(Revised)Real Analysis(Abstract Measure and Convergence of Functions)

파란색은 나중에 공부하기

*Notation

(Funtion 묘사 순서, rv/erv->nnn->inc/dec->Mf->cv여부)

1. nnn:nonnegative

2. rv/erv:real-valued/extended real-valued

3. MAS:measurable space/

4. ME:measurable set

5. M/CM/sM/+sM/-sM/|sM|/f-sM/sf-sM/ms/LM:measure/complete measure/signed measure/positive variation of sM/negative variation of sM/total variation of sM/finite sM/sigma finite sM/mutually singluar/Lebesgue measure

6. MS/C(MS)/CMS(C(MS)는 MS의 completion, CMS는 complete measure space)

7. inc/dec:increasing/decreasing

8. f-M/sf-M/smf-M:finite measure/sigma finite measure/semifinite measure

9. f-ME/sf-ME/null-ME/+ME/-ME/null-s-ME/subME of ME:finite measurable set/sigma finite measurable set/null set/positive measurable set/negative measurable set/null set wrt sM/subset and measurable of measurable set

10. almost-ME/almost uni cv:(measure가 입실론보다 작은 ME)/전체에서 almost-ME뺀 set에서 uni cv

11. MF/SF:measurable function/simple function

12. cha_set=characteristic function on set

13. A << B:A abs conti wrt B

14. I1/I2/I3:(0,1)/(1,inf)/(0,inf)

([I1=[0,1), I1]=(0,1], [I1]=[0,1],...I2도 마찬가지)  

15. q/conj(p,q,r):holder conjugate q of p(p is in [I2]일 때만 정의)/ 1/r=1/p+1/q, p is in [I2]

16. VS:vector space over R

*주의사항

1. 별말없으면 erv이다. erv인지 rv인지, 특히 rv일때만 될 때가 몇 있다. 그럴 땐 rv적기.

2. a.e.란, property가 성립하지 않는 영역이 null인게 아니라, null의 subset, 주의하자. 단 CM일 땐 상관 없음

3. MF 자체는 M과는 상관없음, pt cv, uni cv얘기할 때도 상관 없음, 그러나 pt cv a.e., almost uni cv, uni cv a.e., cv in M, cauchy in M 등 Mf가 M과 상관있을 때가 대다수

*중요 examples

0. not complete measure space인 예:X=R, sigma algebra={empty, Q, R-Q, R}, M(Q)=0

1. semifinite measure인데 not sigma finite measure인 예

->real number에다가 counting measure

2. Egoroff Theorem은 f-M에서만 된다. sf-M에서도 안된다. R에서 f_n=char_[n,n+1]을 생각.

(pt cv a.e.인데 not almost uni cv인 예, 게다가 not cv in M이기도 함)

3. almost uni cv(pt cv a.e.도 됨)인데 not uni cv a.e.(cv wekaly도 안됨)인 예:f_n=n*char_[0,1/n] on [0,1]

4. nnn MF f의 integral값과 sup sf with finite support의 integral값이 다르게 되는 예 찾기.(X가 not sf-M일 때가 아마 될 건데...)

5. f_n:integrable on X, pt cv a.e. to MF f이고 f-M인데 f가 not integrable인 예:f_n=n on [0,1]

6. f_n:integrable on X, uni cv to MF f인데 f가 not integrable인 예:f=1/x on [1,inf), f로 수렴하는 SF_n생각

7. pt cv인데 not cv in M인 예:f_n=char_[n,n+1] on R

8. not f-M이면 0<a<b<inf, Lb is a subset of La가 성립 안할 수 있는데 그 예?

I3에서 LM, 1/b<t<1/a인 t에 대해 f_t(x)=x^(-t)*char_R\I1

9. f-M이고 0<a<b<inf, Lb is a subset of La가 strict함을 보이는 예?

I3에서 LM, 1/b<t<1/a인 t에 대해 f_t(x)=x^(-t)*char_I1

10. M_n이 dec, cv setwise to a set function일 때 set function이 M이 아닌 예?

M_n(E)=LM(E intersection [n,inf])

11. f-sM(rho1), sM(rho2)가 있을 때, rho1 << rho2 iff epsilon-delta가능, 이때 f-sM이 아니면 only if가 안되는 예는?

rho1=countaing measure on N, rho2=sum n in E 1/2^n  on N

11. VS모음:

f-sM

(이 중에서 sM2와 ms인 것들만 다 모으면 subspace됨, f-sM아니어도 closed under +, scalar multiplication함)

(이 중에서 << sM2인 것들만 다 모으면 subspace됨, f-sM아니어도 closed

(이 둘의 subspace의 intersection은 {0})

(이 중에서 sM2가 sf-sM2인 경우, f-sM의 원소는 << sf-sM2 + ms sf-sM2로 decomposition가능, by LDT)

13. arbitrage trick을 쓰면 Holder inequality의 필요조건을 알 수 있다? (R^n에 LM주면?, Z에 counting M주면?, f-M에선?)

14. [I2]에서 딱 한개의 p에만 속하는 f가 있을 수도 있다. in (R, LM), 건설하여라.

a>1, f=1/(|x|^1/p * |ln x|^a ) * (char_(0,e^-1) + char_(e,inf)),   p=inf인 경우, f=1 on R

15. (1) sf-M에서 f is in LI2]이고 not in L1인 예는?, 

     (2) M(X)=inf일 때, f is in Linf이고 f is not in L[I2인 예는?

(1) ([0,inf),LM), ME_n=[n,n+1),disjoint, Union=R, 이때 각 ME_n에다가 1/n주면 된다.

(2) f=1 on X라 두면 됨. 

16. (cv in Lp, 1<=p<inf)

(1) cv in Lp인데, not pt cv a.e. 인 예 (In [0,1], 구간이 [0,1], [0,1/2], [1/2, 1], ...에서의 char)

(2) pt cv인데, not cv in Lp인 예  (In [0,1], f=n*char_[0,1/n]꼴, p추가해야됨)

(3) cv in Lp인데, not cv in Lq인 예(p<q든, q<p든) ...(2)와 비슷하게

(4) uni cv 인데 not cv in Lp인 예 (f_n = n^(-1/p)*char_[0,n])

(5) uni cv 인데 not cv weakly인 예 (f_n = 1/n * char_[1,e^n])

note)Lp[0,1]에서는 uni cv이면 cv in Lp된다. 

17. (cv in M)

(1) f_n->f, g_n->g, 각각 cv in M인데 (f_n)*(g_n)이 not cv in M인 예 (f_n=g_n=x+1/n*char_[n,n+1])

(2) f_n cv in M인데 not cv in Lp인 예, f_n=n^(1/p)*char_[0,1/n](almost uni cv는 됨)

18. cv weakly(p고정일 때 얘기)인데 not pt cv a.e.인 예

f_n=cos(nx), f=0 on [0, 2pi]

11.1 MAS, MS(뒷 section내용이 포함되더라도 결론이 M이나 ME관련이면 여기다가 적기)

(1) inf-inf가 안나오게끔 해야함. (f-ME조건이 필요할 때가 이 경우일 때)

(2) null-ME의 subset이 null-ME인지 보장안됨(Completion개념 필요, C(MS)만드는법 알기)

(Completion의 원소는 ME Union subset of null-ME인데, disjoint union되게 할 수 있음!)

(3) conti from above, conti from below

이 결과로 

-M(liminf(E_n))<=liminf(M(E_n))<=limsup(M(E_n))<=M(limsup(E_n))

-countable sum of M(E_n)<inf이면 M(limsup(E_n))=0도 앎, Borel-Cantelli lemma

(주의:lim M(sup E_n))은 등장하지 않음, 위의 관계식과 다르게 논의 필요)

(4) M이 있으면 smf-M도 만들 수 있고 M=smf-M + M2으로 decomposition가능, 이 때 M2는 0과 inf만 가짐

(5) M이 있으면 아무 ME를 이용하여 M보다 같거나 작은 M2를 하나 만들 수 있음.

(5) sf-ME의 countable union, intersection도 sf-ME,

(6) sf-M의 합도 sf-M

(8) smf-M(ME)=inf일 때, 임의의 n in N에 대하여 n<=smf-M(subME)<inf인 subME of ME을 찾을 수 있다.

(9) sf-M(X)=inf일 때 X를 만드는 것들이 disjoint하게 만들 수도 있고, 각각이 n<=sf-M(ME_n)<inf 할 수도 있다.

기타:

def:

S:locally-ME란, f-ME intersection S가 ME일 때 (for all f-ME)

M:saturated란, {locally-ME} is a subcollection of {ME}

thm:

sf-M은 saturated and smf-M된다.

11.2 MF(M과는 관련없이 정의되지만 M과 관련이 있을 때가 잦음, 별말 없으면 erv)

(1) MF판정법(5가지, using rays 4가지, using Borel, inf and -inf 1가지)

(2) all MF는 +(well-defined된다면), 곱하기, 실수배, 실수더하기, abs(일반적으로 conti랑 합성하면 됨), inf, sup, liminf, limsup에 닫혀있다.

(positive part, negative part에 대해서도 닫혀있게 됨)

(3) MF가 nnn이면 seq of SF 만들기 가능(pt cv, uni cv on MF가 bdd인 영역)

(sf-M가 있을 때면, SF가 finite support를 갖는 것으로 만들 수도 있음)

(Mf가 nnn아니어도, |Mf|에 대해 만든 seq of Sf가 Mf로 pt cv하고 uni cv on |Mf|가 bdd 성립, sf의 부호=MF의 부호 가능)

(4) C(MS)에서 Mf인 f가 있다면 MS에서 Mf인 g를 만들 수 있다. (f=g CM-a.e.)

(5) CMS에서 Mf인 f가 있고, f=g CM-a.e.이면 g도 Mf이다.

(M이 CM <-> {f_n}:rv, Mf, pt cv a.e. to f이면 f가 Mf)

(6) f-M, {f_n}:rv, Mf, pt cv a.e. to rv, Mf f이면 {f_n}:almost uni cv

(7) {f_n}:rv a.e., Mf, cauchy in M이면 subseq존재 s.t. rv a.e. Mf, pt cv a.e. to rv a.e. Mf f.

(그리고 이 subseq는 cv in M to f이기도 함)

(따라서 cauchy in M <-> cv in M)

(8) {f_n}:rv a.e., MF, almost uni cv이면 {f_n}:pt cv a.e.

(9) {f_n}:rv a.e., MF, almost uni cv이면 {f_n}:cv in M

(10) {f_n}:MF이면 {x|lim f_n(x) exists}는 ME

note)cv of {f_n}

uni cv(Measurable보존)

pt cv(Measurable보존)

almost uni cv(Measurable보존)

pt cv a.e.(Measurable보존하려면 M이 CM이어야 가능)

uni cv a.e.(Measurable보존하려면 M이 CM이어야 가능)

cv in M(Measurable보존)

cauchy in M(Measurable보존)

{f_n}이 rv인 경우:pt cv, uni cv

{f_n}이 rv a.e.인 경우:almost uni cv, pt cv a.e. uni cv a.e., cv in M(cauchy in M)

f가 rv인 경우:uni cv

f가 rv a.e.인 경우:almost uni cv, uni cv a.e., cv in M(cauchy in M)

11.3 Integration

note)기본 Property

(1) linearity of Integration(이게 되면 funtion은 고정, 영역을disjoint하게 쪼개서 합으로 가능, using characteristic)

(2) Basic Inequality(integral 영역은 고정, f<=g일 때, int f<=int g)(a.e.를 붙이면 f<=g a.e란 뜻)

(3) limit(integral 영역은 고정, function의 seq pt cv a.e.가 있을 때 int와 limit의 change가능성)

(사실 characteristic function과 전체 Space X에서의 적분을 이용하면 function은 고정되고 영역의 seq로도 가능)

(1) nnn Sf

-linearity of integration, Basic inequality(nnn 실수 계수에 대해서), limit(cha_{E_n}:ME, inc)을 만족

-nnn인 Sf, MS가 있을 때마다 또 다른 measure만들 수 있다.

(2) nnn Mf(From nnn Sf)

-integration =0 <-> f=0 a.e.

-{f_n}:nnn, inc, MF, pt cv a.e. to MF f이면 limit성립

({f_n}:nnn, MF이기만 하면 series랑 int change가능)

({f_n}:nnn, MF일 때>Fatou Lemma)

({f_n}:nnn, MF, pt cv a.e. to MF f이고 f_n <= f a.e.가 있으면(inc대신) limit성립)

-linearity of integration(MCT필요, nnn 실수계수에대해서), Basic inequality a.e.

-nnn MF가 integrable하면 inverse image of inf는 null-ME, inverse image of >0은 sf-ME

-int liminf f_n <= liminf int f_n <= limsup int f_n <= int limsup f_n(마지막 <=은 domintating L1 function존재해야함)

(3) MF

-f=g a.e. -> int (f) = int (g)

-Integral은 f^+, f^- 둘중 하나만 Integrable하면 되고, Integrable은 둘 모두가 Integrable해야함

(Integrable은 기본적으로 MF여야함)

-linearity of integration(integrable한 f,g에대해), Basic Inequality a.e.(integrable한 f,g에대해)

-{f_n}:inc, MF, pt cv a.e. to MF f + f_n>=g(integrable) a.e. 이면 limit성립

  {f_n}:dec, MF, pt cv a.e. to MF f + f_n<=g(integrable) a.e. 이면 limit성립

(즉 (2)에서 nnn을 없앤 경우임)

(마찬가지로 inc없애고 inf쓰면 inc하게 만들 수 있음->Fatou Lemma, 마찬가지로 g(integrable)이 존재해야함)

(혹은 dec없애고 sup쓰면 dec하게 만들 수 있음)

(혹은 inc이나 dec없애고 아예 |f_n|<=g(integrable) a.e. 가 있으면 이땐 limit가 성립, 이때 series와 lnt의 change가능하려면                                             

g=series from k=1 to k=inf |f_n|이 integrable하면 됨)

-(*)f:integrable이면 inverse image of not 0는 sf-ME

-(*)f:integrable on X이면 epsilon(int of |f|의 upperbound)-delta(적분 영역의 upper bound)가 성립(f_n=min(f,n)이용)

-(*)f:integrable on X이면 epsilon(int |f| over X - int |f| over E)에 대하여 finite measure E 존재({f:not zero}:sf-ME이용)

-(*)f_n:integrable on X, f-M, uni cv to MF f이면 f가 integrable and int f = limit int f_n

( (*) 내용들 모두 Lp, 1<=p<inf에 대해서도 성립, 각 적분이 f^p로 바뀌어야할 수 있음)

note)내용을 간단하게 정리하면

1. nnn, inc, pt cv a.e. to MF f라는 조건을 필요하는 MCT만 잘 다루면, 3개의 조건을 한개씩 없애도 될 때가 있다.

2. f=g a.e.는 integral값에 영향을 미치지 않는다.

3. series와 int가 interchange되려면 f_n:nnn, MF 혹은 sum from k=1 to k=inf |f_n|이 integrable이면 된다.

note) cv in M에 대해서 정리

0. {f_n}:rv a.e.일 때만 얘기, 그리고 cv in M이면 f는 rv a.e.됨

    {f_n}:cv in M, {g_n}:cv in M이면 {f_n + g_n}도 cv in M {f_n*g_n}은 안 됨(f-M이면 됨)

1. cauchy in M과 동치

2. pt cv a.e.하는 subsequence존재, 즉 {f_n}:MF, cv in M이면 liminf f_n(x)=f(x) a.e.->f는 MF됨

3. {f_n}:MF, cv in M, |f_n|<=g, g in L1이면 limit성립, cv in L1도 됨

11.4 General Convergence Theorems(여기서부터 복습+숙제풀이+증명해보기)

(1) Definition

setwise convergence of set functions

(2) Theorem(주된 관심은 seq of M_n)

seq of M_n이 cv setwise일 때 limit set function이 measure일 충분조건:M_n이 inc, or limit set function(X):finite

({f-M_n}인 경우는 나중에 관심, 11.6)

(Generalized-Fatou)

seq of M_n cv setwise to M(항상 M이 되는건 아님), 

{f_n}:nnn,, MF, cv pt M-a.e. to MF f이면

int f dM <= liminf in f_n dM_n(Fatou Lemma의 최고 general Version)

(Generalized-LDCT)

seq of M_n cv setwise to M(항상 M이 되는건 아님), 

{f_n}:MF pt cv M-a.e. to f, 

{g_n}:MF pt cv M-a.e. to g

|f_n|<=|g_n|

int g dM = lim int g_n dM_n<inf이면

int f dM = lim int f_n dM_n<inf이다.(LDCT의 최고 General Version)

note) Fatou lemma 다양한 버전({f_n}:MF)

1. g(integrable bound)만 있는 경우(nnn인 경우가 포함됨)

2. g(integrable bound)+pt cv a.e. to MF f인 경우

3. g(integrable bound)+pt cv a.e. to Mf f+M_n인 경우

11.5 Signed Measure

(1) MF으로 M만들기

nnn MF, MAS있으면 또 다른 M만들기 가능

integrable있으면 f-sM만들기 가능

integral이 정의될 수 있는 MF가 있으면 sM가능

(이때 각 ME가 +ME인지, -ME인지, null-s-ME인지를 f로 판단가능)

(2) sM의 기본 성질

monotone이 깨지는 대신(+,-때문) finiteness만 유지됨

(하지만 +ME에서는 sM(subME)<=sM(+ME)가 성립, -ME에서는 sM(subME)>=sM(-ME)가 성립)

(절댓값 생각하면, |sM(subME)|<=|sM(ME)|가 성립, ME가 +든 -든)

continuity from below, above 모두 가능(above인 경우 signed-M(ME_1)의 finiteness가 필요)

+ME의 countable union, intersection, difference도 +ME/-ME의 countable union, intersection, difference도 -ME

0<sM(ME)인 ME의 subME중 +ME이면서0<sM(subME)인 것이 존재한다. 

(HDT)MAS에서 sM이 있으면 +ME와 -ME로 partition가능, unique up to symmetric difference null set.    

(그리고 이 partition시키는 +ME, -ME일 떄 sM의 값이 maximum, minimum이 된다.)

(JDT)MAS에서 sM이 있으면 Jordan Decomposition 가능, unique

(즉 sM이 있으면 +sM, -sM, ms하게 decomposition가능, unique함)

(3) sM, +sM, -sM, |sM| 과의 관계(+sM, -sM, |sM|모두 그냥 M이다.)

-sM:finite<->+sM:finite and -sM:finite

-sM:sigma finite<->+sM:sigma finite and -sM:sigma finite

-+sM(ME)=sup{sM(F)|F subset of ME and F:ME}, -sM(ME)=-inf{sM(F)|F subset of ME and F:ME}

(혹은 +sM(ME)=sM(ME intersection +ME), -sM(ME)=sM(ME intersection -ME), +ME와 -ME는 sM의 HD)

-(f:rv일 때)f:integrable wrt |sM|<->f:integrable wrt +sM and -sM

-sM1 ms sM2 <->  sM1 ms |sM2| <-> |sM1| ms |sM2| <-> sM1 ms +sM2 and -sM2

-sM1과 sM2 ms sM인 경우 linear combination of sM1 and sM2도 ms sM(well-defined되면)

11.6 The Radon-Nikodym Theorem

(1) abs conti wrt <<

-two M

기초성질:

-<<는 reflexive, transitive되나 antisymmetric은 안됨

-M1(X):finite, {f-M_n}:cv setwise to a set function, uniformly << M1이면 set function:M and << M1.

-M1(X):finite, {f-M_n}:cv setwise to a set function, each << M1일 때 sup{f-M_n(X)}:finite이면 

{f-M_n}:uniformly << M1

(따라서 set function:M and << M1)

-two sM(가장 일반적, 이것의 정의는 two M을 이용)

기초성질:

-마찬가지로 <<는 reflexive, transitive는 되나 antisymmetric은 안됨

-sM << M <-> |sM| << M <-> +sM and -sM << M

-sM1 << sM and sM2 << sM인 경우 linear combination of sM1 and sM2 << sM(well-defined되면)

-(rho1)f-sM, (rho2)sM가 있을 때, rho1 << rho2 iff epsilon-delta가능 (integral로 해석하면 재밌음)

-measure represented by integration over another measure

1. sf-M1 << sf-M2 이면 sf-M1을 represent하는 nnn rv MF가 존재, unique up to sf-M2-a.e.(역도 성립??)

2. f-sM << sf-M 이면 f-sM을 represent하는 integrable wrt sf-M이 존재 unique up to sf-M-a.e.

-integration over measure = integration over another measure

1. sf-M1 << sf-M2 이면 nnn, MF인 h의 integration over sf-M1 = hf의 integration over sf-M2인 nnn,MF, rv인 f 존재

2. f-sM << sf-M 이면 integrable h over |f-sM| 의 integration over |f-sM| = hf의 integration over sf-M인 

-LDT(Lebesque Decomposition Theorem)의 여러 version

1. sf-M1, sf-M2가 있으면 sf-M1=sf-M3 + sf-M4 s.t. sf-M3 << sf-M2 and sf-M4 ms sf-M1(unique)

2. sf-sM, sf-M이 있으면 sf-sM=sf-sM2 + sf-sM3 s.t. sf-sM2 << sf-M and sf-sM3 ms sf-M

note)요약

1. HDT, JDT, LDT

2. RNT(1)(measure represented...), RNT(2)(integration = integration)

11.7 Lp-Space

-I3  :

Sf with finite support is in Lp

f is in Lp일 때, 기존 pt cv SF가 with finite support인걸로 가능(p-norm approximation은 불가능)

-I3] :

p-norm정의 Lp정의, 

Lp is VS

0<a<b<c<=inf, Lb is subset of La+Lc

0<a<b<c<=inf, La intersection Lc is subset of Lb

-[I2]:

Minkowski ineq(=은 f=(nnn k)q a.e. or g=(nnn k)f a.e.)

(무한합도 가능, MCT이용)

Holder ineq(conj(p,q,r)가능)(=은 (non zero a)f=(non zero b)g a.e.)

BS

-[I2):

f is in Lp일 때, 기존 pt cv SF가 with finite support인걸로 가능(p-norm approximation은 가능해짐)

Lq의 원소 g 하나당 Lp^*의 원소 F하나 만들 수 있음(||F||=||g||_q) (p=1일 땐 M가 semifinite인게 필요)

(Lp)^*의 원소 F 하나당 Lq의 원소 g하나 만들 수 있음(||F||=||g||_q), (p=1일 땐 M이 sigma finite인게 필요)

(따라서, (Lp)^*와 Lq는 isometrically isomorphic, p=1일 땐 sigma finite인게 필요, 즉 Lp는 reflexive BS)

-I1

||f+g||_p ^p <= ||f||_p ^p + ||g||_p ^p가 성립 (삼각부등식같이 생겼지만, 아님)

Minkowski ineq(f,g가 nnn인게 더 필요해짐, =은 f=(nnn  k)q a.e. or g=(nnn k)f a.e.)

(무한합은?)

Holder ineq(f,g가 nnn인게 더 필요해짐, =은 굳이 생각 ㄴ f^p=(fg)^p * g^(-p)에 기존 holder적용)

기타

-convexity of exponential, young's inequality, chebyshev's inequality of (p,t)

-f-M인 경우, 

0<a<b<inf에 대해 Lb is a subset of La(구체적으로 ||f||_q와 ||f||_p 부등식 얻음)

MF인 f에 대해, lim p->inf ||f||_p = ||f||_inf가 된다.(||f||_inf의 notation의 motive)

uni cv이면 cv in Lp됨

-lim p->inf ||f||_p = ||f||_inf되는 충분조건

(1) f-M

(2) f is in Lq (q in [I2 )

-counting M on Z의 성질

-1<=a<b<=inf일 때, La is a subset of Lb

-cv in M <-> uni cv

-Convergence of functions related with Lp ( p is in [I2 ) (p=inf일 땐 따로)

(1) 구분 필요

pt cv, pt cv a.e., uni cv, almost uni cv, uni cv a.e., cv in M, cauchy in M

그리고 추가된 cv in Lp, cauchy in Lp, cv weakly to f

(2) 주의({f_k} is in Lp일 때)

-f_k가 pt cv to f, f가 Lp의 원소인지는 보장안된다.

-cv in Lp라 해서 pt cv인 것은 아니다. 

-pt cv라 해서 cv in Lp인 것은 아니다.

-cv in Lp라 해서 cv in Lq인 것은 아니다. (p<q든, q<p든)

-uni cv라 해서 cv in Lp인 것은 아니다.

-uni cv라 해서 cv weakly to f인 것은 아니다.

-cv in Lp to f이면 부분수열이 존재 s.t. pt cv a.e. to f

-cv in Lp to f이면 cv in M to f됨

-cv in Lp to f이면 cv weakly to f 됨

(3) MCT, DCT, 등 (lim n->inf ||f_n||_p =||f||_p)

MCT, DCT:기존 가정에다가 ^p를 붙이고 생각해서 쓰면 된다.

-RRT의 증명 과정 순서(phi:Lq->(Lp)^*

(a) (p=1일 때)

(M:semifinite)phi가 isometry임을 쉽게 앎(holder+taking f)

(b) (1<p<inf일 때)

phi가 isometry임을 쉽게 앎(holder+taking f)

(c) onto임을 보이기

(M:finite)일 때

->f-sM건설

->RNT이용해서 g만듦 in L1

->SF에 대해선 다 됨을 앎

->Lp에 대해서 다 됨을 앎

->g is Lq,  ||g||_q = ||F||, uniqueness 앎

(M:sigma finite)일 때

->X를 disjoint 한 X_n으로 쪼갬(finite measure인)

->각각에서 g_n 얻음 in Lq, g를 건설

->D_n=union X_k from k=1 to k=n이용, f is in Lp, f^+, f^-각각에 대해 MCT써서 g가 F를 표현함을 보임

->g가 F를 표현함 for all f in Lp임을 보임

->g가 Lq임을 보임(M:finite일 때를 이용)

(M:걍 M일 때, p=1일 땐 안됨, 왜냐하면 g is in Linf의 supp(g)가 sigma-finite인게 보장안되므로)

->collection{sigma finite measurable sets}, 원소 E 각각 마다 g_E 건설가능

->collection에서의 set function 만듦, set function(E)=||g_E||_q ^q, 이때 set function은 monotone, upper bound

->collection에서의 {E_n}만듦 s.t. lim n->inf set function(E_n) = sup set function(E) over E in collection

->H=union E_n, H는 collection의 원소, g_H만듦, 그리고 g를 건설, 자연스럽게 Lq됨

->g가 적절한 지 체크(H보다 더 큰 collection 원소에 대해서, F표현하는지, ||F||=||g||_q인지)

11.8 Small Lp space

(1) for 0<p<=inf, lp=Lp(N, P(N), c), N:natural number set, c:counting measure

(2) 0<p<q<inf, 

eventually zero seq < lp < lq < c_0 < c < linf

(3) RRT가 1<=p<inf에 대해서 성립, (l1 iiso c^*)

*Techniques 모음

0. set function(empty=0, finite additive)이 countable additive<->conti

1. class->sup, inf->거기로 수렴하는 seq잡고->monotone부여(함수든 집합이든)->수렴하게만들고 수렴대상에 주 관심

2. 조건 완화:sigma finite->finite/MF or Lp->nnn MF->nnn SF->char/

3. {x|n-1<f(x)<=n}, {x||f(x)|>||f||_inf -e}, {x||f(x)|>=1}, 

4. Holder가 Lp에서 주로 쓰임(conjugate찾기, f=gh로 쪼개기, f in Lp이면 f^p in L1으로 조작질)

5. cauchy in M이나 cauchy in Lp나 모두 <1/2^j로부터 시작

6. set monotone하게 만들기:union, intersection from k=n to k=inf (from k=1 to k=n하여도 됨)

6. f를 monotone하게 만들기:f*char, min(f,n), sup{f_n}, inf{f_n} 

7. cv in M을 다룰 때 E_e,k잡기

8. E={x | f(x)<g(x)}를 countable union으로 쪼개기

9. {f not zero}가 sigma finite이다. 많은 것을 해결해줌