[수학]Crystals For Dummies

Title:Crystals For Dummies

Author:Mark Shimozono

*Summary

1. Tensor Product가 commutative(up to crystal graph isomorphism)한 것은 not natural(Representation Theory를 이용하여야 함)

2. Crystal Graph의 unary operation, dual(v), Dynkin Autormophism(*), # operation

-v은 arrow방향이 바뀐다는 게 중요

-*은 color가 바뀐다는 게 중요

-#은 v취한 다음에 *취한 것, 따라서 arrow방향과 color가 모두 바뀜 

3. B(dominant wt):connected, 그리고 그 때의 highest weight vector

4. B:connected이면 B isomorphic B(lambda) for some lambda(dominant)

5. Decomposition 

-general Crystal Graphs

-B(1)^k일 때

-Yamanouchi word가 highest wt vector이고 dominant wt를 wt로갖는 Yamanouchi word를 세는 일=Standard Tableaux개수 세는 일

-Recording으로 (P(b),Q(b)) 구할 수 있음

-B(r)xB(lambda)일 때

-LR coefficient 도입

-set of seq of weakly increasing words를 행렬로 나타낸 뒤 transpose의미로 bijection얻는 것(wt, shape)<->(shape,wt)

-B^beta일 때

-결국 horizontal strip을 반복적으로 넣는 행위는 semistandard tableaux를 세는 일

-Recording으로 (P(b),Q(b)) 구할 수 있음

*Question

1. P4, 2 paragraphs, Weyl Group관련

2. P4, simple root, simple coroot관련

3. P4, Rmk 2.4 gl_n-weight lattice, sl_n-weight lattice

4. P5, Crank와 automorphisms of conjugation이 commute하는 것

5. P9, Contragredient dual of a module이란

6. P9, Dynkin Diagram, Dynkin automorphism이란

dual부터 복습