Vector Space

f-d V는 모든 norms이 equivalent하다.

모든 Vector Space는 Hamel Basis를 갖는다.

->모든 Vector Space는 nvs가능(tvs, lcs 또한 가능)

LF(VS)는 subLF(VS)가 된다.

sf of (AV) is subLF(VS)

sf of (ABV) is semi-norm

finite intersection of A=A

*About M

M이 NM <-> M이 UDM

M이 pdM <-> egv(M)은 모두 양수

M이 psdM <-> egv(M)은 모두 nnn

M이 HM -> M은 NM, egv(M):real, egv(M,egv1)과 egv(M,egv2)는 orthogonal

M이 symM -> M은 NM, egb(M):real, egv(M,egv1)과 egv(M,egv2)는 orthogonal

M이 UM -> M은 NM

M이 UDM -> M이 DM

(UDM의 경우, inv(P)*UDM1*P=M2, P의 열들은 orthonormal인 egv(UDM1,egv), M2의 대각성분은 egv(UDM1)이다.)

M이 pd -> det(M):nonzero

M이 pd and sym -> inv(M)도 pd and sym

det(M): nonzero <-> det(conj(M)):nonzero

det(M): nonzero and M:sym -> inv(M):sym

{egv(M)}^2=egv(M^2)

conj(M)*M은 NM, UDM, psdM, rank(M)=rank(conj(M)*M)), 

M:HM이고 psd인 경우, square root of M 정의가능

M:symM이고 psd인 경우, square root of M 정의가능

lim M^k=0  <-> SpecR(M)<1 (증명시 || ||와 SpecR(M)사이의 부등식필요, 즉 nvs에서의 개념이 필요)

*Equivalence on CM(F)

1. sim

equivalence class끼리 공유하는 것

-rank, det, trace, egv(M), JCF(M), DM여부, CharPoly(M), MinPoly(M), SMF(M)

(주의:egv(M,egv)는 정확하게 공유하진 않지만, egv(M2,egv)=inv(P)*egv(M1,egv)가 됨, where inv(P)*M1*P=M2) 

이때 DM인 경우, there exist P, NM s.t. inv(P)*DM*P=NM where det(P):nonzero, P:HM, pdM

이 때, P, NM의 entry가 어떤 꼴인지 알 수 있다. egv들...

note)JCF(M)을 구하는 방법(--------------------)

step1-egv를 modulus에 따라 나열, egv1>=egv2>=...

step2-

2. Unitary(---------------)

3. SCF(----------------)

*About Subspace

egS(M,egv)는 M에 invariant