[수학]확률,통계 재밌는 문제들

1. (Computing the mean time until a given pattern occurs)

동전 던지기를 반복적으로 시행을 할 때, 다음의 패턴이 처음으로 나오면 시행을 그만 두기로 하자.

"앞뒤앞뒤앞뒤앞"

이때 평균적으로 몇번을 시행해야 하는가?

만약 패턴이 다음으로 바뀐다면, 평균 시행횟수는 어떻게 달라지는가?

"앞앞뒤뒤앞앞뒤"

(link1)(link2)

2. (Secretary Problem)

인사담당자가 N명의 비서 지원자들 중 1명을 고용하기로 한다. 이 때 다음의 가정을 따른다.

(1) 각 지원자들을 한명씩 검토한다.

(2) 검토 후 고용하지 않는다면, 이후에도 절대 고용하지 않는다.(즉, 지원자는 다른 회사로 고용된다고 하자.)

(3) 검토 후 이때까지 만난 비서들의 능력을 대소 비교할 수 있다. 하지만 검토하지 않은 비서의 능력은 검토하기까지는 모른다.

이때, 인사담당자가 지원자들을 검토하는 중, 최고의 능력을 가진 비서를 뽑기 위해선 몇 명쯤 까지 검토하여야 하는가?

(link1)(link2)(link3)

3. (Unexpected dependent variables)

J={w1,w2}

C4=Power set of J

P({w1})=1/2, P({w2})=1/2

(J,C4,P):Probability Measure Space

이 때, X(w1)=0, X(w2)=1로 정의된 rdv X와 Y(w1)=1, Y(w2)=0으로 정의된 rdv Y는 independent이다. 거짓

따라서, independent에 있어서, New variable이 older one과 관계없이 정의된 것 같아도, 잘 따져줘야 한다.

4. (Markov Decision Process with finite horizon, MDP with finite horizon)

reward depending (state, action)이 deterministic인 MDP with finite horizon일 때, reward를 최대로할 sequence of actions를 찾아라.

(link)

5. 

DF(x)<1 for all x in R인 rdv를 독립시행을 계속할 때, 갱신되는 최댓값은 결국 +inf가 되는가? 참

(link)

6. 

DF인 F가 conti일 때, int over R DF(x)F(dx)=1/2

(link)

7. 

X_1, X_2가 rdv이고 iid with common continuous DF인 F, P(X_1<=X_2)=1/2임을 보여라.

(link)

8. (P(limsup E_n)을 구하는 데 있어서 Borel Zero-one Law를 쓰진 못하지만...)

infinite independent fair coin tossing experiment를 생각하자. H_n:={n-th coin tossing results in a head}

B_n := f-intersection from i=1 to i=[log_2 (n)] H_(n+i) where [x]:=floor function

이 때 P(limsup B_n)=1임을 보여라.

9. (Classical Coupon Collecting)

n개의 서로 다른 쿠폰이 uniformly distributed하게 얻어진다고 하자. 

즉, {X_k, k>=1}:iid and uniformly distributed on {1,2,3,...,n}

(a) 

t번의 시행시 모든 종류의 쿠폰들이 적어도 1개씩은 뽑힐 확률은?

(link)

(b)

이 때, n개의 쿠폰을 모두 모으기 위한 최소시행 T_n은 다음을 만족함을 보여라. 

[T_n/{n*ln(n)}] cv in M to 1

(즉, 서로 다른 10,000개의 쿠폰을 모두 모으기 위한 최소시행횟수는 거진 10,000*(ln(10,000)), 약 92,000이다.)

(link)

10. (Pure Birth Process)

{X_k, k>=1}:rdv, ind, nnn, 각각이 l_n>=0을 parameter로 하는 exp-distri라 하자.

X_k는 1마리가 탄생할 때까지 걸리는 시간을 뜻한다.

S_n := sum from k=1 to k=n X_k (n마리가 탄생할 때까지 걸리는 시간)

애초에 1마리가 있다고 가정하자. (탄생한게 아닌, 이미 존재한 객체 1마리)

Y_t := the population size process of the pure birth process

이때, ProbM(explosion)을 구하여라.

(link)

11.(Occupation Times)

{rdv_t,0<=t<=1}, continuous time stochastic process가 어떠한 time interval에서 어떠한 실수값을 몇번 찍을 것인가?

(link)

12. (HGD의 application)

공장주가 25개의 기계를 샀을 때, 10개의 제품을 test했더니 not defective일 때, 총 25개중 6개가 defective일 확률은?

(link)

13. (PD의 application)

전화상담사가 평균적으로 3분마다 5개의 calls를 해결한다. 그리고 1분동안 전화오는 횟수는 PD(lambda)를 따른다.

(a)

다음 1분동안 call이 한통도 없을 확률은?

(link)

(b)

다음 1분동안 at least two calls가 있을 확률은?

(link)

14. (비둘기집의 원리 예)

수열 7,77,777,7777,77777,...중 2003의 배수가 등장함을 증명하여라.

(link)