Real Analysis(hs<ips, bs<nvs<lcs<tvs)

background

1. cauchy는 metric에서 얘기, completeness얘기가능

2. norm은 vector space에서 얘기

3. norm이 있으면(normed vector space)->metric얘기 가능(역은 불가능), 따라서 cauchy도 얘기가능, completeness도 가능

notation편집 필요

E:subset of X(nvs)에서 E:subset of sth으로 바꿈(Et따위들 다 없애기)

compact:K

convex:V

convex compact:KV

closed랑 open은 축약어 없이

dual관련해서도 편집필요

각 단원마다 notation주기

Question(O는 해결한 것, X는 해결못한 것)

1. X의 scalar multiplication이 not uni conti임을 보여라.(O)

2. not closed subspace of X가 존재함을 보여라.(O)

3. A가 bijection인데 A^(-1)이 not nbdd(conti)인 예를 찾아라.(O)

4. BS에 대해서 (BS)^*의 원소 f중, 모든 x in X s.t. ||x||=1 에 대해, f(x)가 ||f||가 되지 않는 예를 찾아라.(X)

5. X가 nontrivial일 때, L(X,Y)가 BS이면 Y가 BS임을 보여라.(X)

6. HBE에서 f in S^*의 extension인데(S가 nontrivial), norm이 다른 게 있을 수 있나?(X)

8. alaoglu theorem증명 이해와 나머지 RBS와 동치인것3개들과 추가theorem이해와 증명?ㅠㅠㅠ

9. extremal관련해서는 흥미가 안가서 공부X(4월 첫째주 월,수꺼 공부)

*해야할 공부

1. p337부터 공부

2. Quiz2,3체크

3. p317부터 내용정리+증명해보기 등

4. 예제정리

8. weak-bdd의 tvs에서의 bdd로의 정의와 f in X^*으로의 정의가 equivalent인 이유?

*적어야할 예제 목록

1. Riez Theorem은 a=1일 때 안됨, 의 예

2. Lpspace의 dual과 reflexive와 등등 체크(p=1, p=inf일때 나눠서)

3. not conti LT의 예(folland책, unbounded linear maps라 검색)

4. LT:BS->BS, closed graph이면 conti인데, LT:nvs->nvs가 closed graph를 가져도 conti아닌 예를 적어라.

5. 전체 topological space가 Baire Space는 아닌데 Second-category인 예는?(counterexample in pro cate검색)

6. UBP에서 X가 BS가 아니면 성립안됨을 보이는 예(3/25(월)강의노트)

7. Banach-Steinhause theorem에서 uni cv가 안되는 예 찾기.

9. X이면서(not BS), X^*이 reflexive인 예?

10. RBS의 closed subspace는 RBS이다.(p283, royden 4판)

note) weak*

weak*-top on X^*, weak*-cv는 pointwise cv를 가리키게 된다. 

weak*-top < weak-top < strong top  on X^*

weak*-top의 의의:closed unit ball in X^*가 compact되게(큰 의미중 하나이다.)

Notation

X:nvs

R:the field of all real numbers.

Xt:tvs

Yt:tvs

St:subspace of Xt

S:subspace of X

E:subset of sth

nbdd:nvs에서의 norm bounded

bdd:tvs에서의 bounded

weak-bdd:weak-top on nvs에서의 bounded(bdd와 일치하는 개념이나, f in X^*를 이용하여 생각가능)

F:subset of Y

E^*:subset of X^*

F^*:subset of Y^*

bar(X):completion of X

Y:nvs

T:subspace of Y

X iso Y:X와 Y가 topologically isomorphic

X iiso Y:X와 Y가 isometrically isomorphic

BS:Banach Space

RBS:Reflexive Banach Space

fi:canonical embedding from X to X^**

psi:canonical embedding from X^* to X^***.

L(X,Y):LT, nbdd 모음(X,Y는 nvs)(uni conti가 됨, 역으로 uni conti이면 nbdd됨)

A:L(X,Y)의 원소

B:L(BS,BS)의 원소

AB:L(X,BS)의 원소

BA:L(BS,X)의 원소

LT:X->Y인 Linear Transformation(nbdd일 필욘 없음)

X^*:dual of X(LT, conti on X on R, 기본적으로 nvs->nvs에서는 bdd와 동치이지만, tvs->tvs에서는 conti랑 conti at 0만 동치)

x^*:X^*의 원소

x^**:X^**의 원소

x^***:X^***의 원소

weak-cv:weakly cv

weak-closed:weakly closed

weak*-cv:weakly* cv

weak*-closed:weakly* closed

D:open unit ball in X(bar{D}:closed unit ball in X)

D^*:open unit ball in X^*(bar{D^*}:closed unit ball in X^*)

D^**:open unit ball in X^**(bar{D^**}:closed unit ball in X^**)

N(a):neighborhood base at a(tvs에서의 개념)

(neighbourhood of x는 open일 필요가 없고 closed일 필요도 없다.)

N_x:x를 포함하는 open set(편의상)

Lf_sth:Linear functional on sth 

ucb:unit closed ball

inp:Inner Product Space

hs:Hilbert Space

(집합을 묘사할 때, 

1. (Set관련) disjoint여부, nonempty여부

2. (VS관련) absorbing, balanced, convex등

3. (top관련) closed, compact, open 등

순서로 적는다.)

중요 정리들

1. Hahn-Banach Theorem(HBT)

(sublinear on VS, convex on VS, convex+inequlity on VS)

(convex+inequlity+conti on tvs(p가 conti, f는 conti일필요 없이, F는 conti)

2. Hahn-Banach Extension(HBE)

3. Open Mapping Theorem(OMT)

4. Closed Graph Theorem(CGT)

5. Alaoglu Theorem(AT)

6. Rietz's Theorem(RT)

7. Uniform Bounded Principle(UBP)

1. tvs의 기초성질

note) Vector space에서의 몇가지 관심있는 subsets, concepts

-absorbing(absorbing한 subset이 Vector space의 원소를 흡수하는 느낌, 일단 0은 포함하고 있어야)

-balanced(balanced set은 1보다 작은 실수 곱해도 자기 자신에 들어가는 느낌, 일단 0은 포함하고 있어야)

-convex(subset상에 임의의 두점을 이은 선분이 그대로 그 subset에 속하는 느낌)

(topology줘서 새로 생긴 관심있는 set은 bounded)

-internal point of a subset

-support function of convex subset containing 0 as an internal point(자연스럽게 sublinear functional됨)

(absorbing convex랑 동치임, absorbing convex에서 support function생각가능)

(open convex containing 0 또한 support function생각가능, 왜냐하면 N(0)가....)

(absorbing balanced convex set에서의 support function은 seminorm이 됨)

-extreme point of a set E, ext(E)

note)open ball(0을 중심으로하는)in norm은 absorbing, balanced, convex이다.(support function생각가능)

-convex hull of a subset

note) tvs에서의 몇가지 관심있는 subsets, concepts

-extremal subset of a subset

(nonempty closed일 필요 있음)

(transitive가 성립한다.)

(ext(E)나, extremal subset of E나 모두 E의 subset)

(x_0 is in ext(E) <-> {x_0}:extremal subset of E, 단 <-는 E가 convex일 때)

-closed convex hull of a subset

note) 

Xt가 T2<->Xt가 T1

모든 VS에는 norm을 줄 수가 있다. nvs가능

vector addition:conti, homeo(fixed one)(유지하는 것:bounded, open, closed, convex)

scalar multiplication:conti, homeo(fixed one)(유지하는 것:bounded, open, closed, convex)

translation:homeo(유지하는 것:bounded, open, closed, convex)

N(0)가 주어지면 N(a)도 얻는다.(N(a)={a+N_0 | N_0 in N(0)})

(tvs의 topological structure는 N(0)에 의해 결정된다.)

------------------------------------------여기서부터 정리, 위에 extreme등은 정리 ㄴㄴ, tvs설명굳, p59부터정리-------------

f-d인 경우는 R^n과 isomorphic, 모든 LT on f-d Xt는 conti

모든 수렴하는 수열은 bounded(단, net에서는 성립안함)

Xt:f-d -> Xt^*:f-d

Xt:infinite-dim -> Xt^*:infinite-dim

bounded, weak-bounded, norm-bounded 모두 일치하는 개념.

(1) Sets and Topology

(a) 다음을 만족하는 0에서의 neighbourhood base B(N(0)라 하자.)의 특징

-2개의 교집합내에 또하나 존재

-U in B, x in U에 대해 V in B가 존재 s.t. x+V is subset of U

-U in B에 대해 V in B가 존재 s.t. V+V is subset of U(삼각부등식, 2-epsilon 등을 대체할 무기)

-absorbing

-balanced(0에 대해선빼고)

-symmetric

-모두 intersection in B하면 {0}

(locally convex space란, convex로 구성된 local neighbourhood base가 존재, 이때, 조건 3개 만족하는 0에서의 base생각가능, interval point, 2개의 교집합 내에 또하나 존재, balanced(0에 대해선 빼고))

(locally convex space인 경우 결국 tvs이므로 위의 조건+3개조건 합친 base생각가능)

(b) About open and closed 

any subset + open = open

a + open = open

s*open = open(s:non-zero)

(특히 s*nbd of 0도 0의 nbd가 된다. s:non-zero)

convex+convex=convex

s*convex=convex

convex intersection convex=convex

closure of any subset + closure of any subset is a subset of closure of (A+B)

closure of any subset = N(0)들로 표현 가능 (intersection)

closure of balanced set : balanced

0 : interior pt of a balanced set -> the interior of the balanced set : balanced

singleton, bounded+bounded, bounded union bounded 모두 bounded

(2) LT on Xt to Yt

(a) about continuous

-conti와 동치(0에서의 conti)

(b) image

-balanced set의 image는 balanced set

(b) LT on Xt to R(non zero인 경우)

-conti와 동치(0에서의 conti, Ker이 closed, nbdd on 0의 neighbourhood)

-open mapping

(3) subspace

(a) open인 subspace는 Xt뿐

(interior pt를 갖는 proper subspace는 없다.)

(b) closure of subspace is subspace

(4) 주요 정리

(a) open mapping

(b) HBT on tvs(conti도 논할 수 있다는 것이 HBT on VS와는 다른 점)

(c) HBT About disjoint nonempty convex open subsets(separating)

(d) f in Xt^*, sup x in E f(x)의 argmax는 empty거나 extremal subset of E

2. lcs의 기초성질(tvs와 nvs의 사이, nvs의 general version)

note) 대표적인 convex sets

open ball, closed ball, subspace

note)lcs의 예

weak-top on nvs

(1) nonempty, convex, closed subset E of lcs와 x_0 not in E에 대해 특징있는 f in X^* 건설가능

(nvs에서도 되고, nvs의 weak-top에서도 된다.(즉 weak-closed subset E에 대해서도 가능))

(2) disjoint, nonempty, convex, closed, subset K1, K2 of lcs의 HBT(separating)(K1,K2중 한개가 compact)

(3) closed, convex이면 weak-closed이다. 

(4) ext(K)는 nonempty이고, K is a subset of bar{co}(ext(K)) (K가 convex이면 등호성립)

(5) f in lcs^*, KV에 대해, sup x in KV f(x)=f(y)인 y가 ext(KV)에 존재. 

3. X의 기초성질(nvs도 결국 tvs이고 lcs이므로 tvs와 lcs성질 다 만족, ex)0에서의 base만 생각 등)

(심지어 X의 weak-top, X^*의 weak*-top 모두 lcs가 된다. 물론 strong-top에 대해서 당연히 되고)

note)익숙해져야할 것:

x^*:X -> R(마찬가지로 x^**:X^*->R)

x^*(x)는 실수

x^**(x^*)는 실수

x^***(x^**)는 실수

phi:X->X^**

phi(x):X^* -> R (X가 reflexive란 말은, 모든 x^**에 대해 phi(x)=x^**되는 x존재, 즉 모든 x^**, x^*에 대해, x^**(x^*)=phi(x)(x^*))

phi(x)(x^*)=x^*(x)

fi:X^*->X^***

fi(x^*):X^** -> R

fi(x^*)(x^**)=x^**(x^*)

note) norm과 linear들

norm->seminorm->sublinear functional

norm->seminorm->convex functional

linear->sublinear

|linear|->seminorm

구체적인 예들

p(x)=constant*||x||(=norm됨)

p(x)=||LT(x)||(=seminorm됨)

p(x)=support function of absorbing convex set(=sublinear됨)

note) 기타 성질들

유일한 completion(up to isometry)존재

L(X,BS) iiso L(bar(X),BS)

vector addition이 uniconti도 됨

f-d S+closed=closed

f-d X <-> X has Heine-Borel Property <-> weak-top=norm-top

compact+closed=closed

semi-norm있으면 nvs만들기 가능

S가 있으면 semi-norm vs만들기 가능(S가 closed면 nvs만들기 가능)

기본적으로 weak* top < weak-top < norm-top in X^*

X iiso Y->X^* iiso Y^*

(역성립 안함, X^* iiso bar(X)^*이므로)

S^*의 원소는 X^*로 extension가능(norm불변)

BS인 조건을 Second-category로, closed graph조건을 conti로 바꿀 때가 있다.

X iiso X^**라 해도 X가 RBS인건 보장안됨

note) about LT:X->Y

continuous 판정법:bdd, conti, conti at 0, uni conti, closed ball의 역상이 nonempty interior

f-d X이면 무조건 conti

open mapping이면 onto이고 ||x||<=C||LT(x)||인 양수 C가 존재.

{LT}가 pointwise bdd되게하는 x들이 second-category이면 sup||LT||:finite

{LT, conti}:nvs가 된다. BS가 될 필요충분조건은 Y가 BS(X가 nontrivial일 때)

기타:

LT:BS->BS

-closed graph를 갖는다면, conti이다.

-onto이면 open mapping이다.

LT:BS->nvs

-open mapping이면 onto이고 nvs가 BS이다.

-conti인 수열들이 pointwise cv(특히 weak*-cv)이면 수렴함수도 LT:BS->nvs, conti(unicv인지는 모르지만, bdd인 것은 앎)

(X에서의 문제를 X^**로 끌고오면 좋은게, UBP따위를 쓸 수가 있다. BS조건을 얻음)

note) X로부터 X^*으로의 결과

X:nontrivial->X^*:nontrivial

nonzero x_0에 대해서 특징있는 f in X^*들을 만들 수 있다. 

-특히 unit f이고 norm값을 갖는 f in X^*가능

-특히 linearly independent인 finite개수 x_i, any real a_i에 대해서 f(x_i)=a_i가능

x_0 not in closure of S와 S에 대해서 특징있는 f in X^*들을 만들 수 있다. 

-특히 unit f이고 f(x_0)=dist(x_0, S) and f=0 on S

(x is in the closure of S <-> if f^* in X^* vanish on S then f^* vanish also on x)

따라서 ||x||와 dist(x,S)는 X^*으로 characterization가능

note) X^*로부터 X으로의 결과

X^*:nontrivial->X:nontrivial

X^*:separable->X:separable

note) X와 X^* 공유하는 성질 혹은 X^*와 X^**

E:bdd <-> X^*가 E상에서 uniformly bounded(걍 증명됨)

note) About BS

BS판정법:정의, abs cv, closed in superset, RBS여부, f-d여부

BS일 때 알 수 있는 것

X:RBS<->X^*:RBS<->unit closed ball in X:weak-compact<->unit closed ball in X^*:weak-compact

(X가 BS여야 성립)E^*가 nbdd이다<->E^*가 X상에서 uniformly bounded(UBP써서 증명)

(X가 BS여야 성립)E^*가 weak*-closed, nbdd <-> E^*가 weak*-compact

note) RBS관련 성질

X:RBS이면 X:separable->X^*:separable

X:RBS이면, f in X^*에 대해서 특징있는 x in X가 존재함, 특히 unit x 이고 f(x)=||f||인 x가 존재)

X:RBS<->X^*에서 weak*-top=weak-top

X:RBS일 때 closed subspace도 RBS

X가 BS이고 not RBS인 경우, X<X^**<X^****..., X^*<X^***<X^*****가 성립, strictly

note) weak-top

weak-nbd of 0는 unbounded이다.

Lf_X가 norm conti <-> Lf_X가 weak conti

seq가 weak-cv이면 bdd.(norm-cv는 보장안됨)

convex의 경우엔 closed<->weak-closed

note) weak*-top

X:BS일 때, seq in X^*가 weak*-cv이면 bdd.(norm-cd는 보장안됨)

ucb in X^*가 weak*-compact

E^*가 weak*-closed, nbdd -> E^*가 weak*-compact(역은 X가 BS일 때 성립)

phi(X)의 weak*-closure는 X^**된다. (일반적으로 norm-closure는 안됨)

4. ips의 기초성질

ips:ips

M:complete subspace of ips

note)기초

ips->nvs된다.

nvs->ips되려면 parallelogram equality가 만족되어야 함.

nonempty convex complete subset E가 있으면 x_0 in E 존재(임의의 x와 거리가 최소가 되는)

M^ㅗ^ㅗ=M

note)주요정리

CS inequality

모든 ips(non-trivial)는 complete orthonormal set을 갖는다.

ips에서 complete orthonormal set끼리의 cardinality는 같다.(dimension개념 나옴)

5. hs의 기초성질

H:hs

M:closed subspace

LO:ips->ips^*인 Linear Operator

note)기초

ips->nvs=bs일때 hs라 한다.(혹은 ips->nvs->metric space의 completion을 hs라 하기도 함)

M잡을 때마다 orthogonal projection function(P_M) 만들 수 있음

note)P_M의 성질

-linear 

-from H onto M

-||P_M||<=1

-P_M^2=P_M

-image=M, ker=M^ㅗ

note)주요정리

-(M이 있을 때)Orthogonal Decomposition Theorem

-(Riesz Representation Theorem)H iiso H^* by LO

(ips iiso ips^* by LO <-> ips=hs)

(따라서 모든 H는 RBS가 된다.)

------------------------------------Chapter10 Banach Spaces의 큰 맥락-------------------------------------------------

1. nvs에 대해서 먼저 배운다.

2. tvs에 대해서 배운다.->nvs의 weak, weak*에 대해서 배운다.

3. lcs에 대해서 배운다.(tvs에 대해서 성립했던 것들 그대로 성립, nvs의 일반화, 특히 nvs의 weak, weak*가 lcs됨)