수학정리(Set Theory, Measure Theory)

*Set Theory

-About Set Operation

-cartesian product는 intersection하고만 commute

-AΔB=A^C Δ B^C

-(a-union E_n) Δ (a-union F_n) < [a-union (E_n Δ F_n) ]

-(c-union E_n) 교 F = c-union (E_n 교 F)

-About Function f with set operation

-f^(-1)은 union, intersection, difference, inclusion을 모두 preserve함

-f은 inclusion과 union만 preserve함

-f가 1-1이면 f^(-1)(f(E))=E

-f가 onto이면 f(f^(-1)(E))=E

-About Well-Ordered Order Relation(Order Relation관련 용어 정의(link))

-J가 well-ordered이면 largest element(존재한다면)빼고는 나머지 원소들은 immediate successor를 항상 가짐

-J가 well-ordered이면 least upper bound property를 만족한다. 

-J가 well-ordered이면 J의 subset도 well-ordered

-J1, J2가 well-ordered이면 J1xJ2 with dictionary order도 well-ordered

-About Section

-J1xJ2의 subset E에 대해

-section은 complement, (arbitrarily)union, (arbitrarily)intersection, difference과 interchangable

-Map:J1xJ2->J3에 대해

-J3에 연산이 있었으면 section은 분배가능

-J3가 MetricS였다면, lim와 section이 interchangable

-About Major Axioms(AOC, HMP, WOT, ZL)

-(AOC), Given a collection C of disjoint nonempty sets, te a set D consisting of exactly one element from each element of C

-(Existence of a choice function), Given a collection C of nonempty sets, te a function c:C->union of all E in C s.t. c(S) is an element of S, for each S in C

(즉 C에서의 원소(set인)S마다 S의 원소를 택하는 choice function)

-(Well-ordering Theorem)임의의 E에 대하여, te strict total order relation s.t. E is well-ordered

-(Existence of S_Z)te uncountable well-ordered set s.t. every section is countable

-(HMP)E with strict partial order relation, te maximal subset F with strict total order relation

-(ZL)E with strict partial order relation이고 every subset F of E with strict total order relation(이런 F를 chain in E라 한다.) has an upper bound in E이면 E는 largest element를 갖는다.

({non strict partial order} bijection {strict partial order}이므로, non strict partial order로 theorem이 state되기도 한다.)

(AOC,HMP,WOT,ZL 중 1개를 쓴다는 것은 명시적인 선택 방법은 주지 않은 채 원소들을 선택함을 포함, 이 4개중 1개를 사용하여 증명하면 이 증명은 자동적으로 non-constructive, 즉 그 증명에서의 존재성 등이 실제로 존재하는 대상을 만드는 방법을 주지는 않는다는 것이 된다.)

*Measure Theory

-About Collection of subsets

-About C3

-(Monotone Class Theorem):MC(C3)=C4(C3)(link)(특히 C3가 MC이면 C4가 된다.(link))

-C3가 finite이면 C4이다.

-closed under complement, f-intersection, f-union, relatively complement

-{C3_n}이 inc이면 c-union C3_n은 C3가 된다.

-collection of subsets:C3 iff closed under relatively complement and containing 전체집합

-About C4

-C4는 closed under c-union, c-intersection, complement, relatively complement

-C4는 확률론에선, 가진 information을 표현하는 한 기법이다.

-{C4_n}의 c-union은 C4가 안된다.(inc하더라도 안됨)

-C4(C)는 전체 집합 J에서 C의 원소들로 쪼개진 the finest partition의 원소들의 union+empty이다.

-countable infinite C4는 존재하지 않는다.(link)`

-J1<J2, C4 of J2가 있을 때, J1에 C4를 induce하는 방법은 J1 intersection C4(link)

-J1<J2, C:collection of subsets in J2에 대해 C4(C) intersection J1은 J1의 C4가 되고 C4(C) intersection J1=C4(C intersection J1)

-f:J1->(J2,C4), 

-f^(-1)(C4)는 C4 on J1이 된다.

-f:J1->J2, C:collection of subsets of J2, f^(-1)(C4(C))=C4(f^(-1)(C)) 

-About LC

-LC need not be closed under f-intersection

-C:a collection일 때 LC(C) < C4(C)

-(Dynkin's Theorem)PC<LC이면 LC(PC)=C4(PC) < LC

(즉 PC가 LC에 포함되면 PC의 확장은 LC를 벗어나질 못함)

-LC가 PC이기도하면 LC는 C4가 된다.

-About Seq of Sets and Indi

-liminf(E_n)의 해석

-te k in N s.t. for n>=k, x in E_n인 x들의 모임

-c-sum indi_(E_n^C) (x) <inf인 x들의 모임

-limsup(E_n)의 해석

-for infinitely many k in N, x in E_k인 x들의 모임

-c-sum indi_(E_n)(x)=inf인 x들의 모임

-liminf(E_n)=<limsup(E_n)

-[liminf(E_n)]^C = [limsup(E_n^C)]

-limsup(E_n U F_n) = limsup(E_n) U limsup(F_n)

-liminf(E_n 교 F_n) = liminf(E_n) 교 liminf(F_n)

-limsup(E_n 교 F_n) < limsup(E_n) 교 limsup(F_n)

-liminf(E_n U F_n) > liminf(E_n) U liminf(F_n)

-liminf(E_n)=limsup(E_n)일 때, lim (E_n)정의함

-lim (E_n), lim (F_n)이 있을 때, lim은 union에 대해 분배법칙 성립, lim은 intersection에 대해 분배법칙 성립

-E1<E2일 때, indi_E1 <= indi_E2

-indi_E^C = 1 - indi_E

-indi_inf(E_n) = inf(indi_(E_n))

-indi_liminf(E_n) = liminf indi_(E_n)

-indi_limsup(E_n) = limsup indi_(E_n)

-indi_sup(E_n) = sup(indi_(E_n))

-indi_union(E_n) <= sum indi_(E_n)

-indi_E1ΔE2 = indi_E1 + indi_E2 (mod 2)

-{E_n}:inc일 때, lim(E_n)=union E_n

-{E_n}:dec일 때, lim(E_n)=intersection E_n

-About nnn sf

-f-additive이면 monotone(if)성립

-empty->0일 때, f-additive(if) and countably monotone1 iff c-additive(if)

-About OM, OME

-About OM

-충분조건

-nnn sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, countably monotone1 for {J_n}:disjoint, has finite value

-nnn sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, monotone, countably monotone2 for {J_n}:disjoint, has finite value

-필요조건

-monotone

-건설법

-nnn sf:C2->[0,inf]가 empty->0이기만하면 (nnn sf)*:P(J)->[0,inf]로 확장하며 건설가능

-PM* (PM on C3로 induce한 OM)의 성질

-PM*는 PM의 extension이다.(즉 C3상에서는 PM*과 PM은 같음)

-for E in C3, E는 PM*ME

-{all PM*ME}는 C4가 됨 -> C3(U), C3(I), C3(U)(I), ... 각각의 원소들 모두 PM*ME됨도 앎

-PM*는 r-OM

(구체적으로, for any E in P(J) and for any eps, te E1 in C3(U) s.t. E<E1 and PM*(E1)<=PM*(E)+eps)

(게다가 for any E in P(J), te E2 in C3(U)(I) s.t E<E2 and PM*(E)=PM*(E2))

-E가 PM*ME iff te E2 in C3(U)(I) s.t. E<E2 and PM*(E2-E)=0

(only if를 보일 때는 sf-PM일 때만 가능)

-restriction of PM* 

-to C4(C3)

-PM*는 M이 된다.

-C3(U)까지는 다른 measure, which is a extension of PM, 과 PM*는 같아짐

(즉 for E in C3(U), M(E)=PM*(E) where M is a extension of PM)

-C4(C3)까지는 다른 measure, which is a extension of PM, 보다 약간 클 수 있음

(즉 for E in C4(C3), M(E)<=PM*(E) where M is a extension of PM)

(단, PM*(E)<inf이면 M(E)=PM*(E) for E in C4(C3)됨)

-sf-PM이었다면, C4(C3)으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일

-to {all PM*ME} 

-sf-PM이었다면, {all PM*ME}으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일

-CM

(C3<C3(U)<C3(U)(I)<C4(C3)<{all PM*ME})<P(J))

(이 때 nnn sf s.t. empty->0, f-additive(if), countably monotone2(if) for {J_n}:disjoint로 induce생각가능)

(위 sf는 C3로 extension되고 unique한 PM됨을 이용)

-(sf-M,C4)로 induce한 OM, 이 경우 {all OME}로의 restriction은 (sf-M,C4)의 completion

-SC3에서의 nnn sf로 extension

-nnn sf:SC3->[0,inf], empty->0, f-additive(if), countably monotone2(if)(dis)로 OM induce가능

(조금 더 좋은 조건은 애초에 SC3에서 PM이기만 해도 됨)

-C3(SC3)에서의 unique PM, which is the extension of nnn sf on SC3

-nnn sf가 sigma-finite였다면 unique PM on C3(SC3)도 sigma-finite

(C3에서의 PM으로 induce한 PM*논의 가능)

-RSC3에서의 PM으로 extension

-RC3(RSC3)에서의 unique PM, which is the extension of PM on RSC3

-PM on RSC3가 sf-PM이었다면, unique PM on RC3도 sf-PM

-unique PM on RC3로 induce한 PM*에 대해서

-sf-PM이었다면, C4(RSC3)으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일

-sf-PM이었다면, {all PM*ME}으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일

-{all PM*ME}에서 CM

-About OME

-OM(A)=OM(A교E)+OM(A-E) for A in P(J) s.t. OM(A)<inf만 판정해도 OME판정 가능

-{all OME}은 C4가 된다.

-OM(E)=0이면 E는 OME

-About Other Properties

-{all OME}는 C4가 된다.

-restriction of OM to {all OME}는 CM이 된다.

-E1<E2 in P(J)에 대해 OM(E2-E1)=OM(E2)-OM(E1)이 성립하려면 E1:OME and OM(E1)<inf인 게 필요

-E1<E2 in P(J)에 대해 OM(E2-E1)=0이면 OM(E2)=OM(E1) (역은 성립 안함, 즉 OM(E2-E1)=0이 강함)

-OM1, M:restriction of OM1 to {all OM1ME}, OM2:OM induced by M일 때

-OM1<=OM2

-OM1(E)=OM2(E) iff te OM1ME E1 s.t. E<E1 and OM1(E)=OM1(E1)

-OM1이 r-OM iff OM1(E)=OM2(E) for any E in P(J)

-About PM

-f-additive(if)

-monotone(if)

-domain이 C3에서는 

-monotone

-f-additive

-countably monotone1

-domain이 C4에서는 PM은 M이 된다.

-About M, ME

-About M

-(Measure Equality)

:(J,C4)에서 M1, M2가 있을 때, C={E in C4 s.t. M1(E)=M2(E)}는 LC된다.

:(J,C4)에서 M1, M2가 있을 때, C가 PC이고, M1=M2 on C이면 M1=M2 on C4(C)

(즉 (R(std), C4(TS))에서 C4(TS)의 PC인 subcollection에서 ProbM1과 ProbM2가 서로 같으면 ProbM1=ProbM2 on C4(TS))

(구체적으론 DF1 from ProbM1과 DF2 from ProbM2가 같으면 ProbM1=ProbM2 on C4(TS))

(따라서 ProbM on (R(std), C4(TS))는 DF에 의해 uniquely determined)

-monotone

-(Conti from Below){E_n}:ME and inc이면 M(lim E_n)=lim M(E_n)

(C4에서 nnn set function이 Conti from Below and finite-additive이면 the set function은 Measure가 된다.)

(C4에서 nnn set function(J)<inf이면 Conti from ABoce and finite-additive이면 the set function은 Measure가 된다.)

-(Conti from Above){E_n}:ME and dec and M(E_1)<inf이면 M(lim E_n)=lim M(E_n)

-M(c-intersection E_n) <= M(liminf E_n) <= liminf M(E_n) <= limsup M(E_n) <= M(limsup E_n) <= M(c-union E_n)

(link)

-(Borel-Cantelli Lemma) c-sum M(E_n) < inf이면 M(limsup E_n)=0 

-f-M/sf-M/smf-M 관련

-f-M일 때는 Probability Measure 참조

-M이 있으면 smf-M도 만들 수 있고 M=smf-M + M2으로 decomposition가능, 이 때 M2는 0과 inf만 가짐

-smf-M(ME)=inf일 때, for any n in N, te F<ME s.t. F:measurable and n<=smf-M(F)<inf(link)

-sf-M의 합도 sf-M이 된다.

-sf-M(X)=inf일 때 X를 만드는 것들이 disjoint하게 만들 수도 있고, 각각이 n<=sf-M(ME_n)<inf 할 수도 있다.

-About ME

-{E_n}:ME이면 sup E_n, inf E_n, liminf E_n, limsup E_n 모두 ME

-Null-ME라 해서 subset이 Null-ME인지는 모름(Completion개념 필요)

-Measure Space(J1,C4,M)를 complete하게 만드는 방법은 C4을 C4'으로 확장한다.

-C4`={ME union subset of Null-ME}

-sf-ME의 c-union, c-intersection모두 sf-ME가 된다.

-About {M_n}(M_n:fixed C4->[0.inf], C4는 sigma algebra of J라 하자.)

-inc이고 setwise cv to a set function f이면 f도 measure다.(link)

-setwise cv to a set function f인데 f(J)<inf이면 f도 measure다.(link)(보충 필요)

-About Product Measure

-PrM과 Product C4만드는 과정(link1)(link2)

Step1-MR다 모은 것이 SC3됨, SC3상에서 적절한 nnn set function정의

Step2-PM on C3을 얻고, PM* on PM*C으로의 restriction을 PrM이라 한다.

(Real Analysis에선 Product C4를 C4({All PM*-ME})로 보고, Probability Theory에선 C4(C3({All MR}))로 본다.)

-Tonelli와 Fubini Theorem으로 가는 Step

Step0 PrM의 유일성과 Completeness

-sf-M1, sf-M2로 만든 PrM는 sf-, unique, CM이다.

Step1 About PrC1

-PrC1의 원소의 section은 각 M1, M2의 C4의 원소가 된다.(using C4-Techniques)(link)

-MF on (X1×X2, PrC1)의 section은 MF on (X1,C4), on(X2, C4) 된다.(link)

-sf-M1, sf-M2, PrC1

-f-M1, f-M2일 때 먼저 해결(link1)(link2)

-sigma finite일 때로 확장(link3)

Step2 About PrC2

-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrM(E)=0인 E의 section은 각 sf-CM1=0, sf-CM2=0 a.e.(link)

-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrC2의 원소의 section은 각 sf-CM1, sf-CM2의 C4의 원소가 된다. a.e.(link)

-sf-CM1, sf-CM2, PrC2(link)

-sf-CM1, sf-CM2, nnn MF on (X1×X2, PrC2)(using simple+MCT)(link)

-sf-CM1, sf-CM2, integrable on (X1×X2,PrC2)(using Tonelli)(link)

note)(MF의 section말고 완전히 쪼개질 수 있는 case의 경우)

-MF1 on (X1,M1,C1_1), MF2 on (X2,M2,C1_2)-> MF1*MF2는 MF on (X1xX2, PrC1)(using simple)

-g1:integrable on X1 wrt M1, g2:integrable on X2 wrt M2->f=g1*g2:integrable on X1xX2 wrt M1xM2

게다가 int f d(M1xM2)=int g1 dM1 * int g2 dM2(using simple+integrable func)

note)counting measure에서의 Tonelli, Fubini theorem의 의의

Tonelli:double series interchangable when nnn sequence

Fubini:double series interchangable when abs cv double series

(abs cv double series란 |seq|의 finite partial sum의 double limit:finite을 가리킨다.)

-About MF(f:(J1,C4(1))->(J2,C4(2), 특히 rdv도 MF인 것을 고려)

-(iff)C4(2)의 generating set의 inverse image가 C4(1)에 속한다.

-f^(-1)(C4(2))는 C4가 된다. 따라서 f는 f^(-1)(C4(2))-measurable(C4(1)이 무엇이든 항상 가능)

-MF의 정의역에 Measure가 있으면 공역에도 Measure를 건설할 수 있다.(by using MF, M)

-MF와 MF가 composite하면 MF를 얻는다.(conti(MF)인 경우가 많음)

-C(MS)에서 MF인 f가 있다면 MS에서 MF인 g를 만들 수 있다. s.t. f=g CM-a.e.

-CMS에서 MF인 f, f=g CM-a.e.이면 g도 MF

-{f_n}:pt cv a.e. to f이면 f가 MF인지를 모름(단, 정의역이 CMS이면 f가 MF임을 앎)

-(J2,C4(2))=(ETR,C4(TS))인 경우

-(J1,C4(1))의 measure가 f-M인 경우는 rdv을 참조

-g:erv이고 {MF_n}:rv, pt cv a.e. to g이면 g가 MF iff M은 complete

-MF판정법

-monotone이면 MF된다.(정의역에 ordering이 있을 때)

-C4(TS)의 generating set에 대해서만 판단하여도 된다.

-(J1,C4(1))=(TS,C4(TS))인 경우, conti이면 MF된다.

-{MF_n, 각 정의역 C4(1)이 같을 때}(적분관련 convergence는 더 밑에 있음)

(http://www.johndcook.com/modes_of_convergence.html 참조, well-organized)

-sup MF_n, inf MF_n, limsup(MF_n), liminf(MF_n) 모두 MF가 된다.

-{x in J1 s.t. lim MF_n(x) exists}는 C4(1)의 원소가 된다.(link)

(Egoroff's Theorem)

-ME1:finite measure, {MF_n}:finite a.e. on E, pt cv a.e. to MF이면 for any eps, te ME2<ME1 s.t. M(ME2)<eps and {f_n}:uni cv to f on ME1-ME2(link)

-{MF_n}:cauchy in M이면 te subseq of {MF_n} and MF s.t. the subseq pt cv a.e. to MF(link)

-{MF_n}:cauchy in M iff {MF_n}:cv in M(link1)(link2)

-{MF_n}:cv in M이면 every subseq of {MF_n}도 cv in M

-{MF1_n}:cv in M, {MF2_n}:cv in M이면 {MF1_n + MF2_n}도 cv in M, {MF1_n * MF2_n}도 cv in M

(곱은 f-M에서만 가능)

-{MF_n}:pt cv a.e. (real-valued), g:(R,C4(TS)->(R,C4(TS)):conti이면 {g(MF_n)}도 pt cv a.e.

-{MF_n}:cv in Lp이면 cv in M(0<p<inf)(link)

-{MF_n}:cv in Lp이면 ||MF_n||_p 은 ||MF||_p로 수렴(역은 성립 안함)(1<=p<=inf)(link)

-{MF_n}:rv a.e., almost uni cv이면 {MF_n}:pt cv a.e.

-{MF_n}:rv a.e., almost uni cv이면 {MF_n}:cv in M

-(Scheffes's Lemma for MF_n)(link)

:{MF_n}:cv in L1 iff lim n->inf sup over E in C4 [int over E MF_n - int over E MF]=0

-{All nnn measurable simple functions}의 성질

-Vector Space over R

-곱셈, finite sup, finite inf에 closed

-적분(int)정의함

-int은 linear, monotone

-{ME_n}:inc이고 S:nnn measurable simple function일 때, 

int(S over c-union(ME_n))=lim n->inf int(S over ME_n)

-{nnn MF}의 성질

-Closure in the top of pt cv in the function space {All nnn measurable simple functions}={nnn measurable functions}

-+, *, 양의 실수곱에 대해 닫혀 있음

-(Approximation by Simple Functions)(S_n을 seq of simple function이라 하자.)(link)

-nnn MF가 있으면 te {S_n} s.t. nnn, simple measurable and pt cv to MF

-게다가 {S_n}은 MF가 bdd인 J1의 subset에서는 uni cv하게 됨

-(J1,C4(J1))에 sf-M가 있었다면, {S_n}을 finite support인 걸로 잡을 수 있음

(여기서 finite support는 TS에서와는 조금 다르게 생각, 즉 closure인 걸 빼고 생각하자, 정의역에 Topology가 있었다면 finite support 그대로 생각 해도 무관)

-MF(nnn일 필요는 없는)가 있으면 te {S_n} s.t. 0<=|S_1|<=|S_2|<=...<=|MF| and pt cv to MF

-게다가 {S_n}은 MF가 bdd인 J1의 subset에서는 uni cv하게 됨

-적분(int)정의함

-int(f over J)=0 iff f=0 a.e.

-monotone seq of nnn measurable simple functions을 이용하여 적분 정의

-혹은 그냥 seq of nnn measurable simple functions의 적분의 sup으로도 정의함

(전자로 정의하면 well-definedness 보여야)

-(Monotone Convergence Theorem)

:{nnn MF_n}:inc pt cv a.e. to MF일 때, lim과 int change가능(link)

-{nnn MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 f_n<=f a.e. (즉 inc대신)일 때, lim과 int change가능

-(Series and Integral)

:{nnn MF_n}, series랑 int change가능

-(Fatou's Lemma)

:{nnn MF_n}에 대해 int(liminf MF_n)<=liminf(int(MF_n)) (link)

-적분은 monotone, linear(스칼라곱은 양수에 대해서만)(link)

-nnn MF가 Integrable하면 

-MF^(-1)(MF=inf)은 Null-ME

-MF^(-1)(MF>0)은 sf-ME

-일반적인 MF(nnn일 필요 없는)의 적분(X를 MF라 하자.)

-quasi-integrable

-정의:int(X^+)<inf or int(X^-)<inf iff int(X)<inf 

-X:quasi-integrable->int(a*X)=a*int(X) for a in R

-linearity when {int(X^+)<inf and int(Y^+)<inf} or {int(X^-)<inf and int(Y^-)<inf}이면 int(X+Y)=int(X)+int(Y)(link)

-integrable

-정의:int(X^+)<inf and int(X^-)<inf iff int(|X|)<inf 

-M(E)=0인 E에 대해 int over E MF=0(정의 생각)

-integrable한 f,g에 대해 linearity, monotone

(Integration의 additive는 둘다 nnn MF(즉 같은 부호)이거나, 둘다 integrable이거나, 같은 부호 part가 integrable이거나가 성립해야만 가능)

(f,g:integrable이면 max{f,g}, min{f,g}도 integrable이고, int max{f,g}=int f +int g - int min{f,g})

-MF:integrable이면 MF^(-1)(MF is nonzero)는 sf-ME(link)

-MF:integrable이면 epsilon(int of |MF|의 upperbound)-delta(적분 영역의 upper bound)가 성립(link)

-MF:integrable이면 epsilon(int |f| over J - int |f| over E)에 대하여 finite measure E 존재(link)

-MF:integrable이면 E_n={x in J s.t. |MF(x)>n|}에 대해 lim n->inf int over E_n |MF| =0

-MF:integrable이면 E_n s.t. lim n->inf M(E_n)=0에 대해 lim n->inf int over E_n |MF| =0(link)

-uniformly-integrable (u.i.)

-정의:{MF_i}:u.i. iff lim a->inf sup over k [int over {|MF_i|>a} |MF_i|]=0 

({MF_n}일 때는 iff {MF_n}:D-Martingale 도 됨)

-성질

-{MF}, MF:integrable이면 {MF}:u.i.

-{MF_i}, |MF_i|<=g, g:integrable이면 {MF_i}:u.i.

-{MF_1,MF_2,...,MF_n}(finite sequence), 각각이 integrable이면 {MF_1,...,MF_n}:u.i.

-{MF1_i}, {MF2_i}:u.i., |MF1_i|<=|MF2_i|이면 {MF1_i}:u.i.

-(Crystal Ball Condition)(link)

:a>0, b>0에 대해 sup over i int |MF_i|^(a+b)<inf이면 {|MF_i|^a}:u.i., {|MF_i|^b}:u.i.

-(Crystal Ball Condition, General)(link)

:te g:[0,inf)->[0,inf) s.t. lim x->inf g(x)/x =inf and sup over i int g(MF_i)<inf이면 {MF_i}:u.i. 

-f가 integrable이고 f=g a.e. 이면 int(f)=int(g) and g도 integrable

-f가 integrable이면 f=g a.e. iff int over E (f) = int over E (g) for any E in PC generating C4(link)

-(Integral Comparison Lemma)

:(J,C4,M), C:sub sigma-algebra of C4, f:C-measurable, g:C-measurable일 때

-f=g a.e. iff for any E in C, int over E f dM = int over E g dM

-f>=g a.e. iff for any E in C, inter over E f dM >= int over E g dM

-int (|MF|)=int over [0, inf) M(|MF|>t) dt(link)

(특히, nnn인 MF에 대해서 이용됨)

-(Monotone Convergence Theorem)(link)

:{MF_n}:inc, pt cv a.e. to MF f이고 f_n>=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능

:{MF_n}:dec, pt cv a.e. to MF f이고 f_n<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능

(pt cv a.e. to MF f 대신 cv in M와도 Monotone Convergence Theorem성립)

-(Series and Integral)

:g=series from k=1 to k=inf |MF_n|이 integrable이면 series랑 int change가능

-(Fatou's Lemma)

:{MF_n}에 대해 MF_n>=g a.e., g:integrable이면 int(liminf MF_n)<=liminf(int MF_n)

:{MF_n}에 대해 MF_n<=g a.e., g:integrable이면 limsup(int MF_n)<=int(limsup MF_n)  

-(Dominated Convergence Theorem)  

:{MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능

:{MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 cv in L1도 됨

:{MF_n}:cv in M, |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능, cv in L1도 됨(link)

-(Transformation Theorem)(link1)(link2)

:T:(J1,C4(1), M1)->(J2,C4(2)), Y:(J2,C4(2))->(ETR,C4(TS))이고 X=Y(T), T,Y가 모두 measurable일 때 

1. (J2,C4(2))에도 Mesure(M2라 하자.)를 줄 수 있다. using (J1,C4(1),M) and T

2. Y가 nnn이면 int over J1 X dM1 = int over J2 Y dM2

3. Y가 M2-integrable iff X:M1-integrable, 이 때, M2을 이용한 적분=M1을 이용한 적분

-Some Inequalities

-(Markov's Inequality)

:for a>0, M(|MF|>a)<=int(|MF|)/a(link)

-(Chebysheff's Intequality)

:for a>0, b=int(MF), M(|MF-b|>a)<=int(|MF-b|^2)/a^2(link)

-Lp-Space, 

-(0,inf]에서

-p-norm정의 Lp정의, 

-Lp is a vector space over R

-0<a<b<c<=inf, Lb is subset of (La+Lc)(link)

-0<a<b<c<=inf, (La intersection Lc) is subset of Lb(link)

-Monotone Convergence Theorem, DCT 등 사용 가능(DCT이용하면 cv in Lp보일 수 있으나, MCT이용가능 한 상황이라 해서 cv in Lp는 알 수 없음)

-(0,inf)에서

-simple measurable function with finite support is in Lp

(여기서 finite support는 TS에서와는 조금 다르게 생각, 즉 closure인 걸 빼고 생각하자, 정의역에 Topology가 있었다면 finite support 그대로 생각 해도 무관)

-MF is in Lp일 때, 기존 pt cv simple measurable functions가 with finite support인걸로 가능

(use E_n:={x in J s.t. |MF(x)|>=1/n})

-[1,inf]에서(Norm정의가능)

-Holder ineq(conj(p,q,r)가능)(=은 (non zero a)f=(non zero b)g a.e.)(link)

-Minkowski ineq(=은 f=(nnn k)q a.e. or g=(nnn k)f a.e.)(link)

(무한합도 가능, MCT이용)

-Complete NVS(즉 BS됨)

-

-[1,inf)에서

-(Lp)^* iiso Lq

(단, p=1일땐 M가 sM일때, sigma-finite, 성립)

-(1,inf)에서

-(Lp)^* iiso Lq

-따라서 Lp:reflexive

-uniformly convex

-(0,1)에서

-기타

-lim p->inf ||f||_p = ||f||_inf되는 충분조건

(1) f-M

(2) f is in Lq (q in [I2 )(link)

-About sM

-{+ME_n}의 c-union, c-intersection, difference도 +ME된다./{-ME_n}도 마찬가지

-+ME의 measurable subset(subME)도 +ME/-ME의 measurable subset(subME)도 -ME

-ME1<ME2, |sM|(ME2)<inf이면 |sM|(ME1)<inf이다.

(하지만 +ME에서는 sM(subME)<=sM(+ME)가 성립, -ME에서는 sM(subME)>=sM(-ME)가 성립)

(절댓값 생각하면, |sM(subME)|<=|sM(ME)|가 성립, ME가 +든 -든)

-(Conti from Below){E_n}:ME and inc이면 sM(lim E_n)=lim sM(E_n)

-(Conti from Above){E_n}:ME and dec and |sM|(E_1)<inf이면 sM(lim E_n)=lim sM(E_n)

-(Hahn Decomposition Theorem)(link1)(link2)

:(J1,C4(1),sM)이 있을 때, te +ME, -ME s.t. {+ME, -ME}:a partition of J1

(다른 +ME2, -ME2도 성립한다면, (+ME Δ +ME2)는 Null-sME)

(0<sM(ME)인 ME의 measurable subset E중 +ME이면서 0<sM(E)인 것이 존재한다.) 

-sM은 항상 Maximum value와 Minimum Value를 assume한다.

-(Jordan Decomposition Theorem)(link)

:for any sM, te! two M1, M2 s.t. M1, M2:ms, sM=M1-M2(사실 M1은 +sM, M2은 -sM됨)

-sM, +sM, -sM, |sM| 과의 관계(+sM, -sM, |sM|모두 그냥 M이다.)

-sM:finite<->+sM:finite and -sM:finite

-sM:sigma finite<->+sM:sigma finite and -sM:sigma finite

-+sM(ME)=sup{sM(F)|F subset of ME and F:ME}, -sM(ME)=-inf{sM(F)|F subset of ME and F:ME}

(혹은 +sM(ME)=sM(ME intersection +ME), -sM(ME)=sM(ME intersection -ME), +ME와 -ME는 sM의 HD)

-(f:rv일 때)f:integrable wrt |sM|<->f:integrable wrt +sM and -sM

-sM1 ms sM2 <->  sM1 ms |sM2| <-> |sM1| ms |sM2| <-> sM1 ms +sM2 and -sM2

-sM1과 sM2 ms sM인 경우 linear combination of sM1 and sM2도 ms sM(well-defined되면)

-sM1<<sM2(Abs conti, (J,C4), 같은 C4에서의 signed measure에 관한 내용)

-<<는 reflexive, transitive되나 antisymmetric은 안됨(따라서 equivalence 못만듦)

-sM<<M iff +sM<<M and -sM<<M

-sM1<<sM and sM2<<sM이면 sM1과 sM2의 linear combination(well-defined될 때)<<sM

-f-sM<<sM iff for any eps>0, te delta>0 s.t. for any E in C4 s.t. |sM|(E)<delta, |f-sM|(E)<eps

-(Radon Nikodym Theorem)(measure represented by integration over another measure)(link1)(link2)(link3)

:sf-M1 << sf-M2 이면 sf-M1을 represent하는 nnn rv MF가 존재, unique up to sf-M2-a.e.

:f-sM << sf-M 이면 f-sM을 represent하는 integrable wrt sf-M이 존재 unique up to sf-M-a.e.

(Probability Theory에서 rdv:(J,C4, ProbM)->(R^n(std), {all LME}), F:=ProbM(rdv^-1)에 대해서 

sf-M1=F, sf-M2=LM일 때를 주로 가리키고 이 때 얻은 nnn, rv, integraable, MF를 density of F라 한다.)

(Probability Theory에서 DF를 통해 density f를 단지 미분으로 구할 수 있는 상황은, DF << lebesgue이고 이러한 경우가 안될 때는 언제냐면, DF가 불연속점을 가질 때이다. 

DF가 불연속점은 at most countable이고, DF가 미분 불가능한 점은 LM-a.e.이다.(Lebesgue's Theorem에 의해) 고로 DF가 거진다 미분가능하고 그때 density구할 수 있음. DF가 미분불가능할 때 density는 아무렇게나 정의해버려도 어쨌든 적분값은 상관없게 됨.)

(discrete rdv인 경우는, density=0 a.e.이므로 pmf로 새로이 정의한다.)

-(Lebesgue Decomposition Theorem, LDT)의 여러 version(link1)(link2)

:sf-M1, sf-M2가 있으면 sf-M1=sf-M3 + sf-M4 s.t. sf-M3 << sf-M2 and sf-M4 ms sf-M1(unique)

:sf-sM, sf-M이 있으면 sf-sM=sf-sM2 + sf-sM3 s.t. sf-sM2 << sf-M and sf-sM3 ms sf-M