수학정리(Elementary Inequalities)

기본적인 부등식들 정리

일단은 분류 없이 적기

=조건을 안다면 밑에 =조건적기(충분, 필요)

가장 제너럴한 경우가 있더라도 구체적인 경우 그대로 두기, 가장 제너럴한 경우 제너럴하다고 적기

무한급수, 무한수열 등은 따로 정리, 유한개만 다루도록

참고교재

-cry4you, 절대부등식 정리 Inequalities1,2,3,4,5

-Equations and Inequalities

각각의 경우마다 실제 수들을 넣어보는 연습하기

각각의 notation을 따른다.

-실수 수열 x1,x2,.../y1,y2,.../z1,z2,.../

-증가 ix1,ix2,...(ix1<=ix2<=...)

-감소 dx1,dx2,...(dx1>=dx2>=...)

-strict 증가 six1,six2,...(six1 < six2 < ...)

-strict 감소 sdx1,sdx2,...(sdx1 > sdx2 > ...)

-양수조건이 필요하면 p붙여서, 음수조건이 필요하면 n붙여서

-psix1,psix2,...는 양수이면서 strict inc

-psdx1, psdx2,...는 양수이면서 strict dec

-양수이고 합이 1인 경우 weight의 w를 따서 w1,w2,...

-정수 수열 a1,a2,.../b1,b2,.../c1,c2,.../

-증가, 감소, strict 증가, strict 감소, 양수, 음수  모두 실수와 같이

-수열의 합은 Σ(~)

-Σ(x)는 x1,x2,...,xn, 즉 별말없으면 n항까지의 합

-Σ(x *y)는 (x1 * y1) +(x2 * y2) + ... (xn * yn)

-Σ(x^2)은 (x1)^2 + (x2)^2 + ... + (xn)^2

-Σ(x^y)은 x1^y1 + x2^y2 + ... + xn^yn

-수열의 곱은 Π(~)

-Π(x)는 x1,x2,...,xn, 즉 별말없으면 n항까지의 곱

-Π(x + y)는 (x1 + y1) * (x2 + y2) * ... * (xn + yn)

-x:fixed란, x1 = x2 = ... = xn

-Rev(x)란, x의 순서를 뒤집은 것

-Rearg(x)란, x의 순서를 섞은 것

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

*Methods

-equivalent transforms이용

-양변에 양수곱하기

-음수곱하면 부등호 반대

-양변에 같은 수 더하기, 빼기

-양변에 양의 지수 취하기

-음의 지수 취하면 부등호 반대

-특히 -1를 취해서 역수 생각, 특히 분수들 나왔을 때

-irreversible transformations이용

-A >= B를 보이기 위해 A=A1+A2+...+An, B=B1+B2+...+Bn로 decompose해서 Ai >= Bi를 보임

-A >= B + C를 보이기 위해 A = A1 + A2로 쪼개서 A1 >= B, A2 >= C를 보임, 즉 꼭 둘 다 나눌 필요는 없음

-곱하기인 경우도 part를 나눠서 보여도 됨

-분모를 줄이거나 늘리기

-Estimation Method(Lower, Upper bound찾기)

-각 term의 bounds를 찾아 더한다.

-각 term의 더 좋은 형태의 bounds를 찾아본다.

-terms를 pairing해서 bounds를 찾아본다.

-팩토리알, (n-1)/n! = 1/(n-1)! - 1/n!으로 쪼개서 bound가 더하기 좋은 형태로 만들어본다.

-분수, 1/n^2 <= 1/n(n-1) , 즉 bound가 더하기 좋은 형태로 만들어본다.

-적절히 수정하였더니 자기 자신을 포함하는 형태의 부등식일 수 있음

-Symmetry

-부등식이 Symmetric인 경우(변수들에 대하여, 모든 변수들일 필요도 없고 몇몇개가 Symmetric이어도) 변수에 임의의 order를 줄 수 있다.

-Homogeneous

-부등식이 Homogeneous란, 각 변수 x1,x2,...,xn에 for positive t, tx1, tx2,..., txn을 넣어도 equivalent inequality를 얻을 때

-부등식이 Homogeneous되는 경우, 한 변수를 1로 만들거나, 각 변수의 합이 1이 되게 만들거나 등등, 변수 개수를 1개 줄일 수 있다.

-Use Algebraic Formula

-몇몇 항등식을 이용하여 term by term으로 비교할 수도 있다.

-α^n - β^n=(α-β)(...)

-

*Theorems

(AM>=GM)

-Σ(px) / n

>= (Π(px))^(1/n)

-(= if and only if) px:fixed

-(n=2) (px1 + px2) / 2 >= (px1 * px2)^(1/2)

-(n=3) (px1 + px2 + px3) / 3 >= (px1 * px2 * px3)^(1/3)

-Σ(px)

>= n * (Π(px))^(1/n)

-(= if and only if) px:fixed

-(n=2) (px1 + px2) >= 2 * sqrt(px1 * px2)

-(n=3) (px1 + px2 + px3) >= 3 * (px1 * px2 * px3)^(1/3)

-(Σ(px))^n

>= Π(px) * n^n

-(= if and only if) px:fixed

-(n=2) (px1 + px2)^2 >= 4 * px1 * px2

-(n=3) (px1 + px2 + px3)^3 >= 9 * px1 * px2 * px3

(GM>=HM)

-(Π(px))^(1/n)

>= n / (Σ(1/px))

-(= if and only if) px:fixed

-(n=2) (px1 * px2)^(1/2) >= 2 / (1/px1 + 1/px2)

-(n=3) (px1 * px2 * px3)^(1/3) >= 3 / (1/px1 + 1/px2 + 1/px3)

(AM>=HM)

-Σ(px) / n

>= n / (Σ(1/px))

-(= if and only if) px:fixed

-(n=2) (px1 + px2) / 2 >= 2 / (1/px1 + 1/px2)

-(n=3) (px1 + px2 + px3) / 3 >= 3 / (1/px1 + 1/px2 + 1/px3)

(CS)

-Σ(x^2) * Σ(y^2)

>= (Σ(x*y))^2

-(= if and only if) x = k * y for some real k

-(n=2) (x1^2 + x2^2) * (y1^2 + y2^2) >= (x1 * y1 + x2 * y2)^2

-(n=3) (x1^2 + x2^2 + x3^2) * (y1^2 + y2^2 + y3^2) >= (x1 * y1 + x2 * y2 + x3 * y3)^2

(Jensen)

-f(Σ(w*x))

>= Σ(w*f(x)) if f:위로볼록

-(= if and only if) x:fixed or f:linear

-(n=2) f(w1 * x1 + w2 * x2) >= w1 * f(x1) + w2 * f(x2)

-(n=3) f(w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3) >= w1 * f(x1) + w2 * f(x2) + w3 * f(x3)

-Σ(w*f(x))

>= f(Σ(w*x)) if f:아래볼록

-(= if and only if) x:fixed or f:linear

-(n=2) w1 * f(x1) + w2 * f(x2) >= f(w1 * x1 + w2 * x2)

-(n=3) w1 * f(x1) + w2 * f(x2) + w3 * f(x3) >= f(w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3)

(Jensen)

-(Σ(px))^p

> Σ(px)^p if p > 1

-(n=2) (px1 + px2)^p > ( (px1)^p + (px2)^p )

-(n=3) (px1 + px2 + px3)^p > ( (px1)^p + (px2)^p + (px3)^p )

-Σ(px)^p

> (Σ(px))^p if 0 < p < 1

-(n=2) ( (px1)^p + (px2)^p ) > (px1 + px2)^p

-(n=3) ( (px1)^p + (px2)^p + (px3)^p ) > (px1 + px2 + px3)^p

(Power Mean)

-(Σ(w*(px)^k1))^(1/k1)

>= (Σ(w*(px)^k2))^(1/k2) for nonzero real numbers k1 > k2

-(= if and only if) px:fixed

-(n=2) ( w1 * (px1)^k1 +w2 * (px2)^k1 )^(1/k1) >= ( w1 * (px1)^k2 +w2 * (px2)^k2 )^(1/k2)

(Weighted AM >= Weighted GM)

-Σ(w * px)

>= Π((px)^w)

-(= if and only if) px:fixed

-(n=2) (w1 * px1 + w2 * px2) >= (px1)^w1 * (px2)^w2

(Holder)

-(Σ((px)^k1))^(1/k1) * (Σ((py)^k2))^(1/k2)

>= Σ(px*py) for some k1,k2:positive holder conjugate

-(= if and only if) y^(k2)/x^(k1):fixed

-(n=2) ( (px1)^k1 + (px2)^k1))^(1/k1) *( (py1)^k2 + (py2)^k2 )^(1/k2) >= (px1 * py1 + px2 * py2)

(Minkowski)

-(Σ(px)^k)^(1/k) + (Σ(py)^k)^(1/k)

>= (Σ((px + py)^k))^(1/k) for some k >= 1

-(= if and only if) px = λ * py for λ >= 0 or either py, px is 0

-(n=2) ((px1)^k + (px2)^k))^(1/k) + ((py1)^k + (py2)^k))^(1/k) >= ( (px1 + py1)^k + (px2 + py2)^k)^(1/k)

(Rearreangement)

-Σ(dx * dy)

>= Σ(Rearg(dx)*Rearg(dy))

>= Σ(Rev(dx)*Rev(dx))

(Chebyshev)

-n * Σ(dx * dy)

>= (Σdx) * (Σdy)

-(= if and only if) dx:fixed or dy:fixed

*Some Cases

-ix1, ix2, ix3, ix4가 있을 때

(ix1 + ix4) * (ix2 + ix3)

>= (ix1 + ix3) * (ix2 + ix4)

>= (ix1 + ix2) * (ix3 + ix4)

-for k > 1

(k+1)^(1/2) - (k-1)^(1/2)

 > (k)^(-1/2)

-px1, px2에 대해서 (px1)^(px1) * (px2)^(px2) >= (px1)^(px2) * (px2)^(px1)