[수학]Young Tableaux, William Fulton

-언급순서로 정리

-한번 읽은 후에 다시 개념순으로 정리할 것

-(Chapt),(def),(Thm),(Prop),(Cor),(Lem),(Rmk),(Note),(Claim),(not proven)

(Preface)

-(def) Young diagram

-(Rmk) {Young diagram} bijective {partition of integer}

-(Rmk) partition of integer를 표현하는 방식은 2가지, weakly decreasing한 numbers나열, number나온 횟수로 exponent표현

-(Rmk) lambda ㅏ n, 이란 lambda는 a partition of n

-(Rmk) |lambda|은 n을 가리킴

-(Rmk) lambda와 partition을 동일시하겠다

-(Rmk) Young diagram을 쓰는 이유는(partition대신에) box에 숫자를 넣기 위함

-(def) a numbering of the diagram이란? filling of the diagram이란?

-(def) a tableau란?(row로는 weakly inc, column으로는 strictly inc)

-a tableau on the diagram

-the diagram is the shape of the tableau

-(def) a standard tableau란

-(def) conjugate of diagram이란

-(def) the transpose of a filling이란

-(Rmk) the transpose of a standard tableau는 standard tableau가 된다. the transpose of a filling이 filling되는지는 모른다, 안될 수도 있음

-(def) Schur Polynomial of a partition using 1 to m이란?

-(def) nth complete symmetric polynomial(using 1 to m)이란

-degree가 n인 모든 monomial들을 합한 것

-(def) nth elementary symmetric polynomial(using 1 to m)이란

-서로 다른 variable들을 한번씩 곱해서 degree가 n인 monomial들을 합한 것

-(def) young diagram의 포함관계는? skew diagram이란? skew tableau란?

(Chapt1 Bumping and sliding)

-(def) row-bumping이란(Tableau1개와 숫자x로 이루어진 연산)

-(Rmk) row-bumping해서 얻은 것도 tableau가 된다.

-(Rmk) row-bumping해서 얻은 것+추가된 'box'위치와 그위치의 숫자->inverse연산가능, 즉 original tableau와 추가된 '숫자'를 알 수 있다.

-(Rmk) row-bumping은

-x가 첫 row에서 가장 컸다면 쉬움

-x가 x보다 큰것들 중에서 가장 왼쪽인 놈을 bumping

inverse과정은

-y가 첫 row에 있다면 쉬움

-y의 윗 row에서 y보다 작은 것들 중에서 가장 오른쪽 놈을 bumpign

즉 bumping은 그 row에서 판단 후 아래로 보내고

inverse는 위로 보낸 다음 판단

-(def) (bumping) route of a row-bumping이란?

-(def) the new box of a row-bumping이란?

-(def) strictly left, weakly left, of two routes란?(routes의 대소비교 가능)

-(Lem) Row Bumping Lemma

-한 tableau에 bumping을 두번할 때(using x1, x2) 얻어진 two routes의 대소와 two new boxes의 위치관련정보(x1,x2의 대소로써)

-(Prop)

-한 tableau에 bumping을 여러번할 때 skew diagram의 new boxes위치 관련(단, weakly inc한 숫자를 or strictly dex한 숫자를)

-역으로 한 tableau와 포함된 young diagram 그리고 그것의 skew diagram의 new boxes위치를 통해 그 young diagram에 row-bumping해서 tableau를 얻었음을 알 수 있다.

-(def) a product tableau란?

-(Claim)(not proven) the product operation makes the set of tableaux into an associative monoid(empty tableau가 unit)

-(def) an inside corner of a skew diagram

-(def) an outside corner of a skew diagram

-(def) a sliding of a skew tableau이란

-(Rmk) a sliding of a skew tableau또한 skew tableau된다.(각 step마다 tableau인게 유지됨)

-(Rmk) sliding 또한 reverse를 갖는다

-(def) a reverse slide란?(result skew tableau와 removed box의 위치를 안다면)

-(def) a rectification of a skew tableau이란?

-(def) the jeu de taquin of a skew tableau이란?

-(Claim)(not proven) Starting with a given skew tableau, all choices of inner corners lead to the same rectified tableau.

-(note) 즉 inside corner를 택하는 방식이 어떻든 rectification은 unique

-(def) a product tableau using sliding, rectification

-(Claim)(not proven) The product using sliding agrees with the first definition

(Chapt2 Words; the plactic monoid)

-(def) the word of a skew tableau란? the word of a tableau란?

-(Rmk) {tableau} bijective {the word of some tableau}, 하지만 word of a skew tableau는 skew tableau를 determine하지 못한다.

-(Rmk) 그냥 word라 하면 skew tableau에서 온건지 tableau에서 온건지 모른다. 그리고 그게 중요하진 않음

-(Rmk) row-bumping of a tableau by x을 word language로 하면 어떻게 되는가?(row로 piece한 다음에)

-(Rmk) Knuth는 row-bumping of a tableau by x을 computer programming language로 표현(한 row안에서 착착착)

-(def) an elementary Knuth transformation on a word란?

-(def) two words가 Knuth equivalent란?

-(Prop) row-bumping 한 다음에 word 구한 것 is Knuth equivalent to word구한것에 bumping할 x를 juxtaposition

-(note) 즉 bumping한 것의 word구하는 것은 먼저 word구한 다음에 bumping할 x를 juxtaposition(오른쪽으로)한 다음에 row단위로 Knuth transformation하면 얻을 수 있다.

-(Cor) W(TU) is Knuth equivalent to W(T)W(U)

-(Prop) If one skew tableau can be obtained from another by a sequence of slides, then their words are Knuth equivalent.

-(note) 즉 sliding해봤자 Knuth equivalent classes는 바뀌지 않는다.

-(Thm)(not proven) Every word is Knuth equivalent to the word of a unique tableau.

-(Rmk) 어떤 word가 있을 때 constructing a tableau whose word is Knuth equivalent to given word이 가능하다, 주어진 word의 letter순으로 bumping하면됨

-(def) 위의 과정을 canonical procedure이라 한다.

-(Cor) the rectification of a skew tableau is the unique tableau, 그리고 skew tableau의 word와 unique tableau의 word는 Knuth equivalent

-(Cor) skew tableau가 2개 있을 때, rectification이 same iff 각 skew tableau의 word가 Knuth equivalent

-(note) 따라서 product tableau를 unique tableau whose word is Knuth equivalent to word1word2로도 정의가 가능하다. 즉 각각의 tableau의 word를 구한 다음 병렬로 나열한 다음에 Knuth transformation을 계속 써서 tableau로 만들고 그 때 얻은 tableau를 product tableau라 하자는 것, 그것의 유일성은 Thm이 보장해주는 것

-(Cor) The three constructions of the product of two tableaux agrees

-(def) the plactic monoid란?

-(def) the tableau ring of [m]이란?([m]={1,2,3,...,m})

-(def) the Schur polynomial이란?(using the tableau ring of [m], lambda as shape)

-(Rmk) Pieri formulas란?

-[m]:fixed 상황에서 Schur polynomial과 (complete or elementary) symmetric polynomial과의 곱연산 공식을 제공한다.(shape끼리의 연산, 다른 말론 partition끼리 연산)

(이 공식은, (tableau1+tableau2+...)(tableau1'+tableau2'+...)에다가 monomial을 취하고 monomial이 multiplicative인 것을 이용한 셈)

(한 tableau가 monomial을 1개만 갖지만, 역은 성립하지 않는다, monomial은 tableau를 여러개 결정시킴)

-(def) a tableau has content (mu1,mu2,...mul)이란?

-(Rmk) content는 tableau의 monomial로써 생각이 가능(bijective from {content} to {monomial})

-(Rmk) monomial->tableau는 1개로 결정안되지만, 이 때의 모든 tableau는 content가 같다.

-(Rmk) content에다가 shape을 추가시켜도 tableau가 여러개 있을 수 있다.

-(def) a Kostka number of (shape, content)란?

-(Rmk) 두 tableau가 content가 같으면 대응되는 monomial이 같은 것, 역으로 monomial이 같은 tableau면 content가 같은 것

-(Rmk) Kostka number를 polynomial입장에서는 특정 monomial(determined by content)이 특정 shape로 얻어지는 개수, 즉 coefficient from the particular shape

-(Rmk) is the same the number of sequences of partitions s.t. ... 가능

-(Rmk) complete symmetric polynomial의 연속 곱에 대한 정보 줌 

-(Rmk)