)(F)
-(위의 2개 내용으로부터)V=m1V1 + m2V2 + ... +mkVk(즉 irreducible V1이 G-Md isomorphic한게 m1개 ...)(as direct sum)일 때
End_G(V) aiso MT(m1xm1)(F) + MT(m2xm2)(F) + ... + MT(mkxmk)(F)(as direct sum)
-dim(V)=sum of mi*dim(Vi)
-dim(End_G(V))=sum of square(mi)
-Z(End_G(V))=F^k, (즉 not G-Md isomorphic submodule의 개수를 가르쳐줌)
-Class function관련(G:Group, V:G-Md VS(F), c:character of V, h:class function of G, R(G):=set of all class function of G, F(G):=set of all function from G to F)
-F(G):VS(F)
-R(G):subspace of F(G)
-{irr characters of G}:basis for R(G)
-G가 finite일 때(|G|=n)
-F(G):VS(F) isomorphic to F^n
-dim(F(G))=n >= dim(R(G))
-F(G)에 inner product를 줄 수 있다.(F가 R이나 C이면) for f1,f2 in F(G), <f1,f2>:=1/n * {sum over g in G f1(g)*ct(f2(g))}(1/n = 1/|G|은 normalize위해서)
(즉, F(G)는 IPS(F)됨)
-Character of rep(G)관련
-(Linear Independence of multiplicative characters)for f1,f2,...,fk:distinct multiplicative characters on G, f1,f2,...,fk:linearly independent over F
-c(identity)=degree of c(즉 dim(V))
-c is a class function on G
-for another U:G-Md VS(F) s.t. isomorphic to V as G-Md, c=character of U
(즉 G-Md iso한 V에서의 Character는 서로 같은 함숫값가짐 for any g in G)
(역은 F=C일 때 성립)
-for V=m1V1 + m2V2 + ... +mkVk(즉 irreducible V1이 G-Md isomorphic한게 m1개 ...)(as direct sum)일 때 character of V=sum of (mi*character of Vi)
-G가 finite일 때(|G|=n)
-for c:character of F[G], c(identity)=|G|, c(g)=0 for any non identity g.
-(F=C일 때)<c1,c2> = 1/n * {sum over g in G c1(g)*ct(c2(g))} = 1/n * {sum over g in G c1(g)*c2(g^(-1))}(link)
(사실 for all g in G, c1(g)*ct(c2(g)) = c1(g)*c2(g^(-1))이기 때문에 성립)
-for irr character c1 of G-Md V1, irr chacracter c2 of G-Md V2, <c1,c2>=1(if V1 G-Md isomorphic to V2) or 0(otherwise)(link)
-(F=C일 때)for V:f-dim and V=m1V1 + m2V2 + ... +mkVk, ci:character of Vi, Vi:irr G-subMd
-c=sum of mi*ci
-<c,ci>=mi
-<c,c>=sum of (mi)^2
-<c,c>=1 iff V:irr G-Md iff c:irr
-decomposition is unique(ci가 linearly independent임을 이용)
-irr G-Md V개수=irr character of G=conjugacy class of G의 개수(link)
-TP(V1,V2)관련(Vi:Gi-Md)
-TP(V1,V2):G1xG2-Md
-character of TP(V1,V2)(g1,g2):=character of V1(g1) * character of V2(g2)
-V1:irr G1-Md and V2:irr G2-Md iff TP(V1,V2):irr G1xG2-Md
-Every irr G1xG2-Md V is isomorphic to TP(V1,V2) for some irr G1-Md V1 and irr G2-Md V2
-Restricted, induced관련
-induced rep은 well-defined and independent of a choice of a transversal(link1)(link2)
-(Frobenius Reciprocity)<char of G, induced>=<char of H, restricted>(link)
*Ring Theory
-Ring, Subring관련
-zd는 not unit
-unit은 not zd
-for any x in R, x^3=x이면 R:CR(link)
-for any x in R, x^4=x이면 R:CR(link1)(link2)
-C_R(subR):subring
-N_R(subR):the largest subring of R which includes subR as ideal
-Z(R)관련
-commutative SR이다.
-for any ring R, R = Z(R)-A(algebra over its center)
-R=R일 때
-id1 + id2는 smallest id containing id1 and id2
-id1id2는 id contained in id1교id2
-R=CR일 때
-r:nilpotent이면 1+r:unit
-a|b iff a in (b) iff (a)<(b)
-(gcd(a,b))>({a,b})
(=될 충분조건은 ({a,b})가 p-id로 ({a,b})=(d)였다면 d=gcd(a,b)이다.)
-cprm-id는 element-wise하게 얘기할 수도 있음
-(Existence of the smallest ring containing R in which all elements in E become units)
E:subset of R, not contain 0 of R, not contain zd of R, closed under multiplication일 때
te CR_[1]인 R2 s.t. R2 contain R as subR and every element in E is a unit in R2
-R=R_[1]일 때
-id=R iff 1 is in id
-every proper id is contained in a M-id(link)
-R=DR일 때
-(Wedderburn's little theorem)finite DR은 field
-R=CR_[1]일 때,
-R:field iff id of R은 0과 자기자신 뿐
-id:M-id iff R/id:field
(field를 construct하는 방법을 제시)
-id:cprm-id iff R/id:ID
-every M-id는 cprm-id이다.
-R=ID일 때
-finite ID는 field
-(a)=(b)이면 a,b:associate in R
-(uniqueness of gcd)c=gcd(a,b)이고 d=gcd(a,b)이면 c,d:associate in R
-r:prime이면 r:irreducible in R
-(Existence of Quotient Field)QF(ID)는 유일하게 존재한다.
-R=UFD일 때
-for nonzero nonunit r in R, r:prime iff r:irreducible
-for nonzero a, nonzero b in R, gcd(a,b)는 factorization of primes로 구할 수 있다.
-R=PID일 때
-(Characterization of PID)ID:PID iff ID has a multiplicative DHnorm_ID(link)
-for nonzero a, nonzero b in R, (a,b)=(r)인 r이 존재하고 r=gcd(a,b) up to associate, 따라서 te x,y, in R s.t. gcd(a,b)=ax+by
-for nonzero a, nonzero b in R, te x,y in R s.t. gcd(a,b)=ax+by, 따라서 (gcd(a,b))=({a,b})
-Every nonzero cprm-id is M-id(역은 CR_[1]에서도 성립)
(Characterization 빼곤 2개는 inverse가 성립함을 가리킴)
-Noetherian
-R=ED일 때
-(Characterization of ED)ID:ED iff ID has a EFnorm_ID
-Every id is p-id(그때의 generator는 norm이 minimum인 원소)
-for nonzero a, nonzero b in R, gcd(a,b)는 Euclidean Algorithm으로 구할 수 있다.
-Z(R)관련
-subring
-graded관련
-R:graded, id:graded일 때, R/id 또한 graded이고 homogeneous component of degree k 는 Rk/(id교Rk)와 isomorphic
-Functions Ring관련
-R=CR_[1]일 때 R[x]
-R[x]:CR_[1]
-R[x1,x2]:=R[x1][x2]로 several variables polynomial ring정의됨
-id:id of R, R[x]/id[x] riso R/id[x]
-따라서 id:cprm-id of R일 땐, id[x]:cprm-id of R[x]가 된다.
(M-id에 대해선 성립하지 않는다. 즉 id:M-id of R이라 해서 id[x]가 M-id of R[x]가 되진 않음)
-(Characterization of unit in R[x])P(x)=a0+a1x+...+anx^n:unit in R[x] iff a0:unit and ai:nilpotent for i>=1
-(Hilbert's Basis Theorem)(link1)(link2)
:R이 Noetherian이면 R[x]도 Noetherian
-R=ID일 때 R[x]
-R[x]:ID
-deg(P1)+deg(P2)=deg(P1P2)
-R[x]^* = R^* (zd가 없어서 nonzero nilpotent가 없기 때문)
-for nonconstant and monic P(x) in R[x], P(x):reducible in R[x] iff te a(x), b(x) in R[x] s.t. P(x)=a(x)b(x) and a(x),b(x)모두 nonconstant and monic
-for nonconstant and monic P(x) in R[x], P(x):reducible in R[x]이면 for any proper id of R, the reduced P(x) in (R/id)[x] can be factored into two smaller degree polynomials in (R/id)[x]
(이때 two polynomials가 nonconstant인지, monic인지 둘다 보장 안됨)
(역은 성립하지 않음)
(대우를 통해서 irreducible판정의 충분조건 얻음)
(Several Variables인 경우 조심, 예를 들면 Z[x,y]=Z[x][y]이고, (x)는 proper id in Z[x]이지만, Z[x]/(x) riso Z, 이런 경우)
-R=UFD일 때 R[x]
-(Gauss's Lemma)for P(x) in R[x], P(x):reducible in QF(R)[x]이면 P(x):reducible in R[x]
-(Gauss's Lemma의 Partial Converse)for P(x) in R[x], P(x):reducible in R[x] and gcd of coefficients of P(x)=1이면 P(x):reducible in QF(R)[x]
(gcd=1이란 조건이, 어떻게 사용되냐면 P(x)=a(x)b(x), a(x)와 b(x)모두 not constant임을 보장해줌)
(gcd=1이란 조건위해 대게 monic인 것 사용)
(예를 들면 2x+2는 Z[x]에서 reducible, Q[x]에서 irreducible이고 2x+1은 Z[x]에서 irreducible Q[x]에서도 irreducible)
-R:UFD iff R[x]:UFD
-따라서 R:UFD이면 R[x], R[x1,x2],...도 UFD
-for P(x) in R[x], if p/q in QF(R) s.t. P(p/q)=0 and gcd(p,q)=1, p는 P(x)의 constant를 나누고, q는 P(x)의 leading coefficient를 나눈다.
(특히 Z[x], QF(Z)=Q에서 주로 사용)
(for P(x) in R[x], P(x) has no root in QF(R)임을 보일 때 사용하기도 함, 2,3 degree가 no root in QF(R)이면 irreducible in QF(R)이고 따라서 P(x):irreducible in R[x])
-R=PID일 때 R[x]
-R[x]:PID이면 R은 사실 Field여야만 함
-R=ED일 때 R[x]
-R=F일 때 R[x]
-R[x]:ED(using degree norm), VS(F)
(역도 참)
-R[x]:ED이므로 UFD이고
-for any G(x) in R[x], G(x)=(P1(x))^m_1 * (P2(x))^m_2 * ... * (Pk(x))^m_k, 각 Pi(x)는 distinct하고 irreducible polynomials in R[x]
-R[x]/(G(x)) riso R[x]/((P1(x))^m_1) x R[x]/((P2(x))^m_2) x ... x R[x]/((Pk(x))^m_k)(using Chinese Remainder Theorem)
-P(x) has a factor of degree 1 iff P(x) has a root a in F, i.e. P(a)=0
-(Irreducible Criteria)P(x), degree 2 or 3, 가 reducible iff P(x) has a root a in F, i.e. P(a)=0
-(Lagrange Interpolation Formula)(link)
:특정 지점에서 특정 값을 갖게하는 최소 degree polynomial 건설방법(unique), link참고
-특히 F_p[x]의 경우
-x^p - x +a:irreducible over F_p for nonzero a in F_p(link)
-F[x1,x2,...,xn]관련
-qdf_F관련
-qdf1, qdf2:equivalent iff MT_qdf1 =_congruent MT_qdf2
(따라서 M_qdf, quadratic map부분 참조)
-F(x)관련
-F=QF(ID)라면, QF(ID[x])=QF(ID)(x)
-Aut(F(x)/F)의 원소 f는 f(x)만 결정되면 for a in F(x), f(a)가 결정됨(link1)(link2)
-Irreducibility of a polynomial
-실질적 방법
-(Finding Proper id)
:nonconstant and monic P(x) in ID[x], te proper id s.t. P(x) in (ID/id)[x] cannot factored two smaller degree polynomials이면 P(x):irreducible in ID[x]
(만약 모든 proper id에 대해서 factored two smaller degree된다면 irreducible인지 판정할 수 없다, 하지만, 어떤 id에 대해서 irreducible factorization의 degree와 다른 id에 대해서 irreducible factorization의 degree가 다르다면, P(x)는 irreducible일 수 밖에 없다.)
-(Finding Cprm-id, Eisenstein Criteria)
:nonconstant and monic P(x) in ID[x], te cprm-id s.t. coefficients of P(x)가 leading빼곤 다 cprm-id의 원소이고 상수항은 (cprm-id)^2의 원소가 아닌, 이면 P(x):irreducible in ID[x]
-(Root존재여부)
:nonconstant and (monic) P(x) in F[x],
-deg(P(x))=1이면 P(x):irreducible in F[x]
-deg(P(x))=2이고 no root in F이면 P(x):irreducible in F[x]
-deg(P(x))=3이고 no root in F이면 P(x):irreducible in F[x]
-P(x):reducible iff P(x+1):reducible
-관계
-P(x):irreducible in UFD[x]이면 P(x):irreducible in QF(UFD)[x]
-nonconstant and (monic) P(x):irreducible in QF(UFD)[x]이면 P(x):irreducible in UFD[x]
-Homomorphism관련
-ker(homor)는 id가 된다. homor:R1->R2일 때 R1의 id
-homor:R1->R2일 때 homor(R1):SR of R2
-homor:R1->R2에서 R1:field면 homor는 injective이거나 zero homor이다.
-Quotient Ring관련
-(First RISO Theorem)homor:R1->R2일 때, R1/ker(homor) riso homor(R1)
-(Second RISO Theorem)SR1 + id = SR2 이고 SR1교id1=id2 of SR1 이고 (SR + id)/id riso SR/(SR교id)(제일 마지막 결과가 앞선 2개를 포함함)
-(Third RISO Theorem)id1<id2일 때, id2/id1:id of (R/id1) 이고 (R/id1)/(id2/id1) riso (R/id2)
-(Fourth RISO Theorem)id가 있을 때, te bijection from {SR containing id} to {SR of R/id}게다가 id<E에 대해 E:ideal of R iff E/id:ideal of R/id
-(Chinese Remainder Theorem for CR_[1])id1,id2,...,idn에 대하여,
-homor:R->(R/id1)x(R/id2)x...x(R/idn) (homor된다는 점)
-ker(homor)은 id1교id2교...교idn
-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 ker(homor)=id1교id2교...교idn=id1id2...idn 그리고 homor가 surjective
-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 induced riso에 양변에 ^*을 취해도 성립(group of units끼리도 giso된다는 것)
-Matrix Ring관련
-for id of R, MT(id):id of MT(R)
-id:id of R일 때, id=ker(homor), where homor:MT(R)->MR(R/id)
-MT(R_[1])의 id는 MT(id) where id is ideal of R_[1]이 된다.
-MT(F)의 id는 0과 MT(F)뿐
-Group Ring관련
-R[G]가 CR <-> G가 abelian
-R의 1이 RG의 1이다.
-SR _< R, S _< G일 때, SR[G]와 R[S]는 R[G]의 subring이다.
-zd가 항상 존재.
-augmentation map:R[G]->R관련
-homor되고, ker은 계수합이 0인 것들
-ker은 ({g-1|g in G})
-ker은 M-id된다.
-다른 대표적 id는 g_i의 계수가 다 같은 것들
*Field Theory
-Basic
-id of F는 0와 자기자신뿐
-for SR of F s.t. contains the 1 of F, SR=ID
-char(F)=0 or prm이다. char(F)=0이면 F has a subfield isomorphic to Q, char(F)=prm이면 F has a subfield isomorphic to F_p
-F는 VS(F)로도 간주할 수 있다. 특히 F2/F도 가능
-F^*의 finite subgroup은 cyclic이다.(link)
-Extension Field관련
-(Existence of Extension Field using irreducible polynomial)
:P(x):irreducible in F[x]이면
-te F2/F s.t. F2 contain F as subfield and F2 contain a root of P(x)이고(link)
(homor f:F[x]->F[x]/(P(x)), for any P1(x) in F[x], P1(f(x))=f(P1(x))인 걸 생각)
-a=x (mod (P(x)) in F2라 할 때, a가 그 root이고, {1,a,a^2,...,a^(n-1)}:basis for F2 over F(deg(P(x))을 n이라할 때)
(즉 [F2:F]=n임을 앎)
(F2/F가 P(x)의 root를 갖고 있긴 한데, 모든 roots를 갖고 있진 않을 수 있음, 하지만 반복한다면 F와 all roots of P(x)를 포함하는 extension field만들 수 있음)
-F(a) isomorphic to F2(=F[x]/(P(x)))
-따라서 F(a)={linear combinations of {1,a,a^2,...,a^(deg(P(x))-1)}}로써 describe가능
(F와 P(x)의 root를 포함하는 field의 존재성을 보였는데, P(x)가 irreducible in F[x]일 땐사실상 증명을 통해 그게 unique up to isomorphism인 걸 보인 셈)
(사실 F[x]는 ED이고 따라서 UFD이므로 for any nonconstant P(x) in F[x]에 대해서도 같은 논의 가능, irreducible인 factor잡아서)
-char(F)=0이면 every finite length extension of F는 simple extension이다. 즉 F(a1,a2,...,an)=F(b)인 b존재
-F1 riso F2 by f이면
-induce F1[x] riso F2[x] by g이고
-for P(x):irreducible in F1[x], a:root of P(x), b:root of g(P(x))라 두면(b가 f(a)일 필요는 없음)
-te riso h:F1(a)->F2(b) s.t. h(a)=b and restriction of h on F1 is equal to f
(F2=F1인 경우면서 a != b인 경우 생각하면, F(a)와 F(b)는 대수적으로 같은 구조임을 앎)
-(Describing Simple Extension using algebraic element)
:a:alg(F)이면
-mP_(a,F)는 defined되고
-F(a) isomorphic to F2(=F[x]/(mP_(a,F)))
-deg(a)=deg(mP_(a,F))=[F(a):F]
-iff [F(a):F]:finite(a:alg(F)임을 판단하는 데에 쓰이기도 함)
-F2:FEF of F1이면 F2:AEF of F1(link)
-F2/F1, a:alg(F1)이면
-a:alg(F2)이고
-mP_(a,F2) | mP_(a,F1)
-F3/F2 and F2/F1이면 [F3:F1]=[F3:F2][F2:F1]
-F2:FEF of F1 iff F2=F1(a1,a2,...,ak) for some algebraic ai over F1
-for F2/F1, F2=F1(a1,a2,...,ak) for some algebraic ai over F1 s.t. [F1(ai):F1]=ni이라면 [F2:F1]<=n1*n2*...*nk
-for F2/F1, the collection of all algebraic element over F1 in F2 is the subfield of F2
-F3:AEF of F2, F2:AEF of F1이면 F3:AEF of F1(link)
-[F1F2:F]<=[F1:F][F2:F] with equality if gcd([F1:F],[F2:F])=1
-Classical Straightedge and Compass Constructions관련
-Construction Rule
(1) straightedge-이미 주어진 두 점을 이어 선분(직선)을 그릴 수 있다.
(2) compass-이미 주어진 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.(원점은 어디든 가능)
->기본적으로 가능한 일은,
-평행하지 않는 두 직선이 만나는 점을 찍을 수 있다.
-원과 직선이 만나는 점을 찍을 수 있다.
-두 원이 만나는 점을 찍을 수 있다.
-기초적으로 작도가능한 것들
(1) Euclidean Plane상에 각 좌표의 성분이 정수인 점들을 그릴 수 있다.
(2) 주어진 한 점(A), 한 직선(l), l에 평행이고 A를 지나는 직선을 작도 할 수 있다.
(3) 주어진 한 직선(l)상에 이미 아는 점(P)가 놓여있을 때, P를 지나고 동시에 l에 수직인 직선을 작도할 수 있다.
(구체적인 방법은 다음을 참고)
-http://blog.naver.com/mclub3/10184519519
-몇가지 Theorems
(1) a와 b가 constructible이면
a+b, a-b, ab, a/b도 constructible이다. (when b is not 0)
(a,b가 constructible일 때, ab가 constructible인 이유는 닮은삼각형 이용)
따라서 모든 contructible numbers의 set(F라 하자.)은 subfield of real numbers R
따라서 Q(rational numbers)은 subfield of 모든 constructible numbers의 set
(Q는 R의 smallest subfield이므로)
따라서 모든 유리수 길이의 segment는 그릴 수가 있다.
따라서 Euclidean Plane상에 각 좌표의 성분이 유리수인 점들을 그릴 수 있다.
(이 plane상에 추가적으로 더 찍힐 수 있는 points의 가능성은...3가지가 있다.
유리수 좌표의 두 점을 지나는 두 직선의 교점,
유리수 좌표의 두 점을 지나는 직선과 유리수 좌표의 점을 중심으로 하고 반지름을 유리수로 갖는 원의 교점,
유리수 좌표의 점을 중심으로 하고 반지름을 유리수로 갖는 두 원의 교점.
이 중에서
첫번째는 관심이 없고(새로 추가적으로 찍히는 point가 생기지는 않는다.)
세번째는 두번째로 귀결된다.
두번째는 관심이 있다. 새로 얻은 교점의 좌표가 유리수에 square root를 씌운 값이 나오기 때문
(2) F는 Q의 원소에 유한번의 사칙연산 과 유한번의 taking square을 통해 얻을 수 있는 모든 real numbers를 포함한다.(precisely)
(유한번의 사칙연산과 유한번의 taking square를 통해 얻은게 아닌 것은 F에 포함되지 않음을 보인다음, 유한번의 taking square만 증명하면 된다. 유한번의 사칙연산은 (1)에서 보임)
따라서 어떤 real number r이 constructible 이면 [Q(r):Q]=2^s for some integer s>=0.
따라서 F는 algebraic extension of Q (not finite extension!!!)
-3대 작도불가능
(1) 주어진 cube에 대해 그 cube의 volume의 2배인 cube을 작도할 수는 없다.
(2) 주어진 원의 넓이와 같은 정사각형을 작도할 수는 없다.
(3) 임의의 각을 3등분 하는 것은 불가능하다.(각 t의 작도<->cos(t)의 작도와 cos의 3배각 공식+20도 이용)
-각 t를 작도할 수 있음 iff cos(t)를 작도할 수 있음
-ac(F):ac-F
-for any F1, te a extension field F2 s.t. F1<F2 and F2:ac-F
-{x in F2 s.t. x:alg over F1}=ac(F1), ac(F1) is unique up to isomorphism
(즉 어떠한 ac-F인 F의 subfield F2의 algebraic closure는 F안에 있다, 예를 들면 C는 Q의 algebraic closure를 포함한다.)
-for char(F)=p, Frobenius_F is injective
-SptEF관련(F2:SptEF_(P(x),F1))
-For an irreducible poly Q(x) in F1[x] s.t. it has a root in F2, Q(x) splits completely in F2[x](link)
(역은 [F2:F1]<inf란 조건 필요)(link)
-Separable관련(F1<F2, f(x) in F1[x])
-(separable criteria)f(x) has a multiple root a iff a is a root of both f(x) and D_x(f(x))
-f(x):separable over F1 iff gcd(f(x),D_x(f(x)))=1 in F1[x]
-(separable criteria for a perfect field)F1:perfect일 때,
-f(x):separable over F1 iff f(x):product of distinct irreducible polynomials
-for F1:perfect일 때 F2:AEF of F1이면 F2:SEF of F1
-for F2:SptEF_(P(x),F1) with F1:perfect이면 F2:GEF of F1
-Cyclotomic Field of nth root of unity관련(Q(
-Cyclotomic Field of nth root of unity=SptEF_(x^n-1,Q)=Q(primitive nth root of unity)
-x^n - 1 = prod over all d:divisor of n CCTMP(x)_d(각 root of x^n - 1도 x^d - 1에선 primitive root가 되기 때문에)
-n=sum over all d:divisor of n ephi(d)(위의 identity에서 degree만 생각)
-CCTMP(x)_n은
-it is in Z[x](by induction on n, x^n - 1 identity and Gauss's Lemma)
-irreducible over Z(따라서 over Q에서도 irreducible)
-
-[Cyclotomic Field of nth root of unity:Q]=ephi(n)
-Aut관련, Galois Theory관련
-for f in Aut(F), f fixes the prime subfield of F
-for a in F2 s.t. alg over F1, for any f in Aut(F2/F1), a와 f(a) 모두 roots of m_(a,F1)
(즉, P(x) in F1[x]의 근 a in F2이면 for any f in Aut(F2/F1) f(a)도 P(x)의 근)
-for F1<F2<F3, Aut(F3/F2)<Aut(F3/F1)
-for S1<S2<Aut(F), F_S2 < F_S1
-for F2:SptEF_(P(x),F1), |Aut(F2/F1)|<=[F2:F1](=성립 iff P(x):separable over F1)
(좌측은 minimal polynomial의 distinct roots개수배만큼 곱해나가는 과정이고 우측은 minimal polynomial의 degree배만큼 곱해나가는 과정)
-for F1<F2<F3, S:subgroup of Aut(F3/F1)
-F3_S is a subfield of F3
-[F3:F3_S]=|S|<=[F3:F1], 특히 S=Aut(F3/F1)일 때를 보면, [F3:F3_Aut(F3/F1)]=|Aut(F3/F1)|<=[F3:F1]
(중요함, 첫번째 등호가 중요한데, multiplicative character on S, group의 character이용)
-Aut(F3/F3_S)=S, 즉 F3:GEF of F3_S for any S(증명은 [F3:F3_S]=|S|랑, S<=Aut(F3/F3_S)(subgroup)을 이용)
-S1 != S2이면 F3_S1 != F3_S2이다.
-if F2:FEF of F1, then F2:GEF of F1 iff |Aut(F2/F1)|=[F2:F1](이 경우 Aut(F2/F1)=G(F2/F1))
(증명은, ->은 위에서 보였고, <-은 minimal poly가 separable인 것을 보이면 됨)
(증명과정 중 다음도 알 수 있다. for a in F2, {all roots of m_(a,F1)}={all distinct galois conjugates of a over F1}
-for any f in Aut(F3/F1), Aut(F3/f(F2)) = f Aut(F3/F2) f^(-1)
-If F3:GEF of F1(즉 [F3:F1]=|Aut(F3/F1)|)
-F3:GEF of F2(즉 [F3:F2]=|Aut(F3/F2)|)(SEF NEF생각해보면 됨)(link)
-te bijection from {subgroup G s.t. G<Aut(F3/F1)} to {subfields F s.t. F1<F<F3}(link)
(Injection은 F3:GEF of F1이 없어도 성립, surjection은 F3:GEF of F1이어서 F3:GEF of F여서 성립)
-[F2:F1]=[Aut(F3/F1):Aut(F3/F2)](우변은 group index)
(F2:GEF of F1인지 모름, 보장안됨)
-[F3_S:F1]=[Aut(F3/F1):S]
-F<->G일 때 F:GEF of F1 iff G:normal in Aut(F3/F1)(link1)(link2)
(증명할 때를 참고하면 다음을 알 수 있다. If F3:GEF of F1, then every embedding g of F2 into closure of F1 fixing F1 is a restriction of f in Aut(F3/F1) on F2)
(즉, g(F2) < F3 라는 것)
-J<->G, K<->H일 때
-J교K <-> <G,H>
-JK <-> G교H
-for P(x):separable over F, disc(P(x)) is in F(왜냐하면 Aut(SptEF/F)의 모든 원소에 의해 fixed되므로)
-for monic P(x), disc(P(x)) is polynomial in the coefficients(왜냐하면 roots의 symmetric function이므로)
-finite field관련(F:finite field, char(F)=p, |F|=q)
-Frobenius_F is isomorphism
-the number of distinct subspaces W of dimW=k of dimV=n = (q^n - 1)(q^n - q)...(q^n - q^(k-1)) / (q^k - 1)(q^k - q)...(q^k - q^(k-1))
*Module Theory
-(R-subMd Criteria)E:subset of R-Md가 다음을 만족하면 E는 R-subMd이다.
:E is non-empty
for all r in R, for all x,y in E, x+ry is E
(Vector Space배울 때, subspace판별법과 같다.)
-Torsion관련
-Tor(Md)가 submodule되려면 R:ID여야함
-T
-Ann관련(M:R-Md, N:subMd of M, id:Rid of R)
-Ann_R(N)관련
-for N1<N2이면 Ann_R(N2)<Ann_R(N1)
-for R:PID, N1<N2 with Ann_R(N1)=<a>, Ann_R(N2)=<b>이면 a|b
-Ann_M(id)
-we can make Ann_M(id) an (R/id)-Md
-EDP(M1,M2,...,Mn)/EDP(S1,S2,...,Sn) R-md iso EDP(M1/S1,M2/S2,...,Mn/Sn), where Mi:R-Md, Si:R-subMd of Mi
-for finitely many R-subMd들 N1,N2, ..., Nk, L:=N1+N2+...+Nk라 했을 때
-TFAE
-L이 direct sum of Ni
-for any j in {1,2,3,...,k}, the intersection of Nj and the sum of Ni without Nj = {0}
-L isomorphic N1xN2x...xNk(componentwise로 R-Md만든거)
-for R:R_[1], M:R-Md, te I:injective R-Md s.t. M<I(따라서 Injective hull of M의 존재성 보일 수 있다.
(즉, any R_[1]-Md is a submodule of an injective Md)
-(Characterization of Noetherian Module)
for M:left R-Md, TFAE
-M:Noetherian
-Every nonempty set of submodules of M contains a maximal element under inclusion
-Every submodule of M is finitely generated
(주의:M:finitely generated라 해서 M의 subMd가 finitely generated인 게 보장이 안됨)
-Homomorphism, Quotient Module관련
-Hom(R-Md1,R-Md2):abelian group
-R이 commutative이면 Hom(R-Md1,R-Md2)는 R-Md가 될 수 있다.
-End(R-Md)은 R_[1]
-R이 CR_[1]이면 End(R-Md)는 R-A도 됨
-for M:R-Md, N:R-subMd of M, M/N:R-Md된다.
-for M:R-Md1, N:R-Md2, f in Hom(M,N), M/ker(f) isomorphic to Im(f) as module
-for R:R_[1], M:left R-Md, Hom(R,M) isomorphic to M as module
-for M:R-subMd, N:R-subMd, (M+N)/N isomorphic to M/(M교N)
-for N:R-subMd of L, N:R-subMd of M, (L/M)/(N/M) isomorphic L/N
-{R-subMd of M containing R-subMd N} bijective {R-subMd of M/N}
-This correspondence commutes with the processes of taking sums and intersections
-Hom(M,~)을 취하는 경우, M:R-Md
-Hom(M,EDP(M_i)) isomorphic to EDP(Hom(M,M_i))(finite경우만 link)
-for f in Hom(R-Md1, R-Md2), te homog f' s.t. f':Hom(M,R-Md1)->Hom(M,R-Md2)
(f가 injective이면 f'도 injective)
-for M,M1,M2,M3:R-Md, ES(0,M1,M2,M3) iff ES(0,Hom(M,M1),Hom(M,M2),Hom(M,M3))(link1)(link2)
(따라서 Hom(M,~)을 left exact covariant functor라 한다.)
-SES(M1,M2,M3,f1,f2):split iff SES(Hom(M,M1),Hom(M,M2),Hom(M,M3),f1',f2'):split
(split란 조건없었으면 SES가 유지안됨)
-(Characterization of Projective R-Md)for M,N,L,P:R-Md, TFAE(link1)(link2)
-P:Projective
-P is a direct summand of a free R-Md
-if SES(L,M,N), then SES(Hom(P,L),Hom(P,M),Hom(P,N))
-(Projective modules의 성질)
-P1,P2:Projective R-Md이면 EDP(P1,P2)도 Projective R-Md
-for R:CR_[1]이고 P1,P2:Projective R-Md이면 TP(P1,P2)도 Projective R-Md
-Hom(~,M)을 취하는 경우, M:R-Md
-Hom(direct sum of M_i,M) isomorphic to EDP(Hom(M_i,M))(finite경우만 link)
(direct sum이란 것에 주의)
-for M,M1,M2,M3:R-Md, ES(M1,M2,M3,0) iff ES(0,Hom(M3,M),Hom(M2,M),Hom(M1,M))(link1)(link2)
(따라서 Hom(~,M)을 left exact contravariant functor라 한다.)
-SES(M1,M2,M3,f1,f2):split iff SES(Hom(M3,M),Hom(M2,M),Hom(M1,M),f1',f2'):split
(split란 조건없었으면 SES가 유지안됨)
-(Characterization of Injective R-Md)for M,N,L,I:R-Md, TFAE(link1)(link2)(link3)(link4)
-I:Injective
-for any Lid of R, any f in Hom(Lid,I) can be extended to Hom(R,I)
-if SES(L,M,N), then SES(Hom(N,I),Hom(M,I),Hom(L,I))
-(R:PID일 때) for any nonzero r in R, rI=I
(따라서 R:PID일 때, injective R-Md를 Injective R-subMd로 쪼개면 Injective R-Md됨)
-for R:CR_[1], M,N:left R-Md, f:M^n->N이 n-multilinear alternating일 때
-정의역의 adjacent components 2개를 바꾸면 함숫값이 -1달고 나옴
-정의역의 index에 permutation씌우면 함숫값에 the sign of the permutation을 곱한 것을 얻음
-꼭 인접한 것 2개 아니더라도 정의역의 components중 2개가 같으면 0됨
-
-Free관련
-For R:R_[1], A:set, te FM(R,A) satisfying universal property(link)
-For M:R-Md free on A, M:isomorphic to FM(R,A)
(따라서 free on A인 R-Md끼리는 모두 isomorphic as R-Md)
-Any R-Md1 is quotient of a free R-Md2
-For R:CR_[1], M:R-Md free on A, |A|=n일 때
-M isomorphic R^n(즉 finite rank free module은 사실상 R^n)
-For S:ring s.t. R<S, S^n isomorphic TP(S,R^n) as left S-Md
-For R:CR_[1], M:R-Md free on A, |A|=n, N:R-Md free on B, |B|=m일 때
-TP(M,N) isomorphic R^(mn)
-free, projective, injective, flat포함관계
-free이면 projective
-projective이면 flat
-For R:ID, M:R-Md free of rank n<inf일 때 any n+1 elements는 R-linear dependent(증명은 R의 quotient field로 끌고가서 해서 vector space thm이용)
(즉 free Md에 대한 rank정의와 R:ID일 때 rank정의는 Md가 free이면 부합됨을 알 수 있으나, not free Md인 경우에는 rank개념 조심)
(예를 들면 R:ID, M:R-Md, rank(M)=n이라해서 M이 free인게 보장이 안됨)
-For M:free R-Md이면
-every subMd of M is torsion free
-Tensor Product관련
-for R:R_[1], M:left R-Md, TP(R,M) isomorphic M
-for R:R_[1], M:right R-Md, TP(M,R) isomorphic M
(Universal Property of TP wrt balanced maps)
-for R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md, G:abelian group, |{f:MxN->G s.t. f:R-balanced}|=|{homog:TP(M,N)->G}|
(정의역이 TP(M,N)이고 공역이 G인 homog를 정의하려고할 때, homomorphism인지 체크하기가 쉬워진다.)
-TP(M,N)의 algebraic structure
-R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md이면 TP(M,N):abelian group
-S:R_[1]. R:R_[1], M:(S,R)-biMd, N:left R-Md이면 TP(M,N):left S-Md
-S:R_[1]. R:R_[1], M:right R-Md, N:(R,S)-biMd이면 TP(M,N):right R-Md
-R:CR_[1], M:SR-Md, N:SR-Md이면 TP(M,N):SR-Md
(Universal Property of TP wrt bilinear maps)(link)
-for R:CR_[1], M:SR-Md, N:left R-Md, L:left R-Md, |{f:MxN->L s.t. f:R-bilinear}|=|{homoMd(TP(M,N),L)}|
(정의역이 TP(M,N)이고 공역이 L인 homoMd를 정의하려고할 때, homomorphism인지 체크하기가 쉬워진다.)
(n-multilinear로 확장가능)
-TP(f1,f2)의 algebraic structure
-For R:R_[1], M1:right R-Md, M2:right R-Md, N1:left R-Md, N2:left R-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2)이면 TP(f1,f2):homog
-For S:R_[1], R:R_[1], M1:(S,R)-biMd, M2:(S,R)-biMd, N1:left R-Md, N2:left R-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2)이면 TP(f1,f2):left R-Md homomorphism
-For R:CR_[1], M1,M2,N1,N2:SR-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2)이면 TP(f1,f2):R-module homomorphism(SR)
-(composite commutes with tensor product of R-Md homo)TP(f1,f2) o TP(g1,g2) = TP(f1 o g1, f2 o g2)
(Associativity of Tensor Product)
-TP(M,TP(N,L)) isomorphic TP(TP(M,N),L)(각각이 잘 정의된 상황에서 그리고 그 때의 algebraic structure로써 isomorphic)
(따라서 Tensor Product를 여러번하는게 잘 정의됨)
(Tensor Products commute with direct sums)
-TP(direct sums of Mi,N) isomorphic direct sums of TP(Mi,N)
-TP(M,direct sums of Ni) isomorphic direct sums of TP(M,Ni)
(summand가 유한개일 필요 없다, 무한개라도 direct product가 아닌 direct sum이기만 하면 성립함)
(각각이 잘 정의된 상황에서 그리고 그 때의 algebraic structure로써 isomorphic)
(Commutativity of Tensor Product)
-For R:CR_[1], M,N:SR-Md이면 TP(M,N) isomorphic TP(N,M)
(그렇다고 tp(m,n)이랑 tp(n,m)이 같은 것은 아님)
-TP(M,~)(TP(~,M)도 같음, commutativity of Tensor Product때문)를 취하는 경우
-for M:right R-Md, M1,M2:left R-Md, f in Hom(M1,M2)일 때 f가 surjective이면 tp(1,f):TP(M,M1)->TP(M,M2)도 surjective
-for M:right R-Md, M1,M2,M3:left R-Md, ES(TP(M,M1),TP(M,M2),TP(M,M3),0) iff ES(M1,M2,M3,0)
-if SES(M1,M2,M3):split, then SES(TP(M,M1),TP(M,M2),TP(M,M3)):split
-(Adjoint Associativity)
-for M1:right R-Md, M2:(R,S)-biMd, M2:right S-Md일 때 Hom(TP(M1,M2),M3) giso Hom(M1,Hom(M2,M3))
-MD over PID관련
-R:PID이고 M:R-Md, N:subMd of M
-M이 free이고 finite rank n 이라면 N도 free이고 te a basis {x1,x2,...,xn} for M s.t. te a1,a2,...,am in R s.t. {a1x1,a2x2,...,amxm}:basis for N and a1|a2|a3|...
-M:cyclic인 경우 M은 R/(a) where (a)=Ann_R(M)(homoMd:R->M에서 kernel과 first isomorphism thm이용)
-M이 finitely generated이면
-(invariant factor form)M is isomorphic to direct sum of {R^r, R/(a1), R/(a2), ... , R/(am)} s.t. r:nnn integer, a1|a2|...인 not unit ai들
-(elementary divisor form)M is isomorphic to direct sum of {R^r, R/(p1^a1), R/(p2^a2), ... , R/(pm^am)} s.t. r:nnn integer, pi:prime(not necessarily distinct)
-M:free iff M:torsion free
-Tor(M) is isomorphic to direct sum of {R/(a1), R/(a2), ... , R/(am)}, 이경우 Ann_R(M)은 (am)
-(Primary Decomposition Theorem)
M:nonzero torsion R-Module with nonzero annihilator a=u(p1)^a1(p2)^a2...(prime factorization, u:unit), Ni:={x in M s.t. (pi)^ai x =0}일 때 M은 direct sum of Ni
-R:F[x]인 경우, V:VS(F), f:LT(V), P(x) in F[x](V는 F-Md일 뿐만 아니라, F[x]-Md도 됨, using f for x action on V)
-mP(f) is the largest invariant factor of V and all invariant factors of V divide mP(f)
-Z-Md관련(Abelian Group의 성질)
-Every Abelian Group is a Z-Md
-Every Z-Md is an abelian group
-Z-Md homomorphisms are the same as abelian group homomorphisms
-|G|=m일 때 G is Z/mZ-Md
-특히 m=prm이면 G is Z/pZ-Md, 즉, G is VS(pZ)
-For M:Z-Md, M:Injective iff M:divisible
-For M1,M2:injective Z-Md, EDP(M1,M2):injective
-Every Z-Md is a subMd of an injective Z-Md
(즉 any abelian group은 divisible group의 subgroup)
-there is no finite abelian divisible group
-any quotient of divisible group is a divisible group
-EDP of divisible is divisible
-for M:divisible group, N:torsion abelian Group, TP(M,N)=0(as Z-Md)
-finite abelian group의 성질
-direct product of of its sylow subgroups(nilpotent이므로)
-invariant factor가 group을 결정하고 group이 invariant factor을 결정함, G:of type (n_1,n_2,...,n_k)으로 표현 가능
-|G|=n일 때, 다음을 만족해야함
-n_i>=2 for all i=1,2,...,k
-n_(i+1) | n_i
-n_1*n_2*...*n_k=n
(따라서 n_1은 n의 모든 prm factor을 가진다.)
-elementary divisors을 이용한 elementary divisor decomposition을 이용하면 |G|=n인 abelian group classification 쉬움
(왜냐하면 n_i에 관한 곱셈조건이 덧셈조건으로 바뀌기 때문)
(elementary divisors를 이용하여 finite abelian group classification한 다음에 표를 만들어 invariant factors로 표현!)
-infinite인데 finitely generated abelian인 group의 성질
*Vector Space
-Basic
-(Hamel Basis)모든 VS(F)는 basis를 갖는다.
-따라서 VS(F)의 임의의 subspace는 complement를 갖는다.(즉 direct summand인)
-따라서 free F-Md이고 projective이다.
-F의 원소에 norm을 줄 수 있다면, 모든 VS(F)는 nvs가 될 수 있다.(using Hamel Basis)
-(Rank Theorem for LT)dim(VS(F))=n이고 dim(LS)=m이면 dim(VS(F)/LS)=dim(VS(F))-dim(LS)(n,m중 inf가 있어도 성립)
(따라서 LT(VS1(F),VS2(F))를 이용해 생각하면 dim(VS1(F))=dim(ker(LT))+dim(Im(LT))
-projective, injective, flat
-For V1,V2:VS(F)일 때 TP(V1,V2):VS(F)
(특히 이 경우 tp(v1,v2):nonzero for nonzero v1,v2임을 알 수 있다. 그냥 R-Md의 TP에선 성립안할 수도 있음)
-F:finite field with q elements일 때
-dim(VS(F))=n인 경우
-VS(F)의 different bases개수는 (q^n - 1)(q^n - q)...(q^n - q^(n-1))
-dim(LS)=k인 LS의 개수는 C(n,k)_q
-f-dim관련
-dim(VS(F))=n이면 VS(F):isomorphic as vector space to F^n
(따라서 dimension이 같고 base field가 같은 VS는 서로 isomorphic)
-F^n:VS(F)
(n=1일 때 생각하면 어떤 F든 VS(F)로 간주가능)
-VS(F)와 linear인 f:VS(F)->VS(F)를 1개씩 택할 때 마다 F[x]-Md를 만들 수 있고(set으로는 VS(F)그 자체이면서) 역으로도 가능
(x에 대한 action을 f로써 이용하여 정의하면 됨)
({W:F[x]-submodule} bijective {W:subspace of V and W:f-invariant})
-Function관련(정의역의F와 공역의 F가 다를 순 있으나 그래봤자 subfield관계여야함)
-VS(F)xVS(F)->F
-for (VS(F), b):quadratic space, SMT:a symmetric matrix associated to one of the forms in the equivalence class, f:qdf corresponding to SMT
-TFAE
-SMT:invertible
-b:regular
-rad(b)={0}
-if b:regular, then
-(Dimension Formula)dim(LS)+dim(LS^ㅗ)=dim(VS(F))
-(LS^ㅗ)^ㅗ = LS
-D(f) consists of a union of cosets of F-{0}/(F-{0})^2 as multiplicative groups
-D(f) is not a subgroup of F-{0}, in general
-
-for symmetric bilinear form f on VS(F)
-for E:orthonormal set, E:maximal iff for any x in VS(F) s.t. {x},E:orthogonal, x=0
-for E1:orthonormal set, te E2:maximal orthonormal set s.t. E1<E2
-rad(f) is a LS of VS(F)
-te a linear subspace W s.t. f=f_rad(f) ㅗ f_W and f_W:regular(unique up to isometry)
-W교W^ㅗ=rad(f_W)
-for a linear subspace W,
-TFAE
-dim(VS(F))=dim(W)+dim(W^ㅗ)(link)
(이렇다고해서 VS(F)=direct sum of W, W^ㅗ란 소리는 아님)
-W교rad(f)=0
-TFAE
-f_W:regular
-VS(F)=IDP(W,W^ㅗ)
(따라서 f_W:regular이면 f=f_W ㅗ f_(W^ㅗ))
-if f:regular, then W=(W^ㅗ)^ㅗ
-if f:regular and f_W:regular, then f_(W^ㅗ):regular
-any symmetric bilinear form f is diagonalizable(즉 특정 basis for VS(F)를 잡으면 f의 대응되는 matrix가 DMT(0,0,...0,a1,a2,..,ak)됨(앞 zero파트는 rad, 뒷 nonzero ai파트는 regular part)
-diagonal form계산관련
-<a1,a2,...,ak>, 어느 entry에도 F^*의 제곱을 곱해도 form은 isometric
-<a1,a2,...,ak>, a의 index를 permutation해도 form은 isometric
-for H(VS(F))
-h:regular
-(Characterization of H(VS(F)))
-for
-VS1(F)->VS2(F)
-LT(VS1(F),VS2(F))가 bijective하면 inverse도 linear(그냥 바로 확인됨)
-VS(F)->F(as VS(F))
-LF관련(V:VS(F), S:subspace of V, g:S->F, f:V->F)
-(Hahn-Banach in VS)(link)
-g:subLF(V,R), f:LF(S) s.t. f<=g on S일 때, te F:LF(V) s.t. F=f on S and F<=g on V
(즉 LF(S)가 어떤 subLF보다 작다면(subLF는 전체에서 정의된), LF(S)는 extension가능)
(증명은 일단 S에다가 1차원만 늘리는 걸 찾은 다음에 HMP써서 얻으면 됨)
(g:convF여도 성립)
-VS(F)가 f-dim일 때(dim(VS(F))=n)
-LF관련(V:VS(F), S:subspace of V, g:S->F, f:V->F)
-with inner product <,>
-f:LF일 때, for any v in V, f(v)=<v,a> for some a in V(Orthonormal basis잡고 표현한거 생각)
({b_i}:orthonormal basis일 때 a=sum ct(f(b_i))b_i라 두면 된다. )
-M_qdf관련
-qm_qdf1 = qm_qdf2 iff qdf1=qdf2
-qm_qdf(ax)=a^2 * qm_qdf(x)
-b_qdf:symmetric bilinear form
-qm_qdf and b_qdf determined each other
-b:symmetric bilinear form on VS(F)가 주어지면 qdf_b, qb_b정의가능
-(VS(F),b) determines uniquely an equivalence class of qdf
(따라서 qdf관련 내용은 symmetric bilinear form에 대한 성질로부터 연구됨)
(symmetric bilinear form부분 참고)
-VS1(F)와 VS2(F)가 둘다 f-dim일 때(dim(VS1(F))=n , dim(VS2(F))=m)
-LTC(VS1(F),VS2(F)) is isomorphic to CMT(F)(mxn) as vector space
(따라서 LTC(VS1(F),VS2(F))는 dim이 mn인 VS(F))
(즉 LT(VS1(F),VS2(F))는 MT(F)로 표현이 가능 using fixed two ordered basis)
(이때 이 MT(F)는 represents LT(VS1(F),VS2(F))라 한다.)
-f1:LT(VS1(F),VS2(F)), f2:LT(VS3(F),VS4(F)), with dim(VS3(F))=l, dim(VS4(F))=k일 때
-TP(f1,f2):LT(TP(VS1(F),VS3(F)),TP(VS2(F),VS4(F)))이고
-represent하는 MT는 KP(f1의 represent MT, f2의 represent MT)
(TP(MT1(F),MT2(F))를 가리킴, where MT1(F):representing f1, MT2(F):representing f2)
-Every MT(F) is similar to a UMT(F)(F:ac-F일 때)
-About LMT, UMT
-LMT끼리 곱하면 LMT
-UMT끼리 곱하면 UMT
-About OMT
-det(OMT)=(-1) or 1
-About TMT
-임의의 invertible MT는 TMT(B1,B2)로 간주할 수 있다.
-TMT(B1,B2)를 구하는 방법은 B1의 원소들의 B2좌표들로 column을 만들면 된다.
-TMT(B1,B2)에다가 [v]_B1을 곱하면 [v]_B2가 나온다.
-TMT(B1,B2)는 invertible and TMT(B2,B1)=inv(TMT(B1,B2))이다.
-TMT(B1,B2)의 (i,j)성분은 B1의 j번째 원소의 i번째 좌표 along B2
-About Proj(LS1,LS2)
-MT:Projection Matrix iff MT is idempotent(link)
-MT:projection matrix onto LS1 along LS2라면 IMT-MT는 Projection matrix onto LS2 along LS1이다.
(Im(MT)=ker(IMT-MT), ker(MT)=Im(IMT-MT)가 성립됨)
-dim(LS1)=r일 때, MT:Projection matrix onto LS1 iff MT:similar to diag(1,1,1,...,1,0,...,0), 1이 r개(link)
-rank(Projection matrix)=tr(projection matrix)(link)
-det=1
-About det
-det(MT1MT2)=det(MT1)det(MT2)
-det(MT)=det(rt(MT))
-det(ct(MT))=ct(det(MT))
-det(IMT - MT1MT2) = det(IMT - MT2MT1) if MT1MT2 and MT2MT1 are defined(link)
-spec(MT1MT2) = spec(MT2MT1) if MT1MT2 and MT2MT1 are defined except 0(즉 0의 중복도는 다를 수도 있음)
-About perm(MT)
-MT of mxn (m<=n)에서도 정의 된다 using σ:[m]->[n], injective
-Square MT일 때
-invariant over P*MT*Q where P,Q:permutation matrix
-invariant over transpose
-Laplace Expansion Theorem for permanent, (link)
-perm(MT1+MT2) = ... (link)
-
-About unimdMT
-invertible
-inverse도 unimdMT(M^(-1) = adj(M)/det(M)생각)
-integral egv는 반드시 1 or -1(link)
-About Invertible
-{x1,x2,...,xm}이 lind일 때 MT=[x1,x2,...,xm], ct(MT)*MT는 invertible이다.(Null(ct(MT)*MT)생각)
-TFAE
-MT:invertible
-MT has not 0 eigenvalue(link)
-det(MT) not 0
-About trace
-tr(MT)=tr(rt(MT))
-tr(MT1MT2)=tr(MT2MT1)
-tr(MT1MT2MT3)=tr(MT2MT3MT1)=tr(MT3MT1MT2), not equal to tr(MT1MT3MT2)
-tr(MT)=sum of egv with the coefficients of am(egv)(using jordan form)
-tr(projection matrix)=rank(projection matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)
-tr(idempotent matrix)=rank(idempotent matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)
-tr(nilpotent matrix)=0(왜냐하면 nilpotent matrix의 egv는 0뿐인 걸 통해 알 수 있음)
-(Shoda's Theorem)tr(MT)=0 iff MT:commutator(즉 te MT1, MT2 s.t. MT=MT1MT2 - MT2MT1)(link)
-If W:subspace of V, LT:V->V, LT(V)<W, then tr(LT)=tr(restriction of LT on W)(link)
-LT:MT(nxn)(R)->R(std) s.t. LT(MT1MT2)=LT(MT2MT1)이면 LT는 trace의 scalar multiplication
(proof는 e_(i,j)적절히 사용, LT(MT)=trace(MT)LT(e_(1,1))을 보임)
-About MPinv(MT)
-MPinv(MT)구하는 방법
-MT의 rank를 구한다. say r
-LU-Factorization of MT한 다음 L의 first r columns로 B, U의 first r rows로 C
-MPinv(MT)=rt(C) * inv(C*rt(C)) * inv(rt(B)*B) * rt(B)
-Ginv(MT)구하는 방법
-MT의 rank를 구한다. say r
-LU-Factorization of MT한 다음 L의 first r columns로 B, U의 first r rows로 C
-(CB):invertible이면 Ginv(MT) = B * inv(CB) * inv(CB) * C
-About Rank
-rank is subadditive
(rank(A+B)<=rank(A)+rank(B)-max(c,d), where c=dim(col(A)교col(B)), d=dim(row(A)교row(B))
-M:real entries이면
-rank(M)=rank(rt(M)M)=rank(Mrt(M))=rank(rt(M))
(증명은 M과 rt(M)M의 kernal비교)
-M:complex entreis이면
-rank(M)=rank(ct(M))=rank(rt(M))=rank(bar(M))=rank(ct(M)M)=rank(Mct(M))
(bar(M)은 모든 성분에 conjugate씌운 것)
-About charP(MT), mP(MT)
-{charP(MT)=0의 해}={egv(MT)}
-charP(MT)=charP(rt(MT))=charP(ct(MT))
-for monic P(x) in F[x], charP(cpMT(P(x)))=P(x)
-direct sum of MT1, MT2, ... 의 charP는 the product of charP(MTi)
-charP(MT)=the product of all invariant factors of MT(MT랑 RCF(MT)는 similar니까)
-(Cayley-Hamilton Theorem)mP(MT)|charP(MT)(mP(MT)는 the largest invariant factor이므로)
-charP(MT)|(mP(MT))^k for some k
-mP(diag)은 squarefree
-mP(JCF(MT))은 lcm(mP(jordan block1), mP(jordan block2), ...)이다.
-charP(MT,x)의 계수
-x^n의 계수 =1
-x^(n-1)의 계수 = sum of all first-order diagonal minors of MT * (-1) = tr(MT) * (-1)
-x^(n-2)의 계수 = sum of all second-order diagonal minors of MT
-...
-x^0의 계수 = det(MT) * (-1)^n
-About Equivalence Relations
-About Equivalence
-MT1 =_equi MT2
iff MT2 can be transformed into MT1 by a combination of ERO and ECO
iff MT1, MT2 have the same rank
-MT =_equi RREF of MT
-About Similar
-MT1과 MT2가 similar란, same linear operator인데 with different basis
-for F1<F2, MT1과 MT2가 over F1에서 similar iff MT1과 MT2가 over F2에서 similar(using RCF, uniqueness)
-similar이면 공유하는 것들
-rank
-det
-charP(즉 charP is independent of choice of basis)(link)
-tr
-egv and am(egv), gm(egv) (주의, egS는 공유안함, similar하게해주는 invertible MT에 의해 달라짐)
-mP
-elementary divisor(module하면서 정리)
-RCF
(MT와 RREF of MT는 similar가 아니다)
-dgMT경우
-similar인 DMT의 대각성분은 egv이고 invertible MT는 egv에 대응되는 egv로 이루어진다.
-(Characterization of dgMT) TFAE(link1)(link2)(link3)
-MT:dgMT
-lind인 n개의 egv를 가짐
-VS(F)=direct sum of all egs of MT
-any MT-invariant subspace has an MT-invariant complement(단 ac-F일 때)
(즉 MT:semisimple)
(따라서 MT의 egv가 서로 다른 n개로 존재한다면 dgMT가 됨, 하지만 dgMT라 해서 서로 다른 n개의 egv를 가지는 건 아니다.)
-mP(MT):squarefree
(각 invariant factor에서 linear factor가 1개씩만 있다는 것)
-{MT}:commuting이면 te a common egv for {MT}(link)
-for C:{dgMT}, C:commuting iff C:dg{MT}(link)
-C:dg{MT}이면 C의 원소의 합과 차도 dgMT가 된다.
-MT:dgMT이고 S:MT-invariant subspace이면 restriction of MT on S도 dgMT
-Every MT =_sim UMT(Using Jordan Canonical Decomposition)
-(Schur)Every MT =_usim UMT with egv diagonals
-About Congruent
-if MT2 = rt(...)MT1(...), then MT1 =_congruent MT2
(MT1에 ERO을 좌승하고 그 ERO의 transpose를 우승, 이렇게 반복해서 얻으면 congruent)
-MT:SMT iff MT:odgMT iff MT =_congruent DMT
-(Sylvester's Law of Intertia)MT1:SMT, MT2:SMT일 때
MT1 =_congruent MT2 iff inertia(MT1)=inertia(MT2)
-About egv, egv, egS
-임의의 MT에 대해 적어도 1개의 egv가 존재(ac-F란 조건 필요)
-egv(MT)를 모두 곱하면(counted by algebraic multiplicities) det(MT)를 얻는다.(charP(MT)에 x=0대입해보면 앎)
-egv(MT)를 모두 더하면 tr(MT)가 나옴(직접 (n-1)의 계수를 구하는 방식으로)
-한 MT에서 얻은 서로 다른 egv의 egv는 lind(link)
-egs(MT,egv1)+egs(MT,egv2)+...은 direct sum이 항상 됨
-egs(MT,egv1), egs(MT,egv2)...의 direct sum이 전체 VS(F)이 된다면, MT는 dgMT(역도 성립)
-gm(MT, egv1)<=am(MT, egv1)
-the sum of gm(MT,egv_i)=MT의 size iff MT:dgMT iff gm(egv_i)=am(egv_i) for each i
-spec(MT1MT2) = spec(MT2MT1) if MT1MT2 and MT2MT1 are defined(0의 중복도는 빼고)
-if {λ1,λ2,...,λn}:spec(MT)
-{λ1+1, λ2+1,...,λn+1}:spec(MT+IMT)
-{a+b*λ1, a+b*λ2, ..., a+b*λn}: spec(a*IMT+b*MT)
-specR(MT+IMT)<=1+specR(MT)
-(egv,egv1=x) of rt(MT) and (egv, egv2=y) of MT일 때
-egv * sum of xi = sum of xi*ith row sum
-egv * sum of yi = sum of yi*ith column sum
-Canonical Form관련
-RCF(MT):the rational canonical form of MT
-RCF(MT) is unique
-MT =_sim RCF(MT)
-MT1 =_sim MT2 iff RCF(MT1)=RCF(MT2)
-for F1<F2, M:MT(F1)이라 할 때, M은 MT(F2)로도 간주되고, 전자로보나 후자로보나
-RCF 같게 나옴(by uniqueness)
-invariant factors가 같음
-mP(MT)가 같음(the largest invariant factor이므로)
-charP(MT)가 같음(모든 invariant factors의 곱이므로)
-SNF(MT):the smith normal form of MT
-SNF(MT) =_equi (xIMT-MT) and SNF(MT) is unique
-
-JCF(MT):the jordan canonical form of MT
-JCF(MT) is unique up to a permutation of the jordan blocks along the diagonal
-MT =_sim JCF(MT)
-(Jordan-Chevalley Decomposition)JCF(MT)에서 diag인 부분을 semisimple part, upper triangular part를 nilpotent part(link1)(link2)
구체적으로 쓰면
-for F:ac-F, any f-dim VS(F), any f:LT(VS(F)), te! f1:LT(VS(F)), f2:LT(VS(F)) s.t. f=f1+f2 and f1:semisimple, f2:nilpotent, f1 and f2:commute
-te polynomials P1(x), P2(x) s.t. P1,P2 둘다 constant term없고 P1(f)=f1, P2(f)=f2,
-for LS1<LS2<VS(F) s.t. f(LS2)<LS1일 때, f1(LS2)<LS1 and f2(LS2)<LS1이다.
(P1만 잘 만들면 P2(x)=x-P1(x)하면 되고 다 확인됨)
-FNF(MT):the Frobenius normal form of MT
-(Existence of FNF for any MT in MT(nxn)(C))(link)
-About Irreducible MT
-MT:irreducible이면 k*IMT + l*MT도 irreducible(for nonzero k,l)
-the smallest number of nonzero elements of an irreducible MT of order n = n(link)
-MT has at least one nonzero element in each line(행, 열 모두) iff te Q:permutation MT s.t. MTQ:irreducible(link1)(link2)
-F=C인 경우(R(std)도 포함, SMT관련 등)
-(Gershgorin Circle Theorem)for A:MT(C)(nxn), R_i:=sum over j(j!=i) |a_(i,j)|, D_i:=B(aii,R_i), called Gershgorin disc, then for any egv of A, egv in D_i for some i(link)
-About Normal, NMT
-HMT, skew-HMT, UnMT 모두 NMT이다.
-TFAE
-MT:NMT
-for any x in C^n, ||MT*x||_2 = ||ct(MT)*x||_2(link)
-MT:udgMT
-MT:maximal orthonormal egv를 가짐(즉 lind인 n개의 egv)
(MT=MT1 * DMT * inv(MT1), where MT1:columns이 egv, DMT:diagonal이 egv, 이걸 MT의 eigendecomposition이라 한다. MT가 NMT일 때 가능, iff)
-MT =_usim NMT iff MT:NMT
-About HMT
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-(Characterization of HMT)
-M:HMT
iff for any x in C^n, ct(x)Mx:real
iff NMT이고 모든 egv가 real이면 HMT이다.(link)(and NMT이면 udgMT이용)
-{all HMT}:closed under real scalar multiplication and +
-모든 대각성분은 real
-for H:HMT(h_(i,j)), column vector h=[h_(1,1), h_(2,2), ..., h_(n,n)], λ=[λ1, λ2, ..., λn] where λi:egv of HMT, te DSMT s.t. h=DSMTλ(link)
-(Toeplitz decomposition)for any M in M(nxn)(C), te! HMT1,HMT2 s.t. M=HMT1 + i*HMT2
-(HMT)^k도 HMT
-for any x in C^n, ct(x)Mx:real iff M:HMT
-HMT가 가역이라면 inverse도 HMT이다.
-MT1:HMT of rank r이면 te P:permutation matrix and M:psubMT of MT1 s.t. M:rxr and of full rank r and ... (link)
-(Courant-Fischer Formula)HMT의 egv를 구하는 방법 제시, link참고(link)
(lin에서 rt대신 ct쓰면됨)
(빨간 부분 오류임, 다음의 link참고)(link)
-(Weyl's Inequalities)for 1<=j<=i<=k<=n, λ_n <= λ_(n-1) <= ... <= λ_1
λ_k(HMT1) + λ_(i-k+n)(HMT2) <= λ_i(HMT1+HMT2) <= λ_j(HMT1)+λ_(i-j+1)(HMT2)(link)
-(Cauchy-Poincare Separation)HMT1:psubMT of HMT2, HMT1과 HMT2의 egv(link1)(link2)
-M1:psubMT of M2, M2:HMT,
-positive inertia(M1) <= positive inertia(M2)
-negative inertia(M1) <= negative inertia(M2)
-M1:psubMT of M2, size (M1)=(n-1)x(n-1), te x s.t. M2x=0 and ...(link참조)일 때 inertia(M2) = inertia(M1) + (1,1,-1)(link)
-M2:invertible, a0=1, ak=det(Mk) where Mk:leading principal kxk subMT of M2일 때 # of negative egv of M2 = # of sign changes in the seq (a0,a1,...,an)(link)
-spec(HMT1)={a1,a2,...,an}, spec(HMT2)={b,0,0,...,0}, spec(HMT1+HMT2)={a1+b,a2,a3,...,an}이면 HMT1HMT2=HMT2HMT1(link1)(link2)
-positive-definite(pd)의 성질
-모든 대각성분은 양수이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)
-positive-definite HMT는 invertible이고 inv도 positive-definite이다.(link)
-(Characterization using egv)HMT:pd iff all egv of HMT is positive
-positive-semidefinite(psd)의 성질
-모든 대각성분은 nnn이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)
-psd:invertible iff psd:positive-definite(characterization of psd,pd using egv 사용 with det)
-(Chacracterization using egv)HMT:psd iff all egv of HMT are nnn
(->는 egv대입, <-는 HMT이면 NMT이고 udgMT이고 udgMT표현에서 ct(x)DMTx >= 0생각)
-(Chacracterization using decomposition)HMT:psd iff te MT s.t. HMT=ct(MT)MT (MT가 square matrix일 필요 없음)(->는 HMT가 NMT이므로 udgMT이고 psd이므로 nnn DMT는 square로 분해되는 걸 이용)
-psd1 + psd2도 psd
-psd + pd는 pd
-spec(psd)는 majorize diagonals(if nonincreasing order하게 rearrange했을 때)
-i번째 큰 egv(psd + SMT) <= i번째 큰 egv(SMT)
-SMT의 경우
-HMT이므로 HMT, NMT성질 다 따름
-egv가 real인것도 알고, egv도 real이 되게 선택가능->SMT:odgMT가 된다.
-MT:odgMT이면 MT:SMT도 성립
-(Courant-Fischer Formula)SMT의 egv를 구하는 방법 제시, link참고(link)
-SMT1,SMT2 with tr(SMT1)>=0, tr(SMT2)<0이면 te x in R^n s.t. rt(x)SMT1x >= 0 and rt(x)SMT2x < 0
-about A:ACMT, (λ,x):egv, eigenvector of A
-te DMT s.t. D^2 = IMT and DAD의 모든 off diagonal entries는 nnn(link)
-if A(1,1,...,1) = 0, then inertia(A)=(a,b,c),
where a=A의 strict upper entries중 음수인 것의 개수, b=A의 strict upper entries중 양수 인 것의 개수, c=n-a-b 이고 n-a-b-1=the degree of reducibility of A(link)
-if A:irreducible and all coordinates of x are nonzero
then λ:simple and all subMT of order n-1 of A-λIMT are invertible(link)
-if te no i,k s.t. a_(i,k) != 0 and x_i = x_k =0
then the multiplicities of λ = p + 1 + sum from k=3 to n-1 (k-2)*s_k(link)
where p:the degree of reducibility of A,
s_k:the number of those indices j for which x_j = 0 and a_(j,l):nonzero for exactly k indices l != j.
-if A:irreducible and λ1>=λ2>=...>=λn and λ=λr and x_i:nonzero for any i
then λr:simple and te! unordered pairs r-1개 (i,k) s.t. i != k and a_(i,k)*x_i*x_k < 0(link)
-if A:irreducible and λ:multiple egv
then x has at least one vanishing coordinate.(link)
-if A:irreducible and λ:simple and te no (i,k) s.t. a_(i,k):nonzero, x_i=x_k=0
then x_j=0 이면 d(v_j)=2(여기서 d(v_j)란, A로 만든 graph에서의 degree)(link)
-about bSMT
-M:bsMT iff M=matrix with (1,1)-block=U, (1,2)-block=JVJ, (2,1)-block=V, (2,2)-block=JUJ, where J=square matrix with ones along the antidiagonal and zeros elsewhere.
-spec(M)=the union of spec(U+JV) and spec(V-JU)
-skew-HMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 egv는 complex(imaginary)
-UnMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 column은 orthonormal basis를 만든다.
-모든 row은 orthonormal basis를 만든다.
-egv의 절댓값이 항상 1(복소평면상에서 UO1에 놓임)
-Some Decomposition(from recent papers)
-(Vilmar)Find spec(MT) using partition MT into smaller one when MT looks little symmetric(link)
-(Vilmar)MT=block MT(A B C D), 2x2일 때, block MT(A αΒ α^-1C D)의 spectrum은?(link)
-About M1-MT
-for M:M1-MT
-all diagonals of M are nnn
-M:Z-MT
-any psubMT of M is also M1-MT
-if irreducible and not invertible
-0 is egv with am(0)=1 and positive eigenvector
-every psubMT of M(not M) is M2-MT(i.e invertible M1-MT)
-if irreducible and invertible, then inv(M):positive(nnn;보다 강함)(link)
-for M:Z-MT
-M:M1-MT iff all egv(M)'s real part is nnn(link)
-M:M1-MT iff all real egv of M is nnn(link)
-M:M1-MT iff all its principal minors are nnn(link)
-M:M1-MT iff M+eps*IMT:invertible for any eps
-for M:invertible and Z-MT
-M:M1-MT iff inv(M):nnn(link)
-
-About M2-MT
-for M:Z-MT
-M:M2-MT iff all egv(M)'s real part is positive
-M:M2-MT iff all real egv of M is positive
-M:M2-MT iff all its principal minors are positive
-for M:M1-MT
-M:invertible iff M:M2-MT(즉 M1-MT중 invertible인게 M2-MT)
-for M:M2-MT
-if M:irreducible, then inv(M) > 0 (not nnn인 것, positive)
-matrix norm관련(|| ||:any matrix norm)(M in M(nxn)(C))(|M1|<=M2, where |M1|각 성분에 modulus취한 것)(N in M(nxn)(C), nnn)(P in M(nxn)(C), positive entries)(n:nnn vector in C^n)(p:positive vector in C^n)
-specR(M)<=||M||(link)
-for any eps, te a matrix norm || || s.t. specR(M)<=||M||<=specR(M)+eps(link)
(따라서 specR(M) is the greatest lower bound of matrix norms of M)
-if te || || s.t. ||M||<1, then lim k->inf M^k = 0(link)
-lim k->inf M^K = 0 iff specR(M)<1(link)
-specR(M) = lim k->inf ||M^k||^(1/k)(link)
-specR(M1)<=specR(|M1|)<=specR(M2)(link)
-About N
-sum of all diagonals <= specR(N)
-for any psubMT N' of N, specR(N')<=specR(N)(link)
-if all row sums of N is fixed, then specR(N)=||N||, maximum row sum matrix norm(link)
-if all column sums of N is fixed, then specR(N)=||N||, maximum column sum matrix norm(link)
-min over i (sum over j N_(i,j)) <= specR(N) <= max over i (sum over j N_(i,j))(link)
(If N:irreducible, then either = holds iff all row sums are constant)
-min over j (sum over i N_(i,jf)) <= specR(N) <= max over j (sum over i N_(i,j))(link)
(If N:irreducible, then either = holds iff all column sums are constant, )(link)
(유사한 형태도 있음, (link))
-if for some a, b in R, ap <= Np <= bp이면 a <= specR(N) <= b(link1)
-if for some a, b in R, ap < Np < bp이면 a < specR(N) < b(link1)
-if for some a in R, an < Nn < bn이면 a <= specr(A) ( < bn관련해선 성립안함)(link)
-specR(N+IMT) = specR(N) + 1
-(Frobenius-Konig theorem)perm(N) = 0 iff te P,Q:permutation MT s.t. PNQ=block MT, (1,1)=X, (1,2)=O, (2,1)=Y, (2,2)=Z where O is an sxt zero MT with s+t = n+1
-If N has positive egv p,
-해당되는 egv는 specR(N)이고 specR(N):nonzero
-N^m의 row sum의 bound을 얻는다 using p(link1)(link2)
-if N has positive left egv p
-if n s.t. Nn >= specR(N)n, n:nonzero, then Nn = specR(N)n(link)
-N:irreducible iff (IMT+N)^(n-1):positive matrix(link)
-if specR(N) < 1, then inv(IMT - N) = sum from i=0 to i=inf N^i, nnn, invertible(link)
-specR(N) is egv with nnn egv n(link)
-if specR(N) <1, then
-(IMT - N):invertible
-inv(IMT - N) = sum from i=0 to i=inf N^i, 따라서 nnn
-if N^k:positive for some k>=1, then am(specR(N))=1(link)
-if N:irreducible(link)
-specR(N) > 0
-te positive egv corresponding specR(N)
-am(specR(N))=1
-(Characterization of primitive MT)
N:primitive
iff lim n->inf (N/specR(N)^n:exists
(이 때 limit = p*rt(q) / rt(q)*p > 0, p:perron vector of N, q:perron vector of rt(N))
iff for some m > 0, N^m:positive MT
-the index of imprimitivity of N = gcd of lengths of the directed cycles in dG(N)
-for M s.t. |M|<=N, if specR(M)=specR(N), then M =_sim N, link참고(link1)(link2)
-for any psubMT N'(not N) of N, specR(N') < specR(N)
-for N<=M, M != N, specR(N) < specR(M)
-for M <= N, N != M, specR(M) < specR(M)
-N:SMT이고 for fixed one s and column vector v s.t. 2<=s<=n, N*v >= λ_s * v일 때
if J={i in [n], vi >=0},
then J:nonempty and the degree of reducibility of submatrix N[J]<= s-2
(where N[J]=J에 있는 것들만 row, column가지고 온 것)
(degree of reducibility란, irreducible한 submt의 대각 blocks의 direct sum표현 시 block개수)(link1)(link2)
-About DQSMT
-for MT in MT(nxn)(C), MT:DQSMT iff 1:egv for MT and rt(MT) with egv = (1,1,...,1)
-About DSMT
-specR(DSMT)=1 with (1,1,...,1) eigenvector
-0<=μ(DSMT)<=1
-μ(DSMT)=0 iff MT:reducible(따라서 μ를 measure of irreducibility라 한다.)
-for a>=0, b>=0, a+b=1, μ(a*DSMT1 + b*DSMT2) >= a*μ(DSMT1) + b*μ(DSMT2)
-perm(DSMT) > 0(link)
-DSMT1*DSMT2:DSMT(Need to check)
-(Characterization by Majorization)MT:DSMT iff for any x in R^n(std), DSMTx majorize x
-for any DSMT of order n, minimum of perm = n!/(n^n), maximum of perm = 1
(minimizing matrix은 unique, 1/n * J, maximizing matrix는 n!개, all permutation MT)
-if DSMT:reducible, then DSMT =_psim diagonal block MT whose all diagonals:DSMTs(link)
-if DSMT:irreducible, then h:=the index of imprimitivity of DSMT일 때 h|n and DSMT =_psim superdiagonal block form, all the blocks are (n/h)-square(link)
(따라서 n:소수인 경우 h=1되고, 따라서 DSMT는 primitive임을 알 수 있다.)
-(Birkhoff's Theorem)
{all DSMT of order n} = conv({all permutation MTs of order n}, the convex polytope(link)
-About DSSMT
-{all DSSMT of order n}=conv({MT(nxn) s.t. MT:(0,1)-MT and 각 행, 열마다 1이 0개 혹은 1개})
-(Characterization by weakly submajorization)
MT:DSSMT iff for any x in R^n(std), MTx weakly submajorize x
-About DSPMT
-{All DSPMT of order n}=convex but not convex hull
-(Characterization by weakly supermajorization)
MT:DSPMT iff for any x in R^n(std), MTx weakly supermajorize x(Need to check)
-About P
-specR(P) is egv with positive egv p이고 am(specR(P))=gm(specR(p))=1(link1)(link2)
-
-Matrix Group관련
-GL(n,F)관련
-GL(n,F) giso OSDP(SL(n:F),F^*)(link)
-Z(GL(n,F))={k*identity s.t. k is in F}
-F가 R(std)일 때
-GL(n,R(std)) is open submanifold of MTC(nxn)(R(std))(det:continuous이고 det=0인 MT들의 모임은 closed이므로)
-dim(GL(n,R(std))=n^2(왜냐하면 open submanifold이므로 dimension유지됨)
-LG(prod, inverse 모두 smooth)
-Lie(GL(n,R(std))) isomorphic MTC(nxn)(R(std))
-F가 C일 때
-GL(n,C) is open submanifold of MTC(nxn)(C)(det:continuous이고 det=0인 MT들의 모임은 closed이므로)
-LG(prod, inverse 모두 smooth)
-F가 finite field with q elements인 경우
-|GL(n,F)|=(q^n - 1)(q^n - q)...(q^n - q^(n-1))
(basis 하나 택한 다음에1열, 2열,...순으로 만들어가면 됨)
-O(n,F)관련
-F가 R(std)일 때
-O(n,R(std)):closed submanifold of GL(n,R(std))
-Matrix에서의 특수한 연산, MT1:nxn, MT2:mxm
-About Kronecker Product, KP
-spec(KP(MT1,MT2))={all possible product of egv(MT1), egv(MT2)}
-About Kronecker Sum, KS
-spec(KS(MT1,MT2))={all possible sum of egv(MT1), egv(MT2)}
-Dual Space관련
-(VS(F))^* is a VS(F)
-te natural(basis안쓰고) injective LT(VS(F),dd(VS(F))(E:VS(F)->dd(VS(F)), E(v):evaluation at v)(link)
(위의 injective LT를 Ev_VS(F)라 하자.)
-f:VS1(F)->VS2(F), linear일 때 (f^*와 관계)
-f:injective(surjective) iff f^*:surjective(injective)(link1)(link2)
-for f-dim VS(F), (VS(F))^*의 성질
-dim(VS(F))=dim((VS(F))^*), 따라서 isomorphic as vector space
-for V,W:VS(F), f in Hom(V,W), M:represents f인 matrix, f^* in Hom(W^*,V^*)일 때, f^*를 represents하는 matrix는 rt(M)
-for inf-dim VS(F), (VS(F))^*의 성질
-Tensor algebra of V관련(V:VS(F),
-ET(V)관련
-f-dim V일 때(dimV=n일 때)
-for 1<=k<=n, dim(kth exterior power of V)은 C(n,k)
*Algebra Theory
-Algebra관련
-F-A가 dim이 n일 때, basis의 원소끼리의 A-multiplication해서 낳은 결과의 basis의 계수들의 table만 만들어두면, 다른 vectors의 A-multiplication도 쉽게 할 수 있다.
-C_(F-A)(E)와 N_(F-A)(E)는 subalgebra가 안될 수 있다.(Jacobi's identity가 있으면 가능, 즉 Lie F-A에선 subalgebra됨)
-Associative R-A is a ring R2 s.t. R2=R_[1] with f:R->R2 mapping identity of R->identity of R2 s.t. f(R) of R2 is contained in Z(R2)
(즉 Associative R-A는 ring으로써 정의가능)
-TA(M)관련
-M을 포함하는 R-A(M:R-Md일 때)
-TA(M)은 universal property를 갖는다.f:M->A인 R-module homomorphism은 TA(M)->A로 유니크하게 extended
-TA(VS(F))은 noncommutative polynomial algebra over F로 간주될 수 있다.
-TA(M):graded(TA(M)의 homogeneous component of degree k를 k-factor of M이라 하고, 그 원소를 k-tensor라 한다.)
-SA(M)관련
-M을 포함하는 R-A(M:R-Md일 때)
-C(M):graded where C(M):=id generated by all elements of the form tp(m1,m2)-tp(m2,m1) for all m1,m2 in M
-따라서 SA(M)도 graded이고(SA(M)의 homogeneous component of degree k를 kth symmetric power of M이라 한다.)
-kth symmetric power of M is equal to TP(M,M,...,M)을 subMd generated by {tp(m1,m2,...,mk)-tp(permuted)}로 quotient한 것
-dim(kth symmetric power of M)=CC(m,k) where m:dim(M)
-dim(SA(M))=sum over k=0 to m CC(m,k)
-kth symmetric power of M은 universal property를 갖는다. f:MxMx...xM->N가 k-multilinear symmetric map이면 te! g:kth symmetric power of M->N s.t. g:R-Md homomorphism and f=g o i
where i:MxMx...xM->kth symmetric power of M, N:R-Md
-SA(M)은 universal property를 갖는다.f:M->A인 R-module homomorphism은 SA(M)->A로 유니크하게 extended(where A:any R-A)
-dim(VS(F))=n일 때 SA(VS(F))은 commutative polynomial algebra in n variables over F로 간주될 수 있다.
-EA(M)관련
-M을 포함하는 R-A(M:R-Md일 때)
-A(M):graded where A(M):=id generated by all elements of the form tp(m,m) for all m in M
-따라서 A(M)도 graded이고(EA(M)의 homogeneous component of degree k를 kth exterior power of M이라 한다.)
-simple tensors에서는 anticommutative, 즉 for m1, m2 in M, tp(m1,m2)=-tp(m2,m1)
(그렇다고 for a1,a2 in EA(M), a1a2=-a2a1인건 아님)
-kth exterior power of M is equal to TP(M,M,...M)을 subMd generated by {tp(m1,m2,...,mk) s.t. mi=mj for some different i,j}로 quotient한 것
-dim(kth exterior power of M)=C(m,k) where m:dim(M)
-dim(EA(M))=2^m where m:dim(M)
-kth exterior power of M은 universal property를 갖는다. f:MxMx...xM->N가 k-multilinear alternating map이면 te! g:kth exterior power of M->N s.t. g:R-Md homomorphism and f=g o i
where i:MxMx...xM->kth exterior power of M, N:R-Md
-F[[x]]관련
-(infinite product of formal power series의 convergence)
if f_i(x) in F[[x]], lim i->inf deg(f_i(x)-1) = inf, then prod over i>=1 f_i(x):converge
-F[[x]]관련
-F[[x]] is a S_[inf]-set, S_[inf]:=union over n>=2 S_[n]
-Λ관련
-Λ:subalgebra of F[[x]](즉, closed under multiplication)
-Λ = IDP over n>=0 Λ^n, Λ^n := the subspace of symmetric functions of homogenous degree n
-{m_ptt(x) s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n
-{p_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(link1)(link2)
-{e_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(link)
-{h_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(link)
-{s_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(RS-correspondence이용)(link)
-dimΛ^n=#ptt(n)
-generating function for e_n, E(t):=sum over n>=0 e_n * t^n
-generating function for h_n, H(t):=sum over n>=0 h_n * t^n
-generating function for p_n, P(t):=sum over n>=0 p_(n+1) * t^n, 특별히 p_(n+1)임
-E(t)H(-t)=1
-E(-t)H(t)=1
-ln (H(t)) = sum n>=1 p_n * t^n * 1/n(link)
-P(t)=H(t)/H'(t)
-(Jacobi-Trudi Formula)for ptt(n)=(a1,a2,...,al), s_ptt(n) = det(h_(ai - i +j)) for 1<=i,j<=l(단 if ai - i +j<0, h_(ai - i +j)=0, if ai - i +j=0, h_(ai - i +j)=1)
-Quotient Algebra관련
-(First AISO Theorem)ahomo:R-A1->R-A2일 때 (R-A1)/ker(ahomo) aiso ahomo(R-A1)
-(Second AISO Theorem)id1 of R-A, id2 of R-A s.t. id1<id2일 때, (R-A/id1)/(id2/id1) aiso (R-A/id2)
-(Third AISO Theorem)id1 of R-A, id2 of R-A일 때, id1+id2/id2 aiso id1/id1교id2
-homomorphism관련(ahomo:R-A1->R-A2일 때)
-ker(ahomo):id of R-A1
-ahomo(R-A1):subalgebra of R-A2
-Tensor Product관련
-For R:CR_[1], A:R-A, B:R-A일 때 TP(A,B):R-A
(tp(a1,b1)tp(a2,b2)=tp(a1a2,b1b2)로 정의해서)
-A-Multiplication은 anticommutativity를 만족함, i.e. brk[x,y]=(-brk[y,x])
-(Ado's Theorem)Every f-dim Lie F-A(char(F)=0인)is isomorphic to some Linear Lie Algebra
(따라서 Linear Lie Algebra위주로 공부하면 된다. 별말 없으면 f-dim위주로 공부하고 inf-dim은 따로 정리)
-dim<=2인 L은 unique
-L:abelian iff Z(L)=L iff [LL]=0
-id1+
-about id
-linear subspace>subalgebra>id
-대표적인 id는 0, ker(ahomo), [LL], Z(L), L
-주의, Im(ahomo)는 not id, subalgebra까진 됨
-id연산 관련
-id1+id2도 id
-[id1,id2]도 id
-id1교id2도 id of L(id of id1, id of id2도 됨)
-(Third Isomorphism Theorem)id1+id2/id2 aiso id1/id1교id2
-e_(i,j)
-e_(i,j)e_(k,l)=e_(i,l)d_(j,k)
-e_(i,j)e_(j,l)=e_(i,l)인데 e_(i,l)의 level은 level of e_(i,j) + level of e_(j,l)
-Simple L관련
-any simple L aiso subalgebra of gl(L)
-L:Simple일 때, Z(L)=0, [L,L]=L
-Semisimple L관련
-simple이면 semisimple
-L:semisimple iff L has no nonzero abelian ideal(link)
-(F:acc0)L:semisimple iff kf_L:nondegenerate(link)
(<-부분은 F:acc0필요없음)
-(Decomposition of semisimple L)L:semisimple이면 te{L_i} s.t. L=IDP(L_i), L_i:simple ideal of L(link1)(link2)
(게다가 every simple ideal of L coincides with one of L_i임을 알 수 있고, converse도 성립함)
-L:semisimple이면
-L=[LL]
-for any id of L, id:semisimple이고 id:a sum of simple ideals of L
-any homomorphic images of L:semisimple
-adj representation of L의 성질
-Solvable관련
-L:solvable이면 subalgebra도 solvable
-L:solvable이면 homomorphic image도 subalgebra
-id:solvable and L/id:solvable이면 L은 solvable
-id1:solvable, id2:solvable이면 id1+id2도 solvable
-L:solvable iff RadL=L
-L:not solvable이면 L/Rad(L):semisimple(link)
-(F:acc0)f-dim L:solvable이면 te a flag (L_i) of L(link)
-(F:acc0)f-dim L:solvable이면 for x in [LL], ad_L(x):nilpotent(link), 따라서 [LL]:nilpotent 따라서 L:solvable
-(F:acc0)L:f-dim s.t. for any x in [LL], any y in L, tr(adxady)=0이면 L:solvable(link)
-Nilpotent관련
-L:nilpotent이면 subalgebra도 nilpotent
-L:nilpotent이면 homomorphic image도 subalgebra
-id1:nilpotent, id2:nilpotent이면 id1+id2도 nilpotent(link)
-L/Z(L):nilpotent이면 L:nilpotent
-L:nonzero nilpotent이면 Z(L):nonzero
-L^(n)<L^n, 따라서 L:nilpotent이면 L:solvable(역성립안함, t(n,F)생각)
-(Engel's Theorem)L:nilpotent iff for any x in L, x:ad-nilpotent(link1)(link2)(link3)
-L:nilpotent이고 id:nonzero ideal of L일 때, id교Z(L)은 nonzero(link)
-Trace, Killing Form관련(L:Lie algebra over F, dim(L)<inf,
-kf_L
-symmetric bilinear form on L
-associative(kf_L(x,[yz])=kf_L([xy],z))
-for I:id in L, kf_I=restriction of kf_L on IxI(link)
-rad(kf_L):id of L(link)
-for I:abelian id in L, I<rad(kf_L)<Rad(L)
-
-Linear Lie Algebra관련
-Linear Lie Algebra성질
-Trace, Killing form관련
-for V:f-dim VS(F), LI of gl(VS(F)), x in LI
-tr([x1x2]x3)=tr(x1[x2x3])(link)
-for x in Ll s.t. x:nilpotent일 때 x:ad-nilpotent(역성립안함, identity matrix 생각)(link)
-for V:f-dim VS(F), Ll of gl(VS(F)) s.t. consisting of all nilpotent endomorphism,
-te nonzero v in V s.t. Lv=0(link)
-te a flag (V_i) in VS(F) with for all x in L x(V_i)<V_(i+1)
-for F:acc0, V:f-dim VS(F), LI of gl(VS(F))
-if LI:solvable, then te nonzero v in V s.t. v:egv for all x in LI(즉 common eigenvector)(link1)(link2)(link3)(link4)
(char(F)=prm이면 반례 존재, gl(2,F_p)에서 x=(0 1 1 0), y=(0 0 0 1), L=span{x,y}생각, x,y는 2x2 matrix)
(common egv라는게 같은 eigenvalue에 해당되지않아도 됨)
-(Lie's Theorem)if LI:solvable, then te a flag (V_i) in VS(F) with LI stablizes the flag.(link)
-for A<B, subspaces of gl(VS(F)), M={x in gl(V) s.t. [x,B]<A}, if x in M s.t. tr(xy)=0 for all y in M, then x:nilpotent(link1)(link2)(link3)
-(Cartan's Criterion)for all x in [LILI], y in LI, tr(xy)=0 iff LI:solvable(link1)(link2)
-for F:ac-F, V:f-dim VS(F), Ll of gl(VS(F)), x in Ll, x=x_ss + x_n where x_ss:semisimple part, x_n:nilpotent part(By Jordan-Chevalley Decomposition)
-x:semisimple이면 adx도 semisimple(link)
-adx=ad(x_ss)+ad(x_n)=(adx)_ss + (adx)_n (ad(x_ss)=(adx)_ss인 것)(link)
-for F:acc0, V:f-dim VS(F), LI of gl(VS(F))
-Classical Algebras
-gl(n,F)관련
-dim=n^2
-sl(n,F)관련
-dim=n^2 - 1
-char(F) != 2 and n=2일 때 simple
-[LL]=L
(즉 basis의 원소를 commutator 형태로 표현하면 됨)
(즉 모든 원소가 tr=0)
-sp(2n,F)관련
-원소를 matrix로 표현시 gl(n,F)의 3개의 원소로 표현가능(link)
(사실 sp의 form을 정의할 때 쓴 MT는 nondegenerate하고 skew-symmetric인 form은 저런 형태뿐임 적절한 basis잡아서)
-dim=2n^2+n
-[LL]=L
(즉 모든 원소가 tr=0)
-o(2n+1,F)관련
-원소를 matrix로 표현시 gl(n,F)의 3개의 원소로 표현가능(link)
-dim=2n^2+n
-[LL]=L
(즉 모든 원소가 tr=0)
-o(2n,F)관련
-dim=2n^2-n
-[LL]=L
(즉 모든 원소가 tr=0)
-t(n,F)
-t(n,F)=direct sum of n(n,F), d(n,F)
-solvable
-n(n,F)
-d(n,F)
-[d(n,F),n(n,F)]=n(n,F)
| 수학정리(Topological Vector Space, Normed Vector Space) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Topology, Algebraic Topology, Differential Geometry, Metric Space) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Set Theory, Measure Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Econometrics) (0) | 2016.02.09 |
| 수학정리(Elementary Inequalities) (0) | 2015.11.16 |
*Set Theory
-About Set Operation
-cartesian product는 intersection하고만 commute
-AΔB=A^C Δ B^C
-(a-union E_n) Δ (a-union F_n) < [a-union (E_n Δ F_n) ]
-(c-union E_n) 교 F = c-union (E_n 교 F)
-About Function f with set operation
-f^(-1)은 union, intersection, difference, inclusion을 모두 preserve함
-f은 inclusion과 union만 preserve함
-f가 1-1이면 f^(-1)(f(E))=E
-f가 onto이면 f(f^(-1)(E))=E
-About Well-Ordered Order Relation(Order Relation관련 용어 정의(link))
-J가 well-ordered이면 largest element(존재한다면)빼고는 나머지 원소들은 immediate successor를 항상 가짐
-J가 well-ordered이면 least upper bound property를 만족한다.
-J가 well-ordered이면 J의 subset도 well-ordered
-J1, J2가 well-ordered이면 J1xJ2 with dictionary order도 well-ordered
-About Section
-J1xJ2의 subset E에 대해
-section은 complement, (arbitrarily)union, (arbitrarily)intersection, difference과 interchangable
-Map:J1xJ2->J3에 대해
-J3에 연산이 있었으면 section은 분배가능
-J3가 MetricS였다면, lim와 section이 interchangable
-About Major Axioms(AOC, HMP, WOT, ZL)
-(AOC), Given a collection C of disjoint nonempty sets, te a set D consisting of exactly one element from each element of C
-(Existence of a choice function), Given a collection C of nonempty sets, te a function c:C->union of all E in C s.t. c(S) is an element of S, for each S in C
(즉 C에서의 원소(set인)S마다 S의 원소를 택하는 choice function)
-(Well-ordering Theorem)임의의 E에 대하여, te strict total order relation s.t. E is well-ordered
-(Existence of S_Z)te uncountable well-ordered set s.t. every section is countable
-(HMP)E with strict partial order relation, te maximal subset F with strict total order relation
-(ZL)E with strict partial order relation이고 every subset F of E with strict total order relation(이런 F를 chain in E라 한다.) has an upper bound in E이면 E는 largest element를 갖는다.
({non strict partial order} bijection {strict partial order}이므로, non strict partial order로 theorem이 state되기도 한다.)
(AOC,HMP,WOT,ZL 중 1개를 쓴다는 것은 명시적인 선택 방법은 주지 않은 채 원소들을 선택함을 포함, 이 4개중 1개를 사용하여 증명하면 이 증명은 자동적으로 non-constructive, 즉 그 증명에서의 존재성 등이 실제로 존재하는 대상을 만드는 방법을 주지는 않는다는 것이 된다.)
*Measure Theory
-About Collection of subsets
-About C3
-(Monotone Class Theorem):MC(C3)=C4(C3)(link)(특히 C3가 MC이면 C4가 된다.(link))
-C3가 finite이면 C4이다.
-closed under complement, f-intersection, f-union, relatively complement
-{C3_n}이 inc이면 c-union C3_n은 C3가 된다.
-collection of subsets:C3 iff closed under relatively complement and containing 전체집합
-About C4
-C4는 closed under c-union, c-intersection, complement, relatively complement
-C4는 확률론에선, 가진 information을 표현하는 한 기법이다.
-{C4_n}의 c-union은 C4가 안된다.(inc하더라도 안됨)
-C4(C)는 전체 집합 J에서 C의 원소들로 쪼개진 the finest partition의 원소들의 union+empty이다.
-countable infinite C4는 존재하지 않는다.(link)`
-J1<J2, C4 of J2가 있을 때, J1에 C4를 induce하는 방법은 J1 intersection C4(link)
-J1<J2, C:collection of subsets in J2에 대해 C4(C) intersection J1은 J1의 C4가 되고 C4(C) intersection J1=C4(C intersection J1)
-f:J1->(J2,C4),
-f^(-1)(C4)는 C4 on J1이 된다.
-f:J1->J2, C:collection of subsets of J2, f^(-1)(C4(C))=C4(f^(-1)(C))
-About LC
-LC need not be closed under f-intersection
-C:a collection일 때 LC(C) < C4(C)
-(Dynkin's Theorem)PC<LC이면 LC(PC)=C4(PC) < LC
(즉 PC가 LC에 포함되면 PC의 확장은 LC를 벗어나질 못함)
-LC가 PC이기도하면 LC는 C4가 된다.
-About Seq of Sets and Indi
-liminf(E_n)의 해석
-te k in N s.t. for n>=k, x in E_n인 x들의 모임
-c-sum indi_(E_n^C) (x) <inf인 x들의 모임
-limsup(E_n)의 해석
-for infinitely many k in N, x in E_k인 x들의 모임
-c-sum indi_(E_n)(x)=inf인 x들의 모임
-liminf(E_n)=<limsup(E_n)
-[liminf(E_n)]^C = [limsup(E_n^C)]
-limsup(E_n U F_n) = limsup(E_n) U limsup(F_n)
-liminf(E_n 교 F_n) = liminf(E_n) 교 liminf(F_n)
-limsup(E_n 교 F_n) < limsup(E_n) 교 limsup(F_n)
-liminf(E_n U F_n) > liminf(E_n) U liminf(F_n)
-liminf(E_n)=limsup(E_n)일 때, lim (E_n)정의함
-lim (E_n), lim (F_n)이 있을 때, lim은 union에 대해 분배법칙 성립, lim은 intersection에 대해 분배법칙 성립
-E1<E2일 때, indi_E1 <= indi_E2
-indi_E^C = 1 - indi_E
-indi_inf(E_n) = inf(indi_(E_n))
-indi_liminf(E_n) = liminf indi_(E_n)
-indi_limsup(E_n) = limsup indi_(E_n)
-indi_sup(E_n) = sup(indi_(E_n))
-indi_union(E_n) <= sum indi_(E_n)
-indi_E1ΔE2 = indi_E1 + indi_E2 (mod 2)
-{E_n}:inc일 때, lim(E_n)=union E_n
-{E_n}:dec일 때, lim(E_n)=intersection E_n
-About nnn sf
-f-additive이면 monotone(if)성립
-empty->0일 때, f-additive(if) and countably monotone1 iff c-additive(if)
-About OM, OME
-About OM
-충분조건
-nnn sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, countably monotone1 for {J_n}:disjoint, has finite value
-nnn sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, monotone, countably monotone2 for {J_n}:disjoint, has finite value
-필요조건
-monotone
-건설법
-nnn sf:C2->[0,inf]가 empty->0이기만하면 (nnn sf)*:P(J)->[0,inf]로 확장하며 건설가능
-PM* (PM on C3로 induce한 OM)의 성질
-PM*는 PM의 extension이다.(즉 C3상에서는 PM*과 PM은 같음)
-for E in C3, E는 PM*ME
-{all PM*ME}는 C4가 됨 -> C3(U), C3(I), C3(U)(I), ... 각각의 원소들 모두 PM*ME됨도 앎
-PM*는 r-OM
(구체적으로, for any E in P(J) and for any eps, te E1 in C3(U) s.t. E<E1 and PM*(E1)<=PM*(E)+eps)
(게다가 for any E in P(J), te E2 in C3(U)(I) s.t E<E2 and PM*(E)=PM*(E2))
-E가 PM*ME iff te E2 in C3(U)(I) s.t. E<E2 and PM*(E2-E)=0
(only if를 보일 때는 sf-PM일 때만 가능)
-restriction of PM*
-to C4(C3)
-PM*는 M이 된다.
-C3(U)까지는 다른 measure, which is a extension of PM, 과 PM*는 같아짐
(즉 for E in C3(U), M(E)=PM*(E) where M is a extension of PM)
-C4(C3)까지는 다른 measure, which is a extension of PM, 보다 약간 클 수 있음
(즉 for E in C4(C3), M(E)<=PM*(E) where M is a extension of PM)
(단, PM*(E)<inf이면 M(E)=PM*(E) for E in C4(C3)됨)
-sf-PM이었다면, C4(C3)으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-to {all PM*ME}
-sf-PM이었다면, {all PM*ME}으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-CM
(C3<C3(U)<C3(U)(I)<C4(C3)<{all PM*ME})<P(J))
(이 때 nnn sf s.t. empty->0, f-additive(if), countably monotone2(if) for {J_n}:disjoint로 induce생각가능)
(위 sf는 C3로 extension되고 unique한 PM됨을 이용)
-(sf-M,C4)로 induce한 OM, 이 경우 {all OME}로의 restriction은 (sf-M,C4)의 completion
-SC3에서의 nnn sf로 extension
-nnn sf:SC3->[0,inf], empty->0, f-additive(if), countably monotone2(if)(dis)로 OM induce가능
(조금 더 좋은 조건은 애초에 SC3에서 PM이기만 해도 됨)
-C3(SC3)에서의 unique PM, which is the extension of nnn sf on SC3
-nnn sf가 sigma-finite였다면 unique PM on C3(SC3)도 sigma-finite
(C3에서의 PM으로 induce한 PM*논의 가능)
-RSC3에서의 PM으로 extension
-RC3(RSC3)에서의 unique PM, which is the extension of PM on RSC3
-PM on RSC3가 sf-PM이었다면, unique PM on RC3도 sf-PM
-unique PM on RC3로 induce한 PM*에 대해서
-sf-PM이었다면, C4(RSC3)으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-sf-PM이었다면, {all PM*ME}으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-{all PM*ME}에서 CM
-About OME
-OM(A)=OM(A교E)+OM(A-E) for A in P(J) s.t. OM(A)<inf만 판정해도 OME판정 가능
-{all OME}은 C4가 된다.
-OM(E)=0이면 E는 OME
-About Other Properties
-{all OME}는 C4가 된다.
-restriction of OM to {all OME}는 CM이 된다.
-E1<E2 in P(J)에 대해 OM(E2-E1)=OM(E2)-OM(E1)이 성립하려면 E1:OME and OM(E1)<inf인 게 필요
-E1<E2 in P(J)에 대해 OM(E2-E1)=0이면 OM(E2)=OM(E1) (역은 성립 안함, 즉 OM(E2-E1)=0이 강함)
-OM1, M:restriction of OM1 to {all OM1ME}, OM2:OM induced by M일 때
-OM1<=OM2
-OM1(E)=OM2(E) iff te OM1ME E1 s.t. E<E1 and OM1(E)=OM1(E1)
-OM1이 r-OM iff OM1(E)=OM2(E) for any E in P(J)
-About PM
-f-additive(if)
-monotone(if)
-domain이 C3에서는
-monotone
-f-additive
-countably monotone1
-domain이 C4에서는 PM은 M이 된다.
-About M, ME
-About M
-(Measure Equality)
:(J,C4)에서 M1, M2가 있을 때, C={E in C4 s.t. M1(E)=M2(E)}는 LC된다.
:(J,C4)에서 M1, M2가 있을 때, C가 PC이고, M1=M2 on C이면 M1=M2 on C4(C)
(즉 (R(std), C4(TS))에서 C4(TS)의 PC인 subcollection에서 ProbM1과 ProbM2가 서로 같으면 ProbM1=ProbM2 on C4(TS))
(구체적으론 DF1 from ProbM1과 DF2 from ProbM2가 같으면 ProbM1=ProbM2 on C4(TS))
(따라서 ProbM on (R(std), C4(TS))는 DF에 의해 uniquely determined)
-monotone
-(Conti from Below){E_n}:ME and inc이면 M(lim E_n)=lim M(E_n)
(C4에서 nnn set function이 Conti from Below and finite-additive이면 the set function은 Measure가 된다.)
(C4에서 nnn set function(J)<inf이면 Conti from ABoce and finite-additive이면 the set function은 Measure가 된다.)
-(Conti from Above){E_n}:ME and dec and M(E_1)<inf이면 M(lim E_n)=lim M(E_n)
-M(c-intersection E_n) <= M(liminf E_n) <= liminf M(E_n) <= limsup M(E_n) <= M(limsup E_n) <= M(c-union E_n)
(link)
-(Borel-Cantelli Lemma) c-sum M(E_n) < inf이면 M(limsup E_n)=0
-f-M/sf-M/smf-M 관련
-f-M일 때는 Probability Measure 참조
-M이 있으면 smf-M도 만들 수 있고 M=smf-M + M2으로 decomposition가능, 이 때 M2는 0과 inf만 가짐
-smf-M(ME)=inf일 때, for any n in N, te F<ME s.t. F:measurable and n<=smf-M(F)<inf(link)
-sf-M의 합도 sf-M이 된다.
-About ME
-{E_n}:ME이면 sup E_n, inf E_n, liminf E_n, limsup E_n 모두 ME
-Null-ME라 해서 subset이 Null-ME인지는 모름(Completion개념 필요)
-Measure Space(J1,C4,M)를 complete하게 만드는 방법은 C4을 C4'으로 확장한다.
-C4`={ME union subset of Null-ME}
-sf-ME의 c-union, c-intersection모두 sf-ME가 된다.
-About {M_n}(M_n:fixed C4->[0.inf], C4는 sigma algebra of J라 하자.)
-inc이고 setwise cv to a set function f이면 f도 measure다.(link)
-setwise cv to a set function f인데 f(J)<inf이면 f도 measure다.(link)(보충 필요)
-About Product Measure
-PrM과 Product C4만드는 과정(link1)(link2)
Step1-MR다 모은 것이 SC3됨, SC3상에서 적절한 nnn set function정의
Step2-PM on C3을 얻고, PM* on PM*C으로의 restriction을 PrM이라 한다.
(Real Analysis에선 Product C4를 C4({All PM*-ME})로 보고, Probability Theory에선 C4(C3({All MR}))로 본다.)
-Tonelli와 Fubini Theorem으로 가는 Step
Step0 PrM의 유일성과 Completeness
-sf-M1, sf-M2로 만든 PrM는 sf-, unique, CM이다.
Step1 About PrC1
-PrC1의 원소의 section은 각 M1, M2의 C4의 원소가 된다.(using C4-Techniques)(link)
-MF on (X1×X2, PrC1)의 section은 MF on (X1,C4), on(X2, C4) 된다.(link)
-sf-M1, sf-M2, PrC1
-f-M1, f-M2일 때 먼저 해결(link1)(link2)
-sigma finite일 때로 확장(link3)
Step2 About PrC2
-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrM(E)=0인 E의 section은 각 sf-CM1=0, sf-CM2=0 a.e.(link)
-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrC2의 원소의 section은 각 sf-CM1, sf-CM2의 C4의 원소가 된다. a.e.(link)
-sf-CM1, sf-CM2, PrC2(link)
-sf-CM1, sf-CM2, nnn MF on (X1×X2, PrC2)(using simple+MCT)(link)
-sf-CM1, sf-CM2, integrable on (X1×X2,PrC2)(using Tonelli)(link)
note)(MF의 section말고 완전히 쪼개질 수 있는 case의 경우)
-MF1 on (X1,M1,C1_1), MF2 on (X2,M2,C1_2)-> MF1*MF2는 MF on (X1xX2, PrC1)(using simple)
-g1:integrable on X1 wrt M1, g2:integrable on X2 wrt M2->f=g1*g2:integrable on X1xX2 wrt M1xM2
게다가 int f d(M1xM2)=int g1 dM1 * int g2 dM2(using simple+integrable func)
note)counting measure에서의 Tonelli, Fubini theorem의 의의
Tonelli:double series interchangable when nnn sequence
Fubini:double series interchangable when abs cv double series
(abs cv double series란 |seq|의 finite partial sum의 double limit:finite을 가리킨다.)
-About MF(f:(J1,C4(1))->(J2,C4(2), 특히 rdv도 MF인 것을 고려)
-(iff)C4(2)의 generating set의 inverse image가 C4(1)에 속한다.
-f^(-1)(C4(2))는 C4가 된다. 따라서 f는 f^(-1)(C4(2))-measurable(C4(1)이 무엇이든 항상 가능)
-MF의 정의역에 Measure가 있으면 공역에도 Measure를 건설할 수 있다.(by using MF, M)
-MF와 MF가 composite하면 MF를 얻는다.(conti(MF)인 경우가 많음)
-C(MS)에서 MF인 f가 있다면 MS에서 MF인 g를 만들 수 있다. s.t. f=g CM-a.e.
-CMS에서 MF인 f, f=g CM-a.e.이면 g도 MF
-{f_n}:pt cv a.e. to f이면 f가 MF인지를 모름(단, 정의역이 CMS이면 f가 MF임을 앎)
-(J2,C4(2))=(ETR,C4(TS))인 경우
-(J1,C4(1))의 measure가 f-M인 경우는 rdv을 참조
-g:erv이고 {MF_n}:rv, pt cv a.e. to g이면 g가 MF iff M은 complete
-MF판정법
-monotone이면 MF된다.(정의역에 ordering이 있을 때)
-C4(TS)의 generating set에 대해서만 판단하여도 된다.
-(J1,C4(1))=(TS,C4(TS))인 경우, conti이면 MF된다.
-{MF_n, 각 정의역 C4(1)이 같을 때}(적분관련 convergence는 더 밑에 있음)
(http://www.johndcook.com/modes_of_convergence.html 참조, well-organized)
-sup MF_n, inf MF_n, limsup(MF_n), liminf(MF_n) 모두 MF가 된다.
-{x in J1 s.t. lim MF_n(x) exists}는 C4(1)의 원소가 된다.(link)
(Egoroff's Theorem)
-ME1:finite measure, {MF_n}:finite a.e. on E, pt cv a.e. to MF이면 for any eps, te ME2<ME1 s.t. M(ME2)<eps and {f_n}:uni cv to f on ME1-ME2(link)
-{MF_n}:cauchy in M이면 te subseq of {MF_n} and MF s.t. the subseq pt cv a.e. to MF(link)
-{MF_n}:cauchy in M iff {MF_n}:cv in M(link1)(link2)
-{MF_n}:cv in M이면 every subseq of {MF_n}도 cv in M
-{MF1_n}:cv in M, {MF2_n}:cv in M이면 {MF1_n + MF2_n}도 cv in M, {MF1_n * MF2_n}도 cv in M
(곱은 f-M에서만 가능)
-{MF_n}:pt cv a.e. (real-valued), g:(R,C4(TS)->(R,C4(TS)):conti이면 {g(MF_n)}도 pt cv a.e.
-{MF_n}:cv in Lp이면 cv in M(0<p<inf)(link)
-{MF_n}:cv in Lp이면 ||MF_n||_p 은 ||MF||_p로 수렴(역은 성립 안함)(1<=p<=inf)(link)
-{MF_n}:rv a.e., almost uni cv이면 {MF_n}:pt cv a.e.
-{MF_n}:rv a.e., almost uni cv이면 {MF_n}:cv in M
-(Scheffes's Lemma for MF_n)(link)
:{MF_n}:cv in L1 iff lim n->inf sup over E in C4 [int over E MF_n - int over E MF]=0
-{All nnn measurable simple functions}의 성질
-Vector Space over R
-곱셈, finite sup, finite inf에 closed
-적분(int)정의함
-int은 linear, monotone
-{ME_n}:inc이고 S:nnn measurable simple function일 때,
int(S over c-union(ME_n))=lim n->inf int(S over ME_n)
-{nnn MF}의 성질
-Closure in the top of pt cv in the function space {All nnn measurable simple functions}={nnn measurable functions}
-+, *, 양의 실수곱에 대해 닫혀 있음
-(Approximation by Simple Functions)(S_n을 seq of simple function이라 하자.)(link)
-nnn MF가 있으면 te {S_n} s.t. nnn, simple measurable and pt cv to MF
-게다가 {S_n}은 MF가 bdd인 J1의 subset에서는 uni cv하게 됨
-(J1,C4(J1))에 sf-M가 있었다면, {S_n}을 finite support인 걸로 잡을 수 있음
(여기서 finite support는 TS에서와는 조금 다르게 생각, 즉 closure인 걸 빼고 생각하자, 정의역에 Topology가 있었다면 finite support 그대로 생각 해도 무관)
-MF(nnn일 필요는 없는)가 있으면 te {S_n} s.t. 0<=|S_1|<=|S_2|<=...<=|MF| and pt cv to MF
-게다가 {S_n}은 MF가 bdd인 J1의 subset에서는 uni cv하게 됨
-적분(int)정의함
-int(f over J)=0 iff f=0 a.e.
-monotone seq of nnn measurable simple functions을 이용하여 적분 정의
-혹은 그냥 seq of nnn measurable simple functions의 적분의 sup으로도 정의함
(전자로 정의하면 well-definedness 보여야)
-(Monotone Convergence Theorem)
:{nnn MF_n}:inc pt cv a.e. to MF일 때, lim과 int change가능(link)
-{nnn MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 f_n<=f a.e. (즉 inc대신)일 때, lim과 int change가능
-(Series and Integral)
:{nnn MF_n}, series랑 int change가능
-(Fatou's Lemma)
:{nnn MF_n}에 대해 int(liminf MF_n)<=liminf(int(MF_n)) (link)
-적분은 monotone, linear(스칼라곱은 양수에 대해서만)(link)
-nnn MF가 Integrable하면
-MF^(-1)(MF=inf)은 Null-ME
-MF^(-1)(MF>0)은 sf-ME
-일반적인 MF(nnn일 필요 없는)의 적분(X를 MF라 하자.)
-quasi-integrable
-정의:int(X^+)<inf or int(X^-)<inf iff int(X)<inf
-X:quasi-integrable->int(a*X)=a*int(X) for a in R
-linearity when {int(X^+)<inf and int(Y^+)<inf} or {int(X^-)<inf and int(Y^-)<inf}이면 int(X+Y)=int(X)+int(Y)(link)
-integrable
-정의:int(X^+)<inf and int(X^-)<inf iff int(|X|)<inf
-M(E)=0인 E에 대해 int over E MF=0(정의 생각)
-integrable한 f,g에 대해 linearity, monotone
(Integration의 additive는 둘다 nnn MF(즉 같은 부호)이거나, 둘다 integrable이거나, 같은 부호 part가 integrable이거나가 성립해야만 가능)
(f,g:integrable이면 max{f,g}, min{f,g}도 integrable이고, int max{f,g}=int f +int g - int min{f,g})
-MF:integrable이면 MF^(-1)(MF is nonzero)는 sf-ME(link)
-MF:integrable이면 epsilon(int of |MF|의 upperbound)-delta(적분 영역의 upper bound)가 성립(link)
-MF:integrable이면 epsilon(int |f| over J - int |f| over E)에 대하여 finite measure E 존재(link)
-MF:integrable이면 E_n={x in J s.t. |MF(x)>n|}에 대해 lim n->inf int over E_n |MF| =0
-MF:integrable이면 E_n s.t. lim n->inf M(E_n)=0에 대해 lim n->inf int over E_n |MF| =0(link)
-uniformly-integrable (u.i.)
-정의:{MF_i}:u.i. iff lim a->inf sup over k [int over {|MF_i|>a} |MF_i|]=0
({MF_n}일 때는 iff {MF_n}:D-Martingale 도 됨)
-성질
-{MF}, MF:integrable이면 {MF}:u.i.
-{MF_i}, |MF_i|<=g, g:integrable이면 {MF_i}:u.i.
-{MF_1,MF_2,...,MF_n}(finite sequence), 각각이 integrable이면 {MF_1,...,MF_n}:u.i.
-{MF1_i}, {MF2_i}:u.i., |MF1_i|<=|MF2_i|이면 {MF1_i}:u.i.
-(Crystal Ball Condition)(link)
:a>0, b>0에 대해 sup over i int |MF_i|^(a+b)<inf이면 {|MF_i|^a}:u.i., {|MF_i|^b}:u.i.
-(Crystal Ball Condition, General)(link)
:te g:[0,inf)->[0,inf) s.t. lim x->inf g(x)/x =inf and sup over i int g(MF_i)<inf이면 {MF_i}:u.i.
-f가 integrable이고 f=g a.e. 이면 int(f)=int(g) and g도 integrable
-f가 integrable이면 f=g a.e. iff int over E (f) = int over E (g) for any E in PC generating C4(link)
-(Integral Comparison Lemma)
:(J,C4,M), C:sub sigma-algebra of C4, f:C-measurable, g:C-measurable일 때
-f=g a.e. iff for any E in C, int over E f dM = int over E g dM
-f>=g a.e. iff for any E in C, inter over E f dM >= int over E g dM
-int (|MF|)=int over [0, inf) M(|MF|>t) dt(link)
(특히, nnn인 MF에 대해서 이용됨)
-(Monotone Convergence Theorem)(link)
:{MF_n}:inc, pt cv a.e. to MF f이고 f_n>=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능
:{MF_n}:dec, pt cv a.e. to MF f이고 f_n<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능
(pt cv a.e. to MF f 대신 cv in M와도 Monotone Convergence Theorem성립)
-(Series and Integral)
:g=series from k=1 to k=inf |MF_n|이 integrable이면 series랑 int change가능
-(Fatou's Lemma)
:{MF_n}에 대해 MF_n>=g a.e., g:integrable이면 int(liminf MF_n)<=liminf(int MF_n)
:{MF_n}에 대해 MF_n<=g a.e., g:integrable이면 limsup(int MF_n)<=int(limsup MF_n)
-(Dominated Convergence Theorem)
:{MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능
:{MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 cv in L1도 됨
:{MF_n}:cv in M, |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능, cv in L1도 됨(link)
-(Transformation Theorem)(link1)(link2)
:T:(J1,C4(1), M1)->(J2,C4(2)), Y:(J2,C4(2))->(ETR,C4(TS))이고 X=Y(T), T,Y가 모두 measurable일 때
1. (J2,C4(2))에도 Mesure(M2라 하자.)를 줄 수 있다. using (J1,C4(1),M) and T
2. Y가 nnn이면 int over J1 X dM1 = int over J2 Y dM2
3. Y가 M2-integrable iff X:M1-integrable, 이 때, M2을 이용한 적분=M1을 이용한 적분
-Some Inequalities
-(Markov's Inequality)
:for a>0, M(|MF|>a)<=int(|MF|)/a(link)
-(Chebysheff's Intequality)
:for a>0, b=int(MF), M(|MF-b|>a)<=int(|MF-b|^2)/a^2(link)
-Lp-Space,
-(0,inf]에서
-p-norm정의 Lp정의,
-Lp is a vector space over R
-0<a<b<c<=inf, Lb is subset of (La+Lc)(link)
-0<a<b<c<=inf, (La intersection Lc) is subset of Lb(link)
-Monotone Convergence Theorem, DCT 등 사용 가능(DCT이용하면 cv in Lp보일 수 있으나, MCT이용가능 한 상황이라 해서 cv in Lp는 알 수 없음)
-(0,inf)에서
-simple measurable function with finite support is in Lp
(여기서 finite support는 TS에서와는 조금 다르게 생각, 즉 closure인 걸 빼고 생각하자, 정의역에 Topology가 있었다면 finite support 그대로 생각 해도 무관)
-MF is in Lp일 때, 기존 pt cv simple measurable functions가 with finite support인걸로 가능
(use E_n:={x in J s.t. |MF(x)|>=1/n})
-[1,inf]에서(Norm정의가능)
-Holder ineq(conj(p,q,r)가능)(=은 (non zero a)f=(non zero b)g a.e.)(link)
-Minkowski ineq(=은 f=(nnn k)q a.e. or g=(nnn k)f a.e.)(link)
(무한합도 가능, MCT이용)
-Complete NVS(즉 BS됨)
-
-[1,inf)에서
-(Lp)^* iiso Lq
(단, p=1일땐 M가 sM일때, sigma-finite, 성립)
-(1,inf)에서
-(Lp)^* iiso Lq
-따라서 Lp:reflexive
-uniformly convex
-(0,1)에서
-기타
-lim p->inf ||f||_p = ||f||_inf되는 충분조건
(1) f-M
(2) f is in Lq (q in [I2 )(link)
-About sM
-{+ME_n}의 c-union, c-intersection, difference도 +ME된다./{-ME_n}도 마찬가지
-+ME의 measurable subset(subME)도 +ME/-ME의 measurable subset(subME)도 -ME
-ME1<ME2, |sM|(ME2)<inf이면 |sM|(ME1)<inf이다.
(하지만 +ME에서는 sM(subME)<=sM(+ME)가 성립, -ME에서는 sM(subME)>=sM(-ME)가 성립)
(절댓값 생각하면, |sM(subME)|<=|sM(ME)|가 성립, ME가 +든 -든)
-(Conti from Below){E_n}:ME and inc이면 sM(lim E_n)=lim sM(E_n)
-(Conti from Above){E_n}:ME and dec and |sM|(E_1)<inf이면 sM(lim E_n)=lim sM(E_n)
-(Hahn Decomposition Theorem)(link1)(link2)
:(J1,C4(1),sM)이 있을 때, te +ME, -ME s.t. {+ME, -ME}:a partition of J1
(다른 +ME2, -ME2도 성립한다면, (+ME Δ +ME2)는 Null-sME)
(0<sM(ME)인 ME의 measurable subset E중 +ME이면서 0<sM(E)인 것이 존재한다.)
-sM은 항상 Maximum value와 Minimum Value를 assume한다.
-(Jordan Decomposition Theorem)(link)
:for any sM, te! two M1, M2 s.t. M1, M2:ms, sM=M1-M2(사실 M1은 +sM, M2은 -sM됨)
-sM, +sM, -sM, |sM| 과의 관계(+sM, -sM, |sM|모두 그냥 M이다.)
-sM:finite<->+sM:finite and -sM:finite
-sM:sigma finite<->+sM:sigma finite and -sM:sigma finite
-+sM(ME)=sup{sM(F)|F subset of ME and F:ME}, -sM(ME)=-inf{sM(F)|F subset of ME and F:ME}
(혹은 +sM(ME)=sM(ME intersection +ME), -sM(ME)=sM(ME intersection -ME), +ME와 -ME는 sM의 HD)
-(f:rv일 때)f:integrable wrt |sM|<->f:integrable wrt +sM and -sM
-sM1 ms sM2 <-> sM1 ms |sM2| <-> |sM1| ms |sM2| <-> sM1 ms +sM2 and -sM2
-sM1과 sM2 ms sM인 경우 linear combination of sM1 and sM2도 ms sM(well-defined되면)
-sM1<<sM2(Abs conti, (J,C4), 같은 C4에서의 signed measure에 관한 내용)
-<<는 reflexive, transitive되나 antisymmetric은 안됨(따라서 equivalence 못만듦)
-sM<<M iff +sM<<M and -sM<<M
-sM1<<sM and sM2<<sM이면 sM1과 sM2의 linear combination(well-defined될 때)<<sM
-f-sM<<sM iff for any eps>0, te delta>0 s.t. for any E in C4 s.t. |sM|(E)<delta, |f-sM|(E)<eps
-(Radon Nikodym Theorem)(measure represented by integration over another measure)(link1)(link2)(link3)
:sf-M1 << sf-M2 이면 sf-M1을 represent하는 nnn rv MF가 존재, unique up to sf-M2-a.e.
:f-sM << sf-M 이면 f-sM을 represent하는 integrable wrt sf-M이 존재 unique up to sf-M-a.e.
(Probability Theory에서 rdv:(J,C4, ProbM)->(R^n(std), {all LME}), F:=ProbM(rdv^-1)에 대해서
sf-M1=F, sf-M2=LM일 때를 주로 가리키고 이 때 얻은 nnn, rv, integraable, MF를 density of F라 한다.)
(Probability Theory에서 DF를 통해 density f를 단지 미분으로 구할 수 있는 상황은, DF << lebesgue이고 이러한 경우가 안될 때는 언제냐면, DF가 불연속점을 가질 때이다.
DF가 불연속점은 at most countable이고, DF가 미분 불가능한 점은 LM-a.e.이다.(Lebesgue's Theorem에 의해) 고로 DF가 거진다 미분가능하고 그때 density구할 수 있음. DF가 미분불가능할 때 density는 아무렇게나 정의해버려도 어쨌든 적분값은 상관없게 됨.)
(discrete rdv인 경우는, density=0 a.e.이므로 pmf로 새로이 정의한다.)
-(Lebesgue Decomposition Theorem, LDT)의 여러 version(link1)(link2)
:sf-M1, sf-M2가 있으면 sf-M1=sf-M3 + sf-M4 s.t. sf-M3 << sf-M2 and sf-M4 ms sf-M1(unique)
:sf-sM, sf-M이 있으면 sf-sM=sf-sM2 + sf-sM3 s.t. sf-sM2 << sf-M and sf-sM3 ms sf-M
| 수학정리(Topology, Algebraic Topology, Differential Geometry, Metric Space) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Group Theory, Ring Theory, Field Theory, Module Theory, Vector Space, Algebra Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Econometrics) (0) | 2016.02.09 |
| 수학정리(Elementary Inequalities) (0) | 2015.11.16 |
| [수학]수학정리(Second-Edition) (1) | 2014.05.26 |
p-53, Testing hypotheses부터
*계량경제학의 특징
-실험경제학이 아니고서야 경제학의 데이터는 실험에 의해 생성될 수 없다. 따라서 random variables로 간주한다.
*관련통계지식
-R squared
-model이 얼마나 fit하냐를 quantity로 제시해줌
-1에 가까울 수록 well fitted, 0에 가까울 수록 worst
-Influential Analysis
-어떠한 observation이 influential인지 확인, 그리고 그 observation을 반드시 포함하거나 반드시 제거할 지 결정
-Normal Distribution의 성질
-평균과 분산만 알면 됨
-(x1,x2)~jointly normal이고 uncorrelated이면 independent(대게는 uncorrelated라해서 independent하진 않음)
-jointly normal의 linear combination도 jointly normal
*주요 가정 모음
-Linearity
-f(종속변수), g(설명변수)추가 등의 테크닉으로 단순 linear만 포함하는게 아니게 됨
-Strict exogeneity(E(eps_i|X)=0)
-Strict exogeneity를 만족하면 다음을 만족한다.
-E[eps_i]=0
-E[epx_i * x_(j,k)]=0
-Cov[eps_i * x_(j,k)]=0
-No multicollinearity(P[rank(X)]=1)
-rt(X)*X:pd
-Conditional homoskedasticity(E[(eps_i)^2|X]:same for any i, positive)
-sample이 iid였다하더라도 만족되는 가정이 아님, 구체적인 x값이 있을 때 eps의 second moment가 0여야 한다는 점 때문)
-Unconditional homoskedasticity(E[(eps_i)^2]:same for any i, positive)
-sample이 iid였다면 만족되는 자동으로 만족되는 가정임
-No correlation between observations(E[eps_i * eps_j|X]=0, for distinct i,j)
-Spherical error variance(Homoskedasticity and No correlation between observations)
-Normality of the error term(eps|X ~ jointly normal)
*주요 테크닉
-f(종속변수)
-따라서 non-linear인 경우도 linear regression가능
-오차항을 어케두냐가 문제됨
-semi-log form(종속변수(y) 그대로 regression에 쓰지말고 log(y)형태로 쓰기)
-g(설명변수) term추가
-따라서 marginal effect가 설명변수 값에 따라 다른 경우도 linear regression가능
-양변에 E[]취해보기
-양변에 E[ |sth]취해보기
*주요 Estimator
-OLS(Ordinary Least Squares)
-under Linearity, Strict Exogeneity, No multicollinearity, Conditional homoskedasticity, No correlation between observations
-OLS for β
-b = argmin over β SSR(β) = inv(rt(X)*X) * rt(X) * y
-E[b|X] = β
-E[b] = β
-V[b|X] = σ^2 * inv(rt(X)*X)
-for any unbiased estimator β, V[β|X] - V[b|X]:psd
-따라서 unbiased estimator중 가장 작은 variance를 가지는 estimator임, BLUE(Best Linear Unbiased Estimator)
-for any unbiased estimator β, V[β] - V[b]:psd
-Cov[b, e|X]=0, where e = y - Xb
-OLS for σ^2, s^2 = SSR/(n-K)
-E[s^2|X] = σ^2
-P = X * inv(rt(X) * X) * rt(X), projection
-M = IMT - P, annihilator
-R squared
-OLS의 경우 regressor의 개수가 추가될 수록 R squared는 monotone increasing
-따라서 adjusted R squared 사용해야함
-Influential Analysis
-P_(i,i)는, [0,1]에 속하고, sum P_(i,i) = 1
-P_(i,i)의 크기가 K/n보다 많이 크면 i번째 observation이 influential한 것으로 판단,
-이 observation이 모델에 well-fitted이면 반드시 포함되어야할 관측치지만 대부분의 경우는 not fitted
-따라서 outliar로 보고 빼는게 좋은 관측치
*Time-Series
*예제모음
| 수학정리(Group Theory, Ring Theory, Field Theory, Module Theory, Vector Space, Algebra Theory) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Set Theory, Measure Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Elementary Inequalities) (0) | 2015.11.16 |
| [수학]수학정리(Second-Edition) (1) | 2014.05.26 |
| [수학]수학정리(First-Edition) (0) | 2013.06.17 |
기본적인 부등식들 정리
일단은 분류 없이 적기
=조건을 안다면 밑에 =조건적기(충분, 필요)
가장 제너럴한 경우가 있더라도 구체적인 경우 그대로 두기, 가장 제너럴한 경우 제너럴하다고 적기
무한급수, 무한수열 등은 따로 정리, 유한개만 다루도록
참고교재
-cry4you, 절대부등식 정리 Inequalities1,2,3,4,5
-Equations and Inequalities
각각의 경우마다 실제 수들을 넣어보는 연습하기
각각의 notation을 따른다.
-실수 수열 x1,x2,.../y1,y2,.../z1,z2,.../
-증가 ix1,ix2,...(ix1<=ix2<=...)
-감소 dx1,dx2,...(dx1>=dx2>=...)
-strict 증가 six1,six2,...(six1 < six2 < ...)
-strict 감소 sdx1,sdx2,...(sdx1 > sdx2 > ...)
-양수조건이 필요하면 p붙여서, 음수조건이 필요하면 n붙여서
-psix1,psix2,...는 양수이면서 strict inc
-psdx1, psdx2,...는 양수이면서 strict dec
-양수이고 합이 1인 경우 weight의 w를 따서 w1,w2,...
-정수 수열 a1,a2,.../b1,b2,.../c1,c2,.../
-증가, 감소, strict 증가, strict 감소, 양수, 음수 모두 실수와 같이
-수열의 합은 Σ(~)
-Σ(x)는 x1,x2,...,xn, 즉 별말없으면 n항까지의 합
-Σ(x *y)는 (x1 * y1) +(x2 * y2) + ... (xn * yn)
-Σ(x^2)은 (x1)^2 + (x2)^2 + ... + (xn)^2
-Σ(x^y)은 x1^y1 + x2^y2 + ... + xn^yn
-수열의 곱은 Π(~)
-Π(x)는 x1,x2,...,xn, 즉 별말없으면 n항까지의 곱
-Π(x + y)는 (x1 + y1) * (x2 + y2) * ... * (xn + yn)
-x:fixed란, x1 = x2 = ... = xn
-Rev(x)란, x의 순서를 뒤집은 것
-Rearg(x)란, x의 순서를 섞은 것
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
*Methods
-equivalent transforms이용
-양변에 양수곱하기
-음수곱하면 부등호 반대
-양변에 같은 수 더하기, 빼기
-양변에 양의 지수 취하기
-음의 지수 취하면 부등호 반대
-특히 -1를 취해서 역수 생각, 특히 분수들 나왔을 때
-irreversible transformations이용
-A >= B를 보이기 위해 A=A1+A2+...+An, B=B1+B2+...+Bn로 decompose해서 Ai >= Bi를 보임
-A >= B + C를 보이기 위해 A = A1 + A2로 쪼개서 A1 >= B, A2 >= C를 보임, 즉 꼭 둘 다 나눌 필요는 없음
-곱하기인 경우도 part를 나눠서 보여도 됨
-분모를 줄이거나 늘리기
-Estimation Method(Lower, Upper bound찾기)
-각 term의 bounds를 찾아 더한다.
-각 term의 더 좋은 형태의 bounds를 찾아본다.
-terms를 pairing해서 bounds를 찾아본다.
-팩토리알, (n-1)/n! = 1/(n-1)! - 1/n!으로 쪼개서 bound가 더하기 좋은 형태로 만들어본다.
-분수, 1/n^2 <= 1/n(n-1) , 즉 bound가 더하기 좋은 형태로 만들어본다.
-적절히 수정하였더니 자기 자신을 포함하는 형태의 부등식일 수 있음
-Symmetry
-부등식이 Symmetric인 경우(변수들에 대하여, 모든 변수들일 필요도 없고 몇몇개가 Symmetric이어도) 변수에 임의의 order를 줄 수 있다.
-Homogeneous
-부등식이 Homogeneous란, 각 변수 x1,x2,...,xn에 for positive t, tx1, tx2,..., txn을 넣어도 equivalent inequality를 얻을 때
-부등식이 Homogeneous되는 경우, 한 변수를 1로 만들거나, 각 변수의 합이 1이 되게 만들거나 등등, 변수 개수를 1개 줄일 수 있다.
-Use Algebraic Formula
-몇몇 항등식을 이용하여 term by term으로 비교할 수도 있다.
-α^n - β^n=(α-β)(...)
-
*Theorems
(AM>=GM)
-Σ(px) / n
>= (Π(px))^(1/n)
-(= if and only if) px:fixed
-(n=2) (px1 + px2) / 2 >= (px1 * px2)^(1/2)
-(n=3) (px1 + px2 + px3) / 3 >= (px1 * px2 * px3)^(1/3)
-Σ(px)
>= n * (Π(px))^(1/n)
-(= if and only if) px:fixed
-(n=2) (px1 + px2) >= 2 * sqrt(px1 * px2)
-(n=3) (px1 + px2 + px3) >= 3 * (px1 * px2 * px3)^(1/3)
-(Σ(px))^n
>= Π(px) * n^n
-(= if and only if) px:fixed
-(n=2) (px1 + px2)^2 >= 4 * px1 * px2
-(n=3) (px1 + px2 + px3)^3 >= 9 * px1 * px2 * px3
(GM>=HM)
-(Π(px))^(1/n)
>= n / (Σ(1/px))
-(= if and only if) px:fixed
-(n=2) (px1 * px2)^(1/2) >= 2 / (1/px1 + 1/px2)
-(n=3) (px1 * px2 * px3)^(1/3) >= 3 / (1/px1 + 1/px2 + 1/px3)
(AM>=HM)
-Σ(px) / n
>= n / (Σ(1/px))
-(= if and only if) px:fixed
-(n=2) (px1 + px2) / 2 >= 2 / (1/px1 + 1/px2)
-(n=3) (px1 + px2 + px3) / 3 >= 3 / (1/px1 + 1/px2 + 1/px3)
(CS)
-Σ(x^2) * Σ(y^2)
>= (Σ(x*y))^2
-(= if and only if) x = k * y for some real k
-(n=2) (x1^2 + x2^2) * (y1^2 + y2^2) >= (x1 * y1 + x2 * y2)^2
-(n=3) (x1^2 + x2^2 + x3^2) * (y1^2 + y2^2 + y3^2) >= (x1 * y1 + x2 * y2 + x3 * y3)^2
(Jensen)
-f(Σ(w*x))
>= Σ(w*f(x)) if f:위로볼록
-(= if and only if) x:fixed or f:linear
-(n=2) f(w1 * x1 + w2 * x2) >= w1 * f(x1) + w2 * f(x2)
-(n=3) f(w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3) >= w1 * f(x1) + w2 * f(x2) + w3 * f(x3)
-Σ(w*f(x))
>= f(Σ(w*x)) if f:아래볼록
-(= if and only if) x:fixed or f:linear
-(n=2) w1 * f(x1) + w2 * f(x2) >= f(w1 * x1 + w2 * x2)
-(n=3) w1 * f(x1) + w2 * f(x2) + w3 * f(x3) >= f(w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3)
(Jensen)
-(Σ(px))^p
> Σ(px)^p if p > 1
-(n=2) (px1 + px2)^p > ( (px1)^p + (px2)^p )
-(n=3) (px1 + px2 + px3)^p > ( (px1)^p + (px2)^p + (px3)^p )
-Σ(px)^p
> (Σ(px))^p if 0 < p < 1
-(n=2) ( (px1)^p + (px2)^p ) > (px1 + px2)^p
-(n=3) ( (px1)^p + (px2)^p + (px3)^p ) > (px1 + px2 + px3)^p
-(Σ(w*(px)^k1))^(1/k1)
>= (Σ(w*(px)^k2))^(1/k2) for nonzero real numbers k1 > k2
-(= if and only if) px:fixed
-(n=2) ( w1 * (px1)^k1 +w2 * (px2)^k1 )^(1/k1) >= ( w1 * (px1)^k2 +w2 * (px2)^k2 )^(1/k2)
(Weighted AM >= Weighted GM)
-Σ(w * px)
>= Π((px)^w)
-(= if and only if) px:fixed
-(n=2) (w1 * px1 + w2 * px2) >= (px1)^w1 * (px2)^w2
(Holder)
-(Σ((px)^k1))^(1/k1) * (Σ((py)^k2))^(1/k2)
>= Σ(px*py) for some k1,k2:positive holder conjugate
-(= if and only if) y^(k2)/x^(k1):fixed
-(n=2) ( (px1)^k1 + (px2)^k1))^(1/k1) *( (py1)^k2 + (py2)^k2 )^(1/k2) >= (px1 * py1 + px2 * py2)
(Minkowski)
-(Σ(px)^k)^(1/k) + (Σ(py)^k)^(1/k)
>= (Σ((px + py)^k))^(1/k) for some k >= 1
-(= if and only if) px = λ * py for λ >= 0 or either py, px is 0
-(n=2) ((px1)^k + (px2)^k))^(1/k) + ((py1)^k + (py2)^k))^(1/k) >= ( (px1 + py1)^k + (px2 + py2)^k)^(1/k)
(Rearreangement)
-Σ(dx * dy)
>= Σ(Rearg(dx)*Rearg(dy))
>= Σ(Rev(dx)*Rev(dx))
(Chebyshev)
-n * Σ(dx * dy)
>= (Σdx) * (Σdy)
-(= if and only if) dx:fixed or dy:fixed
*Some Cases
-ix1, ix2, ix3, ix4가 있을 때
(ix1 + ix4) * (ix2 + ix3)
>= (ix1 + ix3) * (ix2 + ix4)
>= (ix1 + ix2) * (ix3 + ix4)
-for k > 1
(k+1)^(1/2) - (k-1)^(1/2)
> (k)^(-1/2)
-px1, px2에 대해서 (px1)^(px1) * (px2)^(px2) >= (px1)^(px2) * (px2)^(px1)
| 수학정리(Group Theory, Ring Theory, Field Theory, Module Theory, Vector Space, Algebra Theory) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Set Theory, Measure Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Econometrics) (0) | 2016.02.09 |
| [수학]수학정리(Second-Edition) (1) | 2014.05.26 |
| [수학]수학정리(First-Edition) (0) | 2013.06.17 |
*Contents
Set Theory(link)
-Measure Theory
Group Theory(link)
-Ring Theory
-Field Theory
-Module Theory
-Vector Space
-Algebra Theory
Topology(link)
-Algebraic Topology+Differential Geometry
-Metric Space
Topological Vector Space(link)
-Normed Vector Space
Applicatio
-Combinatorics(link)
-Graph Theory(link)
-Spectral Graph Theory
-Adjacent, Incidence, Incidence for Directed Graph(link)
-Distance, Index(link)
-Laplacian, Signless Laplacian(link)
-Weighted Graph(link)
-Elementary Inequalities(link)
-Integral Transformation
-Linear Programming
-Numerical Analysis
-Convex Optimization(수업)
-Queueing Theory
-Special Functions(link)
-Probability, Statistics
-Probability, Statistics(link)
-Econometrics(link)
풀 문제들(link)
Examples, Exercises(link)
*Set Theory
-logic관련
-iff:if and only if
- := defined
-te:there exist(s)
-te!:there unique exist(s)
-≡:congruence
-J:Any Set
-<:set과 set 사이에서는 subset임을 가리키고, order가 있을 때(실수와 실수같은)는 order relation을 가리킨다.
-P(J):Power set of J
-S:subspace, or subgroup 등(구분 필요하면 topological subspace:topS/linear subspace:LS)/subgroup:subgS)
-E:subset
-X_i:X들의 collection, countable일 필요는 없음
-X_n:X들의 collection, countable일 필요 있음, sequence로도 간주가능
-A교B:intersection, A교B
-AUB:union,
-AΔB:symmetry difference
-a-union:arbitrarily union
-u-union:uncountable union
-c-union:countable union
-a-intersection:arbitrarily intersection
-u-intersection:uncountable intersection
-c-intersection:countable intersection
-f-union:finite union
-f-intersection:finite intersection
-C, R, Q, Z, N등 숫자관련
-nnn:nonnegative
-rv:real-valued
-erv:extended real-valued
-iv:complex-valued
-N:the natural numbers set
-Z:the integer numbers set
-[[x]]:floor of x
-]]x[[:ceiling of x
-ETR:the extended real numbers set
-R^n:the finite cartesian product of R
-R^J:the cartesian product of R, indexed by J
-R^N:the cartesian product of R, indexed by N
-n:integer
-[n]:{1,2,3,...,n}
-gcd:greatest common divisor
-ephi:Euler phi function, ephi(n):=n보다 같거나 작은 자연수 중에서 n과 서로소 인 것들의 개수
-prm:prime integer(혹은 p라 쓰자.)
-(a,b):ordered pair, open interval, 만약 open interval이랑 헷갈리면 ordered pair를 axb라 쓰기로 하자.
-[a,b]:closed interval
-]a,b[:x<=a or x>=b
-)a,b[:x<a or x>=b
-UOn:unit sphere in R^(n+1)
-UO1:unit circle in R^2
-UO2:unit sphere in R^3
-UBn:unit open ball in R^n
-UB2:unit open disk in R^2,
-UB3:unit open ball in R^3
-n-cell:homeo to UBn
-f-sum:finitely many sum, sigma
-함수관련
-indi_(E) (x):indicator function on E
-inclusion(E,J):f:E->J, f(x)=x인 function
-retraction(J,E):f:J->E, f(x)=x for x in E인 function(혹은 f^2=f인 것, 즉 projection같은 것인데, topology에선 retraction이라고 많이함)
-fC(J1,J2):the collection of all functions from J1 to J2
-fC(J):the collection of all functions from J to R
-f:J1->J2, section of f란, g:J2->J1 s.t. f(g)=identity on J2
(즉 f의 right inverse이고 left inverse를 retraction)
(section의 경우 surjective일 때만 존재)
-f:J1->J2, g:J3->J2일 때, lift(f) to J3란 lift(f):J1->J3 s.t. f = g o lift(f)
-(E,p,B):bundle
-p:E->B, surjective, p를 projection이라 하고
-E:total space
-B:base space of bundle이라 한다.
-p^(-1)(b)를 fiber of the bundle over b라 한다.
-(E1,p1,B1):subbundle
-E1<E, B1<B, p1=restriction of p on E1일 때를 가리킨다.
-Relation관련
-aRb:a is related with b
-equivalence relation:reflexive, symmetry, transitive인 relation
-Relation:transitive
-for any a,b,c in J, aRb, bRc이면 aRc
-Relation, Symmetric관련
-Relation:symmetric
-for any a,b in J, aRb이면 bRa
-Relation:asymmetric
-for any a,b in J, aRb이면 not bRa
-Relation:antisymmetric
-for any a,b in J, aRb이고 bRa이면 a=b
(혹은 for any a,b in J, aRb이고 a != b이면 not bRa로도 쓸 수 있다.)
-Relation, Reflexive관련
-Relation:reflexive
-for any a in J, aRa
-Relation:irreflexive
-for any a in J, not aRa
-Relation, Totality관련
-Relation:total
-for any a,b in J, aRb or bRa
-Relation:trichotomous
-for any a,b in J, 다음 3가지 중 단 1개만 성립, aRb, bRa, a=b
-Order Relation관련
-Order Relation:Trichotomous and transitive인 relation
-Well-ordered Order Relation:Order Relation이면서 every nonempty subset E of J has a smallest element
-J with strict total order relation, E<J일 때(subset E)
-a:largest element of E 란 a in E이고 x=<a for any x in E일 때
-a:upper bound for E란, a in J이고 x<=a for any x in E일 때
-E:bounded above란, te j in J s.t. for any x in E, x<=j일 때
-J have the least upper bound property란, every nonempty E of J that is bounded above has a least upper bound.
*Measure Theory
-Measurable Space, Measure Space관련
-MAS:Measurable Space
-논의하는 전체집합을 포함하고, closed under complement, closed under c-union일 때
-MS:Measure Space
-MAS와 measure(nnn이고 empty는 0이고 c-additive일 때)
-C(MS):Completion of Measure Space
-MS를 CMS로 만든 것(Null-ME의 subset을 기존 ME와 union한것들을 추가로 C4에 넣어주면 됨)
-CMS:Complete Measure Space
-for any subset E of any Null-ME, E is also ME
-Measureable Sets, Collection관련
-MC:Monotone Class
-논의하는 전체집합을 포함하고
-inc seq of subset의 c-union에 closed
-dec seq of subset의 c-intersection에 closed
-C1:적어도 empty를 포함하는 Collection
-C2:적어도 empty와 전체 set을 포함하는 collection
-C3:algebra, field
-non-empty
-closed under complement
-closed under f-union
(field라 불리는 이유는, +연산을 union에, +연산 identity를 empty에, *연산을 intersection에, *연산 identity를 전체집합에 대응)
-SC3:semialgebra
-non-empty
-원소의 complement가 disjoint f-union in SC3으로 표현가능
-closed under f-intersection
-C4:sigma-algebra, or sigma-field
-non-empty
-closed complement
-closed c-union
-RC3:ring(대수학에서의 ring과는 다름)
-non-empty
-closed under relative complement
-closed under f-union
-RSC3:semiring
-non-empty
-원소의 relative complement가 disjoint f-union in SC3으로 표현가능
-closed under f-intersection
-RC4:Sigma-ring
-non-empty
-closed under relative complement
-closed under c-union
-C3(~):~을 포함하는 가장 작은 algebra
-C4(~):~을 포함하는 가장 작은 sigma algebra
-C(U)는 C의 원소들의 countable union들도 포함하는 collection
-C(I)는 C의 원소들의 countable intersection들도 포함하는 collection
-PC:Pi-system
-non-empty
-closed f-intersection
-LC:Lambda-system
-non-empty
-closed complement
-closed under c-union of pairwise disjoint subsets
-OME:Outer measurable subset
-E:OME란 for any subset E1 of J, OM(E1)=OM(E1 intersection E)+OM(E1-E)
-PM*ME:PM*의 OME
-MR:measurable rectangle, 즉 M1,M2의 measurable set의 product
-PrC1:C4({MR})
-PrC2:C4({all PrM*ME})
-C4(1)*:{ME1xJ2 s.t. ME1 in C4(1)}, sigma algebra되고 {All MR}의 subset
-C4(2)*:{J1xME2 s.t. ME2 in C4(2)}, sigma algebra되고 {All MR}의 subset
-ME:Measurable subset
-sf-ME:sigma finite measurable subset
-Null-ME:null measurable subset
-M(ME)=0인 ME
-+ME(with respect to sM):positive measurable set
-for any ME s.t. ME<+ME, sM(ME)>=0
--ME(with respect to sM):negative measurable set
-for any ME s.t. ME<-ME, sM(ME)<=0
-Null-sME(with respect to sM):null set(Null-ME와는 약간 다르게 정의됨)
-for any ME s.t. ME<Null-sME, sM(ME)=0
-Measurable Function관련
-MF:Measurable Function
-F:simple이란, MF이고 finite values만 가질 때(즉 linear combination of characteristic functions)
-X1:(J1,C4(1))->(J,C4), X2:(J2,C4(2))->(J,C4), 각각이 MF일 때, X1*:(J1xJ2,PrC1)->(J,C4), X1*(x,y)=X1(x), X2*:(J1xJ2,PrC1)->(J,C4), X2*(x,y)=X2(y)
(그냥 X2 곱하기 (x,y)와 구분하기)
-Lp(MS):Lp-space over MS(MS가 관심없으면 안적기도 함)
-MF:MS->C중에서 p-norm이 finite인 것들의 모음(C대신에 R(std)을 쓰기도 함)
-Locally Lp(MS)(for MS=(TS,{ME}, M))
-{f:TS->C s.t. for any compact K in TS, restriction of f on K is in Lp(K)}
(top도 함께 있는 MS에서 정의하고, 그 때 Lp(MS)보다 Locally Lp(MS)가 더 크다. 즉 원소 f가 더 많음)
-lp-space:Lp(N, counting measure)
-f:(J1,C4(1), M)->(ETR,C4(TS))인 경우
-{MF_n}:pt cv a.e.(to MF)란, pt cv하지 않는 정의역 J1상의 pts의 measure가 0
-{MF_n}:almost uni cv란, for any eps>0 te ME s.t. M(ME)<eps and {MF_n}:uni cv to MF on (ME)^C
-{MF_n}:cauchy in M이란, for any eps>0, te N and ME s.t. M(ME)<eps and for all n,m>=N, x in (ME)^C s.t. |MF_n(x)-MF_m(x)|<eps
-{MF_n}:cv in M (to MF)이란, for any eps>0, te N s.t. for all n>=N M({x s.t. |MF(x)-MF_n(x)|>=eps})<eps
-{MF_n}:cv in Lp (to MF)이란, lim n->inf ||MF_n - MF||_p = 0
-Set Function, Measure 관련
-sf:set function, a class of sets에서 ETR로 가는 function
-nnn sf가 monotone:
-for J1, J2 in domain s.t. J1<J2에 대해 sf(J1)<=sf(J2)
-nnn sf이 monotone(if):
-for J1, J2 in domain s.t. J1<J2 and J2-J1 in domain에 대해 sf(J1)<=sf(J2)
-nnn sf이 countably monotone1:
for J, {J_n} in domain s.t. J<c-union J_n에 대해 sf(J)<=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone1(if):
for J, {J_n} in domain s.t. J<c-union J_n, c-union J_n in domain에 대해 sf(J)<=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone2(if):
for {J_n} in domain s.t. c-union J_n in domain에 대해 sf(c-union J_n) <= c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone2(if)(dis):
for {J_n} in domain s.t. c-union J_n in domain and disjoint에 대해 sf(c-union J_n) <= c-sum sf(J-n)
-nnn sf이 f-additive:
-domain이 closed under f-union
-disjoint finite seq {J_n} in domain에 대해 sf(f-union J_n)=f-sum sf(J_n)
-nnn sf이 f-additive(if):
-disjoint finite seq {J_n} in domain s.t. f-union {J_n} in domain에 대해 sf(f-union J_n)=f-sum sf(J_n)
-nnn sf이 c-additive:
-domain이 closed under c-union
-disjoint countable seq {J_n} in domain에 대해 sf(c-union J_n)=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 c-additive(if):
disjoint countable seq {J_n} in domain s.t. c-union {J_n} in domain에 대해 sf(c-union J_n)=c-sum sf(J_n)
(워낙 general하게 정의한 것, (if)버전만 잘 알면 된다. nnn sf의 domain이 적절해지면, 예를 들면 C3, C4 등 (if)이면 not (if)가 성립)
-OM:Outer measure
-nnn sf on P(J)
-countably monotone1
(일반 Measure는 ME, Measure 순이지만, Outer Measure는 Measure, OME순으로 정의함)
-b-OM:Borel Outer Measure란, every borel set is OME일 때
-f-OM:finite Outer measure
-r-OM:Regular Outer Measure
-for any subset E, for any eps, te OME s.t. E<OME and OM(OME)<OM(E)+eps
-PM:premeasure
-nnn sf on C1
-PM(empty)=0
-c-additive(if)
(PM으로 OM만들고 그래서 M만드는 방법이 가능하다는 게 Measure Theory에서 중요한 내용임, PM을 C3에서 정의해주기만 하면 되므로 not C4)
-f-PM:finite premeasure, (PM은 domain이 C1이면 되는데, f-PM은 domain이 적어도 C2여야 함)
-sf-PM:sigma finite premeasure, (마찬가지로 sf-PM의 domain은 C2여야 함)
-PM*:Outer measure induced by PM:C3->[0,inf]
-M:measure
-M:nnn, M(empty)=0 and M:c-additive
-smf-M:semifinite measure
-for any ME1 s.t. M(ME1)=inf, te ME2 s.t. ME2<ME1, 0<M(ME2)<inf
-sf-M:sigma finite measure
-CM:complete measure
-LM:Lebesgue Measure
-RSC3={empty, all bdd intervals}, RSC3에 vol이란 PM을 주고, {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(top)가 된다. 즉 Borel sigma algebra)
-R(LM):Real numbers with Lebesgue measure
-PrM(M1,M2):Product Measure
-sM:signed Measure
-sM(empty)=0
-sM은 +inf, -inf중 기껏해야 1개만 take
-c-additive
-ms:mutually singular(sM1 ms sM2)(2개의 sM 혹은 M이 같은 C4일 때 논의함)
-te ME1, ME2 s.t. ME1 union ME2=전체집합, ME1,ME2:disjoint, ME1:Null-sME wrt sM1, ME2:Null-sME wrt sM2
-+sM:positive variation of sM(Jordan Decomposition Theorem참고)
--sM:negative variation of sM(Jordan Decomposition Theorem참고)
-|sM|:total variation of sM(Jordan Decomposition Theorem참고)
-f-sM:finite sM
-sM1<<sM2(Abs conti, (J,C4), 같은 C4에서의 signed measure에 관한 개념)
-sM1<<sM2 if |sM1|(E)=0 for E in C4 s.t. |sM2|(E)=0
*Group Theory
-Group, Subgroup 관련
-G:group
-이항연산에 대해 닫혀있고
-associative
-항등원 존재
-역원 존재
-Gp:groupoid with unary function ^(-1)과 partial function *
-not binary operation, Gp X Gp -> Gp인 함수가 임의의 a, b in Gp에 대해 정의되지 않음
-associativity( a*b가 정의되고 b*c가 정의될 때 (a*b)*c 와 a*(b*c)가 정의되고, equal)
-for all a in Gp, a*a^(-1)와 a^(-1)*a가 defined
-a*b가 defined되면 a*b*b^(-1)=a and a^(-1)*a*b=b
-p-G:p-group
-group이면서 order가 p^a for some integer a>=0
-g:G의 원소를 가리킴
-S:subgroup(Linear subspace, topological subspace등과 헷갈릴 땐 subgS라 적는다.)
-Hall S:Hall subgroup
-gcd(|S|,[G:S])=1일 때, 즉 subgroup의 order와 index가 서로소인 경우
-p-S:p-subgroup
-subgroup이 order가 p^a for some integer a>=0
-Sp:Sylow p-subgroup
-어떤 G의 subgroup이 order가 p^a이면서 p^a||G| and p^(a+1) not | |G|일 때의 subgroup, 즉 the largest p-S in the sense of factor p
-#Sp:The number of all Sylow p-subgroup
-J(Sp):the set of all Sylow p-subgroup
-NS:normal subgroup
-S이면서 for all g in G, gSg^-1=S인 S
-MS:maximal subgroup(Measurable Space와 구분)
-proper S이면서 S를 포함하는 subgroup은 S와 G만 있는 subgroup
-MNS:maximal normal subgroup
-proper NS이면서 NS를 포함하는 normal subgroup은 NS와 G만 있는 normal subgroup
-S_<G:S is subgroup of G
-S_<!G:S is normal subgroup of G
-S_J:Symmetric group on J
-모든 permutations on J들의 모임 with composite, 따라서 group
-Z(G):center of G
-Z(G):={g1 in G s.t. g*g1*g^(-1)=g1 for all g in G}
-C_G(E):centralizer of E on G
-C_G(E):={g in G s.t. g*z*g^(-1)=z for all z in E}
-즉 E가 center가 되게끔 하는 G의 원소들만 다 모은 것, 따라서 Z(C_G(E))=E가 성립할 것 같지만, E가 subgroup이 아니므로 안됨
(하지만 E가 subgroup이었다면 됨)
-N_G(E):normalizer of E on G
-N_G(E):={g in G s.t. g*E*g^(-1)=E}
-즉 E가 normal이 되게끔 하는 G의 원소들만 다 모은 것(하지만 E가 subgroup이 아닐 땐 조심)
(Center, Centralizer, Normalizer 는 Group에서도 쓰이지만, Ring, Algebra에서도 쓰임, 후자에는 second operation에 대해서 씀, first는 commute하므로 노관심)
(Normalizer가 Ring, Algebra에서 쓰일 때는 group과는 약간 다른게, 차라리 idealizer로 보는게 이해하기 쉽다.)
(Group에서의 N_G(S)는 the largest subgroup of G which includes S as normal)
(Ring에서의 N_R(S)는 the largest subring of R which includes S as ideal)
(Algebra에서의 N_A(S)는 the largest subalgebra of A which includes S as ideal가 안될 수 있다. Lie F-A에선 Jacobi's identity때문에 subalgebra가 된다.)
-[G:S]:index of S in G
-the number of left cosets of S in G
-simple G:simple group
-proper NS가 Trivial만 있으며 order가 1보다 큰 G
-V_4:klein 4 group
-V_4:=<a,b s.t. a^2=b^2=(ab)^2=1>
-Q_8:Quaternion Group
-Q_8:=<-1,i,j,k s.t. (-1)^2=1, i^2=j^2=k^2=ijk=(-1)>
-Alt(n):alternating group of degree n
-Alt(n):=[n]에서 even permutations group with operation=composite
-G가 divisible이란, abelian이고 G=nG for any nonzero n in Z
-Homomorphism관련
-S char G:S is characteristic in G
-for all aut in Aut(G), aut(S)=S인 subgroup S
-conj(g):conjugate of g, e.g. x*g*x^(-1)
-homog:group homomorphism
-structure-preserving map between two algebraic structures(여기서는 two groups)
-endo of G:homog:G->G
-G1 giso G2:G1 is group isomorphic to G2
-Aut(G):the automorphism group of G
-Aut(G):={all automorphism on G} with composite
-aut in Aut(G):the automorphism in Aut(G), 편의상 aut라 쓰기도 하자.
-Inn(G):the inner automorphism group of G
-inner automorphism이란 conjugation으로 만든 automorphism을 가리킨다.
-Inn(G)란 inner automorphism을 모두 모은 group with composite
-End(G):the Endomorphism ring of G
-{homog:G->G}, composite연산을 생각하면 monoid는 된다.
(만약 G가 Abelian additive(+) Group이었으면 (End(G),+, composite)은 ring이 된다.)
-ker(homog):the kernel of homog:G1->G2
-ker(homog)={g in G1 s.t. homog(g)=identity in G2}
-For S<G s.t. [G:S]<inf, transfer of S란,
-G를 S로 나눈 다음에 {x1S,x2S,x3S,...,xnS}, for any g in G any i in {1,2,3,...,n}, gxi=xjsi인 si들을 다 곱한 것의 image in S/C(S), f:G->S/C(S)인 이 f를 transfer of S라 한다.
(representatives x1,x2,...,xn을 뭘 택하든 transfer는 같음)(link)
({x1,x2,...,xn}같이 representatives를 각각 1개씩 in 각각 orbits, 이것을 transversal이라 한다.)
(transfer는 group homomorphism이다.)(link)
-Group Action관련
-act_J by G:action on J by G, GxJ->J
-act((e,j))=j and act((g1g2,j))=act(g1,act(g2,j))
(그리고 이때 J를 G-set이라 함, 즉 action by G을 줄 수 있는 set)
-act_J by g:permutation from action on J by g, J->J
-act_J by G가 있을 때 g 하나당 permutation:J->J를 얻을 수 있는데 그것을 가리킴
-homo by act:homomorphism, G->S_J
-O_x:orbit of x under the action of G(필요하다면 in G on X등을 뒤에 적는다.)
-O_x:={y in X s.t. y=g act x for some g in G}
-G_x:stablizer of x in G
-G_x:={g in G s.t. g act x = x}
-Ker(act):kernel of act_J by G
-Ker(act):={g in G s.t. g act x =x for all x in X}
-즉 homo by act의 kernel이라 생각하면 쉬움
-Generator, order관련
-<g>:the group generated by g, i.e. cyclic group
-<E>:the smallest subgroup of G containing E
-Commutator관련
-C(G):commutator subgroup of G
-C(G):=<all commutators>
-[g1,g2]:commutator of g1 and g2
-[g1,g2]:=g1^(-1)*g2^(-1)*g1*g2
-[E1,E2]:the group generated by commutators of elements from E1 and from E2.
-[E1,E2]:=<{[g1,g2] s.t. g1 in E1 and g2 in E2}>
-Group Direct Product, Direct Sum관련
-EDP(G1,G2):External Direct Product of G1, G2
-for any group G1, G2, EDP(G1,G2)는 G1 x G2이고 operation은 coordinate-wise
-EDP(G_i):External Direct Product of {G_i}
-2개일 때의 자연스러운 확장
-IDP(NS1,NS2):Internal Direct Product of NS1, NS2
-for any proper non trivial Normal subgroups NS1,NS2 of G, IDP(NS1,NS2):=NS1NS2 when NS1교NS2=1
(실은 IDP(NS1,NS2) giso EDP(NS1,NS2)성립함)
-IDP(NS_i):Internal DIrect Product of {NS_i}
-2개일 때의 자연스러운 확장
-EAG(p,n):Elementary abelian group, EDP((Z/pZ) n개곱)
-EAG(p,n)=EDP((Z/pZ) n개곱)
-Group Semidirect Product관련
-OSDP(G1,G2,homog:G2->Aut(G1)):Outer Semidirect Product of G1 and G2 wrt homog
-OSDP(G1,G2,homog) is the cartesian product G1 x G2 에서의 group with binary operation *, (g1,g2)*(g3,g4):=(g1homog(g2)(g3), g2g4)
(이렇게 연산 정의된 것은 G=ISDP(NS,S)에서 연산이 어떻게 되는지를 보면 앎, n1s1n2s2=n1s1n2(s1)^(-1)s1s2), 즉 ISDP는 homog가 conjugate action인 것)
-ISDP(NS,S):Inner Semidirect Product of NS and S(where NS:normal subgroup of G, S:subgroup of G)
-G=S1S2 where S1:the NS, S2:S, S1교S2={e}
-UWP(G1,G2,E):the unrestricted wreath product of G1 by G2, where act_E by G2
-G:=G1xG1x...xG1, E개만큼 곱함(infinite도 가능) 그리고 G2 act on E를 G의 원소의 index에 적용, 따라서 G2 act on G, UWP(G1,G2,E)=OSDP(G,G2)
-RWP(G1,G2,E):the restricted wreath product of G1 by G2, where act_E_by G2
-G:=direct sum of G1, E개만큼 곱하는데, finite개 빼곤 e(identity of G1), 나머진 UWP와 같음
-Series in Group Theory관련
*Ring Theory
-Ring, Subring관련
-R:ring
-(R,+):abelian group
-*:associative
-distributive laws가 성립일 때 (R,+,*):ring이라 한다. 줄여서 R이라 쓰기로 하자.
(주 관심대상은 R_[1], CR_[1], ID)
-r:ring의 원소, Ring의 원소관련
-zd:zero divisor
-for r in R, r:zero divisor if r:nonzero and te r2 in R s.t. r2:nonzero and r1*r2=zero
-r:nilpotent if r을 유한번 곱했더니 0
-R=R_[1]에서
-u:unit
-te v in R s.t. u*v=v*u=1일 때
-CR에서
-a divide b란(단 a가 nonzero일 때만 정의)(혹은 a:divisor of b, a|b, b:multiple of a라고도 씀)
-te r in R s.t. a=r*b
-gcd(a,b)란
-gcd(a,b):=d s.t. d|a and d|b and if x|a and x|b then x|d
-R=ID에서
-r:irreducible in R이란 r:nonzero and non unit이고 whenever r=a*b일 때, a,b둘 중 하나는 반드시 unit in R일 때
(irreducible이 아니면 reducible이라 한다.)
-R_[0]:ring without unity
-Zero Ring:Ring With Unity = zero
-CR:commutative ring
-DR:Division ring
-for any non zero r in R, r has the multiplicative inverse
(R_[1]이긴 해야되는데 commutative일 필요는 없다, noncommutative DR을 (strictly)skew field라 한다.
-SR:subring, (SR _< R)
-R의 subgroup이면서 closed under *인 것
-R^*:the set of units in R
-char(R):characteristic of R(R=R_[1]일때만 characteristic정의)
-1+1+1+...+1=0되게하는 최소 1의 개수를 characteristic of R이라 하고, 이러한 1이 없다면 char(R)=0이라 정의)
-ID:Integral domain
-CR_[1]이 zd를 하나도 안가질 때 ID라 한다.
-R:Noetherian
-R:CR_[1]이고 every id is finitely generated
-Ideal관련
-Lid:Left Ideal
-SR이면서 for all r in R, r*Lid<Lid
-Rid:Right Ideal
-SR이면서 for all r in R, Rid*r<Rid
-id:ideal
-Lid가 Rid도 되면 id라 한다.
-r + id:={r + s s.t. s in id}
-r * id:={r * s s.t. s in id}
-id1 + id2:={s1+s2 s.t. s1 in id1 and s2 in id2}
-id1, id2:comaximal이란 id1+id2=R전체가 될 때
-id1id2:={all f-sum of elements of the form s1*s2 s.t. s1 in id1 and s2 in id2}
-id1=id2인 경우 (Id1)^2으로 표현한다.
-M-id:Maximal ideal(Maximal normal subgroup에 대응됨)
-proper id이면서 자기를 포함하는 id는 자신과 전체 R뿐
-prm-id:prime ideal(general한 정의, CR에서는 다른 정의를 보통 이용, using element-wise)
-id1id2가 id3에 포함될 때, id1, id2중 적어도 1개가 id3에 포함, 을 만족하는 id3를 prm-id라 한다.
-CR에서만 논의
-cprm-id:completely prime ideal
-proper id이면서 Ring - cprm-id의 원소 a,b의 a*b는 Ring - cprm-id일 때
-혹은 proper id이면서 for some a,b in R, a*b in cprm-id이면 a,b중 적어도 하나는 cprm-id의 원소일 때
-R_[1]에서만 논의
-(E):the smallest id of R containing E
-id는 교집합해도 id이므로 E를 포함하는 id들을 intersection한 것
-특히 (r):=({r})=R{r}R인 셈
(R_[1]이 아닌 R에서 논의하자면 (E)가 RER에다가 몇개 원소 더 추가해야됨, E의 원소끼리의 합 이런게 표현안됨)
-p-id:principal ideal(cyclic subgroup에 대응됨)
-single element로 generated된 id, 즉 ({r}), 쉽게 (r)이라 쓰기도 함.
-f-id:finitely generated ideal
-finite elements로 generated된 id
-Z(R):the center of R
-Z(R):={r in R s.t. rx=xr for all x in R}
-norm_ID:Norm on Integral Domain
-f:ID->{0,1,2,...} s.t. f(0)=0을 norm on ID라 한다.
-+norm_ID:positive norm on ID
-for non zero x in ID, f(x)>0인 norm on ID를 +norm이라 하자.
-DHnorm_ID:Dedekind-Hasse norm on ID
-+norm_ID이면서 for nonzero a, nonzero b in ID, a:mutiplie of b이거나 te x, y in ID s.t. 0<f(ax-by)<f(b)
(ED일 때 만족해야될 norm_ID보다 좀 더 weak한 경우임)
-UFD:Unique Factorization Domain
-ID이면서 모든 nonzero nonunit element는 finite product of irrducibles로 표현가능 unique up to associates
-PID:principal ideal domain
-ID s.t. every id is p-id
-ED:Euclidean domain
-ID s.t. te norm_ID s.t. for any a,b(b는 nonzero) in ID, te q,r in ID with a=qb+r with r=0 or norm_ID(r)<norm_ID(b).
(Euclidean Division을 일반화시킨게 가능한 ID를 가리킴)
(q를 quotient, r을 remainder라 한다.)
(위의 norm을 EFnorm_ID라 하자. Euclidean Function의 EF을 땀)
-R:graded란
-R:direct sum of additive subgroups R=R0+R1+R2+..., s.t. RiRj < R(i+j) for all i,j>=0
(이 때 Ri의 원소를 homogeneous of degree i라 하고 Ri를 homogeneous component of R of degree i라 한다.)
(대표적인 예는 polynomial ring, tensor algebra of M)
-graded id란?
-for R:graded, id:ideal of R, id=direct sum of (id intersection Ri)형태일 때
-Functions Ring관련
-P:polynomial
-R[x]:the ring of polynomials in the variable x with coefficients in R(R이 CR_[1]일 때를 생각할 때가 많다.)
-GP(x1,x2,...,xn):the general polynomial, (x-x1)(x-x2)...(x-xn)
-R[x1,x2,...,xn]:the polynomial ring in the variables x1,x2,...,xn with coefficients in R
-aform(algebraic form):homogeneous polynomial in R[x1,x2,...,xn], 각 term이 same degree인 polynomial(aform, form 혼용해서 쓰자.)
-for P in R[x1,x2,...,xn], homogeneous component of P of degree k란, terms of P중 degree가 k인 것들의 sum, P_k라 쓰자.
-(n-ary)quadratic form over F:homogeneous of degree 2 in F[x1,x2,...,xn]
qdf_F(x1,x2,...,xn) or qdf_F(x) or qdf(x)라 쓰자.(F생략해서 막 쓰면 같은 F에 대한 얘기임)
-qdf1, qdf2:equivalent if te MT in GL(n,F) s.t. qdf1_F(x)=qdf2_F(MTx) for any x
-MT_qdf:SMT from qdf, SMT_(i,j)=1/2*(xixj의 계수 + xjxi의 계수)
-qm:quadratic map by qdf, F^n->F, x=(x1,x2,...,xn) in F^n represented by the standard basis of column form, qm_qdf(x):=rt(x)*MT_qdf*x(하단 참고 VS(F)->F)
-b_qdf:form from qdf on F^n, b_qdf(x,y):=1/2 * {qm_qdf(x+y) - qm_qdf(x) - qm_qdf(y)}
-D(qdf_F):={d in F-{0} s.t. qdf(x)=d for some x in F^n}
-F(x):the field of rational functions
-QF(F[x]), quotient field of F[x]
-for f(x1,x2,...,xn) in F(x1,x2,...,xn), f(x1,x2,...,xn)가 symmetric이란,xi의 index를 어떻게 permute해도 f값이 같을 때
-Homomorphism관련
-riso:ring isomorphic
-homor:ring homomorphism
-ker(homor):kernel of ring homomorphism(homog의 kernel로써 정의됨)
-for R,S:graded, homor:R->S, homor가 graded란 homor(Ri)<Si일 때
-Quotient Ring관련
-R/id:quotient ring of R by id
-Matrix Ring관련
-MT(R)(nxn):Matrix of size nxn with entries in R
-
-Group Ring, Group Algebra관련
-R[G]:Group ring
-R:CR_[1]이고 G={g1,g2,...,gn}으로 finite group G이고
-계수는 R의 원소인 G의 linear combinations 모임으로, ring이 된다.
-RE:the set of all finite sums of elements of the form like R[G], 비슷하게 ER, RER등도 정의 됨
(E는 R의 any subset일 때를 가리킴)
-F[G]:Group algebra
-F[G]:direct sum of Fv_g over g, 따라서 VS(F)이고 multiplication은 R[G]처럼 v_g v_h =v_(gh)로써 정의해서 F-algebra됨
*Field Theory
-F:Field
-OF:Ordered Field
-QF(ID):quotient field of ID
-[F2:F1]:dimension of F2=VS(F1)
-F(a1,a2,...,an):the field generated by a1,a2,...,an over F(where ai in a extension of F), the smallest field containing ai and F
-F(a1):simple extension field of F
(이때 a1을 primitive element of F(a1)이라 한다.)
-F2>F1이란 F2:extension field of F1
-an embedding of F1 into F2란, f:F1->F2 s.t. injective and homomorphism을 가리킨다.
-FEF of F1, F2>F1 with finite [F2:F1]일 때 F2를 Finite extension field of F1이라 하고, FEF of F1으로 나타내기로 하자.
-a:alg(F):algebraic over F, F의 extension field의 원소이면서 te P(x) in F[x] s.t. P(alg(F))=0인 것
-a:transcendental over F란, F의 extension field의 원소이면서 not algebraic over F인 것
-for F2>F1, E:subset of F2, E:algebraically independent over F1이란,
for every finite subset E' of E, E'={a1,a2,...,an}, there is no nonzero polynomial f(x1,x2,...xn) in F1[x1,x2,...,xn] s.t. f(a1,a2,...,an)=0
-a transcendence base for F2>F1이란 maximal subset of F2(wrt set inclusion) which is algebraically independent over F1
-m_(alg(F),F)(x):the minimal polynomial for alg(F), alg(F)를 root로하면서 unique monic irreducible poly in F[x]을 가리킴
-F2:AEF of F1, F2>F1이고 for any a in F2, a:alg(F1)이면 F2를 algebraic extension field of F1이라 하고 AEF of F1으로 나타내기로 하자.
-F2F1, F3>F2이고 F3>F1일 때 F2F1을 the smallest subfield of F3 containing both F2 and F1을 나타내고 composite field of F2 and F1이라 한다.
-prime subfield, unity를 포함하는 the smallest subfield
-F2:SptEF_(P(x),F1), F2>F1이고 P(x) in F1[x]에 대해 a splitting field for P(x) in F1[x]란, P(x)가 factors completely into linear factors in F2[x]인 F2이고 F2>F3>F1인 proper F3에 대해 F3[x]에서는 splits completely가 안될 때, F2를 a splitting field for P(x) in F1[x]라 하고 줄여서 SptEF_(P(x),F1)
(즉 P(x) in F1[x]의 모든 roots를 포함하면서 F1의 extension인 것들 중 smallest)
(SptEF_F란, polynomial이 존재하긴 하는데 그게 관심이 아닌 splitting field를 가리킬 때 사용, splitting field over F)
-NEF of F1, normal extension of F1, AEF of F1가 SptEF_({P(x)},F1)였다면 AEF of F1을 normal extension of F1이라고 한다.
-ac(F)란, algebraic closure of F, F2:AEF of F이고 for every polynomial P(x) in F[x], P(x) splits completely in F2[x]일 때 F2를 algebraic closure of F1이라한다.(정의상으로는 unique up to isomorphism which fix F인지는 모르지만 ac-F를 잡아서 건설하면 알 수 있음)
-ac-F란, algebraically closed field, ac(F)=F인 F를 ac-F라 한다.
(즉 F[x]의 any nonconstant polynomial의 모든 roots가 F에 있다는 것)
-F:acc0, algebraically closed and characteristic 0(자주나오므로)
-P(x)가 separable over F란, P(x) in F[x]인 P(x)의 all roots가 모두 distinct in ac(F)
(roots가 F에 있냐는 건 관심 없음, ac(F)에서, 즉 모든 roots를 일단 다 구하고나서 그게 distinct하냐는게 관심)
(over F라는 걸 적어줘야만 의미 있음, x^2-1을 over Q, over F_2 각각에 따라 다름)
-formal derivative란, 극한없이 poly->poly인 연산자로써 정의, D_x(P(x))로 표현
-F:perfect란, char(F)=0 or char(F)=p s.t. each element x in F can be written as y^p for some y in F
-char(F)=prm인 p이고 for an irreducible f(x) in F[x] the separable degree of f란
-F:perfect이면 f(x)는 separable되서 the separable degree of f = the degree of f
-Otherwise, f(x)=g(x^p^k)이면서 g(x):separable over F인 irreducible poly가 있는데 degree of g(x)를 가리킨다.
(p^k를 inseparable degree of f라 한다.)
-f:F->F f:Frobenius란 char(F)=p일 때 정의하고 f:F->F, x->x^p인 map
(injective인 endomorphism, 따라서 finite field F1이었다면 Frobenius_F1는 automorphism)
-SEF of F이란, Separable Extension field of F, F2:AEF of F이면서 for any a in F2, m_(a,F):separable over F
-Cyclotomic Field of nth root of unity관련
-CCTMF_n이란 SptEF_(x^n-1,Q)를 가리킨다. the cyclotomic field of nth root of unity라 한다.
-{x^n-1의 roots in C}는 group이 되고 여기서 generator를 primitive nth root of unity라 한다.(ephi(n)개만큼 존재)
-CCTMP(x)_n이란 the nth cyclotomic polynomial, prod over all primitive nth root of unity t (x-t)(따라서 deg가 ephi(n))
-내용정리, extension관련
-포함관계:
AEF of F1>FEF of F1>SptEF_(P(x),F1)
AEF of F1>SEF of F1>ac(F1)(단 SEF of F1>ac(F1)은 F1이 perfect일 때만 가능)
-Classical Straightedge and Compass Construction관련
-for a in R, a:constructible이란 we can construct a line segment of length |a| in a finite number of steps from this given segment of unit length by using a straightedge and a compass.
-for F:field, S:subset of F, Aut(F/S)는 Aut(F)의 원소중에서 S를 fix하는 애들만 모아둔 group
-Aut(F2/F1), Aut(F2)중에서 F1을 fix하는 애들만 모아둔 group
-for a subgroup S of Aut(F), F_S란?(called fixed field of S), S의 모든 원소가 fixed하는 F의 원소들의 모임, subfield of F된다.
-GEF of F란? NEF SEF of F일 때를 말한다.
-for F2:GEF of F1일 때,
-G(F2/F1):=the galois group of F2 over F1이라 하고 Aut(F2/F1)을 가리킨다.
-for x in F2, f in G(F2/F1), f(x)를 galois conjugate of x over F1라 한다.(any f마다 conjugate인 셈)
-for F1<F<F2, f in G(F2/F1), f(F)를 conjugate field of F over F1라 한다.
-F2:abelian GEF of F1이란, F2가 GEF of F1이고 G(F2/F1):abelian일 때
-for P(x):separable over F,G(P(x),F):=the galois group of P(x) over F라 하고 Aut(SptEF_(P(x),F)/F)를 가리킨다.
-for F2:SEF of F1(may not NEF of F1), gc(F2/F1)이란, called "the galois closure of F2 over F1"
-F2가 NEF이고 SEF이면 GEF되지만, SEF이기만해서는 GEF가 안된다. 하지만 F2를 좀 더 extension하면 SEF이면서 NEF되게할 수 있다. 그런 extension중에서 가장 작은 것을 가리킨다.
(만약 F2가 not SEF였으면 F2를 어떻게 extension해도 not SEF이므로 galois closure란 것은 정의 못함)
-for F2:SEF of F1일 때(may not NEF of F1), G(F2/F1):=the galois group of F2 over F1이고 Aut(gc(F2/F1)/F1)을 가리킨다, 즉 galois clousure로 대체시켜 생각
-for P(x) in F[x] of degree n, the discriminant of P(x)(disc(p(x))라 적자)란, SptEF_(P(x),F)에서의 P(x)의 all roots {r1,r2,...,rn}(중복해서 적음)에 대하여 prod over i<j (ri - rj)^2,
(따라서 P(x):separable over F이면 disc(P(x))=nonzero, inseparable이면 disc(P(x))=0
*Module Theory
-Module관련
(기본적으로 sth-Md이란, 어떠한 대수적 구조가 있는 object Md에 sth이란 대수적 구조가 있는 object를 Md좌측에다가 붙이는 연산을 정의할건데, 각 sth에 있는 연산과 Md에 있는 연산이 compatible하게끔 정의가 될 때를 가리킨다.)
-R-Md:(left)R-module
-R:Ring
-(Md,+):abelian group
-scalar multiplication:R x Md->Md s.t.
-r1(m1+m2)=r1m1+r1m2
-(r1+r2)m1=r1m1+r2m1
-(r1r2)m1=r1(r2m1)
(R이 이미 잘 안다면 R-Md말고 Md라 하자 그냥)
-G-Md:(left)G-Module
-G:group
-(Md,+):abelian group
-act_Md by G:G x Md -> Md s.t.
-for any g in G, x,y in Md, g(x+y)=gx + gy
-(action이니까) for any g,h in G, x in Md, (gh)x=g(hx)
(Md가 VS(F)일 땐 act_Md by G가 linearity도 만족, 즉 g(ax+by)=a(gx)+b(gy) where g in G, a,b in F, x,y in VS(F)할 때 G-Md VS(F)라 함)
(for any g in G, x in Md, (g,x)->x이면 이 때 trivial G-Md라 한다.)
-for M:G-Md and H:subgroup of G, M을 H-Md로도 간주할 수 있다.
-unital R-Md:Unital R-module
-R-module에서 R이 unity 1을 갖고 1m=m을 만족할 때의 R-module
-R-subMd:submodule of R-Md
-subMd:closed under group operation and scalar multiplication
-G-subMd:submodule of G-Md
-closed under group operation and group action
(Md가 VS(F)일 땐 G-subMd란 subspace이고 그 자체로 G-Md일 때, 즉 W:subspace of V, V:G-Md일 때 gw가 W에 속할 때(for any g in G, w in W))
-for m in R-Md, m이 torsion
-te nonzero r in R s.t. rm=0일 때 m을 torsion이라 함
-Tor(Md):={all torsion of Md}
-Tor(Md)를 the torsion submodule이라 하고(R:ID일 때), Tor(Md)의 submodule를 a torsion submodule이라 한다.
-Tor(Md)=0이면 Md를 torsion free라 한다.
-for R-Md인 M, subMd인 N, Ann_R(N):={r in R s.t. rn=0 for all n in N}
(Ann_R(N)은 two-sided id됨)
-for R-Md인 M, Rid of R인 id, Ann_M(Id):={m in M s.t. am=0 for all a in id}
(Ann_M(id)는 subMd됨)
-For N1:R-subMd1, N2:R-subMd2 of M:R-Md, N1+N2:={n1+n2 s.t. n1 in N1 n2 in N2}
(the smallest subMd containing N1 and N2됨)
-For M:R-Md, A:subset of M, RA:={f-sum of ra for r in R, a in A}, called the submodule of M generated by A
(the smallest subMd containing A)
(Group Ring에서와 헷갈리지 않게, RE는 E는 R의 subset일 때임)
-For N:R-subMd of M:R-Md, for A:subset of M, N=RA인 경우 A를 a set of generators for N이라 한다.
-finite set인 A가 존재하면 N을 finitely generated라 한다.
-singleton인 A가 존재하면 N을 cyclic이라 한다.
-For M_i:R-Md, EDP(M_i), direct product of {M_i}
-For R:R_[1], S:R_[1], M:(R,S)-biMd란, called (R,S) bimodule
-M:left R-Md and M:right S-Md, for r in R, s in S, m in M, (rm)s=r(ms)
-For R:CR_[1], M:SR-Md, called the standard R-module
-M:(R,R)-biMd을 가리킨다.
-For R:CR_[1], M,N,L:left R-Md, f:MxN->L이 R-bilinear이란?
-그냥 bilinear
(정의역의 곱이 n개면 n-multilinear over R이라 한다.)
-For R:CR_[1], M1,M2,...,Mn,L:left R-Md, f:M1xM2x...xMn->L이 n-multilinear over R이 alternating이란?
-정의역의 이웃하는 2개 terms가 same일 때마다 f=0일 때)
-For R:CR_[1], det on R이란
-det:CMT(R)(nxn)->R s.t. det:n-multilinear alternating over R on R^nxR^nx...xR^n, 각 components는 MT의 columns이고 det(IMT)=1
(위의 2성질을 만족하면 det라 한다. determinant)
-For M:left R-Md, M:Noetherian이란
-te no infinite increasing chains of submodules
-For R:ID, M:R-Md일 때 rank of M:=the maximum number of R-lind elements of M
-For R:ID, M:R-Md일 때 divisible M이란, for any nonzero r in R, rM=M
-simple Md이란, submodule이 0와 자기자신 뿐
-semisimple Md란, simple인 submodules의 direct sum으로 decompose가능할 때
-
-Quotient Module관련
-R-Md/R-subMd:Quotient Module of R-Md by R-subMd
-quotient group과 똑같이 만들어지고, module이 됨
-Homomorphism관련
-R-Md1, R-Md2(같은 R에 대해) homoMd(R-Md1,R-Md2)란, f:R-Md1->R-Md2 s.t. f(x+y)=f(x)+f(y) and f(rx)=rf(x)인 f를 가리킨다.
(vector spaces에서는 linear transformation이라 함)
(R-Module homomorphism이라 부른다.)
-Hom(R-Md1,R-Md2), the set of all homoMd(R-Md1,R-Md2)
-End(R-Md):=Hom(R-Md,R-Md)
(ring이 된다. multiplication은 composite로 두면)
-
-Free관련
-For M:R-Md, A:subset of M, M:free on A란(혹은 A를 R-Basis라 한다.)
-A:basis for M, 즉 M의 모든 원소가 finite linear combinations of A로 유일하게 표현된다는 것
(이때 M을 free module이라 한다.)
-For R:CR_[1], M:R-Md free on A, rank(M):=|basis|=|A|(R이 commutative여야 well-defined)
-For A:set, R:ring, FM(R,A)이란, called a free R-module on A
-free on A인 R-Md
-For A:set, FAG(A):=FM(Z,A), called free abelian group on A
(Z-Md인데 사실 Md이긴한데 그냥 abelian group structure만 가질 뿐, 그래서 free module이라 하지 않고 group이라함)
-Tensor Product관련
-For R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md, TP(M,N)이란? called the tensor product of M and N over R
-FAG(MxN)의 quotient group, bilinear되게끔
-TP(M,N)은 기본적으로 abelian group structure만 갖고 있는데 M,N에 조건 더 있을수록 Md되기도 하고 함
-TP(M,N)의 원소를 tensor라 하고, for m in M, n in N, tp(m,n):=coset of (m,n), called the simple tensor of m,n
(TP(M,N)의 모든 원소는 finite sum of simple tensors로 쓰여진다. 건설법을 생각해보면)
-For R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md, G:abelian group, f:MxN->G이 R-balanced란?
-f(m1+m2,n)=f(m1,n)+f(m2,n)이고 f(m,n1+n2)=f(m,n1)+f(m,n2)이고 f(mr,n)=f(m,rn)인 f
-For R:R_[1], M1:right R-Md, M2:right R-Md, N1:left R-Md, N2:left R-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2), TP(f1,f2)란
-TP(f1,f2):TP(M1,N1)->TP(M2,N2), TP(f1,f2)(tp(m1,n1))=tp(f1(m1),f2(n1))
(group homomorphism이 되고 M,N에 structure가 더 조건 붙으면 module homomorphism까지 됨)
-Short Exact Sequence관련
-SES(Md1,Md2,Md3,f1,f2):Short Exact Sequence란, Group에서와 정의 같음, 단지 Md1,Md2,Md3:R-Md일 뿐
-SES(Md1,Md2,Md3,f1,f2):split란, left split or right split or equivalent to SES(Md1,EDP(Md1,Md3),Md3,embedding,projection)일 때
-Md:R-Md가 projective란, every SES(Md1,Md2,Md)가 split일 때
-Md:R-Md가 injective란, every SES(Md,Md1,Md2)가 split일 때
-Md:R-Md가 flat이란, every SES(left R-Md1,left R-Md2, left R-Md3)에 Md을 tensor product을 좌승 취해도 SES가 얻어질 때
(이때 얻어진 SES는 group의 SES)
-Md1:R-Md, Md2:an essential extension of Md1이란, for every subMd S2 in Md2, Md1교S2={0}이면 S2={0}일 때
-Md1:R-Md, Md2:an injective hull of Md1이란, Md2:injective R-Md이고 Md2:essential extension of Md1일 때
-MD over PID관련
-R:PID, M:R-Md일 때
-M with annihilator nonzero a=u(p1)^a1(p2)^a2...일 때 pi-primary component of M란, Ni:={x in M s.t. (pi)^ai x =0}
-R:PID, M:finitely generated R-Md일 때
-free rank of M이란, M의 cyclic modules decomposition에서의 free파트 rank
-invariant factors of M이란, M의 cyclic modules decomposition에서의 R/(ai)인 ai들을 가리킨다.
-elementary divisors of M이란, M의 cyclic modules decomposition(using primes)에서의 R/((p_i)^a_i)에서 (p_i)^a_i를 가리킨다.
-R:F[x]일 때
-for any monic P(x) in F[x], cpMT(P(x)), companion matrix란, 대각성분은 0, 대각성분 바로 밑은 1, 마지막 열은 P(x)의 계수들*(-1)을 상수항부터 위에서부터, 나머진 0
*Vector Space
-Basic
-VS(F):Vector Space over F, ()언급 없으면 R을 가리킴
-VS(F):=F-Md
-f-dim:finite dimensional
-inf-dim:infinite dimensional
-x:any vector
-s:any scalar
-LS:Linear Subspace(subgS, topS, LS)
-F^n:n-dimensional VS(F)
-A:absorbing subset
-VS(F)에서 F가 R(std)이거나 C인 경우 정의를 하며, for any x in VS(F), te c>0 s.t. for |t|>c, x in tA
-B:balanced subset
-VS(F)에서 F가 OF인 경우 정의를 하며(대게 OF=R(std)), for any t in [-1,1], tB<B인 경우 B를 Balanced라 한다.
-V:convex subset
-VS(F)에서 F가 OF인 경우 정의를 하며(대게 OF=R(std)), for all x, y in V, for all t in [0,1], (1-t)x+ty in V일 때 V를 convex라 한다.
-AV:absorbing convex subset
-lind:linearly independent
-a flag (V_i) of VS(F)란
-a seq of subspace s.t. dim(V_i)=i and V_i<V_(i+1)
-VS(F)에 topology 주는 방법
-normable
-F:topological field(즉 +,*,나누기 가 continuous인 field)일 때(즉 R(std)거나 C)
-addition과 scalar multiplication이 conti가 되게끔 smallest top주는 법(TVS가 됨)
-(VS(F))^*의 모든 원소가 conti가 되게끔(weak topology참고, NVS에선 conti LF들이 conti가 되게끔하는 최소 top)
-Linear combination관련
-1-linc:계수의 합이 1인 linear combination
-1p-linc:계수가 positive이고 합이 1인 linear combination
-c-ilnc:계수가 nnn이고 합이 1인 linear combination(convex combination)
-Direct Product, Direct Sum관련
-EDP(VS1(F),VS2(F)):External Direct Product of VS1(F), VS2(F)(대게는 Direct Sum이라 하지만, VS(F)가 infiite개면 product와 sum구분 필요)
-EDP(VS1(F),VS2(F)):=the cartesian product of VS1(F), VS2(F), 연산은 component-wise, 새로이 VS(F)가 된다.
-IDP(LS1,LS2):Internal Direct Product of LS1,LS2(대게는 Direct Sum이라 하지만, VS(F)가 infiite개면 product와 sum구분 필요)
-IDP(LS1,LS2):={x + y s.t. x in LS1, y in LS2} and LS1교LS2={0} (LS1과 LS2모두 같은 VS(F)의 linear subspace)
(IDP(LS1,LS2) isomorphic EDP(LS1,LS2)성립)
(nontrivial, proper LS1,LS2에 대해서 정의함)
-Function관련(정의역의F와 공역의 F가 다를 순 있으나 그래봤자 subfield관계여야함)
-VS(F)xVS(F)->F
-f:form on VS(F)
-f:VS(F)xVS(F)->F인 function
-Bilinear form on VS(F)
-f:VS(F)xVS(F)->F이면서 bilinear인 function을 가리킴
(bilinear form의 matrix표현은 VS(F)의 basis={v1,v2,...,vn}를 고정시켜버리고 f(vi,vj)를 (i,j)성분으로 하는 matrix를 M이라 하면 f(u,v)=rt(x) M y, 각 x와 y는 u와 v를 basis {v1,v2,...,vn}의 계수들로 표현한 것)
(다른 basis {u1,u2,...,un}를 택했었다면, [u1, u2, ..., un]=[v1,v2,...,vn]S where S:invertible MT, rt(S)MS가 represent matrix가 된다.)
-Symmetric form on VS(F)
-f:bilinear form onVS(F)이면서 for all x,y in VS(F), f(x,y)=f(y,x)
-for b:symmetric bilinear form on VS(F),
-qm_b:quadratic map, VS(F)->F, qm_b(x)=b(x,x)
-qdf_b:quadratic form by b, qdf_b(x1,x2,...,xn)=sum b(ei,ej)xixj, where {e1,e2,...,en}:a basis for VS(F), qdf_b in F[x1,x2,...,xn]
-(VS(F), b):quadratic space라 한다.
-(VS1(F),b1), (VS2(F),b2):isometric
if te g:isom from VS1(F) to VS2(F) s.t. b1(x,y)=b2(g(x),g(y)) for any x,y in VS1(F)
-Alternating form on VS(F)
-f:bilinear form on VS(F)이면서 for all x in VS(F), f(x,x)=0
-Skew-symmetric form on VS(F)
-f:bilinear form on VS(F)이면서 for all x,y in VS(F), f(x,y) = (-f(y,x))
-regular bilinear form이란, g:VS(F)->(VS(F))^*, g(v):=f(v,~) or h:VS(F)->(VS(F))^*, h(v):=f(~,v), 둘 중 1개가 isomorphism일 때
-for symmetric bilinear form f on VS(F), for LS of VS(F), for LS1 of VS(F), for LS2 of VS(F), for E subset of VS(F)
-(LS)^ㅗ :={x in VS(F) s.t. f(x,y)=0 for all y in LS}, the orthogonal complement of LS라 한다.
-rad(f):=(VS(F))^ㅗ, radical of f라 불린다.
-f_LS:subform of f on LS라 하고 정의는 restriction of f on LS
-f=f_LS1 ㅗ f_LS2란, VS(F)=IDP(LS1,LS2) with (LS1)^ㅗ < LS2일 때의 f표현이고, the internal orthogonal sum of f_LS1 and f_LS2라 한다.
-f의 regular part란, f=f_W ㅗ f_rad(f)로 uniquely up to isometry인 W가 존재하고 f_W on W를 regular part of f라 한다.
-f의 diagonal form <a1,a2,...,ak>란, f의 regular part만을 대응되는 matrix의 diagonal form을 가리킴
-for nonzero x in VS(F), x:isotropic란, f(x,x)=0일 때
-for nonzero x in VS(F), x:anisotropic이란, f(x,x):nonzero
-f:isotropic이란 te x in VS(F) s.t. x:isotropic일 때
-f:anisotropic이란 there is no isotropic vector
-for a linear subspace W of VS(F), W:totally isotropic란 f(w1,w2)=0 for all w1, w2 in W
-E:orthonormal이란 for any distinct x,y in E, f(x,y)=0, f(x,x)=1
-E:maximal orthonormal이란 E를 strictly 포함하는 orthonormal set이 없을 때
-f:hyperbolic이란 te H(VS(F))=(VS(F),h) s.t. h isometric f
-for symmetric bilinear form f1 on VS1(F), for symmetric bilinear form f2 on VS2(F)
-f1 ㅗ f2, the external orthogonal sum of f1 and f2라 하고, f1 ㅗ f2:(VS1(F)xVS2(F)) x (VS1(F)xVS2(F))->F,f1 ㅗ f2((a1,a2),(b1,b2)):=f1(a1,b1) + f2(a2,b2)
-H(VS(F)):hyperbolic space란, h:symmetric bilinear form on EDP(VS(F),VS(F)^*), h((v1,f1),(v2,g2)):=f1(v2)+g2(v1), (VS(F),h)를 가리킴
-H(F):hyperbolic space라 한다.
-F=C인 경우
-sesquilinear form on VS(C)
-f:VS(C)xVS(C)->C이면서 first argument는 linear, second argument는 antilinear(덧셈은 그대로나오는데 scalar는 conjugate달고나옴)
-Hermitian form on VS(C)
-f:sesquilinear form on VS(C)이면서 conjugate symmetric일 때
-VS1(F)->VS2(F)
-LT(VS1(F),VS2(F)):linear transformation from VS1(F) to VS2(F)
(homoMd(R-Md1,R-Md2)랑 같은 것임, 단지 VS1(F), VS2(F)로 바뀐 것 뿐)
-LT(VS(F)):linear transformation from VS(F) to VS(F)
(Endomorphism of VS(F)라고도 한다.)
(LT(VS(F))가 bijective하면 Automorphism of VS(F)라고 한다.)
-egv(LT(VS(F)):eigenvalue of LT(VS(F))
-scalar f in F s.t. LT(VS(F))(x)=fx for some non zero vector x in VS(F)
(LT(VS)의 decomposition(over F[x]:PID이용)elementary divisor에 해당되는 root를 eigenvalue라고 함)
-egv(LT(VS(F)):eigenvector of LT(VS(F))
-nonzero vector x in VS(F) s.t. LT(VS(F))(x)=fx for some scalar f in F
(eigenvalue도 언급필요하면 egv(LT(VS(F)),egv)라 쓰자.)
(LT(VS)의 decomposition(over F[x]:PID이용)elementary divisor(degree가 1인 linear factor)에 해당되는 Torsion submodule의 원소를 가리킴)
-gegv(LT(VS(F)):generalized eigenvector of LT(VS(F))
-LT(VS)의 decomposition(over F[x]:PID이용)elementary divisor(degree가 k인 linear factor)에 해당되는 Torsion submodule의 원소를 가리킴
-subspace of VS(F)가 LT(VS(F))-invariant란, LT(subspace)<subspace일 때(예를 들면 eigenspace of f는 f-invariant)
(혹은 LT(VS(F))가 subspace를 stablize라고도 함)
-LT(VS(F))가 simple이란
-VS(F)가 nonzero이고 LT-invariant subspace가 0와 VS(F)뿐일 때
-LT(VS(F))가 semisimple이란
-대응되는 F[x]-Md가 semisimple, 즉 대응되는 Md가 simple submodules의 direct sum으로 decompose가능
-(iff)모든 LT-invariant subspace가 LT-invariant complement를 가짐
-LTC(VS1(F),VS2(F)):collection of all LT(VS1(F),VS2(F))
-LTC(VS(F)):collection of all LT(VS(F))
-다르게는 End(VS(F))라고도 쓴다. (End(VS(F)), +, composite):associative F-algebra
-Aut(VS(F)):Automorphism Group of VS(F)
-{f:VS(F)->VS(F), bijective, linear}
-VS(F)->F(as a vector space over F)일 때
-LF(VS(F)):linear functional from VS(F) to F
-subLF(VS(OF), OF):sublinear functional from VS(OF) to OF
-f:VS(OF)->OF s.t. for any x,y in VS(OF) any nnn s in OF, f(x+y)<=f(x)+f(y) and f(sx)=sf(x)
-convF(VS(R),ETR):convex functional from VS(R) to ETR
-f:VS(R)->ETR s.t. for any x,y in VS(R), any nnn s in R, f(x+y)<=f(x)+f(y) and f(sx)=sf(x) and f(x)>=0
-|| ||:norm, VS(F) to R(F는 C의 subfield)
-qm_qdf:quadratic map by qdf, F^n->F, x=(x1,x2,...,xn) in F^n represented by the standard basis of column form, qm_qdf(x):=rt(x)*MT_qdf*x
-qdf(VS(F)):quadratic form on VS(F)
-2-homogeneous and b:VS(F)xVS(F)->F s.t. b(v1,v2)=1/2 * {qdf(v1+v2)-qdf(v1)-qdf(v2)}가 bilinear일 때
(후자를 polar form of qdf라 하고 b_qdf라 적기로 하자.)
(VS(F)가 중요하지 않으면 생략)
-qdf1(VS1(F)) isom qdf2(VS2(F)):isometric(two qdf에 대한, 단 F는 같은 F)
-te isomorphism f:VS1(F)->VS2(F) s.t. for any x in VS1(F), qdf1(x)=qdf2(f(x))
-for qdf(VS(F)), for LS1 of VS(F), for LS2 of VS(F)
-rad(qdf):={v in rad(b_qdf) s.t. qdf(v)=0}
-qdf=qdf_LS1 ㅗ qdf_LS2란, VS(F)=IDP(LS1,LS2) with (LS1)^ㅗ < LS2
-qdf:regular란 rad(qdf)={0}
-for nonzero x in VS(F), x:isotropic란, qdf(x)=0
-for nonzero x in VS(F), x:anisotropic이란, qdf(x):nonzero
-VS1(F)와 VS2(F)가 둘다 f-dim일 때(dim(VS1(F)=n , dim(VS2(F))=m)
-MT(F)(mxn):matrix over the field F, size of mxn
(별말 없으면 F=C이고 크기는 nxn, 분명히 제시해줘야할 때는 field, size순을 제시)
-CMT(F)(mxn):the collection of all matrix over F, size of mxn
(별말 없으면 F=C이고 크기는 nxn, 분명히 제시해줘야할 때는 field, size순을 제시)
-direct sum of MT1 MT2란, MT1의 오른쪽 하단에 MT2를 붙이는 것, 나머진 0
-Matrix분류(마찬가지로 F와 size언급 필요시 뒤에 적기)
-subMT of MT:submatrix
-psubMT of MT:principal submatrix of MT(i row를 제거했으면 i column도 제거해서 얻은 submatrix)
-leading psubMT of MT:leading principal submatrix of MT, 왼쪽 상단에 것들로 구성된 square submatrix
-reducible MT이란, Μ in M(nxn) s.t. M =_psim block upper triangular matrix
iff te nonempty subset J of {1,2,3,...,n} s.t. M_(i,j) = 0 for all i in J, all j in {1,2,3,...,n}-J
-irreducible이란 ΜΤ가 not reducible일 때
(n=1일 땐 0 matrix는 reducible이라 한다.)
(M:reducible이면 적어도 (n-1)개의 entries가 0여야 함)
-IMT:Identity Matrix
-LMT:lower triangular matrix
-UMT:upper triangular matrix
-DMT:diagonal matrix
-DdMT:diagonally dominant matrix, |a_ii| >= sum over j |a_(i,j)| for any i
-dgMT:diagonalizable matrix
-similar to a DMT
-{MT}:commuting이란,
-for any two MT1, MT2 in {MT}, MT1MT2=MT2MT1
-dg{MT}:simultaneously diagonalizable이란,
-te invertible MT1 s.t. MT1MT(MT1)^(-1):a DMT for any MT in dg{MT}
(즉 하나의 가역행렬로 family {MT}의 모든 원소가 대각가능화될 때를 가리킴)
-TMT(B1,B2):Transition matrix from ordered basis B1 to ordered basis B2
-B1의 1번째 원소의 좌표 under B2를 1열에, 2번째 원소의 좌표 under B2를 2열에...해서 얻은 matrix
-Proj(LS1,LS2):Projection onto LS1 along LS2
-VS(F)=IDP(LS1,LS2)이고 Proj(LS1,LS2):VS(F)->VS(F), Proj(LS1,LS2)(x)=x1 where x=x1+x2, x1 in LS1, x2 in LS2
(LT(VS(F))가 되고, 이것의 MT표현을 Projection matrix, Proj(LS1,LS2)라 하면 MT를 가리키는 것이라 하자.)
-MT가 Idempotent란, MT^2=MT일 때
-ct(MT)란, MT의 conjugate transpose
-F=C일 때
-NMT:normal matrix
-ct(MT)MT=MTct(MT)인 MT
-HMT:Hermitian matrix
-MT=ct(MT)인 MT
-inertia(HMT)=(p,q,z), where p:the number of positive egv, q:the number of negative egv, z:the number of zero egv, including multiplicities
-UnMT:unitary matrix
-inv(MT)=ct(MT)인 MT
-udgMT:unitary diagonalizable matrix
-similar to a DMT인데 그 similar에 쓰이는 invertible MT가 UnMT일 때
-pd:positive-definite
-matrix를 bilinear form으로 보고 nonzero vector z에 대한 결과가 >0(ct(z)HMTz>0)
-psd:positive-semidefinite
-matrix를 bilinear form으로 보고 nonzero vector z에 대한 결과가 >=0(ct(z)HMTz >= 0)
-F=R일 때
-SMT:symmetry matrix
-rt(MT)=MT인 MT
-ACMT:acyclic matrix
-SMT이고 for any subset E={k1,k2,...,ks} of {1,2,3,...,n}, s>=3,
a_(k1,k2) * a_(k2,k3) * ... * a_(ks,k1) = 0인 행렬
-OMT:Orthogonal matrix
-inv(MT)=rt(MT)인 MT
-odgMT:orthogonally diagonalizable matrix
-similar to a DMT인데 그 similar에 쓰이는 invertible MT가 OMT일 때
(MT1 =_sim DMT by OMT, 즉 MT1 =_congruent DMT)
-N:nnn matrix
-모든 성분이 nnn
-N:nnn and irreducible일 때
-spectral circle에 egv가 1개만 있으면 primitive MT라 한다.
-N:primitive MT일 때 te m > 0 s.t. N^m:positive MT, 이때 the smallest m을 the exponent of N이라 한다.
-spectral circle에 egv가 k(k>1)개 있으면 imprimitive MT라 한다. 이때 k를 the index of imprimitivity of N이라 한다.
-P:positive matrix
-모든 성분이 positive
-이 때 P가 square이면 specR(P):egv with positive egv with multiplicity 1, 이 때 specR(P)를 Perron root of P라 하고 positive egv with sum of components equal to 1를 Perron vector of P라 한다.
-rt(P)또한 positive이고 the Perron vector of rt(P)를 left Perron vector of P라 한다.
-Z-MT:Z-Matrix
-M:Z-matrix if all off-diagonals are nonpositive, 즉 M_(i,j)<=0 for i != j
-M1-MT:M-Matrix(Minkowski의 M을 딴 것)
-M:M1-MT if te N:NNN s.t. M = c * IMT - N for some c s.t. c >= specR(N)
-M2-MT:M-Matrix
-M:M2-MT if te N:NNN s.t. M = c * IMT - N for some c s.t. c > specR(N)
-bSMT:bisymmetric
-SMT and /에 대해서도 symmetric
-tr(MT):the trace of MT
-inv(MT):the inverse of MT
-MPinv(MT):the Moore-Penrose inverse
-MT*sth*MT=MT
-sth*MT*sth=sth
-MT*sth = rt(MT*sth)
-sth*MT=rt(MT*sth)을 모두 만족하는 sth을 MPinv(MT)라 한다. non-square MT여도 항상 unique하게 존재함
-Ginv(MT):the Group inverse
-MT*sth*MT=MT
-sth*MT*sth=sth
-sth*MT = MT*sth을 모두 만족하는 sth을 Ginv(MT)라 한다. squre MT일때만 정의되고 특정 조건에서 존재하고 존재하면 unique하게 존재함.
-det(MT):the determinant of MT
-unimdMT:unimodular MT, all entries are integers, det(MT)=1 or -1
-perm(MT):the permanent of MT, sum over all f in S_[n] prod from i=1 to i=n (MT)_(i,f(i))
-adj(MT):the adjugate of MT, (adj(MT))_(i,j) = (-1)^(i+j)det(MT - ιth row - jth column)
-rt(MT):the transpose of MT
-charP(MT):the characteristic polynomial of MT
-charP(MT):=det(x*IMT - MT), x:variable인 polynomial
(If neccessar, use charP(MT,x))
-mP(MT):the minimal polynomial of MT
-MT를 root로 하는 monic and 최소 degree polynomial
(MT를 주면, LT(F^n)인 것이고, 그러면 F^n은 F[x]-Md로 간주되고, Ann_F[x](F^n)은 F[x]의 ideal인데 F[x]은 PID이므로 Ann_F[x]의 generator로 mP(MT))
-egv(MT):eigenvalue of MT
-MTx=sx를 만족하는 nonzero vector x가 있을 때 scalar s를 eigenvalue of MT라 한다.
-egv(MT, egv):eigenvector of MT associated with egv, 그냥 egv라 쓰면 eigenvalue를 가리킴
-MTx=sx를 만족하는 nonzero vector x가 있을 때 vector x를 eigenvector of MT associated with s라 한다.
-am(egv(MT)):the algebraic multiplicity of egv
-charP(MT)에서의 egv의 root 중복도
-gm(egv(MT)):the geometric multiplicity of egv
-egS(MT,egv)의 dimension
-spec(MT):the set of all eigenvalues of MT, called "the spectrum of MT"
-specR(MT):spec(MT)중 절댓값(modulus)이 가장 큰 것의 절댓값
-equivalence relation관련
-MT1 =_equi MT2:equivalent
-MT1 = P MT2 Q where P,Q:invertible MT일 때(MT1,MT2가 square일 필요 없음)
(LT:VS1->VS2, 같은 dimesion아니어도, 각 VS1, VS2의 basis를 바꿀 때를 가리킴)
(similar는 equivalent의 한 case)
-MT1 =_sim MT2:similar
-MT1 = inv(MT) MT2 MT where MT:invertible일 때
(LT:VS->VS, same domain and codomain, 각 domain, codomain 모두 같은 basis사용, 그 때 그 basis를 바꿀 때를 가리킴)
-MT1 =_psim MT2:permutation similar
-MT1 = inv(MT) MT2 MT where MT:invertible and permutation MT일 때
(Graph의 relabel에 쓰임)
-MT1 =_congruent MT2:congruent
-MT1 = rt(MT) MT2 MT where MT:invertible일 때
(bilinear form이 isomorphic하냐 따질 때 씀)
-F=C일 때
-MT1 =_usim MT2:unitary similar
-MT1 = inv(MT) MT2 MT where MT:invertible and UnMT
-F=R일 때
-MT1 =_osim MT2:orthogonally similar
-MT1 = inv(MT) MT2 MT where MT:invertible and OMT
-Matrix를 통해 만든 Space관련
-Row(MT):Row space of MT
-Col(MT):Column Space of MT
-Null(MT):Null Space of MT
-egS(MT, egv):the eigenspace of egv
-Canonical Form관련
-RCF(MT):the rational canonical form of MT(rational이라 부르는 이유는 이 MT가 어떤 F에서든 계산이 잘 되기 때문)
-MT가 주어지면 LT(F^n)이 주어진 셈이고 F^n with LT(F^n)은 F[x]-Md로 간주될 수 있고 그럼 F[x]가 PID이므로 F^n을 decomposition(using invariant factors)을 할 수 있고 그 때의 invariant factors 각각의 monic형태는 unique하고 그것의 cpMT들(즉 decomposition의 direct summand마다 basis를 잡았더니(F[x]/(P(x))에서 주로 쓰는 basis로 1, bar{x}, ...가 taken) cpMT형태의 LT가 나온것)을 direct sum해서 얻은 matrix
-SNF(MT):the smith normal form of MT
-(xIMT-MT) =_equi diag(1,1,1,...,1,f1(x),f2(x),f3(x),...,fk(x)) where fi(x):all invariant factors of MT, 이 때 후자 diag를 SNF(MT)라 한다. SNF(MT)는 MT(F[x])(nxn)인 것, entries가 F[x]
-JCF(MT):the jordan canonical form of MT(egv(MT)가 F에 포함될 때로 가정, 즉 invariant factors들이 linear factor만 가져서 elementary divisors가 (x-t)^k form만 있을 때)
-MT가 주어지면 LT(F^n)이 주어진 셈이고 F^n with LT(F^n)은 F[x]-Md로 간주될 수 있고 그럼 F[x]가 PID이므로 F^n을 decomposition(using elementary divisors)을 할 수 있고 그 때의 direct summand마다 basis를 잡았더니(F[x]/(x-a)^bi에서 1, (bar{x}-a), (bar{x}-a)^2, ...으로 basis로 taken) 나온 UMT(jordan block of size bi with egv a라 한다)를 direct sum해서 얻은 matrix
-FNF(MT):the Frobenius Normal Form of MT, for MT in MT(nxn)(C), dG(MT)의 condensation으로 나타낸 form
-Matrix Group관련
-GL(n,F):General Linear Group
-MT(F)(nxn)중 invertible인 것들만 모아서 만든 group, operation:matrix multiplication
-GL(n,F)^+:GL(n,F)중 det>0인 것들만 모아서 만든 subgroup
-SL(n,F):Special Linear Group
-GL(n,F)중에서 det=1인 것들만 모아서 만든 subgroup
-O(n,F):Orthogonal Group
-GL(n,F)중에서 MT*rt(MT)=rt(MT)*MT=IMT인 MT들만 모아서 만든 subgroup
-SO(n,F):Special Orthogonal Group
-O(n,F)중에서 det=1인 것들만 모아서 만든 subgroup
-O(n,k,F):Indefinite Orthogonal Group
-SO(n,k,F):
-Sp(2n,F):Symplectic group
-HSBG:Hisenberg Group
-UMT인데 대각성분은 1인(나머지 성분은 CR_[1]에서, 보통은 R(std)을 택함)
-E(n):Euclidean Group
-{f:R^n->R^n s.t. f:isometry and f:bijection} with composite
-Matrix에서의 특수한 연산
-KP(MT1,MT2):kronecker product, TP(f1,f2)의 matrix represent
-KS(MT1,MT2):kronecker sum, KP(MT1,IMT2)+KP(IMT1,MT2)
-Matrix norm관련(기존 norm에다가 submultiplicative일 때 생각하자.)
-대표적인 norm:l1, l2, LT로 봤을 때 operator norm, maximum row sum, maximum column sum, spectral norm,
-DSSMT:Doubly SubStochastic Matrix란, nnn entries and every row sum and every column sum <= 1
(동치인 게 MT:DSSMT if MT with nnn entries and te DSMT s.t. MT <= DSMT with <= entrywise)
-DQSMT:Doubly quasi-stochastic Matrix란 MT(nxn)(R) and every row sum = every column sum = 1
-DSPMT:Doubly Superstochastic Matrix란, nnn entries te DSMT s.t. MT >= DSMT with >= entrywise
(nnn entries and every row sum and every column sum >= 1 과 동치가 아님, 전자이면 후자인데 후자라서 전자가 안됨)
(따라서 DSPMT, DSSMT의 정의는 DSMT의 존재성으로 외워두기)
-DSMT:Doubly stochastic Matrix란 DQSMT인데 nnn entries
-the measure of irreducibility, μ(DSMT):=min over all nontrivial proper subset M of {1,2,3,...,n} sum over all i in M and j in {1,2,3,...,n}-M {DSMT_(i,j)}
-UDSMT:Unitary-stochastic matrix, DSMT인데 all entries are the squares of the absolute values of the entries of some UnMT, a_(i,j) = |u_(i,j)|^2
-ODSMT:Orthostochastic matrix, DSMT인데 all entries are the squares of the absolute values of the entreis of some OMT, a_(i,j) = |o_(i,j)|^2
-Dual Space관련
-(VS(F))^*:={all LF(VS(F))} dual space of VS(F)라 한다.
-dd(VS(F)):=double dual of VS(F)), 즉 dual의 dual
-f:VS1(F)->VS2(F)일 때 f^*, called dual of f
-f^*:(VS2(F))^*->(VS1(F))^*, f^*(g)=g o f
-Ev_VS(F):evaluation map, from VS(F) to dd(VS(F))
-Affine Space관련
-for S:a set, V:VS(F), S가 V-AS란(V가 앞에 달린, affine space), te a map f s.t. f:VxS->S, f(v,s)=v+s and f:left identity, associativity, uniqueness
(f:uniqueness란, for any s in S, f(*,s):V->S가 bijection일 때)
*Algebra Theory
-Algebra관련
-R-A:R-Algebra
-R:CR_[1]
-R-A=R-Md with A-multiplication satisfying bilinear
(A-Multiplication of x,y를 그냥 xy라 쓰자)
(xy를 commutator라 부르기도 한다. group에서 처럼)
(Algebra는 Ring이면서 Module인 것으로 이해)
-R-subA:R-subalgebra of R-A
-R-subMd s.t. closed under A-multiplication
-Associative R-A:Associative R-Algebra
-R-A이면서 A-multiplication이 associative with identity일 때
-F-A:Algebra over F
-자연스럽게 VS(F) with A-Multiplication satisfying bilinear
-F-A:simple
-te no nontrivial proper two-sided ideal and A-multiplication is not uniformly zero(즉 te a,b in F-A s.t. ab:nonzero)
-F-A:CSA(Central Simple Algebra over F)
-simple F-A with Z(F-A) isomorphic F
-[R-subA1, R-subA2]:the commutators subalgebra
-the subalgebra of R-A spanned by commutators xy where x in R-subA1, y in R-subA2
-Structure constants from F-A
-F-A이 f-dim일 때, basis의 원소들의 A-multiplication해서 basis로 나타냈을 때의 계수들을 structure constants라 한다.
(이것만 알면, 다른 vectors의 A-multiplication도 쉽게 할 수 있다. A-multiplication이 bilinear하므로)
(반대로 Structure Constants와 Basis와 몇개의 조건들을 통해 Lie F-A를 인위적으로 만들 수도 있다.)
-Z(R-A):the center of R-A
-{x in R-A s.t. xy=yx for all y in R-A}
-Lid of R-A:left ideal of R-A
-R-subA이면서 for any x in R-A, any y in Lid, xy in Lid일 때
-Rid of R-A:Right ideal of R-A
-id of R-A:ideal of R-A
-Lid 이고 Rid일 때
-for R:CR_[1], M:R-Md일 때 TA(M), tensor algebra of M이란
-direct sum of (R,M,TP(M,M),TP(M,M,M),...), R-A가 된다.(not commutative일 수 있음)
(multiplication은 이어붙이면서 tensor product한 것, 그래서 graded됨)
(R-Md를 algebra화 만들고 싶을 때 사용)
-for R:CR_[1], M:R-Md일 때, SA(M), symmetric algebra of M이란
-TA(M)/C(M), where C(M):=id generated by all elements of the form tp(m1,m2)-tp(m2,m1) for all m1,m2 in M
(commutative algebra가 될 수 있음)
-for R:CR_[1], M:R-Md일 때, EA(M), exterior algebra of M이란
-TA(M)/A(M), where A(M):=id generated by all elements of the form tp(m,m) for all m in M
-EA(VS(F))에서 k-vector란, kth exterior power of VS(F)의 원소를 가리킨다.
-F[[x]]:formal power series algebra
-F[[x]]:={sum over n>=0 a_n x^n s.t. a_n in F for all n}
(formal이란, convergence에는 관심없다는 것, 왜냐하면 x에 어떤 value도 넣지 않을 것이므로, 그저 coefficient에 관심)
-for f(x), f_n(x) in F[[x]], prod over n f_n(x) cv to f(x) if for any n, coefficient of x^n of f(x) = coefficient of x^n of prod over i=1 to i=N f_i(x) whenever N is sufficiently large
-for f(x) in F[[x]], deg(f(x))란, 계수가 0가 아닌 가장 낮은 차수의 degree
-F[[x]]:algebra of formal power series in x
-F[[x]]:={sum over α:cps c_α * x^α s.t. c_α in F and α_i = 0 for sufficiently large i}
-원소가 homogeneous of degree k란, 각 monomial의 degree가 k로 같을 때
-원소가 symmetric이란, preserved by any action by an element of S_[inf]
-m_ptt(x)란, monomial x^ptt을 포함하는 가장 작은 symmetric function in F[[x]], called monomial symmetric function corresponding to ptt
-Λ:subalgebra of F[[x]] spanned by {m_ptt(x) s.t. ptt:any partition}, called the algebra of symmetric functions
-p_n:=m_(n)(x), called the nth power sum symmetric function
-p_ptt:=prod over i>=1 p_(ptt_i)
-e_n:=m_(1,1,1,...,1)(x), called the nth elementary symmetric function
-e_ptt:=prod over i>=1 e_(ptt_i)
-h_n:=sum over ptt:ptt(n) m_ptt(x), called the nth complete symmetric function
-h_ptt:=prod over i>=1 h_(ptt_i)
-x^sst:=x_i를 sst에 적힌 i 개수만큼 곱한 것
-s_ptt:=sum over sst in SST(ptt) x^sst, called the schur function corresponding to ptt
-Quotient Algebra관련
-R-A/id:quotient algebra
-
-homomorphism관련
-ahomo:R-A1->R-A2 :Algebra homomorphism
-R-A1의 R과 R-A2의 R은 same ring
-ahomo satisfies linear, preserve A-Multiplication
-R-A1 aiso R-A2:Algebra isomorphic
-te ahomo s.t. bijective
-Aut(R-A):all automorphisms group on R-A
-
-derivation관련
-derivation of R-A
-f:R-A -> R-A s.t. f(xy)=xf(y)+f(x)y and linear, 이때 juxtaposition은 A-multiplication을 가리킴, 인 f를 derivation of R-A라 한다.
(f의 정의역과 공역이 같을 때)
(Lie Algebra에 대해선 juxtaposition에 Lie Bracket이용)
-nilpotent derivation of R-A
-f:derivation of R-A이고, f를 k번 합성했더니 zero function나오게하는 k가 존재한다면, f를 nilpotent derivation of R-A라 한다.
(도함수 구하는 연산자같은 것을 생각해보면 linear하면서도 반복하면 zero function나옴)
-Der(R-A):the collection of all derivation of R-A
-Lie Algebra관련(L:Lie algebra, Ll:Linear Lie Algebra)
-Lie F-A:Lie Algebra over F
-F-A이면서 A-multiplication이 alternating and jacobi's Identity 만족
(이때 A-multiplication of x,y를 특히 xy가 아닌 [x,y]라 쓰자.)
-id of L:Ideal of L
-vector subspace이면서 [L,id of L] < id of L일 때(subalgebra보다 강한조건)
(사실상 subalgebra가 되므로 정의할 때도 subalgebra라 해도 됐었음)
-[LL]:derived Algebra of Lie F-A
-the commutators subalgebras, 마치 group에서 C(G)과 유사.
([E1, E2]형태로도 정의가능, commutators참고)
(id of L됨)
-Simple L:Simple Lie Algebra over F
-non abelian L이면서 id of L가 0랑 자기자신뿐 일 때(simple group과 유사)
-General Lie Algebra, Linear Lie Algebra관련
-gl(VS(F)):General Lie Algebra over F
-End(VS(F)) as a Lie F-A with A-Multiplication [x,y]=x o y - y o x, using composite
(dim(VS(F))=n인 경우 gl(n,F)라 표현하고 원소는 matrix를 갖도록 하기도 함)
-Linear Lie F-A:Linear Lie Algebra over F
-gl(VS(F))의 F-subA
(Ll이라 쓰자, 필요하다면 Ll(VS(F)))
-sl(VS(F)):Special Lie Algebra over F
-gl(n,F)중에서 trace=0인 것들의 모임
-dim(VS(F))=n일 때 sl(n,F)라 쓰기도 함.
-sp(VS(F)):Symplectic Lie Algebra over F
-dim(VS(F))=n=짝수일 때만 정의, def은(link)
(nondegenerate skew-symmetric bilinear form은 항상 matrix form이 (0 1 -1 0)으로 가능하게 해주는 basis존재)
-o(2n+1,F):Orthogonal Lie Algebra over F
-dim(VS(F))=2n+1,홀수일 때만 정의, def은(link)
(nondegenerate symmetric bilinear form은 항상 matrix form이...)
-o(2n,F):Orthogonal Lie Algebra over F
-dim(VS(F))=2n,짝수일 때만 정의, def은(link)
-t(n,F):Upper triangular matrices
-gl(n,F)중에서 UMT모임
-n(n,F):Strictly Upper triangular matrices
-t(n,F)중에서 대각성분조차도 0인 UMT모임
-d(n,F):diagonal matrices
-t(n,F)중에서 DMT모임
-Abelian L
-[x,y]=0 for all x,y in L
-ad_(x,L):inner derivation
-for x in L, f:L->L, i.e f:y->brk[x,y]는 derivation이 되고 특히 inner derivation이라 한다.
(inner derivation을 제외한 derivation 모두는 outer derivation이라 한다.)
(brk[x,y]나 brk[y,x]나 어떻게 정의하든 derivation이 되긴 함)
-representation of L
-ahomo:L->gl(VS(F))가 존재한다면, 이 ahomo를 representation of L라 한다.
(그리고 이 때 VS(F)를 L-Md VS(F)라고 한다.
-adj representation of L:the adjoint representation of L
-map:L-> Der(L) s.t. map(x)=ad_(x,L), 이 map을 adj representation of L라 한다.
(representation of L의 예)
-Int(L):inner automorphisms group(char(F) = 0 일 때)(int(E)와 헷갈리지 말것, topology)
-Aut(L)중 exp(nilpotent inner derivation)형태를 inner automorphism of L라 하고 이것만을 모아서 만든 Aut(L)의 subgroup
-a seq of id, Id0=L, id1=[id0, id0], id2=[id1,id1]...
-Solvable L란
-Derived Series of L에서 idn=0 for some n 일 때
-e_(i,j):=(i,j)성분만 1이고 나머진 0인 MT
-for i<j, e_(i,j)의 level이란 j-i
-d_(i,j)=1(if i=j) otherwise, 0, 즉 kronecker delta function
-RadL:=the maximal solvable ideal(maximal dimension인 ideal 택한 다음에 그게 RadL됨을 보이면 되고, 유일성은 solvable id1+solvable id2=solvable id임을 이용)
-Semisimple L란
-RadL=0
-lower central series of L이란, group에서와 유사, denoted by L^n
-a seq of id, id0=L, id1=[L,id0], id2=[L,id1], id3=[L,id2], ...
-L이 nilpotent란,
-L^k=0 for some k
-Killing form on L이란(kf나 kf_L이라 하자.)(dimL<inf일 때 정의)
-kf_L:LxL->F, kf_L(x,y)=tr(adxady)(symmetric bilinear form on L이 된다.)
*Topology
-Space, subspace관련
-TS:Topological Space
-top_X:X에서의 topology
-weak top from C={f:a set X->TS}란, C의 원소들이 conti가 되게끔 하는 가장 smallest top_X
-E:basis for top이란
-모든 open set in top이 union of elements of E일 때(empty set 경우는 union of empty collection으로 보고)
-E(x):local basis for x in TS란
-C(x):={all nbd(x)}라 할 때,E(x):subset of C(x) s.t. for any a in C(x), te b in E(x) s.t. b<a
-Baire TS:Baire Space
-any c-union of closed sets with empty interior has empty interior.
(equivalently, Every nonempty open set is Second-category, 즉 countable union으로 표현됐으면 summand중 nonempty interior인게 존재)
-E:First-category
-E=c-union of nowhere dense subsets
-E:Second-category
-E:not First-category
-
-surface:top 2-mnf
-curve:top 1-mnf
-Order Topology관련
-Subspace관련
-Product관련
-Prod(TS_i):Product TS
-유한개의 open sets from each TS_i, 그외는 전체 TS_i를 택해서 얻은 sets의 collection을 basis로 하는 top
-Quotient관련
-QS(TS,~):Quotient Space from (TS,~)
-TS에 equivalence relation ~가 있을 때 canonical map f:TS->TS/~을 통해서 TS/~에 top을 준 TS를 QS라 한다.
-TS2 with QT(TS1,f):Quotient Topology on TS2
-J=TS2, f:TS1->J가 onto일 때 f를 통해서 J에 top을 준 topology를 Quotient Topology라 한다.
-QS(TS,E):Quotient Space from (TS,~) where ~의 equivalence classes가 E랑 E에 없는 singleton인 것들
-Saturation(E,~):Saturation of E
-Saturation(E,~):={x in TS where ~:equivalence relation s.t. x ~ a for some a in E}
(즉 E랑 relate된 것 모두 모은 것)
(f:TS->other TS인 경우의 Saturation(E,~)에서의 ~란, f^(-1)에 의해서 생긴 relation on TS를 생각)
-Saturation(E,~)=E일 때, E를 saturated라 한다.(즉 f:TS1->TS2, E:subset of TS1, E:saturated wrt f란, E=f^(-1)(f(E))일 때)
-Wedge Sum(Product) of {TS_i}란, disjoint union of TS_i한 다음에 각각 1개의 점을 TS_i에서 뽑아서 identification한 것, TS1VTS2혹은 V(TS_i)라 쓰자.
-Suspension of X란, SX라 쓰고, the quotient of Xx[0,1] obtained by collapsing Xx{0} to one point and Xx{1} to another point
-Cone of X란, CX라 쓰고, Xx[0,1]/Xx{0}을 가리킴, 즉 suspension은 two cone의 union
-Join of X,Y란, J(X,Y)라 쓰고, XxYx[0,1]을 quotient under the identifications (x,y1,0)~(x,y2,0) and (x1,y,1)~(x2,y,1)
-the join of n points is a convex polyhedron of dimension n-1이 되고 이걸 simplex라 부른다. Δ^(n-1)라 적는다.
-LKT2관련
-LKT2:locally compact Hausdorff space
-KT2관련
-KT2:compact Hausdorff space
-CGT관련
-CGT:Compactly generated Topological Space
-E:closed in TS iff for any K, K교E:closed in K
-Retract of TS
-retraction(TS,S)가 conti인게 존재하는 경우 S를 Retract of TS라 한다.
-구체적인 TS
-R(std):real with the standard topology
-{open intervals}을 basis로서 만든 top
-R(l):real with the lower limit topology
-{[a,b)}를 basis로서 만든 top
-Sorgenfrey Plane
-R(l)xR(l) with product top
-R(K):real with K-topology
-R(std)의 top의 각 원소에 {1,1/2,1/3,...}을 빼서 얻은 sets의 collection도 top에 추가시킨 top({1,1/2,1/3,...}을 K라 나타냄)
-Prod(R,n):R^n, with the product topology from the standard topology
-S_Z:minimal uncountable well-ordered set.
-(존재배경은 uncountable set에 well-ordering theorem적용)largest element의 section은 uncountable인데 그 외 section은 countable인 set
-LL:Long Line
-LL=S_Z x [0,1) with dictionary order with deleted smallest element
-Subset관련(open, closed, compact, connected, convex, dense...)
-Gd:countable intersection of open sets
-Fd:countable intersection of closed sets
-nbd(x):neighbourhood of x
-open(x)를 포함하는 set
-open(x):open set containing x
-x를 포함하는 open set
-{E_i}:cover of TS
-a collection of subsets {E_i} of TS s.t. union of E_i = TS
-{E_i}:open cover of TS
-cover of TS and each E_i:open in TS
-{E'_i}:refinement of cover {E_i}
-cover of TS and each E'_i is a subset of some set in old cover {E_i}
-operation on subset관련
-cl(E):the closure of E
-intersection of all closed sets containing E
-int(E):the interior of E
-union of all open sets contained in E
-ext(E):the exterior of E
-union of all open sets disjoint of E
-Bd(E):Boundary of E
-Bd(E):=cl(E) - int(E)
-E:dense in X
-cl(E)=X
-E:nowhere dense
-int(cl(E))=empty
-pre-K:precompact, i.e. closure가 compact인
-Limit point관련
-x:limit pt of E
-for any open(x), open(x) intersects E at some pt other than x
-Connected관련
-C:connected
-there is no separation
-separation {E1,E2} of TS
-{E1,E2}:a partition of TS s.t. E1:open, E2:open, 둘다 non-empty
-Compact관련
-K:compact
-for any open cover, there is finite subcover.
-E:Limit Point Compact
-임의의 infinite subset J of E has a limit point in E
-E:Sequentially Compact
-임의의 seq in E가 cv인 subseq(limit이 E에 있는)를 가짐
-E:countably compact
-every countable open cover has a finite subcover.
-E:paracompact
-Every open cover has a locally finite open refinement that covers TS
-E:σ-compact
-E=the countably union of compact subspaces
-{f_i}:a partition of unity on TS dominated by {E_i}, f_i:TS->[0,1], {E_i}:indexed open cover
-f_i:conti
-support of f_i < E_i for each i
-{support of f_i}_i:locally finite
-sum f_i (x) = 1 for each x in TS
(4개를 모두 만족할 때를 가리킨다.)
-Convex관련(오직 Strict Total Order Relation을 가진 E에서만 생각)
-V:convex subset(strict total order relation을 가진 E에서만 생각)
-for any x,y in V, (x,y) lies in V
-Local Property관련
-TS:locally connected at x
-TS has a basis at x whose consists of connected open sets
-TS:locally connected
-TS has a basis whose consists of connected open sets
-TS:locally path-connected at x
-TS has a basis at x whose consists of path-connected open sets
-TS:locally path-connected
-TS has a basis whose consists of path-connected open sets
-TS:locally simply connected
-for any x in TS, TS, te nbd(x) s.t. nbd(x):simply connected
-TS:locally compact at x
-te K containing open(x)
-TS:locally compact
-for all x in TS, x:locally compact
-TS1 locally homeo TS2:locally homeomorphic
-te f:TS1->TS2 s.t. for any x in TS1, te open(x) s.t. f(open(x)) is open is TS2 and restriction f on open(x) is homeomorphism
(이 때 f를 local homeomorphism이라 한다.)
-{E_i}:collection of subsets of TS가 locally finite
-for any x in TS, te nbd(x) s.t. nbd(x) intersects only finitely many E_i
-Countability관련
-first-countable
-every x in TS has a countable local basis(즉, any x, any open(x)에 대해 open(x)보다 작은 open(x)가 countable개 존재)
-second-countable
-TS has a countable basis
-separable
-TS has a countable dense set
-lindelof
-every open cover has a countable subcover
-Subsets E1,E2의 Separating관련
-E1,E2:topologically distinguishable
-te open set U s.t. U가 E1, E2중 1개만 포함하는
-E1,E2:separated
-cl(E1), cl(E2)가 disjoint
-E1,E2:separated by open nbd
-te open G1, open G2 s.t. G1은 E1포함하고 G2는 E2포함하고 G1, G2:disjoint
-E1,E2:separated by closed nbd
-te closed F1, closed F2 s.t. F1은 E1포함하고 F2는 E2포함하고 F1, F2:disjoint
-E1,E2:separated by conti function
-te conti f:TS->R(std) s.t. f(E1)=0, f(E2)=1
-E1,E2:precisely separated by conti function
-te conti f:TS->R(std) s.t. E1={x in TS s.t. f(x)=0} and E2={x in TS s.t. f(x)=1}
-T_n 분류법 관련
-T0:임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 topologically distinguishable
-T1:임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 separated
-T2:임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 separated by open nbd
-T2.5:임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 separated by closed nbd
-CT2(Completely Hausdorff):임의의 서로 다른 x1, x2(즉 E1={x1}, E2={x2})가 separated by conti function
-RTS(Regular):임의의 closed E와 x(즉 E1:closed, E2={x})가 separated by open nbd
-RTS+T1이면 T3라 한다.(T0,T1,T2 중 어느것이 되도 상관없음, 이후 일관성 때문)
-CRTS(Completely Regular):임의의 closed E와 x(즉 E1:closed, E2={x})가 separated by conti function
-CRTS+T1이면 T3.5라 한다.(T0,T1,T2 중 어느것이 되도 상관없음, 이후 일관성 때문)
-NTS(Normal):임의의 closed E1, closed E2가 separated by open nbd
-NTS+T1이면 T4라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-CNTS(Completely Normal):임의의 separated E1, E2에 대해 E1, E2가 separated by open nbd일 때
-CNTS+T1이면 T5라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-PNTS(Perfectely Normal):임의의 closed E1, closed E2에 대해 E1, E2가 precisely separated by conti function
-PNTS+T1이면 T6라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-Sequence관련
-seq cv:converge
-sCez:R^N중 eventually zero인것들의 collection(유한개의 terms빼곤 다 0 term인 seq)
-sClz:R^N중 limit이 zero인것들의 collection
-sCcv:R^N중 cv하는 것들의 collection
-Directed Set, Net, Net Convergence관련
-Map관련(Conti, Homeo, Open map, closed map, quotient map, Projection, proper)
-conti:continuous
-f:TS1->TS2가 proper란, conti and f^(-1)(compact subset):compact일 때
-TS1 homeo TS2:TS1 is homeomorphic to TS2
-quotient map f:TS1->TS2
-f:conti and onto and for any subset E2 in TS2, f^(-1)(E2):open이면 E2:open in TS2
(-f:quotient map iff f:conti and f:surjective and f(saturated open set)=open set)
(-f:quotient map iff f:conti and f:surjective and f(saturated closed set)=closed set)
-topological embedding
-f:TS1->TS2, conti, injective일 때 range(f)를 f(TS1) with the subspace top으로 제한시켰을 때 homeo가 되면 f를 embedding이라 한다.
-Topological Properties관련
-topological property란, homeomorphism에 의해 preserve되는 topology로만 described되는 성질
-Compactification관련
-TS2=compactification of TS1란, TS2:LKT2이고 cl(TS1)=TS2일 때
-for two compactification of TS1, TS2,TS3가 equivalent란, te f:TS2->TS3 s.t. f:homeo and restriction of f on TS1 is identity일 때
-SCcl(TS), TS:T3.5일 때, Stone-Cech Compactification
-ocl:one-point compactification of LKT2
-Functions Collection관련(혹은 Functions Seq관련)(Domain과 Range에 Metric이 없어도 되는 경우)
-fC(J,TS):the collection of all functions from J to TS
-top of pt cv on fC(J,TS):topology of pointwise convergence on fC(J,TS)
-for any x in J, any open G in TS, S(x,G):={f in fC(J,TS) s.t. f(x) in G}인 {S(x,G)}:subbasis for top on fC(J,TS)인 top
-fC(TS1,TS2):the collection of all functions from TS1 to TS2
-fCconti(TS1,TS2):the collection of all conti functions from TS1 to TS2
-KG-top on fCconti(TS1,TS2):compact open topology on fCconti(TS1,TS2)
-for any K in TS1, any open G in TS2, S(K,G):={f in fCconti(TS1,TS2) s.t. f(K) in G}인 {S(K,G)}:subbasis인 top on fCconti(TS1,TS2)
-With Measure
-C4(TS):Borel sigma algebra
-BM:Borel Measure on TS ( (TS,C4) where C4(TS)<C4인 C4, 에서의 measure를 BM이라 정의하도록 하자.)
-inner regular BM이란, for any E in C4, BM(E)=inf{BM(U) s.t. U:open and E<U}
-outer regular BM이란, for any E in C4, BM(E)=sup{BM(K) s.t. K in C4 and K<E}
-r-BM이란, BM:inner regular and outer regular일 때
*Algebraic Topology+Differential Geometry
-Algebraic Topology의 의의:
Category {TS,conti}에서 Category {Group, homog}로 가는 functor를 찾는 것, 여기서 covariant, contravariant functor 등을 찾고 성질 조사
-Homotopy, Homotopy of Paths관련
-f1 =_homotopic f2
-f1:TS1->TS2, f2:TS1->TS2, f1,f2:모두 conti일 때 te conti F:TS1x[0,1]->TS2 s.t. F(x,0)=f1(x), F(x,1)=f2(x) for all x in TS1
(이 때의 F를 homotopy f1,f2라 하자.)
-homotopy f1,f2 relative to E
-(for E in TS1)homotopy f1,f2 s.t. for any t in [0,1], for any x in E, F(x,t)=f1(x)=f2(x)
-f1:nulhomotopic
-f1 =_homotopic f2에서 f2가 constant일 때
-initial point final point가 같은 path1, path2에 대해서 path1 =_phomotopic path2
-두 paths:[0,1]->TS이고 conti이고 te conti F:[0,1]x[0,1]->TS s.t. F(x,0)=path1, F(x,1)=path2, F(0,t)=x_0, F(1,t)=x_1 for all x, t
(이 때의 F를 phomotopy path1, path2라 하자.)
(즉 정의역이 [0,1]이면서 relative to {starting point, end point})
-[TS1,TS2]:=homotopy classes of conti maps of TS1 into TS2
-TS:contractible
-identity:TS->TS가 nulhomotopic일 때
-FHG(TS,x):First Homotopy Group of TS at x
-phomotopic classes of loop based at x where x in TS
(혹은 fundamental group of TS relative to the base point x라 한다.)
(TS:path-connected인 경우 FHG(TS)라고도 표현하기로 하자. base point가 중요하다면 언급)
-TS:simply connected
-TS:path-connected이고 FHG(TS,x)=trivial group for some x in TS일 때
-homo from (h,x_0)
-h:TS1->TS2, h(x_0)=y_0, h:conti일 때, H:FHG(TS1,x_0)->FHG(TS2,y_0), H:group homomorphism을 얻을 수 있고, 이것을 homo from (h,x_0)라 하자.
(TS1:path-connected였다면 homo from h만 써도 된다. base point x_0가 무엇이든 안중요함)
-TS1,TS2 have the same homotopy type
-te f:TS1->TS2 and g:TS2->TS1 s.t. f:conti, g:conti, (g o f) =_homotopic identity on TS1, (f o g) =_homotopic identity on TS2
(이때 f를 homotopy equivalence with g, g도 마찬가지로 부름)
-Fiber bundle관련(F,E,B:TS)
-motive:B에다가 F를 product한 product space보다 좀 더 일반적인 걸 도입하고 싶음, 예를 들면 Mobius strip은 cylinder랑은 다르게 global parametrization이 안됨, E를 B의 각점에 F를 붙여서 만든 건데, E의 local은 (B의 open x F)이지만, E=BxF는 아닌 경우 고려하기 위함, 즉 주 관심은 E
-(E,p,B):F-bundle이란(p^(-1(b), F 모두 fiber라 부름, 왜냐하면 homeo니까 구분 안함)
-p:conti(surjective는 당연, bundle이므로), 즉 E의 B부분의 좌표는 항상 안다는 것
-every fiber is homeo to F, 즉 E는 B의 각 점에다가 F를 붙인 것
-for any x in E, te (U,V,f) s.t. U:p^(-1)(V)(따라서 nbd(x)), V:nbd(p(x)), f:U->VxF, homeo and proj_1 o f =p
((V,f)를 local trivialization이라 한다.)
((B,f_x) as local trivialization으로 잡을 수 있다면 (E,p,B):F-trivial bundle이라 한다.)
-(E1,p1,B1):F1-bundle (E2,p2,B2):F2-bundle일 때 f:E1->E2, g:B1->B2 s.t. p2 o f = g o p1일 때, (f,g)를 bundle map이라 한다.
-g는 f에 의해 determined되므로 f를 bundle map이라 하자.
-f^(-1)도 bundle map되면, f를 bundle isomorphism이라 한다.
-(E,p,B):R^k(std)-vector bundle이란
-(E,p,B):R^k(std)-bundle
-every fiber has the structure of a k-dim VS(R), 즉 fiber가 R^k(std)와 homeo이고 linear iso
-local trivialization (V,f), restriction of f on fiber가 linear isomorphism
(k=1일 때 line bundle이라 한다.)
-(E1,p1,B1), (E2,p2,B2)가 vector bundle일 때는 기존 bundle map f가 다음을 만족할 때 bundle map이라 한다.
-restriction of f on fiber가 linear map일 때
-for U:open in B, local section of p over U이란, f:U->E s.t. p o f = id_U
-global section of p란, f:B->E s.t. p o f = id_B
-for U:open in B, local frame for E over U란, ordered-tuple of local sections of p over U s.t. ordered tuple at b = basis for p^(-1)(b) for each b in U
(U=B일 땐 global frame for E라 한다.)
(sections가 smooth로 이루어져있으면 smooth local/global frame이라 함)
-(M1,p,M2):smooth R^k(std)-vector bundle이란
-(M1,p,M2):R^k(std)-vector bundle이고
-p:smooth
-local trivialization이 diffeo도 되게 choose할 수 있을 때
-(E1,p1,B1), (E2,p2,B2)가 smooth vector bundle일 때는 기존 bundle map f가 다음을 만족할 때 bundle map이라 한다.
-restriction of f on fiber:linear이고
-f,g:smooth일 때
-f^(-1)도 bundle map이고 f가 diffeo이면 f를 smooth bundle isomorphism이라 한다.
-SGS(p):the set of all smooth global sections:M2->M1
-(TM,p,M)관련
-TM=disjoint union of the tgs_p at all p in M, TM은 smooth mnf될 수 있꼬 p:TM->M natural projection은 smooth map이 된다.
-section of p를 이경우 특별히 Vector Field라 한다. vf_U(x), vf_U:U->TM, (U:open in M)
-for any f in C^inf(U), vf_U(f):U->R(std), 따라서 vf_U:C^inf(U)->C^inf(U)이고 derivation이다.
(rv-bundle다른 것과는 특별히 구분되는 성질, TM에서의, section이면서 derivation이다.)
-SGS(p)를 VF(M)라 하자. 즉 all smooth vf on M
-F:M1->M2, smooth, vf1 in VF(M1), vf2 in VF(M2)일 때, vf1,vf2:F-related란
-for any x in M1, pf_x(F)(vf1(x))=vf2(F(x))
-local frame for M, 더이상 말하지 않아도 (TM,p,M)에서의 local frame을 가리킨다.
-global frame for M도 마찬가지
-M:parallelizable이란, smooth global frame for M이 존재할 때
-(CTM,p,M)관련
-CTM은 disjoint union of the ctgs_p at all p in M, CTM은 smooth mnf될 수 있고, p:CTM->M natural projection은 smooth map이 된다.
-section of p를 이경우 특별히 Covector Field라 한다.
(cvf_U(x)대신에 cvf_(U,x)라 쓰자. (x)라 쓰면 linear functional에 x넣은 것과 오해됨 (U:open in M)_
(혹은 cvf_U, cvf_x만 쓰기로 하자.)
(별말 없으면 smooth cvf만 생각)
-local frame for M을 CTM에서는 local coframe for M over U라고도 한다.
-global coframe for M도 마찬가지
-SGS(p)를 CVF(M)라 하자. 즉 all smooth cvf on M
(cvf를 생각시 가장 중요한 application은 first partial derivatives가 component of cvf로 간주될 수 있다는 것이다.)
-for U:open in M, x in U, f in C^inf(U), df_(U,x)란? called the differential of f
-df_x:tgs_x(M)->R(std), df_x(tgv_x):=tgv_x(f)
(vf_U에 f 넣은것과 비교)
(즉 pf_x(f)인 것, 단지 f의 codomain이 R(std)일 땐 differential이라 부르자는 것)
-for any x in M, cvf_(M,x) = df_x일 때, cvf를 exact라 한다. 그리고 f를 cvf의 potential이라 한다.
-for any x in M, cvf_(M,x)가 conservative란, lint over any closed piecewise smooth curve segment cvf is zero일 때
-cvf가 closed란, chart잡고 coordinate로 표현했을 때, 계수들의 미분이 뭔가 만족할 때(link)
-Covering관련
-(f:TS1->TS2, conti, onto일 때)E:open in TS2가 evenly covered by f
-f^(-1)(E)=union of disjoint open sets in TS1 where the restriction of f on each open set is a homeomorphism onto E
-f:TS1->TS2:covering map of TS2
-f:conti, surjective, for any y in TS2, te open(y) s.t. open(y):evenly covered by f일 때 f를 covering map of TS2라 하고 TS1을 covering space라 한다.
(주관심은 TS2)
(즉 total=TS1, base=TS2, projection=f(local homeo인)이고 fiber=discrete인 fiber-bundle이다.)
-lifting correspondence_(f,x1)
-f:TS1->TS2:covering map of TS2, f(x1)=x2일 때, h:FHG(TS2,x2)->f^(-1)(x2) s.t. h([loop]):=the end point of lift(loop) to TS1인 h를 lifting correspondence_(f,x1)라 한다.
(lifting correspondence는 x1의 choice에 depend)
-f:TS1->TS2 covering map of TS2, TS2가 simply connected이면 TS1을 universal covering space라 한다.
-Deformation관련
-S:Deformation Retract of TS
-te homotopy identity on TS, retraction(TS,S)
(이 homotopy를 Deformation Retraction of TS onto subspace S라 한다.)
-S:Strong Deformation Retract of TS
-te homotopy identity on TS, retraction(TS,S) s.t. F(x,t)=x for all t, for all x in S
-Topological Group관련
-TG:topological group
-G이고 having two operation(multiplication, inversion) s.t. multiplication:GxG->G, inversion:G->G 각각 continuous게 되게하는 top을 가진 TS, 즉 G이면서 TS
-subTG:subgroup of TG
-topological subspace이면서 subgroup인 경우
-homotg:TG1->TG2 homomorphism of TG1, TG2
-homog이면서 continuous
-SME:Symmetric Subset E
-E=E^(-1)일 때 E를 symmetric이라 한다. (E^(-1):={g^(-1) s.t. g in E})
(혹은 inversion에 preserve되는 subset)
-SME(g):Symmetric subset 이면서 nbd(g)인 것, 특히 SME(e)를 많이 씀
-Topological Manifold관련
-top n-mnf:topological manifold of dimension n
-T2이고 second-countable이면서 locally euclidean of dimension n
(locally euclidean of dimension n이란, every x in top n-mnf has open(x) that is homeo to an open subset of R^n(std))
-chart(top n-mnf, open, f):a coordinate chart on top n-mnf
-(open,f)를 가리킨다. where open:open set in top n-mnf이고 f:open->an open in R^n(std)가 homeomorphism
(top n-mnf정의에 따라, for any x in top n-mnf, te open(x) s.t. open(x):domain of a chart)
(open을 coordinate domain이라 한다. f를 (local)coordinate map이라하고, f의 component functions을 local coordinates on open이라 한다.)
(f(open):open ball일 땐 open을 coordinate ball이라 한다.)
-chart(top n-mnf, open, f)가 centered at p란
-te p in coordinate domain s.t. f(p)=0
-orientable top n-mnf란, te maximal atlas s.t. all transition functions have positive jacobian matrix
-Smooth Manifold관련(Topological Manifold+Smooth Structure)
-transition(chart1,chart2):transition map from chart1 to chart2
-chart1과 chart2가 같은 top n-mnf의 chart이고 각각의 coordinate domain U1, U2 coordinate map f1, f2라 할 때, f2 o (f1)^(-1) : f1(U1교U2)->f2(U1교U2)
(편의상 transition((U1,f1),(U2,f2))라 쓰기로 하자.)
(정의로부터, transition은 homeo이다.)
-chart1, chart2:smoothly compatible
-chart1(top n-mnf,U1,f1), chart2(topn-mnf,U2,f2)일 때, U1교U2=empty or transition(chart1,chart2):diffeo일 때
-atlas(top n-mnf):atlas for top n-mnf
-collection of charts whose coordinate domains cover top n-mnf(즉 union해서 전체 space일 때)
-smooth atlas(top n-mnf)란
-any two charts in atlas가 smoothly compatible
-maximal atlas(top n-mnf)란
-smooth atlas(top n-mnf)이면서 not contained in any strictly larger smooth atlas(complete smooth atlas(top n-mnf)라고도 함)
(이때 maximal atlas의 원소를 smooth chart라 한다.)
-(top n-mnf, maximal atlas), 이 2개가 함께 있을 때 smooth manifold라 한다. maximal atlas를 explicitly 표현할 필요는 자주 있지 않음, mnf라 하자.
(smooth란 말 없이 쓰자, 자주 나오므로)
-prod(mnf1,mnf2)란, cartesian product하면 top-manifold되고, smooth structure는 다 product map으로써 만든 것
-for any V:f-dim VS(R(std)), te standard smooth structure on V
(any norm은 equivalent이니까 아무 norm잡아서 만든 top는 다 같고, 이후 smooth structure를 만들면 된다.)
(atlas를 어떻게 주냐면 n=dim(V)일 때 basis for V를 잡을 때 마다 생기는 E:V->R^n(std), linear isometry(homeo도 되는), {(V,E)}로 atlas)
(어떤 basis를 잡더라도 같은 smooth structure를 주므로 natural한 개념임)
-function on mnf(M:mnf)
-f:M->R^m(std)가 smooth란, for any x in M, te smooth chart (U,g) s.t. x in U and f o g^-1:g(U)->f(U)가 smooth(R^n->R^m의 smooth)일 때
-C^inf(M)이란, {f:M->R(std) s.t. f:smooth}의 모임
-f:M1->M2가 smooth란, for any p in M1, te smooth charts (U,g) in M1 containing p and (V,h) in M2 containing f(p)
s.t. f(U)<V and h o f o g^(-1):g(U)->h(V)가 smooth일 때
(이 때 M1이 interval in R(std)일 때 f를 smooth curve라 한다.)
-f:M1->M2가 diffeo란, bijective이고 smooth이고 inverse도 smooth일 때
-for smooth f:M1->M2, rank of f at p in M1이란, pf_p(f)가 linear map이 되는데 그것의 rank를 가리킴
(for any p in M1, rank of f가 일정하면 f has constant rank라 하고, rank(f)=k라 적는다.)
-for smooth f:M1->M2, f가 submersion이란, pf_p(f)가 surjective for any p in M1일 때(constant rank인)
-for smooth f:M1->M2, f가 immersion이란, pf_p(f)가 injective for any p in M1일 때(constant rank인)
-for smooth f:M1->M2, f가 smooth embedding이란, f가 topological embedding이면서 immersion일 때(constant rank인)
-for smooth f:M1->M2, p in M1일 때 p:regular pt of f란, pf_p(f)가 surjective일 때
(p:critical pt of f란 not regular pt일 때)
-for smooth f:M1->M2, p in M2일 때 p:regular value of f란, f^(-1)(p)의 모든 점이 regular pt of f일 때
(그리고 그 때 level set를 regular level set이라 한다.)
(p:critical value of f란 not regular value of f일 때)
-기타:
-section(vf,cvf),frame
-Line Integral of covector field w on M over smooth curve r in M
-r:[a,b]->M, smooth, w:cvf_(M)일 때 lint over r w := lint over [a,b] pb_(r)(w2) = int from a to b w2_(r(t))(r'(t))dt
(Line integral of scalar field f on M over smooth curve r in M은 lint over r f = int from a to b f(r(t))r'(t)dt)
(Line integral of vector field vf on M over smooth curve r in M는 lint over r vf = int from a to b <vf(r(t)),r'(t)> dt)
-function on C^inf(M)(M:mnf)
-for smooth f:M1->M2, pullback of f란, pb(f):C^inf(M2)->C^inf(M1)
-for smooth f:M1->M2, pullback of f at f(p)란, pb_(f(p),f):ctgs_f(p)(M2) -> ctgs_p(M1), pf_p(f)의 dual로써 정의됨
-for M:mnf, p in M
-derivation at p란, A:C^inf(M)->R(std), linear, A(fg)=f(p)A(g)+A(f)g(p) 인 A를 가리킴
-tgs_p(M):={all derivation at p}, called tangent space at p, 그리고 원소를 tangent vector at p라 함
(tgs_p(M)의 원소를 tv_p라 하자.)
-for M:mnf
-derivation이란, A:C^inf(M)->C^inf(M), linear, A(fg)=fA(g)+A(f)g for all f,g in C^inf(M)
(vf가 derivation의 예)
-function on tgs_p(M)(M:mnf)
-for smooth f:M1->M2, pushforward of f at p란, pf_p(f):tgs_p(M1)->tgs_f(p)(M2),
-ctgs_p(M):=(tgs_p(M))^*, dual space, called cotangent space at p
(ctgs_p(M)의 원소를 ctv_p라 하자.)
-for f in C^inf(U), df_p:tgs_p(M)->R(std)
-submanifold관련(M:n-mnf, E:subset of M)
-for E:open in M, E:open submanifold of M(atlas를 아주 자연스럽게 주면 됨)
-E:embedded k-submanifold of M
-for any x in E, te smooth chart (U,g)
s.t. x in U and g(U교E)={(x_1,x_2,...,x_k,x_(k+1),...,x_n) s.t. x_(k+1)=c_(k+1), x_(k+2)=x_(k+2), ... ,x_(n)=c_n for some constants c_i}
(이때 n-k를 codimension of E in M이라 한다.)
(embedded (n-1)-submanifold of M을 embedded hypersurface라 한다.)
-E:Immersed k-submanifold of M
-E with a k-manifold topology(not necessarily the subspace topology)
together with a smooth structure s.t. inclusion:E->M가 smooth immersion
-covering관련(M:mnf)
-f:M1->M2가 smooth covering map of M2란
-f:M1->M2에서의 covering map of M2이면서 local diffeo일 때(즉 every p in M1 has a nbd(p) s.t. restriction of f onto nbd(p):nbd(p)->its image : diffeo)
-tgs, ctgs, vf, df등에 관한 이해
-고려대상:M, M위의 점, M위의 함수, M위의 점마다 방향
-연습대상:p, tgs_p, vf_U(x), vf_U(f), df_p, ctgs_p, cvf_(U,x), cvf = a dx + b dy
-Complex manfiold관련
-for X:TS, complex chart on X란, f:U->V, U:open in X, V:open in C, f:homeo일 때, f를 가리킨다.
-chart1, chart2가 compatible이란, chart2 o chart1^(-1)가 holomorphic일 때(혹은 정의역이 공집합이거나)
-complex atlas on X란 pairwise compatible complex charts의 collection이고 domain의 union이 X일 때
-A complex structure on X란, a maximal complex atlas on X
-Riemann Surface란, T2이고 second-countable이고 complex structure를 가질 때 그리고 connected
(즉 complex manifold of dimension one을 가리킨다.)
(connected일 때를 주로 다루니 connected도 포함시키는게 편해서 넣은 것)
-Complex Plane이란, C(as topologically R^2(std))에서 {f:U->V s.t. U:open in R^2(std), V:open in C, f(x,y)=x+yi}을 complex structure로 가질 때의 C를 가리킨다.
-Riemann Sphere란, UO2 with complex structure {f:UO2 - {(0,0,1)} -> ~~, g:UO2 - {(0,0,-1)} -> ~~}
-An n-dimensional complex manifold란, T2이고 second-countable이고 n-dimensional complex structure를 가질 때 그리고 connected
-Lie Group관련(M:mnf)
-LG:Lie group이란,
-LG:smooth manifold and group(multiplication과 inverse가 smooth map인)
-f:LG1->LG2가 homoLG란(called Lie group homomorphism)
-f가 homog이면서 smooth
-f:LG1->LG2가 lgiso란(called Lie group Isomorphism)
-f가 homog diffeo이고 inverse도 homog diffeo
-act_M by LG:conti란, LGxM->M이 conti(M:LG-space라 한다.)
-이 때 M을 LG-Space라 함
-act_M by LG:smooth란, LGxM->M이 smooth(M:smooth LG-space라 한다.)
-이 때 M을 Smooth LG-space라 함
-LG:discrete란
-countable set with discrete top(따라서 zero-dimensional인 LG)
-subLG of LG란
-subLG:subset of LG and inclusion이 immersion이고 homog일 때
-for vf in VF(LG), vf가 left-invariant, L_g:LG->LG, L_g(g1)=g*g1, 즉 left translation by g라 할 때, pf(L_g)(vf_g1)=vf_(g*g1) for all g, g1 in LG일 때
-Lie(LG):={all left-invariant vf}, called Lie algebra of LG라 한다.
-left-invariant frame of LG란, Lie(LG)의 basis로 만든 smooth global frame을 가리킨다.(LG는 항상 parallelizable이라 가능)
-M1:LG-space, M2:LG-space일 때 F:M1->M2가 equivariant란
-F(gp)=gF(p) for all g in LG, p in M1
*Metric Space
-Space관련
-(MetricS,d):Metric Space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 MetricS라 하자.
-(CMetricS,d):complete metric space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 CMetricS라 하자.
-every cauchy seq in (MetricS,d) cv일 때.
-(KMetricS,d):Compact Metric Space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 KMetricS라 하자.
-cl(MetricS):the completion of MetricS
-f:(MetricS1,d1)->(CMetricS2,d2)이 isometry일 때, cl(f(MetricS1))를 completion of MetricS1이라 한다.
-totally bdd:totally bounded
-(MetricS,d)가 totally bdd란 for any eps>0, te finite covering by eps-balls.
-Metric관련
-d_sb:the standard bounded metric corresponding to d.
-d_sb(x,y):=min(1,d(x,y))
-diam(E):diameter of E
-diam(E):=sup{d(x,y)} over x in E and y in E
-isom(MetricS1,MetricS2):isometry from MetricS1 to MetricS2
-distance preserving하는 f:(MetricS1,d1)->(MetricS2,d2)
-Continuous, Map관련
-uni conti:uniform continuous
-contraction on (MetricS,d)
-f:(MetricS,d)->(MetricS,d), te 0<=a<1 s.t. for all x,y in (MetricS,d) d(f(x),f(y))<=a*d(x,y)일 때, f를 contraction on (MetricS,d)라 한다.
-Functions collection관련(혹은 functions seq관련)(Range에 Metric이 있는 경우)
-fC(J,MetricS)에서 정의되는 것들
-{f_n}이 uni cv:uniformly convergence of functions seq
-E:subset of fC(J,(MetricS,d)), E가 pt bdd란, for any x in J, any f in E, {f(x)}:bdd under d일 때
-d_uni:the uniform metric on fC(J,(MetricS,d))
-for f1, f2 in fC(J,(MetricS,d)), d_uni(f1,f2):=sup(d_sb(f1(x),f2(x)) over x in J
(이걸로 만든 top을 uni top이라 한다.)
-fC(TS,MetricS)에서 정의되는 것들
-top of K cv on fC(TS,(MetricS,d)):topology of compact convergence
-for any compact K in TS, any f in fC(TS,(MetricS,d)), any eps>0, B(K,f,eps):={g in fC(TS,(MetricS,d)) s.t. d_sup(f,g)<eps}인 {B(K,f,eps)}:basis for top on fC(TS,(MetricS,d))인 top
-fCbdd(J,MetricS)에서 정의되는 것들
-d_sup:the sup metric on fCbdd(J,(MetricS,d))
-for f1, f2 in fCbdd(J,(MetricS,d)), d_sup(f1,f2):=sup(d(f1(x),f2(x))) over x in J
-fCbdd(TS,MetricS)
-fCconti(TS,MetricS)에서 정의되는 것들
-equiconti at x:equicontinuous at x
-x in TS, E:subset of fC(TS,(MetricS,d)), E가 equiconti at x란 for any eps>0, te nbd(x) s.t. for any f in E, any y in nbd(x), d(f(y),f(x))<eps
(at x가 없단 말은 for all x in TS인 경우)
-fCcontibdd(TS,MetricS)
-fCcontiV(TS, R(std)):the collection of all conti functions from TS to R(std) s.t. eps {x in TS||f(x)|>=eps} is compact
-E:subset of fCcontiV(TS,R(std))가 vanish uniformly at infinity란 for any eps>0 te K in TS s.t. |f(x)|<eps for any f in E any x in TS-K
-fCcontiV(TS, C):the collection of all conti functions from TS to C s.t. eps {x in TS||f(x)|>=eps} is compact
-fCcontiKS(TS,R(std)):the collection of all conti functions from TS to R(std) with compact support
-fCcontiKS(TS,C):the collection of all conti functions from TS to C with compact support
*Topological Vector Space
-Space관련
-TVS(F):topological vector space over F
-vector space over F이면서 vector addition이랑 scalar multiplication이 conti인 top을 갖고 있을 때
(이 때 F 자체도 usual top을 갖고 있을 때를 생각하고, vector addition, scalar multiplication의 각 domains은 product top을 생각)
(te B_0 s.t. elements가 symmetric and balanced, absorbing,
-LCTVS:locally convex TVS
-te B_0 s.t. elements가 convex인
-LBTVS:locally bounded TVS
-te E in B_0 s.t. E:bounded
-LKTVS:locally compact TVS
-te E in B_0 s.t. E:pre-K
-NMTVS:normable TVS
-it can be endowed with a norm whose induced metric is compatible with 기존 top
-Subset관련
-B_0:local basis for 0
-E:bdd란, for all O:nbd(0), te a in F s.t. aE<O
-E:blc란(balanced), for all a in F s.t. |a|<=1, aE<E
-E:symmetric이란, E=(-E)
-GV:open convex subset
-supporting function
-sf(GV):supporting function of open convex GV containing 0(set function을 가리키는 sf와 헷갈리지 않도록)
-sf(AV):supporting function of absorbing convex AV containing 0
-(TVS)^*관련, Dual
-LF(TVS)가 conti란,
*Normed Vector Space
-Space관련
-NVS(F):normed vector space over F(별말없이 BS는 over R)
-VS(F), F:subfield of C, with norm || ||
-norm은 3가지 조건 만족(separates pts, absolute homogeneity, triangle inequality)하는 || ||:VS(F)->nnn R인 function
(Vector Space에 Norm이 있어서 Metric생기고 그래서 topology도 있는 상황, NVS의 이해)
(NVS(R(std))와 NVS(C)위주로 정리, 그 외는 생각하지말고)
(별말없으면 zero VS는 생각하지 않도록 한다. 그래야 불필요한 명제가 없어진다.)
-completion of NVS(F):NVS를 포함하면서 가장 작은 BS
-seq {x_n} in NVS가 abs cv란 sum from i=1 to i=inf ||x_n||가 finite
-NVS(F)의 2 norms가 equivalent
-|| ||_1과 || ||_2이 equivalent if te L>0 and U>0 s.t. for x in NVS(F), L||x||_1<=||x||_2<=U||x||_1
-NVS:uniformly convex란
-for any 0<eps<=2, te 0<d<=1 s.t. for any x,y in NVS with ||x||=1 and ||y||=1, if ||x-y||>=eps, then ||(x+y)/2||<=1-d
(not uniformly convex의 예로는 R^2(std)에서 square metric줬을 때 생각, 하지만 ball metric일 땐 uniformly convex됨)
-BS(F):Banach Space over F(별말없이 BS는 over R), complete NVS(F)
-NVS(F)는 norm이 있으니까 metric이 있고 따라서 top이 있고 그 top이 complete(cauchy seq는 cv)할 때
-NVS:reflexive란, Ev_NVS가 onto일 때, 즉 NVS iiso dd(NVS)일 때(따라서 사실 NVS가 reflexive이면 일단 BS였었던 것)
-Semi IPS(F):VS(F) with semi-inner product <,>
-<x,x> = 0 이라해서 x=0인진 모름
-IPS(F):inner product space over F
-F는 C or R(std)이고 VS(F) with inner product <,>:VS(F)xVS(F)->F
-inner product는 symmetric bilinear form with positive-definite or Hermitian form with positive-definite(따라서 form의 용어들을 그대로 쓸 수 있음)
-for x,y in IPS(F), x,y:orthogonal이란 <x,y>=0
-for E1, E2 subsets of IPS(F), E1,E2:orthogonal이란, for any x1 in E1, x2 in E2, <x1,x2>=0
-for E subset of IPS(F), E:orthogonal set이란, for any distinct x,y in E, <x,y>=0
-for f:LT(IPS(F))일 때 adjoint of f란?(adj(f)라 쓰자.)
-<f(v1),v2>=<v1,adj(f)(v2)> for all v1,v2 in IPS(F)일 때 LT(IPS(F))인 adj(f)를 가리킨다.
-for f:LT(IPS(F))일 때 f:self-adjoint(혹은 hermitian이라고도함)란?(f=adj(f)라 쓰든가, f in HLT(IPS(F))라 하자. H는 Hermitian이라 함)
-adj(f)=f일 때
-for f:LT(IPS(F))일 때 f:unitary란
-f:ipiso on IPS(F)
-for f:LT(IPS(F))일 때 f:strictly monotone이란
-for any distinct x,y in IPS(F), <f(x-y),(x-y)> > 0일 때
-for IPS(F):G-Md, <,>가 G-invariant란
-<v1,v2>=<gv1,gv2> for all v1,v2 in IPS(F), for all g in G
-for IPS1(F), IPS2(F)가 ipiso란
-f:IPS1(F)->IPS2(F), isomorphic as a vector spaces and f preserve inner product인 f가 있을 때(iiso보다 강한 조건)
-HS(F):hilbert space
-IPS(F)가 inner product를 갖고있으니 norm을 갖고 따라서 metric을 갖고 따라서 top을 갖고 그 top이 complete(cauchy seq는 cv)할 때
-Transformation관련
-LT(nvs1,nvs2)인 F가 bdd
-te C>=0 s.t. for any x in nvs1, ||F(x)||_2<=C*||x||_1
(즉 bdd에서의 F값은 bdd하게)
-LT(nvs1,nvs2)인 F의 norm정의될 수도 있음 using || ||_1 and || ||_2
-||F||:=inf{C>=0 s.t. ||F(x)||_2<=C*||x||_1}
(||F||<inf인 F를 bdd라 하는 것)
-LT(nvs1,nvs2)인 F가 linear isometry란
-||F(x)||_2=||x||_1 for any x in nvs1(이경우 F는 injective가 자동으로 됨)
-Continuous, Isomorphic관련
-NVS1 tiso NVS2:NVS1, NVS2 are topologically isomorphic
-isomorphic as vector spaces and homeomorphic as topological spaces using one mapping
(즉 bijective, linear, conti이면서 inverse도 linear, conti인 map존재)
-NVS2 iiso NVS2:NVS1, NVS2 are isometrically isomorphic
-isomorphic as vector spaces and isometric as metric spaces
(즉 bijective, linear, isometry이면서 inverse도 linear, isometry인 map존재)
-Functions Collection관련
-LTCconti(NVS1,NVS2):collection of all conti LT(NVS1,NVS2)
-About BS
-
-About LT(BS1,BS2)
-f:LT(BS1,BS2)가 compact란, for any bdd subset E1 in BS1, f(E1):pre-K
(특히 inclusion이 compact일 땐 BS1 <_compact BS2라 하자.)
-About topologies
-top1:=NVS를 TVS로 봤을 때 얻은 top
-top2:=weak top from (NVS)^*(weak top of X라 함)
-top3:=induced from norm(strong top이라 함)
-for {x_n} in X:NVS, {x_n}:cv weakly to x란, {x_n}:cv in the sense top2 to x, 즉 for any f in X^*, lim n->inf f(x_n) = f(x)
-X:NVS, E:weakly bdd란 if for any x in E, sup over all f in X^* |f(x)|<inf
-About nvs^*, Dual space관련
-(nvs(F))^*:={all bdd LF(nvs(F))} dual space of nvs(F)라 한다.
(주의:bdd한 LF모은 것임)
-top1:=
-top2:=weak top from {Ev_X(x)}(weak^* top of (NVS)^*라 함)
-top3:=weak top from (NVS)^**(weak top of (NVS)^*라 함)
-top3:=induced from norm in (NVS)^*
-for {f_n} in (X:NVS)^*, {f_n}:cv weak^* to f란, {f_n}:cv in the sense top2 to f, 따라서 for any x in X, lim n->inf f_n(x) = f(x)
*Applications
*Combinatorics
-분할 관련
-ptt(n):partition of n>=1 integer
-a decreasing seq of positive integer whose sum is n
-ptt(n)=(a1,a2,a3,...,ak)로 표현하거나, ptt(n)=(a1번,a2번,...,ak번), 후자는 1이 a1번, 2가 a2번, ...쓰였는 ptt(n)를 가리킴
-ptt'(n)=(a'1, a'2, ..., a'k)라 하면, ptt(n)의 transpose를 가리킴,
-ptt(n)_k:partition of n into exactly k parts
-ptt(n)_o:partition of n with all parts odd
-ptt(n)_e:partition of n with all parts even
-ptt(n)_d:partition of n with all parts distinct
-PTT:=the set of all partitions
-PTT(n):=the set of all partitions of n
-PTT has partial order
-lexicographic order <_lexi, ptt1 <_lexi ptt2 if te k in N s.t. ptt2_k > ptt1_k and ptt2_i = ptt1_i for i<k
-dominance order <_d, ptt1 <_d ptt2 if for any k>=1 sum from i=1 to i=k ptt2_i >= sum from i=1 to i=k ptt1_i
-cps(n):composition of n>=1 integer
-a seq of positive integer whose sum is n
-#ptt(n):the number of all partitions of n>=1
-rank of ptt:rank of partition, largest part - part개수, 즉 ferrar diagram으로 봤을 때, 1행크기 - 행 개수, 즉 가로 - 세로
-C(n,k):n choose k
-CC(n,k):n choose k with repetitions
-DF(m,n):decreasing factorial
-DF(m,n):=m * (m-1) * ... * (m-(n-1))
-IF(m,n):increasing factorial
-IF(m,n):m * (m+1) * ... * (m+(n-1))
-Q-analog관련
-[n]_q:q-number of n
-[n]_q:=(1-q^n)/(1-q)
-[n]_q!:q-factorial
-[n]_q!:=[1]_q * [2]_q * ... * [n]_q
-DF(m,n)_q:q-shifted factorial
-DF(m,n)_q:=(1-m) * (1-m*q) * (1-m*q^2) * ... * (1-m*q^(n-1))
-C(n,k)_q:q-binomial coefficients
-C(n,k)_q:=[n]_q!/([n-k]_q! * [k]_q!)
-ef(q):Euler function
-ef(q):=prod over n>=1 (1-q^n) = (1-q)(1-q^2)(1-q^3)...
-Polygonal Number
-P(s,n), 정 s각형을 n번 gnomon해서 만들었을 때 vertex 개수
-s=3일 때 triangular number, s=4일 때 square number, s=5일 때 pentagonal number
-s=5일 때 n=0, -1, -2, ...에서의 값도 생각한다면 generalized pentagonal number라 한다.
-Generating Function of some objects
-gf_obj(x):generating function of obj with variable x
-Tableaux
-Tb(a1,a2,a3,...):ptt(n)을 box로 쓴 것, young diagram, ferrar diagram, 등이라고 불린다.
-Tb1 - Tb2란, Tb1에 포함되는 Tb2를 제외시킨 young diagram, called skew diagram
-Tb1 boxes중 right and below에 Tb1의 box가 없는 box를 outside corner라 한다.
-Tb2 boxes중 right and below에 Tb2의 box가 없는 box를 inside corner라 한다.
-conj(Tb(a1,a2,a3,...)):the conjugate of Tb
-tr(Tb(a1,a2,a3,...)):the trace of Tb, diagonal에 있는 box개수
-ST_(shape):Standard Tableau, Tb(a1,a2,a3,...)의 각 box에 1,2,3,4,...,n을 채운 것
-SST:=the set of all semistandard tableaux
-weight of sst란, (sst의 box중 1의 개수, 2의 개수, ...)
-SST_(shape, weight):=the set of all semistandard tableau of shape with weight
-sst_(shape, weight):a semistandard tableaux
-word_r(sst), called the row word of sst, from left to right, from bottom to top
-elementary Knuth transformation K', xyz -> (if y>z and x>z, then) xzy
-elementary Knuth transformation K'', xyz -> (if y>z and x<=z, then) yxz
(그냥 Knuth transformation이라 하면 K', K'', their inverse를 가리킨다.)
(sst에 row bumping하고 난 다음 word 구하는 것을, word차원에서 구하기 위해 도입됨)
-two words가 Knuth transformation이라하면, word에 elementary Knuth transformation을 유한번 적용시켜 다른 word를 얻을 때
-sst(word)란, every word is knuth equivalent to the word of a unique sst이기 때문에, 그때 unique sst를 sst(word)라 쓰자.
-skew sst란, sst1 - sst2가 아니라, skew diagram Tb1 - Tb2에 semistandard tableaux처럼 채운 것, row는 weakly inc, column은 strictly inc
-skew sst에서 sliding이란 연산은, inside corner에 위치한 box를 택해서 시작, right, below에 위치한 boxes중 작은 것과 위치를 바꾸는 걸 가리킨다. 이것을 right, below에 숫자가 없을 때까지 한다.
(만약 right, below에 위치한 two boxes의 숫자가 같으면 below와 위치 바꿈, 그래야 sst유지됨)
(right, below 둘중 1군데에만 숫자가 있다면 그것과 바꿈)
-Rect(skew sst)란, called rectification of skew sst, skew sst에서 inside corner가 없을 때까지 sliding해서 얻은 sst를 가리킨다.
-word_r(skew sst), called the row word of skew sst from left to right, from bottom to top
-K_(shape, weight)란 |SST_(shape, weight)|, called the Kostka number)
-x _r> sst, called row-insertion or row bumping
-step 1 x가 first row에서 가장 크거나 같다면, first row의 가장 오른쪽에 x를 붙인다. done
-step 2 x가 first row에서 가장 큰게 아니면, x보다 큰 놈들 중 가장 왼쪽인 놈을 x로 바꾸고 원래 있던 x'을 second row에 apply한다.
-이때 갈아치워진 box의 위치자국들을 bumping route by x라 하자.
-x _c> sst, called column-insertion or column bumping
-step 1 x가 first column에서 가장 크다면, first column의 가장 밑에 x를 붙인다. done
-step 2 x가 first column에서 가장 큰게 아니면, x보다 같거나 큰 놈들 중 가장 윗쪽인 놈을 x로 바꾸고 원래 있던 x'을 second column에 apply한다.
-sst1*sst2, product of sst
-def1, sst1*sst2, sst2의 from bottom to top, from left to right
-def2, sst1*sst2, sst1을 하단에, sst2를 우측에 두어 만든 skew sst의 rectification
-def3, sst1*sst2, sst(word_r(sst1)word_r(sst2))
(def1,def2,def3모두 agree)
-TbR_[m], called the sst ring with entries [m]
-M1={all knuth equivalence class of words on [m]}, then M1:associative Z-monoid
-M2={all words on [m]}, then M2:free Z-monoid, M2/R Z-monoid isomorphic to M1
-M3={all sst with entries [m]}, then M3 isomorphic to M1
-FAG(M3)를 TbR_[m]이라 한다.
*Graph Theory
-Basic(별말없으면 Simple Graph만을 다루도록 하자.)
-V(G):vertex set, {v1,v2,...,vn}
-|G|:=|V(G)|, called order of G
-cut(G)=(U,V), where {U,V}:a partition of V(G)
-for nonempty proper subset U of V(G), cut(U)=(U,V(G)-U)
-for nonempty subset U of V(G), u in U, v in V(G)-U, v:external private neighbor of u wrt U란, N(v)교U={u}일 때
(v:epn(u,U)라 쓰자.)
-τ(G):the number of minimum vertices meeting every edges, 즉 vertex cover의 cardinality중 minimum
-γ(G):=the domination number of G란 the minimum size of a dominating set
-α(G):=the independence number of G란, the largest independent set of V(G)에서의 vertices개수
-p(G):=the number of pendant vertices
-q(G):=the number of neighbors of pendant vertices
-E(G):edges set, {e1,e2,...,em}
-|E(G)|, called size of G
-E(v):the set of all edges which is incident with v
-for any cut(G)=(U,V), cutset(U,V):={all edges with one end in U and another in V}
-for nonempty proper subset U of V(G), cutset(U):={all edges with one end in U and another in V(G)-U}
-e1~e2, equivalence relation, if te simple cycle containing e1 and e2
-[e1]의 모든 원소와 incident한 vertices포함한 subgraph of G를 block of G라 한다.
-a point of articulation of G란, 2개 이상의 block에 포함된 vertex를 가리킴
-a point of articulation of G 2개가 neighbouring이란, 그 2개 vertices를 동시에 포함하는 block이 있을 때를 가리킴
-for subset E' of E(G), E':edge-cut if te proper nonempty U of V(G) s.t. cutset(U)=E'
(E':edge-cut이고 G[U], G[V(G)-U]가 connected이면, te! U, 즉 cut은 유일함)
-for G:connected and subset E' of E(G), E':edge-cutset if
-E'의 Edge(vertices)모두 지우면 G는 disconnected
-E'의 Edge(vertices)몇몇개(but not all)를 지우면 G는 still connected
-for nonempty proper subset U of V(G), ed(U):=|cutset(U)|/(|U||V(G)-U|), called the edge-density of U
-Τ(G):=the edge's covering number of G란, the minimum number of edges needed to cover all vertices
-ν(G):the max size of a matching of G
-for nonempty subset U of V(G), U:dominating이란 every v in V(G)-U is adjacent to some member in U
-for v1, v2 in V(G), v1~v2 if (v1v2):edge in E(G) called v1, v2 are adjacent
-for e1, e2 in E(G), e1~e2 if e1 and e2 have common ends(not necessarily both)
-v1:incident with e if e=(v1~)
-for V' of V(G), V':independent(stable) if no two of its elements are adjacent
-N_G(vi):=the set of all neighbors of vi in V(G)
-N_G[vi]:=the set of all neighbors of vi in V(G) U {vi}, called the closed neighborhood of vi in G
-for U:subset of V(G), N_G(U)=the set of all neighbors in V(G) - U of some vertex in U
-d(vi)=|N_G(vi)|, called the degree of vi
-v:pendant if d(v)=1 (tree에서는 leaf라 함)
-1-Zagreb(G):=sum over all i d(vi)^2=sum over all vi~vj, d(vi)+d(vj)=sum over all i d(vi)*m(vi)=sum over all entries of [AdMT(G)]^2
-2-Zagreb(G):=sum over vi~vj d(vi)*d(vj) = 1/2 * {sum over all i, [d(vi)^2 * m(vi)]}
-dseq(G):=(d(v1),d(v2),...,d(vn))
-decdseq(G):=(Δ_1,Δ_2,...,Δ_n), generally called the degree seq of G
-dec seq of positive integers is called graphical if te G s.t. decdseq(G) = the seq
-Tb(G), tableaux from graph G, decdseq(G)로 만든 young tableaux, Ferrers-Sylvester diagram이라고도 함
-vi:isolated if d(vi)=0
-δ(G):=the minimum degree of G
-deg(G):=max{δ(H) over H:subgraph of G}, called the degeneracy of G
-Δ(G):=the maximum degree of G
-sd(G):=the star degree of G,
-Δ_k(G):=the kth maximum degree of G, 즉 Δ_2(G):the second maximum degree of G
-tr(G):=max over i s.t. Δ_i >= i, called the trace of G
-d(G):=the average degree
-m(vi):=the average degree of the adjacent vertices of vi
-G:k-regular if for any vi in V(G), d(vi)=k
-G:srg(n,k,a,b), called strongly k-regular graph if for any vi~vj, they have a common neighbors, for any vi,vj:non-adjacent, they have b common neighbors and G:k-regular
-G:(r,s)-semiregular if d(vi)=r or s
-d_G(v1,v2):=the shortest path length, called distance of v1, v2
-e(vi):=max over vj in V(G) {d_G(vi,vj)}, called the eccentricity of vi
-r(G):=min over vi in V(G) {e(vi)}, called the radius of G
-D(G):=max over vi in V(G) {e(vi)}, called the diameter of G
-md_G:=the average of all distances between distinct vertices of G, (sum over all v S(v))/n(n-1), where S(v)=1*(v와 distance가 1인 애들의 개수) + 2*(v와 distances가 2인 애들의 개수) +...
-d(G,k):=the number of vertex pairs at distance k.
-W(G):= sum over all (vi,vj) d_G(vi,vj), called the wiener index of G
-HW(G):=sum over all (vi,vj) {d_G(vi,vj) + (d_G(vi,vj))^2}, called the hyper-Wiener index
-H(G):=sum over all (vi,vj) 1/(d_G(vi,vj), called the Harary index
-RCW(G):=sum over all (vi,vj) {1/(D(G) + 1 - d_G(vi,vj))}, called the Reciprocal complementary Wiener index
-TW(G):=sum over all pendant vi,vj d_G(vi,vj), called the Terminal Wiener index
-MTI(G):=sum over all i [dseq(G)*(AdMT(G)+DistMT(G))]_i, called the molecular topological index, MTI
-DD(G):=sum over all (vi,vj), [d(vi)+d(vj)]*d_G(vi,vj), called the degree distance of G
-For a connected G, GG(G):= sum over all (vi,vj), sqrt( {n(vi)+n(vj)-2}/{n(vi)n(vj)} ), called the Graovac-Ghorbani index of G,
where n(vi):=|{w in V(G) s.t. d(vi,w) < d(vj,w)}|, n(vj):=|{w in V(G) s.t. d(vj,w) < d(vi,w)}|
-For a connected G, NGG(G):= sum over all (vi,vj), sqrt( 1/{n(vi)n(vj)} ), called the Normalized Graovac-Ghorbani index of G,
where n(vi):=|{w in V(G) s.t. d(vi,w) < d(vj,w)}|, n(vj):=|{w in V(G) s.t. d(vj,w) < d(vi,w)}|
-RD(G):=sum over all (vi,vj) 1/sqrt((d(vi)d(vj))), called the randic index of G
-max-RD(G):=sum over all (vi,vj) 1/max{d(vi), d(vj)}, called the max-randic index of G
-HM(G):=sum over all (vi,vj) 2/(d(vi)+d(vj)), called the harmonic index of G
-vi:central if e(vi)=r(G)
-genus(G):=the minimal integer n s.t. the graph can be drawn without crossing itself on a sphere with n handles
-genus(G)=0이면 G를 planar라 한다.
-G:maximal planar란, planar이고 edge를 추가한다면 planar가 아닐 때
-for U:subset of V(G), U:vertex cover란, every edge는 U의 원소와 incident
-G:forest if G:acyclic
-G has a star forest F=(S_n1, S_n2, ..., S_nk) if there exists a seq of pairwise vertex-disjoint subgraphs H_i of G with H_i and S_ni:graph-iso for all 1<=i<=k
-G:tree if G:connected forest
-A rooted tree T contained in G is called normal in G if the ends of every T-path in G are comparable in the tree-order of T
(T-path란 G상의 Path인데 양 끝점만 T에 속하는 path, comparable이란 tree-order로 봤을 때)
-T(a,b):tree where 한개의 vertex vi에 a개의 K_(1,b-1)의 중심을 이은것(이은 선 포함안해서 K_(1,b-1)
, 따라서 |V|=ab+1
-T1(a,b):tree where d(vi)=a+1, d(vj)=b+1, vi~vj,따라서 |V|=a+b+2
-T2(a,b):tree where d(vi)=a+1, d(vj)=b+1, vi~v0, v0~vj, 따라서 |V|=a+b+3
-T(a,b,c):tree where d(vi)=a+1, d(vj)=b+1, vi~v1, v1~v2, ..., vc~vj, |V| = a+b+c,
-TZ(k):tree where |V(TZ(k))|=(2k-1)(k+1)+1, K_(1,2k-2)의 k+1개를 둔 다음, 그 외의 점 v에 각 stars의 center를 이은 것
-Tp1:Type-(I) tree
-Tp2:Type-(II) tree
-root는 tree의 아무 vertex로 지정가능, 그걸 top이나 bottom에 두고 tree그려나가면 됨
-Tree:bethe if d(root)=d, d(v)=(d+1) for v:not root and not pendant, d(last level)=1
-Tree:generalized bethe if d(v)=d(u) for v,u in the same level.
-specific trees
-CTPL:caterpillar, a tree in which all the vertices are within distance 1 of a central path.
-binary tree:te! vi s.t. d(vi)=2 and other vertices degree 1 or 3
-vi:leaf if vi:degree 1 and vertex of tree
-G:r-partite if V(G) admits a partition into r classes s.t. every edge has its ends in different classes.
-G:bipartite if {A,B}:partition of V(G) and every edge in E(G) has one end in A and another end in B인 Graph(즉 2-partite인 셈)
-K_n:complete graph with n vertices
-G:complete r-partite if G:r-partite s.t. every two vertices from different partitions classes are adjacent
-K_(k1,k2):complete bipartite graph with |V(U)|=k1, |V(W)|=k2
-S_n:graph G s.t. Δ(G)=(n-1) with n vertices
-K_(1,n-1):star graph
-G:multigraph if it is permitted to have parallel edges
-P_n:n개의 점을 일직선으로 나열하여 edge로 이은 simple graph
-C_n:cycle with n order
-C_n을 구성하는 edge는 아니지만, C_n을 구성하는 vertices를 이은 edge를 chord라 한다.
-G:chordal graph(또는 rigid circuit graph) if all cycles in G of 4 or more vertices have a chord.
-W_n:wheel, K_1 V C_n을 가리킨다.
-Q_n:n-cube, Q_1 = P_2, Q_n = Q_(n-1) x P_2 for n>=2
-X(Z_n, C), where C:subset of Z_n - {0}, called a circulant of order n, C:called its connection set
(V(X)=Z_n, vi~vj iff i-j in C인 Graph, 따라서 C={1,n-1}이면 X(Z_n,C)는 C_n이 된다.)
-J(v,k,i):v>=k>=i>0, positive integers이고 Ω:fixed set of size v, V:=all subsets of size k of Ω, two subsets are adjacent iff their intersection has size i.
-v>=2k이고 i=(k-1)일 때 the Johnson Graphs라 한다.
-v>=2k이고 i=0일 때 the Kneser graphs라 한다.
-J(5,2,0)을 특히 The petersen graph라 한다.
-Intersection Graph
-Interval Graph, vertex는 real interval을 가리키고 v1,v2:adjacent iff the intersection of the corresponding two intervals is non-empty
(not interval graph의 예:C_4), the boxicity of C_4 = 2
-만약 2차원이면 rectangle, 3차원이면 box,
-The boxicity of G := the smallest integer p s.t. we can assign to each vertex of G a box in R^p s.t. two vertices are adjcent iff their boxes overlap
(계산 어려움 boxicity는)
-CS(n,w), w<=n, a complete split graph라 하고 graph consisting of a clique on w vertices and a stable set with n-w vertices in which each vertex of the clique is adjacent to each vertex of the stable set
-G:split if te partition (U,V) of V(G) s.t. U:clique, V:independent set
-PA_(n,w), w<=n, a pineapple graph라 하고 graph consisting of a clique on w vertices and a stable set with n-w vertices in which each vertex of the stable set is adjacent to only one vertex in the clique.
-Ki_(n,w):kite, K_w +P_(n-w)에다가 a vertex of K_w와 an endpoint of P_(n-w)를 이은 것
-DfG:difference graph if te a_1, a_2, ..., a_n associated with the vertices of G and a positive real number k s.t. |a_i|<k for all i, and v_i~v_j iff |a_i - a_j|>=k
-{V1,V2,...,Vk}:partition of V(G)일 때, equitable이란, for any i,j in {1,2,...,k}, te d_(i,j) s.t. for any vertex v in Vi, te d_(i,j)개의 vertices in Vj with adjacent v
-G:cograph if P_4-free, i.e. there is no P_4 as induced subgraph(동치인건, bar, +로 만든 것 from K_1)
(P_4 free로 되는 이유는, bar(P_4)=P_4)
-G:threshold if 2K_2-free and P_4-free and C_4-free(maximal graph라고도 한다.)
-G:Ramanujan if G:r-regular and max over (1<=i<=n and λ_i(G) != r) λ_i(G) <= 2*sqrt(r-1)
-G:geodetic if for every pair of vertices, there is a unique path of minimal length between them.
-n_0(x,k)
=(k=2r+1, odd일 때) 1 + (x * sum over i=0 to i=(r-1) (x-1)^i)
=(k=2r, even일 때) 2 * (sum over i=0 to i=(r-1) (x-1)^i)
-About subgraph
-G'<G, G':subgraph of G, if G에서 vertex, edge를 없앤 것(몇개든), G:supergraph of G'이라 한다.
-G' _ind< G, G':induced subgraph of G, if G'<G and G' contains all the edges (vi'vj') in E(G) with vi', vj' in V(G'), V(G') induces G' in G라 한다.
-for U:subset of V(G), G'=G[U], if U induces G' in G일 때
-G' _spn< G, G':spanning subgraph of G, if G'<G and V(G')=V(G)
-for any x,y, in V(G), w(x,y), walk, alternating seq x e1 v1 e2 ... en y를 가리킴,이때 edge개수를 length of walk라 하고 |w(x,y)|라 표현
-G':a pendant star of G란, maximal subgraph formed by pendant edges all incident with the same vertex
-G':pendant star of G일 때, d(G'):=the number of its pendant vertices - 1, degree of pendant star라 한다.
-따라서 임의의 G에 대해 sd(G):=the star degree, the sum of the degrees of all pendant stars
-for any x,y, in V(G), t(x,y), trail, walk인데 seq중 edge반복없는 것
-for any x,y, in V(G), p(x,y), path, trail인데 seq중 vertex반복 없는 것(x,y를 애초에 다른 걸 잡아야 함)
(vertices개수만 관심인 path라면 P_n이라 적자, order가 n인 path)
-t(x,y):Eulerian if t(x,y):closed and it traverses every edge of the graph exactly once
-G:Eulerian if G has Eulerian trail
-C(cycle, 3개 이상의 vertex로 구성되고 path에다가 1개 edge 더 추가한 것
-g(G):=the minimum length of a cycle in G, celled girth of G
-G(G):=the maximum length of a cycle in G, called circumference of G
-e:chord of C if e joins two vertices of C but is not itself an edge of the cycle
-C:induced cycle if C:cycle in G and C:induced subgraph of G(즉 chordless cycle을 가리킴)
-G':k-factor if G':spanning subgraph of G and G':k-regular
-G':clique of G if G':subgraph of G and G':complete graph
-ω(G):=the order of the largest clique of G, the clique number of G라 한다.
-triangle of G:clique of order 3 of G
-clique (vertex) cover of G := a partition of V(G), V1, ..., Vk s.t. Vi:clique of G
-clique cover of G가 존재할 때, 가능한 작은 k를 clique vertex cover number of G라 한다.(cvc(G))
-clique edge cover of G := a set of cliques of G which covers all edges of G.
-clique edge cover of G가 존재할 떄, 가능한 작은 cliques의 개수를 clique edge cover number of G라 한다.(cec(G))
-t(G):the number of spanning tree of G
-About generated graph
-bar(G):the complement of G if bar{G} has the same vertex set as G but (vivj) in E(G) iff (vivj) not in E(bar(G))
-G:self-complementary if G graph-iso bar(G)
-L(G):line graph of G, V(L(G))=E(G) in which ei~ej in L(G) as vertex iff ei~ej in G as edges
-G:quasi-line graph if for any v, cvc(N_G([v]))<=2(locally co-bipartite라고도 함)
-T(G):total graph of G, V(T(G))=V(G)UE(G) in which vi~vj in T(G) iff vi, vj:adjacent or incident in G
-for an edge of G, G/e:the graph s.t. e:contracted(G/e를 하는데 cycle이 있었다면, 중복해서 edge만들지 않음)
-for an edge e=(uv) of G, H:subdivision of e란, new graph H s.t. V(H)=V(G)U{w} , E(H)=E(G)U{(uw),(wv)}
(inverse과정을 smoothing w라 한다.)
-H:subdivision of G란, if H is obtained from G by subdividing edges of G
(G의 원래 vertex를 branch vertices, 새로생긴 vertex를 subdividing vertices라 한다.)
-H:topological minor of G if G contains a subdivision of H as a subgraph
-H:inflated minor of G if each vi in V(G), connected disjoint {Gi}로 바꾸고 xy in G iff te an edge between G_x and G_y in H일 때
-H:minor of G if H:undirected and H can be formed from G by deleting edges and vertices and by contracting
edges
-G1,G2, G1+G2란, disjoint union
-G1,G2, G1VG2란, join of G1,G2, G1+G2에다가 adding new edges from each vertex of G1 to Every vertex of G2.
-G1,G2, G1xG2란, product of G1, G2, V(G1xG2)=V(G1)xV(G2)이고 (v1,u1)~(v2,u2)는 v1=v2이고 u1~u2이거나 v1~v2이고 u1=u2일 때
-그리는 방법은 G1을 G2의 각 vertex에 copy한 다음에 각 G1의 점끼리 잇는데 G2에 따라 이으면 된다.
-G1,G2, EDP(G1,G2)란, Direct product of G1, G2, V(TP(G1,G2))=V(G1)xV(G2)이고 (v1,u1)~(v2,u2)는 v1~v2이고 u1~u2일 때
-(for V(G1)=V(G2)), DS(G1,G2)란, Direct Sum of G1, G2, G1, G2가 edge-disjoint일 때
-for V(G)=UUV(partition), VD(G)=(G[U],G[V]), called vertex decomposition of U,V
-for G1,G2, Connected sum H of G1,G2란, G1의 1개의 점과 G2의 1개의 점을 임의로 택해서 이어서 얻은 graph H
-About Connectivity
-G:connected if G:nonempty and any two vi, vj in V(G), te p(vi,vj)
-connected component란 maximal connected subgraph를 가리킴
-vi:cutvertex if vi를 G에서 제거하면 component 개수가 증가할 때
-G:nonseparable if G does not contain a cutvertex.
-ei:bridge if ei를 G에서 제거하면 component 개수가 증가할 때(iff edges do not lie on any cycle)
-G:k-connected란, |V(G)|>k 이고 for any vertex subset X s.t. |X|<k, G - X:still connected일 때
(혹은 k개를 제거했더니 disconnected되게하는 가장 작은 k)
-κ(G):the connectivity of G, κ(G):the greatest integer k s.t. G:k-connected
-G:l-edge-connected란, |V(G)|>1이고 for any edge subset X s.t. |X|<l, G - X:still connected일 때
(혹은 l개를 제거했더니 disconnected되게하는 가장 작은 l)
-λ(G):the edge connectivity of G, λ(G):the greatest integer l s.t. G:l-edge-connected
-odd(G):the number of components of G with odd order
-c-rank(G), called the circuit rank of G or cyclomatic number of G, the minimum number of edges whose removal from G breaks all its cycles
(c-rank(G) = m - n + # of components)
-About hypergraph
-G:hypergraph (V(G), E(G)) if E(G):subset of P(V(G)) - empty, 즉 the elements of E(G) are non-empty subset of V(G)
(edge가 connected any number of vertices하려는 개념)
-About Directed(dG:digraph를 가리킴)
-G:directed if G has two maps init:E(G)->V, ter:E(G)->V assigning to every edge e an initial vertex init(e) and a terminal vertex ter(e), G:digraph라고도 함, dG라 쓰자.
-orientation is an assignment of a direction to each edge, turning the initial graph into a directed graph함
-dG^t := the minimal transitive digraph containing dG and has the same vertex set of points as dG, called the transitive closure of dG.
-for a,b in V(dG), a,b are strongly connected if te a directed walk from a to b and te a directed walk from b to a
(for any vertex a in V(dG), a is strongly connected itself)
-for any a in V(dG), the strongly component of a := the set of all vertices which is strongly connected to a.
-tnm_n:tournament graph if K_n에 모든 edge에 orientation 준 것,
-dG:strongly connected if te! strongly component of dG
iff any two distinct vertices can joined by a directed path
-for dG, dG* := the condensation digraph of dG, V(dG*) = {all strongly components}, arc(Vi,Vj) iff i,j:dictinct and te a in Vi and b in Vj s,t, arc(a,b) in E(dG)
-임의의 undirected graph에서의 edges는 양방향 arc로 봐서 directed graph로 해석가능, 그 때도 strongly connected얘기함
(즉, undirected graph는 connected iff strongly connected)
-for MT in MT(nxn)(C), dG(MT):digraph with V={1,2,...,n}, arc(i,j) exists iff MT(i,j):nonzero(혹은 weighted directed graph로도 간주 가능)
-About Competition graph of a dG
-For a dG, C(dG):the competition graph of dG, V(C(dG))=V(dG), e=ij in E(C(dG)) iff te arc (i,x) and (j,x) in E(dG) for some x in V(dG)
-c#(G):=the smallest number so that G U I_k is a competition graph of some acyclic dG(the competition number of G)
-About Matching
-M:matching if M:subset of independent edges
-given M, V(M):the set of all vertices meeting edge of M
-given M, p(x,y):M-alternating path if p(x,y):path in which the edges belong alternatively to M and not to M and x is not in V(M)
-given M, p(x,y):M-augmenting path if p(x,y):alternating and x, y are not in V(M) and length>=1
-maximum matching이란, max size를 갖는 matching
-M:maximal matching이란, M < M'인 matching M'이 존재안할 때
-M:perfect matching이란, M:matching and covering every vertices
-for any vertex v, te a linear ordering <=_v on E(v), 이 때 M:stable matching이란, for any e in E(G) - M, te m in M s.t. e and m have a common vertex v with e <_v m
-About Coloring
-G:k-coloring이란, vertices에 color를 매기는데 adjacent하면 different color를 매기는 방식으로 k개의 color매긴 것
-G:k-colorable이란, G가 k-coloring가능할 때
-χ(G), chromatic number of G, 란 the smallest number k for which G is k-colorable
-a colour class of the colouring이란 같은 colour인 vertices을 모두 모은 subset of V(G)
-G:k-color-critical if χ(G)=k and for any proper subgraph G' of G, χ(G') < k.
-Algorithm for coloring
-Sequential coloring, ordered vertex set넣어서 각각을 색칠하는데, 꼭지점 순서대로 1,2,3,...을 색칠하는데 가능한 최소의 색으로 색칠하게
-Maximal stable set coloring, ordered vertex set넣어서 각각을 색칠하는데, 첫번째 vertex를 1로 색칠하고 그 이후에 vertex들 중에서 이미 1로 색칠한 것과 연결되지 않으면 다 1로 색칠한다. 이후 1로 색칠한 것들을 모두 지우고 얻은 induced subgraph에서 색2를 같은 방법으로 칠한다.
(Sequential coloring이든 Maximal stable set coloring이든 vertex ordering에 depend)
(Maximal stable set coloring은 vertex ordering을 잘만하면 χ(G)를 얻을 수도 있는데, 그게 ordering하는 polynomial algorithm은 없다.)
(Smallest last ordering이란, v_n은 deg가 δ(G)인 것으로, v_(n-1)은 G - v_n에서 degree가 최소인 vertex....)
(Largest first ordering이란, v_1, v_2, ..., v_n with d(v_1)>=d(v_2)>=...)
(Smallest last ordering or Largest first ordering의 철학은 {v_1,v_2,...,v_(i-1)}까지 색칠해진 induced subgraph에서 v_i를 추가해서 고려할 때 restrictions가 가능한 적게 되게끔 ordering한 것)
-col(G), the coloring number of G,
the minimum integer k s.t. te linear ordering < of the vertices of G s.t. for any v in V(G), we have |N(v) 교 {w in V(G) s.t. w<v}| < k
-Given G and L(v) for each v in V(G), a list coloring is a function f from V(G) to a color s.t. f(v) in L(v).
-for any edge vivj in E(G), f(vi) != f(vj)이면 f를 proper list coloring이라 한다.
-G:k-choosable if it has a proper list coloring no matter how one assigns a list of k colors to each vertex.
(전체 색의 종류가 몇개든 상관 없고, |L(v)|=k인, 즉 v마다 사용할 수 있는 색의 개수가 k인 거고, 그렇게 proper list coloring이 존재할 때 어떻게 색을 assign하든 proper가 만족할 때를 가리킨다. K_(2,4)는 χ=2, χ_l=3)
-χ_l(G), the list chromatic number of G is the minimum k for which G is k-choosable
-G:complete k-coloring if G:k-coloring s.t. for each pair of different colors (c1,c2), te (u,v) s.t. u~v and u with c1, v with c2
-aχ(G), the achromatic number of G, the maximum number k for which G:complete k-coloring
(P_4는 χ=2 aχ=3)
(maximum에 조심해야함)
-About Matrices
-G:integral, if egv of AdMT(G)가 모두 integers일 때
-G:L-integral, if egv of Lap(G)가 모두 integers일 때
-G:Q-integral, if egv of sLap(G)가 모두 integers일 때
-m_(G,~)(egv):the multiplicities of egv of ~ type matrix of G
-m_(G,~)(an interval):the number of egv of ~ in an interval including multiplicities
-IcMT(G), nxm matrix, vertex에 labeling하여 v1,v2,...,vn, edge에 labeling하여 e1,e2,...,em, vi~ej이면 (i,j) entry가 1, 아니면 0, called Incedence Matrix
-dIcMT(G), nxm matrix, IcMT에서 orientation생각한 경우, 1,-1,0을 entry로 갖는다.
-AdMT(G), nxn matrix, vertex에 labeling하여 v1,v2,...,vn, vi~vj이면 (i,j) entry가 1, 아니면 0, called Adjacency matrix
-specR(AdMT(G))를 index라 한다.
-the spectrum of G는 the spectrum of AdMT(G)를 가리킨다.
-the spectrum of G1 = the spectrum of G2이면 G1,G2:cospectral이라 한다.
-AdMT(dG)는 (i,j) entry에 the number of arc from vi to vj
-sum of |λ_G(i)|를 the energy of G라하고 energy(G)라 적자.
-ν^+(G):=m_(G,A)((0,inf)), i.e. the number of positive egv of AdMT(G), called positive inertia
-G:singular if λ_G=0인 egv of AdMT(G)가 있을 때(i.e. det(AdMT(G))=0)
-G:non-singular if all λ_G are nonzero(i.e. det(AdMT(G)):nonzero)
-G1, G2:equienergetic이란 energy(G1)=energy(G2)일 때
-G:hyperenergetic if energy(G) > 2n-2 (예를 들면 energy(K_n)=2n-2, 따라서 not hyperenergetic)
-G:hypoenergetic if energy(G) < n
-G:non-hypoenergetic if energy(G) >= n
-DegMT(G), nxn matrix, degree matrix, 대각성분은 d(vi), 그 외는 0
-Lap(G), nxn matrix, laplacian matrix, Lap(G)=DegMT(G)-A(G)
-second smallest egv of Lap(G)를 algebraic connectivity라 한다. a(G)라 적자.
-a(g)에 해당되는 egv를 Fiedler vector라 한다.(그리고 characteristic valuation of G라 한다.)
-Lap(G) - vi, the psubMT of Lap(G), deleting vi-row and vi-column
-sum of |μ_G(i) - d(G)|를 the laplacian energy of G라 하고 Lnergy(G)라 적자.
-σ(G):=m_(G,L)((d(G),n])
-μ:symmetric이란 eigencomponents are constants on orbits of Aut(G)(multiplicity생각해서 다룸, 즉 1은 symmetric이면서 not symmetric일수도 있음)
-μ:alternating이란 eigencomponent
-sLap(G), nxn matrix, signless laplacian matrix, sLap(G):=DegMT(G)+A(G)
-DistMT(G), nxn matrix, (i,j)-entry=d_G(vi,vj)
-RdMT(G), nxn matrix, (i,j)-entry = 1/d_G(vi,vj), called the reciprocal distance matrix of G
-SdMT(G), nxn matrix, SdMT(G) = J - IMT - 2*AdMT(G), where J:all entries are 1
-for M:MT(nxn)(R), dG_M:the underlying digraph of M, V(dG)=n이고 M_(i,j)가 nonzero이면 te a directed edge from vi to vj인 dG
-nLap(G), nxn matrix, normalized laplacian matrix, nLap(G):=DegMT^(-1/2)(G) * Lap(G) * DegMT^(-1/2), where DegMT^(-1/2):=diag(1/sqrt(d(vi)))
-About Weighted Graph
-wG:weighted graph, edge마다 positive number가 있을 때, unweighted는 모든 weight가 1일 때로 해석 가능하다.
-AdMT(wG), 각 성분을 1대신에 weight넣으면됨
-dIcMT(wG), 각 성분에 1대신에 sqrt(weight), -1대신에 -sqrt(weight)넣으면 됨
-Lap(wG), 각 대각 성분에 sum of weight, off-diagonal엔 -1대신에 -weight넣으면 됨
-
-About Homomorphism, Automorphism, Group etc
-f:homomorphism from G1 to G2란, f:V(G1)->V(G2), v1,v2:adjacent in G1이면 f(v1),f(v2):adjacent in G2
-G graph-iso G', te bijective f:V(G)->V(G') s.t. (vivj) in E(G) iff (f(vi)f(vj)) in E(G') for any vi, vj in V(G), 이 때 f를 Graph-isomorphism
-f:graph invariant if f:{all graphs}->sth, for f:G graph-iso G', f(G)=f(G')
-a class of graphs that is closed under isomorphism is called a graph property
-Aut(G):=the group of automorphism of G
-retract(G,S)란 S:subgraph of G, f:homomorphism from G to S s.t. restriction of f onto S is identity.
-endomorphism from G to G란, homomorphism from G to itself일 때
-About Space of a graph
-VS(G):the vertex space of G, (F_2)^V(G), the vector space over F_2, all functions from V(G) to F_2
-ES(G):the edge space of G, (F_2)^E(G), the vector space over F_2, all functions from V(G) to F_2
-IPS도 된다. 따라서 LS of ES(G), LS^ㅗ 등도 다룰 수 있음
-CS(G):the cycle space of G, ES(G)의 subspace로 spanned by the all cycles in G.
-dim(CS(G)), called the cyclomatic number of G.
-About Graph distance
-d(G1,G2), by Yutaka, link참조
(Order가 다른 two graphs의 distance 정의 가능, structural properties, dynamical properties를 반영하는 distance임이 확인됨)
-About Random Graph model
-WS-model(Watts-Strogatz model, denoted by WS(p,β)
-장점:small-world properties, short average path lengths, high clustering
*Spectral Graph Theory
*Elementary Inequalities
*Integral Transformation
*Linear Programming
*Numerical Analysis
*Convex Optimization(수업)
-
*Queueing Theory
*Special Functions
*Probability, Statistics
*Probability, Statistics
*Econometrics
| 수학정리(Group Theory, Ring Theory, Field Theory, Module Theory, Vector Space, Algebra Theory) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Set Theory, Measure Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Econometrics) (0) | 2016.02.09 |
| 수학정리(Elementary Inequalities) (0) | 2015.11.16 |
| [수학]수학정리(First-Edition) (0) | 2013.06.17 |
*Contents
1. Notation
-Set Theory
-Group
-Ring
-Field
-Module
-Vector Space
-Topological Space
-Algebraic Topology
-Topological Vector Space
-Metric Space
-Normed Vector Space
-Applications
-Combinatorics
-Geometry and Differential Geometry
2. Theorems
-Set Theory(with measure theory)
-Group
-Ring
-Field
-Module
-Vector Space
-Topological Space
-Algebraic Topology
-Topological Vector Space
-Metric Space
-Normed Vector Space
-Applications
-Solving MTx=b(Numerical), where MT:invertible
-2nd order elliptic pde
-Eigenvalue problem
-Combinatorics
-Geometry and Differential Geometry
-Linear Programming
-Homogeneous Linear Difference Equations(y_t, phi_p)
-Integral Transformation
-Lie Algebra관련
3. Examples
-Set Theory
-Probability Theory(몇개 통계 내용도 겹침)
-Stochastic Process
-Statistical Inference
-Topology
-각 구체적인 space(top이든 field든 space마다의 특징, seq, series관련도 포함)
-기초부등식
-Special Functions
*Notation
Set Theory
-iff:if and only if
- := defined
-<:set과 set 사이에서는 subset임을 가리키고, order가 있을 때(실수와 실수같은)는 order relation을 가리킨다.
- a= approximation
-nnn:nonnegative
-rv:real-valued
-erv:extended real-valued
-iv:complex-valued
-J:Any Set
-inc/dec:increasing, decreasing
-A교B:intersection, A교B
-AUB:union,
-AΔB:symmetry difference
-a-union:arbitrarily union
-u-union:uncountable union
-c-union:countable union
-a-intersection:arbitrarily intersection
-u-intersection:uncountable intersection
-c-intersection:countable intersection
-f-union:finite union
-f-intersection:finite intersection
-c-sum:countable many sum, sigma
-f-sum:finitely many sum, sigma
-indi_(E) (x):indicator function on E
-P(J):Power set of J
-fC(J1,J2):the collection of all functions from J1 to J2
-fC(J):the collection of all functions from J to R
-N:the natural numbers set
-ETR:the extended real numbers set
-R^n:the finite cartesian product of R
-R^J:the cartesian product of R, indexed by J
-R^N:the cartesian product of R, indexed by N
-S:subspace, or subgroup 등(구분 필요하면 topological subspace:topS/linear subspace:LS)/subgroup:subgS)
-E:subset
-eps:epsilon, 별말 없으면 for any eps>0을 가리킴
-te:there exist(s)
-te!:there unique exist(s)
-abs:absolute, modulus
-≡:congruence
-n:integer
-[n]:{1,2,3,...,n}
-gcd:greatest common divisor
-ephi:Euler phi function
-prm:prime integer
-<:subset, inequality in real,
-(a,b):ordered pair, open interval, 만약 open interval이랑 헷갈리면 ordered pair를 axb라 쓰기로 하자.
-[a,b]:closed interval
-]a,b[:x<=a or x>=b
-)a,b[:x<a or x>=b
-S_Z:minimal uncountable well-ordered set.
-X_i:X들의 collection, countable일 필요는 없음
-X_n:X들의 collection, countable일 필요 있음, sequence로도 간주가능
-UO1:unit circle in R^2
-UO2:unit sphere in R^3
-About Measure and Measure Space
-MC:Monotone Class
-C1:적어도 empty를 포함하는 Collection
-C2:적어도 empty와 전체 set을 포함하는 collection
-C3:algebra, field
-RC3:ring(대수학에서의 ring과는 다름)
-SC3:semialgebra
(nonempty, closed under f-intersection, 각 원소의 complement가 disjoint f-union in SC3으로 표현되는 collection)
(책마다 조금 다른게, 전체집합을 반드시 원소로 가져야할 수도 있고, 아닐 수도 있다.)
-RSC3:semiring
(nonempty, closed under f-intersection, 각 원소의 relatively complement가 disjoint f-union in RSC3로 표현되는 collection)
-C4:sigma-algebra, or sigma-field
-C3(~):~을 포함하는 가장 작은 algebra
-C4(~):~을 포함하는 가장 작은 sigma algebra
-C(U)는 C의 원소들의 countable union들도 포함하는 collection
-C(I)는 C의 원소들의 countable intersection들도 포함하는 collection
-PC:Pi-system
-LC:Lambda-system
-sf:set function, a class of sets에서 ETR로 가는 function
-nnn sf가 monotone:for J1, J2 in domain s.t. J1<J2에 대해 sf(J1)<=sf(J2)
-nnn sf이 monotone(if):for J1, J2 in domain s.t. J1<J2 and J2-J1 in domain에 대해 sf(J1)<=sf(J2)
-nnn sf이 countably monotone1:
for J, {J_n} in domain s.t. J<c-union J_n에 대해 sf(J)<=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone1(if):
for J, {J_n} in domain s.t. J<c-union J_n, c-union J_n in domain에 대해 sf(J)<=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone2(if):
for {J_n} in domain s.t. c-union J_n in domain에 대해 sf(c-union J_n) <= c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone2(if)(dis):
for {J_n} in domain s.t. c-union J_n in domain and disjoint에 대해 sf(c-union J_n) <= c-sum sf(J-n)
-nnn sf이 f-additive:
domain이 closed under f-union and
disjoint finite seq {J_n} in domain에 대해 sf(f-union J_n)=f-sum sf(J_n)
-nnn sf이 f-additive(if):
disjoint finite seq {J_n} in domain s.t. f-union {J_n} in domain에 대해 sf(f-union J_n)=f-sum sf(J_n)
-nnn sf이 c-additive:
domain이 closed under c-union and
disjoint countable seq {J_n} in domain에 대해 sf(c-union J_n)=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 c-additive(if):
disjoint countable seq {J_n} in domain s.t. c-union {J_n} in domain에 대해 sf(c-union J_n)=c-sum sf(J_n)
(워낙 general하게 정의한 것, (if)버전만 잘 알면 된다. nnn sf의 domain이 적절해지면, 예를 들면 C3, C4 등 (if)이면 not (if)가 성립)
-OM:Outer measure
-f-OM:finite Outer measure
-r-OM:Regular Outer Measure
-OME:Outer measurable subset
-PM:premeasure
-f-PM:finite premeasure, (PM은 domain이 C1이면 되는데, f-PM은 domain이 적어도 C2여야 함)
-sf-PM:sigma finite premeasure, (마찬가지로 sf-PM의 domain은 C2여야 함)
-PM*:Outer measure induced by PM:C3->[0,inf]
-PM*ME:PM*의 measurable set
-MAS:Measurable Space
-MS:Measure Space
-C(MS):Completion of Measure Space
-CMS:Complete Measure Space
-M:measure
-smf-M:semifinite measure
-sf-M:sigma finite measure
-CM:complete meausre
-LM:Lebesgue Measure
-R(LM):Real numbers with Lebesgue measure
-PrM(M1,M2):Product Measure
-MR:measurable rectangle, 즉 M1,M2의 measurable set의 product
-PrC1:C4({MR})
-PrC2:C4({all PrM*ME})
-C4(1)*:{ME1xJ2 s.t. ME1 in C4(1)}, sigma algebra되고 {All MR}의 subset
-C4(2)*:{J1xME2 s.t. ME2 in C4(2)}, sigma algebra되고 {All MR}의 subset
-
-MF:Measurable Function
-X1:(J1,C4(1))->(J,C4), X2:(J2,C4(2))->(J,C4), 각각이 MF일 때,
X1*:(J1xJ2,PrC1)->(J,C4), X1*(x,y)=X1(x)
X2*:(J1xJ2,PrC1)->(J,C4), X2*(x,y)=X2(y) (그냥 X2 곱하기 (x,y)와 구분하기)
-ME:Measurable subset
-sf-ME:sigma finite measurable subset
-Null-ME:null measurable subset
-sM:signed Measure
+sM:positive variation of sM
-sM:negative variation of sM
|sM|:total variation of sM
f-sM:finite sM
ms:mutually singular
+ME(with respect to sM):positive measurable set
-ME(with respect to sM):negative measurable set
Null-sME(with respect to sM):null set(Null-ME와는 약간 다르게 정의됨,
Group
-G:group
-이항연산에 대해 닫혀있고
-associative
-항등원 존재
-역원 존재
-p-G:p-group
-group이면서 order가 p^a for some integer a>=0
-g:G의 원소를 가리킴
-S:subgroup
-p-S:p-subgroup
-subgroup이 order가 p^a for some integer a>=0
-Sp:Sylow p-subgroup
-어떤 G의 subgroup이 order가 p^a이면서 p^a||G| and p^(a+1) not | |G|일 때의 subgroup, 즉 the largest p-S in the sense of factor p
-#Sp:The number of all Sylow p-subgroup
-J(Sp):the set of all Sylow p-subgroup
-NS:normal subgroup
-S이면서 for all g in G, gSg^-1=S인 S
-MS:maximal subgroup(Measurable Space와 구분)
-proper S이면서 S를 포함하는 subgroup은 S와 G만 있는 subgroup
-MNS:maximal normal subgroup
-proper NS이면서 NS를 포함하는 normal subgroup은 NS와 G만 있는 normal subgroup
-S_<G:S is subgroup of G
-S_<!G:S is normal subgroup of G
-S char G:S is characteristic in G
-for all aut in Aut(G), aut(S)=S인 subgroup S
-conj(g):conjugate of g, e.g. x*g*x^(-1)
-homog:group homomorphism
-structure-preserving map between two algebraic structures(여기서는 two groups)
-
-S_J:Symmetric group on J
-모든 permutations on J들의 모임 with composite, 따라서 group
-act_J by G:action on J by G, GxJ->J
-act_J by g:permutation from action on J by g, J->J
-homo by act:homomorphism, G->S_J
-O_x:orbit of x under the action of G(필요하다면 in G on X등을 뒤에 적는다.)
-O_x:={y in X s.t. y=g act x for some g in G}
-G_x:stablizer of x in G
-G_x:={g in G s.t. g act x = x}
-Ker(act):kernel of act_J by G
-Ker(act):={g in G s.t. g act x =x for all x in X}
-즉 homo by act의 kernel이라 생각하면 쉬움
-
-Z(G):center of G
-Z(G):={g1 in G s.t. g*g1*g^(-1)=g1 for all g in G}
-C_G(E):centralizer of E on G
-C_G(E):={g in G s.t. g*z*g^(-1)=z for all z in E}
-즉 E가 center가 되게끔 하는 G의 원소들만 다 모은 것, 따라서 Z(C_G(E))=E가 성립할 것 같지만, E가 subgroup이 아니므로 안됨
(하지만 E가 subgroup이었다면 됨)
-N_G(E):normalizer of E on G
-N_G(E):={g in G s.t. g*E*g^(-1)=E}
-즉 E가 normal이 되게끔 하는 G의 원소들만 다 모은 것(하지만 E가 subgroup이 아닐 땐 조심)
-
-<g>:the group generated by g, i.e. cyclic group
-<E>:the smallest subgroup of G containing E
-
-[G:S]:index of S in G
-the number of left cosets of S in G
-
-G1 giso G2:G1 is group isomorphic to G2
-
-
-
-Aut(G):the automorphism group of G
-Aut(G):={all automorphism on G} with composite
-aut in Aut(G):the automorphism in Aut(G), 편의상 aut라 쓰기도 하자.
-Inn(G):the inner automorphism group of G
-inner automorphism이란 conjugation으로 만든 automorphism을 가리킨다.
-Inn(G)란 inner automorphism을 모두 모은 group with composite
-C(G):commutator subgroup of G
-C(G):=<all commutators>
-[g1,g2]:commutator of g1 and g2
-[g1,g2]:=g1^(-1)*g2^(-1)*g1*g2
-[E1,E2]:the group generated by commutators of elements from E1 and from E2.
-[E1,E2]:=<{[g1,g2] s.t. g1 in E1 and g2 in E2}>
-G1 ><! G2 (wrt homog:G2->Aut(G1)):(outer)semidirect product of G1 and G2(with respect to homog)
-
Ring
-R:ring
-(R,+):abelian group
-*:associative
-distributive laws가 성립일 때 (R,+,*):ring이라 한다. 줄여서 R이라 쓰기로 하자.
-r:ring의 원소
-R_[1]:ring with unity not zero
-R_[0]:ring without unity
-CR:commutative ring
-DR:Division ring
-SR:subring, (SR _< R)
-R의 subgroup이면서 closed under *인 것
-R^*:the set of units in R
-zd:zero divisor
-u:unit
-ID:Integral domain
-CR_[1]이 zd가 하나도 안가질 때 ID라 한다.
-R[x]:the ring of polynomials in the variable x with coefficients in R(R이 CR_[1]일 때를 생각할 때가 많다.)
-F(x):the field of rational functions
-P(x):polynomial
-RG:Group ring
-R:CR_[1]이고 G={g1,g2,...,gn}으로 finite group G이고
-계수는 R의 원소인 G의 linear combinations 모임으로, ring이 된다.
-riso:ring isomorphic
-homor:ring homomorphism
-Lid:Left Ideal
-Rid:Right Ideal
-id:ideal
-(E):the smallest id of R containing E
-RE:the set of all finite sums of elements of the form like RG, 비슷하게 ER, RER등도 정의 됨
-p-id:principal ideal
-M-id:Maximal ideal
-prm-id:prime ideal(CR_[1]에서만 논의)
-PID:principal ideal domain
Field
-F:Field
-acF:algebraically closed field
-acF란, F[x]의 원소 중 non-constant polynomial의 root가 F에 속할 때, F를 algebraically closed field라 한다.
-Q:the rational numbers field
-R:the real numbers field
-C:the complex numbers field
-OF:the ordered field
Module
Vector Space(LT는 inf-dim에 대해서 관심, MT는 Normed Vector Space에 정리)
-VS(F):Vector Space over F, ()언급 없으면 R을 가리킴
-f-dim:finite dimensional
-inf-dim:infinite dimensional
-x:any vector
-s:any scalar
-A:absorbing subset
-B:balanced subset
-V:convex subset
-AV:absorbing convex subset
-LT(VS1(F),VS2(F)):linear transformation from VS1(F) to VS2(F)
-LT(VS(F)):linear transformation from VS(F) to VS(F)
-LTC(VS1(F),VS2(F)):collection of all LT(VS1(F),VS2(F))
-LF(VS(F)):linear functional from VS(F) to R
-subLF(VS(OF), OF):sublinear functional from VS(OF) to OF
-subLF(VS):sublinear functional from VS to R
-convF(VS):convex functional from VS to ETR
-
Topological Space
-TS:Topological Space
-C4(TS):Borel sigma algebra
-NTS:normal space
-RTS:regular space
-CRTS:completely regular space
-KT2:compact Hausdorff space
-LKT2:locally compact Hausdorff space
-BM:Borel Measure on TS ( (TS,C4) where C4(TS)<C4인 C4, 에서의 measure를 BM이라 정의하도록 하자.)
-V:convex subset(strict total order relation을 가진 E에서만 생각)
-K:compact
-pre-K:precompact, i.e. closure가 compact인
-C:connected
-Gd:countable intersection of open sets
-Fd:countable intersection of closed sets
-top_X:X에서의 topology
-Prod(TS_i):Product TS
-cl(E):the closure of E
-nbd(x):neighbourhood of x
-open(x):open set containing x
-TS1 homeo TS2:TS1 is homeomorphic to TS2
-seq cv:converge
-seq {f_n} pt cv:pointwise converge
-SCcl(TS), TS:T3.5일 때, Stone-Cech Compactification
-
-R(std):real with the standard topology
-R(l):real with the lower limit topology
-R(K):real with K-topology
-Prod(R,n):R^n, with the product topology from the standard topology
-fCconti(TS1,TS2):the collection of all conti functions from TS1 to TS2
-fCconti(TS):the collection of all conti functions from TS to R(std)
-fCcontiV(TS):the collection of all conti functions from TS to R(std) s.t. eps {x in TS||f(x)|>=eps} is compact
-conti:continuous
-cl(~):closure of ~
-ocl:one-point compactification of LKT2
-sCez:R^N중 eventually zero인것들의 collection
-sClz:R^N중 limit이 zero인것들의 collection
-sCcv:R^N중 cv하는 것들의 collection
-CGT:compactly generated topological space
Algebraic Topology
-
-
Topological Vector Space
-TVS:topological vector space
-LVS:locally convex space
-GV:open convex subset
-sf(GV):supporting function of open convex GV containing 0(set function을 가리키는 sf와 헷갈리지 않도록)
-sf(AV):supporting function of absorbing convex AV containing 0
Metric Space
-(MetricS,d):Metric Space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 MetricS라 하자.
-(CMetricS,d):complete metric space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 CMetricS라 하자.
-(KMetricS,d):Compact Metric Space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 KMetricS라 하자.
-d_sb:the standard bounded metric corresponding to d.
-d_uni:the uniform metric on fC(J,(MetricS,d))
-d_sup:the sup metric on fCbdd(J,(MetricS,d))
-uni conti:uniform continuous
-uni cv:uni cv
-diam(E):diameter of E
-fCbdd(J,MetricS):the collection of all bounded functions from J to MetricS
-fCbdd(J):the collection of all bdd functions from J to R(std)
-fCcontibdd(TS,MetricS):the intersection of fCconti(TS,MetricS) and fCbdd(TS,MetricS)
-fCcontibdd(TS):the intersection of fCconti(TS) and fCbdd(TS)
-isom(MetricS1,MetricS2):isometry from MetricS1 to MetricS2
-cl(MetricS):the completion of MecticS
-totally bdd:totally bounded
-equiconti:equicontinuous
-pt bdd:pointwise bounded(under d)
-top of pt cv:topology of pointwise convergence
-top of compact cv:topology of compact convergence
-
Normed Vector Space
-NVS(F):normed vector space over F(별말없이 BS는 over R)
-|| ||:norm
-LTCconti(NVS1,NVS2):collection of all conti LT(NVS1,NVS2)
-NVS1 tiso NVS2:NVS1, NVS2 are topologically isomorphic
-NVS2 iiso NVS2:NVS1, NVS2 are isometrically isomorphic
-BS(F):Banach Space over F(별말없이 BS는 over R), complete NVS(F)
-L^p(MS):L-p space over MS
-L^p:L-p Space over R(LM)
-l^p:l-p space over N, counting measure
-MT(F)(mxn):matrix over the field F, size of mxn
(별말 없으면 F=C이고 크기는 nxn, 분명히 제시해줘야할 때는 field, size순을 제시)
-CMT:the collection of all matrix over F, size of mxn
-tr(MT):the trace of MT
-inv(MT):the inverse of MT
-det(MT):the determinant of MT
-JCF(MT):the jordan canonical form of MT
-ct(MT):the conjugate transpose of MT
-rt(MT):the transpose of MT
-lind:linearly independent
-Row(MT):Row space of MT
-Col(MT):Column Space of MT
-Null(MT):Null Space of MT
-MT1 =_sim MT2:similar
-MT1 =_usim MT2:unitary similar
-MT1 =_osim MT2:orthogonally similar
-MT1 =_psim MT2:permutation similar
-charP(MT):the characteristic polynomial of MT
-mP(MT):the minimal polynomial of MT
-egv(MT):eigenvalue of MT,
-egv(MT, egv):eigenvector of MT associated with egv, 그냥 egv라 쓰면 eigenvalue를 가리킴
-spec(MT):the set of all eigenvalues of MT
-specR(MT):the spectral radius of MT
-egS(MT, egv):the eigenspace of egv
-am(egv(MT)):the algebraic multiplicity of egv
-gm(egv(MT)):the geometric multiplicity of egv
-IMT:Identity Matrix
-NMT:normal matrix
-HMT:Hermitian matrix
-pdHMT:positive-definite HMT
-psdHMT:positive-semidefinite HMT
-SMT:symmetry matrix
-pdSMT:positive-definite SMT
-psdSMT:positive-semidefinite SMT
-UnMT:unitary matrix
-pdUnMT:positive-definite UnMT
-psdUnMT:positive-semidefinite UnMT
-OMT:Orthogonal matrix
-LMT:lower triangular matrix
-UMT:upper triangular matrix
-DMT:diagonal matrix
-dgMT:diagonalizable matrix
-IPS(F):inner product space over F
-HS:hilbert space
Application(목적위주로 적혀져야함, 기본 Basic은 위에 적혀져야하지만)
-Combinatorics
-ptt(n):partition of n>=1 integer
-#ptt(n):the number of all partitions of n>=1
-#ptt(n)_k:the number of all partitions of n>=1 into exactly k parts
-Geometry and Differential Geomety
*Theorems
Set Theory
-About Function f
-f^(-1)은 union, intersection, difference, inclusion을 모두 preserve함
-f은 inclusion과 union만 preserve함
-f가 1-1이면 f^(-1)(f(E))=E
-f가 onto이면 f(f^(-1)(E))=E
-About strict total order relation, < (trichotomous, transitive인 relation을 order relation이라 함)
-정의
-J with strict total order relation, E<J일 때
-a:largest element of E 란 a in E이고 x=<a for any x in E일 때
-a:upper bound for E란, a in J이고 x<=a for any x in E일 때
-E:bounded above란, te j in J s.t. for any x in E, x<=j일 때
-J have the least upper bound property란, every nonempty E of J that is bounded above has a least upper bound.
-Well-ordered
-정의:J with strict total order relation가 well-ordered란, every nonempty subset E of J has a smallest element
-성질:
-J가 well-ordered이면 largest element(존재한다면)빼고는 나머지 원소들은 immediate successor를 항상 가짐
-J가 well-ordered이면 least upper bound property를 만족한다.
-J가 well-ordered이면 J의 subset도 well-ordered
-J1, J2가 well-ordered이면 J1xJ2 with dictionary order도 well-ordered
-cartesian product는 intersection하고만 commute
-AΔB=A^C Δ B^C
-(a-union E_n) Δ (a-union F_n) < [a-union (E_n Δ F_n) ]
-(c-union E_n) 교 F = c-union (E_n 교 F)
-About Section
-J1xJ2의 subset E에 대해
-section은 complement, (arbitrarily)union, (arbitrarily)intersection, difference과 interchangable
-Map:J1xJ2->J3에 대해
-J3에 연산이 있었으면 section은 분배가능
-J3가 MetricS였다면, lim와 section이 interchangable
-Relation관련(symmetry, asymmetry, antisymmetry, reflexive, irreflexive, transitive, totality, trichotonmous)
-symmetry의 부정은 asymmetry도 antisymmetry도 아니다.
-reflexivity의 부정이 irreflexivity인게 아니다.
-asymmetry iff irreflexivity and antisymmetry
-order관련 relation은 transitive가 먼저 있어야함
-equivalence relation은 reflexive, symmetry, transitive
-(Well-ordering Principle)N의 nonempty subset은 smallest element를 갖는다.
-
-4가지 공리들에 관하여(AOC, HMP, WOT, ZL)
-(AOC), Given a collection C of disjoint nonempty sets, te a set D consisting of exactly one element from each element of C
-(Existence of a choice function), Given a collection C of nonempty sets, te a function c:C->union E in C s.t. c(E) is an element of E, for each E in C,
-(Well-ordering Theorem)임의의 E에 대하여, te strict total order relation s.t. E is well-ordered
-(Existence of S_Z)te uncountable well-ordered set s.t. every section is countable
-(HMP)E with strict partial order relation, te maximal subset F with strict total order relation
-(ZL)E with strict partial order relation이고 every subset F of E with strict total order relation has an upper bound in E이면 E는 maximal element를 갖는다.
-(Euler's Theorem)gcd(n1,n2)=1 이면 (n1)^ephi(n2) ≡ 1 (mod n2)
-(Euclid Algorithm)gcd(n1+n2*n3,n3)=gcd(n1,n3)
-Set Structure의 정의
1. PC:closed under f-intersection
2. LC:empty랑 전체갖고, closed under the complement, closed under the disjoint c-union
3. SC3:PC이고 각 원소의 complement가 disjoint f-union in SC3로 쓰여지는 것(전체집합을 가지거나 말거나)
(RSC3:PC이고 각 원소의 relatively complement가 disjoint f-union in RSC3로 쓰여지는 것(전체집합을 가지거나 말거나))
4. C3:empty랑 전체갖고, closed under the complement, closed under the f-union
(RC3:closed under the relatively complement, closed under the f-union)
5. C4:empty랑 전체갖고, closed under the complement, closed under the c-union
-About Premeasure, Outermeasure, measure, product measure, signed measure etc
-collection of subsets 관련 성질
-RSC3, RC3 모두 empty는 갖지만, 전체집합을 갖지 않을 수 있다.
-SC3->(disjoint f-union모으면)C3->(disjoint c-union모으면)C4됨
-RSC3->(disjoint f-union모으면)RC3
-RSC3<SC3, RC3<C3
-(Monotone Class Theorem):MC(C3)=C4(C3)(link)(특히 C3가 MC이면 C4가 된다.(link))
-C3가 finite이면 C4이다.
-About C3
-closed under complement, f-intersection, f-union, relatively complement
-{C3_n}이 inc이면 c-union C3_n은 C3가 된다.
-collection of subsets:C3 iff closed under relatively complement and containing 전체집합
-About C4
-C4는 closed under c-union, c-intersection, complement, relatively complement
-C4는 확률론에선, 가진 information을 표현하는 한 기법이다.
-{C4_n}의 c-union은 C4가 안된다.(inc하더라도 안됨)
-C4(C)는 전체 집합 J에서 C의 원소들로 쪼개진 the finest partition의 원소들의 union+empty이다.
-countable infinite C4는 존재하지 않는다.(link)`
-J1<J2, C4 of J2가 있을 때, J1에 C4를 induce하는 방법은 J1교C4(link)
-J1<J2, C:collection of subsets in J2에 대해 C4(C)교J1은 J1의 C4가 되고 C4(C)교J1=C4(C교J1)
-f:J1->(J2,C4),
-f^(-1)(C4)는 C4 on J1이 된다.
-f:J1->J2, C:collection of subsets of J2, f^(-1)(C4(C))=C4(f^(-1)(C))
-About PC, LC
-LC need not be closed under f-intersection
-C:a collection일 때 LC(C) < C4(C)
-(Dynkin's Theorem)PC<LC이면 LC(PC)=C4(PC) < LC
(즉 PC가 LC에 포함되면 PC의 확장은 LC를 벗어나질 못함)
-LC가 PC이기도하면 LC는 C4가 된다.
-Sequence of sets and indi의 성질
-liminf(E_n)의 해석
-te k in N s.t. for n>=k, x in E_n인 x들의 모임
-c-sum indi_(E_n^C) (x) <inf인 x들의 모임
-limsup(E_n)의 해석
-for infinitely many k in N, x in E_k인 x들의 모임
-c-sum indi_(E_n)(x)=inf인 x들의 모임
-liminf(E_n)=<limsup(E_n)
-[liminf(E_n)]^C = [limsup(E_n^C)]
-limsup(E_n U F_n) = limsup(E_n) U limsup(F_n)
-liminf(E_n 교 F_n) = liminf(E_n) 교 liminf(F_n)
-limsup(E_n 교 F_n) < limsup(E_n) 교 limsup(F_n)
-liminf(E_n U F_n) > liminf(E_n) U liminf(F_n)
-liminf(E_n)=limsup(E_n)일 때, lim (E_n)정의함
-lim (E_n), lim (F_n)이 있을 때, lim은 union에 대해 분배법칙 성립, lim은 intersection에 대해 분배법칙 성립
-E1<E2일 때, indi_E1 <= indi_E2
-indi_E^C = 1 - indi_E
-indi_inf(E_n) = inf(indi_(E_n))
-indi_liminf(E_n) = liminf indi_(E_n)
-indi_limsup(E_n) = limsup indi_(E_n)
-indi_sup(E_n) = sup(indi_(E_n))
-indi_union(E_n) <= sum indi_(E_n)
-indi_E1ΔE2 = indi_E1 + indi_E2 (mod 2)
-{E_n}:inc일 때, lim(E_n)=union E_n
-{E_n}:dec일 때, lim(E_n)=intersection E_n
-nnn sf에 관한 성질
-f-additive이면 monotone(if)성립
-empty->0일 때, f-additive(if) and countably monotone1 iff c-additive(if)
-OM, OME관련 성질
-OM정의:
sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, countably monotone1
-OME정의:
OM(A)=OM(A교E)+OM(A-E) for any A in P(J)일 때 E를 OME라 함
-OM성질
-충분조건
-nnn sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, countably monotone1 for {J_n}:disjoint, has finite value
-nnn sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, monotone, countably monotone2 for {J_n}:disjoint, has finite value
-필요조건
-monotone
-건설법
-nnn sf:C2->[0,inf]가 empty->0이기만하면 (nnn sf)*:P(J)->[0,inf]로 확장하며 건설가능
-PM* (PM on C3로 induce한 OM)의 성질
-PM*는 PM의 extension이다.(즉 C3상에서는 PM*과 PM은 같음)
-for E in C3, E는 PM*ME
-{all PM*ME}는 C4가 됨 -> C3(U), C3(I), C3(U)(I), ... 각각의 원소들 모두 PM*ME됨도 앎
-PM*는 r-OM
(구체적으로, for any E in P(J) and for any eps, te E1 in C3(U) s.t. E<E1 and PM*(E1)<=PM*(E)+eps)
(게다가 for any E in P(J), te E2 in C3(U)(I) s.t E<E2 and PM*(E)=PM*(E2))
-E가 PM*ME iff te E2 in C3(U)(I) s.t. E<E2 and PM*(E2-E)=0
(only if를 보일 때는 sf-PM일 때만 가능)
-restriction of PM*
-to C4(C3)
-PM*는 M이 된다.
-C3(U)까지는 다른 measure, which is a extension of PM, 과 PM*는 같아짐
(즉 for E in C3(U), M(E)=PM*(E) where M is a extension of PM)
-C4(C3)까지는 다른 measure, which is a extension of PM, 보다 약간 클 수 있음
(즉 for E in C4(C3), M(E)<=PM*(E) where M is a extension of PM)
(단, PM*(E)<inf이면 M(E)=PM*(E) for E in C4(C3)됨)
-sf-PM이었다면, C4(C3)으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-to {all PM*ME}
-sf-PM이었다면, {all PM*ME}으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-CM
(C3<C3(U)<C3(U)(I)<C4(C3)<{all PM*ME})<P(J))
(이 때 nnn sf s.t. empty->0, f-additive(if), countably monotone2(if) for {J_n}:disjoint로 induce생각가능)
(위 sf는 C3로 extension되고 unique한 PM됨을 이용)
-(sf-M,C4)로 induce한 OM, 이 경우 {all OME}로의 restriction은 (sf-M,C4)의 completion
-SC3에서의 nnn sf로 extension
-nnn sf:SC3->[0,inf], empty->0, f-additive(if), countably monotone2(if)(dis)로 OM induce가능
(조금 더 좋은 조건은 애초에 SC3에서 PM이기만 해도 됨)
-C3(SC3)에서의 unique PM, which is the extension of nnn sf on SC3
-nnn sf가 sigma-finite였다면 unique PM on C3(SC3)도 sigma-finite
(C3에서의 PM으로 induce한 PM*논의 가능)
-RSC3에서의 PM으로 extension
-RC3(RSC3)에서의 unique PM, which is the extension of PM on RSC3
-PM on RSC3가 sf-PM이었다면, unique PM on RC3도 sf-PM
-unique PM on RC3로 induce한 PM*에 대해서
-sf-PM이었다면, C4(RSC3)으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-sf-PM이었다면, {all PM*ME}으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-{all PM*ME}에서 CM
-OME성질
-OM(A)=OM(A교E)+OM(A-E) for A in P(J) s.t. OM(A)<inf만 판정해도 OME판정 가능
-{all OME}은 C4가 된다.
-OM(E)=0이면 E는 OME
-기타성질
-{all OME}는 C4가 된다.
-restriction of OM to {all OME}는 CM이 된다.
-E1<E2 in P(J)에 대해 OM(E2-E1)=OM(E2)-OM(E1)이 성립하려면 E1:OME and OM(E1)<inf인 게 필요
-E1<E2 in P(J)에 대해 OM(E2-E1)=0이면 OM(E2)=OM(E1) (역은 성립 안함, 즉 OM(E2-E1)=0이 강함)
-OM1, M:restriction of OM1 to {all OM1ME}, OM2:OM induced by M일 때
-OM1<=OM2
-OM1(E)=OM2(E) iff te OM1ME E1 s.t. E<E1 and OM1(E)=OM1(E1)
-OM1이 r-OM iff OM1(E)=OM2(E) for any E in P(J)
-PM관련 성질
-PM정의:
sf:C1->[0,inf]가 empty->0, c-additive(if)
-PM성질:
-f-additive(if)
-monotone(if)
-domain이 C3에서는
-monotone
-f-additive
-countably monotone1
-domain이 C4에서는 PM은 M이 된다.
-M, ME관련 성질
-ME관련
-{E_n}:ME이면 sup E_n, inf E_n, liminf E_n, limsup E_n 모두 ME
-Null-ME라 해서 subset이 Null-ME인지는 모름(Completion개념 필요)
-Measure Space(J1,C4,M)를 complete하게 만드는 방법은 C4을 C4'으로 확장한다.
-C4`={ME union subset of Null-ME}
-sf-ME의 c-union, c-intersection모두 sf-ME가 된다.
-M관련
-(Measure Equality)
:(J,C4)에서 M1, M2가 있을 때, C={E in C4 s.t. M1(E)=M2(E)}는 LC된다.
:(J,C4)에서 M1, M2가 있을 때, C가 PC이고, M1=M2 on C이면 M1=M2 on C4(C)
(즉 (R(std), C4(TS))에서 C4(TS)의 PC인 subcollection에서 ProbM1과 ProbM2가 서로 같으면 ProbM1=ProbM2 on C4(TS))
(구체적으론 DF1 from ProbM1과 DF2 from ProbM2가 같으면 ProbM1=ProbM2 on C4(TS))
(따라서 ProbM on (R(std), C4(TS))는 DF에 의해 uniquely determined)
-monotone
-(Conti from Below){E_n}:ME and inc이면 M(lim E_n)=lim M(E_n)
(C4에서 nnn set function이 Conti from Below and finite-additive이면 the set function은 Measure가 된다.)
(C4에서 nnn set function(J)<inf이면 Conti from ABoce and finite-additive이면 the set function은 Measure가 된다.)
-(Conti from Above){E_n}:ME and dec and M(E_1)<inf이면 M(lim E_n)=lim M(E_n)
-M(c-intersection E_n) <= M(liminf E_n) <= liminf M(E_n) <= limsup M(E_n) <= M(limsup E_n) <= M(c-union E_n)
(link)
-(Borel-Cantelli Lemma) c-sum M(E_n) < inf이면 M(limsup E_n)=0
-f-M/sf-M/smf-M 관련
-f-M일 때는 Probability Measure 참조
-M이 있으면 smf-M도 만들 수 있고 M=smf-M + M2으로 decomposition가능, 이 때 M2는 0과 inf만 가짐
-smf-M(ME)=inf일 때, for any n in N, te F<ME s.t. F:measurable and n<=smf-M(F)<inf(link)
-sf-M의 합도 sf-M이 된다.
-Product Measure관련(PrM(M1,M2))
-PrM과 Product C4만드는 과정(link1)(link2)
Step1-MR다 모은 것이 SC3됨, SC3상에서 적절한 nnn set function정의
Step2-PM on C3을 얻고, PM* on PM*C으로의 restriction을 PrM이라 한다.
(Real Analysis에선 Product C4를 C4({All PM*-ME})로 보고, Probability Theory에선 C4(C3({All MR}))로 본다.)
Tonelli와 Fubini Theorem으로 가는 Step
Step0 PrM의 유일성과 Completeness
-sf-M1, sf-M2로 만든 PrM는 sf-, unique, CM이다.
Step1 About PrC1
-PrC1의 원소의 section은 각 M1, M2의 C4의 원소가 된다.(using C4-Techniques)(link)
-MF on (X1×X2, PrC1)의 section은 MF on (X1,C4), on(X2, C4) 된다.(link)
-sf-M1, sf-M2, PrC1
-f-M1, f-M2일 때 먼저 해결(link1)(link2)
-sigma finite일 때로 확장(link3)
Step2 About PrC2
-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrM(E)=0인 E의 section은 각 sf-CM1=0, sf-CM2=0 a.e.(link)
-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrC2의 원소의 section은 각 sf-CM1, sf-CM2의 C4의 원소가 된다. a.e.(link)
-sf-CM1, sf-CM2, PrC2(link)
-sf-CM1, sf-CM2, nnn MF on (X1×X2, PrC2)(using simple+MCT)(link)
-sf-CM1, sf-CM2, integrable on (X1×X2,PrC2)(using Tonelli)(link)
note)(MF의 section말고 완전히 쪼개질 수 있는 case의 경우)
-MF1 on (X1,M1,C1_1), MF2 on (X2,M2,C1_2)-> MF1*MF2는 MF on (X1xX2, PrC1)(using simple)
-g1:integrable on X1 wrt M1, g2:integrable on X2 wrt M2->f=g1*g2:integrable on X1xX2 wrt M1xM2
게다가 int f d(M1xM2)=int g1 dM1 * int g2 dM2(using simple+integrable func)
note)counting measure에서의 Tonelli, Fubini theorem의 의의
Tonelli:double series interchangable when nnn sequence
Fubini:double series interchangable when abs cv double series
(abs cv double series란 |seq|의 finite partial sum의 double limit:finite을 가리킨다.)
-Measurable Function관련(f:(J1,C4(1))->(J2,C4(2), 특히 rdv도 MF인 것을 고려)
-(iff)C4(2)의 generating set의 inverse image가 C4(1)에 속한다.
-f^(-1)(C4(2))는 C4가 된다. 따라서 f는 f^(-1)(C4(2))-measurable(C4(1)이 무엇이든 항상 가능)
-MF의 정의역에 Measure가 있으면 공역에도 Measure를 건설할 수 있다.(by using MF, M)
-MF와 MF가 composite하면 MF를 얻는다.(conti(MF)인 경우가 많음)
-C(MS)에서 MF인 f가 있다면 MS에서 MF인 g를 만들 수 있다. s.t. f=g CM-a.e.
-CMS에서 MF인 f, f=g CM-a.e.이면 g도 MF
-(J2,C4(2))=(ETR,C4(TS))인 경우
-(J1,C4(1))의 measure가 f-M인 경우는 rdv을 참조
-g:erv이고 {MF_n}:rv, pt cv a.e. to g이면 g가 MF iff M은 complete
-MF판정법
-monotone이면 MF된다.(정의역에 ordering이 있을 때)
-C4(TS)의 generating set에 대해서만 판단하여도 된다.
-(J1,C4(1))=(TS,C4(TS))인 경우, conti이면 MF된다.
-{MF_n, 각 정의역 C4(1)이 같을 때}(적분관련 convergence는 더 밑에 있음)
(http://www.johndcook.com/modes_of_convergence.html 참조, well-organized)
-sup MF_n, inf MF_n, limsup(MF_n), liminf(MF_n) 모두 MF가 된다.
-{x in J1 s.t. lim MF_n(x) exists}는 C4(1)의 원소가 된다.(link)
-{MF_n}:cauchy in M이면 te subseq of {MF_n} and MF s.t. the subseq pt cv a.e. to MF(link)
-{MF_n}:cauchy in M iff {MF_n}:cv in M(link1)(link2)
-{MF_n}:cv in M이면 every subseq of {MF_n}도 cv in M
-{MF1_n}:cv in M, {MF2_n}:cv in M이면 {MF1_n + MF2_n}도 cv in M, {MF1_n * MF2_n}도 cv in M
(곱은 f-M에서만 가능)
-{MF_n}:pt cv a.e. (real-valued), g:(R,C4(TS)->(R,C4(TS)):conti이면 {g(MF_n)}도 pt cv a.e.
-{MF_n}:cv in Lp이면 cv in M(0<p<inf)(link)
-{MF_n}:cv in Lp이면 ||MF_n||_p 은 ||MF||_p로 수렴(역은 성립 안함)(1<=p<=inf)(link)
-{MF_n}:rv a.e., almost uni cv이면 {MF_n}:pt cv a.e.
-{MF_n}:rv a.e., almost uni cv이면 {MF_n}:cv in M
-(Scheffes's Lemma for MF_n)(link)
:{MF_n}:cv in L1 iff lim n->inf sup over E in C4 [int over E MF_n - int over E MF]=0
-{MF_n}가 있을 때, {x|lim MF_n(x) exists}는 ME
-{All nnn measurable simple functions}의 성질
-Vector Space over R
-곱셈, finite sup, finite inf에 closed
-적분(int)정의함
-int은 linear, monotone
-{ME_n}:inc이고 S:nnn measurable simple function일 때,
int(S over c-union(ME_n))=lim n->inf int(S over ME_n)
-{nnn MF}의 성질
-Closure in the top of pt cv in the function space {All nnn measurable simple functions}={nnn measurable functions}
-+, *, 양의 실수곱에 대해 닫혀 있음
-(Approximation by Simple Functions)(S_n을 seq of simple function이라 하자.)(link)
-nnn MF가 있으면 te {S_n} s.t. nnn, simple measurable and pt cv to MF
-게다가 {S_n}은 MF가 bdd인 J1의 subset에서는 uni cv하게 됨
-(J1,C4(J1))에 sf-M가 있었다면, {S_n}을 finite support인 걸로 잡을 수 있음
(여기서 finite support는 TS에서와는 조금 다르게 생각, 즉 closure인 걸 빼고 생각하자, 정의역에 Topology가 있었다면 finite support 그대로 생각 해도 무관)
-MF(nnn일 필요는 없는)가 있으면 te {S_n} s.t. 0<=|S_1|<=|S_2|<=...<=|MF| and pt cv to MF
-게다가 {S_n}은 MF가 bdd인 J1의 subset에서는 uni cv하게 됨
-적분(int)정의함
-int(f over J)=0 iff f=0 a.e.
-monotone seq of nnn measurable simple functions을 이용하여 적분 정의
-혹은 그냥 seq of nnn measurable simple functions의 적분의 sup으로도 정의함
(전자로 정의하면 well-definedness 보여야)
-(Monotone Convergence Theorem)
:{nnn MF_n}:inc pt cv a.e. to MF일 때, lim과 int change가능(link)
-{nnn MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 f_n<=f a.e. (즉 inc대신)일 때, lim과 int change가능
-(Series and Integral)
:{nnn MF_n}, series랑 int change가능
-(Fatou's Lemma)
:{nnn MF_n}에 대해 int(liminf MF_n)<=liminf(int(MF_n)) (link)
-적분은 monotone, linear(스칼라곱은 양수에 대해서만)(link)
-nnn MF가 Integrable하면
-MF^(-1)(MF=inf)은 Null-ME
-MF^(-1)(MF>0)은 sf-ME
-일반적인 MF(nnn일 필요 없는)의 적분(X를 MF라 하자.)
-quasi-integrable
-정의:int(X^+)<inf or int(X^-)<inf iff int(X)<inf
-X:quasi-integrable->int(a*X)=a*int(X) for a in R
-linearity when {int(X^+)<inf and int(Y^+)<inf} or {int(X^-)<inf and int(Y^-)<inf}이면 int(X+Y)=int(X)+int(Y)(link)
-integrable
-정의:int(X^+)<inf and int(X^-)<inf iff int(|X|)<inf
-M(E)=0인 E에 대해 int over E MF=0(정의 생각)
-integrable한 f,g에 대해 linearity, monotone
(Integration의 additive는 둘다 nnn MF(즉 같은 부호)이거나, 둘다 integrable이거나, 같은 부호 part가 integrable이거나가 성립해야만 가능)
(f,g:integrable이면 max{f,g}, min{f,g}도 integrable이고, int max{f,g}=int f +int g - int min{f,g})
-MF:integrable이면 MF^(-1)(MF is nonzero)는 sf-ME(link)
-MF:integrable이면 epsilon(int of |MF|의 upperbound)-delta(적분 영역의 upper bound)가 성립(link)
-MF:integrable이면 epsilon(int |f| over J - int |f| over E)에 대하여 finite measure E 존재(link)
-MF:integrable이면 E_n={x in J s.t. |MF(x)>n|}에 대해 lim n->inf int over E_n |MF| =0
-MF:integrable이면 E_n s.t. lim n->inf M(E_n)=0에 대해 lim n->inf int over E_n |MF| =0(link)
-uniformly-integrable (u.i.)
-정의:{MF_i}:u.i. iff lim a->inf sup over k [int over {|MF_i|>a} |MF_i|]=0
({MF_n}일 때는 iff {MF_n}:D-Martingale 도 됨)
-성질
-{MF}, MF:integrable이면 {MF}:u.i.
-{MF_i}, |MF_i|<=g, g:integrable이면 {MF_i}:u.i.
-{MF_1,MF_2,...,MF_n}(finite sequence), 각각이 integrable이면 {MF_1,...,MF_n}:u.i.
-{MF1_i}, {MF2_i}:u.i., |MF1_i|<=|MF2_i|이면 {MF1_i}:u.i.
-(Crystal Ball Condition)(link)
:a>0, b>0에 대해 sup over i int |MF_i|^(a+b)<inf이면 {|MF_i|^a}:u.i., {|MF_i|^b}:u.i.
-(Crystal Ball Condition, General)(link)
:te g:[0,inf)->[0,inf) s.t. lim x->inf g(x)/x =inf and sup over i int g(MF_i)<inf이면 {MF_i}:u.i.
-f가 integrable이고 f=g a.e. 이면 int(f)=int(g) and g도 integrable
-f가 integrable이면 f=g a.e. iff int over E (f) = int over E (g) for any E in PC generating C4(link)
-(Integral Comparison Lemma)
:(J,C4,M), C:sub sigma-algebra of C4, f:C-measurable, g:C-measurable일 때
-f=g a.e. iff for any E in C, int over E f dM = int over E g dM
-f>=g a.e. iff for any E in C, inter over E f dM >= int over E g dM
-int (|MF|)=int over [0, inf) M(|MF|>t) dt(link)
(특히, nnn인 MF에 대해서 이용됨)
-(Monotone Convergence Theorem)(link)
:{MF_n}:inc, pt cv a.e. to MF f이고 f_n>=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능
:{MF_n}:dec, pt cv a.e. to MF f이고 f_n<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능
(pt cv a.e. to MF f 대신 cv in M와도 Monotone Convergence Theorem성립)
-(Series and Integral)
:g=series from k=1 to k=inf |MF_n|이 integrable이면 series랑 int change가능
-(Fatou's Lemma)
:{MF_n}에 대해 MF_n>=g a.e., g:integrable이면 int(liminf MF_n)<=liminf(int MF_n)
:{MF_n}에 대해 MF_n<=g a.e., g:integrable이면 limsup(int MF_n)<=int(limsup MF_n)
-(Dominated Convergence Theorem)
:{MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능
:{MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 cv in L1도 됨
:{MF_n}:cv in M, |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능, cv in L1도 됨(link)
-(Transformation Theorem)(link1)(link2)
:T:(J1,C4(1), M1)->(J2,C4(2)), Y:(J2,C4(2))->(ETR,C4(TS))이고 X=Y(T), T,Y가 모두 measurable일 때
1. (J2,C4(2))에도 Mesure(M2라 하자.)를 줄 수 있다. using (J1,C4(1),M) and T
2. Y가 nnn이면 int over J1 X dM1 = int over J2 Y dM2
3. Y가 M2-integrable iff X:M1-integrable, 이 때, M2을 이용한 적분=M1을 이용한 적분
-Some Inequalities
-(Markov's Inequality)
:for a>0, M(|MF|>a)<=int(|MF|)/a(link)
-(Chebysheff's Intequality)
:for a>0, b=int(MF), M(|MF-b|>a)<=int(|MF-b|^2)/a^2(link)
-Lp-Space
-(0,inf]에서
-p-norm정의 Lp정의,
-Lp is a vector space over R
-0<a<b<c<=inf, Lb is subset of (La+Lc)(link)
-0<a<b<c<=inf, (La intersection Lc) is subset of Lb(link)
-Monotone Convergence Theorem, DCT 등 사용 가능(DCT이용하면 cv in Lp보일 수 있으나, MCT이용가능 한 상황이라 해서 cv in Lp는 알 수 없음)
-(0,inf)에서
-simple measurable function with finite support is in Lp
(여기서 finite support는 TS에서와는 조금 다르게 생각, 즉 closure인 걸 빼고 생각하자, 정의역에 Topology가 있었다면 finite support 그대로 생각 해도 무관)
-MF is in Lp일 때, 기존 pt cv simple measurable functions가 with finite support인걸로 가능
(use E_n:={x in J s.t. |MF(x)|>=1/n})
-[1,inf]에서(Norm정의가능)
-Holder ineq(conj(p,q,r)가능)(=은 (non zero a)f=(non zero b)g a.e.)(link)
-Minkowski ineq(=은 f=(nnn k)q a.e. or g=(nnn k)f a.e.)(link)
(무한합도 가능, MCT이용)
-Complete NVS(즉 BS됨)
-[1,inf)에서
-(0,1)에서
-기타
-lim p->inf ||f||_p = ||f||_inf되는 충분조건
(1) f-M
(2) f is in Lq (q in [I2 )(link)
-{M_n}관련, M_n:fixed C4->[0.inf], C4는 sigma algebra of J라 하자.
-inc이고 setwise cv to a set function f이면 f도 measure다.(link)
-setwise cv to a set function f인데 f(J)<inf이면 f도 measure다.(link)(보충 필요)
-signed measure, sM 관련
-정의
-sM
:(J,C4), set function sM on C4가 다음을 만족
-sM(empty)=0,
-sM assumes at most one of the +inf, -inf,
-for disjoint {E_n} in C4, sM(c-union E_n)=c-sum sM(E_n)(즉 c-additive, but, sM이 nnn은 아님)
-(+ME)(with respect to sM), if sM(subME)>=0 for subME<+ME
-(-ME)(with respect to sM), if sM(subME)<=0 for subME<-ME
-Null-sME if sM(subME)=0 for subME<Null-sME
-
-{+ME_n}의 c-union, c-intersection, difference도 +ME된다./{-ME_n}도 마찬가지
-+ME의 measurable subset(subME)도 +ME/-ME의 measurable subset(subME)도 -ME
-ME1<ME2, |sM|(ME2)<inf이면 |sM|(ME1)<inf이다.
(하지만 +ME에서는 sM(subME)<=sM(+ME)가 성립, -ME에서는 sM(subME)>=sM(-ME)가 성립)
(절댓값 생각하면, |sM(subME)|<=|sM(ME)|가 성립, ME가 +든 -든)
-(Conti from Below){E_n}:ME and inc이면 sM(lim E_n)=lim sM(E_n)
-(Conti from Above){E_n}:ME and dec and |sM|(E_1)<inf이면 sM(lim E_n)=lim sM(E_n)
-(Hahn Decomposition Theorem)(link1)(link2)
:(J1,C4(1),sM)이 있을 때, te +ME, -ME s.t. {+ME, -ME}:a partition of J1
(다른 +ME2, -ME2도 성립한다면, (+ME Δ +ME2)는 Null-sME)
(0<sM(ME)인 ME의 measurable subset E중 +ME이면서 0<sM(E)인 것이 존재한다.)
-sM은 항상 Maximum value와 Minimum Value를 assume한다.
-(Jordan Decomposition Theorem)(link)
:for any sM, te! two M1, M2 s.t. M1, M2:ms, sM=M1-M2(사실 M1은 +sM, M2은 -sM됨)
-sM, +sM, -sM, |sM| 과의 관계(+sM, -sM, |sM|모두 그냥 M이다.)
-sM:finite<->+sM:finite and -sM:finite
-sM:sigma finite<->+sM:sigma finite and -sM:sigma finite
-+sM(ME)=sup{sM(F)|F subset of ME and F:ME}, -sM(ME)=-inf{sM(F)|F subset of ME and F:ME}
(혹은 +sM(ME)=sM(ME intersection +ME), -sM(ME)=sM(ME intersection -ME), +ME와 -ME는 sM의 HD)
-(f:rv일 때)f:integrable wrt |sM|<->f:integrable wrt +sM and -sM
-sM1 ms sM2 <-> sM1 ms |sM2| <-> |sM1| ms |sM2| <-> sM1 ms +sM2 and -sM2
-sM1과 sM2 ms sM인 경우 linear combination of sM1 and sM2도 ms sM(well-defined되면)
-sM1<<sM2(Abs conti, (J,C4), 같은 C4에서의 signed measure에 관한 내용)
-정의:sM1<<sM2 if |sM1|(E)=0 for E in C4 s.t. |sM2|(E)=0
-성질:
-<<는 reflexive, transitive되나 antisymmetric은 안됨(따라서 equivalence 못만듦)
-sM<<M iff +sM<<M and -sM<<M
-sM1<<sM and sM2<<sM이면 sM1과 sM2의 linear combination(well-defined될 때)<<sM
-f-sM<<sM iff for any eps>0, te delta>0 s.t. for any E in C4 s.t. |sM|(E)<delta, |f-sM|(E)<eps
-(Radon Nikodym Theorem)(measure represented by integration over another measure)
:sf-M1 << sf-M2 이면 sf-M1을 represent하는 nnn rv MF가 존재, unique up to sf-M2-a.e.
:f-sM << sf-M 이면 f-sM을 represent하는 integrable wrt sf-M이 존재 unique up to sf-M-a.e.
(Probability Theory에서 rdv:(J,C4, ProbM)->(R^n(std), C4(TS)), F:=ProbM(rdv^-1)에 대해서
sf-M1=F, sf-M2=LM일 때를 주로 가리키고 이 때 얻은 nnn, rv, integraable, MF를 density of F라 한다.)
(Probability Theory에서 DF를 통해 density f를 단지 미분으로 구할 수 있는 상황은, DF << lebesgue이고 이러한 경우가 안될 때는 언제냐면, DF가 불연속점을 가질 때이다.
DF가 불연속점은 at most countable이고, DF가 미분 불가능한 점은 LM-a.e.이다.(Lebesgue's Theorem에 의해) 고로 DF가 거진다 미분가능하고 그때 density구할 수 있음. DF가 미분불가능할 때 density는 아무렇게나 정의해버려도 어쨌든 적분값은 상관없게 됨.)
(discrete rdv인 경우는, density=0 a.e.이므로 pmf로 새로이 정의한다.)
-integration over measure = integration over another measure
1. sf-M1 << sf-M2 이면 nnn, MF인 h의 integration over sf-M1 = hf의 integration over sf-M2인 nnn,MF, rv인 f 존재
2. f-sM << sf-M 이면 integrable h over |f-sM| 의 integration over |f-sM| = hf의 integration over sf-M인
-LDT(Lebesque Decomposition Theorem)의 여러 version
1. sf-M1, sf-M2가 있으면 sf-M1=sf-M3 + sf-M4 s.t. sf-M3 << sf-M2 and sf-M4 ms sf-M1(unique)
2. sf-sM, sf-M이 있으면 sf-sM=sf-sM2 + sf-sM3 s.t. sf-sM2 << sf-M and sf-sM3 ms sf-M
note)요약
1. HDT, JDT, LDT
2. RNT(1)(measure represented...), RNT(2)(integration = integration)
Group
-Subgroup Criteria
-E:finite->non-empty, closed under multiplication
-E:infinite->closed under multiplication, closed under taking inverse.
-About homog:G1->G2, S1 _< G1, S2 _< homog(G1) _< G2, NS1 _<! G1, NS2 _<! homog(G1)
-homog(S1) _< homog(G1)
-homog^(-1)(S2) _< G1
-homog(NS1) normal in homog(G1)
-homog^(-1)(NS2) normal in G1
(즉 S2, NS2든 homog(G1)에서 생각하면 된다.)
-|homog(g1)| | |g1|
-|homog(G1)| | |G2|, |homog(G1)| | |G1|
(따라서 |homog(G1)| | gcd(|G1|,|G2|) 이다.)
-|homog^(-1)(G2)| | |G1|
-|G1| | |G2|*|Ker(homog)| (이 자체는 너무 강함, Factor Group으로서 order 세는 것을 상기하는게 포인트)
-Z(G) _< C_G(~) _< N_G(~) _< G의 성질
-E
-Z(G) _< C_G(E) _< N_G(E) _< G
-C_S(E)=C_G(E)교S
-N_S(E)=N_G(E)교S
-E1<E2일 때 C_G(E2) _< C_G(E1)
-<g> _< C_G(g)
-C_G(<g>)=C_G(g)=N_G(g) _< N_G(<g>)
-C_G(E)=G iff E < Z(G)
-S
-C_G(Z(G)) = N_G(Z(G)) = G
-S _<! N_G(S)
-C_G(S) _<! N_G(S)
-N_G(S)/C_G(S) giso a subgroup of Aut(S) (Aut(S)를 먼저 조사해서 N_G(S)/C_G(S)에 반영할 수 있음)
-S가 abelian이면 S _< C_G(S)
-S _< Z(G)이면 C_G(S)=N_G(S)=G이고 S _<! G이다.
-|S|=2이면 N_G(S)=C_G(S)
-S1 _< S2, S2:abelian이면, S1 _< S2 _< N_G(S1)
-NS
-C_G(NS) _<! G
-N_G(NS)=G
-|NS|=2이면 NS _< Z(G) _< C_G(NS) = N_G(NS) = G
-기타
-Z(G) _<! G, Z(G)는 abelian normal subgroup of G
-C_G(G)=Z(G)=intersection over all subset A, C_G(A)
-G/Z(G) giso Inn(G)
-G/Z(G):cyclic iff G:abelian
(Generally, S _< Z(G) G/S:cyclic이면 G:abelian)(link)
-S1S2의 성질
-|S1S2|=|S1||S2|/|S1교S2| (즉 S1S2의 order와 S2S1의 order가 같음, S1S2 _< G인지는 아직 모름)(link)
-S1S2 _< G iff S1S2=S2S1
-S1S2 _< G 이면 S1 _< S1S2 and S2 _< S1S2 and S2S1 _< G
-S1 _< N_G(S2)(or S2 _< N_G(S1))이면 S1S2 _<G and S2S1 _< G (역성립안함)
-S1만 normal인 경우
-S1S2 _< G, S2S1 _< G(normal subgroup인지는 모름)
-S1S2=S2S1
-S1, S2 둘 다 normal인 경우
-S1S2 _<! G, S2S1 _<! G
-S1S2=S2S1인건 당연
-S1 union S2 _< G iff S1 _< S2 or S2 _< S1
-order(g)=order(conj(g))
-order(g1*g2)=order(g2*g1)
-order(g)=n일 때, order(g^a)=n/gcd(a,n)
-order(g)=n일 때, <g>의 generator는 ephi(n)개
-|G|=n and G:cyclic, m|n이면 te! S s.t. |S|=m(link)
-(Lagrange's Theorem)|G|<inf일 때, |S| | |G|, [G:S]=|G|/|S|
(G의 모든 S가 NS이면 Converse가 성립, 예를 들면 abelian인 경우)(link)
(p_n=prm, |G|=(p_1)^alpha1 * (p_2)^alpha2 ..., order가 (p_1)^alpha1, (p_1)^alpha1-1, ... 인 subgroup 존재, Sylow의 강한버전)
-|G|=prm이면 G giso Z_prm
-Normality Criteria
-Abelian Group의 모든 S는 NS이다.
-[G:S]=2이면 S는 NS이다.
-[G:S]=the smallest prm factor of |G|이면 S는 NS이다.(link)
-S _< Z(G)이면 S _<! G
-N_G(S)=G판단에 있어서 G의 generating set의 원소와, S의 generating set의 원소로만 판단해도 됨
-S:normal in G iff [S,G] _< S
-C(G) _< S이면 S는 normal(게다가 G/S는 abelian도 됨)
-대표적인 normal subgroup:Z(G), C(G), Z(G)의 subgroup, normalizer, Sp(Sp는 normal 아닐 수도 있지만, normal될 때가 잦음), C(G)를 포함하는 Subgroup,
-About Act_J by G(쉽게 act라 쓰겠다.)(Act에서는 Ker, G/Ker, Orbit, Stabilizer가 주된 관심)
-Ker(act) _< G_x _< G
-Ker(act) _<! G
-G/Ker(act) acts faithfully
-te act iff te homog by act(G->S_J)
-|O_x|= [G:G_x]
(O_x도 G의 약수여야 한다는 점)
-g*x1=x2라면, G_x2=gG_x1g^(-1)(link)
(즉, 같은 orbit안에 있었다면, stablizer가 서로 conjugate하고, 따라서 stablizer의 order도 서로 같다.)
(G=1이면 역은 성립 안함)
-G=S_[n], J=[n]일 때
-transitive, faithfully
-|G_i|=(n-1)!, O_i=[n]
-for g in S_[n], act_[n] by <g>의 orbits은 g의 cycles가 나온다.
-left multiplication action
-G=G, J=G, g1 act g2=g1*g2일 때
-G_g={e}
-G=G, J={left cosets of S}, g1 act g2S =g1g2S일 때
-Transitively, 따라서 Orbit은 1개뿐
-G_S=S
-G_(g1S)=g1Sg1^(-1)
-ker(act)=S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup
-|G|는 {[G:S]!*|S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup|}을 나눈다.
-Conjugation action
-G=G, J=P(G), g act E =g*E*g^(-1)일 때
-G_E=N_G(E)
-S giso (g act S)
-ker(homo)=Z(G)
-G=G, J=G, g1 act g2=conj(g2), 특히 g1*g2*(g1)^(-1)
-G_g=N_G(g)=C_G(g)
-|g|=|g1 act g|
-homo by act에 대해서, Ker(homo)=Z(G) and G/Z(G) giso Inn(G)
-Z(G)의 원소들의 orbit은 singleton set
-(Class Equation)|G|<inf일 때, |G|=|Z(G)|+sum [G:C_G(g_i)]
-NS _<! G일 때, 임의의 conjugacy class E는 E교NS=empty or E<NS이다.
-G=S_[n], J=S_[n]일 때(아래 Examples란과 중복될 수 있음)
-g2=(a1,a2,a3...)(b1,b2,b3)...로 cycle decomposition, g1*g2*g1^(-1)=(g1(a1),g1(a2),...)(g1(b1),g1(b2))....
-g1=conj(g2) iff g1과 g2가 같은 cycle type을 가짐
-S_[n]의 conjugacy classes의 개수는 #ptt(n)과 같다.
-E가 singleton이면 |C_(S_[n])(E)|구할 수 있음
-g가 commutator와 같은 cycle type을 가지면 conj(g)도 commutator가 된다.
-G=G, J=NS, g1 act g2 = g1*g2*g1^(-1)
-G_g=N_G(g)=C_G(g)
-for each g in G, conjugation by g is in Aut(NS)
-homo by act:G->S_NS인데, range를 줄여 G->Aut(NS)만 생각가능, Ker(homo)=C_G(NS)
(이때 conjugation by g on NS는 Aut(NS)의 원소이지만, Inn(NS)의 원소는 아닐 수 있다.)
-(Cauchy's Theorem)|G|<inf, prm||G|이면 G has an element of order(prm).(link)
-(First GISO Thorem)homog:G1->G2이면 ker(homog) _<! G1 and G1/ker(homog) giso homog(G1)
(NS존재 <-> homog 존재)
-(Second GISO Theorem)S1 _< G, S2 _< G, S1 _< N_G(S2)이면 S1S2 _< G, S2 _<! S1S2, S1교S2 _<! S1, S1S2/S2 giso S1/S1교S2
(주의:S1 _<! S1S2인지는 모른다. 성립안할 수도 있음)
(S1 _<! S1S2아니더라도, [S1S2:S1]=[S2:S1교S2]는 앎)
-(Third GISO Theorem)NS1, NS2, NS1 _<! NS2이면 NS2/NS1 _<! G/NS1, (G/NS1)/(NS2/NS1) giso (G/NS2)
(NS가 아니어도, S1 _< S2 _< G이면 [G:S1]=[G:S2][S2:S1]이 성립)(link)
-(Fourth GISO Theorem)NS가 있을 때, te bijection from {S s.t. NS _< S} to {S s.t. S _< G/N}
(NS _< S _< G인 S에 대해서, S _<! G iff S/NS _<! G/NS 을 얻을 수 있다.)
(주의:|G1|=|G2|, N1 giso N2, G1/N1 giso G2/N2라 해도 G1 giso G2인지는 모름)
-(Cayley's Theorem)Every G giso S _< S_G
-About Simple G
-(Feit-Thompson Theorem)G:simple, |G|:odd 이면 G giso Z_p for some p:prm
-(Jordan-Holder Theorem)1<|G|<inf이면 G는 composition series을 갖고(not unique), composition factors는 unique
(주의: G1 giso G2가 아니어도 same list of composition factors를 가질 수도 있다.)
-About char S of G
-필요조건:NS
-충분조건:given order, S is unique이면 S char G
-성질:
-S1 char S2 and S2 _<! G이면 S1 _<! G
-S1 char S2 and S2 char G이면 S1 char G
-대표적인 char S:C(G), Z(G)
-About Commutator
-g1g2=g2g1[g1,g2](where [g1,g2]=g1^(-1)g2^(-1)g1g2)
-for any aut in Aut(G), aut[g1,g2]=[aut(g1),aut(g2)], 즉 commutator를 aut에 적용해도 commutator됨
-C(G)의 원소 중 single commutator [g1,g2]로만 표현안되는 게 있을 수 있다.
-G/C(G):the largest abelian quotient group(만약 G/NS:abelian이면 C(G) _<! NS임)
-C(G) _< S이면 S:NS이고 G/S는 abelian
-C(G)를 구하는 방법
-G/NS해서 abelian되기만 하면 C(G) _< NS이므로, NS아무거나로 일단 quotient시켜 abelian인지 따져본다.
-About Direct Products,
-restricted direct product of the groups G_i는 normal subgroup in product of G_i
-elementary abelian group (p,n) (p:prm, n>=1인 interger)의 성질
-non identity 원소는 order가 p
-(p,n)일 때, order가 p인 subgroup의 개수는 (p^n -1) / (p - 1)
-
-(Recognition Theorem)NS1, NS2에 대해 NS1교NS2=1이면 NS1NS2 giso NS1 x NS2
(NS1NS2를 internal direct product of NS1 and NS2, NS1 x NS2를 external direct product of NS1 and NS2라 부른다.)
(즉, G에서 NS1, NS2 where NS1교NS2=1, 이 있으면, NS1와 NS2는 commute한다.)
(즉 direct product의 의의는
-smaller로 larger group만들거나
-finitely generated abelian을 cyclic factor로 쪼개거나
-non-abelian이더라도 factor들(NS인)로 쪼갤 수 있다는 것, 쪼개면, 각각은 commute하고 order가 작아 조사하기 쉬움)
-G_i to direct product 보존되는 것
-nilpotent
-About Semidirect Products
-G:solvable iff for any n s.t. gcd(n,|G|/n)=1, G has a subgroup S of order n.
-NS:solvable and G/NS:solvable이면 G도 solvable
-About nilpotent
-direct product해도 nilpotent
-subgroup도 nilpotent
-quotient group도 nilpotent
-(Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups)G:finitely generated abelian이면 free rank와 list of invariant factors가 유일하게 결정되고 invariant factor decomposition이 가능(반대로 list of invariant factors와 free rank만 결정해주면 finitely generated abelian group 1개를 결정할 수 있다는 것)
(따라서 finite abelian of order n은 n만 소인수분해해버리면claasification가능 by making list of invariant factors)
-finite abelian group의 성질
-invariant factor가 group을 결정하고 group이 invariant factor을 결정함, G:of type (n_1,n_2,...,n_k)으로 표현 가능
-|G|=n일 때, 다음을 만족해야함
-n_i>=2 for all i=1,2,...,k
-n_(i+1) | n_i
-n_1*n_2*...*n_k=n
(따라서 n_1은 n의 모든 prm factor을 가진다.)
-elementary divisors을 이용한 elementary divisor decomposition을 이용하면 |G|=n인 abelian group classification 쉬움
(왜냐하면 n_i에 관한 곱셈조건이 덧셈조건으로 바뀌기 때문)
(elementary divisors를 이용하여 finite abelian group classification한 다음에 표를 만들어 invariant factors로 표현!)
-infinite인데 finitely generated abelian인 group의 성질
-(Sylow's Theorem)(특정 order의 G이 not simple임을 보일 때 자주 사용)
-Sp는 항상 존재한다.(link)
(더욱 강력한 명제는, |G|=p^n*m, (hall divisor, p:prm), te S s.t. S _< G and |S|=p^k, for k=0,1,...,n)(link)
-p-S, Sp에 대해서, te g in G s.t. p-S _<g(Sp)g^(-1)(특히 Sp1과 Sp2 2개는 반드시 conjugate and giso)(link)(link)
(Sp1과 Sp2는 같은 p에 대해서 얘기, S(p1)과 S(p2)는 다른 p에 대해서 얘기)
-#Sp는 다음 2가지를 만족한다. #Sp ≡ 1 (mod p) and #Sp=[G:N_G(Sp)](link)(link)
(따라서 |G|=p^a1*other일 때(other의 factor에는 p가 없음) #Sp|other)
(따라서 |G|<inf and abelian G에 대해선 #Sp=1)
-TFAE
-#Sp=1
-Sp:NS
-Sp char G
-All subgroups generated by elements of prm power order are p-G
-Sp의 성질들
-NS교Sp:sylow p-subgroup in NS(link)
-Classification Steps
-|G|를 통해 proper NS를 찾는다.(Sp같은 걸로다가)
-complement를 구한다.
-NS와 complement 각각을 조사한다.
-semidirect product를 위한 homog를 만들어 본다.
-NS, complement와 homog를 이용하여 semidirect를 만들고 non-isomorphic인걸 나열
-|G|=prm일 때
-G giso Z_prm
-p-G일 때
-Z(p-G)는 nontrivial
-NS가 nontrivial이었으면 NS 교 Z(p-G)도 nontrivial(link)
-|p-G|=prm^2이면 abelian이고 Z_prm x Z_prm 이거나 Z_(prm)^2
-Sp는 자기자신, unique
-(Fixed Point Congruence)J:finite set, act_J by G에 대해, |J|≡|{fixed points}| (mod p)(link)
-|G|=p^m일 때, G has a normal subgroup of order p^n for 0<=n<=m(link)
-|p-G|=(prm)^3이면
-abelian이면
-총 3개의 group이 있음 up to giso
-non-abelian이면
-Z(p-G)=C(p-G)
-|G|=prm1*prm2일 때(prm1<prm2)
-prm1이 (prm2 - 1)을 나누지 않으면 G는 cyclic
-Sp(p=prm2) :NS
-
-|G|=prm1*prm2*prm3일 때(prm1<prm2<prm3)
-not simple(link)
-기타 성질들
-subgroup의 intersection은 subgroup
-normal subgroup의 intersection은 normal subgroup
-[G:NS]=m이면 for all g in G, g^m is in NS.
-NS:Hall subgroup이면 |NS|=|S|인 S는 NS뿐이다.(link)
-normality나 abelian이나 generating set의 원소들에 대해 판정하면 충분
-S1S2, NS1NS2 등 subgroup곱을 이용
-Matrix Group관련
-기초 용어
-MLG(Matrix Lie Group)이란 GL(n:C)의 subgroup이고 closed in GL(n:C) in the terms of entrywise convergence
(cv인 matrix seq를 잡았을 때 limit을 포함하거나 아니면 not invertible이거나)
-Compact MLG란
-cv인 matrix seq를 잡았을 때 limit을 포함하는 경우(not invertible말고)
-성분이 bdd되는 경우
위 2가지를 만족할 때의 MLG를 Compact MLG라 한다.
-connected MLG란, path-connected MLG를 가리킨다.(MLG인 경우 connected->path-connected가 성립해버림)
-성분이 R(std)인 Matrix Group
-GL(n:R):={MT in MT(R) s.t. MT:invertible} with matrix multiplication
-MLG
-not compact
-not connected(components 2개, GL(n:R)^+와 GL(n:R)^-)
-GL(1:R)은 R^* with multiiplication와 giso
-GL(n:R)^+:={MT in GL(n:R) s.t. det(MT)>0}
-GL(1:R)^+는 R with addition과 giso
(비슷하게 R^n with addition은 {MT in GL(n:R) s.t. MT:DMT with all positive diagonal} with matrix multiplication과 giso)
-SL(n:R):={MT in GL(n:R) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-not compact(n=1일때만 compact)
-connected
-O(n):={MT in GL(n:R) s.t. MT:preserve inner product}
-MLG
-compact
-not connected(components 2개)
-MT in O(n)
iff MT의 column vectors가 orthonormal
iff MT:OMT
-MT in O(n)이면 det(MT)=1 or -1
-reflection과 rotation모음
(all linear distance-preserving maps이므로 subgroup of E(n)이 됨)
-SO(n):={MT in O(n) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-compact
-connected
-SL(n:R)과 O(n)의 intersection, 따라서 subgroup of SL(n:R), subgroup of O(n)
-rotation 모음
-SO(2)에 대해서
-FHG(SO(2),x) giso (Z,+)
-SO(n)에 대해서
-n>=3일 때
-FHG(SO(n),x) giso (Z/2Z, +)
-O(n:k):={MT in GL(n+k,R) s.t. MT:preserve Lorentz bilinear}
-MLG
-not compact(k나 n중 0이면 compact됨)
-not connected
-subgroup of GL(n+k,R)
-MT in O(n:k)
iff MT의 column vector의 Lorentz bilinear로 묘사가능
iff rt(MT)*g*MT=g for g=대각행렬, 성분이 첫 n개는 1, 이후 k개는 -1인
-MT in O(n:k)이면 det(MT)=1 or -1
-O(n:1)에 대해서
-O(3,1)을 Lorentz Group이라 한다.
-not connected(components 4개)
-SO(n:k):={MT in O(n:k) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-not compact
-not connected
-SO(n:1)에 대해서
-not connected(components 2개)
-SO(n:1)_identity(SO(n:1)의 connected components중 IMT를 포함하는 것을 가리킴)
-Sp(n:R):={MT in GL(2n,R) s.t. MT:preserve skew-symmetric bilinear}
-MLG
-not compact
-n=2일 땐 MT=(v1, v2), v1=(a,b), v2=(c,d)인 column vector일 때, ad-bc=1인 matrix의 모임
-HSBG={MT in GL(3,R) s.t. MT:UMT, 대각성분이 모두 1}
-MLG
-not compact
-connected
-성분이 C(std)인 Matrix Group
-GL(n:C):={MT in MT(C) s.t. MT:invertible} with matrix multiplication
-MLG
-not compact
-connected
-GL(1:C)는 C^* with multiplication과 giso
-SL(n:C):={MT in GL(n:C) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-not compact(n=1일때만 compact)
-connected
-U(n):={MT in GL(n:C) s.t. MT:preserve complex inner product}
-MLG
-compact
-connected
-MT in U(n)
iff MT의 column vectors가 orthonormal
iff MT:HMT
-MT in U(n)이면 |det(MT)|=1 (|복소수|=1, 즉 크기가 1인 것만 앎)
-U(1)은 {z in C s.t. |z|=1} with multiplication과 giso
-FHG(U(n),x) giso (Z,+)
-SU(n):={MT in U(n) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-compact
-connected
-SU(2)에 대해서
-FHG(SU(2),x)=trivial, 즉 simply connected
-O(n:C):={MT in GL(n:C) s.t. MT:preserve simple bilinear}
-MLG
-not compact
-MT in O(n:C)
iff MT:OMT(성분이 complex지만...rt(MT)*MT=IMT되는 경우)
-MT in O(n:C)이면 det(MT)=1 or -1
-SO(n:C):={MT in O(n:C) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-not compact
-Sp(n:C):={MT in GL(2n:C) s.t. MT:preserve skew-symmetric bilinear}
-MLG
-not compact
-Sp(n):=Sp(n:C) intersection U(2n)
-MLG
-compact
-FHG(Sp(n),x):trivial
-그 외 Matrix Group
-E(n):={f:R^n->R^n s.t. f:preserve metric and f:bijection} with composite
-f in E(n)은 need not be linear
-MLG(주의, E(n) is MLG of GL(n+1:R), not of GL(n:R))
-not compact(giso인 것이)
-not connected(giso인 것이)(components 2개)
-for f in E(n), f can be uniquely written as
MT1_x*MT2 where MT1_x:translation by x, MT2:element in O(n)
-P(n:1):={MT=MT_x*MT2 s.t. MT_x:translation by x, MT2:element in O(n:1)}
-group of affine transformations of R^(n+1) s.t. preserve the Lorentz distance
-MLG(주의, P(n:1) is MLG of GL(n+2:R), not GL(n:R))
-not compact(giso인 것이)
-not connected(giso인 것이)(components 4개)
-MLG의 성질
-identity를 포함하는 (connected)components는 subgroup of MLG가 된다.
-Connected관련
-matrix multiplication, inversion of matrix는 GL(n:C)에서 continuous이므로 2개의 path곱이나 path의 inverse나 모두 continuous가 유지된다.
Note)(이후 삭제해도 됨)
몇가지 Techniques
1. strong induction with lattice theorem
2. group action에서의 성질(left multiplication, conjugation, 이때 G랑 J를 잘잡아야함, 특히 class equation중요)
3. 대표적인 normal subgroups을 이용(center, in normalizer, commutator subgroup, Sp, ...)
4. Index Theorem, left multiplication action(not simple임을 보일 때)
5. 직접 order가 prm인 원소 개수 세버리기.(S_n같은 곳에선 특히 유용)
Ring
-zd는 not u
-u는 not zd
-homor:R1->R2일 때, im(homor) _< R2, ker(homor) _< R1, ker(homor) is id.
-(Ring of fraction)CR에 대해 te! CR_[1] s.t. CR _< CR_[1] and not zd인 in CR은 unit in CR_[1]
(특히 CR이 ID였다면, CR_[1]은 Field가 되고, field of fraction 이라 한다.이 field는 ID를 포함하는 가장 작은 field)
-About ID
-(Cancellation Law)
-|ID|<inf이면 F된다.
-
-About subring
-(criteria)nonempty, closed under subtraction, multiplication
-
-About DR
-|DR|<inf이면 F된다.
-About Field
-for SR of F s.t. contains the 1 of F, SR=ID
-for any ID, te F s.t. ID _< F
-homor:F->R는 반드시 1-1(for non trivial homor)
-F의 id는 0와 F뿐
-About R[x](별말 없으면 R은 CR_[1]이다.)
-SR _< R이면, SR[x] _< R[x]
-R[x]도 CR_[1]
-R=ID일 때
-deg(P1(x)*P2(x))=deg(P1(x))+deg(P2(x))
-R[x]에서의 u는 R에서의 u와 같다.
-R[x]도 ID
-R[x]의 field of fraction은 field of rational functions가 된다.
-R->F->F(x), R->R[x]->field of fraction of R[x], 이때 F(x)와 field of fraction of R[x]와 같다.
-
-구체적인 상황
-About MT(R)
-id:id of R일 때, MT(id)는 id of MT(R)
-id:id of R일 때, id=ker(homor), where homor:MT(R)->MR(R/id)
-MT(R_1)의 id는 MT(id) where id is ideal of R_1이 된다.
-MT(F)의 id는 0과 MT(F)뿐
-
-About RG(별말없으면 R은 CR_[1]이다. 그리고 1<|G|<inf인 경우만 생각)
-RG가 CR <-> G가 abelian
-R의 1이 RG의 1이다.
-SR _< R, S _< G일 때, SRG와 RS는 RG의 subring이다.
-zd가 항상 존재.
-augmentation map:RG->R관련
-homor되고, ker은 계수합이 0인 것들
-ker은 ({g-1|g in G})
-ker은 M-id된다.
-다른 대표적 id는 g_i의 계수가 다 같은 것들
-About id and quotient R
-id존재 <-> homor존재
-R이 zd를 안가져도 quotient R은 zd를 가질 수 있다.
-(The First riso theorem)homor:R1->R2가 있을 때, ker(homor):id of R1, im(homor) _< R2, R1/ker(homor) riso im(homor)
-(The Second riso theorem)SR _< R, id:ideal of R이면 SR+id _< R이고 SR교id:id of SR 그리고 (SR+id)/id riso SR/(SR교id)
-(The Third riso theorem)id1 of R, id2 of R, id1<id2이면 id2/id1:id of R/id1 그리고 (R/id1)/(id2/id1) riso R/id2.
-(The Fourth riso theorem)id of R이 있을 때 {SR s.t. containing id}와 {SR _< R/id}사이 bijection존재
(SR containing id:id of R iff SR/id:id of R/id)
-id1+id2:id(id1과 id2를 포함하는 가장 작은 id)
-id1id2:id(id1교id2에 포함되는 id)(주의:정의가 all finite sums, 그냥 prod만 다 모으면 +에 closed하지 않으므로 subring이 안됨)
-id1교id2:id
-Lid1교Lid2:Lid
-(E)의 이해=the smallest id(일반적), RER(R_[1]일 때), RE(CR_[1]일 때)
-id=R iff unit is in id
-R/id가 F이면 id=M-id
-R_[1]에서는 every proper ideal은 M-id에 포함된다.(M-id의 존재성)
-CR_[1]에서
-RE=ER=RER=<E>
(R_1이어야 RE는 E를 포함하는 smallest Lid가 된다. CR이어야 ER=RE)
-(r1)<(r2) iff r1 is in (r2) iff r1=r3*r2 for some r3
-(1)=R
-(a)(b)=(ab)
-id가 0와 자기자신뿐이면 R=F
-id가 M-id이면 R/id:F
-id:prm-id iff R/id:ID
-M-id는 prm-id
-(Chinese Remainder Theorem)id1,id2,...,idn에 대하여,
-homor:R->(R/id1)x(R/id2)x...x(R/idn) (homor된다는 점)
-ker(homor)은 id1교id2교...교idn
-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 ker(homor)=id1교id2교...교idn=id1id2...idn 그리고 homor가 surjective
-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 induced riso에 양변에 ^*을 취해도 성립
-About PID,UFD, ED
-F[x]:PID
Field
Module
Vector Space
-(Hamel Basis)모든 VS(F)는 basis를 갖는다.
-F의 원소에 norm을 줄 수 있다면, 모든 VS(F)는 nvs가 될 수 있다.(using Hamel Basis)
-About Direct Sum and Decomposition
-정의:
-sum of LS1, LS2, ..., LSn
-sum이 direct sum이란, sum=VS(F)이면서 for any i, LSi intersection sum except for i = empty
-external direct sum of VS(F)1, VS(F)2,..., VS(F)n이란, cartesian product이면서 operation은 component-wise
-성질:
-About Direct Sum
-For any LS1<VS(F), te LS2 s.t. the direct sum of LS1, LS2 = VS(F)
(not unique)
Topological Space
-몇가지 용어 정의들
-TS가 Baire Space이다란, c-union of closed set with empty interior has empty interior
(c-intersection of open dense is dense<<동치)
-TS의 subset이 first-category란, c-union of nowhere dense subsets
-TS의 subset이 second-category란, not first-category
-General 성질들
-어떤 subsets을 포함하는 가장 작은 top생각가능(즉, top의 intersection은 top됨)
-top들의 collection에 의해 generated top도 생각가능
-Topological Properties
-connectedness
-compactness
-local connectedness
-metrizability
-first-countable
-second-countable
-lindelof
-separable
-fundamental group(giso일 듯? 이후 수정)
-About Limit point, closure, interior, boundary
-cl은 monotone, commute with finite union, product
-cl취해도 변하지않는 성질들
-connected
-diam
-E의 interior, exterior, boundary는 TS를 partition함, 이때 interior, boundary는 cl(E)를 partition함
-(cl(E))^c = int(E^c) / (int(E))^c = cl(E^c) (드모르간 법칙 같네)
(따라서 Baire Space의 정의를 closed sets이용해서 state할 수 있고, 혹은 open sets을 이용할 수도 있다.)
(E:dense in TS iff E^c has empty interior)
-Bd(E) = empty iff E:open and closed
-E1<E2, x:limit point of E1이면 x:limit point of E2
-About Mapping
-Projection의 성질
-open map(closed map는 아닐 수 있음)
-conti
-not closed(TS1xTS2->TS1에서 TS2가 compact라면 closed map됨, (link))
-conti criteria, f:X->Y
-X의 open개수가 많고 Y의 open개수가 적을수록 conti될 가능성이 높아짐
-Use closed in Y
-Use open in Y
-Use basis in Y
-Use subbasis in Y
-f(cl(E))<cl(f(E))
-Using Pasting lemma, open sets in X(uncountable개여도 상관없음)
-Using pasting lemma, finite closed sets in X
-f가 conti이면 sequentially conti(역은 domain TS가 first-countability필요)
-Y:KT2일 때는, f가 conti iff the graph of f is closed in XxY가 성립(if는 K인걸 이용, only if는 T2인 걸 이용)(link)
-open map, closed map, continuous map, quotient map의 성질(f(TS1)에서의 성질들이다 continuous image관련해서는)
-f:TS1->TS2, conti,
-f:(TS1,C4(TS1))->(TS2,C4(TS2))가 conti면 MF도 된다.
-f:S(<TS1)->TS2, TS2:T2일때, extension of f on cl(S)는 unique(link)
-f(connected)=connected
-f(compact)=compact
-f(path-connected)=path-connected
-f(lindelof)=lindelof
-f(dense)=dense
-f(separable)=separable
-f:open이기도 하면
-f(basis)=basis of f(TS1)
-f(locally compact)=locally compact
-f(first-countable)=first-countable
-f(second-countable)=second-countable
-f:surjective이면 f:quotient map
-f:closed이기도 하면
-f(T4):T4(link)
-f:surjective이면 f:quotient map
-TS2:order top이고, g:TS1->TS2, conti일 때, {x in TS1|f(x)<=g(x)}:closed in TS1, h=min(f,g):conti(link)
-f:TS1->TS2, closed
-TS1:T1이면 f(TS1):T1
-U:open in TS1, E2:subset in TS2, s.t. f^(-1)(E2)<U이면 te V:open in TS2 s.t. E2<V, f^(-1)(V)<U(link)
-About order topology(strict total order relation으로 생성한 top)
-T2
-T3
-T4
-least upperbound property가 성립 iff 모든 closed interval(not singleton)은 compact
-linear continuum가 성립 iff TS가 connected
-linear continuum이 성립할 때 구체적으로는
-V는 connected이고 따라서 전체집합, intervals, rays모두 connected됨
-locally compact
-T4
-well ordered인 경우(least upper bound가 성립)
-T5
-About Subspace
-From TS to S
-모든 S에 대하여
-strict total order relation
-open
-closed
-basis
-closure(E<S, cl(E) in S =cl(E) in TS intersection S)
-T2
-T2.5
-T3
-T3.5
-CN
-T5
-f:X->Y, conti, S<X이면 g:S->Y도 conti
-f:X->Y, conti, f(X)<S1<Y이면 g:X->S1도 conti
-first-countability
-second-countability
-covering map(using restriction)
-S가 open in TS일 때만
-LKT2(LK만 되는지는 모름)
-S가 closed in TS일 때만
-compact
-LK
-lindelof
-T4
-기타
-S with induced order은 S as subspace랑 다르다. (S가 convex in TS이면 가능)
-From S to TS
-모든 S에 대하여
-f:X->S, conti, S<Y이면 g:X->Y도 conti
-S가 open in TS일 때만
-open
-S가 closed in TS일 때만
-closed
-About Product topology
-Prod(S_i) = subspace of Prod(TS_i)
-From TS_i to Prod(TS_i) (곱이 countable개이냐 아니냐/product top이냐 box top이냐 구분)
-open(box top에서만 됨)
-closed
-basis
-T2
-T3
-T3.5(product top에서만 됨)(link)
-f:TS->Prod(TS_i)의 conti(product top에서만 됨)
-seq의 수렴성(product top에서만 됨)
-connected(product top에서만 됨)
-compact(product top에서만 됨)
-path-connected(product top에서만 됨)
-Countable Prod일 때
-first-countability
-second-countability
-separable
-metrizable
-complete
-totally bdd(각 TS_n가 MetricS)
-Finite Prod일 때
-covering map
-From Prod(TS_i) to TS_i
-Using projection
-open
-f:TS->Prod(TS_i)의 conti
-seq의 수렴성
-metrizable
-connected
-T2
-T3
-T4
-About Quotient Topology
-QS:connected, 각 class가 connected in TS이면 TS도 connected
-TS:locally connected이면 QS:locally connected(link)
-restriction of quotient map to class or union of classes
-class or union of classes가 open혹은 closed였으면 restriction도 quotient
-quotient map이 open or closed map이었으면 restriction도 quotient
-About Connected, C
-C가 connected TS란,
-there is no separation이 정의
(separation (U,V)란, U와 V가 disjoint, nonempty, open, union=TS을 가리킴)
-empty set is connected
-every singleton subset set is connected
-separation G1,G2에 대해 G1의 limit pt는 G2에 속하지 않는다. (G2의 limit pt는 G1에 속하지 않는다.)
(즉 Separation은 separated sets이다.)
-TS:connected iff te no separation
-TS:connected iff clopen sets은 TS랑 empty뿐
-G1,G2:separation of TS, S:connected이면 S<G1 or S<G2
-S_i가 connected일 때, union S_i도 connected(단 common pt가 있을 때)
-(Intermediate Value Theorem)f:C->TS with order top, conti이고 f(a)<r<f(b)이면 te c in C s.t. f(c)=r
-connected component는 closed이다.
(open일 때도 있는게, component가 유한개거나, locally connected이면 된다.)
-
-path-connected관련(connected임을 보이는 쉬운 방법중 하나)
-TS:path-connected이면 connected이다.(역은 성립 안함)
-S_i가 path-connected일 때, union S_i도 path-connected(단 common pt가 있을 때)
-path-connected components는 connected components에 포함된다.
(S:path-connected라해서 cl(S)가 path-connected인 것은 아니다.)
(path-connected component는 closed일 필요도 없고 open 일 필요도 없다.단, locally path-connected이면 open은 된다.)
-totally disconnected관련
-About Compact, K
-용어정의
-limit point compact란, 임의의 infinite subset E has a limit point
-sequentially compact란, 임의의 seq가 cv인 subseq를 가짐
-empty set은 compact
-모든 singleton set은 compact
-TS:compact iff every collection of closed sets in TS having finite intersection property, intersection of all elements in the collection is nonempty
-finite union of compact is compact
-LK
-CGT
-(Tube Lemma)
-TS1xTS2, TS2:compact, N:open in TS1xTS2 containing x_0 x TS2이면 te E s.t. N contains ExTS2, x_0 is in E, E:open in TS1
-S1<TS1, S2<TS2, S1과S2 둘다 compact, N:open in TS1xTS2 containing S1xS2이면 te E1,E2 s.t. E1:open in TS1, E2:open in TS2, S1xS2 < E1xE2 < N(link)
(두번째 것이 첫번째 것을 포함하지만, 첫번째 것만으로도 자주 나오니 구분해서 적음)
-(Extreme Value Theorem):f:K->TS with order top, conti이면 te c,d in K s.t. f(c)<=f(x)<=f(d) for all x in K
-비슷한 compact관련
-compact이면 limit point compact이다.
-compact이면 lindelof이다.
-Metrizable일 땐, compact=limit point compact=sequentially compact
-limit point compact의 closed subset은 limit point compact
-About "Locally Property"
-Locally connected
-TS:locally connected iff every connected components of every open in TS is open
-TS:locally path-connected iff every path-connected components of every open in TS is open
-TS:locally path-connected이면 path-connected component=connected component, 게다가 open(link)
-Locally compact, LK
-TS:locally compact of x란 nbd(x)를 포함하는 compact subset존재
-TS:locally compact란 모든 element x에 대해서 locally compact일 때
-E:compact->E:locally compact
-Locally homeomorphic
-TS1:locally homeomorphic to TS2란,
te f:TS1->TS2 s.t. for any x in TS1, te open(x) s.t. f(open(x)) is open in TS2 and restriction f on open(x) is homeomorphism
(이 때 f를 local homeomorphism이라 한다.)
-every homeomorphism is local homeomorphism
-local homeomorphism은 open map, conti(link)
-bijective local homeomorphism은 homeomorphism
-f:TS1->TS2, local homeomorphism일 때 preserve하는 성질들
-TS1이 locally path-connected이면 f(TS1)도 locally path-connected
-TS1이 locally connected이면 f(TS1)도 locally connected
-TS1이 locally compact이면 f(TS1)도 locally compact
-TS1이 first-countable이면 f(TS1)도 first-countable
-Separation axioms관련 성질
-정의:(A,B는 {one point}거나 compact set이거나 open set이거나 closed set이거나...가능)
-A,B가 topologically distinguishable:te open set U s.t. A,B중 1개만 포함하는
-A,B가 separated:cl(A)와 cl(B)가 disjoint
-A,B가 separated by open nbd:te open G1, open G2 s.t. disjoint하고 G1은 A를 G2는 B를 포함
-A,B가 separated by closed nbd:te closed F1, closed F2 s.t. djsjoint하고 F1은 A을, F2는 B을 포함
-A,B가 separated by conti function:te f:TS->R(std) s.t. f(A)=0 f(B)=1
-A,B가 precisely separated by conti function:te f:TS->R(std) s.t. A={x in TS s.t. f(x)=0}, B={x in TS s.t. f(x)=1}
-T0(2pt, topologically distinguishable)
-(iff)모든 점이 topologically distinguishable
-T1(2pt, separated, separated란 each가 cl(the other)와 disjoint, or open sets으로도 해석 가능)
-(iff)모든 finite set은 closed
-E의 limit L iff open(L) intersection E는 infinitely many pts을 포함
(first-countability는 L을 포함하는 open set의 개수가 countable개 있음을 보장해주고, T1은 intersection의 원소가 무한개임을 보장해준다.)
-T2(2pt, separated by open nbd)
-seq의 limit은 기껏해야 1개
-TS:T2S iff TSxTS의 diagonal은 closed in TSxTS
-compact subspace는 closed됨
-compact와 pt는 separated by open nbd
-2 compact는 separated by open nbd
-f:TS1->TS2 conti, g:TS1->TS2 conti, TS2:T2일 때, {x in TS1|f(x)=g(x)}는 closed in TS1
(따라서 f:TS->TS conti, TS:T2일 때, fixed points의 모임은 closed in TS됨)
-T2.5(2pt, separated by closed nbd)
-CT2(2pt, separated by conti function)
-R(closed와 pt, separated by open nbd)
-(iff)closed와 pt에 대해 separated by closed nbd
-(iff)for any x in TS, any open U containing x, te open V containing x s.t. cl(V)<U
-(T1도 되면)T3라 한다.(T0,T1,T2 중 어느것이 되도 상관없음, 이후 일관성 때문)
-TS:T3이고 lindelof이면 T4
-TS:T3이고 second-countable이면 T4, CN, T5, metrizable, imbedded in R^N(product top or uniform top)
(metrizable임을 보일 때, TS가 imbedded in R^N (with product top or uniform top)임을 보인다.)
-CR(closed와 pt, separated by conti function)
-closed와 compact가 주어지면 separated by conti function 가능
(단, closed와 closed일 때까지로는 확장 못함)
-(T1도 되면)T3.5라 한다.(T0,T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-TS:T3.5 iff TS homeo S of [0,1]^J for some J.
([0,1]^J 는 KT2됨)
-TS:T3.5 iff TS has a compactification
-TS:T3.5이면 te! SCcl(TS) up to homeo s.t. for any f:TS->KT2, conti, f can be uniquely extended to SCcl(TS), conti.
-N(2closed, separated by open nbd)
-(Urysohn's Lemma version 1)(iff)(2closed, separated by conti function)
-(Urysohn's Lemma version 2)TS:normal일 때,
te conti f:TS->[0,1] s.t. f(x)≡0 on A iff A:Gd closed
-(Urysohn's Lemma version 3)TS:normal일 때,
te conti f:TS->[0,1] s.t. f(x)≡0 on A f(x)≡1 on B iff A,B:disjoint Gd closed
-(Tietze Extension Theorem version 1)TS:normal, E:closed, f:E->[0,1], conti일 때
te extension of f on TS -> [0,1], conti
-(Tietze Extension Theorem version 2)TS:normal, E:closed, f:E->R(std), conti일 때
te extension of f on TS -> R(std), conti
-(iff)for any closed set E1 in TS, any open E2 s.t. E1<E2, te open E3 containing E1 s.t. cl(E3)<E2
-(T1도 되면)T4라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-TS:T4이고 connected이면 |TS|=1 or uncountable이다.
-CN(2separated sets, separated by open nbd)
-(iff)모든 subspace가 N
-(T1도 되면)T5라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-PN(2closed, precisely separated by conti function)
-(iff)모든 closed set이 Gd
-(T1도 되면)T6라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
포함관계
T0>T1>T2>T2.5>CT2>T3>T3.5>T4>T5>T6
R>CR
N>CN>PN
-Countability axioms
-First-Countability
-TS가 first-countable이란, for any x in T, countable nbd(x)가 존재하고, 각 nbd(x)에 포함되는 또 다른 nbd(x)가 존재
-x:limit point of E이면 te {x_n} in E s.t. cv to x(역은 first-countability아니어도 성립)
-f:X->Y, X가 First-Countability이면 Sequentially conti->conti
-CGT
-Second-Countability
-TS가 second-countable이란, countable basis존재
-TS:second-countable이면 모든 discrete subspace는 countable이다.
-second-countable이면 separable이다.(metrizable이면 역도 성립)
-second-countable이면 lindelof이다.(metrizable이면 역도 성립)
-second-countable이면 first-countable이다.
-TS:second-countable이고 E:uncountable이면 uncountable many pts in E는 E의 limit pt이다.
(즉 second-countable이면 uncountable E들은 limit pts를 uncountable개 갖는다 in E)
-Lindelof
-TS가 lindelof란 every open cover has a countable subcover(즉 compact보다 weak)
-countable TS이면 lindelof이다.
-compact이면 lindelof이다.
-Separable
-TS가 separable이란 countable dense subset을 가질 때
-every collection of disjoint open sets는 countable
-About Directed sets and Net, Net convergence
-Net convergence를 도입시 좋은 점
-x in cl(E) iff te seq {x_n} in E cv to x(단 TS가 first-countable일 때 only if가 성립-(*))
-f:sequentially conti iff f:conti(단 domain이 first-countable일 때 only if가 성립-(*))
-TS:sequentially compact iff TS:compact(단 TS가 Metric일 때 only if가 성립-(*))
((*)에서 seq를 net으로 바꾸면 단~~ 부분이 필요없어지게 된다.)
-About LKT2
-LKT2의 해석방법
-compact nbd
-pre-K open set
-TS1:LKT2 iff te TS2 s.t. TS1<TS2 and TS2-TS1 is singleton and TS2:KT2(link)
(TS1:LKT2일 때, TS2를 ocl(TS1)이라 표기하기로 하자. 왜냐하면 추가한 point가 TS1의 limit pt가 됨)
(TS2는 유일 up to homeomorphic)
(TS1:open subspace of ocl(TS1))
-E1:open containing x일 때, te E2:open containing x s.t. E2:pre-K, cl(E2)<E1(link)
-E1:open containing K일 때, te E2:open containing K s.t. E2:pre-K, cl(E2)<E1
-Baire
-CGT
-T3
-T3.5
-KT2의 성질
-isolated pt가 하나도 없으면 uncountable space이다.(link)
(isolated pt란, {pt}:open일 때, 그 pt를 isolated pt라 한다.)
-BaireS(link)
-LKT2됨(LKT2 성질들 다 만족)
-T3
-T4
-Metrizable iff second-countable
-
-About CGT
-CGT의 예:LK, K, first-countable, MetricS
-성질
-f:CGT->TS가 for any K, restriction of f on K is conti이면 f는 conti
-m-Manifold
-정의:T2, Second-countability, and for each point x has nbd s.t. homeomorphic to open set in R^m
Algebraic Topology
-About homotopy, homotopy of paths
-용어정의
-f1 _=homotopic f2란, f1:TS1->TS2, f2:TS1->TS2, f1,f2:모두 conti일 때
te conti F:TS1x[0,1]->TS2 s.t. F(x,0)=f1(x), F(x,1)=f2(x) for all x in TS1
(이 때의 F를 homotopy f1,f2라 하자.)
-f1:nulhomotopic이란 f1 _=homotopic f2에서 f2가 constant일 때
-initial point final point가 같은 path1, path2에 대해서 path1 _=phomotopic path2란(두 paths:[0,1]->TS이고 conti인)
te conti F:[0,1]x[0,1]->TS s.t. F(x,0)=path1, F(x,1)=path2, F(0,t)=x_0, F(1,t)=x_1 for all x, t
(이 때의 F를 phomotopy path1, path2라 하자.)
-[TS1,TS2]:=homotopy classes of conti maps of TS1 into TS2
-TS가 contractible이란, identity:TS->TS가 nulhomotopic일 때
-FHG(TS,x)란 phomotopic classes of loop based at x where x in TS, first homotopic group of TS라 한다. 혹은 fundamental group of TS relative to the base point x라 한다.
-TS:simply connected란, path-connected이고 FHG(TS,x)=trivial group for some x in TS일 때
-h:TS1->TS2, h(x_0)=y_0, h:conti일 때, H:FHG(TS1,x_0)->FHG(TS2,y_0), H:group homomorphism을 얻을 수 있고, 이것을 homo from (h,x_0)라 하자.
-f:TS1->TS2, conti, onto일 때 E:open in TS2가 evenly covered by f란,
f^(-1)(E)=union of disjoint open sets in TS1 where the restriction of f on each open set is a homeomorphism onto E
-f:TS1->TS2가 covering map of TS2란, f:conti, surjective, for any y in TS2, te open(y) s.t. open(y):evenly covered by f일 때 f를 covering map of TS2라 하고 TS1을 covering space라 한다.
-About _=homotopic, _=phomotopic
-about _=homotopic
-equivalence relation을 만든다
-f1 _=homotopic f2 of TS1 into TS2, g1 _=homotopic g2 of TS2 into TS3일 때 g1(f1) _=homotopic g2(f2)(link)
-TS1->R^2(std)인 경우
-straight-line homotopy를 통해서 임의의 conti function f1,f2가 _=homotopic임을 알 수 있다.
-특히 f1, f2의 image가 convex set에서만 생긴다면 straight-line homotopy의 image모두 convex set안에 유지
-about [TS1,TS2]
-[TS1, [0,1]] has a single element(link)
-[[0,1], path-connected TS] has a single element(link)
-TS2:contractible이면 [TS1,TS2] has a single element
-TS2:path-connected더라도(contractible보단 약한), TS1:contractible이면 [TS1,TS2] has a single element
-about contractible
-contractible TS는 path-conncected이다.
-TS1:contractible iff for any TS2, for any f:TS2->TS1, g:TS2->TS1, 둘다 conti, f _=homotopic g
-about _=phomotopic(1개의 TS의 성질 관심)
-equivalence relation을 만든다.
-path1의 final이 path2의 initial인 paths끼리 product연산(*)을 줄 수 있다.
(별말없이 path1*path2라 썻다면 path1의 final=path2의 initial인 상황)
-[path1]*[path2]=[path1*path2]로 정의하면 phomotopic classes에 product연산(*)을 줄 수 있다.
-phomotopy path1,path2(in TS1)에 conti인 k:TS1->TS2를 합성하면, phomotopy k(path1), k(path2)가 된다.
-conti인 k:TS1->TS2가 있을 때 k(path1*path2)=k(path1)*k(path2)가 성립
-product연산 on phomotopic classes은 groupoid properties를 만족(link)
(group axioms가 성립하지 않는 유일한 다른점은 final과 initial이 같은 path classes사이에서만 연산된다는 점)
-path in TS를 n개의 path로 쪼개기 가능, [path]=[path1]*[path2]*...*[pathn]
-TS1->R^2(std)인 경우
-straight-line homotopy를 통해서 임의의 path1, path2 with same initial, final가 _=homotopic임을 알 수 있다.
-특히 path1, path2의 image가 convex set에서만 생긴다면 straight-line homotopy의 image모두 convex set안에 유지
-R^2(std)-{0}에서는 성립안함. UO1에서 시계방향, 반시계방향 path가 not phomotopic
-About Fundamental group(FHG(TS,x))
-FHG(TS,x)는 group이 된다.
-path from x to y가 있다면 FHG(TS,x)->FHG(TS,y)인 giso를 얻을 수 있다.
-TS가 path-connected이면 for any x, y in TS FHG(TS,x) giso FHG(TS,y)
(TS가 path-connected인 경우에 Fundamental Group에 대해서 이론전개하는 이유이다.)
(TS가 path-connected이면 FHG(TS,x)에서 base point 언급이 필요없을 것 같지만, base point 사이 path결정에 따라 giso가 달라지므로 일반적으로 TS가 path-connected여도 base point언급을 한다.)
-E:path-connected component(subspace)인 경우 FHG(E,x)=FHG(TS,x)가 된다.
-TS:path-connected이면 for x in TS, FHG(TS,x)가 abelian iff giso from FHG(TS,x) and FHG(TS,y)는 unique
-About simply connected인 경우
-FHG(TS,x)=trivial
-TS의 임의의 두 paths with same initial, final인 path1, path2는 phomotopic이다.
-About homo from (h,x_0)
-h1:TS1->TS2, h1(x_0)=y_0, h1:conti이고 h2:TS2->TS3, h2(y_0)=z_0, h2:conti일 때,
homo from (h2 o h1, x_0)=homo from (h2,y_0) o homo from (h1,x_0)
-homo from (identity,x_0)는 identity group homomorphism이다.
-h가 homeomorphism일 땐 homo from (h,x_0)는 giso가 된다.
-About Covering maps, Covering Space
-TS1:covering space of TS2 with covering map f:TS1->TS2일 때, for any y in TS2, f^(-1)(y) has a discrete topology induced from TS1
-covering map f:TS1->TS2
-local homeomorphism
-open map
-가장 쉬운 예: f:R(std)->UO1(subspace of R^2(std)), f(t)=(cos(2*pi*t),sin(2*pi*t))
-
Topological Vector Space
-용어정의:
-VS(F)가 TVS(F)란, +:VS(F)xVS(F)->VS(F), *:FxVS(F)->VS(F), VS의 연산 addition과 scalar multiplication이 continuous가 되게끔 VS(F)에 top을 줬을 때(scalar multiplication이 conti를 논할 때는 F에 topology를 줬을 때) (VS(F),top)을 TVS(F)라 한다. F언급안하면 R
-성질:
-TVS(F):T2 iff every singleton is closed
-TVS(F)에서 || ||은 conti이다.(? || ||이란 norm인것 같은데 어떤 norm을 가리키는거지? 나중에 체크)
-f-dim LS는 closed이다.
-F=R(std)일 때만 되는 것들
-R(std)에 norm을 줄 수 있으므로 TVS(R)는 NVS된다.
-F=C일 때만 되는 것들
-C에 norm을 줄 수 있으므로 TVS(C)는 NVS된다.
Metric Space
-any subset E is the intersection of open sets(countable intersection아닐 수 있음)
(주의:U_n := Union ball(x,1/n) for x in E, Intersection U_n is not E, but cl(E))
-any open set is an countable union of an increasing closed sets
-any closed sets is an countable intersection of an decreasing open sets
-totally bdd이면 bdd이다.
-totally bdd under d iff totally bdd under d_sb
-metric d is conti(link)
-metric d가 induce한 top은 d가 conti가 되게하는 the smallest top이다.
-metric d와 d_sb는 같은 topology를 induce한다.
-d(x,E)=0 iff x is in cl(E)
-d(x,K)=d(x,a) for some a in K
-d(E1,E2)=0, E1:closed, E2:closed, E1,E2:disjoint일 수 있다. (R^2(std)에서 xy=1과 x축 생각)
-{x|d(x,E)<eps}=union of the open balls {x|d(a,x)<eps} for a in E(따라서 open)
-d(x,E):TS->R>=0 is conti
-K<open1이면, te open2 s.t.K<open2<open1 and open2={x|d(x,K)<eps}
-F1과 F2가 disjoint closed인데 d(E1,E2)=0일 수도 있다.
-
-S도 MetricS됨(전체 Space의 d를 restriction)
-모든 compact set은 bdd and closed
(역은 성립안함)
-compact=limit point compact=sequentially compact
-compact metric space의 성질(KMetricS,d)
-(MetricS,d):compact iff (MetricS,d):complete and totally bdd
-(Lebesgue Number Lemma)for any open covering, te delta>0 s.t. diam(E1)<delta이면 te E2 in the covering s.t. E1<E2(link)
-(Uniform Continuity Theorem)f:KMetricS->MetricS가 conti이면 uni conti
-compact이므로 lindelof
-lindelof인데 metric이므로 second-countable
-complete
-LKT2, KT2의 성질들 모두 만족
-
-diam의 성질
-monotone
-E1교E2 is not empty 이면 diam(E1UE2) <= diam(E1)+diam(E2)
-diam(E)=diam(cl(E))
-
-conti criteria
-f:(MetricS1,d1)->(MetricS2,d2) conti <-> eps-delta definite이용((MetricS2,d2)가 R(std)일 때 주로 도움)
-f1:TS->R(std), f2:TS->R(std), f1 + f2, f1 - f2, f1 * f2, f1 / f2 모두 conti
-
-seq {x_n} in (MetricS,d)가 cauchy이면 te subseq s.t. d(x_n_k+1,x_n_k)<=2^(-k)(link)
-seq {x_n} in (MetricS,d)가 cauchy이고 subseq가 cv이면 seq {x_n}도 cv(link)
-
-isom(MetricS1,MetricS2)는 one-to-one이고 imbedding이다.
-
-First-Countability
-CGT
-T4
-CN
-T5
-T6
-About Complete
-complete is not top property
-CMetrics의 closed S도 CMetricS됨
-(MetricS,d)가 complete iff (MetricS,d_sb)가 complete
-(MetricS,d)가 complete iff every cauchy seq {x_n} in MetricS has a cv subseq.
-(MetricS,d)가 complete iff every nested seq {E_n} of nonempty closed subsets s.t. diam(E_n)->0, the intersection of E_n is nonempty.
-for any MetricS, te isom(MetricS,S of completion of MetricS), uniquely up to isom
-(Banach Fixed Point Theorem)
:CMetricS의 complete subset E, f:contraction on E일 때, f는 fixed point을 유일하게 갖고, iteration으로 얻어진다.
-About Function Space(사전식 배열로 정리, uni top외의 top이 언급되는 theorem은 이 색 이용)
-fC(J,TS)에서 top of pt cv 정의가능
-seq {f_n} in fC(J,TS) cv in the top of pt cv iff {f_n}:pt cv.(fC(J,TS)의 product top과도 같음)
-fC(J,MetricS)에서 d_uni 정의가능, uni top
-fC(J,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni
-(d_sup)_sb=d_uni, when d_sup이 정의될 때
(d_sup이 정의되면, d_sup으로 논하는게 마음 편함, d_uni는 복잡함)
-fC(TS1,TS2)에서 top of compact open 정의가능
-top of pt cv < top of compact open
-fC(TS,MetricS)에서 top of compact cv 정의가능
-top of pt cv < top of compact cv < uni top
-seq {f_n} in fC(TS, MetricS) cv in the top of compact cv iff for any K in TS, {f_n}:uni cv on K
-TS=K일 때
-top of compact cv = uni top
-TS=discrete일 때
-top of pt cv = top of compact cv
-fCbdd(J,MetricS)
-fCbdd(TS,MetricS)
-closed in fC(TS,MetricS) with uni top
-fCbdd(TS,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni
-fCconti(TS1,TS2)
-fCconti(TS,MetricS)
-top of compact open = top of compact cv
-(Uniform Limit Theorem)closed in fC(TS,MetricS) with uni top
-fCconti(TS,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni
-E가 totally bdd using d_uni이면 E는 equiconti
-E가 equiconti, for any a in TS, E_a:pre-K in MetricS이면
-te S of fCconti(TS,MetricS) with top of compact cv s.t. E<S, S:compact
-TS=CGT일 때
-closed in fC(TS, MetricS) with top of compact cv
-{f_n}:cv in the top of compact cv to f이면 f도 conti
-TS=LKT2일 때
-E of fCcontiV(TS,MetricS), MetricS=R(std)일 때, E:pre-K iff E:pt bdd, equiconti, vanishes uniformly at infinity
-E<S, S:compact in fCconti(TS,MetricS) with top of compact cv이면
-E는 equiconti이고 for any a in TS, E_a:pre-K in MetricS
-TS=K일 때
-MetricS=KMetric일 때, E가 equiconti이면 E는 totally bdd
-MetricS:all closed, bdd subsets are compact일 때,
-E:pre-K iff E:pt bdd, equiconti
-MetricS=R(std)일 때
-(Dini's Theorem)seq {f_n} in fCconti(TS,R(std))가 monotone, pt cv, limit f is conti이면 f_n은 uni cv
(유사하게, seq {f_n} in fC(K in R(std), R(std)), 각각이 monotone(conti일 필요 없음), pt cv to f which is conti on K이면 f_n은 uni cv도 된다.)
-MetricS=R^n일 때
-E:compact iff E:closed, bdd, equiconti
-{f_n} in fCconti(K,MetricS), {f_n}:pt bdd, equiconti이면 {f_n}은 uni cv인 subseq을 갖는다.
-eval:LKT2 x fCconti(LKT2,TS) -> TS는 conti
Normed Vector Space(Banach내용도 여기에, IPS도 여기에)
-NVS관련 기본적인 성질
-Vector Space에 Norm이 있어서 Metric생기고 그래서 topology도 있는 상황, NVS의 이해
-NVS에서 vector addition, scalar multiplication, || ||은 conti이다.
-NVS가 complete iff every abs cv인 series가 cv(link)
-About Linear subspace
-cl(LS)도 LS
-BS의 closed LS는 BS이다.
-About f-dim
-f-dim LS는 closed
-f-dim NVS에서는 임의의 two norms가 equivalent
-f-dim NVS는 BS이다.
-About LT(nvs1,nvs2)
-LT(nvs1,nvs2)의 norm은 inf(1가지), sup(3가지), 총 4가지 방법이 있다.
-LT(nvs1,nvs2):bdd와 iff인 것들
-conti at one pt
-conti at 0
-conti
-uni conti
-int{LT^-1(y in nvs2 s.t. ||y||<=1)}:nonempty
-About LTC(nvs1,nvs2)
-LTC(nvs1,nvs2):Vector Space
-About LTCconti(nvs1,nvs2)
-LTCconti(nvs1,nvs2):BS iff nvs2:BS(only if 에서 nvs1가 0이면 성립안함, nvs1가 nonzero라 가정필요)
-About Functions Spaces
-fCbdd(TS,R(std)):closed in (fC(TS,R(std)), d_uni), 따라서 BS
-fCconti(TS,R(std)):closed in (fC(TS,R(std)),d_uni), 따라서 BS
(따라서 fCcontibdd(TS,R(std)):closed in (fC(TS,R(std)),d_uni), 따라서 BS
-fCcontiV(TS,R(std)):closed in (fCcontibdd(TS,R(std)),d_uni), 따라서 BS
-fCcontiKS(TS,R(std))<fCcontiV(TS,R(std))<fCcontibdd(TS,R(std))=fCconti(TS,R(std))교fCbdd(TS,R(std))
(TS=K인 경우, fCcontiKS(TS,R(std))=fCcontiV(TS,R(std))=fCcontibdd(TS,R(std))=fCconti(TS,R(std)))
(TS=R(std)인 경우, fCcontiKS(TS,R(std))<fCcontiV(TS,R(std))<fCcontibdd(TS,R(std))<L^inf
-sCez<l^[1,inf)<sClz<sCcv<l^inf
-BS모음
-fCbdd(TS,R(std))
-fCconti(TS,R(std))
-fCcontibdd(TS,R(std))
-fCcontiV(TS,R(std))
-L^[1,inf]
-L^[1,inf]([0,1] with LM)
-l^[1,inf]
-sClz
-sCcv
-About Matrix
-Matrix를 보는 관점
-Linear Transformation(operator):VS(F)->VS(F)
-preserve bilinear
-구조적인 관점
-NMT
-HMT
-positive-definite
-positive-semidefinite
-SMT
-skew-HMT
-UnMT
-idempotent, nilpotent
-성분관점
-tr
-det
-invertible
-egv관련
-egv
-egv
-egS
-charP
-mP
-elementary divisor
-generalized egv
-similarity관점
-sim
-usim
-osim
-psim
-Canonical Form관점
-Jordan Canonical Form
-기타 Decomposition
-곱으로
-Cholesky Decomposition
-LU, LDU Decomposition
-Polar Decomposition
-합으로
-Jordan-Chevalley Decomposition
-With matrix norm
-
-About Projection Matrix
-정의:
-VS(F)=the direct sum of LS1, LS2일 때 Proejction onto LS1 along LS2란(Proj(LS1,LS2)라 쓰자.) Proj(LS1,LS2)(x)=x1 where x=x1+x2, x1 in LS1, x2 in LS2
(Projection onto LS1 along LS2는 Linear transformation이라 matrix로 표현가능하고 그것을 Projection Matrix라 한다.)
-LS1과 LS2가 orthogonal일 때의 Projection을 Orthogonal Projection, 그렇지 않을 땐 oblique projection이라 한다.
-성질:
-MT:Projection Matrix iff MT is idempotent(link)
-MT:Orthogonal Projection Matrix iff MT:idempotent and HMT(link)
-MT:projection matrix onto LS1 along LS2라면 IMT-MT는 Projection matrix onto LS2 along LS1이다.
(Im(MT)=ker(IMT-MT), ker(MT)=Im(IMT-MT)가 성립됨)
-{x1,x2,...,xm}:lind일 때 orthogonal projection matrix onto span{x1,x2,...,xm}을 얻을 수 있다.(link)
(f-dim VS(F)에서는 임의의 LS가 있을 때 VS(F)=the direct sum of LS, LS^ㅗ 으로 표현가능인 사실 이용)
-oblique projection은 LS1,LS2로 만들 수 있다.
(이 방법으론 사실 oblique, orthogonal projection 모두 포함, 즉 projection matrix 구하는 일반적인 방법)
-dim(LS1)=r일 때, MT:Projection matrix onto LS1 iff te MT2, MT3 s.t. MT=MT2*MT3*inv(MT2), where MT2:invertible, MT3은 IMT에서 first r digonals만 1이고 나머지 diagonals은 0인 matrix)(link)
-rank(Projection matrix)=tr(projection matrix)(link)
-About Idempotent Matrix
-정의:
-MT:idempotent란, MT^2=MT, MT:VS(F)->VS(F
-성질
-Idempotent Matrix의 예:IMT, 0, etc, 이중 IMT빼곤 다 not invertible
-MT:idempotent일 때, VS(F)=the direct sum of Im(MT), ker(MT)(증명은 아래 Projection Matrix참고)
-MT:idempotent일 때, ker(MT)=Im(IMT-MT)(증명은 아래 Projection Matrix참고)
-MT:idempotent이면 Projection Matrix만들 수 있고, Projection Matrix가 있으면 그건 idempotent이다.
(따라서 더이상의 성질은 모두 Projection Matrix에 정리한 것을 참고)
-About det
-About Invertible
-성질
-{x1,x2,...,xm}이 lind일 때 MT=[x1,x2,...,xm], ct(MT)*MT는 invertible이다.(Null(ct(MT)*MT)생각)
-TFAE
-MT:invertible
-MT has not 0 eigenvalue(link)
-det(MT) not 0
-
-About trace, tr(MT)
-성질
-tr(MT)=tr(rt(MT))
-tr(MT1MT2)=tr(MT2MT1)
-tr(MT1MT2MT3)=tr(MT2MT3MT1)=tr(MT3MT1MT2), not equal to tr(MT1MT3MT2)
-charP(MT)=f(t)=(t-a1)^d1 * (t-a2)^d2 * ... * (t-ak)^dk라 두면
-tr(MT)=d1*a1+...+dk*ak (즉 am(egv), egv와 tr(MT)사이 관계)
-증명은, f(t)의 계수가 (-1)*tr(MT)임을 이용하고 combinatorics하게 전개
-즉 tr(MT)는 sum of egv with am(egv)
-tr(projection matrix)=rank(projection matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)
-tr(idempotent matrix)=rank(idempotent matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)
-tr(nilpotent matrix)=0(왜냐하면 nilpotent matrix의 egv는 0뿐)(증명은 나중에)
-About charP(MT)
-정의:det(MT-t*IMT), 이것은 t에 관한 polynomial, 이것을 charP(MT)라 한다. 이것의 해는 egv(MT)가 된다.
-의미:
-MT의 정보들을 포함함, egv, det, tr
-성질:
-charP(MT)=0의 해는 egv(MT)가 된다.
-charP(MT)=charP(rt(MT))
-charP(MT)를 monic으로 뒀을 때
-charP(MT)의 t^(n-1)의 계수는 (-tr(MT))가 된다.
-charP(MT)의 상수항은 (-1)^n*det(MT) where n:MT의 size
-charP(MT)=f(t)=(t-a1)^d1 * (t-a2)^d2 * ... * (t-ak)^dk라 두면
-tr(MT)=d1*a1+...+dk*ak (즉 am(egv), egv와 tr(MT)사이 관계)(증명은, combinatorics하게)
-(Cayley-Hamilton Theorem)charP(MT)에 MT그대로 대입하면(상수항은IMT곱한) zero matrix나옴
-mP(MT)은 charP(MT)의 factor임을 알 수 있다.
(mP(MT)란, MT를 해로갖는 최소다항식을 가리킨다.)
-About similarity
-similarity종류와 정의
-MT1 =_sim MT2
-MT1=MT^(-1)*MT2*MT인 invertible MT가 존재할 때
-MT1 =_psim MT2
-MT1=MT^(-1)*MT2*MT인 invertible이고 permutation matrix인 MT가 존재할 때
-MT1 =_osim MT2
-MT1=MT^(-1)*MT2*MT인 invertible이고 orthogonal matrix인 MT가 존재할 때
-MT1 =_usim MT2
-MT1=MT^(-1)*MT2*MT인 invertible이고 unitary matrix인 MT가 존재할 때
-similarity성질
-about sim
-equivalence relation on the space of square matrix를 형성함
-MT1 _=sim MT2이면 MT1과 MT2는 same linear operator with different basis를 뜻하고 이때 similar하게 만드는 invertible matrix가 change of basis matrix를 뜻한다.
-sim이면 공유하는 것들
-rank
-det
-charP(즉 charP is independent of choice of basis)(link)
-tr
-egv and am(egv), gm(egv) (주의, egS는 공유안함, similar하게해주는 invertible MT에 의해 달라짐)
-mP
-elementary divisor(module하면서 정리)
-rational canonical form(나중에 정리)
-_=sim DMT인 경우
-이 때를 dgMT라 한다.
-dgMT일때 DMT의 대각성분은 dgMT의 egv들로 이루어지고 dgMT이게 해주는 invertible MT는 egv에 대응되는 egv로 이루어진다.(왜냐하면 _=sim은 egv를 공유하기 때문)
-MT:dgMT iff lind인 n개의 egv를 가짐
(따라서 MT의 egv가 서로 다른 n개로 존재한다면 dgMT가 됨, 하지만 dgMT라 해서 서로 다른 n개의 egv를 가지는 건 아니다.)
-Every MT _=sim UMT(Using Jordan Canonical Decomposition)
-about psim
-about osim
-about usim
-MT1 _=usim MT2이면 MT1 _=sim MT2성립
-_=usim은 equivalence relation
-_=usim DMT인 경우
-이때를 udgMT라 한다.
-udgMT이면 dgMT도 됨. udgMT는 dgMT의 특별한 경우
-NMT는 모두 udgMT이다.
-HMT, UnMT 모두 udgMT이고 dgMT도 됨
-About egv, egv, egS
-정의:
-egv(MT)란 MT의 eigenvalue
-egv(MT, egv)란, MT의 eigenvector correponding to egv(eigenvalue)
-egS(MT, egv)란, egv(MT, egv)로 span한 space
-spec(MT)란, spectrum of MT라 부르고 the set of all eigenvalues of MT
-specR(MT)란, spectral radius of MT라 부르고 modulus가 가장 큰 eigenvalue의 modulus를 가리킨다.
-am(egv(MT))란 charP(MT)에서 (t-egv)의 중복도
-gm(egv(MT))란 egS(MT, egv)의 dimension
-성질:
-gm(MT, egv1)<=am(MT, egv1)(Jordan Canonical Form배운 뒤 해결)
-임의의 MT에 대해, 적어도 1개의 egv가 존재
-한 MT에서 만든 서로 다른 egv1, egv2, ..., egvk의 경우 egv1, egv2, ..., egvk은 lind
-
-About Normal, NMT
-정의:
-MT:NMT란 ct(MT)*MT=MT*ct(MT)일 때의 MT를 NMT라 한다.
-MT:HMT란, ct(MT)=MT일 때의 MT를 HMT라 한다.
-MT:skew-HMT란, ct(MT)=(-MT)일 때의 MT를 skew-HMT라 한다.
-MT:UnMT란, NMT이고 ct(MT)*MT=IMT
-HMT가 positive-definite란, for any nonzero x, ct(x)*HMT*x > 0
-HMT가 positive-semidefinite란, for any nonzero x, ct(x)*H*x >= 0
-성질
-NMT의 성질
-HMT, skew-HMT, UnMT 모두 NMT이다.
-TFAE
-MT:NMT
-MT:NMT iff for any x in C^n, ||MT*x||_2 = ||ct(MT)*x||_2(link)
-MT:udgMT
-MT:complete orthonormal egv를 가짐(즉 lind인 n개의 egv)
-MT _=usim NMT iff MT:NMT
-HMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 egv는 real이다.(link)
-HMT가 가역이라면 inverse도 HMT이다.
-positive-definite의 성질
-positive-definite HMT는 invertible이고 inv도 positive-definite이다.(link)
-positive-definite HMT은 positive egv만 갖는다.
-모든 대각성분은 양수이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)
-positive-semidefinite의 성질
-모든 대각성분은 nnn이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)
-SMT의 경우
-HMT이므로 HMT, NMT성질 다 따름
-egv가 real인것도 알고, egv도 real이 되게 선택가능->SMT:odgMT가 된다.
-skew-HMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 egv는 complex(imaginary)
-
-UnMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 column은 orthonormal basis를 만든다.
-모든 row은 orthonormal basis를 만든다.
-egv의 절댓값이 항상 1(복소평면상에서 UO1에 놓임)
-About Canonical Form
-About Matrix Norm
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
-About Positive-definite, or Positive-semidefinite
-H에 대해 H:positive-definite iff 모든 egv(H)가 양수
-psdH의 egv는 모두 nnn
-psdsymM은 주대각성분이 모두 양수이고, 주대각성분의 최댓값이 모든 abs(entry)중 최대이고, Gaussian elimination중 생기는 모든 leading principal submatrices가 psdsym이 된다.
-About Similarity
-About egv, egv, egS
-About Decomposition, Form
-About Invertible
-egv가
-invariants under similarity:charP, mP, egv, tr, det, rank,
-for distinct egv(MT(F)), lind egv(MT(F),egv)을 얻는다.
-egS(MT(F), egv)는 invariant subspace of MT(F)이다.
-acF에 대해선 tr(MT(F))=sum of all egv including multiplicity.
-canonical form
the collection of all NMT(C), unitarily similarity->diagonla matrix
the collection of all MT(acF), similarity->Jordan canonical form
the collection of all MT(F), similarity->Frobenius normal form
-MT(F)가 가역 iff all egv가 nonzero
-모든 VS는 norm을 갖는다.
-for any MT, te UM s.t. MT usim UM
-MT에 대해서 udg iff normal
-ct(MT)MT는 psdH가 된다.
-rank(ct(MT)MT)=rank(MT)
-H의 egv는 모두 real(따라서 symM의 egv도 real)
-
-MT의 egv는 union of {z in C||z-MT(k,k)||<=deleted abs kth-row sum of A} over k=1,2,3,...,n에 속한다.(Gershgorin)
-MT가 strictly diagonal dominant이면 가역이다.
-MT가 weakly diagonally dominant이고 irreducible이면 가역이다.
-symM이 weakly diagonally dominant이고 irreducible이고 모든 diagonal이 nnn이면 pdsymM이다.
-
-lim k->inf MT^k=0 iff specR(MT)<1
-for any || || on CMT, |egv(MT)|<=||MT||
-eps te || || on CMT s.t. for any MT in CMT, ||MT||<=specR(MT)+eps
-1-induced norm of MT(mxn)은 the maximum abs column sum of MT(mxn)
-2-induced norm of MT(mxn)은 sqrt(specR(ct(MT)*MT))
-inf-induced norm of MT(mxn)은 the maximum abs row sum of MT(mxn)
-(Frobenius norm)2-entrywise norm of MT(mxn)은 sqrt(tr(ct(MT)*MT))
-
-E:complete, f:E->nvs가 contraction이면 f는 unique fixed point을 갖는다.(iteration으로 얻을 수 있다.)
-
-Invariants under unitarily transformation:닮음변환에서 가능한 것들+Frobenius norm
-
-Householder Matrix is U and H
-Householder Matrix is elementary reflection matrix.
-H:Househodler Matrix over v일 때, Hx는 v를 법선으로하고 원점을 지나는 평면을 기준으로한 x의 reflection이다.
-임의의 MT는 QR-decomposition가능 (Q는 U의 곱, R은 UM, using Householder matrix, Givens Rotations, 혹은 Gram-Schmidt orthogonalization이용)
-임의의 MT는 upper Hessenberg matrix와 usim
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Banach Space
Inner Product Space
Hilbert Space
Application(목적위주로 적혀져야함, 기본 Basic은 위에 적혀져야하지만)
*Solving MTx=b(Numerical), where MT:invertible
-LU-Decomposition
장점:MT를 한번 LU로 decomposition하고나면 b가 달라져도 구하기 쉽고 계산량도 적음
Techniques:
-partial pivoting
LU-Decomposition중에서 pivoting이 0이거나 abs가 작을 때 쓰는 technique
psdsym인 경우 partial pivoting이 필요없다.
-Jacobi Method
-Gauss-Seidel Method
-Conjugate Gradient Method
*2nd order elliptic pde
-FDM
장점:MTx=b문제로 환원될 수 있다.
*Eigenvalue problem
-Householder Algorithm
-QR-Decomposition
장점:
이론적 배경
-Jacobi Algorithm
장점:symM의 eigenvalues와 eigenvectors을 iterative하게 compute가능
이론적배경:Unitarily transformation은 Frobenius norm과 eigenvalue를 불변시킴
단점:수렴이 늦음
-Power Iteration
*Combinatorics
-(Stirling's Formula)
:lim n->inf n!/{(sqrt(2*pi*n) * n^n * e^(-n)}=1, 즉 n!을 근사할 수 있음
-proof(using PD(1) and chf)(link1)(link2)
-
*Geometry and Differential Geometry
*Linear Programming
-정의:a technique for the optimization of a linear objective function, subject to linear equality and linear inequality constraints.
-특징:
-feasible region is a convex polyhedron(the intersection of finitely many half spaces)
-objective function:real-valued affine function defined on this polyhedron
-Linear Programming problem is to find a point on the polyhedron that is on the plane with the highest possible value.
-Objective Function/Subject to/로 표현, Matrix form(Augmented form, slack form)으로 쓰여진다.
-성질:
-Every Linear Programming(Primal Problem) can be converted into a dual problem
-(Weak Duality Theorem)Dual Problem은 Primal Problem의 Optimal Value의 upper bound를 줄 수 있다.
-(Strong Duality Theorem)만약 Primal Problem이나 Dual Problem 중 1개가 finite optimal value를 갖는다면, 서로는 같다.
*Homogeneous Linear Difference Equations(y_t, phi_p)
-형태와 associated polynomial equation:(link)
-사용용도:
-(In Time Series)p-th degree lag polynomial(Filter, Lag operator부분 참조)의 inverse구할 때 이러한 형태의 DE가 등장함
-성질:
-stability condition이란 associated polynomial equation의 모든 root의 abs가 >!일 때를 가리킨다. p-th order homogeneous linear difference equation의 associated polynomial equation이 stability condition을 만족하면, {y_t}은 기하급수적으로 감소한다.(따라서 {y_t}:abs summable)(link)
*Integral Transformation
-형태
-functions space A1 with domain S1, functions space A2 with domain S2, A1과 A2를 잇는(A1->A2) integral transformation with kernel function, kernel function의 domain은 S1 x S2, (t,s)라 표현하자.
-kernel function이 inverse를 갖는다면, inverse transformation을 정의할 수 있음(A2->A1)
-integral range도 transformation마다 다름,
-사용용도:
-(A1,S1)에서의 문제해결이 쉽지가 않아서 (A2,S2)로 보내서 solution찾아서 그걸 다시 inverse transform해서 original solution찾는 게 주 사용용도이다.
-성질:
-General Theory
-모든 integral transformation은 linear operator이다. 왜냐하면 integral이 linear operator이므로
-(Schwartz kernel Theorem)
:linear operator를 integral transformation으로 표현하는 방법(단 kernel의 조건이 조금 general되는 경우)
-(Fredholm theory)
-Specific Transformation
-About One-side Laplace Transformation
-(A1,S1)=(iv function, [0,inf)), (A2,S2)=(iv function, C), not all C, S2 depends on input function
-Kernel=exp(-ts), inverse kernel=exp(st)/(2*pi*i)
-integral range:[0,inf) (따라서 one-side라 함)
-inverse integral range:c-i*inf, c+i*inf, c:depends on input function
-사용용도
-density1, density2가 다르면 transformed도 다르다.(즉 transformed가 같으면 density도 같은 것)
(물론 density가 [0,inf)에서 0인 것에 대해서는 사용 못함)
*Lie Group
-
*Examples
countable, co-countable C4
-C4(all singleton)이랑 같다.
-J가 uncountable이었으면 이것은 countable generating set을 가질 수가 없다.(link)
C3인데 not C4인 예
-J=[0,1)로 잡고, C3=the collection of all f-union of disjoint intervals of the form (a,b] in J
countable TS with strict total order relation이 not discrete topology인 예는?(link)
T0인데 not T1인 예
T1인데 not T2인 예
T2
U:open, U랑 int(cl(U))가 다른 예(link)
bijective이고 conti인데 not homeo인 예
quotient map인데 neither open nor closed(link)
sequential conti인데 not conti인 map(link)
continuous function의 image of limit point compact가 not limit point compact인 예(link)
T2에서 limit point compact인데 not closed인 subset의 예(link)
f:TS1->TS2, conti, TS1:locally compact, f(TS1):not locally compact인 예(link)
cofinite topology on uncountable set의 특징
-not first-countable
-not T2
-T1
-finite set만이 closed set이다.
-모든 E는 compact된다.
-특히 R에서
-
S_Z의 특징(order top이므로 order top의 성질을 모두 따름)
-S_Z는 largest element를 갖지 않는다.
-not compact
-not metrizable
-S_Z의 countable subset E는 upperbound in S_Z를 갖는다.
-least upperbound property만족
-모든 closed interval(not singleton)은 compact
-LKT2
-sequential closure와 그냥 closure가 다를 수 있음
-limit point compact
-sequentially compact
-first-countable
-not separable
-not second-countable
-not lidelof
-ocl(S_Z)=cl(S_Z)
-cl(S_Z)의 특징
-least upper bound property
-compact
-not first-countable
-not second-countable
-not separable
-lindelof
-not metrizable
-Z가 limit point of S_Z이다.
LL(long line)의 특징
-정의
-LL=S_Z x [0,1) with dictionary order with deleted smallest element
-특징
-path-connected
-locally homeomorphic to R(std)
(not imbedded in R(std))
R(std)의 특징
-C4(TS)는 C4({(a,b)}, C4({(a,b]}), C4({[a,b]}), C4({(-inf,a]}), C4({(-inf,a)})와 같다.
-모든 nonempty open set은 disjoint c-union open intervals로 표현가능(link)
-모든 closed interval(not singleton)은 uncountable이다.
any subset whose complement is countable is dense in R(std)(link)
-homeo (-1,1)(둘다 order top)
-R(std)<R(l)
-R(std)<R(K)
-nonempty perfect subset은 uncountable
-uncountable subset은 반드시 limit pt를 갖는다.
-[0,1]
-compact, limit point compact, sequentially compact
-connected, path-connected, locally connected, locally path-connected
-ocl(R(std)) homeo 1-dim sphere
-second-countable
-contractible
-metrizable
-T2
-T3
-T4
-C4(top)은 generating set을 {(a,b)}, {[a,b)}, {(a,b]}, {[a,b]} 다 가능
-Lebesgue Measure(LM)
-건설:RSC3={empty, all bdd intervals}, RSC3에 vol이란 PM을 주고, {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(TOP)가 된다. 즉 Borel sigma algebra)
-특징
-complete(Borel sigma algebra에서는 not complete
-f:R(std)->R(std)의 성질(a,b in R)
-정의역이 [a,b]인 경우
-f가 monotone이면
-불연속점의 개수는 at most countable
-(Lebesgue's Theorem)미분불가능한 점의 개수는 lebesgue measure에 대해 almost everywhere
-{f_n} on [0,1], Berenstein Polynomial of degree n, uni cv to conti f(link1)(link2)
-f가 conti이면 antiderivative를 갖고,
-(Fundamental Theorem of Calculus, FTOC)
:f:conti on [a,b], F(x)=int from t=a to t=x f(t)dt일 때, F는 미분가능, F'(x)=f(x)
(즉 f가 conti이면 anti-derivative를 갖고 그것은 diff라는 것)
-(Integration by Substitution)
:f1 on [a,b]:conti이고 te f2 s.t. C^1 on [c,d], f2([c,d])=[a,b]인 f2가 있다면
int from x=a to x=b f1(x)dx = int from t=c to t=d f1(f2(t))*f2'(t) dt가 성립
(즉 실제 적용시, 전자를 후자로 하게끔하는 f2를 찾는 것이다.)
(f1의 conti는 integral 정의를 위함이고, f2의 C^1도 등식의 후자에 integral 정의를 위함)
(증명은 FTOC이용)
-정의역이 (a,b)인 경우
-정의역이 R인 경우
-f가 monotone이고 bdd이면 불연속점의 개수는 at most countable
-{f_k}, {a_n}:any rv seq일 때, te {f_(n_k)} s.t. cv at all a_n(그 수렴값은 +inf, -inf을 취해도 된다고 할 때)(link)
-About Convex Functions
-정의:
-I(interval, open이든 closed이든, finite이든 뭐든 어쨋든 interval, singleton일 수도)에서 정의된 f가 convex란,
f(ax+(1-a)y)<=a*f(x)+(1-a)*f(y) for all x,y, in I, for all a in [0,1]
-f on I, f has support at t in I란, te linear function g(x)=f(t)+m*(x-t) s.t. g<=f on I
-성질:
-f:convex on I일 때,
-[a,b]<I에 대해 f는 Lipschitz-conti on [a,b], f는 abs conti on [a,b], f는 conti at x in Int(I)
-left(right)-derivative exist on Int(I), 그리고 각각은 inc이다.
-f:convex on open interval I일 때, E={x in I s.t. f' not exist at x}, E:at most countable이고 I-E에서 f'은 continuous
-f:convex on (a,b) iff te at least one line of support for f at each x in (a,b)
R(l)의 특징
-R(l)과 R(K)는 not comparable
-First-countability
-separable
-lindelof
-not second-countable
-not metrizable
-totally disconnected(path-connected component, connected component 모두 singleton)
-not compact
-not limit point compact
-not sequentially compact
-[0,1]
-not limit point compact
-not compact
-not sequentially compact
-T2
-T3
-T4
-CN
-T5
Sorgenfrey plane의 특징(inverse diagonal {(x,-x)}가 중요한 역할함)
-not lindelof(but lindelof 2개 곱해서 얻은 product topology임)
-T2
-T3
-not T4
R(K)의 특징
-[0,1]이 not compact subspace
-not path-connected, path-connected component={(-inf,0],(0,inf)}
-not locally connected
-not locally path-connected
-T2
-not T3
-connected
[0,1]x[0,1] with dictionary order(ordered square라 함)의 성질
-R(std)xR(std) with dictionary order의 subspace랑은 다르다.
-First-countability
-linear continuum
-connected
-compact
-not path-connected
-locally connected
-not locally path-connected
-lindelof
-not metrizable
-not second countable
R^n의 특징(n>=2)
-C4(TS)=C4({open rectangles})=C4({(-inf, x)}
(R^n에서의 order는 각 coordinate 모두에 성립하는 order로써 정의가능)
-임의의 nonempty open set은 nonoverlapping c-union of closed cubes로 쓰여질 수 있다.
(nonoverlapping이란, interior가 disjoint인)
-product top from each order top=uniform top=box top=top from euclidean metric=top from square metric
-with dictionary order from each standard order top이면, metrizable
-countable set을 빼도 path-connected, connected
-open connected E는 path-connected된다.
-E:compact iff E:closed and bdd wrt euclidean metric
-second-countable
-complete in euclidean metric, or square metric
-(Vitali Covering Theorem)
-Version 1(link)
:E:bdd subset, F:a collection of open balls which are centered at points of E s.t. every point of E is the center of some ball of F일 때
->te a seq (B1,B2,...)(유한 seq일 수도 있음) of balls from F s.t. (B1,B2,...):disjoint and E<union of (3B_i)
-Version 2(infinitesimal)(link)
:E:subset, F:a collection of closed balls with positive radius which satisfies
"x in E, eps>0이면 te B in F s.t. x in B and rad(B)<eps"
이면 ->te a seq (B1, B2, ...)(유한 seq일 수도 있음) of balls from F s.t. (B1,B2,...):disjoint and E<union of (B_i) except for a null set
-Lebesgue Measure(LM)
-건설:RSC3={empty, cartesian product of bdd intervals}, vol이란 PM를 주고 extension해서 {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(TOP)가 된다. 즉 Borel sigma algebra, {all PM*ME}가 더 넓은 sigma-algebra)
-특징:
-complete(Borel sigma algebra에서는 not complete)
-Lebesgue Measure 건설 과정을 보면은, RSC3->C3(RSC3)->C3(RSC3)(U)->C3(RSC3)(U)(I)->...->{all PM*ME}
-C3(RSC3)(U)(I)로 Lebesgue Measurable set을 approximation할 수 있다.(sf-M이므로 가능해짐)
(C3(RSC3)(U)(I)엔 open, closed, compact 다 포함되어있다.)
(outer measure값이 finite이면 조금 작은 compact 잡을 수 있다.)
(조금 큰 open set, 조금 작은 closed set 잡을 수 있음)
-C3(RSC3)(U)나 C3(RSC3)(U)(I)로 임의의 E in P(R^n)의 Lebesgue Outer Measure approximation가능
-Lebesgue Measurable인데 not borel set
-P(R^n)에서 not Lebesgue Measurable set
-f:R^n(std)->R^m(std)의 성질
-f:vector-valued일 때
-정의
-D_f(x_0)란 derivative of f(matrix을 가리킨다. entries는 partial derivatives, Jacobian Matrix라고도 함)
-n=m일 땐, J_f란 det(D_f)을 가리킨다. (Jacobian of f)
-x_0:critical point of f란 f:diff at x_0 and D_f(x_0)=0일 때
-C^n-f란, f의 n번 partial derivative가 exist and continuous
-성질
-(Inverse Function Theorem for multivariate, m=n)
:C^1-f on open U의 J_f가 non-zero라면(즉 derivative가 invertible), f는 U에서 inverse를 갖고 inverse도 C^1. 게다가 D_f(x_0)의 inverse matrix는 D_f^(-1)(f(x_0))
-D_f(x_0)의 성질
-f:diff at x_0일 때(derivative의 존재성보다 약간 강한 조건임), D_f(x_0)는 the best linear approximation near at x_0가 된다.
-J_f의 성질
-Inverse Function Theorem
-Multiple Integral에서 transform이용
:좌표변환이라 함은, 기존좌표계 with dV(대게 직교좌표계)에서
"이전 좌표계(구면, 원통 등 있다고 생각)->기존좌표계"인 함수 g를 찾고,
g를 이용하여 multiple integral 수정 with dV'=dV*|J_g|
-f:rv일 때
-정의
-f has local maximum at x_0란 f(x_0)>=f(x) on a nbd(x_0)
-x_0 is a extreme point of f란 f가 x_0에서 local maximum이나 local minimum을 가질 때
-x_0:saddle point of f란 critical point x_0 of f가 not extreme point of f일 때
-Hessian of f at x_0란 D_(D_f)(x_0)
-성질
-lim (x,y)->(0,0) f(x,y)가 존재하면, lim x->0 f(x,0)도 존재하고 lim y->0, f(0,y)도 존재
(역은 성립하지 않는다.)
-f:diff at x_0, x_0:extreme point of f일 때 D_f(x_0)=0이다.
-C^2-f에 대해 x_0:critical point of f and Hessian of f at x_0:negative-definite이면 f has a local maximum at x_0
(C^2-f에 대해 partial converse:f has a local maximum at x_0엿다면 Hessian of f at x_0:negative-semidefinite)
-partial integral로 얻은 함수의 성질(편의상 n=2일 때 생각)
-f:(x,y)->R(std), int f(x,y) dx=F(y)라 하자. 이 때 F(y)가 conti at y_0할 충분조건은,
-te g(x) in L1 s.t. |f(x,y)|<=g(x)
-f(x,y):conti wrt and at y_0
2가지를 다 만족시키면 된다.(Using Dominated Convergence Theorem)
-dF(y)/dy의 경우도 유사, link참조(link)
-(Integration by Substitution)
:f1:conti with compact support contained in some open set V in R^n이고
te f2:U->V s.t. U:open in R^n, f2:1-1, C^1, J_f2:non-zero in U일 때
int in V f1 = int in U f1(f2)|J_f2|
-star convex subset은 simply connected이다.
-any convex subspace has a trivial FHG
R^J의 특징(uncountable cartesian product)
-product top<uniform top<box top(J가 infinite이면 다 strict해짐)
-product top
-not metrizable
-not normal
-Function Space입장
-J=(MetricS, d), (R(std), euclidean metric)
-for f in R^J, the set of discontinuities of f is ME(link)
R^N의 특징
-product top
-metrizable(그리고 그 때 complete도 됨)
-path-connected
-connected
-not locally compact
-not compact
-second-countable
-uniform top
-metrizable by d_uni
-not connected, by bdd seq and unbdd seq(separation됨)
-locally path-connected(따라서 path-connected component=connected component)
-x,y가 같은 connected component iff x - y:bdd
-first-countable
-not second-countable
-not separable
-not lindelof
-box top
-not metrizable
-not connected, by bdd seq and unbdd seq(separation됨)
-not locally path-connected
(하지만 path-connected component와 connected component가 같음)
-x,y가 같은 connected component iff x - y:eventually zero
-not first-countable
-Sequence관점({x_n}, {y_n} in R^N, S_n:=sum from i=1 to i=n x_i, T_n:=sum from i=1 to i=n y_i)
-limsup과 liminf는 monotone
-limsup x_n = sup {all limit points of x_n} / liminf x_n = inf { all limit points of x_n}
-limsup x_n < r이면 x_n < r for large n
-limsup x_n > r이면 x_n > r for infinitely many n
-liminf x_n + liminf y_n <= liminf(x_n + y_n)<=limsup x_n + liminf y_n <= limsup(x_n+y_n) <= limsup x_n + limsup y_n
(따라서 {x_n}이 cv to x이면 limsup(x_n+y_n)=x+limsup y_n)
-{x_n}과 {y_n}이 nnn이면 limsup(x_n*y_n)<=limsup(x_n)*limsup(y_n)
-{x_n}이 nnn이면 limsup(1/x_n)=1/(liminf x_n), liminf(1/x_n)=1/(limsup x_n)
-(Kronecker's Lemma)(link)
:{x_n}:inc with lim n->inf x_n =inf이고 sum from n=1 to n=inf (y_n / x_n) cv with finite value이면
(T_n / x_n):cv to 0
-(using Upcrossing)(link)
:{x_n}:cv in ETR(std) iff for any rationals a<b, beta(a,b)<inf where beta(a,b)는 link참조
-Series관점
-{x_n}:abs summable, {y_n}:abs summable->{x_n conv y_n}:abs summable
Topologist's Sine Curve의 특징(0x[-1,1]없는 걸 E라 하자. cl(E)도 주요 관심대상, 대게 cl(E)를 topologist's sine curve라 한다.)
-cl(E)는 connected
-cl(E)는 not path-connected
-
N(std)의 성질
-LKT2
-ocl(N(std)) homeo {0}U{1/n|n is in N}
UO1의 성질
-
Torus의 성질
-subspace in R^4(std)
-Torus=UO1xUO1 with product topology
-covering space R(std)xR(std)을 갖는다. using covering map:R(std)->UO1, f(t)=(cos(2*pi*t), sin(2*pi*t))
-Torus homeo doughnut-shpaed surface D in R^3(std)
Lagrange's Theorem의 역이 성립안하는 예(link)
N_G({g})와 N_G(<g>)가 다른 예(link)
S1S2=S2S1인데 S1 _< N_G(S2)가 아닌 예(link)
S1S2가 not subgroup of G인 예(link)
SNS가 not normal in G인 예(link)
S1 _< N_G(S2)인데 S1 _<! S1S2인 예(link)
order(g1)<inf, order(g2)<inf인데 order(g1g2)=inf인 예(link)
G=G, J=NS, conjugation action on J by G, homo by act, homo(g)가 Inn(NS)의 원소가 아닌 예(link)
homog:G1->G2, homog(G1) is not normal in G2인 예(link)
모든 원소가 finite order를 갖고, 임의의 자연수 n을 order로 갖는 g가 항상 존재하는 group의 예(link)
S<G, Aut(S)의 원소이지만, Inn(S)의 원소가 아닌 예(link)
V_4의 성질
-order:4
-ab=c, bc=a, ca=b형태
-abelian
-Aut(V_4) giso S3
-Inn(V_4)=1
D_2n의 성질
-order:2n, reflection:n, rotation:n
-rotation(2pi/n)을 r이라하고 reflection(중심과 1을 이은 직선 기준인)을 s라 하면 r과 s로 모든 원소 representation가능
-r*s=s*r^(-1), [r,s]=r^(-2)
-C(D_2n)=<r^2> _<! D_2n
-n>=3인 odd면
-Z(D_2n)={e},
-<r^2>의 order:n
-D_4n giso D_2n x Z/2Z
-n=2k인 even이면
-Z(D_2n)={e, r^k}
-<r^2>의 order:2n/4
-D_2n/<r^2> giso V_4
-D_8의 성질
-Z(D_8)=<r^2>=C(D_8)
-NS=<s,r^2>, <r>, <rs,r^2>, <r^2>
-conjugate class={1}, {r^2}, {r,r^3}, {s,sr^2}, {sr,sr^3}
-Aut(D_8) giso D_8
3차원 정다면체 관련
-정다면체의 한 꼭지점에서의 정다각형들의 내각의 합은 360도보다 작다.
-정다면체가 5종류이고, n:정n각형, p:한 점에서 만나는 정n각형의 개수
(n,p)=(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)임을 앎
-v-e+f=2를 이용하면 다 앎
-symmetries group의 order는 v*(한 꼭짓점에 걸리는 변의 개수)
-GL_n(F)의 성질
-subgroup으로는 SL_n(F), LM(F), UM(F)
-Z(GL_n(F)는 k*identity, k is in F
-Q_8의 성질
-order8이면서 non-abelian인 예, 하지만 모든 S는 NS.
-Z(Q_8)=<-1>=C(Q_8)
-<i>={-1, -i, 1, i}
-N_(Q_8)(<i>)=Q_8
-N_(Q_8)(i)=<i>
-conjugate class={1},{-1},{i,-i},{j,-j},{k,-k}
-Aut(Q_8) giso S_4
-S_n의 성질
-n>=3이면 Z(S_n)=1
-n>=5이면 nontrivial proper normal subgroup은 A_n뿐
-n이 6만 아니면, Aut(S_n)=Inn(S_n) giso S_n
-n=6이면 [Aut(S_n):Inn(S_n)]=2
-n=prm일 때, |N_S_n(Sprm)|=prm*(prm-1), Sprm이란, Sylow prm-subgroup
-S_3의 성질
-NS=<(1,2,3)>
-Sp(p=3)=<(1,2,3)>
-Sp(p=2)=<(1,2)>, <(1,3)>, <(2,3)>, 총 3개
-S_4의 성질
-Sp(p=2), 총 3개, giso D_8
-Sp(p=3), 총 4개, giso Z_3
-|G|의 factor당 subgroup이 유일하게 존재
-모든 S가 char
-abelian
-G of order n의 generator개수:ephi(n)
-Aut(Z/nZ) giso (Z/nZ)^*
-Inn(Z/nZ) giso 1
-Z[x]의 성질
-id={deg가 >=2인 것들}union{0}, Z[x]/id는 zd를 갖지만, Z[x]는 zd를 안가짐
-id={계수가 모두 even인 것들},
-Q의 성질
-additive group로 볼 때
-not cyclic
-te no maximal subgroup
-R(std)의 subspace로 볼 때
-not open subspace
-not closed subspace
-not locally compact
-C의 성질
-infinite product of complex numbers의 convergence
-정의:c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)이 cv if te k s.t. c-product from i=k to i=n (1+a_i) cv to nonzero as n->inf
-성질:
-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 cv iff c-sum from i=1 to i=inf log(1+a_n):cv(link)
(단, Re(a_n) > (-1) for n=1,2,3,..., 만약 아니면 이게 성립할 때부터 곱셈시작으로 간주하면 됨)
-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 abs cv iff c-sum from i=1 to i=inf a_i:abs cv(link)
-f:C->C관련
-(Cauchy-Riemann Equation, CRE)
:Re(f)의 x미분=Im(f)의 y미분 and Re(f)의 y미분=Im(f)의 x미분*(-1), 이것은 iv-diff의 필요조건
-Power Series 관련(Center가 0인 경우만 따져도 됨)(PS(z)=sum from n=1 to n=inf (a_n)*(z)^n라 하자)
-PS(z1):cv이면 for |z|<|z1|, PS(z):cv
-(RoC의 존재성)for any PS,
te R s.t.
-0<=R<=inf,
-|z|<R이면 PS(z):abs cv
-|z|>R이면 PS(z):diverge
-PS:uni cv on {z s.t. |z|<=A<R}
-RoC 구하기
-RoC={limsup(a_n)^1/n}^(-1)
-PS의 도함수 또한 RoC가 같다.
-PS1, PS2(with same center), PS1+PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}, PS1*PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}
-lim n->inf a_n=0이면 RoC>=1
-PS의 도함수는 term-by-term 미분해서 얻을 수 있다.
-
-Laurent's Series관련
-Elementary functions
-log(with principal branch):ocl(C) - (-inf,0] ->C
-exp:C->C-{0}
-entire
-
-Analytic관련
-정의:
-f:analytic at z if f has a power(taylor) series with positive RoC centered at z
(RoC:Radius of Convergence)
-성질
-f의 analytic 가능한 points의 모임은 open이다.
-f가 CRE를 만족하고 Re(f)와 Im(f)가 C^1이면 f:analytic on 가정만족하는 영역
-f:analytic on open E이면 for z_0 in E, f의 taylor series centered at z_0의 RoC는 dist(z_0, Bd(E))
-(Binomial Theorem)
:(1+z)^a where a:complex는 다음 taylor series를 갖는다.
sum from n=0 to n=inf (aCn)*x^n
(단, RoC는 a마다 그때그때 구해야함)
-(Residue Theorem)
-C^N의 성질
-iv-sequence관점
-|z_n|은 R^N 이므로 R^N에서의 sequence성질 모두 만족
-z_n≠0일 때, liminf(|z_(n+1)/z_n|)<=liminf(|z_n|)^(1/n)<=limsup(|z_n|)^(1/n)<=limsup(|z_(n+1)/z_n|)(link)
(즉, Ratio Test보다 Root Test가 더 좋다.)
-Re(z_n)과 Im(z_n)이 cv iff z_n:cv
-iv-series관점
-abs cv이면 cv도 됨
-abs cv 판정법
-
-iv-functions sequence of sequence(double seq, z_(m,n)을 m번째 seq로 볼 수 있다.)
-z_(m,n)이 double limit이 존재하면, lim m->inf lim n->inf z_(m,n)도 존재(역은 성립하지 않음)
-Tonelli나 Fubini정리 사용가능 조건이면
-sum from m=1 to m=inf {sum from n=1 to n=inf z_(m,n)}은 double series의 limit과 같게 된다.
(sum from n=1 to n=inf 부터 적어도 마찬가지)
fCbdd(TS):uniform metric을 주면 BS
fCconti(TS):uniform metric을 주면 BS
fCcontibdd(TS):uniform metric을 주면 BS
fCcontiKS(TS):uniform metric을 주면 BS
fCcontiV(TS):uniform metric을 주면 NVS
*기초 부등식
1. 1-x<=e^(-x) for x in [0,1]
2. (Young's Inequality)a:nnn, b:nnn, 1/p+1/q=1, p>0, q>0이면 ab<=(1/p)*a^p + (1/q)*b^q (link)
3. for iv {a_n}, iv {b_n} s.t. |a_n|<=1, |b_n|<=1,
|Prod from i=1 to i=n a_i - Prod from i=1 to i=n b_i|<=sum from i=1 to i=n |a_i - b_i|
*Special Functions
1. Gamma function(T(z)라 적자.)
-History:Euler가 Factorial function n!의 domain 확장할 때 알아냄
-정의:factorial의 일반화(link1)(link2)
-성질:
-T(z):meromorphic with poles 0, (-1), (-2), ...
-(1/T(z)):entire with zero at 0, (-1), (-2), ...
-T(z+1)=z*T(z), T(1)=1(link)
-T(1/2)=sqrt(pi), T(3/2)=sqrt(pi)/2 (더 감소한다, 증가할 것 같았는데)(link)
-Re(z)>0인 z에 대해 T(z)는 적분으로 표현가능(link1)(link2)
2. Beta function(Β(z1,z2)라 적자.)
-정의:for Re(z1)>0, Re(z2)>0, Β(z1,z2):=int over [0,1] t^(z1 - 1) * (1-t)^(z2 - 1) dt.
-성질:
-Β(z1,z2)는 z1,z2에 대해 symmetry
-Β(z1,z2)={T(z1)*T(z2)}/(T(z1+z2))(link1)(link2)
| 수학정리(Group Theory, Ring Theory, Field Theory, Module Theory, Vector Space, Algebra Theory) (0) | 2016.02.29 |
|---|---|
| 수학정리(Set Theory, Measure Theory) (0) | 2016.02.29 |
| 수학정리(Applications, Econometrics) (0) | 2016.02.09 |
| 수학정리(Elementary Inequalities) (0) | 2015.11.16 |
| [수학]수학정리(Second-Edition) (1) | 2014.05.26 |
S_Omega.pdf
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