정의역이 R^n에서만 생각, 더 abstract는 실변수함수론 들은 후에 정리
*Convergence의 types
ptcv:Pointwise Convergence
unicv:Uniform Convergence
Lpcv:Lp의 norm convergence
Mcv:Measure Convergence
*Function의 정의역
finiteMS:Measure Space with mu(X)<inf
InfiniteMS:Measure Space with mu(X)=inf
(별말 없으면 infiniteMS인 경우이고, finiteMS는 명시한다.)
*Theorems
1. MF는 Simple function으로 근사가능 하다. (pt cv)
(MF가 infinite value을 가지지 않을 때는, simple function으로 unicv하게 근사가능할 때가 있다. MF가 bdd라거나...)
2. (finiteMS)MF는 ContiF으로 근사가능 on smaller domain (pt cv)
3. (finiteMS)ptcv는 unicv로 가능 on smaller domain
4. (finiteMS)unicv는 ptcv, Lpcv의 충분조건이 된다.
4. ptcv이면 Lpcv를 보장해주진 않지만, Lpcv의 수렴함수의 후보(f)가 정해진다.(||f_k||_p->||f||_p조차도 아닐 수 있음)
(MCT가정을 만족하면 ||f_k||_p->||f||_p임을 알 수 있음, 게다가 f_k와 f가 LpF이면 ptcv->Lpcv됨)
(DCT가정을 만족하는 경우엔, dominated by LpF, ptcv이면 Lpcv가 된다.)
5. Lpcv이면 ptcv를 보장해주진 않지만, ptcv하는 subseq의 존재성을 보장해준다.
6. LpF는 compact support and bdd function으로 근사가능(Lpcv)
->LpF은 C^inf_c로 근사 가능(Lpcv)