*Contents
1. Notation
-Set Theory
-Group
-Ring
-Field
-Module
-Vector Space
-Topological Space
-Algebraic Topology
-Topological Vector Space
-Metric Space
-Normed Vector Space
-Applications
-Combinatorics
-Geometry and Differential Geometry
2. Theorems
-Set Theory(with measure theory)
-Group
-Ring
-Field
-Module
-Vector Space
-Topological Space
-Algebraic Topology
-Topological Vector Space
-Metric Space
-Normed Vector Space
-Applications
-Solving MTx=b(Numerical), where MT:invertible
-2nd order elliptic pde
-Eigenvalue problem
-Combinatorics
-Geometry and Differential Geometry
-Linear Programming
-Homogeneous Linear Difference Equations(y_t, phi_p)
-Integral Transformation
-Lie Algebra관련
3. Examples
-Set Theory
-Probability Theory(몇개 통계 내용도 겹침)
-Stochastic Process
-Statistical Inference
-Topology
-각 구체적인 space(top이든 field든 space마다의 특징, seq, series관련도 포함)
-기초부등식
-Special Functions
*Notation
Set Theory
-iff:if and only if
- := defined
-<:set과 set 사이에서는 subset임을 가리키고, order가 있을 때(실수와 실수같은)는 order relation을 가리킨다.
- a= approximation
-nnn:nonnegative
-rv:real-valued
-erv:extended real-valued
-iv:complex-valued
-J:Any Set
-inc/dec:increasing, decreasing
-A교B:intersection, A교B
-AUB:union,
-AΔB:symmetry difference
-a-union:arbitrarily union
-u-union:uncountable union
-c-union:countable union
-a-intersection:arbitrarily intersection
-u-intersection:uncountable intersection
-c-intersection:countable intersection
-f-union:finite union
-f-intersection:finite intersection
-c-sum:countable many sum, sigma
-f-sum:finitely many sum, sigma
-indi_(E) (x):indicator function on E
-P(J):Power set of J
-fC(J1,J2):the collection of all functions from J1 to J2
-fC(J):the collection of all functions from J to R
-N:the natural numbers set
-ETR:the extended real numbers set
-R^n:the finite cartesian product of R
-R^J:the cartesian product of R, indexed by J
-R^N:the cartesian product of R, indexed by N
-S:subspace, or subgroup 등(구분 필요하면 topological subspace:topS/linear subspace:LS)/subgroup:subgS)
-E:subset
-eps:epsilon, 별말 없으면 for any eps>0을 가리킴
-te:there exist(s)
-te!:there unique exist(s)
-abs:absolute, modulus
-≡:congruence
-n:integer
-[n]:{1,2,3,...,n}
-gcd:greatest common divisor
-ephi:Euler phi function
-prm:prime integer
-<:subset, inequality in real,
-(a,b):ordered pair, open interval, 만약 open interval이랑 헷갈리면 ordered pair를 axb라 쓰기로 하자.
-[a,b]:closed interval
-]a,b[:x<=a or x>=b
-)a,b[:x<a or x>=b
-S_Z:minimal uncountable well-ordered set.
-X_i:X들의 collection, countable일 필요는 없음
-X_n:X들의 collection, countable일 필요 있음, sequence로도 간주가능
-UO1:unit circle in R^2
-UO2:unit sphere in R^3
-About Measure and Measure Space
-MC:Monotone Class
-C1:적어도 empty를 포함하는 Collection
-C2:적어도 empty와 전체 set을 포함하는 collection
-C3:algebra, field
-RC3:ring(대수학에서의 ring과는 다름)
-SC3:semialgebra
(nonempty, closed under f-intersection, 각 원소의 complement가 disjoint f-union in SC3으로 표현되는 collection)
(책마다 조금 다른게, 전체집합을 반드시 원소로 가져야할 수도 있고, 아닐 수도 있다.)
-RSC3:semiring
(nonempty, closed under f-intersection, 각 원소의 relatively complement가 disjoint f-union in RSC3로 표현되는 collection)
-C4:sigma-algebra, or sigma-field
-C3(~):~을 포함하는 가장 작은 algebra
-C4(~):~을 포함하는 가장 작은 sigma algebra
-C(U)는 C의 원소들의 countable union들도 포함하는 collection
-C(I)는 C의 원소들의 countable intersection들도 포함하는 collection
-PC:Pi-system
-LC:Lambda-system
-sf:set function, a class of sets에서 ETR로 가는 function
-nnn sf가 monotone:for J1, J2 in domain s.t. J1<J2에 대해 sf(J1)<=sf(J2)
-nnn sf이 monotone(if):for J1, J2 in domain s.t. J1<J2 and J2-J1 in domain에 대해 sf(J1)<=sf(J2)
-nnn sf이 countably monotone1:
for J, {J_n} in domain s.t. J<c-union J_n에 대해 sf(J)<=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone1(if):
for J, {J_n} in domain s.t. J<c-union J_n, c-union J_n in domain에 대해 sf(J)<=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone2(if):
for {J_n} in domain s.t. c-union J_n in domain에 대해 sf(c-union J_n) <= c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 countably monotone2(if)(dis):
for {J_n} in domain s.t. c-union J_n in domain and disjoint에 대해 sf(c-union J_n) <= c-sum sf(J-n)
-nnn sf이 f-additive:
domain이 closed under f-union and
disjoint finite seq {J_n} in domain에 대해 sf(f-union J_n)=f-sum sf(J_n)
-nnn sf이 f-additive(if):
disjoint finite seq {J_n} in domain s.t. f-union {J_n} in domain에 대해 sf(f-union J_n)=f-sum sf(J_n)
-nnn sf이 c-additive:
domain이 closed under c-union and
disjoint countable seq {J_n} in domain에 대해 sf(c-union J_n)=c-sum sf(J_n)
-nnn sf이 c-additive(if):
disjoint countable seq {J_n} in domain s.t. c-union {J_n} in domain에 대해 sf(c-union J_n)=c-sum sf(J_n)
(워낙 general하게 정의한 것, (if)버전만 잘 알면 된다. nnn sf의 domain이 적절해지면, 예를 들면 C3, C4 등 (if)이면 not (if)가 성립)
-OM:Outer measure
-f-OM:finite Outer measure
-r-OM:Regular Outer Measure
-OME:Outer measurable subset
-PM:premeasure
-f-PM:finite premeasure, (PM은 domain이 C1이면 되는데, f-PM은 domain이 적어도 C2여야 함)
-sf-PM:sigma finite premeasure, (마찬가지로 sf-PM의 domain은 C2여야 함)
-PM*:Outer measure induced by PM:C3->[0,inf]
-PM*ME:PM*의 measurable set
-MAS:Measurable Space
-MS:Measure Space
-C(MS):Completion of Measure Space
-CMS:Complete Measure Space
-M:measure
-smf-M:semifinite measure
-sf-M:sigma finite measure
-CM:complete meausre
-LM:Lebesgue Measure
-R(LM):Real numbers with Lebesgue measure
-PrM(M1,M2):Product Measure
-MR:measurable rectangle, 즉 M1,M2의 measurable set의 product
-PrC1:C4({MR})
-PrC2:C4({all PrM*ME})
-C4(1)*:{ME1xJ2 s.t. ME1 in C4(1)}, sigma algebra되고 {All MR}의 subset
-C4(2)*:{J1xME2 s.t. ME2 in C4(2)}, sigma algebra되고 {All MR}의 subset
-
-MF:Measurable Function
-X1:(J1,C4(1))->(J,C4), X2:(J2,C4(2))->(J,C4), 각각이 MF일 때,
X1*:(J1xJ2,PrC1)->(J,C4), X1*(x,y)=X1(x)
X2*:(J1xJ2,PrC1)->(J,C4), X2*(x,y)=X2(y) (그냥 X2 곱하기 (x,y)와 구분하기)
-ME:Measurable subset
-sf-ME:sigma finite measurable subset
-Null-ME:null measurable subset
-sM:signed Measure
+sM:positive variation of sM
-sM:negative variation of sM
|sM|:total variation of sM
f-sM:finite sM
ms:mutually singular
+ME(with respect to sM):positive measurable set
-ME(with respect to sM):negative measurable set
Null-sME(with respect to sM):null set(Null-ME와는 약간 다르게 정의됨,
Group
-G:group
-이항연산에 대해 닫혀있고
-associative
-항등원 존재
-역원 존재
-p-G:p-group
-group이면서 order가 p^a for some integer a>=0
-g:G의 원소를 가리킴
-S:subgroup
-p-S:p-subgroup
-subgroup이 order가 p^a for some integer a>=0
-Sp:Sylow p-subgroup
-어떤 G의 subgroup이 order가 p^a이면서 p^a||G| and p^(a+1) not | |G|일 때의 subgroup, 즉 the largest p-S in the sense of factor p
-#Sp:The number of all Sylow p-subgroup
-J(Sp):the set of all Sylow p-subgroup
-NS:normal subgroup
-S이면서 for all g in G, gSg^-1=S인 S
-MS:maximal subgroup(Measurable Space와 구분)
-proper S이면서 S를 포함하는 subgroup은 S와 G만 있는 subgroup
-MNS:maximal normal subgroup
-proper NS이면서 NS를 포함하는 normal subgroup은 NS와 G만 있는 normal subgroup
-S_<G:S is subgroup of G
-S_<!G:S is normal subgroup of G
-S char G:S is characteristic in G
-for all aut in Aut(G), aut(S)=S인 subgroup S
-conj(g):conjugate of g, e.g. x*g*x^(-1)
-homog:group homomorphism
-structure-preserving map between two algebraic structures(여기서는 two groups)
-
-S_J:Symmetric group on J
-모든 permutations on J들의 모임 with composite, 따라서 group
-act_J by G:action on J by G, GxJ->J
-act_J by g:permutation from action on J by g, J->J
-homo by act:homomorphism, G->S_J
-O_x:orbit of x under the action of G(필요하다면 in G on X등을 뒤에 적는다.)
-O_x:={y in X s.t. y=g act x for some g in G}
-G_x:stablizer of x in G
-G_x:={g in G s.t. g act x = x}
-Ker(act):kernel of act_J by G
-Ker(act):={g in G s.t. g act x =x for all x in X}
-즉 homo by act의 kernel이라 생각하면 쉬움
-
-Z(G):center of G
-Z(G):={g1 in G s.t. g*g1*g^(-1)=g1 for all g in G}
-C_G(E):centralizer of E on G
-C_G(E):={g in G s.t. g*z*g^(-1)=z for all z in E}
-즉 E가 center가 되게끔 하는 G의 원소들만 다 모은 것, 따라서 Z(C_G(E))=E가 성립할 것 같지만, E가 subgroup이 아니므로 안됨
(하지만 E가 subgroup이었다면 됨)
-N_G(E):normalizer of E on G
-N_G(E):={g in G s.t. g*E*g^(-1)=E}
-즉 E가 normal이 되게끔 하는 G의 원소들만 다 모은 것(하지만 E가 subgroup이 아닐 땐 조심)
-
-<g>:the group generated by g, i.e. cyclic group
-<E>:the smallest subgroup of G containing E
-
-[G:S]:index of S in G
-the number of left cosets of S in G
-
-G1 giso G2:G1 is group isomorphic to G2
-
-
-
-Aut(G):the automorphism group of G
-Aut(G):={all automorphism on G} with composite
-aut in Aut(G):the automorphism in Aut(G), 편의상 aut라 쓰기도 하자.
-Inn(G):the inner automorphism group of G
-inner automorphism이란 conjugation으로 만든 automorphism을 가리킨다.
-Inn(G)란 inner automorphism을 모두 모은 group with composite
-C(G):commutator subgroup of G
-C(G):=<all commutators>
-[g1,g2]:commutator of g1 and g2
-[g1,g2]:=g1^(-1)*g2^(-1)*g1*g2
-[E1,E2]:the group generated by commutators of elements from E1 and from E2.
-[E1,E2]:=<{[g1,g2] s.t. g1 in E1 and g2 in E2}>
-G1 ><! G2 (wrt homog:G2->Aut(G1)):(outer)semidirect product of G1 and G2(with respect to homog)
-
Ring
-R:ring
-(R,+):abelian group
-*:associative
-distributive laws가 성립일 때 (R,+,*):ring이라 한다. 줄여서 R이라 쓰기로 하자.
-r:ring의 원소
-R_[1]:ring with unity not zero
-R_[0]:ring without unity
-CR:commutative ring
-DR:Division ring
-SR:subring, (SR _< R)
-R의 subgroup이면서 closed under *인 것
-R^*:the set of units in R
-zd:zero divisor
-u:unit
-ID:Integral domain
-CR_[1]이 zd가 하나도 안가질 때 ID라 한다.
-R[x]:the ring of polynomials in the variable x with coefficients in R(R이 CR_[1]일 때를 생각할 때가 많다.)
-F(x):the field of rational functions
-P(x):polynomial
-RG:Group ring
-R:CR_[1]이고 G={g1,g2,...,gn}으로 finite group G이고
-계수는 R의 원소인 G의 linear combinations 모임으로, ring이 된다.
-riso:ring isomorphic
-homor:ring homomorphism
-Lid:Left Ideal
-Rid:Right Ideal
-id:ideal
-(E):the smallest id of R containing E
-RE:the set of all finite sums of elements of the form like RG, 비슷하게 ER, RER등도 정의 됨
-p-id:principal ideal
-M-id:Maximal ideal
-prm-id:prime ideal(CR_[1]에서만 논의)
-PID:principal ideal domain
Field
-F:Field
-acF:algebraically closed field
-acF란, F[x]의 원소 중 non-constant polynomial의 root가 F에 속할 때, F를 algebraically closed field라 한다.
-Q:the rational numbers field
-R:the real numbers field
-C:the complex numbers field
-OF:the ordered field
Module
Vector Space(LT는 inf-dim에 대해서 관심, MT는 Normed Vector Space에 정리)
-VS(F):Vector Space over F, ()언급 없으면 R을 가리킴
-f-dim:finite dimensional
-inf-dim:infinite dimensional
-x:any vector
-s:any scalar
-A:absorbing subset
-B:balanced subset
-V:convex subset
-AV:absorbing convex subset
-LT(VS1(F),VS2(F)):linear transformation from VS1(F) to VS2(F)
-LT(VS(F)):linear transformation from VS(F) to VS(F)
-LTC(VS1(F),VS2(F)):collection of all LT(VS1(F),VS2(F))
-LF(VS(F)):linear functional from VS(F) to R
-subLF(VS(OF), OF):sublinear functional from VS(OF) to OF
-subLF(VS):sublinear functional from VS to R
-convF(VS):convex functional from VS to ETR
-
Topological Space
-TS:Topological Space
-C4(TS):Borel sigma algebra
-NTS:normal space
-RTS:regular space
-CRTS:completely regular space
-KT2:compact Hausdorff space
-LKT2:locally compact Hausdorff space
-BM:Borel Measure on TS ( (TS,C4) where C4(TS)<C4인 C4, 에서의 measure를 BM이라 정의하도록 하자.)
-V:convex subset(strict total order relation을 가진 E에서만 생각)
-K:compact
-pre-K:precompact, i.e. closure가 compact인
-C:connected
-Gd:countable intersection of open sets
-Fd:countable intersection of closed sets
-top_X:X에서의 topology
-Prod(TS_i):Product TS
-cl(E):the closure of E
-nbd(x):neighbourhood of x
-open(x):open set containing x
-TS1 homeo TS2:TS1 is homeomorphic to TS2
-seq cv:converge
-seq {f_n} pt cv:pointwise converge
-SCcl(TS), TS:T3.5일 때, Stone-Cech Compactification
-
-R(std):real with the standard topology
-R(l):real with the lower limit topology
-R(K):real with K-topology
-Prod(R,n):R^n, with the product topology from the standard topology
-fCconti(TS1,TS2):the collection of all conti functions from TS1 to TS2
-fCconti(TS):the collection of all conti functions from TS to R(std)
-fCcontiV(TS):the collection of all conti functions from TS to R(std) s.t. eps {x in TS||f(x)|>=eps} is compact
-conti:continuous
-cl(~):closure of ~
-ocl:one-point compactification of LKT2
-sCez:R^N중 eventually zero인것들의 collection
-sClz:R^N중 limit이 zero인것들의 collection
-sCcv:R^N중 cv하는 것들의 collection
-CGT:compactly generated topological space
Algebraic Topology
-
-
Topological Vector Space
-TVS:topological vector space
-LVS:locally convex space
-GV:open convex subset
-sf(GV):supporting function of open convex GV containing 0(set function을 가리키는 sf와 헷갈리지 않도록)
-sf(AV):supporting function of absorbing convex AV containing 0
Metric Space
-(MetricS,d):Metric Space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 MetricS라 하자.
-(CMetricS,d):complete metric space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 CMetricS라 하자.
-(KMetricS,d):Compact Metric Space with the metric d, d의 언급이 필요없을 시 KMetricS라 하자.
-d_sb:the standard bounded metric corresponding to d.
-d_uni:the uniform metric on fC(J,(MetricS,d))
-d_sup:the sup metric on fCbdd(J,(MetricS,d))
-uni conti:uniform continuous
-uni cv:uni cv
-diam(E):diameter of E
-fCbdd(J,MetricS):the collection of all bounded functions from J to MetricS
-fCbdd(J):the collection of all bdd functions from J to R(std)
-fCcontibdd(TS,MetricS):the intersection of fCconti(TS,MetricS) and fCbdd(TS,MetricS)
-fCcontibdd(TS):the intersection of fCconti(TS) and fCbdd(TS)
-isom(MetricS1,MetricS2):isometry from MetricS1 to MetricS2
-cl(MetricS):the completion of MecticS
-totally bdd:totally bounded
-equiconti:equicontinuous
-pt bdd:pointwise bounded(under d)
-top of pt cv:topology of pointwise convergence
-top of compact cv:topology of compact convergence
-
Normed Vector Space
-NVS(F):normed vector space over F(별말없이 BS는 over R)
-|| ||:norm
-LTCconti(NVS1,NVS2):collection of all conti LT(NVS1,NVS2)
-NVS1 tiso NVS2:NVS1, NVS2 are topologically isomorphic
-NVS2 iiso NVS2:NVS1, NVS2 are isometrically isomorphic
-BS(F):Banach Space over F(별말없이 BS는 over R), complete NVS(F)
-L^p(MS):L-p space over MS
-L^p:L-p Space over R(LM)
-l^p:l-p space over N, counting measure
-MT(F)(mxn):matrix over the field F, size of mxn
(별말 없으면 F=C이고 크기는 nxn, 분명히 제시해줘야할 때는 field, size순을 제시)
-CMT:the collection of all matrix over F, size of mxn
-tr(MT):the trace of MT
-inv(MT):the inverse of MT
-det(MT):the determinant of MT
-JCF(MT):the jordan canonical form of MT
-ct(MT):the conjugate transpose of MT
-rt(MT):the transpose of MT
-lind:linearly independent
-Row(MT):Row space of MT
-Col(MT):Column Space of MT
-Null(MT):Null Space of MT
-MT1 =_sim MT2:similar
-MT1 =_usim MT2:unitary similar
-MT1 =_osim MT2:orthogonally similar
-MT1 =_psim MT2:permutation similar
-charP(MT):the characteristic polynomial of MT
-mP(MT):the minimal polynomial of MT
-egv(MT):eigenvalue of MT,
-egv(MT, egv):eigenvector of MT associated with egv, 그냥 egv라 쓰면 eigenvalue를 가리킴
-spec(MT):the set of all eigenvalues of MT
-specR(MT):the spectral radius of MT
-egS(MT, egv):the eigenspace of egv
-am(egv(MT)):the algebraic multiplicity of egv
-gm(egv(MT)):the geometric multiplicity of egv
-IMT:Identity Matrix
-NMT:normal matrix
-HMT:Hermitian matrix
-pdHMT:positive-definite HMT
-psdHMT:positive-semidefinite HMT
-SMT:symmetry matrix
-pdSMT:positive-definite SMT
-psdSMT:positive-semidefinite SMT
-UnMT:unitary matrix
-pdUnMT:positive-definite UnMT
-psdUnMT:positive-semidefinite UnMT
-OMT:Orthogonal matrix
-LMT:lower triangular matrix
-UMT:upper triangular matrix
-DMT:diagonal matrix
-dgMT:diagonalizable matrix
-IPS(F):inner product space over F
-HS:hilbert space
Application(목적위주로 적혀져야함, 기본 Basic은 위에 적혀져야하지만)
-Combinatorics
-ptt(n):partition of n>=1 integer
-#ptt(n):the number of all partitions of n>=1
-#ptt(n)_k:the number of all partitions of n>=1 into exactly k parts
-Geometry and Differential Geomety
*Theorems
Set Theory
-About Function f
-f^(-1)은 union, intersection, difference, inclusion을 모두 preserve함
-f은 inclusion과 union만 preserve함
-f가 1-1이면 f^(-1)(f(E))=E
-f가 onto이면 f(f^(-1)(E))=E
-About strict total order relation, < (trichotomous, transitive인 relation을 order relation이라 함)
-정의
-J with strict total order relation, E<J일 때
-a:largest element of E 란 a in E이고 x=<a for any x in E일 때
-a:upper bound for E란, a in J이고 x<=a for any x in E일 때
-E:bounded above란, te j in J s.t. for any x in E, x<=j일 때
-J have the least upper bound property란, every nonempty E of J that is bounded above has a least upper bound.
-Well-ordered
-정의:J with strict total order relation가 well-ordered란, every nonempty subset E of J has a smallest element
-성질:
-J가 well-ordered이면 largest element(존재한다면)빼고는 나머지 원소들은 immediate successor를 항상 가짐
-J가 well-ordered이면 least upper bound property를 만족한다.
-J가 well-ordered이면 J의 subset도 well-ordered
-J1, J2가 well-ordered이면 J1xJ2 with dictionary order도 well-ordered
-cartesian product는 intersection하고만 commute
-AΔB=A^C Δ B^C
-(a-union E_n) Δ (a-union F_n) < [a-union (E_n Δ F_n) ]
-(c-union E_n) 교 F = c-union (E_n 교 F)
-About Section
-J1xJ2의 subset E에 대해
-section은 complement, (arbitrarily)union, (arbitrarily)intersection, difference과 interchangable
-Map:J1xJ2->J3에 대해
-J3에 연산이 있었으면 section은 분배가능
-J3가 MetricS였다면, lim와 section이 interchangable
-Relation관련(symmetry, asymmetry, antisymmetry, reflexive, irreflexive, transitive, totality, trichotonmous)
-symmetry의 부정은 asymmetry도 antisymmetry도 아니다.
-reflexivity의 부정이 irreflexivity인게 아니다.
-asymmetry iff irreflexivity and antisymmetry
-order관련 relation은 transitive가 먼저 있어야함
-equivalence relation은 reflexive, symmetry, transitive
-(Well-ordering Principle)N의 nonempty subset은 smallest element를 갖는다.
-
-4가지 공리들에 관하여(AOC, HMP, WOT, ZL)
-(AOC), Given a collection C of disjoint nonempty sets, te a set D consisting of exactly one element from each element of C
-(Existence of a choice function), Given a collection C of nonempty sets, te a function c:C->union E in C s.t. c(E) is an element of E, for each E in C,
-(Well-ordering Theorem)임의의 E에 대하여, te strict total order relation s.t. E is well-ordered
-(Existence of S_Z)te uncountable well-ordered set s.t. every section is countable
-(HMP)E with strict partial order relation, te maximal subset F with strict total order relation
-(ZL)E with strict partial order relation이고 every subset F of E with strict total order relation has an upper bound in E이면 E는 maximal element를 갖는다.
-(Euler's Theorem)gcd(n1,n2)=1 이면 (n1)^ephi(n2) ≡ 1 (mod n2)
-(Euclid Algorithm)gcd(n1+n2*n3,n3)=gcd(n1,n3)
-Set Structure의 정의
1. PC:closed under f-intersection
2. LC:empty랑 전체갖고, closed under the complement, closed under the disjoint c-union
3. SC3:PC이고 각 원소의 complement가 disjoint f-union in SC3로 쓰여지는 것(전체집합을 가지거나 말거나)
(RSC3:PC이고 각 원소의 relatively complement가 disjoint f-union in RSC3로 쓰여지는 것(전체집합을 가지거나 말거나))
4. C3:empty랑 전체갖고, closed under the complement, closed under the f-union
(RC3:closed under the relatively complement, closed under the f-union)
5. C4:empty랑 전체갖고, closed under the complement, closed under the c-union
-About Premeasure, Outermeasure, measure, product measure, signed measure etc
-collection of subsets 관련 성질
-RSC3, RC3 모두 empty는 갖지만, 전체집합을 갖지 않을 수 있다.
-SC3->(disjoint f-union모으면)C3->(disjoint c-union모으면)C4됨
-RSC3->(disjoint f-union모으면)RC3
-RSC3<SC3, RC3<C3
-(Monotone Class Theorem):MC(C3)=C4(C3)(link)(특히 C3가 MC이면 C4가 된다.(link))
-C3가 finite이면 C4이다.
-About C3
-closed under complement, f-intersection, f-union, relatively complement
-{C3_n}이 inc이면 c-union C3_n은 C3가 된다.
-collection of subsets:C3 iff closed under relatively complement and containing 전체집합
-About C4
-C4는 closed under c-union, c-intersection, complement, relatively complement
-C4는 확률론에선, 가진 information을 표현하는 한 기법이다.
-{C4_n}의 c-union은 C4가 안된다.(inc하더라도 안됨)
-C4(C)는 전체 집합 J에서 C의 원소들로 쪼개진 the finest partition의 원소들의 union+empty이다.
-countable infinite C4는 존재하지 않는다.(link)`
-J1<J2, C4 of J2가 있을 때, J1에 C4를 induce하는 방법은 J1교C4(link)
-J1<J2, C:collection of subsets in J2에 대해 C4(C)교J1은 J1의 C4가 되고 C4(C)교J1=C4(C교J1)
-f:J1->(J2,C4),
-f^(-1)(C4)는 C4 on J1이 된다.
-f:J1->J2, C:collection of subsets of J2, f^(-1)(C4(C))=C4(f^(-1)(C))
-About PC, LC
-LC need not be closed under f-intersection
-C:a collection일 때 LC(C) < C4(C)
-(Dynkin's Theorem)PC<LC이면 LC(PC)=C4(PC) < LC
(즉 PC가 LC에 포함되면 PC의 확장은 LC를 벗어나질 못함)
-LC가 PC이기도하면 LC는 C4가 된다.
-Sequence of sets and indi의 성질
-liminf(E_n)의 해석
-te k in N s.t. for n>=k, x in E_n인 x들의 모임
-c-sum indi_(E_n^C) (x) <inf인 x들의 모임
-limsup(E_n)의 해석
-for infinitely many k in N, x in E_k인 x들의 모임
-c-sum indi_(E_n)(x)=inf인 x들의 모임
-liminf(E_n)=<limsup(E_n)
-[liminf(E_n)]^C = [limsup(E_n^C)]
-limsup(E_n U F_n) = limsup(E_n) U limsup(F_n)
-liminf(E_n 교 F_n) = liminf(E_n) 교 liminf(F_n)
-limsup(E_n 교 F_n) < limsup(E_n) 교 limsup(F_n)
-liminf(E_n U F_n) > liminf(E_n) U liminf(F_n)
-liminf(E_n)=limsup(E_n)일 때, lim (E_n)정의함
-lim (E_n), lim (F_n)이 있을 때, lim은 union에 대해 분배법칙 성립, lim은 intersection에 대해 분배법칙 성립
-E1<E2일 때, indi_E1 <= indi_E2
-indi_E^C = 1 - indi_E
-indi_inf(E_n) = inf(indi_(E_n))
-indi_liminf(E_n) = liminf indi_(E_n)
-indi_limsup(E_n) = limsup indi_(E_n)
-indi_sup(E_n) = sup(indi_(E_n))
-indi_union(E_n) <= sum indi_(E_n)
-indi_E1ΔE2 = indi_E1 + indi_E2 (mod 2)
-{E_n}:inc일 때, lim(E_n)=union E_n
-{E_n}:dec일 때, lim(E_n)=intersection E_n
-nnn sf에 관한 성질
-f-additive이면 monotone(if)성립
-empty->0일 때, f-additive(if) and countably monotone1 iff c-additive(if)
-OM, OME관련 성질
-OM정의:
sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, countably monotone1
-OME정의:
OM(A)=OM(A교E)+OM(A-E) for any A in P(J)일 때 E를 OME라 함
-OM성질
-충분조건
-nnn sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, countably monotone1 for {J_n}:disjoint, has finite value
-nnn sf:P(J)->[0,inf]가 empty->0, monotone, countably monotone2 for {J_n}:disjoint, has finite value
-필요조건
-monotone
-건설법
-nnn sf:C2->[0,inf]가 empty->0이기만하면 (nnn sf)*:P(J)->[0,inf]로 확장하며 건설가능
-PM* (PM on C3로 induce한 OM)의 성질
-PM*는 PM의 extension이다.(즉 C3상에서는 PM*과 PM은 같음)
-for E in C3, E는 PM*ME
-{all PM*ME}는 C4가 됨 -> C3(U), C3(I), C3(U)(I), ... 각각의 원소들 모두 PM*ME됨도 앎
-PM*는 r-OM
(구체적으로, for any E in P(J) and for any eps, te E1 in C3(U) s.t. E<E1 and PM*(E1)<=PM*(E)+eps)
(게다가 for any E in P(J), te E2 in C3(U)(I) s.t E<E2 and PM*(E)=PM*(E2))
-E가 PM*ME iff te E2 in C3(U)(I) s.t. E<E2 and PM*(E2-E)=0
(only if를 보일 때는 sf-PM일 때만 가능)
-restriction of PM*
-to C4(C3)
-PM*는 M이 된다.
-C3(U)까지는 다른 measure, which is a extension of PM, 과 PM*는 같아짐
(즉 for E in C3(U), M(E)=PM*(E) where M is a extension of PM)
-C4(C3)까지는 다른 measure, which is a extension of PM, 보다 약간 클 수 있음
(즉 for E in C4(C3), M(E)<=PM*(E) where M is a extension of PM)
(단, PM*(E)<inf이면 M(E)=PM*(E) for E in C4(C3)됨)
-sf-PM이었다면, C4(C3)으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-to {all PM*ME}
-sf-PM이었다면, {all PM*ME}으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-CM
(C3<C3(U)<C3(U)(I)<C4(C3)<{all PM*ME})<P(J))
(이 때 nnn sf s.t. empty->0, f-additive(if), countably monotone2(if) for {J_n}:disjoint로 induce생각가능)
(위 sf는 C3로 extension되고 unique한 PM됨을 이용)
-(sf-M,C4)로 induce한 OM, 이 경우 {all OME}로의 restriction은 (sf-M,C4)의 completion
-SC3에서의 nnn sf로 extension
-nnn sf:SC3->[0,inf], empty->0, f-additive(if), countably monotone2(if)(dis)로 OM induce가능
(조금 더 좋은 조건은 애초에 SC3에서 PM이기만 해도 됨)
-C3(SC3)에서의 unique PM, which is the extension of nnn sf on SC3
-nnn sf가 sigma-finite였다면 unique PM on C3(SC3)도 sigma-finite
(C3에서의 PM으로 induce한 PM*논의 가능)
-RSC3에서의 PM으로 extension
-RC3(RSC3)에서의 unique PM, which is the extension of PM on RSC3
-PM on RSC3가 sf-PM이었다면, unique PM on RC3도 sf-PM
-unique PM on RC3로 induce한 PM*에 대해서
-sf-PM이었다면, C4(RSC3)으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-sf-PM이었다면, {all PM*ME}으로의 measure, which is a extension of PM, 는 PM*가 유일
-{all PM*ME}에서 CM
-OME성질
-OM(A)=OM(A교E)+OM(A-E) for A in P(J) s.t. OM(A)<inf만 판정해도 OME판정 가능
-{all OME}은 C4가 된다.
-OM(E)=0이면 E는 OME
-기타성질
-{all OME}는 C4가 된다.
-restriction of OM to {all OME}는 CM이 된다.
-E1<E2 in P(J)에 대해 OM(E2-E1)=OM(E2)-OM(E1)이 성립하려면 E1:OME and OM(E1)<inf인 게 필요
-E1<E2 in P(J)에 대해 OM(E2-E1)=0이면 OM(E2)=OM(E1) (역은 성립 안함, 즉 OM(E2-E1)=0이 강함)
-OM1, M:restriction of OM1 to {all OM1ME}, OM2:OM induced by M일 때
-OM1<=OM2
-OM1(E)=OM2(E) iff te OM1ME E1 s.t. E<E1 and OM1(E)=OM1(E1)
-OM1이 r-OM iff OM1(E)=OM2(E) for any E in P(J)
-PM관련 성질
-PM정의:
sf:C1->[0,inf]가 empty->0, c-additive(if)
-PM성질:
-f-additive(if)
-monotone(if)
-domain이 C3에서는
-monotone
-f-additive
-countably monotone1
-domain이 C4에서는 PM은 M이 된다.
-M, ME관련 성질
-ME관련
-{E_n}:ME이면 sup E_n, inf E_n, liminf E_n, limsup E_n 모두 ME
-Null-ME라 해서 subset이 Null-ME인지는 모름(Completion개념 필요)
-Measure Space(J1,C4,M)를 complete하게 만드는 방법은 C4을 C4'으로 확장한다.
-C4`={ME union subset of Null-ME}
-sf-ME의 c-union, c-intersection모두 sf-ME가 된다.
-M관련
-(Measure Equality)
:(J,C4)에서 M1, M2가 있을 때, C={E in C4 s.t. M1(E)=M2(E)}는 LC된다.
:(J,C4)에서 M1, M2가 있을 때, C가 PC이고, M1=M2 on C이면 M1=M2 on C4(C)
(즉 (R(std), C4(TS))에서 C4(TS)의 PC인 subcollection에서 ProbM1과 ProbM2가 서로 같으면 ProbM1=ProbM2 on C4(TS))
(구체적으론 DF1 from ProbM1과 DF2 from ProbM2가 같으면 ProbM1=ProbM2 on C4(TS))
(따라서 ProbM on (R(std), C4(TS))는 DF에 의해 uniquely determined)
-monotone
-(Conti from Below){E_n}:ME and inc이면 M(lim E_n)=lim M(E_n)
(C4에서 nnn set function이 Conti from Below and finite-additive이면 the set function은 Measure가 된다.)
(C4에서 nnn set function(J)<inf이면 Conti from ABoce and finite-additive이면 the set function은 Measure가 된다.)
-(Conti from Above){E_n}:ME and dec and M(E_1)<inf이면 M(lim E_n)=lim M(E_n)
-M(c-intersection E_n) <= M(liminf E_n) <= liminf M(E_n) <= limsup M(E_n) <= M(limsup E_n) <= M(c-union E_n)
(link)
-(Borel-Cantelli Lemma) c-sum M(E_n) < inf이면 M(limsup E_n)=0
-f-M/sf-M/smf-M 관련
-f-M일 때는 Probability Measure 참조
-M이 있으면 smf-M도 만들 수 있고 M=smf-M + M2으로 decomposition가능, 이 때 M2는 0과 inf만 가짐
-smf-M(ME)=inf일 때, for any n in N, te F<ME s.t. F:measurable and n<=smf-M(F)<inf(link)
-sf-M의 합도 sf-M이 된다.
-Product Measure관련(PrM(M1,M2))
-PrM과 Product C4만드는 과정(link1)(link2)
Step1-MR다 모은 것이 SC3됨, SC3상에서 적절한 nnn set function정의
Step2-PM on C3을 얻고, PM* on PM*C으로의 restriction을 PrM이라 한다.
(Real Analysis에선 Product C4를 C4({All PM*-ME})로 보고, Probability Theory에선 C4(C3({All MR}))로 본다.)
Tonelli와 Fubini Theorem으로 가는 Step
Step0 PrM의 유일성과 Completeness
-sf-M1, sf-M2로 만든 PrM는 sf-, unique, CM이다.
Step1 About PrC1
-PrC1의 원소의 section은 각 M1, M2의 C4의 원소가 된다.(using C4-Techniques)(link)
-MF on (X1×X2, PrC1)의 section은 MF on (X1,C4), on(X2, C4) 된다.(link)
-sf-M1, sf-M2, PrC1
-f-M1, f-M2일 때 먼저 해결(link1)(link2)
-sigma finite일 때로 확장(link3)
Step2 About PrC2
-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrM(E)=0인 E의 section은 각 sf-CM1=0, sf-CM2=0 a.e.(link)
-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrC2의 원소의 section은 각 sf-CM1, sf-CM2의 C4의 원소가 된다. a.e.(link)
-sf-CM1, sf-CM2, PrC2(link)
-sf-CM1, sf-CM2, nnn MF on (X1×X2, PrC2)(using simple+MCT)(link)
-sf-CM1, sf-CM2, integrable on (X1×X2,PrC2)(using Tonelli)(link)
note)(MF의 section말고 완전히 쪼개질 수 있는 case의 경우)
-MF1 on (X1,M1,C1_1), MF2 on (X2,M2,C1_2)-> MF1*MF2는 MF on (X1xX2, PrC1)(using simple)
-g1:integrable on X1 wrt M1, g2:integrable on X2 wrt M2->f=g1*g2:integrable on X1xX2 wrt M1xM2
게다가 int f d(M1xM2)=int g1 dM1 * int g2 dM2(using simple+integrable func)
note)counting measure에서의 Tonelli, Fubini theorem의 의의
Tonelli:double series interchangable when nnn sequence
Fubini:double series interchangable when abs cv double series
(abs cv double series란 |seq|의 finite partial sum의 double limit:finite을 가리킨다.)
-Measurable Function관련(f:(J1,C4(1))->(J2,C4(2), 특히 rdv도 MF인 것을 고려)
-(iff)C4(2)의 generating set의 inverse image가 C4(1)에 속한다.
-f^(-1)(C4(2))는 C4가 된다. 따라서 f는 f^(-1)(C4(2))-measurable(C4(1)이 무엇이든 항상 가능)
-MF의 정의역에 Measure가 있으면 공역에도 Measure를 건설할 수 있다.(by using MF, M)
-MF와 MF가 composite하면 MF를 얻는다.(conti(MF)인 경우가 많음)
-C(MS)에서 MF인 f가 있다면 MS에서 MF인 g를 만들 수 있다. s.t. f=g CM-a.e.
-CMS에서 MF인 f, f=g CM-a.e.이면 g도 MF
-(J2,C4(2))=(ETR,C4(TS))인 경우
-(J1,C4(1))의 measure가 f-M인 경우는 rdv을 참조
-g:erv이고 {MF_n}:rv, pt cv a.e. to g이면 g가 MF iff M은 complete
-MF판정법
-monotone이면 MF된다.(정의역에 ordering이 있을 때)
-C4(TS)의 generating set에 대해서만 판단하여도 된다.
-(J1,C4(1))=(TS,C4(TS))인 경우, conti이면 MF된다.
-{MF_n, 각 정의역 C4(1)이 같을 때}(적분관련 convergence는 더 밑에 있음)
(http://www.johndcook.com/modes_of_convergence.html 참조, well-organized)
-sup MF_n, inf MF_n, limsup(MF_n), liminf(MF_n) 모두 MF가 된다.
-{x in J1 s.t. lim MF_n(x) exists}는 C4(1)의 원소가 된다.(link)
-{MF_n}:cauchy in M이면 te subseq of {MF_n} and MF s.t. the subseq pt cv a.e. to MF(link)
-{MF_n}:cauchy in M iff {MF_n}:cv in M(link1)(link2)
-{MF_n}:cv in M이면 every subseq of {MF_n}도 cv in M
-{MF1_n}:cv in M, {MF2_n}:cv in M이면 {MF1_n + MF2_n}도 cv in M, {MF1_n * MF2_n}도 cv in M
(곱은 f-M에서만 가능)
-{MF_n}:pt cv a.e. (real-valued), g:(R,C4(TS)->(R,C4(TS)):conti이면 {g(MF_n)}도 pt cv a.e.
-{MF_n}:cv in Lp이면 cv in M(0<p<inf)(link)
-{MF_n}:cv in Lp이면 ||MF_n||_p 은 ||MF||_p로 수렴(역은 성립 안함)(1<=p<=inf)(link)
-{MF_n}:rv a.e., almost uni cv이면 {MF_n}:pt cv a.e.
-{MF_n}:rv a.e., almost uni cv이면 {MF_n}:cv in M
-(Scheffes's Lemma for MF_n)(link)
:{MF_n}:cv in L1 iff lim n->inf sup over E in C4 [int over E MF_n - int over E MF]=0
-{MF_n}가 있을 때, {x|lim MF_n(x) exists}는 ME
-{All nnn measurable simple functions}의 성질
-Vector Space over R
-곱셈, finite sup, finite inf에 closed
-적분(int)정의함
-int은 linear, monotone
-{ME_n}:inc이고 S:nnn measurable simple function일 때,
int(S over c-union(ME_n))=lim n->inf int(S over ME_n)
-{nnn MF}의 성질
-Closure in the top of pt cv in the function space {All nnn measurable simple functions}={nnn measurable functions}
-+, *, 양의 실수곱에 대해 닫혀 있음
-(Approximation by Simple Functions)(S_n을 seq of simple function이라 하자.)(link)
-nnn MF가 있으면 te {S_n} s.t. nnn, simple measurable and pt cv to MF
-게다가 {S_n}은 MF가 bdd인 J1의 subset에서는 uni cv하게 됨
-(J1,C4(J1))에 sf-M가 있었다면, {S_n}을 finite support인 걸로 잡을 수 있음
(여기서 finite support는 TS에서와는 조금 다르게 생각, 즉 closure인 걸 빼고 생각하자, 정의역에 Topology가 있었다면 finite support 그대로 생각 해도 무관)
-MF(nnn일 필요는 없는)가 있으면 te {S_n} s.t. 0<=|S_1|<=|S_2|<=...<=|MF| and pt cv to MF
-게다가 {S_n}은 MF가 bdd인 J1의 subset에서는 uni cv하게 됨
-적분(int)정의함
-int(f over J)=0 iff f=0 a.e.
-monotone seq of nnn measurable simple functions을 이용하여 적분 정의
-혹은 그냥 seq of nnn measurable simple functions의 적분의 sup으로도 정의함
(전자로 정의하면 well-definedness 보여야)
-(Monotone Convergence Theorem)
:{nnn MF_n}:inc pt cv a.e. to MF일 때, lim과 int change가능(link)
-{nnn MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 f_n<=f a.e. (즉 inc대신)일 때, lim과 int change가능
-(Series and Integral)
:{nnn MF_n}, series랑 int change가능
-(Fatou's Lemma)
:{nnn MF_n}에 대해 int(liminf MF_n)<=liminf(int(MF_n)) (link)
-적분은 monotone, linear(스칼라곱은 양수에 대해서만)(link)
-nnn MF가 Integrable하면
-MF^(-1)(MF=inf)은 Null-ME
-MF^(-1)(MF>0)은 sf-ME
-일반적인 MF(nnn일 필요 없는)의 적분(X를 MF라 하자.)
-quasi-integrable
-정의:int(X^+)<inf or int(X^-)<inf iff int(X)<inf
-X:quasi-integrable->int(a*X)=a*int(X) for a in R
-linearity when {int(X^+)<inf and int(Y^+)<inf} or {int(X^-)<inf and int(Y^-)<inf}이면 int(X+Y)=int(X)+int(Y)(link)
-integrable
-정의:int(X^+)<inf and int(X^-)<inf iff int(|X|)<inf
-M(E)=0인 E에 대해 int over E MF=0(정의 생각)
-integrable한 f,g에 대해 linearity, monotone
(Integration의 additive는 둘다 nnn MF(즉 같은 부호)이거나, 둘다 integrable이거나, 같은 부호 part가 integrable이거나가 성립해야만 가능)
(f,g:integrable이면 max{f,g}, min{f,g}도 integrable이고, int max{f,g}=int f +int g - int min{f,g})
-MF:integrable이면 MF^(-1)(MF is nonzero)는 sf-ME(link)
-MF:integrable이면 epsilon(int of |MF|의 upperbound)-delta(적분 영역의 upper bound)가 성립(link)
-MF:integrable이면 epsilon(int |f| over J - int |f| over E)에 대하여 finite measure E 존재(link)
-MF:integrable이면 E_n={x in J s.t. |MF(x)>n|}에 대해 lim n->inf int over E_n |MF| =0
-MF:integrable이면 E_n s.t. lim n->inf M(E_n)=0에 대해 lim n->inf int over E_n |MF| =0(link)
-uniformly-integrable (u.i.)
-정의:{MF_i}:u.i. iff lim a->inf sup over k [int over {|MF_i|>a} |MF_i|]=0
({MF_n}일 때는 iff {MF_n}:D-Martingale 도 됨)
-성질
-{MF}, MF:integrable이면 {MF}:u.i.
-{MF_i}, |MF_i|<=g, g:integrable이면 {MF_i}:u.i.
-{MF_1,MF_2,...,MF_n}(finite sequence), 각각이 integrable이면 {MF_1,...,MF_n}:u.i.
-{MF1_i}, {MF2_i}:u.i., |MF1_i|<=|MF2_i|이면 {MF1_i}:u.i.
-(Crystal Ball Condition)(link)
:a>0, b>0에 대해 sup over i int |MF_i|^(a+b)<inf이면 {|MF_i|^a}:u.i., {|MF_i|^b}:u.i.
-(Crystal Ball Condition, General)(link)
:te g:[0,inf)->[0,inf) s.t. lim x->inf g(x)/x =inf and sup over i int g(MF_i)<inf이면 {MF_i}:u.i.
-f가 integrable이고 f=g a.e. 이면 int(f)=int(g) and g도 integrable
-f가 integrable이면 f=g a.e. iff int over E (f) = int over E (g) for any E in PC generating C4(link)
-(Integral Comparison Lemma)
:(J,C4,M), C:sub sigma-algebra of C4, f:C-measurable, g:C-measurable일 때
-f=g a.e. iff for any E in C, int over E f dM = int over E g dM
-f>=g a.e. iff for any E in C, inter over E f dM >= int over E g dM
-int (|MF|)=int over [0, inf) M(|MF|>t) dt(link)
(특히, nnn인 MF에 대해서 이용됨)
-(Monotone Convergence Theorem)(link)
:{MF_n}:inc, pt cv a.e. to MF f이고 f_n>=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능
:{MF_n}:dec, pt cv a.e. to MF f이고 f_n<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능
(pt cv a.e. to MF f 대신 cv in M와도 Monotone Convergence Theorem성립)
-(Series and Integral)
:g=series from k=1 to k=inf |MF_n|이 integrable이면 series랑 int change가능
-(Fatou's Lemma)
:{MF_n}에 대해 MF_n>=g a.e., g:integrable이면 int(liminf MF_n)<=liminf(int MF_n)
:{MF_n}에 대해 MF_n<=g a.e., g:integrable이면 limsup(int MF_n)<=int(limsup MF_n)
-(Dominated Convergence Theorem)
:{MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능
:{MF_n}:pt cv a.e. to MF f이고 |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 cv in L1도 됨
:{MF_n}:cv in M, |MF_n|<=g a.e., g:integrable이면 lim과 int change가능, cv in L1도 됨(link)
-(Transformation Theorem)(link1)(link2)
:T:(J1,C4(1), M1)->(J2,C4(2)), Y:(J2,C4(2))->(ETR,C4(TS))이고 X=Y(T), T,Y가 모두 measurable일 때
1. (J2,C4(2))에도 Mesure(M2라 하자.)를 줄 수 있다. using (J1,C4(1),M) and T
2. Y가 nnn이면 int over J1 X dM1 = int over J2 Y dM2
3. Y가 M2-integrable iff X:M1-integrable, 이 때, M2을 이용한 적분=M1을 이용한 적분
-Some Inequalities
-(Markov's Inequality)
:for a>0, M(|MF|>a)<=int(|MF|)/a(link)
-(Chebysheff's Intequality)
:for a>0, b=int(MF), M(|MF-b|>a)<=int(|MF-b|^2)/a^2(link)
-Lp-Space
-(0,inf]에서
-p-norm정의 Lp정의,
-Lp is a vector space over R
-0<a<b<c<=inf, Lb is subset of (La+Lc)(link)
-0<a<b<c<=inf, (La intersection Lc) is subset of Lb(link)
-Monotone Convergence Theorem, DCT 등 사용 가능(DCT이용하면 cv in Lp보일 수 있으나, MCT이용가능 한 상황이라 해서 cv in Lp는 알 수 없음)
-(0,inf)에서
-simple measurable function with finite support is in Lp
(여기서 finite support는 TS에서와는 조금 다르게 생각, 즉 closure인 걸 빼고 생각하자, 정의역에 Topology가 있었다면 finite support 그대로 생각 해도 무관)
-MF is in Lp일 때, 기존 pt cv simple measurable functions가 with finite support인걸로 가능
(use E_n:={x in J s.t. |MF(x)|>=1/n})
-[1,inf]에서(Norm정의가능)
-Holder ineq(conj(p,q,r)가능)(=은 (non zero a)f=(non zero b)g a.e.)(link)
-Minkowski ineq(=은 f=(nnn k)q a.e. or g=(nnn k)f a.e.)(link)
(무한합도 가능, MCT이용)
-Complete NVS(즉 BS됨)
-[1,inf)에서
-(0,1)에서
-기타
-lim p->inf ||f||_p = ||f||_inf되는 충분조건
(1) f-M
(2) f is in Lq (q in [I2 )(link)
-{M_n}관련, M_n:fixed C4->[0.inf], C4는 sigma algebra of J라 하자.
-inc이고 setwise cv to a set function f이면 f도 measure다.(link)
-setwise cv to a set function f인데 f(J)<inf이면 f도 measure다.(link)(보충 필요)
-signed measure, sM 관련
-정의
-sM
:(J,C4), set function sM on C4가 다음을 만족
-sM(empty)=0,
-sM assumes at most one of the +inf, -inf,
-for disjoint {E_n} in C4, sM(c-union E_n)=c-sum sM(E_n)(즉 c-additive, but, sM이 nnn은 아님)
-(+ME)(with respect to sM), if sM(subME)>=0 for subME<+ME
-(-ME)(with respect to sM), if sM(subME)<=0 for subME<-ME
-Null-sME if sM(subME)=0 for subME<Null-sME
-
-{+ME_n}의 c-union, c-intersection, difference도 +ME된다./{-ME_n}도 마찬가지
-+ME의 measurable subset(subME)도 +ME/-ME의 measurable subset(subME)도 -ME
-ME1<ME2, |sM|(ME2)<inf이면 |sM|(ME1)<inf이다.
(하지만 +ME에서는 sM(subME)<=sM(+ME)가 성립, -ME에서는 sM(subME)>=sM(-ME)가 성립)
(절댓값 생각하면, |sM(subME)|<=|sM(ME)|가 성립, ME가 +든 -든)
-(Conti from Below){E_n}:ME and inc이면 sM(lim E_n)=lim sM(E_n)
-(Conti from Above){E_n}:ME and dec and |sM|(E_1)<inf이면 sM(lim E_n)=lim sM(E_n)
-(Hahn Decomposition Theorem)(link1)(link2)
:(J1,C4(1),sM)이 있을 때, te +ME, -ME s.t. {+ME, -ME}:a partition of J1
(다른 +ME2, -ME2도 성립한다면, (+ME Δ +ME2)는 Null-sME)
(0<sM(ME)인 ME의 measurable subset E중 +ME이면서 0<sM(E)인 것이 존재한다.)
-sM은 항상 Maximum value와 Minimum Value를 assume한다.
-(Jordan Decomposition Theorem)(link)
:for any sM, te! two M1, M2 s.t. M1, M2:ms, sM=M1-M2(사실 M1은 +sM, M2은 -sM됨)
-sM, +sM, -sM, |sM| 과의 관계(+sM, -sM, |sM|모두 그냥 M이다.)
-sM:finite<->+sM:finite and -sM:finite
-sM:sigma finite<->+sM:sigma finite and -sM:sigma finite
-+sM(ME)=sup{sM(F)|F subset of ME and F:ME}, -sM(ME)=-inf{sM(F)|F subset of ME and F:ME}
(혹은 +sM(ME)=sM(ME intersection +ME), -sM(ME)=sM(ME intersection -ME), +ME와 -ME는 sM의 HD)
-(f:rv일 때)f:integrable wrt |sM|<->f:integrable wrt +sM and -sM
-sM1 ms sM2 <-> sM1 ms |sM2| <-> |sM1| ms |sM2| <-> sM1 ms +sM2 and -sM2
-sM1과 sM2 ms sM인 경우 linear combination of sM1 and sM2도 ms sM(well-defined되면)
-sM1<<sM2(Abs conti, (J,C4), 같은 C4에서의 signed measure에 관한 내용)
-정의:sM1<<sM2 if |sM1|(E)=0 for E in C4 s.t. |sM2|(E)=0
-성질:
-<<는 reflexive, transitive되나 antisymmetric은 안됨(따라서 equivalence 못만듦)
-sM<<M iff +sM<<M and -sM<<M
-sM1<<sM and sM2<<sM이면 sM1과 sM2의 linear combination(well-defined될 때)<<sM
-f-sM<<sM iff for any eps>0, te delta>0 s.t. for any E in C4 s.t. |sM|(E)<delta, |f-sM|(E)<eps
-(Radon Nikodym Theorem)(measure represented by integration over another measure)
:sf-M1 << sf-M2 이면 sf-M1을 represent하는 nnn rv MF가 존재, unique up to sf-M2-a.e.
:f-sM << sf-M 이면 f-sM을 represent하는 integrable wrt sf-M이 존재 unique up to sf-M-a.e.
(Probability Theory에서 rdv:(J,C4, ProbM)->(R^n(std), C4(TS)), F:=ProbM(rdv^-1)에 대해서
sf-M1=F, sf-M2=LM일 때를 주로 가리키고 이 때 얻은 nnn, rv, integraable, MF를 density of F라 한다.)
(Probability Theory에서 DF를 통해 density f를 단지 미분으로 구할 수 있는 상황은, DF << lebesgue이고 이러한 경우가 안될 때는 언제냐면, DF가 불연속점을 가질 때이다.
DF가 불연속점은 at most countable이고, DF가 미분 불가능한 점은 LM-a.e.이다.(Lebesgue's Theorem에 의해) 고로 DF가 거진다 미분가능하고 그때 density구할 수 있음. DF가 미분불가능할 때 density는 아무렇게나 정의해버려도 어쨌든 적분값은 상관없게 됨.)
(discrete rdv인 경우는, density=0 a.e.이므로 pmf로 새로이 정의한다.)
-integration over measure = integration over another measure
1. sf-M1 << sf-M2 이면 nnn, MF인 h의 integration over sf-M1 = hf의 integration over sf-M2인 nnn,MF, rv인 f 존재
2. f-sM << sf-M 이면 integrable h over |f-sM| 의 integration over |f-sM| = hf의 integration over sf-M인
-LDT(Lebesque Decomposition Theorem)의 여러 version
1. sf-M1, sf-M2가 있으면 sf-M1=sf-M3 + sf-M4 s.t. sf-M3 << sf-M2 and sf-M4 ms sf-M1(unique)
2. sf-sM, sf-M이 있으면 sf-sM=sf-sM2 + sf-sM3 s.t. sf-sM2 << sf-M and sf-sM3 ms sf-M
note)요약
1. HDT, JDT, LDT
2. RNT(1)(measure represented...), RNT(2)(integration = integration)
Group
-Subgroup Criteria
-E:finite->non-empty, closed under multiplication
-E:infinite->closed under multiplication, closed under taking inverse.
-About homog:G1->G2, S1 _< G1, S2 _< homog(G1) _< G2, NS1 _<! G1, NS2 _<! homog(G1)
-homog(S1) _< homog(G1)
-homog^(-1)(S2) _< G1
-homog(NS1) normal in homog(G1)
-homog^(-1)(NS2) normal in G1
(즉 S2, NS2든 homog(G1)에서 생각하면 된다.)
-|homog(g1)| | |g1|
-|homog(G1)| | |G2|, |homog(G1)| | |G1|
(따라서 |homog(G1)| | gcd(|G1|,|G2|) 이다.)
-|homog^(-1)(G2)| | |G1|
-|G1| | |G2|*|Ker(homog)| (이 자체는 너무 강함, Factor Group으로서 order 세는 것을 상기하는게 포인트)
-Z(G) _< C_G(~) _< N_G(~) _< G의 성질
-E
-Z(G) _< C_G(E) _< N_G(E) _< G
-C_S(E)=C_G(E)교S
-N_S(E)=N_G(E)교S
-E1<E2일 때 C_G(E2) _< C_G(E1)
-<g> _< C_G(g)
-C_G(<g>)=C_G(g)=N_G(g) _< N_G(<g>)
-C_G(E)=G iff E < Z(G)
-S
-C_G(Z(G)) = N_G(Z(G)) = G
-S _<! N_G(S)
-C_G(S) _<! N_G(S)
-N_G(S)/C_G(S) giso a subgroup of Aut(S) (Aut(S)를 먼저 조사해서 N_G(S)/C_G(S)에 반영할 수 있음)
-S가 abelian이면 S _< C_G(S)
-S _< Z(G)이면 C_G(S)=N_G(S)=G이고 S _<! G이다.
-|S|=2이면 N_G(S)=C_G(S)
-S1 _< S2, S2:abelian이면, S1 _< S2 _< N_G(S1)
-NS
-C_G(NS) _<! G
-N_G(NS)=G
-|NS|=2이면 NS _< Z(G) _< C_G(NS) = N_G(NS) = G
-기타
-Z(G) _<! G, Z(G)는 abelian normal subgroup of G
-C_G(G)=Z(G)=intersection over all subset A, C_G(A)
-G/Z(G) giso Inn(G)
-G/Z(G):cyclic iff G:abelian
(Generally, S _< Z(G) G/S:cyclic이면 G:abelian)(link)
-S1S2의 성질
-|S1S2|=|S1||S2|/|S1교S2| (즉 S1S2의 order와 S2S1의 order가 같음, S1S2 _< G인지는 아직 모름)(link)
-S1S2 _< G iff S1S2=S2S1
-S1S2 _< G 이면 S1 _< S1S2 and S2 _< S1S2 and S2S1 _< G
-S1 _< N_G(S2)(or S2 _< N_G(S1))이면 S1S2 _<G and S2S1 _< G (역성립안함)
-S1만 normal인 경우
-S1S2 _< G, S2S1 _< G(normal subgroup인지는 모름)
-S1S2=S2S1
-S1, S2 둘 다 normal인 경우
-S1S2 _<! G, S2S1 _<! G
-S1S2=S2S1인건 당연
-S1 union S2 _< G iff S1 _< S2 or S2 _< S1
-order(g)=order(conj(g))
-order(g1*g2)=order(g2*g1)
-order(g)=n일 때, order(g^a)=n/gcd(a,n)
-order(g)=n일 때, <g>의 generator는 ephi(n)개
-|G|=n and G:cyclic, m|n이면 te! S s.t. |S|=m(link)
-(Lagrange's Theorem)|G|<inf일 때, |S| | |G|, [G:S]=|G|/|S|
(G의 모든 S가 NS이면 Converse가 성립, 예를 들면 abelian인 경우)(link)
(p_n=prm, |G|=(p_1)^alpha1 * (p_2)^alpha2 ..., order가 (p_1)^alpha1, (p_1)^alpha1-1, ... 인 subgroup 존재, Sylow의 강한버전)
-|G|=prm이면 G giso Z_prm
-Normality Criteria
-Abelian Group의 모든 S는 NS이다.
-[G:S]=2이면 S는 NS이다.
-[G:S]=the smallest prm factor of |G|이면 S는 NS이다.(link)
-S _< Z(G)이면 S _<! G
-N_G(S)=G판단에 있어서 G의 generating set의 원소와, S의 generating set의 원소로만 판단해도 됨
-S:normal in G iff [S,G] _< S
-C(G) _< S이면 S는 normal(게다가 G/S는 abelian도 됨)
-대표적인 normal subgroup:Z(G), C(G), Z(G)의 subgroup, normalizer, Sp(Sp는 normal 아닐 수도 있지만, normal될 때가 잦음), C(G)를 포함하는 Subgroup,
-About Act_J by G(쉽게 act라 쓰겠다.)(Act에서는 Ker, G/Ker, Orbit, Stabilizer가 주된 관심)
-Ker(act) _< G_x _< G
-Ker(act) _<! G
-G/Ker(act) acts faithfully
-te act iff te homog by act(G->S_J)
-|O_x|= [G:G_x]
(O_x도 G의 약수여야 한다는 점)
-g*x1=x2라면, G_x2=gG_x1g^(-1)(link)
(즉, 같은 orbit안에 있었다면, stablizer가 서로 conjugate하고, 따라서 stablizer의 order도 서로 같다.)
(G=1이면 역은 성립 안함)
-G=S_[n], J=[n]일 때
-transitive, faithfully
-|G_i|=(n-1)!, O_i=[n]
-for g in S_[n], act_[n] by <g>의 orbits은 g의 cycles가 나온다.
-left multiplication action
-G=G, J=G, g1 act g2=g1*g2일 때
-G_g={e}
-G=G, J={left cosets of S}, g1 act g2S =g1g2S일 때
-Transitively, 따라서 Orbit은 1개뿐
-G_S=S
-G_(g1S)=g1Sg1^(-1)
-ker(act)=S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup
-|G|는 {[G:S]!*|S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup|}을 나눈다.
-Conjugation action
-G=G, J=P(G), g act E =g*E*g^(-1)일 때
-G_E=N_G(E)
-S giso (g act S)
-ker(homo)=Z(G)
-G=G, J=G, g1 act g2=conj(g2), 특히 g1*g2*(g1)^(-1)
-G_g=N_G(g)=C_G(g)
-|g|=|g1 act g|
-homo by act에 대해서, Ker(homo)=Z(G) and G/Z(G) giso Inn(G)
-Z(G)의 원소들의 orbit은 singleton set
-(Class Equation)|G|<inf일 때, |G|=|Z(G)|+sum [G:C_G(g_i)]
-NS _<! G일 때, 임의의 conjugacy class E는 E교NS=empty or E<NS이다.
-G=S_[n], J=S_[n]일 때(아래 Examples란과 중복될 수 있음)
-g2=(a1,a2,a3...)(b1,b2,b3)...로 cycle decomposition, g1*g2*g1^(-1)=(g1(a1),g1(a2),...)(g1(b1),g1(b2))....
-g1=conj(g2) iff g1과 g2가 같은 cycle type을 가짐
-S_[n]의 conjugacy classes의 개수는 #ptt(n)과 같다.
-E가 singleton이면 |C_(S_[n])(E)|구할 수 있음
-g가 commutator와 같은 cycle type을 가지면 conj(g)도 commutator가 된다.
-G=G, J=NS, g1 act g2 = g1*g2*g1^(-1)
-G_g=N_G(g)=C_G(g)
-for each g in G, conjugation by g is in Aut(NS)
-homo by act:G->S_NS인데, range를 줄여 G->Aut(NS)만 생각가능, Ker(homo)=C_G(NS)
(이때 conjugation by g on NS는 Aut(NS)의 원소이지만, Inn(NS)의 원소는 아닐 수 있다.)
-(Cauchy's Theorem)|G|<inf, prm||G|이면 G has an element of order(prm).(link)
-(First GISO Thorem)homog:G1->G2이면 ker(homog) _<! G1 and G1/ker(homog) giso homog(G1)
(NS존재 <-> homog 존재)
-(Second GISO Theorem)S1 _< G, S2 _< G, S1 _< N_G(S2)이면 S1S2 _< G, S2 _<! S1S2, S1교S2 _<! S1, S1S2/S2 giso S1/S1교S2
(주의:S1 _<! S1S2인지는 모른다. 성립안할 수도 있음)
(S1 _<! S1S2아니더라도, [S1S2:S1]=[S2:S1교S2]는 앎)
-(Third GISO Theorem)NS1, NS2, NS1 _<! NS2이면 NS2/NS1 _<! G/NS1, (G/NS1)/(NS2/NS1) giso (G/NS2)
(NS가 아니어도, S1 _< S2 _< G이면 [G:S1]=[G:S2][S2:S1]이 성립)(link)
-(Fourth GISO Theorem)NS가 있을 때, te bijection from {S s.t. NS _< S} to {S s.t. S _< G/N}
(NS _< S _< G인 S에 대해서, S _<! G iff S/NS _<! G/NS 을 얻을 수 있다.)
(주의:|G1|=|G2|, N1 giso N2, G1/N1 giso G2/N2라 해도 G1 giso G2인지는 모름)
-(Cayley's Theorem)Every G giso S _< S_G
-About Simple G
-(Feit-Thompson Theorem)G:simple, |G|:odd 이면 G giso Z_p for some p:prm
-(Jordan-Holder Theorem)1<|G|<inf이면 G는 composition series을 갖고(not unique), composition factors는 unique
(주의: G1 giso G2가 아니어도 same list of composition factors를 가질 수도 있다.)
-About char S of G
-필요조건:NS
-충분조건:given order, S is unique이면 S char G
-성질:
-S1 char S2 and S2 _<! G이면 S1 _<! G
-S1 char S2 and S2 char G이면 S1 char G
-대표적인 char S:C(G), Z(G)
-About Commutator
-g1g2=g2g1[g1,g2](where [g1,g2]=g1^(-1)g2^(-1)g1g2)
-for any aut in Aut(G), aut[g1,g2]=[aut(g1),aut(g2)], 즉 commutator를 aut에 적용해도 commutator됨
-C(G)의 원소 중 single commutator [g1,g2]로만 표현안되는 게 있을 수 있다.
-G/C(G):the largest abelian quotient group(만약 G/NS:abelian이면 C(G) _<! NS임)
-C(G) _< S이면 S:NS이고 G/S는 abelian
-C(G)를 구하는 방법
-G/NS해서 abelian되기만 하면 C(G) _< NS이므로, NS아무거나로 일단 quotient시켜 abelian인지 따져본다.
-About Direct Products,
-restricted direct product of the groups G_i는 normal subgroup in product of G_i
-elementary abelian group (p,n) (p:prm, n>=1인 interger)의 성질
-non identity 원소는 order가 p
-(p,n)일 때, order가 p인 subgroup의 개수는 (p^n -1) / (p - 1)
-
-(Recognition Theorem)NS1, NS2에 대해 NS1교NS2=1이면 NS1NS2 giso NS1 x NS2
(NS1NS2를 internal direct product of NS1 and NS2, NS1 x NS2를 external direct product of NS1 and NS2라 부른다.)
(즉, G에서 NS1, NS2 where NS1교NS2=1, 이 있으면, NS1와 NS2는 commute한다.)
(즉 direct product의 의의는
-smaller로 larger group만들거나
-finitely generated abelian을 cyclic factor로 쪼개거나
-non-abelian이더라도 factor들(NS인)로 쪼갤 수 있다는 것, 쪼개면, 각각은 commute하고 order가 작아 조사하기 쉬움)
-G_i to direct product 보존되는 것
-nilpotent
-About Semidirect Products
-G:solvable iff for any n s.t. gcd(n,|G|/n)=1, G has a subgroup S of order n.
-NS:solvable and G/NS:solvable이면 G도 solvable
-About nilpotent
-direct product해도 nilpotent
-subgroup도 nilpotent
-quotient group도 nilpotent
-(Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups)G:finitely generated abelian이면 free rank와 list of invariant factors가 유일하게 결정되고 invariant factor decomposition이 가능(반대로 list of invariant factors와 free rank만 결정해주면 finitely generated abelian group 1개를 결정할 수 있다는 것)
(따라서 finite abelian of order n은 n만 소인수분해해버리면claasification가능 by making list of invariant factors)
-finite abelian group의 성질
-invariant factor가 group을 결정하고 group이 invariant factor을 결정함, G:of type (n_1,n_2,...,n_k)으로 표현 가능
-|G|=n일 때, 다음을 만족해야함
-n_i>=2 for all i=1,2,...,k
-n_(i+1) | n_i
-n_1*n_2*...*n_k=n
(따라서 n_1은 n의 모든 prm factor을 가진다.)
-elementary divisors을 이용한 elementary divisor decomposition을 이용하면 |G|=n인 abelian group classification 쉬움
(왜냐하면 n_i에 관한 곱셈조건이 덧셈조건으로 바뀌기 때문)
(elementary divisors를 이용하여 finite abelian group classification한 다음에 표를 만들어 invariant factors로 표현!)
-infinite인데 finitely generated abelian인 group의 성질
-(Sylow's Theorem)(특정 order의 G이 not simple임을 보일 때 자주 사용)
-Sp는 항상 존재한다.(link)
(더욱 강력한 명제는, |G|=p^n*m, (hall divisor, p:prm), te S s.t. S _< G and |S|=p^k, for k=0,1,...,n)(link)
-p-S, Sp에 대해서, te g in G s.t. p-S _<g(Sp)g^(-1)(특히 Sp1과 Sp2 2개는 반드시 conjugate and giso)(link)(link)
(Sp1과 Sp2는 같은 p에 대해서 얘기, S(p1)과 S(p2)는 다른 p에 대해서 얘기)
-#Sp는 다음 2가지를 만족한다. #Sp ≡ 1 (mod p) and #Sp=[G:N_G(Sp)](link)(link)
(따라서 |G|=p^a1*other일 때(other의 factor에는 p가 없음) #Sp|other)
(따라서 |G|<inf and abelian G에 대해선 #Sp=1)
-TFAE
-#Sp=1
-Sp:NS
-Sp char G
-All subgroups generated by elements of prm power order are p-G
-Sp의 성질들
-NS교Sp:sylow p-subgroup in NS(link)
-Classification Steps
-|G|를 통해 proper NS를 찾는다.(Sp같은 걸로다가)
-complement를 구한다.
-NS와 complement 각각을 조사한다.
-semidirect product를 위한 homog를 만들어 본다.
-NS, complement와 homog를 이용하여 semidirect를 만들고 non-isomorphic인걸 나열
-|G|=prm일 때
-G giso Z_prm
-p-G일 때
-Z(p-G)는 nontrivial
-NS가 nontrivial이었으면 NS 교 Z(p-G)도 nontrivial(link)
-|p-G|=prm^2이면 abelian이고 Z_prm x Z_prm 이거나 Z_(prm)^2
-Sp는 자기자신, unique
-(Fixed Point Congruence)J:finite set, act_J by G에 대해, |J|≡|{fixed points}| (mod p)(link)
-|G|=p^m일 때, G has a normal subgroup of order p^n for 0<=n<=m(link)
-|p-G|=(prm)^3이면
-abelian이면
-총 3개의 group이 있음 up to giso
-non-abelian이면
-Z(p-G)=C(p-G)
-|G|=prm1*prm2일 때(prm1<prm2)
-prm1이 (prm2 - 1)을 나누지 않으면 G는 cyclic
-Sp(p=prm2) :NS
-
-|G|=prm1*prm2*prm3일 때(prm1<prm2<prm3)
-not simple(link)
-기타 성질들
-subgroup의 intersection은 subgroup
-normal subgroup의 intersection은 normal subgroup
-[G:NS]=m이면 for all g in G, g^m is in NS.
-NS:Hall subgroup이면 |NS|=|S|인 S는 NS뿐이다.(link)
-normality나 abelian이나 generating set의 원소들에 대해 판정하면 충분
-S1S2, NS1NS2 등 subgroup곱을 이용
-Matrix Group관련
-기초 용어
-MLG(Matrix Lie Group)이란 GL(n:C)의 subgroup이고 closed in GL(n:C) in the terms of entrywise convergence
(cv인 matrix seq를 잡았을 때 limit을 포함하거나 아니면 not invertible이거나)
-Compact MLG란
-cv인 matrix seq를 잡았을 때 limit을 포함하는 경우(not invertible말고)
-성분이 bdd되는 경우
위 2가지를 만족할 때의 MLG를 Compact MLG라 한다.
-connected MLG란, path-connected MLG를 가리킨다.(MLG인 경우 connected->path-connected가 성립해버림)
-성분이 R(std)인 Matrix Group
-GL(n:R):={MT in MT(R) s.t. MT:invertible} with matrix multiplication
-MLG
-not compact
-not connected(components 2개, GL(n:R)^+와 GL(n:R)^-)
-GL(1:R)은 R^* with multiiplication와 giso
-GL(n:R)^+:={MT in GL(n:R) s.t. det(MT)>0}
-GL(1:R)^+는 R with addition과 giso
(비슷하게 R^n with addition은 {MT in GL(n:R) s.t. MT:DMT with all positive diagonal} with matrix multiplication과 giso)
-SL(n:R):={MT in GL(n:R) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-not compact(n=1일때만 compact)
-connected
-O(n):={MT in GL(n:R) s.t. MT:preserve inner product}
-MLG
-compact
-not connected(components 2개)
-MT in O(n)
iff MT의 column vectors가 orthonormal
iff MT:OMT
-MT in O(n)이면 det(MT)=1 or -1
-reflection과 rotation모음
(all linear distance-preserving maps이므로 subgroup of E(n)이 됨)
-SO(n):={MT in O(n) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-compact
-connected
-SL(n:R)과 O(n)의 intersection, 따라서 subgroup of SL(n:R), subgroup of O(n)
-rotation 모음
-SO(2)에 대해서
-FHG(SO(2),x) giso (Z,+)
-SO(n)에 대해서
-n>=3일 때
-FHG(SO(n),x) giso (Z/2Z, +)
-O(n:k):={MT in GL(n+k,R) s.t. MT:preserve Lorentz bilinear}
-MLG
-not compact(k나 n중 0이면 compact됨)
-not connected
-subgroup of GL(n+k,R)
-MT in O(n:k)
iff MT의 column vector의 Lorentz bilinear로 묘사가능
iff rt(MT)*g*MT=g for g=대각행렬, 성분이 첫 n개는 1, 이후 k개는 -1인
-MT in O(n:k)이면 det(MT)=1 or -1
-O(n:1)에 대해서
-O(3,1)을 Lorentz Group이라 한다.
-not connected(components 4개)
-SO(n:k):={MT in O(n:k) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-not compact
-not connected
-SO(n:1)에 대해서
-not connected(components 2개)
-SO(n:1)_identity(SO(n:1)의 connected components중 IMT를 포함하는 것을 가리킴)
-Sp(n:R):={MT in GL(2n,R) s.t. MT:preserve skew-symmetric bilinear}
-MLG
-not compact
-n=2일 땐 MT=(v1, v2), v1=(a,b), v2=(c,d)인 column vector일 때, ad-bc=1인 matrix의 모임
-HSBG={MT in GL(3,R) s.t. MT:UMT, 대각성분이 모두 1}
-MLG
-not compact
-connected
-성분이 C(std)인 Matrix Group
-GL(n:C):={MT in MT(C) s.t. MT:invertible} with matrix multiplication
-MLG
-not compact
-connected
-GL(1:C)는 C^* with multiplication과 giso
-SL(n:C):={MT in GL(n:C) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-not compact(n=1일때만 compact)
-connected
-U(n):={MT in GL(n:C) s.t. MT:preserve complex inner product}
-MLG
-compact
-connected
-MT in U(n)
iff MT의 column vectors가 orthonormal
iff MT:HMT
-MT in U(n)이면 |det(MT)|=1 (|복소수|=1, 즉 크기가 1인 것만 앎)
-U(1)은 {z in C s.t. |z|=1} with multiplication과 giso
-FHG(U(n),x) giso (Z,+)
-SU(n):={MT in U(n) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-compact
-connected
-SU(2)에 대해서
-FHG(SU(2),x)=trivial, 즉 simply connected
-O(n:C):={MT in GL(n:C) s.t. MT:preserve simple bilinear}
-MLG
-not compact
-MT in O(n:C)
iff MT:OMT(성분이 complex지만...rt(MT)*MT=IMT되는 경우)
-MT in O(n:C)이면 det(MT)=1 or -1
-SO(n:C):={MT in O(n:C) s.t. det(MT)=1}
-MLG
-not compact
-Sp(n:C):={MT in GL(2n:C) s.t. MT:preserve skew-symmetric bilinear}
-MLG
-not compact
-Sp(n):=Sp(n:C) intersection U(2n)
-MLG
-compact
-FHG(Sp(n),x):trivial
-그 외 Matrix Group
-E(n):={f:R^n->R^n s.t. f:preserve metric and f:bijection} with composite
-f in E(n)은 need not be linear
-MLG(주의, E(n) is MLG of GL(n+1:R), not of GL(n:R))
-not compact(giso인 것이)
-not connected(giso인 것이)(components 2개)
-for f in E(n), f can be uniquely written as
MT1_x*MT2 where MT1_x:translation by x, MT2:element in O(n)
-P(n:1):={MT=MT_x*MT2 s.t. MT_x:translation by x, MT2:element in O(n:1)}
-group of affine transformations of R^(n+1) s.t. preserve the Lorentz distance
-MLG(주의, P(n:1) is MLG of GL(n+2:R), not GL(n:R))
-not compact(giso인 것이)
-not connected(giso인 것이)(components 4개)
-MLG의 성질
-identity를 포함하는 (connected)components는 subgroup of MLG가 된다.
-Connected관련
-matrix multiplication, inversion of matrix는 GL(n:C)에서 continuous이므로 2개의 path곱이나 path의 inverse나 모두 continuous가 유지된다.
Note)(이후 삭제해도 됨)
몇가지 Techniques
1. strong induction with lattice theorem
2. group action에서의 성질(left multiplication, conjugation, 이때 G랑 J를 잘잡아야함, 특히 class equation중요)
3. 대표적인 normal subgroups을 이용(center, in normalizer, commutator subgroup, Sp, ...)
4. Index Theorem, left multiplication action(not simple임을 보일 때)
5. 직접 order가 prm인 원소 개수 세버리기.(S_n같은 곳에선 특히 유용)
Ring
-zd는 not u
-u는 not zd
-homor:R1->R2일 때, im(homor) _< R2, ker(homor) _< R1, ker(homor) is id.
-(Ring of fraction)CR에 대해 te! CR_[1] s.t. CR _< CR_[1] and not zd인 in CR은 unit in CR_[1]
(특히 CR이 ID였다면, CR_[1]은 Field가 되고, field of fraction 이라 한다.이 field는 ID를 포함하는 가장 작은 field)
-About ID
-(Cancellation Law)
-|ID|<inf이면 F된다.
-
-About subring
-(criteria)nonempty, closed under subtraction, multiplication
-
-About DR
-|DR|<inf이면 F된다.
-About Field
-for SR of F s.t. contains the 1 of F, SR=ID
-for any ID, te F s.t. ID _< F
-homor:F->R는 반드시 1-1(for non trivial homor)
-F의 id는 0와 F뿐
-About R[x](별말 없으면 R은 CR_[1]이다.)
-SR _< R이면, SR[x] _< R[x]
-R[x]도 CR_[1]
-R=ID일 때
-deg(P1(x)*P2(x))=deg(P1(x))+deg(P2(x))
-R[x]에서의 u는 R에서의 u와 같다.
-R[x]도 ID
-R[x]의 field of fraction은 field of rational functions가 된다.
-R->F->F(x), R->R[x]->field of fraction of R[x], 이때 F(x)와 field of fraction of R[x]와 같다.
-
-구체적인 상황
-About MT(R)
-id:id of R일 때, MT(id)는 id of MT(R)
-id:id of R일 때, id=ker(homor), where homor:MT(R)->MR(R/id)
-MT(R_1)의 id는 MT(id) where id is ideal of R_1이 된다.
-MT(F)의 id는 0과 MT(F)뿐
-
-About RG(별말없으면 R은 CR_[1]이다. 그리고 1<|G|<inf인 경우만 생각)
-RG가 CR <-> G가 abelian
-R의 1이 RG의 1이다.
-SR _< R, S _< G일 때, SRG와 RS는 RG의 subring이다.
-zd가 항상 존재.
-augmentation map:RG->R관련
-homor되고, ker은 계수합이 0인 것들
-ker은 ({g-1|g in G})
-ker은 M-id된다.
-다른 대표적 id는 g_i의 계수가 다 같은 것들
-About id and quotient R
-id존재 <-> homor존재
-R이 zd를 안가져도 quotient R은 zd를 가질 수 있다.
-(The First riso theorem)homor:R1->R2가 있을 때, ker(homor):id of R1, im(homor) _< R2, R1/ker(homor) riso im(homor)
-(The Second riso theorem)SR _< R, id:ideal of R이면 SR+id _< R이고 SR교id:id of SR 그리고 (SR+id)/id riso SR/(SR교id)
-(The Third riso theorem)id1 of R, id2 of R, id1<id2이면 id2/id1:id of R/id1 그리고 (R/id1)/(id2/id1) riso R/id2.
-(The Fourth riso theorem)id of R이 있을 때 {SR s.t. containing id}와 {SR _< R/id}사이 bijection존재
(SR containing id:id of R iff SR/id:id of R/id)
-id1+id2:id(id1과 id2를 포함하는 가장 작은 id)
-id1id2:id(id1교id2에 포함되는 id)(주의:정의가 all finite sums, 그냥 prod만 다 모으면 +에 closed하지 않으므로 subring이 안됨)
-id1교id2:id
-Lid1교Lid2:Lid
-(E)의 이해=the smallest id(일반적), RER(R_[1]일 때), RE(CR_[1]일 때)
-id=R iff unit is in id
-R/id가 F이면 id=M-id
-R_[1]에서는 every proper ideal은 M-id에 포함된다.(M-id의 존재성)
-CR_[1]에서
-RE=ER=RER=<E>
(R_1이어야 RE는 E를 포함하는 smallest Lid가 된다. CR이어야 ER=RE)
-(r1)<(r2) iff r1 is in (r2) iff r1=r3*r2 for some r3
-(1)=R
-(a)(b)=(ab)
-id가 0와 자기자신뿐이면 R=F
-id가 M-id이면 R/id:F
-id:prm-id iff R/id:ID
-M-id는 prm-id
-(Chinese Remainder Theorem)id1,id2,...,idn에 대하여,
-homor:R->(R/id1)x(R/id2)x...x(R/idn) (homor된다는 점)
-ker(homor)은 id1교id2교...교idn
-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 ker(homor)=id1교id2교...교idn=id1id2...idn 그리고 homor가 surjective
-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 induced riso에 양변에 ^*을 취해도 성립
-About PID,UFD, ED
-F[x]:PID
Field
Module
Vector Space
-(Hamel Basis)모든 VS(F)는 basis를 갖는다.
-F의 원소에 norm을 줄 수 있다면, 모든 VS(F)는 nvs가 될 수 있다.(using Hamel Basis)
-About Direct Sum and Decomposition
-정의:
-sum of LS1, LS2, ..., LSn
-sum이 direct sum이란, sum=VS(F)이면서 for any i, LSi intersection sum except for i = empty
-external direct sum of VS(F)1, VS(F)2,..., VS(F)n이란, cartesian product이면서 operation은 component-wise
-성질:
-About Direct Sum
-For any LS1<VS(F), te LS2 s.t. the direct sum of LS1, LS2 = VS(F)
(not unique)
Topological Space
-몇가지 용어 정의들
-TS가 Baire Space이다란, c-union of closed set with empty interior has empty interior
(c-intersection of open dense is dense<<동치)
-TS의 subset이 first-category란, c-union of nowhere dense subsets
-TS의 subset이 second-category란, not first-category
-General 성질들
-어떤 subsets을 포함하는 가장 작은 top생각가능(즉, top의 intersection은 top됨)
-top들의 collection에 의해 generated top도 생각가능
-Topological Properties
-connectedness
-compactness
-local connectedness
-metrizability
-first-countable
-second-countable
-lindelof
-separable
-fundamental group(giso일 듯? 이후 수정)
-About Limit point, closure, interior, boundary
-cl은 monotone, commute with finite union, product
-cl취해도 변하지않는 성질들
-connected
-diam
-E의 interior, exterior, boundary는 TS를 partition함, 이때 interior, boundary는 cl(E)를 partition함
-(cl(E))^c = int(E^c) / (int(E))^c = cl(E^c) (드모르간 법칙 같네)
(따라서 Baire Space의 정의를 closed sets이용해서 state할 수 있고, 혹은 open sets을 이용할 수도 있다.)
(E:dense in TS iff E^c has empty interior)
-Bd(E) = empty iff E:open and closed
-E1<E2, x:limit point of E1이면 x:limit point of E2
-About Mapping
-Projection의 성질
-open map(closed map는 아닐 수 있음)
-conti
-not closed(TS1xTS2->TS1에서 TS2가 compact라면 closed map됨, (link))
-conti criteria, f:X->Y
-X의 open개수가 많고 Y의 open개수가 적을수록 conti될 가능성이 높아짐
-Use closed in Y
-Use open in Y
-Use basis in Y
-Use subbasis in Y
-f(cl(E))<cl(f(E))
-Using Pasting lemma, open sets in X(uncountable개여도 상관없음)
-Using pasting lemma, finite closed sets in X
-f가 conti이면 sequentially conti(역은 domain TS가 first-countability필요)
-Y:KT2일 때는, f가 conti iff the graph of f is closed in XxY가 성립(if는 K인걸 이용, only if는 T2인 걸 이용)(link)
-open map, closed map, continuous map, quotient map의 성질(f(TS1)에서의 성질들이다 continuous image관련해서는)
-f:TS1->TS2, conti,
-f:(TS1,C4(TS1))->(TS2,C4(TS2))가 conti면 MF도 된다.
-f:S(<TS1)->TS2, TS2:T2일때, extension of f on cl(S)는 unique(link)
-f(connected)=connected
-f(compact)=compact
-f(path-connected)=path-connected
-f(lindelof)=lindelof
-f(dense)=dense
-f(separable)=separable
-f:open이기도 하면
-f(basis)=basis of f(TS1)
-f(locally compact)=locally compact
-f(first-countable)=first-countable
-f(second-countable)=second-countable
-f:surjective이면 f:quotient map
-f:closed이기도 하면
-f(T4):T4(link)
-f:surjective이면 f:quotient map
-TS2:order top이고, g:TS1->TS2, conti일 때, {x in TS1|f(x)<=g(x)}:closed in TS1, h=min(f,g):conti(link)
-f:TS1->TS2, closed
-TS1:T1이면 f(TS1):T1
-U:open in TS1, E2:subset in TS2, s.t. f^(-1)(E2)<U이면 te V:open in TS2 s.t. E2<V, f^(-1)(V)<U(link)
-About order topology(strict total order relation으로 생성한 top)
-T2
-T3
-T4
-least upperbound property가 성립 iff 모든 closed interval(not singleton)은 compact
-linear continuum가 성립 iff TS가 connected
-linear continuum이 성립할 때 구체적으로는
-V는 connected이고 따라서 전체집합, intervals, rays모두 connected됨
-locally compact
-T4
-well ordered인 경우(least upper bound가 성립)
-T5
-About Subspace
-From TS to S
-모든 S에 대하여
-strict total order relation
-open
-closed
-basis
-closure(E<S, cl(E) in S =cl(E) in TS intersection S)
-T2
-T2.5
-T3
-T3.5
-CN
-T5
-f:X->Y, conti, S<X이면 g:S->Y도 conti
-f:X->Y, conti, f(X)<S1<Y이면 g:X->S1도 conti
-first-countability
-second-countability
-covering map(using restriction)
-S가 open in TS일 때만
-LKT2(LK만 되는지는 모름)
-S가 closed in TS일 때만
-compact
-LK
-lindelof
-T4
-기타
-S with induced order은 S as subspace랑 다르다. (S가 convex in TS이면 가능)
-From S to TS
-모든 S에 대하여
-f:X->S, conti, S<Y이면 g:X->Y도 conti
-S가 open in TS일 때만
-open
-S가 closed in TS일 때만
-closed
-About Product topology
-Prod(S_i) = subspace of Prod(TS_i)
-From TS_i to Prod(TS_i) (곱이 countable개이냐 아니냐/product top이냐 box top이냐 구분)
-open(box top에서만 됨)
-closed
-basis
-T2
-T3
-T3.5(product top에서만 됨)(link)
-f:TS->Prod(TS_i)의 conti(product top에서만 됨)
-seq의 수렴성(product top에서만 됨)
-connected(product top에서만 됨)
-compact(product top에서만 됨)
-path-connected(product top에서만 됨)
-Countable Prod일 때
-first-countability
-second-countability
-separable
-metrizable
-complete
-totally bdd(각 TS_n가 MetricS)
-Finite Prod일 때
-covering map
-From Prod(TS_i) to TS_i
-Using projection
-open
-f:TS->Prod(TS_i)의 conti
-seq의 수렴성
-metrizable
-connected
-T2
-T3
-T4
-About Quotient Topology
-QS:connected, 각 class가 connected in TS이면 TS도 connected
-TS:locally connected이면 QS:locally connected(link)
-restriction of quotient map to class or union of classes
-class or union of classes가 open혹은 closed였으면 restriction도 quotient
-quotient map이 open or closed map이었으면 restriction도 quotient
-About Connected, C
-C가 connected TS란,
-there is no separation이 정의
(separation (U,V)란, U와 V가 disjoint, nonempty, open, union=TS을 가리킴)
-empty set is connected
-every singleton subset set is connected
-separation G1,G2에 대해 G1의 limit pt는 G2에 속하지 않는다. (G2의 limit pt는 G1에 속하지 않는다.)
(즉 Separation은 separated sets이다.)
-TS:connected iff te no separation
-TS:connected iff clopen sets은 TS랑 empty뿐
-G1,G2:separation of TS, S:connected이면 S<G1 or S<G2
-S_i가 connected일 때, union S_i도 connected(단 common pt가 있을 때)
-(Intermediate Value Theorem)f:C->TS with order top, conti이고 f(a)<r<f(b)이면 te c in C s.t. f(c)=r
-connected component는 closed이다.
(open일 때도 있는게, component가 유한개거나, locally connected이면 된다.)
-
-path-connected관련(connected임을 보이는 쉬운 방법중 하나)
-TS:path-connected이면 connected이다.(역은 성립 안함)
-S_i가 path-connected일 때, union S_i도 path-connected(단 common pt가 있을 때)
-path-connected components는 connected components에 포함된다.
(S:path-connected라해서 cl(S)가 path-connected인 것은 아니다.)
(path-connected component는 closed일 필요도 없고 open 일 필요도 없다.단, locally path-connected이면 open은 된다.)
-totally disconnected관련
-About Compact, K
-용어정의
-limit point compact란, 임의의 infinite subset E has a limit point
-sequentially compact란, 임의의 seq가 cv인 subseq를 가짐
-empty set은 compact
-모든 singleton set은 compact
-TS:compact iff every collection of closed sets in TS having finite intersection property, intersection of all elements in the collection is nonempty
-finite union of compact is compact
-LK
-CGT
-(Tube Lemma)
-TS1xTS2, TS2:compact, N:open in TS1xTS2 containing x_0 x TS2이면 te E s.t. N contains ExTS2, x_0 is in E, E:open in TS1
-S1<TS1, S2<TS2, S1과S2 둘다 compact, N:open in TS1xTS2 containing S1xS2이면 te E1,E2 s.t. E1:open in TS1, E2:open in TS2, S1xS2 < E1xE2 < N(link)
(두번째 것이 첫번째 것을 포함하지만, 첫번째 것만으로도 자주 나오니 구분해서 적음)
-(Extreme Value Theorem):f:K->TS with order top, conti이면 te c,d in K s.t. f(c)<=f(x)<=f(d) for all x in K
-비슷한 compact관련
-compact이면 limit point compact이다.
-compact이면 lindelof이다.
-Metrizable일 땐, compact=limit point compact=sequentially compact
-limit point compact의 closed subset은 limit point compact
-About "Locally Property"
-Locally connected
-TS:locally connected iff every connected components of every open in TS is open
-TS:locally path-connected iff every path-connected components of every open in TS is open
-TS:locally path-connected이면 path-connected component=connected component, 게다가 open(link)
-Locally compact, LK
-TS:locally compact of x란 nbd(x)를 포함하는 compact subset존재
-TS:locally compact란 모든 element x에 대해서 locally compact일 때
-E:compact->E:locally compact
-Locally homeomorphic
-TS1:locally homeomorphic to TS2란,
te f:TS1->TS2 s.t. for any x in TS1, te open(x) s.t. f(open(x)) is open in TS2 and restriction f on open(x) is homeomorphism
(이 때 f를 local homeomorphism이라 한다.)
-every homeomorphism is local homeomorphism
-local homeomorphism은 open map, conti(link)
-bijective local homeomorphism은 homeomorphism
-f:TS1->TS2, local homeomorphism일 때 preserve하는 성질들
-TS1이 locally path-connected이면 f(TS1)도 locally path-connected
-TS1이 locally connected이면 f(TS1)도 locally connected
-TS1이 locally compact이면 f(TS1)도 locally compact
-TS1이 first-countable이면 f(TS1)도 first-countable
-Separation axioms관련 성질
-정의:(A,B는 {one point}거나 compact set이거나 open set이거나 closed set이거나...가능)
-A,B가 topologically distinguishable:te open set U s.t. A,B중 1개만 포함하는
-A,B가 separated:cl(A)와 cl(B)가 disjoint
-A,B가 separated by open nbd:te open G1, open G2 s.t. disjoint하고 G1은 A를 G2는 B를 포함
-A,B가 separated by closed nbd:te closed F1, closed F2 s.t. djsjoint하고 F1은 A을, F2는 B을 포함
-A,B가 separated by conti function:te f:TS->R(std) s.t. f(A)=0 f(B)=1
-A,B가 precisely separated by conti function:te f:TS->R(std) s.t. A={x in TS s.t. f(x)=0}, B={x in TS s.t. f(x)=1}
-T0(2pt, topologically distinguishable)
-(iff)모든 점이 topologically distinguishable
-T1(2pt, separated, separated란 each가 cl(the other)와 disjoint, or open sets으로도 해석 가능)
-(iff)모든 finite set은 closed
-E의 limit L iff open(L) intersection E는 infinitely many pts을 포함
(first-countability는 L을 포함하는 open set의 개수가 countable개 있음을 보장해주고, T1은 intersection의 원소가 무한개임을 보장해준다.)
-T2(2pt, separated by open nbd)
-seq의 limit은 기껏해야 1개
-TS:T2S iff TSxTS의 diagonal은 closed in TSxTS
-compact subspace는 closed됨
-compact와 pt는 separated by open nbd
-2 compact는 separated by open nbd
-f:TS1->TS2 conti, g:TS1->TS2 conti, TS2:T2일 때, {x in TS1|f(x)=g(x)}는 closed in TS1
(따라서 f:TS->TS conti, TS:T2일 때, fixed points의 모임은 closed in TS됨)
-T2.5(2pt, separated by closed nbd)
-CT2(2pt, separated by conti function)
-R(closed와 pt, separated by open nbd)
-(iff)closed와 pt에 대해 separated by closed nbd
-(iff)for any x in TS, any open U containing x, te open V containing x s.t. cl(V)<U
-(T1도 되면)T3라 한다.(T0,T1,T2 중 어느것이 되도 상관없음, 이후 일관성 때문)
-TS:T3이고 lindelof이면 T4
-TS:T3이고 second-countable이면 T4, CN, T5, metrizable, imbedded in R^N(product top or uniform top)
(metrizable임을 보일 때, TS가 imbedded in R^N (with product top or uniform top)임을 보인다.)
-CR(closed와 pt, separated by conti function)
-closed와 compact가 주어지면 separated by conti function 가능
(단, closed와 closed일 때까지로는 확장 못함)
-(T1도 되면)T3.5라 한다.(T0,T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-TS:T3.5 iff TS homeo S of [0,1]^J for some J.
([0,1]^J 는 KT2됨)
-TS:T3.5 iff TS has a compactification
-TS:T3.5이면 te! SCcl(TS) up to homeo s.t. for any f:TS->KT2, conti, f can be uniquely extended to SCcl(TS), conti.
-N(2closed, separated by open nbd)
-(Urysohn's Lemma version 1)(iff)(2closed, separated by conti function)
-(Urysohn's Lemma version 2)TS:normal일 때,
te conti f:TS->[0,1] s.t. f(x)≡0 on A iff A:Gd closed
-(Urysohn's Lemma version 3)TS:normal일 때,
te conti f:TS->[0,1] s.t. f(x)≡0 on A f(x)≡1 on B iff A,B:disjoint Gd closed
-(Tietze Extension Theorem version 1)TS:normal, E:closed, f:E->[0,1], conti일 때
te extension of f on TS -> [0,1], conti
-(Tietze Extension Theorem version 2)TS:normal, E:closed, f:E->R(std), conti일 때
te extension of f on TS -> R(std), conti
-(iff)for any closed set E1 in TS, any open E2 s.t. E1<E2, te open E3 containing E1 s.t. cl(E3)<E2
-(T1도 되면)T4라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-TS:T4이고 connected이면 |TS|=1 or uncountable이다.
-CN(2separated sets, separated by open nbd)
-(iff)모든 subspace가 N
-(T1도 되면)T5라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
-PN(2closed, precisely separated by conti function)
-(iff)모든 closed set이 Gd
-(T1도 되면)T6라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)
포함관계
T0>T1>T2>T2.5>CT2>T3>T3.5>T4>T5>T6
R>CR
N>CN>PN
-Countability axioms
-First-Countability
-TS가 first-countable이란, for any x in T, countable nbd(x)가 존재하고, 각 nbd(x)에 포함되는 또 다른 nbd(x)가 존재
-x:limit point of E이면 te {x_n} in E s.t. cv to x(역은 first-countability아니어도 성립)
-f:X->Y, X가 First-Countability이면 Sequentially conti->conti
-CGT
-Second-Countability
-TS가 second-countable이란, countable basis존재
-TS:second-countable이면 모든 discrete subspace는 countable이다.
-second-countable이면 separable이다.(metrizable이면 역도 성립)
-second-countable이면 lindelof이다.(metrizable이면 역도 성립)
-second-countable이면 first-countable이다.
-TS:second-countable이고 E:uncountable이면 uncountable many pts in E는 E의 limit pt이다.
(즉 second-countable이면 uncountable E들은 limit pts를 uncountable개 갖는다 in E)
-Lindelof
-TS가 lindelof란 every open cover has a countable subcover(즉 compact보다 weak)
-countable TS이면 lindelof이다.
-compact이면 lindelof이다.
-Separable
-TS가 separable이란 countable dense subset을 가질 때
-every collection of disjoint open sets는 countable
-About Directed sets and Net, Net convergence
-Net convergence를 도입시 좋은 점
-x in cl(E) iff te seq {x_n} in E cv to x(단 TS가 first-countable일 때 only if가 성립-(*))
-f:sequentially conti iff f:conti(단 domain이 first-countable일 때 only if가 성립-(*))
-TS:sequentially compact iff TS:compact(단 TS가 Metric일 때 only if가 성립-(*))
((*)에서 seq를 net으로 바꾸면 단~~ 부분이 필요없어지게 된다.)
-About LKT2
-LKT2의 해석방법
-compact nbd
-pre-K open set
-TS1:LKT2 iff te TS2 s.t. TS1<TS2 and TS2-TS1 is singleton and TS2:KT2(link)
(TS1:LKT2일 때, TS2를 ocl(TS1)이라 표기하기로 하자. 왜냐하면 추가한 point가 TS1의 limit pt가 됨)
(TS2는 유일 up to homeomorphic)
(TS1:open subspace of ocl(TS1))
-E1:open containing x일 때, te E2:open containing x s.t. E2:pre-K, cl(E2)<E1(link)
-E1:open containing K일 때, te E2:open containing K s.t. E2:pre-K, cl(E2)<E1
-Baire
-CGT
-T3
-T3.5
-KT2의 성질
-isolated pt가 하나도 없으면 uncountable space이다.(link)
(isolated pt란, {pt}:open일 때, 그 pt를 isolated pt라 한다.)
-BaireS(link)
-LKT2됨(LKT2 성질들 다 만족)
-T3
-T4
-Metrizable iff second-countable
-
-About CGT
-CGT의 예:LK, K, first-countable, MetricS
-성질
-f:CGT->TS가 for any K, restriction of f on K is conti이면 f는 conti
-m-Manifold
-정의:T2, Second-countability, and for each point x has nbd s.t. homeomorphic to open set in R^m
Algebraic Topology
-About homotopy, homotopy of paths
-용어정의
-f1 _=homotopic f2란, f1:TS1->TS2, f2:TS1->TS2, f1,f2:모두 conti일 때
te conti F:TS1x[0,1]->TS2 s.t. F(x,0)=f1(x), F(x,1)=f2(x) for all x in TS1
(이 때의 F를 homotopy f1,f2라 하자.)
-f1:nulhomotopic이란 f1 _=homotopic f2에서 f2가 constant일 때
-initial point final point가 같은 path1, path2에 대해서 path1 _=phomotopic path2란(두 paths:[0,1]->TS이고 conti인)
te conti F:[0,1]x[0,1]->TS s.t. F(x,0)=path1, F(x,1)=path2, F(0,t)=x_0, F(1,t)=x_1 for all x, t
(이 때의 F를 phomotopy path1, path2라 하자.)
-[TS1,TS2]:=homotopy classes of conti maps of TS1 into TS2
-TS가 contractible이란, identity:TS->TS가 nulhomotopic일 때
-FHG(TS,x)란 phomotopic classes of loop based at x where x in TS, first homotopic group of TS라 한다. 혹은 fundamental group of TS relative to the base point x라 한다.
-TS:simply connected란, path-connected이고 FHG(TS,x)=trivial group for some x in TS일 때
-h:TS1->TS2, h(x_0)=y_0, h:conti일 때, H:FHG(TS1,x_0)->FHG(TS2,y_0), H:group homomorphism을 얻을 수 있고, 이것을 homo from (h,x_0)라 하자.
-f:TS1->TS2, conti, onto일 때 E:open in TS2가 evenly covered by f란,
f^(-1)(E)=union of disjoint open sets in TS1 where the restriction of f on each open set is a homeomorphism onto E
-f:TS1->TS2가 covering map of TS2란, f:conti, surjective, for any y in TS2, te open(y) s.t. open(y):evenly covered by f일 때 f를 covering map of TS2라 하고 TS1을 covering space라 한다.
-About _=homotopic, _=phomotopic
-about _=homotopic
-equivalence relation을 만든다
-f1 _=homotopic f2 of TS1 into TS2, g1 _=homotopic g2 of TS2 into TS3일 때 g1(f1) _=homotopic g2(f2)(link)
-TS1->R^2(std)인 경우
-straight-line homotopy를 통해서 임의의 conti function f1,f2가 _=homotopic임을 알 수 있다.
-특히 f1, f2의 image가 convex set에서만 생긴다면 straight-line homotopy의 image모두 convex set안에 유지
-about [TS1,TS2]
-[TS1, [0,1]] has a single element(link)
-[[0,1], path-connected TS] has a single element(link)
-TS2:contractible이면 [TS1,TS2] has a single element
-TS2:path-connected더라도(contractible보단 약한), TS1:contractible이면 [TS1,TS2] has a single element
-about contractible
-contractible TS는 path-conncected이다.
-TS1:contractible iff for any TS2, for any f:TS2->TS1, g:TS2->TS1, 둘다 conti, f _=homotopic g
-about _=phomotopic(1개의 TS의 성질 관심)
-equivalence relation을 만든다.
-path1의 final이 path2의 initial인 paths끼리 product연산(*)을 줄 수 있다.
(별말없이 path1*path2라 썻다면 path1의 final=path2의 initial인 상황)
-[path1]*[path2]=[path1*path2]로 정의하면 phomotopic classes에 product연산(*)을 줄 수 있다.
-phomotopy path1,path2(in TS1)에 conti인 k:TS1->TS2를 합성하면, phomotopy k(path1), k(path2)가 된다.
-conti인 k:TS1->TS2가 있을 때 k(path1*path2)=k(path1)*k(path2)가 성립
-product연산 on phomotopic classes은 groupoid properties를 만족(link)
(group axioms가 성립하지 않는 유일한 다른점은 final과 initial이 같은 path classes사이에서만 연산된다는 점)
-path in TS를 n개의 path로 쪼개기 가능, [path]=[path1]*[path2]*...*[pathn]
-TS1->R^2(std)인 경우
-straight-line homotopy를 통해서 임의의 path1, path2 with same initial, final가 _=homotopic임을 알 수 있다.
-특히 path1, path2의 image가 convex set에서만 생긴다면 straight-line homotopy의 image모두 convex set안에 유지
-R^2(std)-{0}에서는 성립안함. UO1에서 시계방향, 반시계방향 path가 not phomotopic
-About Fundamental group(FHG(TS,x))
-FHG(TS,x)는 group이 된다.
-path from x to y가 있다면 FHG(TS,x)->FHG(TS,y)인 giso를 얻을 수 있다.
-TS가 path-connected이면 for any x, y in TS FHG(TS,x) giso FHG(TS,y)
(TS가 path-connected인 경우에 Fundamental Group에 대해서 이론전개하는 이유이다.)
(TS가 path-connected이면 FHG(TS,x)에서 base point 언급이 필요없을 것 같지만, base point 사이 path결정에 따라 giso가 달라지므로 일반적으로 TS가 path-connected여도 base point언급을 한다.)
-E:path-connected component(subspace)인 경우 FHG(E,x)=FHG(TS,x)가 된다.
-TS:path-connected이면 for x in TS, FHG(TS,x)가 abelian iff giso from FHG(TS,x) and FHG(TS,y)는 unique
-About simply connected인 경우
-FHG(TS,x)=trivial
-TS의 임의의 두 paths with same initial, final인 path1, path2는 phomotopic이다.
-About homo from (h,x_0)
-h1:TS1->TS2, h1(x_0)=y_0, h1:conti이고 h2:TS2->TS3, h2(y_0)=z_0, h2:conti일 때,
homo from (h2 o h1, x_0)=homo from (h2,y_0) o homo from (h1,x_0)
-homo from (identity,x_0)는 identity group homomorphism이다.
-h가 homeomorphism일 땐 homo from (h,x_0)는 giso가 된다.
-About Covering maps, Covering Space
-TS1:covering space of TS2 with covering map f:TS1->TS2일 때, for any y in TS2, f^(-1)(y) has a discrete topology induced from TS1
-covering map f:TS1->TS2
-local homeomorphism
-open map
-가장 쉬운 예: f:R(std)->UO1(subspace of R^2(std)), f(t)=(cos(2*pi*t),sin(2*pi*t))
-
Topological Vector Space
-용어정의:
-VS(F)가 TVS(F)란, +:VS(F)xVS(F)->VS(F), *:FxVS(F)->VS(F), VS의 연산 addition과 scalar multiplication이 continuous가 되게끔 VS(F)에 top을 줬을 때(scalar multiplication이 conti를 논할 때는 F에 topology를 줬을 때) (VS(F),top)을 TVS(F)라 한다. F언급안하면 R
-성질:
-TVS(F):T2 iff every singleton is closed
-TVS(F)에서 || ||은 conti이다.(? || ||이란 norm인것 같은데 어떤 norm을 가리키는거지? 나중에 체크)
-f-dim LS는 closed이다.
-F=R(std)일 때만 되는 것들
-R(std)에 norm을 줄 수 있으므로 TVS(R)는 NVS된다.
-F=C일 때만 되는 것들
-C에 norm을 줄 수 있으므로 TVS(C)는 NVS된다.
Metric Space
-any subset E is the intersection of open sets(countable intersection아닐 수 있음)
(주의:U_n := Union ball(x,1/n) for x in E, Intersection U_n is not E, but cl(E))
-any open set is an countable union of an increasing closed sets
-any closed sets is an countable intersection of an decreasing open sets
-totally bdd이면 bdd이다.
-totally bdd under d iff totally bdd under d_sb
-metric d is conti(link)
-metric d가 induce한 top은 d가 conti가 되게하는 the smallest top이다.
-metric d와 d_sb는 같은 topology를 induce한다.
-d(x,E)=0 iff x is in cl(E)
-d(x,K)=d(x,a) for some a in K
-d(E1,E2)=0, E1:closed, E2:closed, E1,E2:disjoint일 수 있다. (R^2(std)에서 xy=1과 x축 생각)
-{x|d(x,E)<eps}=union of the open balls {x|d(a,x)<eps} for a in E(따라서 open)
-d(x,E):TS->R>=0 is conti
-K<open1이면, te open2 s.t.K<open2<open1 and open2={x|d(x,K)<eps}
-F1과 F2가 disjoint closed인데 d(E1,E2)=0일 수도 있다.
-
-S도 MetricS됨(전체 Space의 d를 restriction)
-모든 compact set은 bdd and closed
(역은 성립안함)
-compact=limit point compact=sequentially compact
-compact metric space의 성질(KMetricS,d)
-(MetricS,d):compact iff (MetricS,d):complete and totally bdd
-(Lebesgue Number Lemma)for any open covering, te delta>0 s.t. diam(E1)<delta이면 te E2 in the covering s.t. E1<E2(link)
-(Uniform Continuity Theorem)f:KMetricS->MetricS가 conti이면 uni conti
-compact이므로 lindelof
-lindelof인데 metric이므로 second-countable
-complete
-LKT2, KT2의 성질들 모두 만족
-
-diam의 성질
-monotone
-E1교E2 is not empty 이면 diam(E1UE2) <= diam(E1)+diam(E2)
-diam(E)=diam(cl(E))
-
-conti criteria
-f:(MetricS1,d1)->(MetricS2,d2) conti <-> eps-delta definite이용((MetricS2,d2)가 R(std)일 때 주로 도움)
-f1:TS->R(std), f2:TS->R(std), f1 + f2, f1 - f2, f1 * f2, f1 / f2 모두 conti
-
-seq {x_n} in (MetricS,d)가 cauchy이면 te subseq s.t. d(x_n_k+1,x_n_k)<=2^(-k)(link)
-seq {x_n} in (MetricS,d)가 cauchy이고 subseq가 cv이면 seq {x_n}도 cv(link)
-
-isom(MetricS1,MetricS2)는 one-to-one이고 imbedding이다.
-
-First-Countability
-CGT
-T4
-CN
-T5
-T6
-About Complete
-complete is not top property
-CMetrics의 closed S도 CMetricS됨
-(MetricS,d)가 complete iff (MetricS,d_sb)가 complete
-(MetricS,d)가 complete iff every cauchy seq {x_n} in MetricS has a cv subseq.
-(MetricS,d)가 complete iff every nested seq {E_n} of nonempty closed subsets s.t. diam(E_n)->0, the intersection of E_n is nonempty.
-for any MetricS, te isom(MetricS,S of completion of MetricS), uniquely up to isom
-(Banach Fixed Point Theorem)
:CMetricS의 complete subset E, f:contraction on E일 때, f는 fixed point을 유일하게 갖고, iteration으로 얻어진다.
-About Function Space(사전식 배열로 정리, uni top외의 top이 언급되는 theorem은 이 색 이용)
-fC(J,TS)에서 top of pt cv 정의가능
-seq {f_n} in fC(J,TS) cv in the top of pt cv iff {f_n}:pt cv.(fC(J,TS)의 product top과도 같음)
-fC(J,MetricS)에서 d_uni 정의가능, uni top
-fC(J,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni
-(d_sup)_sb=d_uni, when d_sup이 정의될 때
(d_sup이 정의되면, d_sup으로 논하는게 마음 편함, d_uni는 복잡함)
-fC(TS1,TS2)에서 top of compact open 정의가능
-top of pt cv < top of compact open
-fC(TS,MetricS)에서 top of compact cv 정의가능
-top of pt cv < top of compact cv < uni top
-seq {f_n} in fC(TS, MetricS) cv in the top of compact cv iff for any K in TS, {f_n}:uni cv on K
-TS=K일 때
-top of compact cv = uni top
-TS=discrete일 때
-top of pt cv = top of compact cv
-fCbdd(J,MetricS)
-fCbdd(TS,MetricS)
-closed in fC(TS,MetricS) with uni top
-fCbdd(TS,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni
-fCconti(TS1,TS2)
-fCconti(TS,MetricS)
-top of compact open = top of compact cv
-(Uniform Limit Theorem)closed in fC(TS,MetricS) with uni top
-fCconti(TS,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni
-E가 totally bdd using d_uni이면 E는 equiconti
-E가 equiconti, for any a in TS, E_a:pre-K in MetricS이면
-te S of fCconti(TS,MetricS) with top of compact cv s.t. E<S, S:compact
-TS=CGT일 때
-closed in fC(TS, MetricS) with top of compact cv
-{f_n}:cv in the top of compact cv to f이면 f도 conti
-TS=LKT2일 때
-E of fCcontiV(TS,MetricS), MetricS=R(std)일 때, E:pre-K iff E:pt bdd, equiconti, vanishes uniformly at infinity
-E<S, S:compact in fCconti(TS,MetricS) with top of compact cv이면
-E는 equiconti이고 for any a in TS, E_a:pre-K in MetricS
-TS=K일 때
-MetricS=KMetric일 때, E가 equiconti이면 E는 totally bdd
-MetricS:all closed, bdd subsets are compact일 때,
-E:pre-K iff E:pt bdd, equiconti
-MetricS=R(std)일 때
-(Dini's Theorem)seq {f_n} in fCconti(TS,R(std))가 monotone, pt cv, limit f is conti이면 f_n은 uni cv
(유사하게, seq {f_n} in fC(K in R(std), R(std)), 각각이 monotone(conti일 필요 없음), pt cv to f which is conti on K이면 f_n은 uni cv도 된다.)
-MetricS=R^n일 때
-E:compact iff E:closed, bdd, equiconti
-{f_n} in fCconti(K,MetricS), {f_n}:pt bdd, equiconti이면 {f_n}은 uni cv인 subseq을 갖는다.
-eval:LKT2 x fCconti(LKT2,TS) -> TS는 conti
Normed Vector Space(Banach내용도 여기에, IPS도 여기에)
-NVS관련 기본적인 성질
-Vector Space에 Norm이 있어서 Metric생기고 그래서 topology도 있는 상황, NVS의 이해
-NVS에서 vector addition, scalar multiplication, || ||은 conti이다.
-NVS가 complete iff every abs cv인 series가 cv(link)
-About Linear subspace
-cl(LS)도 LS
-BS의 closed LS는 BS이다.
-About f-dim
-f-dim LS는 closed
-f-dim NVS에서는 임의의 two norms가 equivalent
-f-dim NVS는 BS이다.
-About LT(nvs1,nvs2)
-LT(nvs1,nvs2)의 norm은 inf(1가지), sup(3가지), 총 4가지 방법이 있다.
-LT(nvs1,nvs2):bdd와 iff인 것들
-conti at one pt
-conti at 0
-conti
-uni conti
-int{LT^-1(y in nvs2 s.t. ||y||<=1)}:nonempty
-About LTC(nvs1,nvs2)
-LTC(nvs1,nvs2):Vector Space
-About LTCconti(nvs1,nvs2)
-LTCconti(nvs1,nvs2):BS iff nvs2:BS(only if 에서 nvs1가 0이면 성립안함, nvs1가 nonzero라 가정필요)
-About Functions Spaces
-fCbdd(TS,R(std)):closed in (fC(TS,R(std)), d_uni), 따라서 BS
-fCconti(TS,R(std)):closed in (fC(TS,R(std)),d_uni), 따라서 BS
(따라서 fCcontibdd(TS,R(std)):closed in (fC(TS,R(std)),d_uni), 따라서 BS
-fCcontiV(TS,R(std)):closed in (fCcontibdd(TS,R(std)),d_uni), 따라서 BS
-fCcontiKS(TS,R(std))<fCcontiV(TS,R(std))<fCcontibdd(TS,R(std))=fCconti(TS,R(std))교fCbdd(TS,R(std))
(TS=K인 경우, fCcontiKS(TS,R(std))=fCcontiV(TS,R(std))=fCcontibdd(TS,R(std))=fCconti(TS,R(std)))
(TS=R(std)인 경우, fCcontiKS(TS,R(std))<fCcontiV(TS,R(std))<fCcontibdd(TS,R(std))<L^inf
-sCez<l^[1,inf)<sClz<sCcv<l^inf
-BS모음
-fCbdd(TS,R(std))
-fCconti(TS,R(std))
-fCcontibdd(TS,R(std))
-fCcontiV(TS,R(std))
-L^[1,inf]
-L^[1,inf]([0,1] with LM)
-l^[1,inf]
-sClz
-sCcv
-About Matrix
-Matrix를 보는 관점
-Linear Transformation(operator):VS(F)->VS(F)
-preserve bilinear
-구조적인 관점
-NMT
-HMT
-positive-definite
-positive-semidefinite
-SMT
-skew-HMT
-UnMT
-idempotent, nilpotent
-성분관점
-tr
-det
-invertible
-egv관련
-egv
-egv
-egS
-charP
-mP
-elementary divisor
-generalized egv
-similarity관점
-sim
-usim
-osim
-psim
-Canonical Form관점
-Jordan Canonical Form
-기타 Decomposition
-곱으로
-Cholesky Decomposition
-LU, LDU Decomposition
-Polar Decomposition
-합으로
-Jordan-Chevalley Decomposition
-With matrix norm
-
-About Projection Matrix
-정의:
-VS(F)=the direct sum of LS1, LS2일 때 Proejction onto LS1 along LS2란(Proj(LS1,LS2)라 쓰자.) Proj(LS1,LS2)(x)=x1 where x=x1+x2, x1 in LS1, x2 in LS2
(Projection onto LS1 along LS2는 Linear transformation이라 matrix로 표현가능하고 그것을 Projection Matrix라 한다.)
-LS1과 LS2가 orthogonal일 때의 Projection을 Orthogonal Projection, 그렇지 않을 땐 oblique projection이라 한다.
-성질:
-MT:Projection Matrix iff MT is idempotent(link)
-MT:Orthogonal Projection Matrix iff MT:idempotent and HMT(link)
-MT:projection matrix onto LS1 along LS2라면 IMT-MT는 Projection matrix onto LS2 along LS1이다.
(Im(MT)=ker(IMT-MT), ker(MT)=Im(IMT-MT)가 성립됨)
-{x1,x2,...,xm}:lind일 때 orthogonal projection matrix onto span{x1,x2,...,xm}을 얻을 수 있다.(link)
(f-dim VS(F)에서는 임의의 LS가 있을 때 VS(F)=the direct sum of LS, LS^ㅗ 으로 표현가능인 사실 이용)
-oblique projection은 LS1,LS2로 만들 수 있다.
(이 방법으론 사실 oblique, orthogonal projection 모두 포함, 즉 projection matrix 구하는 일반적인 방법)
-dim(LS1)=r일 때, MT:Projection matrix onto LS1 iff te MT2, MT3 s.t. MT=MT2*MT3*inv(MT2), where MT2:invertible, MT3은 IMT에서 first r digonals만 1이고 나머지 diagonals은 0인 matrix)(link)
-rank(Projection matrix)=tr(projection matrix)(link)
-About Idempotent Matrix
-정의:
-MT:idempotent란, MT^2=MT, MT:VS(F)->VS(F
-성질
-Idempotent Matrix의 예:IMT, 0, etc, 이중 IMT빼곤 다 not invertible
-MT:idempotent일 때, VS(F)=the direct sum of Im(MT), ker(MT)(증명은 아래 Projection Matrix참고)
-MT:idempotent일 때, ker(MT)=Im(IMT-MT)(증명은 아래 Projection Matrix참고)
-MT:idempotent이면 Projection Matrix만들 수 있고, Projection Matrix가 있으면 그건 idempotent이다.
(따라서 더이상의 성질은 모두 Projection Matrix에 정리한 것을 참고)
-About det
-About Invertible
-성질
-{x1,x2,...,xm}이 lind일 때 MT=[x1,x2,...,xm], ct(MT)*MT는 invertible이다.(Null(ct(MT)*MT)생각)
-TFAE
-MT:invertible
-MT has not 0 eigenvalue(link)
-det(MT) not 0
-
-About trace, tr(MT)
-성질
-tr(MT)=tr(rt(MT))
-tr(MT1MT2)=tr(MT2MT1)
-tr(MT1MT2MT3)=tr(MT2MT3MT1)=tr(MT3MT1MT2), not equal to tr(MT1MT3MT2)
-charP(MT)=f(t)=(t-a1)^d1 * (t-a2)^d2 * ... * (t-ak)^dk라 두면
-tr(MT)=d1*a1+...+dk*ak (즉 am(egv), egv와 tr(MT)사이 관계)
-증명은, f(t)의 계수가 (-1)*tr(MT)임을 이용하고 combinatorics하게 전개
-즉 tr(MT)는 sum of egv with am(egv)
-tr(projection matrix)=rank(projection matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)
-tr(idempotent matrix)=rank(idempotent matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)
-tr(nilpotent matrix)=0(왜냐하면 nilpotent matrix의 egv는 0뿐)(증명은 나중에)
-About charP(MT)
-정의:det(MT-t*IMT), 이것은 t에 관한 polynomial, 이것을 charP(MT)라 한다. 이것의 해는 egv(MT)가 된다.
-의미:
-MT의 정보들을 포함함, egv, det, tr
-성질:
-charP(MT)=0의 해는 egv(MT)가 된다.
-charP(MT)=charP(rt(MT))
-charP(MT)를 monic으로 뒀을 때
-charP(MT)의 t^(n-1)의 계수는 (-tr(MT))가 된다.
-charP(MT)의 상수항은 (-1)^n*det(MT) where n:MT의 size
-charP(MT)=f(t)=(t-a1)^d1 * (t-a2)^d2 * ... * (t-ak)^dk라 두면
-tr(MT)=d1*a1+...+dk*ak (즉 am(egv), egv와 tr(MT)사이 관계)(증명은, combinatorics하게)
-(Cayley-Hamilton Theorem)charP(MT)에 MT그대로 대입하면(상수항은IMT곱한) zero matrix나옴
-mP(MT)은 charP(MT)의 factor임을 알 수 있다.
(mP(MT)란, MT를 해로갖는 최소다항식을 가리킨다.)
-About similarity
-similarity종류와 정의
-MT1 =_sim MT2
-MT1=MT^(-1)*MT2*MT인 invertible MT가 존재할 때
-MT1 =_psim MT2
-MT1=MT^(-1)*MT2*MT인 invertible이고 permutation matrix인 MT가 존재할 때
-MT1 =_osim MT2
-MT1=MT^(-1)*MT2*MT인 invertible이고 orthogonal matrix인 MT가 존재할 때
-MT1 =_usim MT2
-MT1=MT^(-1)*MT2*MT인 invertible이고 unitary matrix인 MT가 존재할 때
-similarity성질
-about sim
-equivalence relation on the space of square matrix를 형성함
-MT1 _=sim MT2이면 MT1과 MT2는 same linear operator with different basis를 뜻하고 이때 similar하게 만드는 invertible matrix가 change of basis matrix를 뜻한다.
-sim이면 공유하는 것들
-rank
-det
-charP(즉 charP is independent of choice of basis)(link)
-tr
-egv and am(egv), gm(egv) (주의, egS는 공유안함, similar하게해주는 invertible MT에 의해 달라짐)
-mP
-elementary divisor(module하면서 정리)
-rational canonical form(나중에 정리)
-_=sim DMT인 경우
-이 때를 dgMT라 한다.
-dgMT일때 DMT의 대각성분은 dgMT의 egv들로 이루어지고 dgMT이게 해주는 invertible MT는 egv에 대응되는 egv로 이루어진다.(왜냐하면 _=sim은 egv를 공유하기 때문)
-MT:dgMT iff lind인 n개의 egv를 가짐
(따라서 MT의 egv가 서로 다른 n개로 존재한다면 dgMT가 됨, 하지만 dgMT라 해서 서로 다른 n개의 egv를 가지는 건 아니다.)
-Every MT _=sim UMT(Using Jordan Canonical Decomposition)
-about psim
-about osim
-about usim
-MT1 _=usim MT2이면 MT1 _=sim MT2성립
-_=usim은 equivalence relation
-_=usim DMT인 경우
-이때를 udgMT라 한다.
-udgMT이면 dgMT도 됨. udgMT는 dgMT의 특별한 경우
-NMT는 모두 udgMT이다.
-HMT, UnMT 모두 udgMT이고 dgMT도 됨
-About egv, egv, egS
-정의:
-egv(MT)란 MT의 eigenvalue
-egv(MT, egv)란, MT의 eigenvector correponding to egv(eigenvalue)
-egS(MT, egv)란, egv(MT, egv)로 span한 space
-spec(MT)란, spectrum of MT라 부르고 the set of all eigenvalues of MT
-specR(MT)란, spectral radius of MT라 부르고 modulus가 가장 큰 eigenvalue의 modulus를 가리킨다.
-am(egv(MT))란 charP(MT)에서 (t-egv)의 중복도
-gm(egv(MT))란 egS(MT, egv)의 dimension
-성질:
-gm(MT, egv1)<=am(MT, egv1)(Jordan Canonical Form배운 뒤 해결)
-임의의 MT에 대해, 적어도 1개의 egv가 존재
-한 MT에서 만든 서로 다른 egv1, egv2, ..., egvk의 경우 egv1, egv2, ..., egvk은 lind
-
-About Normal, NMT
-정의:
-MT:NMT란 ct(MT)*MT=MT*ct(MT)일 때의 MT를 NMT라 한다.
-MT:HMT란, ct(MT)=MT일 때의 MT를 HMT라 한다.
-MT:skew-HMT란, ct(MT)=(-MT)일 때의 MT를 skew-HMT라 한다.
-MT:UnMT란, NMT이고 ct(MT)*MT=IMT
-HMT가 positive-definite란, for any nonzero x, ct(x)*HMT*x > 0
-HMT가 positive-semidefinite란, for any nonzero x, ct(x)*H*x >= 0
-성질
-NMT의 성질
-HMT, skew-HMT, UnMT 모두 NMT이다.
-TFAE
-MT:NMT
-MT:NMT iff for any x in C^n, ||MT*x||_2 = ||ct(MT)*x||_2(link)
-MT:udgMT
-MT:complete orthonormal egv를 가짐(즉 lind인 n개의 egv)
-MT _=usim NMT iff MT:NMT
-HMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 egv는 real이다.(link)
-HMT가 가역이라면 inverse도 HMT이다.
-positive-definite의 성질
-positive-definite HMT는 invertible이고 inv도 positive-definite이다.(link)
-positive-definite HMT은 positive egv만 갖는다.
-모든 대각성분은 양수이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)
-positive-semidefinite의 성질
-모든 대각성분은 nnn이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)
-SMT의 경우
-HMT이므로 HMT, NMT성질 다 따름
-egv가 real인것도 알고, egv도 real이 되게 선택가능->SMT:odgMT가 된다.
-skew-HMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 egv는 complex(imaginary)
-
-UnMT의 성질
-NMT이므로 NMT의 성질을 따름
-모든 column은 orthonormal basis를 만든다.
-모든 row은 orthonormal basis를 만든다.
-egv의 절댓값이 항상 1(복소평면상에서 UO1에 놓임)
-About Canonical Form
-About Matrix Norm
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
-About Positive-definite, or Positive-semidefinite
-H에 대해 H:positive-definite iff 모든 egv(H)가 양수
-psdH의 egv는 모두 nnn
-psdsymM은 주대각성분이 모두 양수이고, 주대각성분의 최댓값이 모든 abs(entry)중 최대이고, Gaussian elimination중 생기는 모든 leading principal submatrices가 psdsym이 된다.
-About Similarity
-About egv, egv, egS
-About Decomposition, Form
-About Invertible
-egv가
-invariants under similarity:charP, mP, egv, tr, det, rank,
-for distinct egv(MT(F)), lind egv(MT(F),egv)을 얻는다.
-egS(MT(F), egv)는 invariant subspace of MT(F)이다.
-acF에 대해선 tr(MT(F))=sum of all egv including multiplicity.
-canonical form
the collection of all NMT(C), unitarily similarity->diagonla matrix
the collection of all MT(acF), similarity->Jordan canonical form
the collection of all MT(F), similarity->Frobenius normal form
-MT(F)가 가역 iff all egv가 nonzero
-모든 VS는 norm을 갖는다.
-for any MT, te UM s.t. MT usim UM
-MT에 대해서 udg iff normal
-ct(MT)MT는 psdH가 된다.
-rank(ct(MT)MT)=rank(MT)
-H의 egv는 모두 real(따라서 symM의 egv도 real)
-
-MT의 egv는 union of {z in C||z-MT(k,k)||<=deleted abs kth-row sum of A} over k=1,2,3,...,n에 속한다.(Gershgorin)
-MT가 strictly diagonal dominant이면 가역이다.
-MT가 weakly diagonally dominant이고 irreducible이면 가역이다.
-symM이 weakly diagonally dominant이고 irreducible이고 모든 diagonal이 nnn이면 pdsymM이다.
-
-lim k->inf MT^k=0 iff specR(MT)<1
-for any || || on CMT, |egv(MT)|<=||MT||
-eps te || || on CMT s.t. for any MT in CMT, ||MT||<=specR(MT)+eps
-1-induced norm of MT(mxn)은 the maximum abs column sum of MT(mxn)
-2-induced norm of MT(mxn)은 sqrt(specR(ct(MT)*MT))
-inf-induced norm of MT(mxn)은 the maximum abs row sum of MT(mxn)
-(Frobenius norm)2-entrywise norm of MT(mxn)은 sqrt(tr(ct(MT)*MT))
-
-E:complete, f:E->nvs가 contraction이면 f는 unique fixed point을 갖는다.(iteration으로 얻을 수 있다.)
-
-Invariants under unitarily transformation:닮음변환에서 가능한 것들+Frobenius norm
-
-Householder Matrix is U and H
-Householder Matrix is elementary reflection matrix.
-H:Househodler Matrix over v일 때, Hx는 v를 법선으로하고 원점을 지나는 평면을 기준으로한 x의 reflection이다.
-임의의 MT는 QR-decomposition가능 (Q는 U의 곱, R은 UM, using Householder matrix, Givens Rotations, 혹은 Gram-Schmidt orthogonalization이용)
-임의의 MT는 upper Hessenberg matrix와 usim
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Banach Space
Inner Product Space
Hilbert Space
Application(목적위주로 적혀져야함, 기본 Basic은 위에 적혀져야하지만)
*Solving MTx=b(Numerical), where MT:invertible
-LU-Decomposition
장점:MT를 한번 LU로 decomposition하고나면 b가 달라져도 구하기 쉽고 계산량도 적음
Techniques:
-partial pivoting
LU-Decomposition중에서 pivoting이 0이거나 abs가 작을 때 쓰는 technique
psdsym인 경우 partial pivoting이 필요없다.
-Jacobi Method
-Gauss-Seidel Method
-Conjugate Gradient Method
*2nd order elliptic pde
-FDM
장점:MTx=b문제로 환원될 수 있다.
*Eigenvalue problem
-Householder Algorithm
-QR-Decomposition
장점:
이론적 배경
-Jacobi Algorithm
장점:symM의 eigenvalues와 eigenvectors을 iterative하게 compute가능
이론적배경:Unitarily transformation은 Frobenius norm과 eigenvalue를 불변시킴
단점:수렴이 늦음
-Power Iteration
*Combinatorics
-(Stirling's Formula)
:lim n->inf n!/{(sqrt(2*pi*n) * n^n * e^(-n)}=1, 즉 n!을 근사할 수 있음
-proof(using PD(1) and chf)(link1)(link2)
-
*Geometry and Differential Geometry
*Linear Programming
-정의:a technique for the optimization of a linear objective function, subject to linear equality and linear inequality constraints.
-특징:
-feasible region is a convex polyhedron(the intersection of finitely many half spaces)
-objective function:real-valued affine function defined on this polyhedron
-Linear Programming problem is to find a point on the polyhedron that is on the plane with the highest possible value.
-Objective Function/Subject to/로 표현, Matrix form(Augmented form, slack form)으로 쓰여진다.
-성질:
-Every Linear Programming(Primal Problem) can be converted into a dual problem
-(Weak Duality Theorem)Dual Problem은 Primal Problem의 Optimal Value의 upper bound를 줄 수 있다.
-(Strong Duality Theorem)만약 Primal Problem이나 Dual Problem 중 1개가 finite optimal value를 갖는다면, 서로는 같다.
*Homogeneous Linear Difference Equations(y_t, phi_p)
-형태와 associated polynomial equation:(link)
-사용용도:
-(In Time Series)p-th degree lag polynomial(Filter, Lag operator부분 참조)의 inverse구할 때 이러한 형태의 DE가 등장함
-성질:
-stability condition이란 associated polynomial equation의 모든 root의 abs가 >!일 때를 가리킨다. p-th order homogeneous linear difference equation의 associated polynomial equation이 stability condition을 만족하면, {y_t}은 기하급수적으로 감소한다.(따라서 {y_t}:abs summable)(link)
*Integral Transformation
-형태
-functions space A1 with domain S1, functions space A2 with domain S2, A1과 A2를 잇는(A1->A2) integral transformation with kernel function, kernel function의 domain은 S1 x S2, (t,s)라 표현하자.
-kernel function이 inverse를 갖는다면, inverse transformation을 정의할 수 있음(A2->A1)
-integral range도 transformation마다 다름,
-사용용도:
-(A1,S1)에서의 문제해결이 쉽지가 않아서 (A2,S2)로 보내서 solution찾아서 그걸 다시 inverse transform해서 original solution찾는 게 주 사용용도이다.
-성질:
-General Theory
-모든 integral transformation은 linear operator이다. 왜냐하면 integral이 linear operator이므로
-(Schwartz kernel Theorem)
:linear operator를 integral transformation으로 표현하는 방법(단 kernel의 조건이 조금 general되는 경우)
-(Fredholm theory)
-Specific Transformation
-About One-side Laplace Transformation
-(A1,S1)=(iv function, [0,inf)), (A2,S2)=(iv function, C), not all C, S2 depends on input function
-Kernel=exp(-ts), inverse kernel=exp(st)/(2*pi*i)
-integral range:[0,inf) (따라서 one-side라 함)
-inverse integral range:c-i*inf, c+i*inf, c:depends on input function
-사용용도
-density1, density2가 다르면 transformed도 다르다.(즉 transformed가 같으면 density도 같은 것)
(물론 density가 [0,inf)에서 0인 것에 대해서는 사용 못함)
*Lie Group
-
*Examples
countable, co-countable C4
-C4(all singleton)이랑 같다.
-J가 uncountable이었으면 이것은 countable generating set을 가질 수가 없다.(link)
C3인데 not C4인 예
-J=[0,1)로 잡고, C3=the collection of all f-union of disjoint intervals of the form (a,b] in J
countable TS with strict total order relation이 not discrete topology인 예는?(link)
T0인데 not T1인 예
T1인데 not T2인 예
T2
U:open, U랑 int(cl(U))가 다른 예(link)
bijective이고 conti인데 not homeo인 예
quotient map인데 neither open nor closed(link)
sequential conti인데 not conti인 map(link)
continuous function의 image of limit point compact가 not limit point compact인 예(link)
T2에서 limit point compact인데 not closed인 subset의 예(link)
f:TS1->TS2, conti, TS1:locally compact, f(TS1):not locally compact인 예(link)
cofinite topology on uncountable set의 특징
-not first-countable
-not T2
-T1
-finite set만이 closed set이다.
-모든 E는 compact된다.
-특히 R에서
-
S_Z의 특징(order top이므로 order top의 성질을 모두 따름)
S_Omega.pdf-S_Z는 largest element를 갖지 않는다.
-not compact
-not metrizable
-S_Z의 countable subset E는 upperbound in S_Z를 갖는다.
-least upperbound property만족
-모든 closed interval(not singleton)은 compact
-LKT2
-sequential closure와 그냥 closure가 다를 수 있음
-limit point compact
-sequentially compact
-first-countable
-not separable
-not second-countable
-not lidelof
-ocl(S_Z)=cl(S_Z)
-cl(S_Z)의 특징
-least upper bound property
-compact
-not first-countable
-not second-countable
-not separable
-lindelof
-not metrizable
-Z가 limit point of S_Z이다.
LL(long line)의 특징
-정의
-LL=S_Z x [0,1) with dictionary order with deleted smallest element
-특징
-path-connected
-locally homeomorphic to R(std)
(not imbedded in R(std))
R(std)의 특징
-C4(TS)는 C4({(a,b)}, C4({(a,b]}), C4({[a,b]}), C4({(-inf,a]}), C4({(-inf,a)})와 같다.
-모든 nonempty open set은 disjoint c-union open intervals로 표현가능(link)
-모든 closed interval(not singleton)은 uncountable이다.
any subset whose complement is countable is dense in R(std)(link)
-homeo (-1,1)(둘다 order top)
-R(std)<R(l)
-R(std)<R(K)
-nonempty perfect subset은 uncountable
-uncountable subset은 반드시 limit pt를 갖는다.
-[0,1]
-compact, limit point compact, sequentially compact
-connected, path-connected, locally connected, locally path-connected
-ocl(R(std)) homeo 1-dim sphere
-second-countable
-contractible
-metrizable
-T2
-T3
-T4
-C4(top)은 generating set을 {(a,b)}, {[a,b)}, {(a,b]}, {[a,b]} 다 가능
-Lebesgue Measure(LM)
-건설:RSC3={empty, all bdd intervals}, RSC3에 vol이란 PM을 주고, {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(TOP)가 된다. 즉 Borel sigma algebra)
-특징
-complete(Borel sigma algebra에서는 not complete
-f:R(std)->R(std)의 성질(a,b in R)
-정의역이 [a,b]인 경우
-f가 monotone이면
-불연속점의 개수는 at most countable
-(Lebesgue's Theorem)미분불가능한 점의 개수는 lebesgue measure에 대해 almost everywhere
-{f_n} on [0,1], Berenstein Polynomial of degree n, uni cv to conti f(link1)(link2)
-f가 conti이면 antiderivative를 갖고,
-(Fundamental Theorem of Calculus, FTOC)
:f:conti on [a,b], F(x)=int from t=a to t=x f(t)dt일 때, F는 미분가능, F'(x)=f(x)
(즉 f가 conti이면 anti-derivative를 갖고 그것은 diff라는 것)
-(Integration by Substitution)
:f1 on [a,b]:conti이고 te f2 s.t. C^1 on [c,d], f2([c,d])=[a,b]인 f2가 있다면
int from x=a to x=b f1(x)dx = int from t=c to t=d f1(f2(t))*f2'(t) dt가 성립
(즉 실제 적용시, 전자를 후자로 하게끔하는 f2를 찾는 것이다.)
(f1의 conti는 integral 정의를 위함이고, f2의 C^1도 등식의 후자에 integral 정의를 위함)
(증명은 FTOC이용)
-정의역이 (a,b)인 경우
-정의역이 R인 경우
-f가 monotone이고 bdd이면 불연속점의 개수는 at most countable
-{f_k}, {a_n}:any rv seq일 때, te {f_(n_k)} s.t. cv at all a_n(그 수렴값은 +inf, -inf을 취해도 된다고 할 때)(link)
-About Convex Functions
-정의:
-I(interval, open이든 closed이든, finite이든 뭐든 어쨋든 interval, singleton일 수도)에서 정의된 f가 convex란,
f(ax+(1-a)y)<=a*f(x)+(1-a)*f(y) for all x,y, in I, for all a in [0,1]
-f on I, f has support at t in I란, te linear function g(x)=f(t)+m*(x-t) s.t. g<=f on I
-성질:
-f:convex on I일 때,
-[a,b]<I에 대해 f는 Lipschitz-conti on [a,b], f는 abs conti on [a,b], f는 conti at x in Int(I)
-left(right)-derivative exist on Int(I), 그리고 각각은 inc이다.
-f:convex on open interval I일 때, E={x in I s.t. f' not exist at x}, E:at most countable이고 I-E에서 f'은 continuous
-f:convex on (a,b) iff te at least one line of support for f at each x in (a,b)
R(l)의 특징
-R(l)과 R(K)는 not comparable
-First-countability
-separable
-lindelof
-not second-countable
-not metrizable
-totally disconnected(path-connected component, connected component 모두 singleton)
-not compact
-not limit point compact
-not sequentially compact
-[0,1]
-not limit point compact
-not compact
-not sequentially compact
-T2
-T3
-T4
-CN
-T5
Sorgenfrey plane의 특징(inverse diagonal {(x,-x)}가 중요한 역할함)
-not lindelof(but lindelof 2개 곱해서 얻은 product topology임)
-T2
-T3
-not T4
R(K)의 특징
-[0,1]이 not compact subspace
-not path-connected, path-connected component={(-inf,0],(0,inf)}
-not locally connected
-not locally path-connected
-T2
-not T3
-connected
[0,1]x[0,1] with dictionary order(ordered square라 함)의 성질
-R(std)xR(std) with dictionary order의 subspace랑은 다르다.
-First-countability
-linear continuum
-connected
-compact
-not path-connected
-locally connected
-not locally path-connected
-lindelof
-not metrizable
-not second countable
R^n의 특징(n>=2)
-C4(TS)=C4({open rectangles})=C4({(-inf, x)}
(R^n에서의 order는 각 coordinate 모두에 성립하는 order로써 정의가능)
-임의의 nonempty open set은 nonoverlapping c-union of closed cubes로 쓰여질 수 있다.
(nonoverlapping이란, interior가 disjoint인)
-product top from each order top=uniform top=box top=top from euclidean metric=top from square metric
-with dictionary order from each standard order top이면, metrizable
-countable set을 빼도 path-connected, connected
-open connected E는 path-connected된다.
-E:compact iff E:closed and bdd wrt euclidean metric
-second-countable
-complete in euclidean metric, or square metric
-(Vitali Covering Theorem)
-Version 1(link)
:E:bdd subset, F:a collection of open balls which are centered at points of E s.t. every point of E is the center of some ball of F일 때
->te a seq (B1,B2,...)(유한 seq일 수도 있음) of balls from F s.t. (B1,B2,...):disjoint and E<union of (3B_i)
-Version 2(infinitesimal)(link)
:E:subset, F:a collection of closed balls with positive radius which satisfies
"x in E, eps>0이면 te B in F s.t. x in B and rad(B)<eps"
이면 ->te a seq (B1, B2, ...)(유한 seq일 수도 있음) of balls from F s.t. (B1,B2,...):disjoint and E<union of (B_i) except for a null set
-Lebesgue Measure(LM)
-건설:RSC3={empty, cartesian product of bdd intervals}, vol이란 PM를 주고 extension해서 {all PM*ME}에서의 measure
(C4(RSC3)는 C4(TOP)가 된다. 즉 Borel sigma algebra, {all PM*ME}가 더 넓은 sigma-algebra)
-특징:
-complete(Borel sigma algebra에서는 not complete)
-Lebesgue Measure 건설 과정을 보면은, RSC3->C3(RSC3)->C3(RSC3)(U)->C3(RSC3)(U)(I)->...->{all PM*ME}
-C3(RSC3)(U)(I)로 Lebesgue Measurable set을 approximation할 수 있다.(sf-M이므로 가능해짐)
(C3(RSC3)(U)(I)엔 open, closed, compact 다 포함되어있다.)
(outer measure값이 finite이면 조금 작은 compact 잡을 수 있다.)
(조금 큰 open set, 조금 작은 closed set 잡을 수 있음)
-C3(RSC3)(U)나 C3(RSC3)(U)(I)로 임의의 E in P(R^n)의 Lebesgue Outer Measure approximation가능
-Lebesgue Measurable인데 not borel set
-P(R^n)에서 not Lebesgue Measurable set
-f:R^n(std)->R^m(std)의 성질
-f:vector-valued일 때
-정의
-D_f(x_0)란 derivative of f(matrix을 가리킨다. entries는 partial derivatives, Jacobian Matrix라고도 함)
-n=m일 땐, J_f란 det(D_f)을 가리킨다. (Jacobian of f)
-x_0:critical point of f란 f:diff at x_0 and D_f(x_0)=0일 때
-C^n-f란, f의 n번 partial derivative가 exist and continuous
-성질
-(Inverse Function Theorem for multivariate, m=n)
:C^1-f on open U의 J_f가 non-zero라면(즉 derivative가 invertible), f는 U에서 inverse를 갖고 inverse도 C^1. 게다가 D_f(x_0)의 inverse matrix는 D_f^(-1)(f(x_0))
-D_f(x_0)의 성질
-f:diff at x_0일 때(derivative의 존재성보다 약간 강한 조건임), D_f(x_0)는 the best linear approximation near at x_0가 된다.
-J_f의 성질
-Inverse Function Theorem
-Multiple Integral에서 transform이용
:좌표변환이라 함은, 기존좌표계 with dV(대게 직교좌표계)에서
"이전 좌표계(구면, 원통 등 있다고 생각)->기존좌표계"인 함수 g를 찾고,
g를 이용하여 multiple integral 수정 with dV'=dV*|J_g|
-f:rv일 때
-정의
-f has local maximum at x_0란 f(x_0)>=f(x) on a nbd(x_0)
-x_0 is a extreme point of f란 f가 x_0에서 local maximum이나 local minimum을 가질 때
-x_0:saddle point of f란 critical point x_0 of f가 not extreme point of f일 때
-Hessian of f at x_0란 D_(D_f)(x_0)
-성질
-lim (x,y)->(0,0) f(x,y)가 존재하면, lim x->0 f(x,0)도 존재하고 lim y->0, f(0,y)도 존재
(역은 성립하지 않는다.)
-f:diff at x_0, x_0:extreme point of f일 때 D_f(x_0)=0이다.
-C^2-f에 대해 x_0:critical point of f and Hessian of f at x_0:negative-definite이면 f has a local maximum at x_0
(C^2-f에 대해 partial converse:f has a local maximum at x_0엿다면 Hessian of f at x_0:negative-semidefinite)
-partial integral로 얻은 함수의 성질(편의상 n=2일 때 생각)
-f:(x,y)->R(std), int f(x,y) dx=F(y)라 하자. 이 때 F(y)가 conti at y_0할 충분조건은,
-te g(x) in L1 s.t. |f(x,y)|<=g(x)
-f(x,y):conti wrt and at y_0
2가지를 다 만족시키면 된다.(Using Dominated Convergence Theorem)
-dF(y)/dy의 경우도 유사, link참조(link)
-(Integration by Substitution)
:f1:conti with compact support contained in some open set V in R^n이고
te f2:U->V s.t. U:open in R^n, f2:1-1, C^1, J_f2:non-zero in U일 때
int in V f1 = int in U f1(f2)|J_f2|
-star convex subset은 simply connected이다.
-any convex subspace has a trivial FHG
R^J의 특징(uncountable cartesian product)
-product top<uniform top<box top(J가 infinite이면 다 strict해짐)
-product top
-not metrizable
-not normal
-Function Space입장
-J=(MetricS, d), (R(std), euclidean metric)
-for f in R^J, the set of discontinuities of f is ME(link)
R^N의 특징
-product top
-metrizable(그리고 그 때 complete도 됨)
-path-connected
-connected
-not locally compact
-not compact
-second-countable
-uniform top
-metrizable by d_uni
-not connected, by bdd seq and unbdd seq(separation됨)
-locally path-connected(따라서 path-connected component=connected component)
-x,y가 같은 connected component iff x - y:bdd
-first-countable
-not second-countable
-not separable
-not lindelof
-box top
-not metrizable
-not connected, by bdd seq and unbdd seq(separation됨)
-not locally path-connected
(하지만 path-connected component와 connected component가 같음)
-x,y가 같은 connected component iff x - y:eventually zero
-not first-countable
-Sequence관점({x_n}, {y_n} in R^N, S_n:=sum from i=1 to i=n x_i, T_n:=sum from i=1 to i=n y_i)
-limsup과 liminf는 monotone
-limsup x_n = sup {all limit points of x_n} / liminf x_n = inf { all limit points of x_n}
-limsup x_n < r이면 x_n < r for large n
-limsup x_n > r이면 x_n > r for infinitely many n
-liminf x_n + liminf y_n <= liminf(x_n + y_n)<=limsup x_n + liminf y_n <= limsup(x_n+y_n) <= limsup x_n + limsup y_n
(따라서 {x_n}이 cv to x이면 limsup(x_n+y_n)=x+limsup y_n)
-{x_n}과 {y_n}이 nnn이면 limsup(x_n*y_n)<=limsup(x_n)*limsup(y_n)
-{x_n}이 nnn이면 limsup(1/x_n)=1/(liminf x_n), liminf(1/x_n)=1/(limsup x_n)
-(Kronecker's Lemma)(link)
:{x_n}:inc with lim n->inf x_n =inf이고 sum from n=1 to n=inf (y_n / x_n) cv with finite value이면
(T_n / x_n):cv to 0
-(using Upcrossing)(link)
:{x_n}:cv in ETR(std) iff for any rationals a<b, beta(a,b)<inf where beta(a,b)는 link참조
-Series관점
-{x_n}:abs summable, {y_n}:abs summable->{x_n conv y_n}:abs summable
Topologist's Sine Curve의 특징(0x[-1,1]없는 걸 E라 하자. cl(E)도 주요 관심대상, 대게 cl(E)를 topologist's sine curve라 한다.)
-cl(E)는 connected
-cl(E)는 not path-connected
-
N(std)의 성질
-LKT2
-ocl(N(std)) homeo {0}U{1/n|n is in N}
UO1의 성질
-
Torus의 성질
-subspace in R^4(std)
-Torus=UO1xUO1 with product topology
-covering space R(std)xR(std)을 갖는다. using covering map:R(std)->UO1, f(t)=(cos(2*pi*t), sin(2*pi*t))
-Torus homeo doughnut-shpaed surface D in R^3(std)
Lagrange's Theorem의 역이 성립안하는 예(link)
N_G({g})와 N_G(<g>)가 다른 예(link)
S1S2=S2S1인데 S1 _< N_G(S2)가 아닌 예(link)
S1S2가 not subgroup of G인 예(link)
SNS가 not normal in G인 예(link)
S1 _< N_G(S2)인데 S1 _<! S1S2인 예(link)
order(g1)<inf, order(g2)<inf인데 order(g1g2)=inf인 예(link)
G=G, J=NS, conjugation action on J by G, homo by act, homo(g)가 Inn(NS)의 원소가 아닌 예(link)
homog:G1->G2, homog(G1) is not normal in G2인 예(link)
모든 원소가 finite order를 갖고, 임의의 자연수 n을 order로 갖는 g가 항상 존재하는 group의 예(link)
S<G, Aut(S)의 원소이지만, Inn(S)의 원소가 아닌 예(link)
V_4의 성질
-order:4
-ab=c, bc=a, ca=b형태
-abelian
-Aut(V_4) giso S3
-Inn(V_4)=1
D_2n의 성질
-order:2n, reflection:n, rotation:n
-rotation(2pi/n)을 r이라하고 reflection(중심과 1을 이은 직선 기준인)을 s라 하면 r과 s로 모든 원소 representation가능
-r*s=s*r^(-1), [r,s]=r^(-2)
-C(D_2n)=<r^2> _<! D_2n
-n>=3인 odd면
-Z(D_2n)={e},
-<r^2>의 order:n
-D_4n giso D_2n x Z/2Z
-n=2k인 even이면
-Z(D_2n)={e, r^k}
-<r^2>의 order:2n/4
-D_2n/<r^2> giso V_4
-D_8의 성질
-Z(D_8)=<r^2>=C(D_8)
-NS=<s,r^2>, <r>, <rs,r^2>, <r^2>
-conjugate class={1}, {r^2}, {r,r^3}, {s,sr^2}, {sr,sr^3}
-Aut(D_8) giso D_8
3차원 정다면체 관련
-정다면체의 한 꼭지점에서의 정다각형들의 내각의 합은 360도보다 작다.
-정다면체가 5종류이고, n:정n각형, p:한 점에서 만나는 정n각형의 개수
(n,p)=(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)임을 앎
-v-e+f=2를 이용하면 다 앎
-symmetries group의 order는 v*(한 꼭짓점에 걸리는 변의 개수)
-GL_n(F)의 성질
-subgroup으로는 SL_n(F), LM(F), UM(F)
-Z(GL_n(F)는 k*identity, k is in F
-Q_8의 성질
-order8이면서 non-abelian인 예, 하지만 모든 S는 NS.
-Z(Q_8)=<-1>=C(Q_8)
-<i>={-1, -i, 1, i}
-N_(Q_8)(<i>)=Q_8
-N_(Q_8)(i)=<i>
-conjugate class={1},{-1},{i,-i},{j,-j},{k,-k}
-Aut(Q_8) giso S_4
-S_n의 성질
-n>=3이면 Z(S_n)=1
-n>=5이면 nontrivial proper normal subgroup은 A_n뿐
-n이 6만 아니면, Aut(S_n)=Inn(S_n) giso S_n
-n=6이면 [Aut(S_n):Inn(S_n)]=2
-n=prm일 때, |N_S_n(Sprm)|=prm*(prm-1), Sprm이란, Sylow prm-subgroup
-S_3의 성질
-NS=<(1,2,3)>
-Sp(p=3)=<(1,2,3)>
-Sp(p=2)=<(1,2)>, <(1,3)>, <(2,3)>, 총 3개
-S_4의 성질
-Sp(p=2), 총 3개, giso D_8
-Sp(p=3), 총 4개, giso Z_3
-|G|의 factor당 subgroup이 유일하게 존재
-모든 S가 char
-abelian
-G of order n의 generator개수:ephi(n)
-Aut(Z/nZ) giso (Z/nZ)^*
-Inn(Z/nZ) giso 1
-Z[x]의 성질
-id={deg가 >=2인 것들}union{0}, Z[x]/id는 zd를 갖지만, Z[x]는 zd를 안가짐
-id={계수가 모두 even인 것들},
-Q의 성질
-additive group로 볼 때
-not cyclic
-te no maximal subgroup
-R(std)의 subspace로 볼 때
-not open subspace
-not closed subspace
-not locally compact
-C의 성질
-infinite product of complex numbers의 convergence
-정의:c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)이 cv if te k s.t. c-product from i=k to i=n (1+a_i) cv to nonzero as n->inf
-성질:
-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 cv iff c-sum from i=1 to i=inf log(1+a_n):cv(link)
(단, Re(a_n) > (-1) for n=1,2,3,..., 만약 아니면 이게 성립할 때부터 곱셈시작으로 간주하면 됨)
-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 abs cv iff c-sum from i=1 to i=inf a_i:abs cv(link)
-f:C->C관련
-(Cauchy-Riemann Equation, CRE)
:Re(f)의 x미분=Im(f)의 y미분 and Re(f)의 y미분=Im(f)의 x미분*(-1), 이것은 iv-diff의 필요조건
-Power Series 관련(Center가 0인 경우만 따져도 됨)(PS(z)=sum from n=1 to n=inf (a_n)*(z)^n라 하자)
-PS(z1):cv이면 for |z|<|z1|, PS(z):cv
-(RoC의 존재성)for any PS,
te R s.t.
-0<=R<=inf,
-|z|<R이면 PS(z):abs cv
-|z|>R이면 PS(z):diverge
-PS:uni cv on {z s.t. |z|<=A<R}
-RoC 구하기
-RoC={limsup(a_n)^1/n}^(-1)
-PS의 도함수 또한 RoC가 같다.
-PS1, PS2(with same center), PS1+PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}, PS1*PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}
-lim n->inf a_n=0이면 RoC>=1
-PS의 도함수는 term-by-term 미분해서 얻을 수 있다.
-
-Laurent's Series관련
-Elementary functions
-log(with principal branch):ocl(C) - (-inf,0] ->C
-exp:C->C-{0}
-entire
-
-Analytic관련
-정의:
-f:analytic at z if f has a power(taylor) series with positive RoC centered at z
(RoC:Radius of Convergence)
-성질
-f의 analytic 가능한 points의 모임은 open이다.
-f가 CRE를 만족하고 Re(f)와 Im(f)가 C^1이면 f:analytic on 가정만족하는 영역
-f:analytic on open E이면 for z_0 in E, f의 taylor series centered at z_0의 RoC는 dist(z_0, Bd(E))
-(Binomial Theorem)
:(1+z)^a where a:complex는 다음 taylor series를 갖는다.
sum from n=0 to n=inf (aCn)*x^n
(단, RoC는 a마다 그때그때 구해야함)
-(Residue Theorem)
-C^N의 성질
-iv-sequence관점
-|z_n|은 R^N 이므로 R^N에서의 sequence성질 모두 만족
-z_n≠0일 때, liminf(|z_(n+1)/z_n|)<=liminf(|z_n|)^(1/n)<=limsup(|z_n|)^(1/n)<=limsup(|z_(n+1)/z_n|)(link)
(즉, Ratio Test보다 Root Test가 더 좋다.)
-Re(z_n)과 Im(z_n)이 cv iff z_n:cv
-iv-series관점
-abs cv이면 cv도 됨
-abs cv 판정법
-
-iv-functions sequence of sequence(double seq, z_(m,n)을 m번째 seq로 볼 수 있다.)
-z_(m,n)이 double limit이 존재하면, lim m->inf lim n->inf z_(m,n)도 존재(역은 성립하지 않음)
-Tonelli나 Fubini정리 사용가능 조건이면
-sum from m=1 to m=inf {sum from n=1 to n=inf z_(m,n)}은 double series의 limit과 같게 된다.
(sum from n=1 to n=inf 부터 적어도 마찬가지)
fCbdd(TS):uniform metric을 주면 BS
fCconti(TS):uniform metric을 주면 BS
fCcontibdd(TS):uniform metric을 주면 BS
fCcontiKS(TS):uniform metric을 주면 BS
fCcontiV(TS):uniform metric을 주면 NVS
*기초 부등식
1. 1-x<=e^(-x) for x in [0,1]
2. (Young's Inequality)a:nnn, b:nnn, 1/p+1/q=1, p>0, q>0이면 ab<=(1/p)*a^p + (1/q)*b^q (link)
3. for iv {a_n}, iv {b_n} s.t. |a_n|<=1, |b_n|<=1,
|Prod from i=1 to i=n a_i - Prod from i=1 to i=n b_i|<=sum from i=1 to i=n |a_i - b_i|
*Special Functions
1. Gamma function(T(z)라 적자.)
-History:Euler가 Factorial function n!의 domain 확장할 때 알아냄
-정의:factorial의 일반화(link1)(link2)
-성질:
-T(z):meromorphic with poles 0, (-1), (-2), ...
-(1/T(z)):entire with zero at 0, (-1), (-2), ...
-T(z+1)=z*T(z), T(1)=1(link)
-T(1/2)=sqrt(pi), T(3/2)=sqrt(pi)/2 (더 감소한다, 증가할 것 같았는데)(link)
-Re(z)>0인 z에 대해 T(z)는 적분으로 표현가능(link1)(link2)
2. Beta function(Β(z1,z2)라 적자.)
-정의:for Re(z1)>0, Re(z2)>0, Β(z1,z2):=int over [0,1] t^(z1 - 1) * (1-t)^(z2 - 1) dt.
-성질:
-Β(z1,z2)는 z1,z2에 대해 symmetry
-Β(z1,z2)={T(z1)*T(z2)}/(T(z1+z2))(link1)(link2)
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