Normed Vector Space

norm은 subLF(nvs), convF(nvs)도 된다. 

(Banach Fixed Point Theorem)

E가 complete, contraction on E가 있으면 contraction은 unique fixed pt를 갖는다.(시작점은 E상 어디든 상관 없음)

*CM(F)라는 nvs에서의 성질

1. f-d nvs이므로 모든 norm이 equivalent하다.

(두 norms가 equivalent해도 sub-multiplicative가 보존되진 않는다.)

2. 종류

(1) induced norm(sub-multiplicative성립)

-general

-p-norm

p=1일 때 maximum of absolute column sum으로 계산가능

p=2일 때 spectral norm이라 하고, 

||M||=root(SpecR(conj(M)*M))으로 계산가능, 특히 HM의 경우는, ||HM||=SpecR(HM)

p=inf일 때 maximum of absolute row sum으로 계산가능

-(p,q)-norm

(2) entrywise norm

p-norm만 생각

p=2일 때 Frobenius norm이라 하고, ||M||=root(trace(conj(M)*M))으로 계산가능, sub-multiplicative성립

p=inf일 때 max norm이라 하고, ||M||=max(M_(i,j)), sub-multiplicative성립안함

(3) Schatten norm(sub-multiplicative성립)

p-norm만 생각

p=1일 때 nuclear norm, or trace norm이라 한다.

p=2일 때 Frobenius norm과 일치

p=inf일 때 spectral norm과 일치

3. 성질

(1) Spec(M)의 모든 원소는 ||M||보다 같거나 작다.(for any norm || ||)

(2) eps, te || || on CM(F) s.t. for any M in CM(F) ||M||<=SpecR(M)+eps