Real Analysis(Abstract Measure and Convergence of Functions)

해야할 것

1. cv in measure, cauchy in measure 등의 motive와 특징, sup n |f_n|:finite의 의미 알기

2. 숙제하기

3. 증명해보기

note)

erv인지 rv인지 조심히 체크, cv in measure등에서 특히

1. notation

fct:function

rv:real-valued not erv

erv:extended real-valued(별말없으면 erv라 하자. 특별한 경우 rv라 적자.)

nnn:non-negative

σR:sigma-ring

σA:sigma-algebra

bar{A}:completion of sigma-algebra A

BσA:Borel-sigma-algebra

LσA:Lebesgue-sigma-algebra

MAS:Measurable Space

ME(wrt σA):Measurable Sets(wrt σA)

μ(on σA):Measure(on σA)

bar{μ}:completion of μ

MS:Measure Space

bar{MS}:Completion of MS

finite-ME(wrt σA wrt μ):finite Measurable sets(wrt σA wrt μ)

σfinite-ME(wrt σA wrt μ):σ-finite Measurable sets(wrt σA wrt μ)

(R,B):MAS

(bar{R},B_bar{R}):MAS

Mf(wrt σA):A-measurable fct

Sf:simple function

2. About class of sets, MAS

-σR과 σA는 3가지 조건 필요

(σR은 전체집합이 속할 필요가 없다. σA는 전체집합과 공집합이 속한다.)

-σA는 다음을 만족

closed under complement, countable union, countable intersection, difference

-generating이나, the smallest σA containg some class생각가능

-BσA는 metric space에서면 가능

-Product σ-algebra는 projection의 inverse image로 generated된 것(각각의 generator들 생각)

3. MS

-σA와 μ에 의해 결정됨

-completion개념있음

분류

-null set

-finite-ME

-σfinite-ME

4. μ

정의관련

-MS가 있을 때, 4가지 조건 필요

-erv f on MAS가 있을 때마다 μ만들 수 있음.

분류

(1)

-finite μ(X가 finite-ME라는 것)

-σ-finite μ(X가 σ-finite ME라는 것)

-semifinite μ

(finite->σ-finite->semifinite)

(2)

-complete(completion개념있음)(Mf와 필요충분조건있음)

성질관련

-기본적으로 inf-inf가 안나오게끔 가정이 필요함

-countable additivity

-monotonicity(general한 경우도 union과 intersection이용하여 monotone하게 만들 수 있음)
-continuity from below

-continuity from above

-infimum of sets, supremum of sets + Borel Cantelli

-a.e. in μ

(주의:"null set빼고 성립"이 아니라 "null set의 subset 빼고 성립"이다. 물론 complete MS인 경우는 구분 안해도 됨)

note)Techniques

-disjoint한 것들로 분해->countable additivity이용

-monotone하게 만듦->continuity이용

5. Mf

정의관련(별말없으면 erv인 fct)

using rays(4가지 방법), using borel(1가지 방법)

note)일반적인 measurable function은 MAS->MAS인 경우이다. continuity와 정의가 유사하나, 우리는 공역이 (bar{R}, B_bar{R})인 경우만을 주로 다룰 것이다.

note)MAS만 있으면 Mf생각가능, 정의상에서는 μ와는 관련 없음

성질관련

-Mf가 있을 때 Mf 만드는 방법->closed under +, 곱, sup, inf, limsup, liminf, 

-MS랑 관련지어

bar{MS}에서 Mf이면 MS에서 Mf인거 만들 수 있음(a.e. bar{μ})

bar{MS}에서 Mf가 있으면 a.e.다른 것도 Mf

bar{MS}에서 Mf의 pt cv a.e. 또한 Mf이다.(따라서 all Mf collection은 pt cv a.e에 closed됨)

Sf(rv인 경우만 다루고 기본적으로 Mf일 때만을 정의하자.)관련

6. Main Theorem

(1) Mf는 Sf로 근사가능(pt cv, Mf가 inf값을 안가지는 부분에서는 uni cv가능)

(이때 μ가 상관 없음, 만약 있고 그것이 σ-finite인 경우, Sf가 finite support인걸로도 만들 수 있음)

(pt cv a.e.가 아니라 완벽히 pt cv이다.)

(2) Egoroff, finite μ, {Mf_n}이 pt cv a.e.이면 almost uni cv

7. Convergen of functions

종류

-μ관련없이

pt cv

uni cv

-μ관련있음

pt cv a.e.

uni cv a.e.

almost uni cv

cv in μ(cauchy in μ와 동치)

note)가장 강력:uni cv, 가장 약함:cv in μ

note)cv in μ같은 경우 {f_n}이 rv여야만 함.

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Examples

1. μ인데 not semifinite인 예

2. semifinite μ인데 not σ-finite인 예

3. σ-finite μ인데 not finite인 예

4. BσA의 completion이 LσA임을 보여라.

5. X:uncountable일 때 countable과 co-countable을 다 모아둔 σA에서의 measure생각 가능(countable인 것에 0, co-countable인 것에 1)

*기타 내용들

1. Banach-Tarski theorem(measure의 정의가 careful해야됨을 시사)

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