Real Analysis Outer Measure

PM->M확장의 예, Borel in R 정리하기. P437참조

p522참조, dimH(BM)부터 다시보기...motive가 부족

sigma compact의 의의및 성질, sigma bounded의 의의및 성질, bdd(LKT2S에서랑 tvs에서랑의 차이)공부하기

Chapter13도입하는 강의노트 제일 밑내용, 위상수학 정리쓰는거 이해하기.

~S에서, 로 시작하면 X는 그 Space를 가리킴.

X:any set

<:set과 set 상에서는 subset을 가리키고, 실수와 실수는 크고 작음을 가리킨다.

P(X):power set of X

E:any subset of X

MC:monotone class

C1:적어도 empty포함하는 collection

C2:적어도 empty와 X를 포함하는 collection 

C3:algebra/ SC3:semialgebra

C4:sigma-algebra

C4(any collection):any collection을 포함하는 가장 작은 sigma-algebra

(U를 붙이면 countable union도 다 모은 것, I를 붙이면 countable intersection도 다 모은 것)

OM:outer measure

OMC:the collection of all OME

f-OM:finite outer measure

OME:outer measure-measurable

CaraOM(Crvf):Caratheodory outer measure on X wrt Crvf.

PM:Premeasure

f-PM:finite Premeasure

sf-PM:sigma-finite premeasure

PM*:the outer measure on X induced by premeasure

MR:ME X ME, Measurable Rectangle

MR_n:sequence of measurable rectangles

PrM:Product Measure

PrC1:C4({MR})

PrC2:ProdM*ME

Crvf(X):collection of real-valued functions on X

E1 sep E2 by f:E1, E2 separated by f in Crvf

TS:topological space

BRC4(TS):Borel sigma algebra

BEC4(TS):Baire sigma algebra

BOM:Borel Outer Measure

BM:Borel Measure

MetricOM:Metric Outer Measure

K:Compact

preK:Precompact, 즉, closure가 compact인 것

s-K:Sigma Compact

LK:Locally Compact

s-LK:sigma locally compact(LK이면서 s-K인 Space)

MetricS:Metric Space

Gd:open sets의 intersection

FGd:closed set인데 open sets의 intersection해서 얻어진 것

KGd:open set의 intersection해서 얻은 Compact set

ISM:isometry

fCcontiKS(X):collection of conti and real-valued functions on X with compact support on X

fCcontiV(X):collection of conti and real-valued functions on X with vanishing

fCcontiB(X):collection of conti and bdd real-valued functions on X

fCconti(X):Collection of real-valued functions on X

R-OM:Regular Outer Measure

IR-BM:Inner Regular Borel Measure

OR-BM:Outer Regular Borel Measure

R-BM:Regular Borel Measure

BeM:Baire Measure

bddE:bounded E

s-bddE:sigma bounded E

BM-MF:Borel Measurable function

BE-MF:Baire Measurable function

Lf(X):Linear functional on X

pLf(X):positive linear functional on X

*기초 테크닉

1. disjoint seq {E_n}에 대해서만 보여도 되나? finite measure만 갖는 disjoint seq에 대해서만 보여도 되나?

2. 부등호의 한방향은 자명하지 않은가?

3. C4가 property1을 만족함을 보이는 방법중, E={property1되는 것들의 모임}, E가 C4의 generating set을 포함하는 sigma-algebra임을 보여도 된다.

3. C3가 MC이면 C4가 된다.(C4를 보이는 방법중 1가지)

(0) nnn set function

-monotone정의:E<F이면 set function(E)<=set function(F)

-monotone(if)정의:E<F이고 F-E도 set function의 정의역에 속할 때, set function(E)<=set function(F)

-countably monotone1정의:E<union F_n일 때,...

-countably monotone2정의:union F_n에 대해서

-countable additive정의:union F_n이 set function에 항상 속하고 각 F_n이 disjoint일 때...

-finite additive정의:union F_n이 set function에 항상 속하고 각 F_n이 djsjoint일 때...

(additive는 기본적으로 disjoint F_n에 대해서 논함)

((dis)는 F_n이 disjoint, (if)는 union이 set function에 속한다는 가정 필요, (f)는 각 F_n이 set function값이 finite일 때)

성질

-정의역이 P(X)인 경우, countably monotone2해도 monotone이 보장되지 않는다.

-SC3->(finite disjoint union)C3->(countable disjoint union)C4

-finite additive이면 monotone(if)얻어짐

(1) Outer measure의 정의와 성질

-nnn, set function on P(X)

-empty->0

-countably monotone1

성질

-충분조건1:empty->0 and countably (dis)(f)monotone1 보여도 됨(더 약하게 불가능)

-충분조건2:empty->0 and monotone and countably (dis)(f)monotone2 보여도 됨

(countably monotone2가 monotone보장 안된다는 것을 주의)

-monotone 얻어짐

-(건설방법), C1과 nnn set function s.t. empty->0만 있으면 outer measure 건설가능

(2) Outer measurable subset의 정의와 성질

-OM(A)=OM(A교E)+OM(A-E) for any A(OM(A)<inf인 A에 대해서만 판정해도 됨, countably monotone1에 의해>=만 판정해도 됨)

기타 정의

-OM(X)<inf일 때, finite outer measure라 함

-for any E<X, any epsilon>0, there exist OME E1 s.t. E<E1, OM(E1)<=OM(E)+epsilon 일 때, OM을 regular라 한다. 

성질

-{E_n}:disjoint OME일 때, OM(E1 교 (finite union of E_n))=sum OM(E1 교 E_n)

-OME를 다 모으면 C4됨, 이 C4에 OM을 restriction하면 CM됨(C3보이고, C4보임 using disjoint seq)

-E<B, B in P(X)일 때, OM(B-E)=OM(B)-OM(E)되려면 OM(E)<inf 이고 E:OME여야한다.

-OM(E)=0이면 E는 OME이다.

-E<F일 때, OM(F-E)=0이면 OM(F)=OM(E)이다. (역은 성립 안함, 즉 OM(F-E)=0인게 더 강함)

-OM:regular이면 (OM,OMC):saturated

(3) Premeasure의 정의와 성질

-nnn set function on C1 (PM)

-empty->0

-countable (if)additive

기타 정의

-C2에서 정의된 PM에서, PM(X)<inf일 때, f-PM라 함

-C2에서 정의된 PM에서, 0<=PM(E_n)<inf이고 X=union E_n인 {E_n} in C2가 존재하면 sf-PM

성질

-finite (if)additive성립, monotone(if)성립

-C3에서는 monotone성립,finite additive성립, countably (if)monotone1성립

-C4에서는 PM은 M된다.

(4) Outer Measure induced by Premeasure의 정의와 성질

-PM on C3에 의해 건설된 outer measure (PM*)

성질

-C3의 원소 E에 대해서는 PM*(E)=PM(E)

(즉 PM*는 PM의 extension이다.)

-C3의 원소 E는 PM*ME가 된다.

(OME를 다 모은 것이 C4가 됨을 생각해보면, C3(U), C3(UI), C3(UIU)...의 원소 모두 PM*ME된다.)

-임의의 E<X에 대하여 임의의 epsilon>0가 있으면 

there exist E1 in C3(U) s.t. E<E1 and PM*(E1)<=PM*(E)+epsilon

(PM*(E)<inf였으면 <=말고 <얻을 수 있음)

(즉 PM*는 regular)

there exist E2 in C3(UI) s.t. E<E2 and PM*(E2)=PM*(E)

-임의의 E가 PM*ME인지 판정법

E:PM*ME<->there exist E2 in C3(UI) s.t. E<E2 and PM*(E2-E)=0

(->임을 보일 때는, PM이 sigma-finite임이 필요, C3(U)를 잘 이용)

-restriction of PM* to C4(C3)

-M on C4(C3) (당연히 PM의 extension)

-E1 in C3(U), C4(C3)으로의 M which is a extension of PM 일 때 M(E1)=PM*(E1)

-E2 in C4(C3), C4(C3)으로의 M which is a extension of PM 일 때 M(E2)<=PM*(E2), =은 restriction(E2)<inf일 때)

(using definition of PM*, approximation on C3(U))

-sf-PM이면 C4(C3)으로의 extension of PM중 restriction of PM*이 유일

(PM:finite->restriction도 finite, PM:sigma-finite->restriction도 sigma-finite) 

-restriction of PM* to PM*C

-saturated(즉 locally ME->ME)(PM* regular이기 때문)

-sf-PM이면 PM*C으로의 extension of PM중 restriction of PM*이 유일 and CM

(PM:finite->restriction도 finite, PM:sigma-finite->restriction도 sigma-finite) 

note)SC3에서 시작한다면...(extension을)

SC3에 대한 이해

정의:closed under finite intersection/semi closed under complement

(i.e. A가 SC3의 원소일 때, X-A=finite union of disjoint sets in SC3)

성질:

-all finite disjoint unions of sets in SC3는 C3가 된다.

-예로는 [a,b)들의 collection을 생각, when a<=b

주의)

-finite union에 대해 closed하지 않을 수 있다.

SC3에서의 Extension

-nnn, set function on SC3

-empty->0

-finite (if)additive

-countably (dis)(if)monotone2

성질:

-충분조건:empty -> 0 and countable (if)additive

-C3(SC3)에서의 unique PM의 존재성 보장, 그리고 이것은 extension of nnn, set function on SC3

-PM* on PM*C is an extension of nnn, set function

-nnn, set function이 sigma finite였다면, 

-PM* on PM*C도 sf-M이다.

-PM*C으로의 extension of the set function중 PM* on PM*C가 유일

-PM* on PM*C는 CM이다. 

note) (sf-M,C4)에서 만든 outer measure의 OMC로의 restriction은 (sf-M,C4)의 completion이 됨을 알 수 있다.

note) OM1, M:restriction of OM1 to OM1C, OM2:OM induced by M

->OM1<=OM2이다.

->OM1(E)=OM2(E) iff te OM1-measurable A s.t. E<A, OM1(A)=OM1(E).

->OM1이 regular였으면 OM1(E)=OM2(E) for every E가능, 역도 성립

->not =인 예는 X={1,2}로 만들 수 있음.

(5) Product Measure

note) section은 complement, (arbitrarily)union, (arbitrarily)intersection, difference과 interchangable

정의, 건설

Step1-MR다 모은 것이 SC3됨, SC3상에서 적절한 nnn set function정의

Step2-PM on C3을 얻고, PM* on PM*C으로의 restriction을 PrM이라 한다.

Tonelli와 Fubini Theorem으로 가는 Step

Step0 PrM의 유일성과 Completeness

-sf-M1, sf-M2로 만든 PrM는 sf-, unique, CM이다.

Step1 About PrC1

-PrC1의 원소의 section은 각 M1, M2의 C4의 원소가 된다.(using C4-Techniques)

-MF on (X1×X2, PrC1)의 section은 MF on (X1,C4), on(X2, C4) 된다.

-sf-M1, sf-M2, PrC1(using finite일 때 먼저 C4-Techniques+MonotoneClass+sigma finite일 때)

Step2 About PrC2

-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrM(E)=0인 E의 section은 각 sf-CM1=0, sf-CM2=0 a.e.

-sf-CM1, sf-CM2로 만든 PrM에서 PrC2의 원소의 section은 각 sf-CM1, sf-CM2의 C4의 원소가 된다. a.e.

-sf-CM1, sf-CM2, PrC2,

-sf-CM1, sf-CM2, nnn MF on (X1×X2, PrC2)(using simple+MCT)

-sf-CM1, sf-CM2, integrable on (X1×X2,PrC2)(using Tonelli)

note)(MF의 section말고 완전히 쪼개질 수 있는 case의 경우)

-MF1 on (X1,M1,C1_1), MF2 on (X2,M2,C1_2)-> MF1*MF2는 MF on (X1xX2, PrC1)(using simple)

-g1:integrable on X1 wrt M1, g2:integrable on X2 wrt M2->f=g1*g2:integrable on X1xX2 wrt M1xM2

게다가 int f d(M1xM2)=int g1 dM1 * int g2 dM2(using simple+integrable func)

note)counting measure에서의 Tonelli, Fubini theorem의 의의

Tonelli:double series interchangable when nnn sequence

Fubini:double series interchangable when abs cv sequence

(6) Caratheodory Outer Measure

정의

-OM과 fCrv가 있고, A,B:separated by some f in fCrv이면 OM(A union B)=OM(A)+OM(B)성립할 때

note) MetricS에서 fCrv를 dist(x,E),E<X 로 잡아버리면, MetricOM을 얻는다. 

성질

-fCrv의 원소중 'separating->OM(A union B)=OM(A)+OM(B)'가 성립하면 그 f는 MF on (X,OMC).

(7) TS에서의 OM나 (M,C4)이 있을 때

BOM정의:BR(TS)<OM*ME일 때

BM정의:BR(TS)<C4일 때

BEC4정의:fCcontiKS의 모든 원소가 MF가 되게하는 the smallest C4

BeM정의:BEC4<C4이고 M(K)<inf for all Baire K

bddE정의:E<K인 K존재

s-bddE정의:E<s-K인 s-K존재

RaM정의:BM, BM(K)<inf, OR-BM(all Borel set), IR-BM(all open set)

OR-M(E)정의:E는 C4원소이고, M(E)=inf{M(open):open in C4, E<open}

IR-M(E)정의:E는 C4원소이고, M(E)=sup{M(K):K in C4, K<E}

R-M(E)정의:E는 C4원소이고, IR and OR

E:regular(wrt M)정의:E가 IR, OR wrt M인 경우

R-M정의:모든 C4의 원소가 regular wrt M인 경우

note)필요한 위상수학 지식

0. T2S에서 K는 closed이다./ TS에서 K의 closed subset은 compact이다.

1. T2S가 NTS<->closed<open(1)에 대해서, te open(2) s.t. closed<open(2)<cl(open(2))<open(1).

2. MetricS is NTS

3. KT2S is NTS

4. NTS is completely regular.(

4. (Urysohn Lemma)

TS가 NTS<->For any disjoint closed subsets F1, F2, te f s.t. f:conti from TS->[0,1], f=0 on F1, f=1 on F2, 

5. (Tietze Extension Theorem)

TS가 NTS, f:closed subset of TS into R(sTS), conti -> te F s.t. F:conti from TS-> R(sTS), extension of f

6. LK <-> 모든 x에 대하여 compact nbd(x)가 존재 <-> 임의의 x에 대하여 te preK-open(x) 

7. K이면 LK이다

8. cl(LKT2S)=KT2S 

9. cl(LKT2S)에서

LKT2S는 open(not closed)

LKT2S에서 open은 cl(LKT2S)에서도 open

LKT2S에서의 open S도 LKT2S됨, 

LKT2S에서의 closed S도 LKT2S됨.

10. LKT2S는 completely regular이다.

10. LKT2S에서, E:closed <-> for any K in X, intersection of E and K is closed in K

10. LKT2S에서, 모든 open(x)(1)에 대하여 te preK-open(x)(2) s.t. open(x)(2)<cl(open(2)(x))<open(x)(1)

11. LKT2S에서, K에 대하여 te preK-open s.t. K<open

10. LKT2S에서, K<open(1) 이면 te preK-open(2) s.t. K<open(2)<cl(open(2))<open(1)

11. LKT2S에서, K<open(1) 이면 te s-K-open, KGd s.t. K<s-K-open<KGd<open(1)

11. LKT2S에서, K가 있으면 te f in fCcontiKS(X), s.t. 0<=f<=1, f=1 on K

11. LKT2S에서, K<open 이면, te f in fCcontiKS(X) s.t 0<=f<=1, f=1 on K, supp(f)<open

11. LKT2S에서, K<open 이면 te f in fCconti(X) s.t. 0<=f<=1, f=0 on K, f=1 on X-open.

12. LKT2S에서, KGd에 대하여, te f in fCconti(X), s.t. 0<=f<=1, KGd={x in X s.t. f(x)=0}

12. LKT2S에서, KGd에 대하여, te f in fCcontiKS(X), s.t. 0<=f<=1, KGd={x in X s.t. f(x)=1}

(이걸로 KGd는 finite union와 finite intersection에 닫혀있음을 알 수 있다.)

13. LKT2S에서, K, cover{open_i}에 대해서 partition of unity가 존재 s.t. 각각 함수는 KS를 갖는걸로

14. LKT2S에서, f:K->R conti,rv 이면 f는 X로 extension가능(conti, rv이면서)

13. KT2S에서, K의 complement: open/ open의 complement:K (익숙해질 것)

16. s-KT2S에서, BRC4=C4({all K}).

16. s-LKT2S에서, te seq{U_n} st. U_n:preK-open, cl(U_n)<U_(n+1), union(U_n)=X

note) 

K인데 not KGd인 예:X:uncountable with discrete topology->X:LKT2->cl(X)-X의 원소는 K인데 not KGd

note)

(BM,BRC4), BM(K)<inf for all K일 때, 

restriction to BEC4는 BeM, fCcontiKS의 모든 원소는 integrable on X wrt restriction.

성질

BEC4<BRC4(KT2S에서도 Strict하게 될 수 있음, =의 충분조건들:KMetricS, LK+seprable(모든 K가 KGd되서))

-(LKT2S)

-C={x in X s.t. f in fCcontiKS, a in R, f(x)>=a}, BEC4=C4(C)

-s-K-open은 union of KGd, 따라서 모든 s-K-open은 Baire

-C={KGd}, BEC4=C4(C)

(따라서 Baire set 대표적인 것은 KGd, s-K-open)

-preK-Baire set<->bdd Baire set

-모든 bdd E에 대하여 bdd E<KGd인 KGd존재

-모든 s-bdd E에 대하여 s-bdd E<s-K-open인 s-K-open존재

-E:Baire set이면 E와 X-E중 적어도 하나는 s-bdd

-E:Baire set일 때, E와 X-E 둘다 s-bdd <-> X:s-K

-모든 s-bdd Baire는 countable union of disjoint bdd Baire set.

-f:conti, rv, f^(-1){nonzero}:s-bdd이면 f는 Be-MF(즉, fCcontiKS보다 더 많은 함수들이 Be-MF되구나)

-E:closed in X, BEC4(E)의 원소는 intersection of E and F where F is in BEC4(X)

-E1:closed Baire set이고 E2<E1일 때, E2 in BEC4(X) <-> E2 in BEC4(E1)

-모든 compact Baire set은 KGd이다.

-(sf-RaM, BRC4):Regular

-(RaM1, BRC4), (RaM2, BRC4), for any f in fCcontiKS, int f dRaM1=int f dRaM2이면 RaM1=RaM2

(주의:RaM의 정의역이 반드시 BRC4일 필요는 없지만, 대게 BRC4에서만 다룰때가 많다.)

note)(BeM,BEC4)관련 정리

1. (BeM,BEC4), f-M             : IR인 E는 R도 됨

2. (f-M,C4), X:KT2                : {regular}는 C4됨

3. (BeM,BEC4), X:KT2          : BeM은 regular

4. (BeM,BEC4)                    : bdd Baire는 regular/s-bdd Baire는 거진 OR by s-K-open, 거진 IR by KGd

5. (BeM,BEC4), X:s-LKT2     : BeM은 regular

(8) MetricS에서의 OM이 있을 때

MetricOM정의:d(A,B)>0이면 OM(A union B)=OM(A)+OM(B)성립할 때

0<=p<inf, HOMp정의:...

임의의 E<X에 대하여 dimH(E)정의:...

0<=p<inf, HMp정의:...

0<=p<inf, NMHMp정의:...

dimH(BM)의 정의

기타 정의:

E<X,C={BM s.t. BM(E)=1}가 있을 때, 

dimH(E)가 variational principle wrt C를 만족한다란?

C의 원소 M이 a measure of full Hausdorff dimention wrt C란?

note)

-HOMp정의할 때, closed로도 가능, open으로도 가능

(그중에서도 ball, cube등으로 제한시켜버리면 상수배만큼 HOMp값이 차이난다.)

-MetricS=R인 경우, HOMp정의할 때, interval로도 가능

-MetricS=R^n, n>=2인 경우, there are A1>0, A2>0 s.t. A1*HOMn(LME)<=LM(LME)<=A2*HOMn(LME) for all LME

-MetricS=R^n, n>=1인 경우, HMn=LM 

성질

-모든 MetricOM는 BOM이다.(A_n잡고 eps, delta잡고B_(n,k) delta_n잡음

(open set의 subsets의 increasing seq에 대해선 OM의 conti from below가 성립함을 이용)

-모든 HOMp은 MetricOM이다.(A,B잡고 바로 delta잡아야)

-모든 HOMp는 Regular OM이다.

-모든 HMp는 R-BM이다.(게다가 Gd로 선택하면 Hmp값이 같게도 가능.)

-모든 HMp는 invariant under ISM of X

-f,g:Y->MetricS, d(f(y1),f(y2))<=C*d(g(y1),g(y2))이면 HMp(f(E))<=C^p * HMp(g(e)) for all E<Y.

-dimH는 empty->0, monotone, sup_n{dimH(A_n)}=dimH(union A_n)성립

-dimH(open in R^n)=n

-dimH(countable)=0(하지만, dimH(uncountable)=0인 uncountable set존재)

-E<TS, C={BM s.t. BM(E)=1}, sup over C {dimH(BM)}<=dimH(E)

(9) X:LKT2S, RRT in fCcontiKS(X), X:LKT2S, RRT in fCcontiV(X), X:KT2S, RRT in fCconti(X)

X:TS, F in (C(X)^*), F가 positive의 정의(즉, pLf의 정의):F(f)>=0 for f>=0 on Y, f in C(Y)

LKT2S에서, f in fCcontiKS(X), G:open in X일 때, f<G의 정의:

LKT2S에서, F is pLf(fCcontiKS(X)), (RaM_F,BRC4)의 정의:RRT에 의해 얻어진 (RaM,BRC4)을 가리킴 

sBM:sM인데 BRC4<C4인

sBeM:sM인데 BEC4<C4인

sRaM:sBM인데 sBM+와 sBM-가 RaM인 

nvs:{all (f-sRaM, BRC4)}, ||f-sRaM||=|f-sRaM|(X)로 정의

성질

-sBM이 sRaM<-> |sBM|:RaM

-(X=LKT2S, F is pLf(fCcontiKS(X)), K is compact in X)

F, K, C={f in fCcontiKS(X) s.t. f=0 on X-K}일 때, te nnn c(K) s.t. |F(f)|<=c(K)*||f||_inf for all f in C

F에 대해 te unique (RaM,BRC4) s.t. F(f)=int f d(RaM) for all f in fCcontiKS(X)

건설법

Step1 open에 대해 정의(Using F)

Step2 임의의 subset of X에 대해 정의(Using open)->OM만듦(BOM임을 앎)

Step3 OM(K)에 대해 묘사됨(Using F), OM(K)<inf도 앎

Step4 restriction of OM to BRC4는 (RaM,BRC4)임을 앎

Step5 F(f)=int f d(RaM)임을 보일 수 있음, RaM의 uniqueness 얻어짐 using f in fCcontKS

(M이 RaM임을 보이는 방법 중 1가지:M으로 F정의해서 F에 RRT 써서 M=RaM을 얻기)

(RaM_F,BRC4), RaM(open)=sup{RaM(preK-open), s.t. cl(preK-open)<open}

-(X=LKT2S, F is pLf(fCcontiV(X)), G is bLf((fCcontiV(X)), H is pbLf(fCcontiV(X)), K is compact in X)

G가 있으면 te H1, H2 s.t. G=H1-H2

nvs iiso (fCcontiV(X))^*

-(X=KT2S, F is pLf(fCconti(X)), G is bLf((fCconti(X)), H is pbLf(fCconti(X)), K is compact in X)

fCcontiKS=fCcontiV=fCcontiB

모든 F는 bdd됨, 즉 F는 H됨

G가 있으면, te H1, H2 s.t. G=H1-H2, ||G||=H1(1)+H2(1)

nvs iiso (fCconti(X))^*

요약(F:pLf, G:bLf, H:pbLf)

LKT2, fCcontiKS(X), F<->RaM

LKT2, fCcontiV(X), G=H1-H2, G<->f-sRaM

KT2, fCconti(X), G=H1-H2, G<->f-sRaM

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MC의 성질:

-Monotone Class Lemma:MC(C3)는 C4(C3)가 된다.(C4임을 보이는 방법 중 한가지)

-empty와 전체 X를 기본적으로 원소로 가짐

Characteristic과 section의 성질 정리

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*내용정리

1. 순수한 OM

성질들로 분류

-(TS) R-OM, BOM, BM, IR-BM, OR-BM, R-BM

-(MetricS) MetricOM

구체적인 예들

-CaraOM(fCrv)

-(MetricS) HOMp, HMp

2. PM*(from C3, or SC3)

-PrM(from M1, M2, 특히 sf-M1, sf-M2이면 unique, sf-CM1, sf-CM2이면 Fubini, Tonelli가능)