ㅇㅇ

*Examples 

-S_Z(order top이므로 order top의 성질을 모두 따름)

 S_Omega.pdf

-S_Z는 largest element를 갖지 않는다.

-not compact

-not metrizable

-S_Z의 countable subset E는 upperbound in S_Z를 갖는다.

-least upperbound property만족

-모든 closed interval(not singleton)은 compact

-LKT2

-sequential closure와 그냥 closure가 다를 수 있음

-limit point compact

-sequentially compact

-first-countable

-not separable

-not second-countable

-not lidelof

-ocl(S_Z)=cl(S_Z)

-cl(S_Z)의 특징

-least upper bound property

-compact

-not first-countable

-not second-countable

-not separable

-lindelof

-not metrizable

-Z가 limit point of S_Z이다.

-LL(with dictionary order with deleted smallest element)

-path-connected

-locally homeomorphic to R(std)

(not imbedded in R(std))

-V_4의 성질

-order:4

-ab=c, bc=a, ca=b형태

-abelian

-Aut(V_4) giso S3

-Inn(V_4)=1

-D_2n의 성질

-order:2n, reflection:n, rotation:n

-rotation(2pi/n)을 r이라하고 reflection(중심과 1을 이은 직선 기준인)을 s라 하면 r과 s로 모든 원소 representation가능

-r*s=s*r^(-1), [r,s]=r^(-2)

-C(D_2n)=<r^2> _<! D_2n

-<r>:NS

-<s>:S (not normal), D_2n/<r> giso <s>

-D_2n giso OSDP(Z/nZ,Z/2Z)

-따라서 solvable(따라서 D_k, k=not power 2^n이면 solvable인데 not nilpotent의 예)

-Z/nZ대신 Z이면 D_inf라 쓰고 infinite dihedral group이라 한다.

-n>=3인 odd면 

-Z(D_2n)={e}, 

-<r^2>의 order:n

-D_4n giso D_2n x Z/2Z

-n=2k인 even이면 

-Z(D_2n)={e, r^k}

-<r^2>의 order:2n/4

-D_2n/<r^2> giso V_4

-D_8의 성질

-Z(D_8)=<r^2>=C(D_8)

-NS=<s,r^2>, <r>, <rs,r^2>, <r^2>

-conjugate class={1}, {r^2}, {r,r^3}, {s,sr^2}, {sr,sr^3}

-Aut(D_8) giso D_8

-D_2^n, 즉 order가 power of 2인 경우(2^k)

-nilpotent하고 nilpotent class:k-1

(order가 power of 2가 아닌 경우는 not nilpotent)

-3차원 정다면체 관련

-정다면체의 한 꼭지점에서의 정다각형들의 내각의 합은 360도보다 작다.

-정다면체가 5종류이고, n:정n각형, p:한 점에서 만나는 정n각형의 개수 

(n,p)=(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)임을 앎

-v-e+f=2를 이용하면 다 앎

-symmetries group의 order는 v*(한 꼭짓점에 걸리는 변의 개수)

-Q_8의 성질

-order8이면서 non-abelian인 예, 하지만 모든 S는 NS.

-Z(Q_8)=<-1>=C(Q_8)

-Upper central series:{1}, {-1,1}, Q_8, 따라서 nilpotent class of 2

-<i>={-1, -i, 1, i}

-N_(Q_8)(<i>)=Q_8

-N_(Q_8)(i)=<i>

-conjugate class={1},{-1},{i,-i},{j,-j},{k,-k}

-Aut(Q_8) giso S_4

-nilpotent, nilpotent class=2

-te rep(Q_8):Q_8->SL(2,C) s.t. i->(i 0 0 i ), j->(0 1 -1 0), k->(0 i i 0)

-(a,b)_F, called Quaternion algebra, defined by F[Q_8], i^2=a, j^2=b, 

-(-1,-1)_R(std)을 주로 Quaternion이라 부르고 H라 나타냄

-S_[n]의 성질

-임의의 원소는 disjoint cycles의 곱으로 표현이 된다.(unique, 곱의 order는 생각안할 시)

-임의의 원소는 adjacent transposition의 곱으로 표현이 된다.(not unique)

(직관적인 이해는 사다리 타기의 가로이동을 adjacent transposition으로 보면 된다.)

(먼저 disjoint cycles로 표현한 뒤, 각 cycle를 transposition으로 표현한뒤 각 transposition을 adjacent transposition으로 표현)

(f(a,b,c)f^-1 = (f(a),f(b),f(c))이용, conjugate)

-임의의 subgroup S는 S_[n]의 subgroup과 isomorphic하다.(S_[n], 중요)

-S_[n]은 GL(n,F)의 subgroup과 isomorphic하다.(GL(n,F), 중요)

-임의의 원소의 sign판단은 사다리 타기의 가로이동 갯수로 가능(즉 adjacent transposition 개수 =  transposition개수 mod2)

-(i+1,i+2)(i,i+1)(i+1,i+2)=(i,i+1)(i+1,i+2)(i,i+1), called braid relation, 외우기 쉽게는 (23)(12)(23)=(12)(23)(12)

-S_[n] giso OSDP(Alt(n),Z/2Z)

-(G<S_[n]일 때 G<alt(n)일 조건)If there is no subgroup S of G s.t. [G:S]=2, then G<alt(n)(link)

-n>=3이면 

-Z(S_[n])=1

-not nilpotent

-n>=5이면 nontrivial proper normal subgroup은 Alt(n)뿐

-따라서 S_[n]:solvable iff n<=4

-n이 6만 아니면, Aut(S_[n])=Inn(S_[n]) giso S_[n]

-n=6이면 [Aut(S_[n]):Inn(S_[n])]=2

-n=prm일 때, 

-|N_S_[n](Sprm)|=prm*(prm-1), Sprm이란, Sylow prm-subgroup

-p-cycle and a transposition generates S_[n] (n=prm일 때만 됨)

-sum g in S_[n] q^inv(g) = [n]_q

-S_[3]의 성질

-NS=<(1,2,3)>

-Sp(p=3)=<(1,2,3)>

-Sp(p=2)=<(1,2)>, <(1,3)>, <(2,3)>, 총 3개 

-S_[4]의 성질

-Sp(p=2), 총 3개, giso D_8

-Sp(p=3), 총 4개, giso Z_3

-representation관련

-f:S_[n]->GL(1,C), f(g)=sgn(g), it is called sign rep

-f:S_[n]->GL(n,C), (f(g))_(i,j)=1 if g(j)=i, otherwise, (f(g))_(i,j)=0, it is called defining rep(image의 MT들은 permutation MT가 된다.즉 각 열마다 1은 1번, 행마다 1은 1번)

(정의할 때 , g(i)=j 부분의 i,j를 위치를 바꾸면 rt((f(g)))가 나온다, 그래서 f가 group homomorphism이 되지 않는다.)

-S_[inf]:=union over n>=2 S_[n]관련

-not equal to {f:N->N s.t. f:bijection}, S_[n]은 유한개만 permute함

-

-id={deg가 >=2인 것들}union{0}, Z[x]/id는 zd를 갖지만, Z[x]는 zd를 안가짐

-id={계수가 모두 even인 것들}, 

-Q

-additive group로 볼 때

-divisible

-injective Z-Md

-Q/Z:Injective Z-Md

-not cyclic

-te no maximal subgroup(link)

-not projective Z-Md(link)

-field로 볼 때

-[ac(Q):Q]=inf

-R(std)의 subspace로 볼 때

-not open subspace

-not closed subspace

-not locally compact

-R(std)

-Aut(R)=Aut(R/Q)=1

-C4(TS)는 C4({(a,b)}, C4({(a,b]}), C4({[a,b]}), C4({(-inf,a]}), C4({(-inf,a)})와 같다.

-모든 nonempty open set은 disjoint c-union open intervals로 표현가능(link)

-모든 closed interval(not singleton)은 uncountable이다.

any subset whose complement is countable is dense in R(std)(link)

-homeo (-1,1)(둘다 order top)

-R(std)<R(l)

-R(std)<R(K)

-nonempty perfect subset은 uncountable

-uncountable subset은 반드시 limit pt를 갖는다.

-[0,1]

-compact, limit point compact, sequentially compact

-connected, path-connected, locally connected, locally path-connected

-ocl(R(std)) homeo 1-dim sphere

-second-countable

-contractible(link)

-metrizable

-T2

-T3

-T4

-C4(top)은 generating set을 {(a,b)}, {[a,b)}, {(a,b]}, {[a,b]} 다 가능

-About Cantor Ternary Set

-closed

-compact

-let x in [0,1]. x in Cantor Ternary Set iff x has a ternary expansion consisting only of 0's and 2's.(따라서 uncountable)

-Lebesgue Measure, 0

-totally disconnected

-KT2

-no isolated pt(즉 perfect set)(따라서 uncountable)

-Lebesgue Measure(LM)

-건설:RSC3={empty, all bdd intervals}, RSC3에 vol이란 PM을 주고, {all PM*ME}에서의 measure

(C4(RSC3)는 C4(TOP)가 된다. 즉 Borel sigma algebra)

-특징

-complete(Borel sigma algebra에서는 not complete, 

-f:R(std)->R(std)의 성질(a,b in R)

-정의역이 [a,b]인 경우

-f가 monotone이면 

-불연속점의 개수는 at most countable

-(Lebesgue's Theorem)미분가능한 점의 개수는 lebesgue measure에 대해 almost everywhere

-{f_n} on [0,1], Berenstein Polynomial of degree n, uni cv to conti f(link1)(link2)

-f가 conti이면 antiderivative를 갖고, 

-(Fundamental Theorem of Calculus, FTOC)

:f:conti on [a,b], F(x)=int from t=a to t=x f(t)dt일 때, F는 미분가능, F'(x)=f(x)

(즉 f가 conti이면 anti-derivative를 갖고 그것은 diff라는 것)

-(Integration by Substitution)

:f1 on [a,b]:conti이고 te f2 s.t. C^1 on [c,d], f2([c,d])=[a,b]인 f2가 있다면

int from x=a to x=b f1(x)dx = int from t=c to t=d f1(f2(t))*f2'(t) dt가 성립

(즉 실제 적용시, 전자를 후자로 하게끔하는 f2를 찾는 것이다.)

(f1의 conti는 integral 정의를 위함이고, f2의 C^1도 등식의 후자에 integral 정의를 위함)

(증명은 FTOC이용)

-About Bounded Variation

-the total variation of f := sup over all partition of [a,b] (sum of |f(x_(i+1)) - f(x_i))|)

-f가 bdd variation이란(f:BV) its total variation is finite일 때

-the positive variation of f := sup over all partition of [a,b] (sum of max(f(x_(i+1)) - f(x_i)),0))

-the negative variation of f := sup over all partition of [a,b] (sum of -min(f(x_(i+1)) - f(x_i)),0))

-total variation of f = sum of the positive and negative variations of f

-g1,g2:[a,b]->R이고 BV이면 g1+g2:BV

-3개의 variations중 1개라도 finite면

-나머지도 finite(link)

-the positive variation - the negative variation = f(b)-f(a)(link)

-(Jordan Decomposition of a function)f가 bdd variation iff te g1,g2:[a,b]->R s.t. g1,g2:inc and f=g1-g2(link)

-About Absolutely continuous(abs conti)(정의역이 그냥 interval이기만 하면 됨)

-f가 abs conti란, for any ε > 0, te δ > 0 s.t. for any finite segments [x_1,x_2], ..., [x_(n-1),x_n] s.t. sum of all lengths of segments < δ, sum of all |f(x_(i+1) - f(x_i)| < ε

-f가 abs conti

iff f has f' in Lp(LM) s.t. f(x)=f(a)+int from t=a to t=x f'(t) dt for all x in [a,b]

iff te g in Lp(LM) s.t. f(x)=f(a)+int from t=a to t=x g(t) dt for all x in [a,b]

(위의 equivalents는 [a,b]에서만 성립, compact필요)

-정의역이 (a,b)인 경우

-(Chain Rule for one-dimensional)g:diff at a, f:diff at g(a)일 때, (f o g):diff at a이고 d(f o g)/dx at x=a =f'(g(a))g'(a)

-(Darboux 's Theorem)f:(a,b)->R(Std), f:diff일 때, for c,d in (a,b) s.t. f'(c) != f'(d), for t between f'(c) and f'(d), te e in [c,d] s.t. f'(e)=t

-정의역이 R인 경우

-f가 monotone이고 bdd이면 불연속점의 개수는 at most countable

-{f_k}, {a_n}:any rv seq일 때, te {f_(n_k)} s.t. cv at all a_n(그 수렴값은 +inf, -inf을 취해도 된다고 할 때)(link)

-정의역이 뭐든간에

-f가 analytic on open set E란, for any x in E, te nbd(x) s.t. f is equal to its taylor series on nbd(x)

-About Taylor Series

-f가 x=a에서 infinitely many diff이면 Tay_(f,a)가 정의됨

-Tay_(f,a)가 정의될 때, a에서의 RoC 구해서 f(x)=Tay_(f,a)(x)가 가능한 x범위를 구할 수 있다.

(ratio test, root test 등이 있다.)

-혹은 f:C->C로 이해해서 a에서 가장 가까운 not diff점까지의 거리를 통해 RoC를 구할 수도 있다.)

-Taylor Series는 기본적으로 f의 local property

-f가 x=a에서 infinitely many diff이어서 Tay_(f,a)가 정의 되더라도, f가 not analytic at x=a일 수 있다.

(f(x)=e^(-1/x^2) for nonzero x, 0 for x=0)

-analytic function관련 성질

-f가 analytic on open set E이면 f in C^inf(E), 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 f(x)=e^(-1/x^2) for nonzero x, 0 for x=0

-About Convex Functions

-정의:

-I(interval, open이든 closed이든, finite이든 뭐든 어쨋든 interval, singleton일 수도)에서 정의된 f가 convex란, 

f(ax+(1-a)y)<=a*f(x)+(1-a)*f(y) for all x,y, in I, for all a in [0,1]

-f on I, f has support at t in I란, te linear function g(x)=f(t)+m*(x-t) s.t. g<=f on I

-성질:

-f:convex on I일 때, 

-[a,b]<I에 대해 f는 Lipschitz-conti on [a,b], f는 abs conti on [a,b], f는 conti at x in Int(I)

-left(right)-derivative exist on Int(I), 그리고 각각은 inc이다. 

-f:convex on open interval I일 때, E={x in I s.t. f' not exist at x}, E:at most countable이고 I-E에서 f'은 continuous

-f:convex on (a,b) iff te at least one line of support for f at each x in (a,b)

-R(l)

-R(l)과 R(K)는 not comparable

-First-countability

-separable

-lindelof

-not second-countable

-not metrizable

-totally disconnected(path-connected component, connected component 모두 singleton)

-not compact

-not limit point compact

-not sequentially compact

-[0,1]

-not limit point compact

-not compact

-not sequentially compact

-T2

-T3

-T4

-CN

-T5

-not TVS([0,1)을 a배 해도 -1을 포함하지 않는 걸 생각)

-Sorgenfrey plane(inverse diagonal {(x,-x)}가 중요한 역할함)

-not lindelof(but lindelof 2개 곱해서 얻은 product topology임)

-T2

-T3

-not T4

-C의 성질

-open and connected subset of C를 Region이라 하자.

-Construction

-R^2(std)이면서 덧셈과 곱셈을 다르게 정의한 형태

-R^2(std)와 isomorphic as topological space and VS(R)

-quotient ring R[x]/(1+x^2)으로 정의한 형태

-top 2-mnf이므로 top n-mnf성질 따름

-F된다.

-ac-F(by Fundamental Theorem of Algebra)

-Associative R-A

-infinite product of complex numbers의 convergence

-정의:c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)이 cv if te k s.t. c-product from i=k to i=n (1+a_i) cv to nonzero as n->inf

-성질:

-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 cv iff c-sum from i=1 to i=inf log(1+a_n):cv(link)

(단, Re(a_n) > (-1) for n=1,2,3,..., 만약 아니면 이게 성립할 때부터 곱셈시작으로 간주하면 됨)

-c-product from i=1 to i=inf (1+a_i)가 abs cv iff c-sum from i=1 to i=inf a_i:abs cv(link)

-f:[0,1]->C, f(t)=x(t)+y(t)i관련

-smooth path f란 x(t), y(t)가 diff이고 x'(t)=y'(t)인 t가 존재하지 않을 때(t=0, t=1은 상관없음)

-piecewise smooth path f란, smooth curve를 이어서 만든 것(각 경계에선 not smooth하지만 거진 smooth한 경우가 된다.)

-smooth or piecewise smooth path가 closed란, f(0)=f(1)일 때

-smooth or piecewise smooth path가 simple이란, not self-intersecting(closed일 때는 endpoint에서같아도 simple이라 함)

-f:[0,2pi]->C 관련

-About L2-space

-특히 [0,2pi] as L2-space(Fourier Series)

-활용방안:

주기함수을 연속함수(sine파)들의 급수로 표현, 이때 sin(2pi*진동수*t)의 계수, 를 통해 진동수에 해당하는 진폭(계수)를 알아내서 어떠한 주기함수(파형)의 진동수마다의 진폭을 구할 수 있게 된다.

유한한 구간에서만 정의된 함수를 expansion, 

몇가지 급수 값을 구할 수 있음

푸리에 계수(하단에 <f,e_n>)은 다양한 물리적 의미를 갖는다.

-<f,g> := int from x=0 to x=2pi f*conj(g) dλ 이러면 < > 은 inner product가 된다. 이걸로 HS가 된다.

-{e_n(t)}, e_n(t)=(2pi)^(-1/2) * exp(i*n*t), 는 maximal orthonormal set이 된다.

-(complex valued)for f in L2-Space[0,2pi], f(t)=sum over all int n <f,e_n> e_n(t)로 표현이 된다.

-[0,2pi]까지만 정의된 함수를 expansion(even, odd에 따라)가능하다

-Bessel's inequality, Parsevel's identity사용가능, 참고

-f:C->C관련(z=x+yi, f=u+vi, 정의역이 꼭 C전체 아니어도, C의 open subset이어도 가능)

-holo f의 properties

-용어관련

-f가 holo at z 란 domain of f는 z를 포함하는 open set이고 lim h->0 {f(z+h)-f(z)}/h가 존재할 때(f:R^m->R^n과는 다른 이유가, C->C에서는 곱셈연산이 있기 때문)

-f가 holo on open set E란, f가 holo at any z in D

-f가 holo on closed set E란, te nbd(E) s.t. f가 holo on nbd(E)

-primitive of f on open set E란, E에서 holo이면서 미분해서 f되는 함수

-f가 biholo(conformal map이라고도 함)란, holo이고 bijective이고 inverse도 holo일 때

-f:holo on C이면 f:entire라 한다.

-holo의 충분조건

-f가 CRE를 만족하고 Re(f)와 Im(f)가 C^1이면 f는 holo on 가정만족하는 영역

-holo의 필요조건

-(Cauchy-Riemann Equation, CRE)

:u의 x미분=v의 y미분 and u의 y미분=v의 x미분*(-1), 이것은 holo의 필요조건

(real analysis와 complex analysis를 잇는 equation이다.)

(iv function의 real part만이 전부를 determine한다는 의미도 있다.)

-f가 holo at z이면 f is diff in real sense(역은 성립 안함)

-f가 holo on open set E이면 f has infinitely many complex derivatives in E(Cauchy's Integral Formula for Derivatives에 의해)

-Power Series 관련(Center가 0인 경우만 따져도 됨)(PS(z)=sum from n=1 to n=inf (a_n)*(z)^n라 하자)

-PS(z1):cv이면 for |z|<|z1|, PS(z):cv

-(RoC의 존재성)for any PS, 

te R s.t. 

-0<=R<=inf, 

-|z|<R이면 PS(z):abs cv

-|z|>R이면 PS(z):diverge

-PS:uni cv on {z s.t. |z|<=A<R}

-RoC 구하기

-RoC={limsup(|a_n|)^1/n}^(-1)

-PS의 도함수 또한 RoC가 같다.

-PS1, PS2(with same center), PS1+PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}, PS1*PS2의 RoC>=min{RoC1, RoC2}

-lim n->inf a_n=0이면 RoC>=1

-PS는 holo inside RoC

(on RoC에서는 cv할지도 diverge할 지도 모름)

(즉 analytic function은 holo하다는 것을 앎)

-PS의 도함수는 term-by-term 미분해서 얻을 수 있다.

-Integration along path

-piecewise smooth path f1, f1의 image에서 conti인 f2에 대해 integral정의함

-for g:E->C conti, f1:piecewise C^1 in E, int of g along f:= int from 0 to 1 g(f(t))f'(t)dt로 정의

-any parametrization of f gives the same value of integral above

-|int of g along f|<=(max over z in f([0,1]) |f(z)|) * length of f

-(Fundamental Theorem of Calculus version Complex)

:f on open set E가 conti

f가 primitive on E, F를 갖고

f1:piecewise smooth path in E이면

int over f1 f는 F(f1(1))-F(f1(0))가 된다.

(Fundamental Theorem of Calculus, real version과는 다른 점이, primitive의 존재성이 보장받지 않다는 것)

(f가 primitive를 갖는지 판단시 사용가능 using closed path)

-f:holo on a region E, f'=0 on E일 때 f는 constant(E가 connected인 것도 중요)

-(Cauchy's Theorem으로 가는 Step, E:open in C, R:region in C, D:open ball in C, T:image of simple closed piecewise smooth path in C)

-(Step 1, Cauchy's Theorem on E containing T)

:T:triangle with its interior in E, f:holo on E이면 int over T f=0

(triangle의 interior가 포함되어있다는 것은 거진 connected조건느낌)

(rectangle로도 확장가능)

(f:conti on E, for any T:triangle with its interior in E int over T f=0이면 f:holo on E, 즉 역도 성립)

-(Step 2)

:f:holo on UB2이면 f has a primitive on UB2

(UB2보다 일반적으로 convex open subset에서도 성립함)

-(Step 3, Cauchy's Theorem on UB2 containing any closed path)

:f:holo on UB2이면 for any closed path f1 in D이면 int over f1 f=0

-(Step 4, Cauchy's Theorem on E containing T and its interior, using Jordan Curve Theorem)

:f:holo on E containing T and int(T)<E이면 int over T f=0

-(Cauchy's Integral Formula)

:T:image of simple closed piecewise smooth path in C이고 f가 holo on open set E containing cl(int(T))이고 C=bd(int(T))=C with positive orientation라 할 때 

for z in int(T), f(z)=1/(2*pi*i) int over C f(t)/(t-z) dt

-(Cauchy's Integral Formula for Derivatives)

:T:image of simple closed piecewise smooth path in C이고 f가 holo on open set E containing cl(int(T))이고 C=bd(int(T))=C with positive orientation라 할 때 

for z in int(T), f^(n)(z)=n!/(2*pi*i) int over C f(t)/(t-z)^(n+1) dt

(즉 f:holo at z이면 infinitely differentiable at z이다.)

-(Cauchy's Inequality)

:for z in open E, B(z,r) <E s.t. cl(B(z,r))<E, f:holo on E이면 for any n in N, |f^(n)(z)|<=n!/r^n * sup over z' in bd(B(z,r)) |f(z')|

(즉 holo f의 도함수값 at z은 f의 함숫값(z의 주위에서의)에 영향을 받는다.)

-analytic function f의 properties

-용어관련

-f가 C-analytic on open set E란, for any x in E, te nbd(x) s.t. f is equal to its taylor series on nbd(x)(f:R(std)->R(std)에서의 analytic과는 정의가 같지만 성립하는 properties는 다름)

-f가 C-analytic at z란, te nbd(z) s.t. f is analytic on nbd(z)

-properties

-f의 C-analytic 가능한 points의 모임은 open이다.

-f:C-analytic on open E이면 for z_0 in E, f의 taylor series centered at z_0의 RoC는 dist(z_0, Bd(E))

(즉 f:C-analytic on open E이면 수렴반지름을 그저 f가 holo가 되는 영역이 되는데, R-analytic에선 이런게 안된다. 단순히 미분무한번가능한영역으로의 확장이 analytic이 보존되지 않는다.)

-f:C-analytic at z iff f가 holo at z

-f:holo on open connected E이고 {an} in E s.t. an->a in E and {an}:distinct and f(an)=0이면 f=0 on E

(즉, the zeroes of f on E는 isolated)

(증명을 series전개해서... 그렇다보니 f:R->R에선 성립안함)

-f:holo on open connected E, U:open in E일 때 restriction of f on U =0 on U이면 f=0 on E

-f, g:holo on open connected E, U:open in E, f=g on U일 때, f=g on E

(즉 extension이 unique, but 이렇게 가면 extension이 multivalued일 순 있음, log(x) 생각)

-entire function(f:entire)

-(Liouville's theorem)f:bdd이면 f는 constant

(C^inf(R)선 성립하지 않음)

-{f_n}, f_n:C->C관련, E:open in C,

-{f_n}:holo on E, uni-cv to f on every compact subset K of E이면 f:holo on E and {f'_n}:uni-cv to f' on every compact subset K of E

-

-Laurent's Series관련

-Elementary functions

-log(with principal branch):ocl(C) - (-inf,0] ->C

-exp:C->C-{0}

-entire

-

-(Binomial Theorem)

:(1+z)^a where a:complex는 다음 taylor series를 갖는다. 

sum from n=0 to n=inf (aCn)*x^n 

(단, RoC는 a마다 그때그때 구해야함)

-(Residue Theorem)

-(Fundamental Theorem of Algebra)

:a polynomial f(x) in C[x] of degree>=1 has a root in C(using homotopy link)

-(Riemann Mapping Theorem)

:U:nonempty, proper, open, simply connected, x in U이면 te! f:U->UB2 in C s.t. f:biholo

-P(R^n+1)

-정의:R^(n+1)(std) - {0}/~, where x=(x1,x2,...,xn+1)~y=(y1,y2,...,yn+1) where xi=kyi for some nonzero k in R

-topology는 quotient로 줌

-topological mnf됨(locally euclidean to R^n(std))

-second-countable

-T2

-locally euclidean to R^n(std)

-FHG=Z_2(n>=1), Z(n=0일 때)

-m-fold projective planes

-정의:

  -(a1a1a2a2...amam)이란 scheme으로 만든 도형

-성질:

-FHG=FP(Z,m개)/<a1a1a2a2...amam>

-first homology group:FAG of rank m-1

-UO1

-Strong Deformation Retract of R^2 - {0}

-FHG(UO1) giso cyclic group Z(covering map의 induced group homomorphism이용, R(std)이simply-connected라) 

-h:UO1->TS, conti일 때 TFAE(link1)(link2)

-h:nulhomotopic

-h extends to a continuous map k:cl(UB2)->TS

-homo from h is the trivial homomorphism of fundamental groups

-inclusion(UO1,R^2(std)-{0}) is not nulhomotopic

-identity:UO1->UO1 is not nulhomotopic(즉 not contractible이다 UO1은)

-antipode-preserving:UO1->UO1이 conti이면 not nulhomotopic(link1)(link2)

-LG

-n-torus

-정의

-prod(UO1), UO1을 n번 prod한 TS

-R^n(std)에서 (x1,x2,...,xn)~(x1,x2,...,xn)+ei, ei=i성분만 1, for all i=1,2,3,...,n, quotient space (R^n(std),~)

-성질

-topological mnf됨

-second-countable

-T2

-locally euclidean to R^n(std)

-n=1은 UO1과 같음

-FHG(n-torus)=Z x Z x ... x Z

-n-fold torus

-정의

-(a1b1a1^(-1)b1^(-1))...(anbnan^(-1)bn^(-1))이란 scheme으로 만든 도형

-성질

-compact connected surface

-FHG=FP(Z,2n)/<a1b1a1^(-1)b^(-1)...(anbnan^(-1)bn^(-1))>

-first homology group=FAG of rank 2n

-UO2

-(UO2 <-> R^2(std))f:UO2-{b}->R^2(std) homeo가 compact set을 뺏을 때 생기는 component를 어떻게 보내는지(link)

-X:compact, f:X->UO2-{a}-{b}:conti일 때, a,b가 UO2-f(K)의 same component에 존재하면 f:nulhomotopic(link)

(역은 f가 injective면 성립)(link1)(link2)

-UO2=A1UA2UA3 where Ai:closed in UO2일 때 te {x, -x} s.t. x and -x are in Ai for some i(link)

-UOn

-for n>=2, simply connected, 즉 FHG(UOn)=trivial(using Pre van-kampen or Strong Deformation)

-embedded n-submanifold of R^(n+1)(std)(link)

-smooth O(n+1,R(std))-space

-transitive

-smooth SO(n+1,R(std))-space

-transitive

-(Borsuk-Ulam Theorem)m<=n, f:UOn->R^m(std), conti이면 te x in UOn s.t. f(x)=f(-x)

-UB2

-te no continuous retraction(cl(UB2),UO1)

-(Brouwer Fixed-point theorem for the disc)f:cl(UB2)->cl(UB2), conti이면 te a fixed point x(즉 f(x)=x인 x in cl(UB2))(link)

-

-UO1VUO1

-FHG(UO1VUO1) giso FP(Z,Z) giso OSDP(Z,Z/2Z) using van-kampen theorem

-GL(1,R)

-GL(1,R)^+

-SL(1,R)

-SO(2,R)

-O(3,1,R)(Lorentz Group)

-SO(n,1,R)

-HSBG

-Functions Spaces to R(std)

-fC(TS,R(std))

-VS(R(std))

-(CMetricS,d_uni)(이걸로 norm은 못만들고...)

-fCbdd(TS,R(std))

-NVS using uniform norm, sup{|f(x)|}

-BS

-(fC(TS,R(std)), d_uni)로 얻은 top=uniform norm으로 얻은 top

-closed in (fC(TS,R(std)), d_uni)

-fCconti(TS,R(std))

-closed in (fC(TS,R(std)), d_uni)

-fCcontibdd(TS,R(std))

-NVS using uniform norm

-BS

-fCcontiV(TS,R(std))

-closed in (fCcontibdd(TS,R(std), d_uni)

-BS

-fCcontiKS(TS,R(std))

-need not be BS(TS=R(std)넣으면 BS안됨)  

 

Mixed Distribution(discrete과 continuous 혼합)의 예

-전구를 갈아끼우고 스위치를 켜면 q의 확률로 전구가 터지고, p(=1-q)의 확률로 전구가 들어온다. 그리고 불이 들어오는 전구의 수명(T)은 지수분포를 따른다고 할 때, 

F(t)=P(T<=t)=0 if t<0,

q, if t=0,

1-p*e^(-1*lambda*t) if t>0

  

*Exercises

*Lagrange's Theorem의 역이 성립안하는 예(link)

*N_G({g})와 N_G(<g>)가 다른 예(link)

*S1S2=S2S1인데 S1 _< N_G(S2)가 아닌 예(link)

*S1S2가 not subgroup of G인 예(link)

*SNS가 not normal in G인 예(link)

*S1 _< N_G(S2)인데 S1 _<! S1S2인 예(link)

*order(g1)<inf, order(g2)<inf인데 order(g1g2)=inf인 예(link)

*G=G, J=NS, conjugation action on J by G, homo by act, homo(g)가 Inn(NS)의 원소가 아닌 예(link)

*homog:G1->G2, homog(G1) is not normal in G2인 예(link)

*모든 원소가 finite order를 갖고, 임의의 자연수 n을 order로 갖는 g가 항상 존재하는 group의 예(link)

*S<G, Aut(S)의 원소이지만, Inn(S)의 원소가 아닌 예(link)

*TS:T2인데 QS(TS,~)가 not T2인 예(link)

*TS:simply connected인데 QS(TS,~)가 not simply connected인 예

*TS:contractible인데 QS(TS,~)가 not contractible인 예

*TS:locally compact인데 QS(TS,~)가 not locally compact인 예

*bdd인 (MetricS,d)가 not totally bdd인 예

*CR에서 (gcd(a,b))랑 ({a,b})다른 예

*ID인데 not ED인 예

*PID인데 not ED인 예

*ID의 원소 r이 irreducible in R인데 not prime인 예

*Maximal subgroup MS가 존재하지 않는 group G의 예, <Q,+>

*f:R^2(std)->R^2(std)로 봐서는 diff인데 not holo인 complex function인 예

*F(a1,a2)인데 simple extension of F인 예

*Grp(V(G),E(G))가 its complement와 same인 예

*F:not perfect, char(F)=p, irreducible inseparable polynomial f(x) in F[x]인 예(link)

*for every proper prime id of ID, P(x):reducible in (ID/id)[x]인데 P(x):irreducible in ID[x]인 예(link)

*for every proper id of ID, P(x):reducible in (ID/id)[x]인데 P(x):irreducible in ID[x]인 예

*finite extension of F인데 not splitting field over F인 예

*NEF of F인데 not SEF of F인 예(link)

*SEF of F인데 not NEF of F인 예(link)

*p=inf일 때 (Lp)^*이 Lq와 not iiso인 예

*R-Md:finitely generated인데 subMd가 not finitely generated인 예(link)

*gSg^(-1) < S (strictly인) 의 예(link)

*homor:R->R인데 not R-md homomorphism의 예(link)

*f:R->R이 R-md homomorphism인데 not homor인 예(link)

*R:ring, M:left R-MD인데 not right R-MD인 예(link)

*DSMT인데 UDSMT인 예(link)

 

*Basic Graph Theory

-G:simple graph, n:order of G, m:size of G, t:the number of triangle of G

-invariant map의 예:order, size, δ(G), d(G), Δ(G), g(G), G(G), components 개수, D(G), r(G), central, 

-sum of all degree = 2m

-the number of vertices of odd degree is always even

-d(G) = 2m/n

-r(G)<=D(G)<=2r(G)(link)

-Every G with at least one edge has a subgraph G' s.t. 2*δ(G') > m(G') >= m(G) 

-Every G contains a path of length δ(G)

-Every G contains a cycle of at least length δ(G)+1(if δ(G) >= 2)

-Every G containing a cycle satisfies g(G) <= 2*D(G) + 1

-if r(G) <= k and Δ(G) <= d, then n <= d * (d-1)^k * 1/(d-2) 

-n >= n_0(δ(G), g(G))

-if δ(G) >= 3, then g(G) < 2 * log_(2)(n)

-if m(G) >= m >= 2 and g(G) >= g, then n >= n_0(m,g)(Alon, Hoory, and Linial 2002)

-(Mader)if m(G) >= 4k, then G has a (k+1)-connected subgraph G' s.t. m(G') > m(G) - 2k(link1)(link2)

-D(G)>=3 이면 D(bar(G)) <= 3(link)

-a_k:dec seq of positive integers with n terms일 때

-a_k:graphical이면

-a_1 <= n-1

-sum over k a_k는 even

-for b_j s.t. a_k majorize b_j, b_j:graphical

-(Characterization of graphical seq, Havel-Hakimi Theorem)

-a_k:graphical

iff a_k의 a_1을 없애고 a_2부터 총 a_1개의 terms에 -1해서 얻은 seq도 graphical

(위 thm을 반복해서 적용, 그러다 negative값이 나오면 not graphical 혹은 graphical한거나오면 됨)

iff sum from i=1 to i=tr(Tb(G)) (a_i + 1) <= sum from i=1 to i=tr(Tb(G)) conj(a_k)_i

(for each i=1,2,...tr(Tb(G)), decdseq(G)_i + 1 = conj(decdseq(G))_i iff G:threshold)

-given fixed n, the graph with the smallest D(G) is K_n, the quantity = 1

-given fixed n, the graph with the smallest md_G is K_n, the quantity = 1

-given fixed n, the graph with the largest D(G) is P_n, the quantity = n-1

-given fixed n, the graph with the largest md_G is P_n, the quantity = (n+1)/3

-G has two vertex having the same degree(link)

-G:self-complementary이면 4|n or 4|(n-1)(link)

-G:bipartite iff G has no odd cycles

-About α(G)(V, independence), τ(G)(V, covering), v(G)(E, matching), γ(G)(V, domination)

-α(G)+τ(G) = n

-ν(G) <= τ(G)

-G:odd cycle이면 ν(G) +1 = τ(G)

-G:even cycle이면 ν(G) = τ(G)

-ν(G) = α(L(G))

-G:isolated-free

-γ(G) <= ν(G)

-G has a minimum dominating set U in which every member u in U has epn(u,U)

-G has a star forest F=(S_n1,...,S_nγ) s.t. every v in V(G) belongs to exactly one star, and the centers of the stars form a minimum dominating set.

-About DfG

-Bipartite

-

-About Split Graph

-About cograph, G:cograph

-any cograph may be constrcted using complement and disjoint union

-cograph is closed under complement, finitely many disjoint union

-bar(G):cograph

-G1:cograph, G2:cograph이면 G1+G2도 cograph

-any connected cograph is a join of two graphs(왜냐하면 G1VG2 = bar(bar(G1) + bar(G2))

-Any Cograph is L-integral

-About Threshold Graph

-G:split and cograph, then G:threshold graph

-(Criteria of threshold)if G:threshold, then decdseq(G)_(i+1) = conj(decdseq(G))_i for all i > tr(Tb(G))

-(Characterization of Threshold Graph)G:Threshold

iff G:obtained from K_1 by a seq of operations (i) add an isolated vertex, or (ii) take the complement

iff G:obtained from K_1 by a seq of operations (i) add an isolated vertex, or (ii) add an dominating vertex

iff decdseq(G) is not majorized by any other decdseq

iff for each i=1,2,...tr(Tb(G)), decdseq(G)_i + 1 = conj(decdseq(G))_i

-About genus

-(Euler's Formula)G:connected with genus(G)=0이면 n - m + r = 2, where r:the number of region from G

(증명은 induction on m, G:tree일때와 아닐 때로 구분)

-if G with genus(G)=0

-m <= 3n - 6(즉 no crossing edges로 그래프 그릴려면 m이 그렇게 클 수가 없음)

-δ <= 5

-if G:maximal planar

-every region is bounded by three edges

-every vertex v is the center of a wheel subgraph induced by v and all vertices adjacent to v.

-δ >= 3

-(Kuratowski's Theorem, Criteria of Planar)

:G가 planar iff G does not contain K_5, K_(3,3), or any subdivision of K_5, or K_(3,3) as a subgraph.

 

 

 

 

-About subgraph

-Every graph G with at least one edge has a subgraph G' with δ(G') > d(G')/2 >= d(G)/2(link)

-G:eulerian iff G:connected and d(vi):even for all i

-for r:even, G:r-regular이면 G has a 2-factor

-t(G)=t(G-e) + t(G with e) for any edge e

-About generated graph

-bar(K_p)Vbar(K_q)=K_(p,q)

-Every topological minor of G is minor of G(역 성립 안함)

-bar(G1+G2) = bar(G1) V bar(G2)(드모르간 같음)

-bar(G1VG2) = bar(G1) + bar(G2)(드모르간 같음)

-G':sub

-(Characterization of Line Graph)

G:line graph

iff E(G) can be partitioned into a set of cliques with the property that any vertex lies in at most two cliques.

(G에서 pendant말고 다른 vertex생각해보면 그때마다 cliques in L(G)생김)

iff each induced subgraph of G on at most six vertices is a line graph

-(Whitney's Line Graph Theorem)G1:Connected and G2:connected일때

G1 graph-iso G2 iff L(G1) graph-iso L(G2) except for G1=K_(1,3), G2=K_3

-δ(G1)>=4 and δ(G2)>=4이면(connected일 필요 없음) G1 graph-iso G2 iff L(G1) graph-iso L(G2)

-G:connected이면 L(G):connected(역은 성립안함)

-G:connected이고 L(G):regular이면 G:regular or semiregular bipartite

-G:connected이고 G graph-iso L(G)이면 G:cycle

 

 

 

-L(G)의 예

-L(K_(1,n))=K_n

-L(P_(n+1))=P_n

-L(C_n)=C_n

-L(G)의 구조

-|V(L(G))| = m

-|E(L(G))| = 1/2 * [sum over i~j (d(vi)+d(vj)-2)] = (1/2 * {sum of all d(vi)^2}) - m

-G=L(G) and G:connected인 것은 C_n뿐(link)

-About quasi-line graph

-G:L(G') for some G'이면 G:quasi-line graph

-G:quasi-line graph이면 G:claw-free

-About Connectivity

-About tree

-G:tree이면

-m=(n-1)

-G has at least Δ(G) leafs, n>=2

-bipartite, 따라서 bipartite성질을 모두 따른다.

-for vi~vj, d(vi)+d(vj) <= n

-center가 1개 or 2개 존재함(증명은 leaf를 없앨 때마다 e(vi)가 -1 그래서 계속 없애다보면 center되는 애나 애들만이 남음)

-edge1개 지우면 component는 정확히 2개, 각각은 다시 tree됨

-d(vi)=s인 vi를 지우면 components는 정확히 s개, 각각은 다시 tree됨

-항상 {v1,v2,...,vn} enumerate가능 s.t. G[{v1,v2,...,vi}]:connected for every i=1,2,3,..,n and vi has a unique nbd in {v1,v2,...,vi-1}

-For any a in N, te v in V(T) s.t. te! component C of T - v with |C| <= max(n-1-a,a) and all other components C_i of T - v with |C_i| <= a(link)

 

 

-G:tree(connected acyclic)(link1)(link2)(link3)(link4)(link5)

iff G:1-edge-connected , i.e. minimally connected

iff G+e have a cycle

iff G:connected with n-1 edge

iff for any vi, vj in G, te! path from vi to vj

-About Binary Tree

-te 1/2 * (n+1) vertices s.t. degree=1

-m>=1/2*(n-1)(n-2) + 1이면 G:connected(link)

-δ(G)>1/2*n - 1이면 G:connected(link)

-G:disconnected이면 bar(G):connected

-G:connected이면

-n >= D(G) * δ(G) * 1/3

-항상 {v1,v2,...,vn} enumerate가능 s.t. G[{v1,v2,...,vi}]:connected for every i=1,2,3,..,n

-G contains a normal tree with any specified vertex as its root(root에서 시작해서 아직 안가본 any vertex로 edge따라 이동, 만약에 그런 점이 없을 경우가 오면, 현재 그 점에 가장 처음에 왔던 edge를 따라 이동, 그리고 그런 점이 없을 경우가 root가 된다면 stop, 이렇게 얻은 tree가 normal이 된다.)

-G contains a normal spanning tree with any specified vertex as its root.

-G has at least n-m connected components(link)

-G:connected이면 m >= n-1

-κ(G) <= λ(G) <= δ(G)(link)

-About cutvertex

-(Characterization of cutvertex)G:connected일 때 TFAE

-v:cutvertex

-te u,w in V(G) s.t. u != v and w != v and u lies on every path from u to w .

-v:a point of articulation of G

-About κ(G)

-κ(P_n) = 1

-κ(C_n) = 2

-κ(tree)=1

-About λ(G)

-λ(P_n)=1

-λ(K_n)=n-2

-λ(C_n)=2

-λ(tree)=1

-About hypergraph

-About Directed

-If dG:acyclic, then [n]로 level assign, with no two vertices have the same level, and if vivj is in E(dG) then ni<nj, 가능!

-If dG:acyclic with a longest path of length k, then k+1 is the smallest number of levels in any level assignment of dG

(즉, dG가 acyclic이면 |longest path|+1개의 숫자써서 level assign가능)

-dG* has no loops

-dG* has no closed directed walks(link)

-TFAE

-dG has no cycles

-every strong components of dG consists of one point

-dG is isomorphic to dG*

-dG and dG* have the same number of points

-Every walk is a path

-It is possible to order the points of dG so that AdMT(dG) is UMT(link)

-It is possible to assign levels ni to the points vi in such a way that if vivj is in E(dG) than ni<nj

-dG^t has no loops, asymmetric(arc (a,b)가 있으면 (b,a)는 없음), transitive

-About competition graph C(dG)

-(Opsut 1982)It is an NP-complete problem to compute c#(G)

-c#(G) >= cec(G) - n + 2

-If G without K_3, then c#(G) >= m - n + 2

-If G without K_3 and conncected, then c#(G) = m - n + 2

-Every chordal graph G has c#(G) <= 1 with = iff G has no isolated vertices

-Every interval graph has c#(G) <= 1

-(Opsut 1982)c#(G) <= cec(G)

-(Opsut 1982)c#(G) >= min over vi cvc(N_G(vi)), N_G(vi)를 induced subgraph of G로 보고 계산

-If G is L(G') for some graph G', then cvc(N_G(vi))<=2

-If G is L(G') for some graph G', then c#(G) <= 2 with = iff every v in V(G), cvc(N_G(v)) = 2

-About Matching

-M:maximum matching iff G has no M-augmenting path(link)

-(First Tutte's Theorem)G has a perfect matching iff for any subset U of V(G), odd(G-U)<=|U|

-for every component C with odd order and v in V(C), C - v has a perfect matching

-(Tutte-Berge Formula)ν(G) = 1/2 * min over U:subset of V(G) {(|U| + |V(G)| - odd(G-U))}

-(Konig's Matching Theorem)G:bipartite이면 ν(G) = τ(G)(link)

-(Hall's Marriage Theorem)G:bipartite with partition (A,B) of V(G)일 때, 

te M covering A iff for any subset U of A, |N_G(U)|>=|U|(link)

(Marriage Theorem이라 불리는 이유는 다음과 같은 상황을 생각하자. A:남자들의 모임, B:여자들의 모임, 각 남자 mi는 결혼하면 행복할 여자들 Bi가 존재한다. (즉, Bi:nonempty subset of B) 그리고 여자들은 자기를 좋아해주는 남자와 결혼하면 행복하다고 하자. 이때 모든 남자들이 행복한 결혼생활을 할 수 있게 matching시켜줄 수 있는 필요충분조건을 제시함)

-(Gale-Shapley Theorem)Every bipartite graph has a stable matching

-for r>=1, G:r-regular bipartite이면 G has a perfect matching

-G:3-regular and has no bridge이면 G has a perfect matching

-About Coloring

-col(G) = deg(G) + 1

-χ(G) <= χ_l(G) <= col(G) <= Δ(G) + 1.

-χ(G) <= aχ(G)

(aχ(G) and col(G) are incomparable)

-About k-color-critical

-G:k-color-critical이면

-δ(G) >= k-1

-About Homomorphism, Automorphism, Group etc

-Aut(G)=Aut(bar(G))

-χ(G)=the minimum number a s.t. te f:homomorphism from V(G) to V(K_a)

-End(G)는 monoid가 된다.

-Aut(C_n) giso D_2n(아마도?)

-S_[v] <= Aut(J(v,k,i)), as a subgroup

(사실 = 일 때가 많다, 증명은 어렵지만)

-n!/|Aut(G)| = |isomorphism class of G| (즉, vertices개수가 n인 graph중에서 G와 isomorphic인 애들의 개수)

-About Matrices

-MT:irreducible iff dG(MT):strongly connected(link)(other link)

-About Space of a graph

-Let E be a subset of E(G). Then TFAE

-E is in CS(G)

-E is a disjoint union of cycles in G(empty일 수도)

-all vertex degree of (V,E) is even

*Applications

*Combinatorics

-About counting, p:permutation on J, |J|=n, P:permutation groups on J

-def

-the cycle index monomial of p is a monomial in variables a_i, prod over j=1 to j=n a_j^b_j, where a_j:variables, b_j:p를 cycle decomposition했을 때 길이가 j인 cycle의 개수

-ex) p=(1)(234)(5)(67)인경우 the cycle index monomial of p = a_1^2 * a_2^1 * a_3^1

-the cycle index polynomial of P := 1/|P| * sum over p in P (the cycle index monomial of p)

(즉, the average of the cycle index monomials of its elements)

(어떤 permutation on J는 permutation on J'으로 바꿔서 생각할 수 있다. 가령 C_4:반시계 방향 rotation, e, 90, 180, 270, 같은 경우 J={1,2,3,4}에서 action을 생각할 수도 있지만, J'={{1,2}, {2,3}, {3,4}, {1,4}}, J는 Square 1개에 각 꼭짓점에 시계방향으로 1,2,3,4를 새긴 경우, J'은 같은 square의 선분을 가리킴

the cycle index polynomial of C_4 on J와 the cycle index polynomial of C_4 on J'은 다르다.

전자는 C_4의 원소를 J에서의 permutation으로 보고, 후자는 C_4의 원소를 J'에서의 permutation으로 본다.)

(따라서 the cycle index는 단순히 Group에만 의존하는게 아니라 Group action에 의존, 즉 acting되는 set도 중요)

(Z(G,X)라 쓰도록 하자.)

-G acts on X일 때, for each x in X, wt:X->Y s.t. wt(x)=wt(gx) for all g in G, 즉 X의 orbit은 같은 값가지는 function

-ex)G=C_4, X={all squares with each vertex with colored black or white}, wt(x)=b^i * w^j, where i=# of blacks, j=# of whites

-G acts on X with wt, wt(Orbit)=wt(x) for some x in Orbit, well-defined

-G acts on X with wt, the wt enumerator := sum over all orbit O wt(O)

-thm

-(Burnside Lemma)

G acts on X일 때 the number of orbits = the average number of points fixed by an element of G(link)

-(Weighted Version of Burnside Lemma)

G acts on X with wt일 때 the wt enumerator = the average wt of points fixed by an element of G(link)

-(Polya Enumeration Theorem)(link)

-G acts on X, Y=finite colors={c_1,c_2,...,c_k}, then G acts on Y^X

-G acts on Y^X with wt:=prod over i=1 to i=k c_i^d_i, where d_i:=# of c_i in element of Y^X일 때

the wt enumerator := Z(G,X) with a_i replaced by (c_1^i + c_2^i + ... + c_3^i)

(좌변을 구하기 위해서 우변을 이용하란 의미고, 우변의 전개식에서 원하는 (c_1^d_1, c_2^d_2,..., c_k^d_k)조합의 계수를 읽어 냄으로써 counting

-Examples, Burnside, Weighted Burnside, Polya 구분하기 위한 예제모음

-회전하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 4명의 사람 배열, 서로 다른 배열의 개수?

->Burnside, G=C_4, X={일렬로 4명을 배열한 모든 경우}, |X|=24, the number of orbits이 답,

1/4*4!=3!

-회전하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 각 꼭짓점에 black, white 둘중 1개 색칠, 서로 다른 배열의 개수?

->Burnside, G=C_4, X={일렬로 4개의 점을 색칠한 모든 경우}, |X|=16, the number of orbits이 답,

1/4*(16+2+4+2)=6

-회전하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 각 꼭짓점에 R,G,B 셋중 1개 색칠, 서로 다른 배열의 개수?

->Burnside, G=C_4, X={일렬로 4개의 점을 색칠한 모든 경우}, |X|=3^4=81, the number of orbits이 답,

1/4*(3^4 + 3 + 3^2 + 3)=24

-회전하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 각 꼭짓점에 R,G,B 셋중 1개 색칠, (R,G,B)=(2,1,1)개 사용된 서로 다른 배열의 개수?

->Polya, G=C_4, X={1,2,3,4}, Z(G,X)구한 다음 a_i에 (r^i + g^i + b^i)대입하여 r^2g^1b^1의 계수구하면 됨

-회전 및 대칭하여 같으면 같은 것으로 간주, 정사각형에 각 꼭짓점에 R,G,B 셋중 1개 색칠, (R,G,B)=(2,1,1)개 사용된 서로 다른 배열의 개수?

->Polya, G=D_8, X={1,2,3,4}, Z(G,X)구한 다음 a_i에 (r^i + g^i + b^i)대입하여 r^2g^1b^1의 계수구하면 됨

-About gf

-Motive:

sequence자체나 recursive formula는 양이 너무 많다. 따라서 대응되는 gf의 explicit는 간단하고 정보를 다 담고 있다.

-Basic

-From {a_n} to gf

-recursive formula 양변에 적당히 x^sth을 곱하고 더하고 하면 얻을 수 있다.

-From gf to {a_n}

-partial fraction

-About prod of gf

-A(x):gf_{a_n}, B(x):gf_{b_n}, C(x):gf_{c_n}, where c_n:=the cauchy prod of a_n and b_n일 때

A(x)B(x)=C(x)

-A(x):gf_{a_n}, B(x):gf_{b_n}, C(x):gf_{c_n}, D(x):gf_{d_n}, where d_n:=...일 때

A(x)B(x)C(x)=D(x)

-About composition of gf

Case 1(link)

a_n:=# of ways to build a certain structure on a set E, |E|=n, a_0 = 0

h_n:=# of ways to split [n] into an unspecified number of disjoint nonempty intervals, then build a structure of the given kind on each of these intervals, h_0 = 1

Then A(x):gf_{a_n}, H(x):gf_{h_n}일 때 H(x)=1/(1-A(x))

Case 2(link)

a_n:=# of ways to build a certain structure on a set E, |E|=n, a_0 = 0

b_n:=# of ways to build a second structure on a set J, |J|=n, b_0 = 1

g_n:=# of ways to split [n] into an unspecified number of nonempty intervals, then build a structure of the given kind on each of these intervals, and then build a structure of the second kind on the set of the intervals, h_0 = 1

Then G(x) = B(A(x))

-분할 관련

-gf_#ptt(n)(x) = sum over n>=0 #ptt(n)x^n 

= prod over n>=1 1/(1-x^n) = (ef(x))^(-1)(link)(link, 수렴성관련)

=1+ sum over k>=1 q^k / (1-q)(1-q^2)...(1-q^k)

=1+ sum over k>=1 q^k / (1-q^k)(1-q^(k+1))...(link)

-ef(q) = gf_(#ptt(n) with distinct even parts - #ptt(n) with distinct odd parts)(q)

-(PTT, <_lexi):total order

-(PTT, <_d):partial order

-{ptt s.t. ptt=ptt(n)}

bijective {conjugacy classes of S_[n]}

bijective {irreducible characters of S_[n]}

bijective {Ferrar diagram, boxes 개수 = n}

-gf_#ptt(n)_o = gf_#ptt(n)_d (link)

-ptt(n)_o = ptt(n)_d

-Q-analogue관련

-DF(m,n)_q관련

-analytic on unit disk on C

-(Pentagonal Number Theorem)DF(q,inf)_q = ef(q) = sum over k in [-inf,inf] (-1)^k * q^P(5,k)(link)

-Polygonal Number관련

-P(5,n)=(3n-1)*n*1/2

-

-Tableaux관련

-(Hook Length Formula)shape을 보고 가능한 ST를 count하는 formula, link참조(link)

-SST:associative monoid

-x _r> sst is a sst

-(Inverse Process of Row bumping)

:added box의 위치와 그 숫자(y)를 안다면, inverse가능(원래 sst와 무엇을 insert했는지 알 수 있음)

-y의 row 바로 윗 row에서 y보다 작은 놈들 중 가장 오른쪽에 있는 놈을 y로 바꾸고 원래 y'을 그 윗 row에 apply

(Inverse Process of Column bumping도 가능)

-(Robinson-Schested Correspondence, RS-correspondence)

:Row or Column bumping이 inversible이므로 다음의 Bijection을 얻는다. {all words of length n} bijective SST_(ptt(n)) x ST_(ptt(n)) for any ptt(n) in PTT(n)

-{all words of length n on [n]} bijective ST_(ptt(n)) x ST_(ptt(n)) for any ptt(n) in PTT(n)

-(Row Bumping Lemma)for a sst, a _r> sst with bumping route R_a by a and new box A, b _r> (a _r> sst) with bumping route R_b by b and new box B

:if a<=b, then R_b is strictly right of R_a 이고 B:strictly right of A 이고 B:weakly above A

:if a>b, then R_b is weakly left of R_a 이고 B:weakly left of A 이고 B:strictly below A

(한 경우만 외우면 나머지는 완전 반대임)

-sliding of skew sst is also skew sst

-계속하면 sst를 얻음

-(Inverse Process of Sliding)

:sliding의 result와 removed된 empty box의 마지막 위치를 안다면 inverse가능

-empty box의 left, above를 비교하여 큰것과 위치이동, left와 above가 같다면 above를 이동

-(Unique of Rect(skew sst))for any skew sst, any choice of series of inside corners, the result sst is same.

-for any sst, positive integer x, word_r(x _r> sst) is knuth equivalent to word_r(sst)x

-word_r(sst1*sst2 using def1) is knuth equivalent to word_r(sst1)word_r(sst2)

-sliding해도 word는 knuth equivalent

-Rect(skew sst) is the unique sst s.t. word_r(sst) is knuth equivalent to word_r(skew sst)

-Every word is knuth equivalent to the word of a unique sst

-word=x1x2x3...xk인 경우 xk _r> (...(x2 _r> x1)...)인 sst의 word와 knuth equivalent, 이 sst를 sst(word)라 쓰자.

(construction of sst는 위의 방법대로 하면되는데 uniqueness is not obvious)

-If word_r(skew sst1) is knuth equivalent to word_r(skew sst2), then Rect(skew sst1) = Rect(skew sst2)

-About TbR_[m]

-Z-Md, associative ring, not commutative

-TbR_[m] riso to Z[x1,x2,...xm] and as Z-Md, using f:TbR_[m]->Z[x1,x2,...,xm] f(sst)=x^sst

-K_(shape, weight)를 해석하는 방법

-정의대로, shape, weight를 가지는 sst 개수

-shape을 weight=(a1,a2,...,al), l개로 partition하는 방법의 수, 

-(Stirling's Formula)

:lim n->inf n!/{(sqrt(2*pi*n) * n^n * e^(-n)}=1, 즉 n!을 근사할 수 있음

-proof(using PD(1) and chf)(link1)(link2)

*Topological Vector Space(NVS는 따로, TVS, LCTVS, LBTVS, LKTVS까지 정리)

-TVS에서

-Basic Properties(X:TVS(F), x in X, U:open in X, E:subset of X, a in F)

-(a1+a2)E<a1E+a2E

-translation by x는 X->X인 homeo이다.

-따라서 x+U은 open, E+U도 open(for any subset E)

-local basis for 0만 알면 사실상 top모든 원소 다 아는 셈

-multiplication by a는 X->X인 homeo이다.

-aU도 open

-if U:nbd(0), then aU:nbd(0)

-f:F^n x X^n -> X, f((a1,a2,...,an),(x1,x2,...,xn))=sum of aixi일 때 f는 conti

-X:T2 iff every singleton subset is closed

-다음의 성질을 만족하는 local basis for 0(B_0)는 항상 존재

-if U1 in B_0, te U2 in B_0 s.t. U2+U2<U1 and U2:symmetric(induction쓰면 U2+U2+...+U2<U1도 가능)

-if E1,E2 in B_0, te E3 in B_0 s.t. E3<E1교E2(Basis로써 성립해야됨)

-if x in E1 in B_0, te E2 in B_0 s.t. x+E2<E1(translation이 homeo니까)

-if x in X and E1 in B_0, te a in F s.t. x in aE1(absorbing이란 소리)

-if E1 in B_0 and 0<|a|<=1, aE1<E1 and aE1 in B_0(balanced란 소리)

-(X가 T2이면)intersection of all E1 in B_0 = {0}

-X:T2이면 T3도 된다.

-cl(LS):LS

-LCTVS에서

-LBTVS에서

-LKTVS에서

-f-dim

-TVS(F):T2 iff every singleton is closed

-TVS(F)에서 || ||은 conti이다.(? || ||이란 norm인것 같은데 어떤 norm을 가리키는거지? 나중에 체크)

-f-dim LS는 closed이다.

-F=R(std)일 때만 되는 것들

-R(std)에 norm을 줄 수 있으므로 TVS(R)는 NVS(R)된다.

-F=C일 때만 되는 것들

-C에 norm을 줄 수 있으므로 TVS(C)는 NVS(C)된다.

*Normed Vector Space

-기본적인 성질들

-NVS에서 vector addition, scalar multiplication, || ||은 conti이다.

(Every NVS is TVS)

-cl(LS)도 LS(link)

-|| ||_1과 || ||_2가 equivalent하면 같은 topology를 만듦

-NVS:f-dim 

iff every closed and bdd subset is compact(link)

-f-dim NVS인 경우

-모든 norms은 equivalent(link)

-dim(NVS)=n이면 NVS tiso R^n(std)

-dim(NVS1)=dim(NVS2)=n이면 NVS1 tiso NVS2

-reflexive

-|| ||_1과 || ||_2가 equivalent하면 (NVS,|| ||_1)과 (NVS, || ||_2)는 tiso

-VS가 || ||_1에서 BS가 되고, || ||_2에서도 BS가 된다면, || ||_1과 || ||_2가 equivalent iff te C>0 s.t. ||x||_1 <= C||x||_2 for any x in VS

(즉 각 norms에서 complete되는 norms끼리는 equivalent 판단을 한방향으로만 보여도 된다.)

(증명은 identity를 이용하여 Open Mapping Theorem 적용)

-(Completion of Normed Vector Space)Every NVS has unique completion up to iiso

completion_of_nvs.PDF

 (구체적으로는 BS가 존재 s.t. f:NVS->BS linear, injective, isometry, f(NVS):dense in BS인 f가 있는 것)

(혹은 dd(NVS(F))와 Ev_NVS(F)를 생각해서 Ev_NVS(F)(NVS(F))<dd(NVS(F))이고 dd(NVS(F))가 BS인건 아니까, cl(Ev_NVS(F)(NVS(F)))생각하면 됨)

-(Riesz's Lemma)(link)

:For S:proper closed linear subspace of NVS, let 0<a<1, te x_0 in NVS s.t. ||x_0||=1 and diam(x_0,S)>=a

(a=1일땐 성립 안함)

-for X:nvs1, Y:nvs2, XxY:nvs with norm ||(x,y)||:=||x||_1 + ||y||_2

-이 때 XxY:BS iff X:BS and Y:BS

-Space, subspace관련

-어떤 subsets을 포함하는 가장 작은 top생각가능(즉, top의 intersection은 top됨)

-top들의 collection에 의해 generated top도 생각가능

-Order Topology관련

-T4(따라서 T3,T2 이런 것도 다 됨)

-least upperbound property가 성립 iff 모든 closed interval(not singleton)은 compact

-linear continuum가 성립 iff TS가 connected

-linear continuum이 성립할 때 구체적으로는 

-V는 connected이고 따라서 전체집합, intervals, rays모두 connected됨

-locally compact

-T4

-well ordered인 경우(least upper bound가 성립)

-T5

-Subspace관련

-From TS to S

-모든 S에 대하여

-strict total order relation

-open

-closed

-basis

-closure(E<S, cl(E) in S =cl(E) in TS intersection S)

-T2

-T2.5

-T3

-T3.5

-CN

-T5

-f:X->Y, conti, S<X이면 g:S->Y도 conti

-f:X->Y, conti, f(X)<S1<Y이면 g:X->S1도 conti

-first-countability

-second-countability

-covering map(f:TS1->TS2, covering map일 때 TS2의 subspace S2를 잡고,f:f^(-1)(S2)->S2가 covering map도 된다는 것)

-S가 open in TS일 때만

-LKT2(LK만 되는지는 모름)

-S가 closed in TS일 때만

-compact

-paracompact

-LK

-lindelof

-T4

-기타

-S with induced order은 S as subspace랑 다르다. (S가 convex in TS이면 가능)

-From S to TS

-모든 S에 대하여

-f:X->S, conti, S<Y이면 g:X->Y도 conti

-S가 open in TS일 때만

-open

-S가 closed in TS일 때만

-closed

-NTS

-Product관련

-Prod(S_i) = subspace of Prod(TS_i)

-From TS_i to Prod(TS_i) (곱이 countable개이냐 아니냐/product top이냐 box top이냐 구분)

-open(box top에서만 됨)

-closed

-basis

-T2

-T3

-T3.5(product top에서만 됨)(link)

-f:TS->Prod(TS_i)의 conti(product top에서만 됨)

-seq의 수렴성(product top에서만 됨)

-connected(product top에서만 됨)

-(Tychonoff's Theorem)compact(product top에서만 됨, product를 uncountable개 하더라도)

-path-connected(product top에서만 됨)

-TS1,TS2:path-connected일 때 FHG(TS1xTS2,x1,x2) giso FHG(TS1,x1)xFHG(TS2,x2)

-Countable Prod일 때

-first-countability

-second-countability

-separable

-metrizable

-complete

-totally bdd(각 TS_n가 MetricS)

-Finite Prod일 때

-covering map

-From Prod(TS_i) to TS_i

-Using projection

-open

-f:TS->Prod(TS_i)의 conti

-seq의 수렴성

-metrizable

-connected

-T2

-T3

-T4

-Quotient Space, QS(TS,~)관련

-From TS to QS(TS,~)

-TS:connected이면 QS(TS,~):connected

-TS:path-connected이면 QS(TS,~):path-connected

-TS:locally connected이면 QS(TS,~):locally connected(link)

-TS:compact이면 QS(TS,~):compact

-TS:T3이고 E:closed in TS이면 QS(TS,E):T2(T3가 아니라 T2가 맞음)

-TS:T4이고 E:closed in TS이면 QS(TS,E):T4

-From QS(TS,~) to TS

-QS(TS,~):connected, 각 class가 connected in TS이면 TS도 connected

-LKT2관련

-LKT2의 해석방법

-compact nbd 

-pre-K open set

-TS1:LKT2 iff te TS2 s.t. TS1<TS2 and TS2-TS1 is singleton and TS2:KT2(link)

(TS1:LKT2일 때, TS2를 ocl(TS1)이라 표기하기로 하자. 왜냐하면 추가한 point가 TS1의 limit pt가 됨)

(TS2는 유일 up to homeomorphic)

(TS1:open subspace of ocl(TS1))

-E1:open containing x일 때, te E2:open containing x s.t. E2:pre-K, cl(E2)<E1(link)

-E1:open containing K일 때, te E2:open containing K s.t. E2:pre-K, cl(E2)<E1

-Baire

-CGT

-T3

-T3.5

-KT2관련(KT2도 일단 LKT2이므로 LKT2의 성질들 만족)

-isolated pt가 하나도 없으면 uncountable space이다.(link)

(isolated pt란, {pt}:open일 때, 그 pt를 isolated pt라 한다.)

-BaireS(link)

-LKT2됨(LKT2 성질들 다 만족)

-T3

-T4

-Metrizable iff second-countable

-CGT관련

-CGT의 예:LK, K, first-countable, MetricS

-f:CGT->TS가 for any K, restriction of f on K is conti이면 f는 conti

-Retract of TS관련

-TS:T2이면 Retract of TS:closed in TS(link)

-Classification of Surfaces

-Polygonal region을 pasting edges해서 얻은 space는 T2 compact connected surface가 된다.

(quotient는 compact,connected을 preserve하고, 원래 polygonal region이 2-dim이므로)

(finite polygonal regions이면 connected빼곤 다됨, quotient가 closed map이므로 T2 preserve함)

-만약 모든 vertex가 1개의 vertex로 mapping되면(by quotient), 얻어진 surface의 FHG는 

FP(Z, label개수만큼)/<scheme을 한바퀴 돈것>

-two schemes가 equivalent란, 얻어진 quotients가 homeo일 때

-scheme연산(equivalent를 얻는) 것으로는

-cut

-paste

-relabel

-permute

-flip

-cancel

-uncancel

-한개의 polygonal region으로 만든 T2 compact connected surface는 homeo S2 or n-fold torus or m-fold projective plane

-compact surface관련

-모든 compact surface는 triangulable

-모든 connected compact surface는 하나의 polygonal region을 pasting edges해서 얻을 수 있다.

-따라서 connected compact surface는 classification됨

-{n-fold torus, n=1,2,3,..} bij {compact orientable Riemann Surfaces}

-Subset관련(open, closed, compact, connected, convex, dense...)

-operation on subset관련

-cl은 monotone, commute with finite union, product

-cl취해도 변하지않는 성질들

-connected

-diam

-E의 interior, exterior, boundary는 TS를 partition함, 이때 interior, boundary는 cl(E)를 partition함

-(cl(E))^c = int(E^c)  /  (int(E))^c =  cl(E^c) (드모르간 법칙 같네)

(따라서 Baire Space의 정의를 closed sets이용해서 state할 수 있고, 혹은 open sets을 이용할 수도 있다.)

(E:dense in TS iff E^c has empty interior)

-Bd(E) = empty iff E:open and closed

-Limit point관련

-E1<E2, x:limit point of E1이면 x:limit point of E2

-Connected관련

-C가 connected TS란, 

-there is no separation이 정의

(separation (U,V)란, U와 V가 disjoint, nonempty, open, union=TS을 가리킴)

-empty set is connected

-every singleton subset set is connected

-separation G1,G2에 대해 G1의 limit pt는 G2에 속하지 않는다. (G2의 limit pt는 G1에 속하지 않는다.)

(즉 Separation은 separated sets이다.)

-TS:connected iff te no separation

-TS:connected iff clopen sets은 TS랑 empty뿐

-G1,G2:separation of TS, S:connected이면 S<G1 or S<G2

-S_i가 connected일 때, union S_i도 connected(단 common pt가 있을 때)

-(Intermediate Value Theorem)f:C->TS with order top, conti이고 f(a)<r<f(b)이면 te c in C s.t. f(c)=r

-connected component는 closed이다.

(open일 때도 있는게, component가 유한개거나, locally connected이면 된다.)

-path-connected관련(connected임을 보이는 쉬운 방법중 하나)

-TS:path-connected이면 connected이다.(역은 성립 안함)

-S_i가 path-connected일 때, union S_i도 path-connected(단 common pt가 있을 때)

-path-connected components는 connected components에 포함된다.

(S:path-connected라해서 cl(S)가 path-connected인 것은 아니다.)

(path-connected component는 closed일 필요도 없고 open 일 필요도 없다.단, locally path-connected이면 open은 된다.)

-totally disconnected관련

-Compact관련

-empty set은 compact

-compact set is closed if TS:T2

-모든 singleton set은 compact

-TS:compact iff every collection of closed sets in TS having finite intersection property, intersection of all elements in the collection is nonempty

-finite union of compact is compact

-LK

-CGT

-(Tube Lemma)

-TS1xTS2, TS2:compact, N:open in TS1xTS2 containing x_0 x TS2이면 te E s.t. N contains ExTS2, x_0 is in E, E:open in TS1

(꼭 N이 x_0 x TS2를 contain할 상황 말고도 subset x TS2형태를 contain하더라도 적용가능, 얻은 E를 union해버리면 되므로) 

-S1<TS1, S2<TS2, S1과S2 둘다 compact, N:open in TS1xTS2 containing S1xS2이면 te E1,E2 s.t. E1:open in TS1, E2:open in TS2, S1xS2 < E1xE2 < N(link)

(두번째 것이 첫번째 것을 포함하지만, 첫번째 것만으로도 자주 나오니 구분해서 적음)

-(Extreme Value Theorem):f:K->TS with order top, conti이면 te c,d in K s.t. f(c)<=f(x)<=f(d) for all x in K

-비슷한 compact관련

-compact이면 limit point compact이다.

-compact이면 lindelof이다.

-Metrizable일 땐, compact=limit point compact=sequentially compact

-limit point compact의 closed subset은 limit point compact

-paracompact관련

-TS:metrizable이면 paracompact

-TS:RTS and lindelof이면 paracompact

-TS:T2 and paracompact이면 

-TS:T4

-for any finite open cover {E_i}, te a partition of unity on TS dominated by {E_i}

-smooth mnf는 paracompact

-Convex관련(오직 Strict Total Order Relation을 가진 E에서만 생각)

-Local Property관련

-Locally Connected관련

-TS:locally connected iff every connected components of every open in TS is open

-Locally Path-Connected관련

-TS:locally path-connected iff every path-connected components of every open in TS is open

-TS:locally path-connected이면 path-connected component=connected component, 게다가 open(link)

-Locally Compact관련

-E:compact->E:locally compact

-Locally Homeomorphic관련

-every homeomorphism is local homeomorphism

-local homeomorphism은 open map, conti(link)

-bijective local homeomorphism은 homeomorphism

-f:TS1->TS2, local homeomorphism일 때 preserve하는 성질들

-TS1이 locally path-connected이면 f(TS1)도 locally path-connected

-TS1이 locally connected이면 f(TS1)도 locally connected

-TS1이 locally compact이면 f(TS1)도 locally compact

-TS1이 first-countable이면 f(TS1)도 first-countable

-Countability관련

-first-countable관련

-TS:가 first-countble이고 E<TS일 때 x:limit point of E이면 te {x_n} in E s.t. cv to x(역은 first-countability아니어도 성립)

-f:X->Y, X가 First-Countability이면 Sequentially conti->conti

-TS:first-countable이면 TS는 CGT

-Second-Countable관련

-TS:second-countable이면 모든 discrete subspace는 countable이다.

-second-countable이면 separable이다.(metrizable이면 역도 성립)

-second-countable이면 lindelof이다.(metrizable이면 역도 성립)

-second-countable이면 first-countable이다.

-TS:second-countable이고 E:uncountable이면 uncountable many pts in E는 E의 limit pt이다. 

(즉 second-countable이면 uncountable E들은 limit pts를 uncountable개 갖는다 in E)

-Lindelof

-countable TS이면 lindelof이다.

-compact이면 lindelof이다.

-Separable

-TS:separable이면 every collection of disjoint open sets는 countable

-Separation관련

-포함관계

-T0>T1>T2>T2.5>CT2>T3>T3.5>T4>T5>T6

-R>CR

-N>CN>PN

-T0(2pt, topologically distinguishable)관련

-T1(2pt, separated, separated란 each가 cl(the other)와 disjoint, or open sets으로도 해석 가능)관련

-(iff)모든 finite set은 closed

-E의 limit L iff open(L) intersection E는 infinitely many pts을 포함

(first-countability는 L을 포함하는 open set의 개수가 countable개 있음을 보장해주고, T1은 intersection의 원소가 무한개임을 보장해준다.)

-T2(2pt, separated by open nbd)관련

-seq의 limit은 기껏해야 1개

-TS:T2S iff TSxTS의 diagonal은 closed in TSxTS

-compact subspace는 closed됨

-compact와 pt는 separated by open nbd

-2 compact는 separated by open nbd

-f:TS1->TS2 conti, g:TS1->TS2 conti, TS2:T2일 때, {x in TS1|f(x)=g(x)}는 closed in TS1

(따라서 f:TS->TS conti, TS:T2일 때, fixed points의 모임은 closed in TS됨)

-T2.5(2pt, separated by closed nbd)관련

-CT2(2pt, separated by conti function)관련

-R(closed와 pt, separated by open nbd)관련

-(iff)closed와 pt에 대해 separated by closed nbd

-(iff)for any x in TS, any open U containing x, te open V containing x s.t. cl(V)<U

-(T1도 되면)T3라 한다.(T0,T1,T2 중 어느것이 되도 상관없음, 이후 일관성 때문)

-TS:T3이고 lindelof이면 T4

-TS:T3이고 second-countable이면 T4, CN, T5, metrizable, imbedded in R^N(product top or uniform top)

(metrizable임을 보일 때, TS가 imbedded in R^N (with product top or uniform top)임을 보인다.)

-CR(closed와 pt, separated by conti function)관련

-closed와 compact가 주어지면 separated by conti function 가능

(단, closed와 closed일 때까지로는 확장 못함)

-(T1도 되면)T3.5라 한다.(T0,T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)

-TS:T3.5 iff TS homeo S of [0,1]^J for some J.

([0,1]^J 는 KT2됨)

-TS:T3.5 iff TS has a compactification

-TS:T3.5이면 te! SCcl(TS) up to homeo s.t. for any f:TS->KT2, conti, f can be uniquely extended to SCcl(TS), conti.

-N(2closed, separated by open nbd)관련

-TS:NTS 

iff for any closed set E1 in TS, any open E2 s.t. E1<E2, te open E3 containing E1 s.t. cl(E3)<E2(link)

iff (Urysohn's Lemma)2closed, separated by conti function(link1)(link2)

iff (Tietze Extension Theorem)for any closed E in TS, for any conti f:E->[0,1], 

f has extension g:TS->[0,1], conti, restriction of g on E=f(link)

(Tietze Extension Theorem에서 [0,1]대신 [a,b], (a,b), R(std), [0,1]^n형태도 가능)(link)

-(T1도 되면)T4라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)

-TS:T4이고 connected이면 |TS|=1 or uncountable이다.(확인필요 꼭 T4여야하는지)

-T4

-(Existence of Partitions of Unity)for any finite open cover {E_i}, te a partition of unity on TS dominated by {E_i}

-CN(2separated sets, separated by open nbd)관련

-(iff)모든 subspace가 N

-(T1도 되면)T5라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)

-PN(2closed, precisely separated by conti function)관련

-(iff)모든 closed set이 Gd

-(T1도 되면)T6라 한다.(T0는 안됨, T1,T2 중 어느 것이 되도 상관없음)

-Sequence관련

-Directed Set, Net, Net Convergence관련

-Net convergence를 도입시 좋은 점

-x in cl(E) iff te seq {x_n} in E cv to x(단 TS가 first-countable일 때 only if가 성립-(*))

-f:sequentially conti iff f:conti(단 domain이 first-countable일 때 only if가 성립-(*))

-TS:sequentially compact iff TS:compact(단 TS가 Metric일 때 only if가 성립-(*))

((*)에서 seq를 net으로 바꾸면 단~~ 부분이 필요없어지게 된다.)

-Map관련(Conti, Homeo, Open map, closed map, quotient map, Projection,)

-Projection의 성질

-open map(closed map는 아닐 수 있음)

-conti

-not closed(TS1xTS2->TS1에서 TS2가 compact라면 closed map됨, (link))

-conti criteria, f:X->Y

-X의 open개수가 많고 Y의 open개수가 적을수록 conti될 가능성이 높아짐

-Use closed in Y

-Use open in Y

-Use basis in Y

-Use subbasis in Y

-f(cl(E))<cl(f(E))

-Using Pasting lemma, open sets in X(uncountable개여도 상관없음)

-Using pasting lemma, finite closed sets in X

-f가 conti이면 sequentially conti(역은 domain TS가 first-countability필요)

-(Closed Graph Theorem in TS)Y:KT2일 때는, f가 conti iff the graph of f is closed in XxY가 성립(if는 K인걸 이용, only if는 T2인 걸 이용)(link)

-모음

-connectedness

-compactness

-local connectedness

-metrizability

-first-countable

-second-countable

-lindelof

-separable

-fundamental group(giso일 듯? 이후 수정)

-Compactification관련

-TS has a compactification TS2이면 TS는 T3.5

-Functions Collection관련(혹은 Functions Seq관련)(Domain과 Range에 Metric이 없어도 되는 경우)

-fC(J,TS)에서(top of pt cv정의가능)

-seq {f_n} in fC(J,TS) cv in the top of pt cv iff {f_n}:pt cv.(fC(J,TS)의 product top과도 같음)

-fC(TS1,TS2)에서

-fCconti(TS1,TS2)에서(KG-top정의가능)

-top of pt cv < KG-top

-eval:LKT2 x fCconti(LKT2,TS) -> TS는 conti

-With Measure

*Algebraic Topology+Differential Geometry

-Homotopy, Homotopy of Paths관련

-about =_homotopic

-equivalence relation을 만든다

-f1 =_homotopic f2 of TS1 into TS2, g1 =_homotopic g2 of TS2 into TS3일 때 g1(f1) =_homotopic g2(f2)(link)

-TS1->R^2(std)인 경우

-straight-line homotopy를 통해서 임의의 conti function f1,f2가 =_homotopic임을 알 수 있다.

-특히 f1, f2의 image가 convex set에서만 생긴다면 straight-line homotopy의 image모두 convex set안에 유지

-about [TS1,TS2]

-[TS1, [0,1]] has a single element(link)

-[[0,1], path-connected TS] has a single element(link)

-TS2:contractible이면 [TS1,TS2] has a single element(link)

-TS2:path-connected더라도(contractible보단 약한), TS1:contractible이면 [TS1,TS2] has a single element(link)

-about contractible

-contractible TS는 path-connected이다.(link)

-TS1:contractible iff for any TS2, for any f:TS2->TS1, g:TS2->TS1, 둘다 conti, f =_homotopic g

-TS:contractible이라해서 strong deformation retract singleton이 존재하는건 아님, zigzag예 생각

-about =_phomotopic(1개의 TS의 성질 관심)

-equivalence relation을 만든다.

-path1의 final이 path2의 initial인 paths끼리 product연산(*)을 줄 수 있다.

(별말없이 path1*path2라 썻다면 path1의 final=path2의 initial인 상황)

-[path1]*[path2]=[path1*path2]로 정의하면 phomotopic classes에 product연산(*)을 줄 수 있다.

-phomotopy path1,path2(in TS1)에 conti인 k:TS1->TS2를 합성하면, phomotopy k(path1), k(path2)가 된다.  

-conti인 k:TS1->TS2가 있을 때 k(path1*path2)=k(path1)*k(path2)가 성립

-product연산 on phomotopic classes은 groupoid properties를 만족(link)

(group axioms가 성립하지 않는 유일한 다른점은 final과 initial이 같은 path classes사이에서만 연산된다는 점)

-path in TS를 n개의 path로 쪼개기 가능, [path]=[path1]*[path2]*...*[pathn]

-[0,1]->R^2(std)인 경우

-straight-line homotopy를 통해서 임의의 path1, path2 with same initial, final가 =_homotopic임을 알 수 있다.

-특히 path1, path2의 image가 convex set에서만 생긴다면 straight-line homotopy의 image모두 convex set안에 유지

-R^2(std)-{0}에서는 성립안함. UO1에서 시계방향, 반시계방향 path가 not phomotopic

-About Fundamental group(FHG(TS,x))

-FHG(TS,x)는 group이 된다.

-path from x to y가 있다면 FHG(TS,x)->FHG(TS,y)인 giso를 얻을 수 있다.

-TS가 path-connected이면 for any x, y in TS FHG(TS,x) giso FHG(TS,y)

(TS가 path-connected인 경우에 Fundamental Group에 대해서 이론전개하는 이유이다.)

(TS가 path-connected이면 FHG(TS,x)에서 base point 언급이 필요없을 것 같지만, base point 사이 path결정에 따라 giso가 달라지므로 일반적으로 TS가 path-connected여도 base point언급을 한다.)

-E:path-connected component(subspace)인 경우 FHG(E,x)=FHG(TS,x)가 된다.

-TS:path-connected이면 for x in TS, FHG(TS,x)가 abelian iff giso from FHG(TS,x) and FHG(TS,y)는 unique(link)

-TS:simply connected인 경우

-FHG(TS,x)=trivial

-TS의 임의의 두 paths with same initial, final인 path1, path2는 phomotopic이다.

-FHG은 topological property이다. 

(homeo:TS1->TS2, homeo(x)=y일 때 FHG(TS1,x) giso FHG(TS2,y))

-(Pre Van-Kampen Theorem)(link)

:if TS=union of E_i, E_i:path-connected and open, E_i교E_j:path-connected, te x in all E_i, then any loop in X based at x is homotopic to a product of loops based at x each of which is contained in E_i

-(Van-Kampen Theorem)

:if TS=union of E_i, E_i:path-connected and open, E_i교E_j:path-connected, te x in all E_i, 

then the homog F:FP(FHG(E_i,x))->FHG(X,x) is surjective where i_i:E_i->X, inclusion이므로 homog from i_i인 f_i:FHG(E_i,x)->FHG(X,x)이고 Universal mapping property of free product에 의해 만든 F

그리고 E_i교E_j교E_k for any i,j,k가 path-connected이면 ker(F)=the normal subgroup of FP(FHG(E_i,x)) generated by all elements of the form i_(ij)(w)i_(ji)(w)^(-1) for w in FHG(E_i교E_j,x), where i_(ij)와 i_(ji)는 inclusions:E_i교E_j->E_i, :E_j교E_i->E_j에 의해 induced homog

-(Adjoining 2-cells)(link)

-따라서 어떤 TS의 FHG를 구하고 싶을 때

-covering map

-deformation

-van-kampen

-scheme을 구한 다음, label개수만큼 UO1을 wedge product한 다음, scheme을 adjoin해서 구할 수 있다.

-FHG(P(R^2))=Z/2Z

-FHG(2-torus)=ZxZ

-FHG(Klein bottle)=FP(Z,Z)/<aabb> where Klein bottle:aba^(-1)b를 scheme으로 가지는 것

-(FHG Functor is surjective)For any G:group, te X:TS s.t. FHG(X)=G using presentation of G and adjoing 2-cells

-About homo from (h,x_0)

-h1:TS1->TS2, h1(x_0)=y_0, h1:conti이고 h2:TS2->TS3, h2(y_0)=z_0, h2:conti일 때, 

homo from (h2 o h1, x_0)=homo from (h2,y_0) o homo from (h1,x_0)

-homo from (identity,x_0)는 identity group homomorphism이다.

-h가 homeomorphism일 땐 homo from (h,x_0)는 giso가 된다. 

-h:TS1->TS2, h:conti이고 TS1:path-connected였다면 homo from (h,x_0)에서 x_0로 뭘 택하든 같은 homomorphism을 얻는다.

(path-connected까진 아니어도 TS1에서 path가 있었다면... 다음 참고 link)

-About Same homotopy type

-Homeomorphic한 2 spaces끼린 same homotopy type

(역은 성립안함, same homotopy type을 가진다 하더라도 homeo하진 않을 수 있다.)

-{TS_i}에서 same homotopy type이란 relation을 주면 equivalence relation된다.

-Fiber bundle관련

-(E,p,B):F-bundle일 때

-p^(-1)(b) homeo F

-p:open

-따라서 p는 quotient map(근데 이게 원래 정의보다 강력하지 않음, 그냥 open conti surjective로 아는게 도움됨)

-for any open V in B, (F, p^(-1)(V), restriction of p on p^(-1)(V), V)또한 f-bundle된다.

-(E,p,B):R^k(std)-vector bundle일 때

-(conti or smooth)local frame for E over V가 있으면 local section on V가 (conti or smooth)한지 판단가능, using component functions wrt given local frame(link)

-vf_U의 경우는 local frame for TM over U를 coordinate chart on M과 R^n(std)상의 partial derivatives의 inverse로 이용해서 판단가능

-cvf_U의 경우는 위의 local frame의 dual basis로 이용해서 판단가능

-(M1,p,M2):smooth R^k(std)-vector bundle일 때

-M:smooth manifold일 때, smooth R^k(std)-vector bundle만드는 방법(link)

-transition function의 정의와 성질, link참고(link)

-(M1,p1,M), (M2,p2,M)사이의 smooth bundle map f:M1->M2는 다음을 만족한다.

-f:SGS1(M)->SGS2(M)은 C^inf(M)-linear

-g:SGS1(M)->SGS2(M)이 C^inf(M)-linear이면 te smooth bundle map f:M1->M2 s.t. f=g

-p:submersion

-SGS(M2):VS(R(std)) and C^inf(M2)-Md

-(Extension of smooth local section over closed to global)for A:closed in M2, f:A->M1 s.t. smooth and section of p, U:open containing A일 때 te g in SGS(M2) s.t. g=f on A and support of g < U

-{Smooth local frame} bijective {Smooth local trivialization}(->가 어려움)(link1)(link2)

-(M1,p,M2):trivial iff it admits a smooth global frame

-for a (smooth)coordinate chart (V,g) for M2, smooth local frame for M1 over V, te a (smooth)coordinate chart (p^(-1)(V),f) for p^(-1)(V)(link)

(즉, (M1,p,M2)에서 M2에서 좌표잡겠다고 (smooth) coordinate chart on V갖고오면 p^(-1)(V)에서도 좌표논의 가능)

-(TM,p,M)관련

-vf:smooth iff for any U:open in M, for any f in C^inf(U), vf_U(f):smooth

-f:C^inf(M)->C^inf(M):derivation iff f is of the form vf_M for some smooth vector field vf

-srv-bundle of rank n where n=dim(M)

-transition function은 Jacobian matrix가 된다.

-M:parallelizable iff (TM,p,M):trivial

-VF(M), derivation의 collection으로 보면

-for F:M1->M2, smooth, vf1 in VF(M1), vf2 in VF(M2)일 때, vf1,vf2:F-related iff vf1(f o F)=vf2(f) o F for any f in C^inf(V), V:any open in M2

(즉 F-related판정을, vf를 derivation으로 보아 판정 가능)

-for F:M1->M2, diffeo, vf1 in VF(M1), te! vf2 in VF(M2) s.t. vf1,vf2:F-related(vf2(F(p))=pf_p(F)(vf1(p)))

-Lie R-A된다.

-for vf1,vf2 in VF(M), [vf1,vf2]의 계산은, 각각을 먼저 coordinate로 표현하면 쉬워진다.(link)

-Lie R-A이면서 C^inf(M)-Md인 걸 생각하면 다음 공식얻는다. 

for f,g in C^inf(M), vf1,vf2 in VF(M), [fvf1,gvf2]=fg[vf1,vf2]+(fvf1g)vf2-(gvf2f)vf1(link)

-for F:M1->M2, smooth, vf1,vf3 in VF(M1), vf2,vf4 in VF(M2), vf1,vf2:F-related and vf3,vf4:F-related일 때 [vf1,vf3],[vf2,vf4]:F-related

-(CTM,p,M)관련

-cvf:smooth iff for any U:open in M, any vf_U, (cvf,vf_U):U->R(std)가 smooth

-local frame for M over U가 있으면 local coframe을 만들 수 있다. using duality 이 때 얻은 coframe을 dual coframe to the given frame이라 함.

-for U:open in M, x in M, f in C^inf(U), df_x는 smooth cvf_(U,x)이다.

-(Properties of df)(U:open in M, f,g in C^inf(U), a,b in R(std), 

-d(af+bg)=adf+bdg

-d(fg)=fdg+gdf

-d(f/g)=(gdf-fdg)/g^2 on the set where g != 0

-if Im(f)<J, J:interval in R(std), h in C^inf(J), then d(h o f) = (h' o f) df

-df=0 iff f is constant on each component of M

-df_p(v) is the best approximation f(p+v)-f(p)

-f in C^inf(M), r:J->M, smooth curve in M일 때 (f o r)'(t) = df_(r(t))(r'(t))(link)

-for F:M1->M2, smooth, cvf2 in CVF(M2)일 때 we can define cvf1 in CVF(M1) s.t. cvf_p = pb_(F(p),F)(cvf2_F(p))

(cvf2가 smooth이면 cvf1도 smooth하게 가능)

-for F:M1->M2, smooth, g in C^inf(M2), h in CVF(M2)(link)

-pb_(F)(dg)=d(g o F)

-pb_(F)(gh)=(g o F) pb_(G)(h)

-cvf:conservative iff cvf:exact

-cvf:exact이면 cvf:closed(따라서 exacteness체크 쉬움, 게다가 모든 charts가 아니라 M을 cover하는 charts collection에 대해서만 보여도 충분함)

-cvf:closed이면 exact이다는 domain(M)의 모양에 depends

-star-convex open in R^n(std)이면 성립

-every closed cvf is exact on any simply connected manifold

-(Local Exactness of Closed Covector Fields)cvf:closed on M이면 every p in M has a nbd(p) on which cvf:exact

-for f:M1->M2, local diffeo일 때 pb_(f)은 closed cvf를 closed cvf로, exact cvf를 exact cvf로 mapping

-cvf:exact일 때 potential은 여러개 있을 수 있으나 상수만큼만 차이남

-Covering관련

-TS1:covering space of TS2 with covering map f:TS1->TS2일 때, for any y in TS2, f^(-1)(y) has a discrete topology induced from TS1

-covering map f:TS1->TS2이면

-surjective

-continuous

-f:local homeomorphism

-f:open map

-g:TS2->TS3가 covering map이고 g^(-1)(z):finite set for all z in TS3이면 f o g도 covering map(link)

-f(x1)=x2이고 

-(Existence of Lift(path), uniqueness)path:[0,1]->TS2, path(0)=x2일 때 te! lift(path) to TS1 s.t. lift(path):a path and lift(path)(0)=x1(link1)(link2)

-(Existence of Lift(phomotopy), uniqueness)F:[0,1]x[0,1]->TS2, conti, F(0,0)=x2일 때 te! lift(F) to TS1 s.t. lift(F):conti and lift(F)(0,0)=x1

(F가 phomotopy였으면 lift(F)도 phomotopy됨)

-path1:[0,1]->TS2, path2:[0,1]->TS2가 phomotopic이면 lift(path1) to TS1, lift(path2) to TS1도 photomopic

-TS1:path-connected이면 lifting correspondence_(f,x1):FHG(TS2,x2)->f^(-1)(x2)은 surjective이다.(link)

-TS1:simply connected이면 liffting correspondence_(f,x1):FHG(TS2,x2)->f^(-1)(x2)은 bijective이다.(link)

-homo from (f,x1)은 injective이다.

-S:=homo from (f,x1)(FHG(TS1,x1)), lifting correspondence_(f,x1) induce  g:FHG(TS2,x2)/S->f^(-1)(x2) and g:injective

(TS1:path-connected이면  g:bijective까지도 됨)

-l:loop in TS2 based x2일 때 [l] in S iff lift(l) to TS1은 a loop in TS1 based x1

-가장 쉬운 예: f:R(std)->UO1(subspace of R^2(std)), f(t)=(cos(2*pi*t),sin(2*pi*t))

-From TS1 to TS2

-

-From TS2 to TS1

-T2

-T3

-T3.5

-locally compact hausdorff

-compact(단, covering map f:TS1->TS2, f^(-1)(y):finite for all y in TS2인 경우만)

-Universal covering관련

-(Universal Covering이라 부르는 이유)TS1:universal covering space of TS2일 때, for any g:TS3->TS2 covering map, te h:TS1->TS3 covering map

(즉 Universal covering space는 다른 covering space를 cover한다. 즉 cover 중에서 가장 넓은 개념)

-(Existence of Universal Covering Space)if TS:connected and locally simply connected이면 te universal covering space of TS

-Retraction관련

-retraction(TS,S):conti일 때

-quotient map이 된다.

-S를 retract of TS라 부른다.

-inclusion:S->TS를 f라 하면 homo from (f,x):injective for any x in S

-Topological Group관련(*는 group의 operation으로보자)

-자주 쓰이는 함수관련

-f:TGxTG->TG, f(g1,g2)=g1*(g2)^(-1):conti

-conjugation by g, left multiplication by g, inversion, 3개다 TG->TG인 homeo

-{all SME(e)}는 nbd basis됨, 즉 for any nbd(e), te nbd2(e) in {SME s.t. SME=nbd(e)} s.t. nbd2(e)<nbd(e)

-left multiplication by any element가 homeomorphism이므로 {all SME(e)}만 이용하면 많은 문제 해결됨

-TG가 discrete top을 가진다 iff {e}:open

(포인트는 이 명제 자체가 아니라, TG에서는 nbd(e)에 대해서만 생각하면 된다는 것이 포인트)

-for any g in TG, for any nbd(g), te SME(e) s.t. SME(e)*g*SME(e) < nbd(g)

-for any nbd(e) and n:자연수, te SME(e) s.t. (SME(e))^n < nbd(e)

-For any subset E, cl(E)=intersection E*SME(e) over all SME(e)=intersection SME(e)*E over all SME(e)=intersection SME(e)1*E*SME(e)2 over SME(e)1, SME(e)2

-cl(subTG):subTG(subgroup이 된다는 게 포인트)

-cl(NS):NS(normal이 유지된다는 게 포인트)

-Topological Manifold관련

-smoothness는 not topological property

-T2가 정의상 필요한 이유는 TS에서 T2가 필요한 것과 마찬가지, limit의 유일성, finite set의 closedness가 필요

-Second-countable이 필요한 이유는 partitions of unity의 존재성보일 때 등등 

-top n-mnf이 동시에 top m-mnf이 될 수는 없다.(Invariance of Domain참고)

-모든 top n-mnf 

-has a countable basis of pre-K coordinate balls

-locally compact

-locally path-connected(이것이므로 아래 3개가 성립)

-locally connected

-top n-mnf:connected iff top n-mnf:path-connected

-path-connected components = connected components

-connected components가 각각이 모두 open subset이고 top n-mnf가 된다.

-connected components의 개수가 at most countable

-for any x in top n-mnf, |FHG(top n-mnf,x)|:countable

-Smooth Manifold관련(Topological Manifold+Smooth Structure)

-T4

-second-countable

-paracompact

-homeomorphic인데 not diffeomorphic인 mnf들이 존재한다. 즉 mnf를 구분 짓는데에 smooth structure도 필요

-smooth chart는 모두 diffeo이다.(공역을 치역으로 제한하면)

-function on mnf(M:mnf)

-C^inf(M)은 VS(R(std))이다.

-for smooth f:M1->M2, pb(f):unital homor가 된다.

-(Fundamental Theorem for Line Integral of cvf)for f in C^inf(M), r:[a,b]->M, piecewise smooth curve in M일 때 

lint over r df = f(r(b)) - f(r(a))

-(Existence of Smooth Partitions of Unity)for any open cover {E_i}, te a partition of unity {f_i} on TS dominated by {E_i}

(적당한 C^inf(M) 원소 잡을 때 쓰임)

-(Existence of Bump Function)for any U:open in M, A:closed in U, te f:smooth bump function for A supported in U(Partitions of unity쓰면 됨)

-(Extension Lemma)for any U:open in M, A:closed in U, f:A->R^k(std), smooth일 때 

te F:M->R^k(std) s.t. restriction of F on A = f and support of F < U

-(Inverse Function Theorem for Manifolds)

(가정을 smooth말고 C^1으로 줄일 수도 있을 듯)

:f:M1->M2가 smooth이고 pf_p(f)가 bijective이면 te nbd(p) and nbd(f(p)) s.t. f|nbd(p)는 diffeo 게다가 pf_(f(p))(f^(-1))=(pf_p(f) )^(-1)

(만약 g:M1->M2, smooth, immersion and submersion이면 g:local diffeo를 알 수 있다.)

(pf가 원래 smooth map에 영향을 주는 예가 된다.)

-(Rank Theorem for Manifolds)

:for dim(M1)=m1, dim(M2)=m2, f:M1->M2가 smooth with constant rank k 

for each x in M1, te smooth charts (V1,g1) for M1 centered at x and (V2,g2) for M2 s.t. (g2 o F o g1^(-1))((x1,x2,...,xm))=(x1,x2,...,xk,0,0,...,0)

(즉 smooth map이 아주 간단해짐, 그리고 image가 rank-dimensional, 이 theorem때문에 rank가 의미가 있는 것)

(마찬가지로 pf가 원래 smooth map에 영향을 주는 예가 된다.)

-for smooth f:M1->M2, M1:connected, TFAE

-for any p in M1, te smooth charts (V1,g1) containing p, (V2,g2) containing f(p), s.t. (g2 o F o g1^(-1))((x1,x2,...,xm))=(x1,x2,...,xk,0,0,...,0) for some k

-F has constant rank

-for smooth f:M1->M2, S:embedded submanifold of M2, Im(f)<S이면 f:M1->S도 smooth

-for smooth f:M1->M2 with constant rank

-f가 surjective이면 f는 submersion

-f가 injective이면 f는 immersion

-f가 bijective이면 f는 diffeomorphism

-(Equivariant Rank Theorem)

:M1:transitive smooth LG-space, M2:smooth LG-space, F:M1->M2 smooth, equivariant이면 F has constant rank, 

그리고 level set은 closed embedded submanifolds of M1

-submersion관련(f:M1->M2가 submersion)

-product of mnfs->mnf, projection과 srv-bundle의 map p가 대표 submersion예

-closed under composition 

-f:open map

-every p in M1 is in the image of a smooth local section of f 

-if f:surjective, then f:quotient map

-for g:M2->M3, if f:surjective submersion, then g:smooth iff g o f:smooth

-for f:surjective submersion, if g:M1->M3:smooth, constant on the fibers of f, then te! h:M2->M3 s.t. h:smooth and h o f = g

-(uniqueness of smooth manifold quotient by surjective submersion)

:for f1:M1->M2, f2:M1->M3, 둘다 surjective submersions s.t. constant on each other's fibers, te! g:M2->M3 s.t. g:diffeo, g o f1 = f2

-immersion관련

-smooth curve f:interval->mnf with f'(t):nonzero for all t in interval이 대표 immersion예

-closed under composition 

-f:M1->M2가 immersion이면 locally embedding이다.(for any p in M1, te nbd(p) in M1 s.t. restriction of f onto nbd(p):smooth embedding)

-smooth embedding관련

-inclusion:mnf->product of mnfs가 대표 smooth embedding예

-for smooth embedding f:M1->M2, M1 diffeo f(M1)

-f:M1->M2가 injective immersion이라해서 smooth embedding되지 않는다.(link)

(M1이 compact or f:proper란 조건이 붙으면 smooth embedding됨)

-closed under composition 

-function on C^inf(M)(M:mnf, p in M)

-for smooth f:M1->M2, pb(f):C^inf(M2)->C^inf(M1), pb(f)(g)=g(f))

-tgs_p(M):VS(R(std))

-tgs_p(M), tv_p의 성질

-for any constant f in C^inf(M), tv_p(f)=0(link)

-for any f, g in C^inf(M) s.t. f(p)=g(p)=0, tv_p(fg)=0(link)

-(tgs_p is purely local)for any tv_p in tgs_p(M), any f, g in C^inf(M) s.t. f=g on a nbd(p) 일 때 tv_p(f)=tv_p(g)(link)

-(tgs_p(open submnf) iso tgs_p(M) as VS(F))U:open submanifold이고 i:inclusion of U일 때, pf_p(i)는 isomorphism (as VS(F)) for any p in U(link)

-f:M1->M2가 local diffeo면 pf_p(f)는 isomorphism for any p in M1

-따라서 f:submersion and immersion도 됨

-for V:f-dim VS(R(std)), any p in V, te F:isomorphism from V to tgs_p(V) 

s.t. for any g in LT(V,W), pf_p(g) o F = G o g where G:isomorphism from W to tgs_g(p)(W)(즉 commute하게)

(따라서 V:f-dim VS(R(std))의 경우 일단 a in V를 택하면 for v in V, v can be identified with D_(*,v)(a) as derivation)

-(Chacracterization of tgs_p(M), using curves)

every tgv_p is the tangent vector to some smooth curve in M

(따라서 tgv는 derivation으로 이해하나, 혹은 M상의 smooth curve의 접vector로 이해하나 가능)

-(tgs of product mnfs)tgs_(p,q)(M1xM2) iso tgs_p(M1) x tgs_q(M2) as vector space

-function on tgs_p(M)(M:mnf)

-pf_p(f)의 성질(f:M1->M2, smooth, p in M1, g:M2->M3, smooth)

-pf_p(f):tgs_p(M1)->tgs_f(p)(M2)

-for g:tv_p, h in C^inf(M2), pf_p(f)(g)(h)=g(h(f)))

-pf_p(f):linear

-pf_p(g o f)=pf_f(p)(g) o pf_p(f)

-if id:identity on M, then pf_p(id)=identity on tgs_p(M)

-if f:diffeo, then pf_p(f):isomorphism from tgs_p(M1) to tgs_f(p)(M2)

-for any smooth chart (U,g), pf_p(g):tgs_p(M)->tgs_g(p)(R^n(std)), diffeo이다.

(따라서 for p in M, tgs_p(M)의 basis는 tgs_g(p)(R^n(std))의 basis의 inverse로 사용)

(for p in M, ctgs_p(M)의 basis는 위의 basis의 dual basis로 사용)

-pf(f)는 smooth bundle이 된다. TM->TN

-실질적인 계산 관련

-tgs_p(M)의 basis는 p에서의 coordinate system(즉 smooth chart)를 잡으면 해결됨(link)

-chart를 2개를 잡았다면(link)

-f:M1->M2 smooth, pf_p(f)는 p에서의 coordinate system과 f(p)에서의 coordinate system을 잡으면 pf_p(basis의 원소)가 어떻게 적히는 지 앎(link1)(link2)

-ctgs_p(M)의 basis는 p에서의 coordinate system를 잡으면 해결됨, chart를 2개 잡았을 때도 참고(link)

-for f in C^inf(U), df_p의 coordinate(link)

-submanifold관련(M:n-mnf, E:a subset of M)

-embedded k-submanifold관련

-if for some k, every p in E has nbd(p) in M s.t. nbd(p)교E:embedded k-submanifold of nbd(p), then E:embedded k-submanifold of M

(UOn이 embedded n-submanifold of R^(n+1)(std)임을 보일 때 사용됨, 즉 local에서 embedded submanifold만족하면...전체 subset도 된다는 것)

-E:embedded k-submanifold일 때, E:k-mnf(top k-mnf with subspace top, inclusion map E->M가 smooth embedding되게 smooth structure가짐)

(역 성립, smooth embedding의 image는 embedded submanifold가 된다.) 

(위의 2 내용을 요약하면 embedded submanifolds are precisely the images of smooth embeddings)

-inclusion:E->M생각하면, pf_p(inclusion):tgs_p(E)->tgs_p(M), injective linear이니까 tgs_p(E) can be viewed as subspace of tgs_p(M)

-(Characterization tgs_p(E) as a subspace of tgs_p(M))

:for E:embedded submanifold and x in E, tgs_p(E)={X in tgs_p(M) s.t. Xf=0 for any f in C^inf(M) and f=0 on E}

-(Construct embedded submanifold, Graph)

:if U:open in R^n, F:U->R^k가 smooth이면 then the graph of F는 embedded n-dimensional submanifold of R^(n+k)

-(Constant-Rank Level Set Theorem)

:f:M1->M2 smooth with constant rank k일 때 level set of f는 closed embedded submanifold of codimension k.

-(Regular Level Set Theorem)

:f:M1->M2 smooth일 때 every regular level set은 closed embedded submanifold whose codimension is equal to the dimension of the range.

-(Characterization of embedded submanifold)

:E:embedded k-submanifold iff every p in E has a nbd(p) in M s.t. E교nbd(p) is a level set of a submersion F:nbd(p)->R^(n-k)(std)

-embedded submanifold 판정법

-정의대로

-image of smooth embedding으로써

-graph으로써

-level set으로써

-immersed k-submanifold관련

-immersed submanifolds are precisely the images of injective immersions.

-(Characterization tgs_p(E) as a subspace of tgs_p(M))

:embedded submanifold처럼 가능, 왜냐하면 smooth immersion의 image이므로

-covering관련(M:mnf(n-mnf), f:M1->M2 smooth covering map)

-f:immersion and submersion

-f가 injective이면 diffeo이다.

-(local continuous section of f의 존재성)for any x in M1, te nbd(f(x)) and g s.t. g:nbd(f(x))->M1, conti, f o g =id_nbd(f(x))

-for any M3, g:M2->M3:smooth iff g o f:smooth 

-g:M1->M2가 proper local diffeo이면 g는 smooth covering map이다.

-if g:M1->M2가 topological covering map then M1:top n-mnf and M1 has a unique smooth structure s.t. g:smooth covering map.

-Complex Manifold관련

-any connected open subset of a Riemann surface is a Riemann surface

-Riemann surface is 2-dim C^inf manifold로 간주 될 수 있다.(여기서 2-dim 은 over R)

(왜냐하면 모든 holomorphic은 analytic이고 따라서 f(z)=u(z)+iv(z)를 f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))로 보면 f:holo이면 f는 C^(inf))

-Every Riemann surface is orientable(transition map들이 holomorphic이고 derivative가 nonzero이므로 conformal되니까)

-Every Riemann Surface is an path-connected 2-dimensional C^inf real manifold

-Every compact Riemann surface is diffe to the g-holed torus, for some unique integer g>=0(g를 topological genus라 한다.)

-Lie Group관련

-EDP(LGi)도 LG(연산은 componentwise)

-LG:parallelizable(Lie(LG)의 basis생각)

-act_M by LG관련

-LG:discrete일 때 M:smooth LG-space iff for any g in LG, act_M by g:smooth

(즉 discrete LG action경우 smooth 판정이 쉽다.)

-LG-space관련

-for any g in LG, act_M by g는 homeo

-f:LG1->LG2, homoLG일 때 LG1:smooth LG1-space(left multiplication), 이 action과 f로 act_LG2 by LG1가능, 그러면 f는 equivariant됨(link)

-smooth LG-Space관련

-for any g in LG, act_M by g는 diffeo

-for LG, LG itself smooth LG-space(left multiplication)

-Lie(LG)관련

-Lie(LG):Lie subalgebra of VF(LG)

-Lie(LG) isomorphic tgs_e(LG) as vector spaces(link)

-dim(Lie(LG))=dim(LG)

-LG:abelian이면 Lie(LG):abelian

-f:LG1->LG2, homoLG이면 g:Lie(LG1)->Lie(LG2), lie algebra homo를 얻는다.

-vf,g(vf)는 f-related가 된다.

*Metric Space

-Space, Subspace, Subset관련

-(MetricS,d)에서의 성질

-any subset E is the intersection of open sets(countable intersection아닐 수 있음)

(주의:U_n := Union ball(x,1/n) for x in E, Intersection U_n is not E, but cl(E))

-any open set is an countable union of an increasing closed sets

-any closed sets is an countable intersection of an decreasing open sets

-First-Countability

-CGT

-T6

-(MetricS,d):totally bdd이면

-bdd이다.

-totally bdd under d iff totally bdd under d_sb

-(Heine-Borel Theorem)(MetricS,d):compact iff (MetricS,d):complete and totally bdd

-(Lebesgue Number Lemma)for any open covering, te delta>0 s.t. diam(E1)<delta이면 te E2 in the covering s.t. E1<E2(link)

-compact이므로 lindelof

-lindelof인데 metric이므로 second-countable

-complete

-LKT2, KT2의 성질들 모두 만족

-Metric관련

-metric d is conti(link)

-metric d가 induce한 top은 d가 conti가 되게하는 the smallest top이다.

-metric d와 d_sb는 같은 topology를 induce한다. 

-d(x,E)=0 iff x is in cl(E)

-d(x,K)=d(x,a) for some a in K

-d(E1,E2)=0, E1:closed, E2:closed, E1,E2:disjoint일 수 있다. (R^2(std)에서 xy=1과 x축 생각)

-{x|d(x,E)<eps}=union of the open balls {x|d(a,x)<eps} for a in E(따라서 open)

-d(x,E):TS->R>=0 is conti

-K<open1이면, te open2 s.t.K<open2<open1 and open2={x|d(x,K)<eps}

-F1과 F2가 disjoint closed인데 d(E1,E2)=0일 수도 있다.

-isom(MetricS1,MetricS2)는 imbedding이고 따라서 isometric imbedding이라 하기도 함

-diam(E)의 성질

-monotone

-E1교E2 is not empty 이면 diam(E1UE2) <= diam(E1)+diam(E2)

-diam(E)=diam(cl(E))

-Continuous, Map관련

-MetricS에서의 conti criteria

-f:(MetricS1,d1)->(MetricS2,d2) conti <-> eps-delta definite이용((MetricS2,d2)가 R(std)일 때 주로 도움)

-f1:TS->R(std), f2:TS->R(std), f1 + f2, f1 - f2, f1 * f2, f1 / f2 모두 conti 

-(Characterization of Closed Graph)(link)

:f:(MetricS1,d1)->(MetricS2,d2) has a closed graph iff if {x_n}:cv to x in MetricS1 and {f(x_n)}:cv to y in MetricS2 then y=f(x).

-compact metric space의 성질(KMetricS,d)

-(Uniform Continuity Theorem)f:KMetricS->MetricS가 conti이면 uni conti

-Functions collection관련(혹은 functions seq관련)(Range에 Metric이 있는 경우)

(Functions collection관련 in topology도 참고)

-for U:open in TS, A:closed in U, f:TS->R(std):conti, f:bump function for A supported in U란, 0<=f<=1 on TS, f=1 on A, support of f < U

-fC(J,MetricS)에서(uni cv, pt bdd, d_uni정의가능)

-fC(J,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni(link)

-(d_sup)_sb=d_uni, when d_sup이 정의될 때

(d_sup이 정의되면, d_sup으로 논하는게 마음 편함, d_uni는 복잡함)

(즉, d_uni(f1,f2)=min{d_sup(f1,f2),1})

-fC(TS,MetricS)에서(top of K cv정의가능)

-top of pt cv < top of K cv < uni top

-seq {f_n} in fC(TS, MetricS) cv in the top of K cv iff for any K in TS, {f_n}:uni cv on K

-TS=K일 때

-top of K cv = uni top

-TS=discrete일 때

-top of pt cv = top of K cv

-fCbdd(J,MetricS)에서(d_sup정의가능)

-fCbdd(TS,MetricS)에서

-closed in fC(TS,MetricS) with uni top

-fCbdd(TS,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni

-fCconti(TS,MetricS)에서(equiconti정의가능)

-KG-top = top of K cv

-(Uniform Limit Theorem)closed in fC(TS,MetricS) with uni top

-fCconti(TS,CMetricS)는 CMetricS됨 using d_uni

-E가 totally bdd using d_uni이면 E는 equiconti

-(Ascoli's Theorem)E가 equiconti, for any a in TS, E_a:={f(a) s.t. for some f in E}:pre-K in MetricS이면 

-te S of fCconti(TS,MetricS) with top of K cv s.t. E<S, S:compact

-TS=CGT일 때

-closed in fC(TS, MetricS) with top of K cv

-{f_n}:cv in the top of K cv to f이면 f도 conti

-TS=LKT2일 때

-E<S, S:compact in fCconti(TS,MetricS) with top of compact cv이면 E는 equiconti이고 for any a in TS, E_a:pre-K in MetricS

-TS=K일 때

-MetricS=KMetric일 때, E가 equiconti이면 E는 totally bdd

-MetricS:all closed, bdd subsets are compact일 때, 

-E:pre-K iff E:pt bdd, equiconti

-MetricS=R(std)일 때

-(Dini's Theorem)seq {f_n} in fCconti(TS,R(std))가 monotone, pt cv, limit f is conti이면 f_n은 uni cv 

(유사하게, seq {f_n} in fC(K in R(std), R(std)), 각각이 monotone(conti일 필요 없음), pt cv to f which is  conti on K이면 f_n은 uni cv도 된다.)

-MetricS=R^n일 때

-E:compact iff E:closed, bdd, equiconti

-(Arzela's Theorem){f_n} in fCconti(K,MetricS), {f_n}:pt bdd, equiconti이면 {f_n}은 uni cv인 subseq을 갖는다.

-fCcontibdd(TS,MetricS)에서

-fCcontiV(TS,R(std))에서

-E of fCcontiV(TS,R(std)), E:pre-K iff E:pt bdd, equiconti, vanishes uniformly at infinity

-fCcontiV(TS,C)에서

*Group Theory

-About Group, Subgroup관련

-Subgroup Criteria

-E:finite->non-empty, closed under multiplication

-E:infinite->closed under multiplication, closed under taking inverse.

-Z(G) _< C_G(~) _< N_G(~) _< G의 성질

-E

-Z(G) _< C_G(E) _< N_G(E) _< G

-C_S(E)=C_G(E)교S

-N_S(E)=N_G(E)교S

-E1<E2일 때 C_G(E2) _< C_G(E1)

-<g> _< C_G(g)

-C_G(<g>)=C_G(g)=N_G(g) _< N_G(<g>)

-C_G(E)=G iff E < Z(G)

-S

-C_G(Z(G)) = N_G(Z(G)) = G

-S _<! N_G(S)

-C_G(S) _<! N_G(S)(link)

-N_G(S)/C_G(S) giso a subgroup of Aut(S)(link)

(Aut(S)를 먼저 조사해서 N_G(S)/C_G(S)에 반영할 수 있음)

-S가 abelian이면 S _< C_G(S)

-S _< Z(G)이면 C_G(S)=N_G(S)=G이고 S _<! G이다.

-|S|=2이면 N_G(S)=C_G(S)

-S1 _< S2, S2:abelian이면, S1 _< S2 _< N_G(S1)

-NS

-C_G(NS) _<! G

-N_G(NS)=G

-|NS|=2이면 NS _< Z(G) _< C_G(NS) = N_G(NS) = G

-기타

-G/Z(G)은 Inn(G)와 giso라는게 Z(G)의 핵심

-Z(G) _<! G, Z(G)는 abelian normal subgroup of G

-C_G(G)=Z(G)=intersection over all subset A, C_G(A)

-G/Z(G) giso Inn(G)

-G/Z(G):cyclic iff Inn(G):cyclic iff G:abelian

(Generally, S _< Z(G) G/S:cyclic이면 G:abelian)(link)

-Z(G)i:char in G for any 0<=i

-S1S2의 성질

-|S1S2|=|S1||S2|/|S1교S2| (즉 S1S2의 order와 S2S1의 order가 같음, S1S2 _< G인지는 아직 모름)(link)

-S1S2 _< G iff S1S2=S2S1 iff Si _< N_G(Sj), 즉 1개가 다른 1개의 normalizer에 포함

-S1S2 _< G 이면 S1 _< S1S2 and S2 _< S1S2 and S2S1 _< G

-S1만 normal인 경우

-S1S2 _< G, S2S1 _< G(normal subgroup인지는 모름)

-S1S2=S2S1

-S1, S2 둘 다 normal인 경우

-S1S2 _<! G, S2S1 _<! G

-S1S2=S2S1인건 당연

-S1 union S2 _< G iff S1 _< S2 or S2 _< S1

-Normality Criteria

-generator에 대해서만 판단해도 충분

-Abelian Group의 모든 S는 NS이다.

-[G:S]=2이면 S는 NS이다.

-[G:S]=the smallest prm factor of |G|이면 S는 NS이다.(link)

-S _< Z(G)이면 S _<! G

-N_G(S)=G판단에 있어서 G의 generating set의 원소와, S의 generating set의 원소로만 판단해도 됨

-S:normal in G iff [S,G] _< S

-C(G) _< S이면 S는 normal(게다가 G/S는 abelian도 됨)(역도 성립)

-대표적인 normal subgroup:Z(G), C(G), Z(G)의 subgroup, normalizer, Sp(Sp는 normal 아닐 수도 있지만, normal될 때가 잦음), C(G)를 포함하는 Subgroup, 

-Characteristic

-필요조건:NS

-충분조건:given order, S is unique이면 S char G

-S1 char S2 and S2 _<! G이면 S1 _<! G

-S1 char S2 and S2 char G이면 S1 char G

-대표적인 char S:C(G), Z(G)

-(Cayley's Theorem)Every G giso S _< S_G

-G to S 보존되는 것

-abelian

-cyclic

-nilpotent(G의 upper central series에 H를 intersecting시키면 각 항은 H의 Upper central series보다 작은 걸 생각해보면 됨)

-solvable

-G to homomorphic Image 보존되는 것

-abelian

-cyclic

-nilpotent

-solvable

-G to quotient

-abelian

-cyclic

-divisible

-nilpotent

-solvable

-G_i to EDP(G_i) 보존되는 것

-abelian

-cyclic은 안됨

-nilpotent

-solvable

-Hall Subgroup관련

-NS:Hall subgroup이면 |NS|=|S|인 S는 NS뿐이다.(link)

(Hall subgroup이 NS인 경우에 적용가능함, NS인 것도 중요함)

-기타 성질들

-S1교S2는 subgroup된다.

-NS1교NS2는 normal subgroup된다.

-임의의 subgroup S는 S_[n]의 subgroup과 isomorphic하다.(S_[n], 중요)

-

-About Homomorphism관련

(homog:G1->G2, S1 _< G1, S2 _< homog(G1) _< G2, NS1 _<! G1, NS2 _<! homog(G1))

-homog(S1) _< homog(G1)

-homog^(-1)(S2) _< G1

-homog(NS1) normal in homog(G1)

-homog^(-1)(NS2) normal in G1

(즉 S2, NS2든 homog(G1)에서 생각하면 된다.)

-|homog(g1)| | |g1|

-|homog(G1)| | |G2|, |homog(G1)| | |G1| 

(따라서 |homog(G1)| | gcd(|G1|,|G2|) 이다.)

-|homog^(-1)(G2)| | |G1|

-|G1| | |G2|*|Ker(homog)| (이 자체는 너무 강함, Factor Group으로서 order 세는 것을 상기하는게 포인트)

-About Group Action관련

-Ker(act) _< G_x _< G

-Ker(act) _<! G

-G/Ker(act) acts faithfully

-te act iff te homog by act(G->S_J)

-|O_x|= [G:G_x]

(O_x도 G의 약수여야 한다는 점)

-g*x1=x2라면, G_x2=gG_x1g^(-1)(link)

(즉, 같은 orbit안에 있었다면, stablizer가 서로 conjugate하고, 따라서 stablizer의 order도 서로 같다.)

(G=1이면 역은 성립 안함)

-G=S_[n], J=[n]일 때

-transitive, faithfully

-|G_i|=(n-1)!, O_i=[n]

-for g in S_[n], act_[n] by <g>의 orbits은 g의 cycles가 나온다.

-G:permutation group on J

      -(Burnside)the number of orbits = the average number of points fixed by an element of G(link)

-left multiplication action

-G=G, J=G, g1 act g2=g1*g2일 때

-G_g={e}

-G=G, J={left cosets of S}, g1 act g2S =g1g2S일 때

-Transitively, 따라서 Orbit은 1개뿐

-G_S=S

-G_(g1S)=g1Sg1^(-1)

-ker(act)는 S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup이 된다.

-|G|는 {[G:S]!*|S에 포함되는 가장 큰 normal subgroup|}을 나눈다. 

-Conjugation action

-G=G, J=P(G), g act E =g*E*g^(-1)일 때

-G_E=N_G(E)

-[G:N_G(E)]:the number of the conjugates of E

-S giso (g act S)

-ker(homo)=Z(G)

-G=G, J=G, g1 act g2=conj(g2), 특히 g1*g2*(g1)^(-1)

-G_g=N_G(g)=C_G(g)

-|g|=|g1 act g|

-homo by act에 대해서, Ker(homo)=Z(G) and G/Z(G) giso Inn(G)

-Z(G)의 원소들의 orbit은 singleton set

-(Class Equation)|G|<inf일 때, |G|=|Z(G)|+sum [G:C_G(g_i)]

-NS _<! G일 때, 임의의 conjugacy class E는 E교NS=empty or E<NS이다.

-G=S_[n], J=S_[n]일 때(아래 Examples란과 중복될 수 있음)

-g2=(a1,a2,a3...)(b1,b2,b3)...로 cycle decomposition, g1*g2*g1^(-1)=(g1(a1),g1(a2),...)(g1(b1),g1(b2)).... 

(cycle decomposition이란, (1~~~)(이전 cycle에 안나온 제일 작은 걸로 시작 ~~~)(이전 cycle에 안나온...))

-g1=conj(g2) iff g1과 g2가 같은 cycle type을 가짐

(cycle type이란 cycle decomposition한 후에 cycle length가 큰것부터 나열했을 때(disjoint cycle은 commute이므로)의 cycle length 수열, 길이가 1인 cycle도 적는다. 그렇게 하면 f:S_[n]->{ptt(n)}

-S_[n]의 conjugacy classes의 개수는 #ptt(n)과 같다.(link)

(g:{conjugacy classes}->{ptt(n)} is bijection)

(for a f:ptt(n), f=(a1번,a2번,...,an번), f를 cycle type으로 갖는 S_[n]원소개수는 n!/(1^a1 2^a2 ... n^an (a1!a2!...an!)))

(즉 한 conjugacy class안의 원소개수를 앎)

-E가 singleton이면 |C_(S_[n])(E)|구할 수 있음

-g가 commutator와 같은 cycle type을 가지면 conj(g)도 commutator가 된다.

-G=G, J=NS, g1 act g2 = g1*g2*g1^(-1)

-G_g=N_G(g)=C_G(g)

-for each g in G, conjugation by g is in Aut(NS)

-homo by act:G->S_NS인데, range를 줄여 G->Aut(NS)만 생각가능, Ker(homo)=C_G(NS)

(이때 conjugation by g on NS는 Aut(NS)의 원소이지만, Inn(NS)의 원소는 아닐 수 있다.)

-About Generator, Order관련

-abelian인지, normal인지 판단은 generator에 대해서만 해도 충분

-order(g)=order(conj(g))

-order(g1*g2)=order(g2*g1)

-order(g)=n일 때, order(g^a)=n/gcd(a,n)

-order(g)=n일 때, <g>의 generator는 ephi(n)개

-|G|=n and G:cyclic, m|n이면 te! S s.t. |S|=m(link)

-(Lagrange's Theorem)|G|<inf일 때, |S| | |G|, [G:S]=|G|/|S|

(G의 모든 S가 NS이면 Converse가 성립, 예를 들면 abelian인 경우)(link)

(p_n=prm, |G|=(p_1)^alpha1 * (p_2)^alpha2 ..., order가 (p_1)^alpha1, (p_1)^alpha1-1, ... 인 subgroup 존재, Sylow의 강한버전)

-|G|=prm이면 G giso Z_prm

-(Cauchy's Theorem)|G|<inf, prm||G|이면 G has an element of order(prm).(link)

-(Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups)G:finitely generated abelian이면 free rank와 list of invariant factors가 유일하게 결정되고 invariant factor decomposition이 가능(반대로 list of invariant factors와 free rank만 결정해주면 finitely generated abelian group 1개를 결정할 수 있다는 것)

(따라서 finite abelian of order n은 n만 소인수분해해버리면classification가능 by making list of invariant factors)

(invariant factor (n1,...,nk)가 만족해야될 것은, 각각이 2보다 같거나 큰 정수이고, n(i+1)|ni를 만족)

-(Sylow's Theorem)(특정 order의 G이 not simple임을 보일 때 자주 사용)

-Sp는 항상 존재한다.(link)

(더욱 강력한 명제는, |G|=p^n*m, (hall divisor, p:prm), te S s.t. S _< G and |S|=p^k, for k=0,1,...,n)(link)

-p-S, Sp에 대해서, te g in G s.t. p-S _<g(Sp)g^(-1)(특히 Sp1과 Sp2 2개는 반드시 conjugate and giso)(link)(link)

(Sp1과 Sp2는 같은 p에 대해서 얘기, S(p1)과 S(p2)는 다른 p에 대해서 얘기)

-#Sp=[G:N_G(Sp)] ≡ 1 (mod p)(link)(link)

-if #Sp !≡ 1 (mod p)이면 te distinct P:Sp, R:Sp s.t. [P:P교R]=[R:P교R]=p(link)

-Theorem 증명 순서

-Cauchy's Theorem for abelian

-Sylow's Theorem, Existence

-Cauchy's Theorem for general

-Sylow's Theorem, 강력한 명제

-Sylow's Theorem, p-S관련

-Sylow's Theorem, #Sp

-TFAE

-#Sp=1

-Sp:NS

-Sp char G

-All subgroups generated by elements of prm power order are p-G

-Sp의 성질들

-for NS of G, Sp of G일 때 NS교Sp:sylow p-subgroup in NS(link)

-for NS of G, Sp of NS일 때, G = NS N_G(Sp) (join) (link)

-for Sp of G, S:p-subgroup of G, S교N_G(Sp) = S교Sp(link)

-Classification Steps

-|G|를 통해 proper NS를 찾는다.(Sp같은 걸로다가)

-complement를 구한다.

-NS와 complement 각각을 조사한다.

-semidirect product를 위한 homog를 만들어 본다.

-NS, complement와 homog를 이용하여 semidirect를 만들고 non-isomorphic인걸 나열

-|G|=prm일 때

-G giso Z_prm

-p-G일 때

-Z(p-G)는 nontrivial(증명은 Class Equation생각)

-nilpotent

-every proper S of G는 proper S of N_G(S)이기도 하다.(proper가 포인트)(link)

-NS가 nontrivial이었으면 NS 교 Z(p-G)도 nontrivial(link)

-|NS|=p인 NS가 있다면 NS는 Z(p-G)에 포함됨

-|p-G|=prm^2이면 abelian이고 Z_prm x Z_prm 이거나 Z_(prm)^2

-|p-G|=prm^3이면(link1)(link2)(link3)

-abelian type

-Z/p^3Z

-Z/p^2Z x Z/pZ

-Z/pZ x Z/pZ x Z/pZ

-nonzbelian type

-Z(p-G)=C(p-G)(link)

-p-G/Z(p-G) giso Z/pZ x Z/pZ(link)

-prm=2일 때

-prm != 2일 때(link참고)

-prm-power map is group homomorphism

-<x,y | x^(p^2) = y^p = 1, yxy^(-1) = x^(p+1)>

-<x,a,b | x^p = a^p = b^p = 1, ab=ba, xax^(-1)=ab, xbx^(-1)=b>

-Sp는 자기자신, unique

-(Fixed Point Congruence)J:finite set, act_J by G에 대해, |J|≡|{fixed points}| (mod p)(link)

-|G|=p^m일 때, G has a normal subgroup of order p^n for 0<=n<=m(link)

-every MS는 [G:MS]=p를 만족하고 NS가 된다.

-|G|=prm1*prm2일 때(prm1<prm2)

-Sp(p=prm2) :NS

-따라서 G:solvable

-prm1이 (prm2 - 1)을 나누지 않으면(즉 prm1=2일 때) G는 cyclic

-prm1이 (prm2 - 1)을 나누면(즉 prm1 != 2 일 때)

-G giso OSDP(Sp(p=prm2), Sp(p=prm1)), up to isomorphic, 1개뿐

-|G|=prm1*prm2*prm3일 때(prm1<prm2<prm3)

-not simple(link)

-|G|=12(link)

-abelian type

-Z/12Z

-Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z

-nonabelian type

-Alt(4)

-D_12

-OSDP(Z/3Z,Z/4Z, f) where f:Z/4Z->Aut(Z/3Z), inversion

-|G|=30(link1)(link2)

-Sp(3)과 Sp(5)중 적어도 1개는 normal

-Z/15Z과 giso인 S를 가짐

-abelian type

-Z/30Z

-nonabelian type

-Z/3Z x D_10

-Z/5Z x D_6

-D_30

-(Feit-Thompson Theorem)G:simple, |G|:odd 이면 G giso Z_p for some p:prm

-G:finite, N:normal in G, Sp:sylow p-subgroup of N, then G=N_G(Sp)N and |G:N| divides |N_G(Sp)|(link)

-About Quotient Group관련

-(First GISO Thorem)homog:G1->G2이면 ker(homog) _<! G1 and G1/ker(homog) giso homog(G1)

(NS존재 <-> homog 존재)

-(Second GISO Theorem)S1 _< G, S2 _< G, S1 _< N_G(S2)이면

S1S2 _< G이고

S1S2 _< N_G(S2)이고 따라서 S2 _<! S1S2

by First GISO Theorem, S1교S2 _<! S1이고 S1S2/S2 giso S1/S1교S2임을 알 수 있다.

(주의:S1 _<! S1S2인지는 모른다. 성립안할 수도 있음)

(S1 _<! S1S2아니더라도, [S1S2:S1]=[S2:S1교S2]는 앎)

-(Third GISO Theorem)NS1 _< NS2 이면(G/NS1)/(NS2/NS1) giso (G/NS2)

(NS가 아니어도, S1 _< S2 _< G이면 [G:S1]=[G:S2][S2:S1]이 성립)(link)

-(Fourth GISO Theorem)NS가 있을 때, te bijection from {S s.t. NS _< S} to {S s.t. S _< G/N} 

(NS _< S _< G인 S에 대해서, S _<! G iff S/NS _<! G/NS 을 얻을 수 있다.)
(주의:|G1|=|G2|, N1 giso N2, G1/N1 giso G2/N2라 해도 G1 giso G2인지는 모름)

-[G:NS]=m이면 for all g in G, g^m is in NS.

-(G/NS)의 largest abelian quotient group giso (h(G)/h(NS) where h:G->G/C(G) projection

-About Commutator관련

-G/C(G):the largest abelian quotient group(만약 G/NS:abelian이면 C(G) _<! NS임), 이게 C(G)의 핵심

-C(G) _< S이면 S:NS이고 G/S는 abelian(link)

-g1g2=g2g1[g1,g2](where [g1,g2]=g1^(-1)g2^(-1)g1g2)

-for any aut in Aut(G), aut[g1,g2]=[aut(g1),aut(g2)], 즉 commutator를 aut에 적용해도 commutator됨

-따라서 C(G) char G

-C(G)의 원소 중 commutator가 아닌 원소가 있을 수 있다.

(Free group on {a,b,c,d}에서 aba^(-1)b^(-1)cdc^(-1)d^(-1) 생각)

-C(G)를 구하는 방법

-G/NS해서 abelian되기만 하면 C(G) _< NS이므로, NS아무거나로 일단 quotient시켜 abelian인지 따져본다.

-S:normal in G iff [S,G] _< S

-(Abelianization of quotient = quotient of Abelianization)f:G->G/NS, g:G->G/C(G)일 때, f(G)/C(f(G)) giso g(G)/g(NS)(link)

-About Group Product관련

-About Direct Product

-Direct Product의 의의

-smaller로 larger group만들거나

-finitely generated abelian을 cyclic factor로 쪼개거나

-non-abelian이더라도 factor들(NS인)로 쪼갤 수 있다는 것, 쪼개면, 각각은 commute하고 order가 작아 조사하기 쉬움)

-EDP(G_i)에서 restricted direct product of the groups G_i는 normal subgroup in product of G_i

-EDP(G1,G2)의 conjugacy classes의 개수 = (G1의 conjugacy classes의 개수)*(G2의 conjugacy classes의 개수)

-EDP(G1,G2,...,Gn)/EDP(NS1,NS2,...,NSn) giso EDP(G1/NS1,G2/NS2,...,Gn/NSn)

-EAG(p,n)의 성질

-non identity 원소는 order가 p

-(p,n)일 때, order가 p인 subgroup의 개수는 (p^n -1) / (p - 1)

-(Recognition Theorem version Direct Product)

:NS1, NS2에 대해 NS1교NS2=1이면 IDP(NS1,NS2) giso EDP(NS1,NS2)

-About Semidirect Product

-Semidirect Product의 의의

-S1 _< G1, NS1 _<! G1, S2 _< G2, NS2 _<! G2일 때 S1 giso S2, NS1 giso NS2라 해서 ISDP(NS1,S1)과 ISDP(NS2,S2)가 giso인거 보장못함

-OSDP(G1,G2)의 성질

-G1:NS of OSDP(G1,G2)

-G2:S of OSDP(G1,G2)

-order of OSDP(G1,G2)=|G1|*|G2|

-(G1,1)교(G2,1)=1

-OSDP(G1,G2,f)가 EDP(G1,G2)와 same일 TFAE

-About Series In Group Theory관련

-G/MNS:simple

-(Jordan-Holder Theorem)finite nontrivial G는 composition series을 갖고(not unique), composition factors는 unique

(주의: G1 giso G2가 아니어도 same list of composition factors를 가질 수도 있다.)

-cyclic group<abelian group<nilpotent group<solvable group<all group

-About Solvable

-G:solvable이면 S:solvable

-G:solvable이면 homomorphic image도 solvable

-따라서 quotient of G도 solvable

-NS:solvable and G/NS:solvable이면 G도 solvable

-S1:solvable and S2:solvable and S1S2(defined as subgroup)이면 S1S2도 solvable

-finite EDP of solvable is solvable

-G:nilpotent이면 G:solvable

-additional theorem(증명들이 김)

-(Philip Hall)G:solvable iff for any n s.t. gcd(n,|G|/n)=1, G has a subgroup S of order n.        

-(Burnside)|G|=(p1)^a (p2)^b이면 G:solvable

-(Feit-Thompson)|G|:odd이면 G:solvable

-(Thompson)If for every pair x,y in G, <x,y>:solvable, then G:solvable

-모든 proper subgroup이 abelian이면 G는 solvable

-About nilpotent

-G:nilpotent이면 S:nilpotent

-G:nilpotent이면 homomorphic image도 nilpotent

-따라서 quotient of G도 nilpotent

-(주의)NS:nilpotent and G/NS:nilpotent라 해서 G가 nilpotent이진 않다.(Ex:Take G=S_[3], NS=A_[3])

-G:nilpotent이면 G:solvable

-S1:nilpotent and S2:nilpotent and S1S2(defined as subgroup)이면 S1S2도 nilpotent

-G/Z(G):nilpotent이면 G:nilpotent(왜냐하면 Z(G/Z(G))k = G/Z(G) = Z(G)k+1/Z(G) )

-finite EDP of nilpotent is nilpotent

-finite nilpotent관련

-About Free관련

-FG(E) is a group(즉 concatenating이 well-defined하고 associative만족함)

-(Universal Property of Free Group)f:E->G인 map이 있다면, te! g:FG(E)->G s.t. g:homog, restriction of g on E = f

-FG의 subgroup은 free이다.

-for any G, te FG and homog:FG->G s.t. G=homog(FG)

-(Universal Mapping Property of free product)for f_i:G_i->G, homog, te! F:FP(G_i)->G s.t. f_i=i_i o F where i_i:inclusion from G_i to FP(G_i)

-About Presentation관련

-

-About Short Exact Sequence관련

-ES(G1,G2,G3,f1,f2) iff SES(f1(G1),G2,G2/ker(f2),inclusion,quotient)

(따라서 Exact관련해서는 SES형태로 바꿔서 다루기 가능)

(Short Five Lemma)(Md에서도 성립)(link)

:For homo from SES1(G1,G2,G3,f1,f2) to SES2(G1',G2',G3',f1',f2')인 g1,g2,g3, 

-g1과 g3가 injective(surjective, isomorphism)이면 g2가 injective(surjective, isomorphism)

-SES(G1,G2,G3,f1,f2):left split iff equivalent to SES(G1,EDP(G1,G2),G2,embedding,projection)

(증명은 f:G2->EDP(G1,G2) 잘만들기)

-SES(G1,G2,G3,f1,f2):right split iff equivalent to SES(G1,OSDP(G1,G3,homog:G3->Aut(G1)),G3,embedding,projection)

where homog(g3)(g1)=f1^(-1) ( (f2'(g3) * f1(g1) * f2'((g3)^-1)) )

(증명은 f:OSDP->G2 잘만들기)

(따라서 left split가 훨씬 강하다.)

(Module에서는 abelian group일 때므로, OSDP=EDP이고 따라서 left split iff right split)

-Some Techniques using Sylow and another things(link참고)(link1)(link2)(link3)(link4)(link5)

-Counting Elements

-Subgroup Index and left multiplication action on left cosets

-G을 S_[n]의 subgroup으로 보고 해결

-Normalizer of Sylow의 Sylow 생각(another prime)

-Normalizer of distinct Sylow p-subgroups생각(same prime)

-Representation관련

-Every G has at least one rep(trivial rep생각)

-G=<g>, of order n

-f:G->GL(1:C), f가 MT-rep iff {f(g)}^n = 1

-For G:group, {rep of G} bijection {G-Md VS(F)}

-(Construction of G-Md VS(F) from a G-set)For J:G-set, make VS(F)=direct sum of Fj,act_VS(F) by G는 g를 basis원소에 act하는 걸로하면 됨

(즉, G:group이 있고 G-Set을 하나 안다면, G-Md VS(F)를 얻을 수 있고, 그로인해 rep of G를 하나 얻는다.)

-G:group이 있고 G-Set으로 G그 자체 택하고 action을 left translation을 주면, G-Md F[G]을 얻는다. 이때의 rep of G를 regular rep of G라 한다. 

-for finite G

-F[G]=direct sum of miVi, where mi=dim(Vi), Vi,Vj:nonisomorphic for distinct i,j, 게다가 모든 irr G-subMd appears in F[G]

-V:G-Md VS(F)가 W:nonzero proper G-subMd를 갖는다면, W의 basis를 이용해 대응된 rep of G의 MT-rep of G의 형태가 block upper triangular MT로만 되게(for any g in G) basis를 잡을 수 있다. 

-만약 W가 G-subMd인 complement를 갖는다면 block diagonal MT로만 되게(for any g in G) basis를 잡을 수 있다.

-(Maschke's Theorem)(F=R(Std), C일 때)for G:finite group, V:nonzero G-Md f-dim VS(F), V is a direct sum of irreducible G-subMds(link)

(즉 G:finite group, G-Md f-dim VS(R(Std) or C)는 completely reducible이다.)

-G-Md homo관련(G:group, f:V1->V2가 G-Md homo, V,V1,V2:G-Md VS(F))

-ker(f):G-subMd of V1

-Im(f):G-subMd of V2

-(Isomorphism Theorem for G-Md VS(F))te! F:V1/ker(f)->Im(f) s.t. F:G-Md isomorphism

-f:V1->V2:G-Md homo iff u:rep of G to GL(V1), v:rep of G to GL(V2)라 할 때 f(u(g)) = v(g)(f)), link보고 그림보는게 이해 쉬움(link)

-f가 G-Md iso면 u(G)->v(G) conjugation isomorphism을 얻는다.

-(Schur's Lemma)for V1,V2:irreducible G-Md VS(F), f:V1->V2는 G-Md homo일 때 f는 zero map or G-Md iso

-for V1:irreducible G-Md VS(F), Hom_G(V1,V2)=0 iff te no G-subMd of V2 s.t. G-Md isomorphic to V1

(V2의 irreducible factor중 V1과 isomorphic(as G-Md VS(F))한 것은 없다는 지표가 됨)

-End_G(V)관련

-for F=C일 때, V:irreducible G-Md VS(F), f in End_G(V,V)일 때, f=egv*id where egv(f)(link)

-따라서 f의 egv가 1개뿐이라는 것도 알게 됨

-for V:irreducible G-Md VS(F), End_G(V) aiso F

-End_G(V)에 해당되는 Matrix rep 버전이 Com(X), where X:MT-rep(isomorphic as algebra란 소리)

-for V=direct sum of V1 and V2 s.t. V1,V2:G-subMd of V s.t. Hom_G(V1,V2)=Hom_G(V2,V1)=0, End_G(V) aiso End_G(V1) x End_G(V2)(link)

-k개여도 확장됨, End_G(V) aiso End_G(V1) x End_G(V2) x ... x End_G(Vk)

(물론 이 Vi중 irreducible인게 있다면 그건 F와 aiso if F:ac-F)

-for V=direct sum of V1 and V2 s.t. V1,V2:irreducible G-subMd of V s.t. Hom_G(V1,V2):nonzero, End_G(V) aiso MT(2x2)(F)(link)

-m개여도 확장됨, End_G(V) aiso MT(mxm)(F)

-(위의 2개 내용으로부터)V=m1V1 + m2V2 + ... +mkVk(즉 irreducible V1이 G-Md isomorphic한게 m1개 ...)(as direct sum)일 때

End_G(V) aiso MT(m1xm1)(F) + MT(m2xm2)(F) + ... + MT(mkxmk)(F)(as direct sum)

-dim(V)=sum of mi*dim(Vi)

-dim(End_G(V))=sum of square(mi)

-Z(End_G(V))=F^k, (즉 not G-Md isomorphic submodule의 개수를 가르쳐줌)

-Class function관련(G:Group, V:G-Md VS(F), c:character of V, h:class function of G, R(G):=set of all class function of G, F(G):=set of all function from G to F)

-F(G):VS(F)

-R(G):subspace of F(G)

-{irr characters of G}:basis for R(G)

-G가 finite일 때(|G|=n)

-F(G):VS(F) isomorphic to F^n

-dim(F(G))=n >= dim(R(G))

-F(G)에 inner product를 줄 수 있다.(F가 R이나 C이면) for f1,f2 in F(G), <f1,f2>:=1/n * {sum over g in G  f1(g)*ct(f2(g))}(1/n = 1/|G|은 normalize위해서)

(즉, F(G)는 IPS(F)됨) 

-Character of rep(G)관련

-(Linear Independence of multiplicative characters)for f1,f2,...,fk:distinct multiplicative characters on G, f1,f2,...,fk:linearly independent over F

-c(identity)=degree of c(즉 dim(V))

-c is a class function on G

-for another U:G-Md VS(F) s.t. isomorphic to V as G-Md, c=character of U

(즉 G-Md iso한 V에서의 Character는 서로 같은 함숫값가짐 for any g in G)

(역은 F=C일 때 성립)

-for V=m1V1 + m2V2 + ... +mkVk(즉 irreducible V1이 G-Md isomorphic한게 m1개 ...)(as direct sum)일 때 character of V=sum of (mi*character of Vi)

-G가 finite일 때(|G|=n)

-for c:character of F[G], c(identity)=|G|, c(g)=0 for any non identity g.

-(F=C일 때)<c1,c2> = 1/n * {sum over g in G c1(g)*ct(c2(g))} = 1/n * {sum over g in G c1(g)*c2(g^(-1))}(link)

(사실 for all g in G, c1(g)*ct(c2(g)) = c1(g)*c2(g^(-1))이기 때문에 성립)

-for irr character c1 of G-Md V1, irr chacracter c2 of G-Md V2, <c1,c2>=1(if V1 G-Md isomorphic to V2) or 0(otherwise)(link)

-(F=C일 때)for V:f-dim and V=m1V1 + m2V2 + ... +mkVk, ci:character of Vi, Vi:irr G-subMd

-c=sum of mi*ci

-<c,ci>=mi

-<c,c>=sum of (mi)^2

-<c,c>=1 iff V:irr G-Md iff c:irr

-decomposition is unique(ci가 linearly independent임을 이용)

-irr G-Md V개수=irr character of G=conjugacy class of G의 개수(link)

-TP(V1,V2)관련(Vi:Gi-Md)

-TP(V1,V2):G1xG2-Md

-character of TP(V1,V2)(g1,g2):=character of V1(g1) * character of V2(g2)

-V1:irr G1-Md and V2:irr G2-Md iff TP(V1,V2):irr G1xG2-Md

-Every irr G1xG2-Md V is isomorphic to TP(V1,V2) for some irr G1-Md V1 and irr G2-Md V2

-Restricted, induced관련

-induced rep은 well-defined and independent of a choice of a transversal(link1)(link2)

-(Frobenius Reciprocity)<char of G, induced>=<char of H, restricted>(link)

 

*Ring Theory

-Ring, Subring관련

-zd는 not unit

-unit은 not zd

-for any x in R, x^3=x이면 R:CR(link)

-for any x in R, x^4=x이면 R:CR(link1)(link2)

-C_R(subR):subring

-N_R(subR):the largest subring of R which includes subR as ideal

-Z(R)관련

-commutative SR이다.

-for any ring R, R = Z(R)-A(algebra over its center)

-R=R일 때

-id1 + id2는 smallest id containing id1 and id2

-id1id2는 id contained in id1교id2

-R=CR일 때

-r:nilpotent이면 1+r:unit

-a|b iff a in (b) iff (a)<(b)

-(gcd(a,b))>({a,b})

(=될 충분조건은 ({a,b})가 p-id로 ({a,b})=(d)였다면 d=gcd(a,b)이다.)

-cprm-id는 element-wise하게 얘기할 수도 있음

-(Existence of the smallest ring containing R in which all elements in E become units)

E:subset of R, not contain 0 of R, not contain zd of R, closed under multiplication일 때

te CR_[1]인 R2 s.t. R2 contain R as subR and every element in E is a unit in R2

-R=R_[1]일 때

-id=R iff 1 is in id

-every proper id is contained in a M-id(link)

-R=DR일 때

-(Wedderburn's little theorem)finite DR은 field

-R=CR_[1]일 때, 

-R:field iff id of R은 0과 자기자신 뿐

-id:M-id iff R/id:field

(field를 construct하는 방법을 제시)

-id:cprm-id iff R/id:ID

-every M-id는 cprm-id이다.

-R=ID일 때

-finite ID는 field

-(a)=(b)이면 a,b:associate in R

-(uniqueness of gcd)c=gcd(a,b)이고 d=gcd(a,b)이면 c,d:associate in R

-r:prime이면 r:irreducible in R

-(Existence of Quotient Field)QF(ID)는 유일하게 존재한다.

-R=UFD일 때

-for nonzero nonunit r in R, r:prime iff r:irreducible

-for nonzero a, nonzero b in R, gcd(a,b)는 factorization of primes로 구할 수 있다.

-R=PID일 때

-(Characterization of PID)ID:PID iff ID has a multiplicative DHnorm_ID(link)

-for nonzero a, nonzero b in R, (a,b)=(r)인 r이 존재하고 r=gcd(a,b) up to associate, 따라서 te x,y, in R s.t. gcd(a,b)=ax+by

-for nonzero a, nonzero b in R, te x,y in R s.t. gcd(a,b)=ax+by, 따라서 (gcd(a,b))=({a,b}) 

-Every nonzero cprm-id is M-id(역은 CR_[1]에서도 성립)

(Characterization 빼곤 2개는 inverse가 성립함을 가리킴)

-Noetherian

-R=ED일 때

-(Characterization of ED)ID:ED iff ID has a EFnorm_ID

-Every id is p-id(그때의 generator는 norm이 minimum인 원소)

-for nonzero a, nonzero b in R, gcd(a,b)는 Euclidean Algorithm으로 구할 수 있다.

-Z(R)관련

-subring

-graded관련

-R:graded, id:graded일 때, R/id 또한 graded이고 homogeneous component of degree k 는 Rk/(id교Rk)와 isomorphic

-Functions Ring관련

-R=CR_[1]일 때 R[x]

-R[x]:CR_[1]

-R[x1,x2]:=R[x1][x2]로 several variables polynomial ring정의됨

-id:id of R, R[x]/id[x] riso R/id[x]

-따라서 id:cprm-id of R일 땐, id[x]:cprm-id of R[x]가 된다.

(M-id에 대해선 성립하지 않는다. 즉 id:M-id of R이라 해서 id[x]가 M-id of R[x]가 되진 않음)

-(Characterization of unit in R[x])P(x)=a0+a1x+...+anx^n:unit in R[x] iff a0:unit and ai:nilpotent for i>=1 

-(Hilbert's Basis Theorem)(link1)(link2)

:R이 Noetherian이면 R[x]도 Noetherian

-R=ID일 때 R[x]

-R[x]:ID

-deg(P1)+deg(P2)=deg(P1P2)

-R[x]^* = R^*   (zd가 없어서 nonzero nilpotent가 없기 때문)

-for nonconstant and monic P(x) in R[x], P(x):reducible in R[x] iff te a(x), b(x) in R[x] s.t. P(x)=a(x)b(x) and a(x),b(x)모두 nonconstant and monic

-for nonconstant and monic P(x) in R[x], P(x):reducible in R[x]이면 for any proper id of R, the reduced P(x) in (R/id)[x] can be factored into two smaller degree polynomials in (R/id)[x]

(이때 two polynomials가 nonconstant인지, monic인지 둘다 보장 안됨)

(역은 성립하지 않음)

(대우를 통해서 irreducible판정의 충분조건 얻음)

(Several Variables인 경우 조심, 예를 들면 Z[x,y]=Z[x][y]이고, (x)는 proper id in Z[x]이지만, Z[x]/(x) riso Z, 이런 경우)

-R=UFD일 때 R[x]

-(Gauss's Lemma)for P(x) in R[x],  P(x):reducible in QF(R)[x]이면 P(x):reducible in R[x]

-(Gauss's Lemma의 Partial Converse)for P(x) in R[x], P(x):reducible in R[x] and gcd of coefficients of P(x)=1이면 P(x):reducible in QF(R)[x]

(gcd=1이란 조건이, 어떻게 사용되냐면 P(x)=a(x)b(x), a(x)와 b(x)모두 not constant임을 보장해줌)

(gcd=1이란 조건위해 대게 monic인 것 사용)

(예를 들면 2x+2는 Z[x]에서 reducible, Q[x]에서 irreducible이고 2x+1은 Z[x]에서 irreducible Q[x]에서도 irreducible)

-R:UFD iff R[x]:UFD

-따라서 R:UFD이면 R[x], R[x1,x2],...도 UFD

-for P(x) in R[x], if p/q in QF(R) s.t. P(p/q)=0 and gcd(p,q)=1, p는 P(x)의 constant를 나누고, q는 P(x)의 leading coefficient를 나눈다.

(특히 Z[x], QF(Z)=Q에서 주로 사용)

(for P(x) in R[x], P(x) has no root in QF(R)임을 보일 때 사용하기도 함, 2,3 degree가 no root in QF(R)이면 irreducible in QF(R)이고 따라서 P(x):irreducible in R[x])

-R=PID일 때 R[x]

-R[x]:PID이면 R은 사실 Field여야만 함

-R=ED일 때 R[x]

-R=F일 때 R[x]

-R[x]:ED(using degree norm), VS(F)

(역도 참)

-R[x]:ED이므로 UFD이고 

-for any G(x) in R[x], G(x)=(P1(x))^m_1 * (P2(x))^m_2 * ... * (Pk(x))^m_k, 각 Pi(x)는 distinct하고 irreducible polynomials in R[x] 

-R[x]/(G(x)) riso R[x]/((P1(x))^m_1) x R[x]/((P2(x))^m_2) x ... x R[x]/((Pk(x))^m_k)(using Chinese Remainder Theorem)

-P(x) has a factor of degree 1 iff P(x) has a root a in F, i.e. P(a)=0

-(Irreducible Criteria)P(x), degree 2 or 3, 가 reducible iff P(x) has a root a in F, i.e. P(a)=0

-(Lagrange Interpolation Formula)(link)

:특정 지점에서 특정 값을 갖게하는 최소 degree polynomial 건설방법(unique), link참고

-특히 F_p[x]의 경우

-x^p - x +a:irreducible over F_p for nonzero a in F_p(link)

-F[x1,x2,...,xn]관련

-qdf_F관련

-qdf1, qdf2:equivalent iff MT_qdf1 =_congruent MT_qdf2

(따라서 M_qdf, quadratic map부분 참조)

-F(x)관련

-F=QF(ID)라면, QF(ID[x])=QF(ID)(x)

-Aut(F(x)/F)의 원소 f는 f(x)만 결정되면 for a in F(x), f(a)가 결정됨(link1)(link2)

-Irreducibility of a polynomial

-실질적 방법

-(Finding Proper id)

:nonconstant and monic P(x) in ID[x], te proper id s.t. P(x) in (ID/id)[x] cannot factored two smaller degree polynomials이면 P(x):irreducible in ID[x]

(만약 모든 proper id에 대해서 factored two smaller degree된다면 irreducible인지 판정할 수 없다, 하지만, 어떤 id에 대해서 irreducible factorization의 degree와 다른 id에 대해서 irreducible factorization의 degree가 다르다면, P(x)는 irreducible일 수 밖에 없다.) 

-(Finding Cprm-id, Eisenstein Criteria)

:nonconstant and monic P(x) in ID[x], te cprm-id s.t. coefficients of P(x)가 leading빼곤 다 cprm-id의 원소이고 상수항은 (cprm-id)^2의 원소가 아닌, 이면 P(x):irreducible in ID[x]

-(Root존재여부)

:nonconstant and (monic) P(x) in F[x],

-deg(P(x))=1이면 P(x):irreducible in F[x]

-deg(P(x))=2이고 no root in F이면 P(x):irreducible in F[x]

-deg(P(x))=3이고 no root in F이면 P(x):irreducible in F[x]

-P(x):reducible iff P(x+1):reducible

-관계

-P(x):irreducible in UFD[x]이면 P(x):irreducible in QF(UFD)[x]

-nonconstant and (monic) P(x):irreducible in QF(UFD)[x]이면 P(x):irreducible in UFD[x] 

-Homomorphism관련

-ker(homor)는 id가 된다. homor:R1->R2일 때 R1의 id

-homor:R1->R2일 때 homor(R1):SR of R2

-homor:R1->R2에서 R1:field면 homor는 injective이거나 zero homor이다.

-Quotient Ring관련

-(First RISO Theorem)homor:R1->R2일 때, R1/ker(homor) riso homor(R1)   

-(Second RISO Theorem)SR1 + id = SR2 이고 SR1교id1=id2 of SR1 이고 (SR + id)/id riso SR/(SR교id)(제일 마지막 결과가 앞선 2개를 포함함)

-(Third RISO Theorem)id1<id2일 때, id2/id1:id of (R/id1) 이고 (R/id1)/(id2/id1) riso (R/id2)

-(Fourth RISO Theorem)id가 있을 때, te bijection from {SR containing id} to {SR of R/id}게다가 id<E에 대해 E:ideal of R iff E/id:ideal of R/id

-(Chinese Remainder Theorem for CR_[1])id1,id2,...,idn에 대하여, 

-homor:R->(R/id1)x(R/id2)x...x(R/idn) (homor된다는 점)

-ker(homor)은 id1교id2교...교idn

-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 ker(homor)=id1교id2교...교idn=id1id2...idn 그리고 homor가 surjective

-for any i,j idi(not equal i,j), idj가 comaximal이면 induced riso에 양변에 ^*을 취해도 성립(group of units끼리도 giso된다는 것)

-Matrix Ring관련

-for id of R, MT(id):id of MT(R)

-id:id of R일 때, id=ker(homor), where homor:MT(R)->MR(R/id)

-MT(R_[1])의 id는 MT(id) where id is ideal of R_[1]이 된다.

-MT(F)의 id는 0과 MT(F)뿐

-Group Ring관련

-R[G]가 CR <-> G가 abelian

-R의 1이 RG의 1이다.

-SR _< R, S _< G일 때, SR[G]와 R[S]는 R[G]의 subring이다.

-zd가 항상 존재.

-augmentation map:R[G]->R관련

-homor되고, ker은 계수합이 0인 것들

-ker은 ({g-1|g in G})

-ker은 M-id된다.

-다른 대표적 id는 g_i의 계수가 다 같은 것들

*Field Theory

-Basic

-id of F는 0와 자기자신뿐

-for SR of F s.t. contains the 1 of F, SR=ID

-char(F)=0 or prm이다. char(F)=0이면 F has a subfield isomorphic to Q, char(F)=prm이면 F has a subfield isomorphic to F_p

-F는 VS(F)로도 간주할 수 있다. 특히 F2/F도 가능

-F^*의 finite subgroup은 cyclic이다.(link)

-Extension Field관련

-(Existence of Extension Field using irreducible polynomial)

:P(x):irreducible in F[x]이면 

-te F2/F s.t. F2 contain F as subfield and F2 contain a root of P(x)이고(link)

(homor f:F[x]->F[x]/(P(x)), for any P1(x) in F[x], P1(f(x))=f(P1(x))인 걸 생각)

-a=x (mod (P(x)) in F2라 할 때, a가 그 root이고, {1,a,a^2,...,a^(n-1)}:basis for F2 over F(deg(P(x))을 n이라할 때)

(즉 [F2:F]=n임을 앎)

(F2/F가 P(x)의 root를 갖고 있긴 한데, 모든 roots를 갖고 있진 않을 수 있음, 하지만 반복한다면 F와 all roots of P(x)를 포함하는 extension field만들 수 있음)

-F(a) isomorphic to F2(=F[x]/(P(x)))

-따라서 F(a)={linear combinations of {1,a,a^2,...,a^(deg(P(x))-1)}}로써 describe가능

(F와 P(x)의 root를 포함하는 field의 존재성을 보였는데, P(x)가 irreducible in F[x]일 땐사실상 증명을 통해 그게 unique up to isomorphism인 걸 보인 셈)

(사실 F[x]는 ED이고 따라서 UFD이므로 for any nonconstant P(x) in F[x]에 대해서도 같은 논의 가능, irreducible인 factor잡아서)

-char(F)=0이면 every finite length extension of F는 simple extension이다. 즉 F(a1,a2,...,an)=F(b)인 b존재

-F1 riso F2 by f이면

-induce F1[x] riso F2[x] by g이고

-for P(x):irreducible in F1[x], a:root of P(x), b:root of g(P(x))라 두면(b가 f(a)일 필요는 없음)

-te riso h:F1(a)->F2(b) s.t. h(a)=b and restriction of h on F1 is equal to f

(F2=F1인 경우면서 a != b인 경우 생각하면, F(a)와 F(b)는 대수적으로 같은 구조임을 앎)

-(Describing Simple Extension using algebraic element)

:a:alg(F)이면

-mP_(a,F)는 defined되고

-F(a) isomorphic to F2(=F[x]/(mP_(a,F)))

-deg(a)=deg(mP_(a,F))=[F(a):F]

-iff [F(a):F]:finite(a:alg(F)임을 판단하는 데에 쓰이기도 함)

-F2:FEF of F1이면 F2:AEF of F1(link)

-F2/F1, a:alg(F1)이면

-a:alg(F2)이고

-mP_(a,F2) | mP_(a,F1)

-F3/F2 and F2/F1이면 [F3:F1]=[F3:F2][F2:F1]

-F2:FEF of F1 iff F2=F1(a1,a2,...,ak) for some algebraic ai over F1

-for F2/F1, F2=F1(a1,a2,...,ak) for some algebraic ai over F1 s.t. [F1(ai):F1]=ni이라면 [F2:F1]<=n1*n2*...*nk

-for F2/F1, the collection of all algebraic element over F1 in F2 is the subfield of F2

-F3:AEF of F2, F2:AEF of F1이면 F3:AEF of F1(link)

-[F1F2:F]<=[F1:F][F2:F] with equality if gcd([F1:F],[F2:F])=1

-Classical Straightedge and Compass Constructions관련

-Construction Rule

(1) straightedge-이미 주어진 두 점을 이어 선분(직선)을 그릴 수 있다.

(2) compass-이미 주어진 길이를 반지름으로 하는 원을 그릴 수 있다.(원점은 어디든 가능)

->기본적으로 가능한 일은, 

-평행하지 않는 두 직선이 만나는 점을 찍을 수 있다.

-원과 직선이 만나는 점을 찍을 수 있다.

-두 원이 만나는 점을 찍을 수 있다.

-기초적으로 작도가능한 것들

(1) Euclidean Plane상에 각 좌표의 성분이 정수인 점들을 그릴 수 있다.

(2) 주어진 한 점(A), 한 직선(l), l에 평행이고 A를 지나는 직선을 작도 할 수 있다.

(3) 주어진 한 직선(l)상에 이미 아는 점(P)가 놓여있을 때, P를 지나고 동시에 l에 수직인 직선을 작도할 수 있다.

(구체적인 방법은 다음을 참고)

-http://blog.naver.com/mclub3/10184519519 ​

-몇가지 Theorems

(1) a와 b가 constructible이면

a+b, a-b, ab, a/b도 constructible이다. (when b is not 0)

(a,b가 constructible일 때, ab가 constructible인 이유는 닮은삼각형 이용)

따라서 모든 contructible numbers의 set(F라 하자.)은 subfield of real numbers R

따라서 Q(rational numbers)은 subfield of 모든 constructible numbers의 set

(Q는 R의 smallest subfield이므로)

따라서 모든 유리수 길이의 segment는 그릴 수가 있다.

따라서 Euclidean Plane상에 각 좌표의 성분이 유리수인 점들을 그릴 수 있다.

(이 plane상에 추가적으로 더 찍힐 수 있는 points의 가능성은...3가지가 있다.

유리수 좌표의 두 점을 지나는 두 직선의 교점,

유리수 좌표의 두 점을 지나는 직선과 유리수 좌표의 점을 중심으로 하고 반지름을 유리수로 갖는 원의 교점,

유리수 좌표의 점을 중심으로 하고 반지름을 유리수로 갖는 두 원의 교점.

이 중에서

첫번째는 관심이 없고(새로 추가적으로 찍히는 point가 생기지는 않는다.)

세번째는 두번째로 귀결된다.

두번째는 관심이 있다. 새로 얻은 교점의 좌표가 유리수에 square root를 씌운 값이 나오기 때문

     (2) F는 Q의 원소에 유한번의 사칙연산 과 유한번의 taking square을 통해 얻을 수 있는 모든 real numbers를 포함한다.(precisely)

(유한번의 사칙연산과 유한번의 taking square를 통해 얻은게 아닌 것은 F에 포함되지 않음을 보인다음, 유한번의 taking square만 증명하면 된다. 유한번의 사칙연산은 (1)에서 보임)

따라서 어떤 real number r이 constructible 이면 [Q(r):Q]=2^s for some  integer s>=0.

따라서 F는 algebraic extension of Q (not finite extension!!!)

-3대 작도불가능

(1) 주어진 cube에 대해 그 cube의 volume의 2배인 cube을 작도할 수는 없다.

(2) 주어진 원의 넓이와 같은 정사각형을 작도할 수는 없다.

(3) 임의의 각을 3등분 하는 것은 불가능하다.(각 t의 작도<->cos(t)의 작도와 cos의 3배각 공식+20도 이용)

-각 t를 작도할 수 있음 iff cos(t)를 작도할 수 있음

-ac(F):ac-F

-for any F1, te a extension field F2 s.t. F1<F2 and F2:ac-F

-{x in F2 s.t. x:alg over F1}=ac(F1), ac(F1) is unique up to isomorphism

(즉 어떠한 ac-F인 F의 subfield F2의 algebraic closure는 F안에 있다, 예를 들면 C는 Q의 algebraic closure를 포함한다.)

-for char(F)=p, Frobenius_F is injective

-SptEF관련(F2:SptEF_(P(x),F1))

-For an irreducible poly Q(x) in F1[x] s.t. it has a root in F2, Q(x) splits completely in F2[x](link)

(역은 [F2:F1]<inf란 조건 필요)(link)

-Separable관련(F1<F2, f(x) in F1[x])

-(separable criteria)f(x) has a multiple root a iff a is a root of both f(x) and D_x(f(x))

-f(x):separable over F1 iff gcd(f(x),D_x(f(x)))=1 in F1[x]

-(separable criteria for a perfect field)F1:perfect일 때, 

-f(x):separable over F1 iff f(x):product of distinct irreducible polynomials

-for F1:perfect일 때 F2:AEF of F1이면 F2:SEF of F1

-for F2:SptEF_(P(x),F1) with F1:perfect이면 F2:GEF of F1

-Cyclotomic Field of nth root of unity관련(Q(

-Cyclotomic Field of nth root of unity=SptEF_(x^n-1,Q)=Q(primitive nth root of unity)

-x^n - 1 = prod over all d:divisor of n CCTMP(x)_d(각 root of x^n - 1도 x^d - 1에선 primitive root가 되기 때문에)

-n=sum over all d:divisor of n ephi(d)(위의 identity에서 degree만 생각)

-CCTMP(x)_n은

-it is in Z[x](by induction on n, x^n - 1 identity and Gauss's Lemma)

-irreducible over Z(따라서 over Q에서도 irreducible)

-

-[Cyclotomic Field of nth root of unity:Q]=ephi(n)

-Aut관련, Galois Theory관련

-for f in Aut(F), f fixes the prime subfield of F

-for a in F2 s.t. alg over F1, for any f in Aut(F2/F1), a와 f(a) 모두 roots of m_(a,F1)

(즉, P(x) in F1[x]의 근 a in F2이면 for any f in Aut(F2/F1) f(a)도 P(x)의 근)

-for F1<F2<F3, Aut(F3/F2)<Aut(F3/F1)

-for S1<S2<Aut(F), F_S2 < F_S1

-for F2:SptEF_(P(x),F1), |Aut(F2/F1)|<=[F2:F1](=성립 iff P(x):separable over F1)

(좌측은 minimal polynomial의 distinct roots개수배만큼 곱해나가는 과정이고 우측은 minimal polynomial의 degree배만큼 곱해나가는 과정)

-for F1<F2<F3, S:subgroup of Aut(F3/F1)

-F3_S is a subfield of F3

-[F3:F3_S]=|S|<=[F3:F1], 특히 S=Aut(F3/F1)일 때를 보면, [F3:F3_Aut(F3/F1)]=|Aut(F3/F1)|<=[F3:F1]

(중요함, 첫번째 등호가 중요한데, multiplicative character on S, group의 character이용)

-Aut(F3/F3_S)=S, 즉 F3:GEF of F3_S for any S(증명은 [F3:F3_S]=|S|랑, S<=Aut(F3/F3_S)(subgroup)을 이용)

-S1 != S2이면 F3_S1 != F3_S2이다.

-if F2:FEF of F1, then F2:GEF of F1 iff |Aut(F2/F1)|=[F2:F1](이 경우 Aut(F2/F1)=G(F2/F1))

(증명은, ->은 위에서 보였고, <-은 minimal poly가 separable인 것을 보이면 됨)

(증명과정 중 다음도 알 수 있다. for a in F2, {all roots of m_(a,F1)}={all distinct galois conjugates of a over F1}

-for any f in Aut(F3/F1), Aut(F3/f(F2)) = f Aut(F3/F2) f^(-1)

-If F3:GEF of F1(즉 [F3:F1]=|Aut(F3/F1)|)

-F3:GEF of F2(즉 [F3:F2]=|Aut(F3/F2)|)(SEF NEF생각해보면 됨)(link)

-te bijection from {subgroup G s.t. G<Aut(F3/F1)} to {subfields F s.t. F1<F<F3}(link)

(Injection은 F3:GEF of F1이 없어도 성립, surjection은 F3:GEF of F1이어서 F3:GEF of F여서 성립)

-[F2:F1]=[Aut(F3/F1):Aut(F3/F2)](우변은 group index)

(F2:GEF of F1인지 모름, 보장안됨)

-[F3_S:F1]=[Aut(F3/F1):S]

-F<->G일 때 F:GEF of F1 iff G:normal in Aut(F3/F1)(link1)(link2)

(증명할 때를 참고하면 다음을 알 수 있다. If F3:GEF of F1, then every embedding g of F2 into closure of F1 fixing F1 is a restriction of f in Aut(F3/F1) on F2)

(즉, g(F2) < F3 라는 것)

-J<->G, K<->H일 때

-J교K <-> <G,H>

-JK <-> G교H

-for P(x):separable over F, disc(P(x)) is in F(왜냐하면 Aut(SptEF/F)의 모든 원소에 의해 fixed되므로) 

-for monic P(x), disc(P(x)) is polynomial in the coefficients(왜냐하면 roots의 symmetric function이므로)

-finite field관련(F:finite field, char(F)=p, |F|=q)

-Frobenius_F is isomorphism

-the number of distinct subspaces W of dimW=k of dimV=n = (q^n - 1)(q^n - q)...(q^n - q^(k-1)) / (q^k - 1)(q^k - q)...(q^k - q^(k-1))

*Module Theory

-(R-subMd Criteria)E:subset of R-Md가 다음을 만족하면 E는 R-subMd이다.

:E is non-empty

for all r in R, for all x,y in E, x+ry is E

(Vector Space배울 때, subspace판별법과 같다.)

-Torsion관련

-Tor(Md)가 submodule되려면 R:ID여야함

-T

-Ann관련(M:R-Md, N:subMd of M, id:Rid of R)

-Ann_R(N)관련

-for N1<N2이면 Ann_R(N2)<Ann_R(N1)

-for R:PID, N1<N2 with Ann_R(N1)=<a>, Ann_R(N2)=<b>이면 a|b

-Ann_M(id)

-we can make Ann_M(id) an (R/id)-Md

-EDP(M1,M2,...,Mn)/EDP(S1,S2,...,Sn) R-md iso EDP(M1/S1,M2/S2,...,Mn/Sn), where Mi:R-Md, Si:R-subMd of Mi

-for finitely many R-subMd들 N1,N2, ..., Nk, L:=N1+N2+...+Nk라 했을 때

-TFAE

-L이 direct sum of Ni

-for any j in {1,2,3,...,k}, the intersection of Nj and the sum of Ni without Nj = {0}

-L isomorphic N1xN2x...xNk(componentwise로 R-Md만든거)

-for R:R_[1], M:R-Md, te I:injective R-Md s.t. M<I(따라서 Injective hull of M의 존재성 보일 수 있다.

(즉, any R_[1]-Md is a submodule of an injective Md)

-(Characterization of Noetherian Module)

for M:left R-Md, TFAE

-M:Noetherian

-Every nonempty set of submodules of M contains a maximal element under inclusion

-Every submodule of M is finitely generated

(주의:M:finitely generated라 해서 M의 subMd가 finitely generated인 게 보장이 안됨)

-Homomorphism, Quotient Module관련

-Hom(R-Md1,R-Md2):abelian group

-R이 commutative이면 Hom(R-Md1,R-Md2)는 R-Md가 될 수 있다.

-End(R-Md)은 R_[1]

-R이 CR_[1]이면 End(R-Md)는 R-A도 됨

-for M:R-Md, N:R-subMd of M, M/N:R-Md된다.

-for M:R-Md1, N:R-Md2, f in Hom(M,N), M/ker(f) isomorphic to Im(f) as module

-for R:R_[1], M:left R-Md, Hom(R,M) isomorphic to M as module

-for M:R-subMd, N:R-subMd, (M+N)/N isomorphic to M/(M교N)

-for N:R-subMd of L, N:R-subMd of M, (L/M)/(N/M) isomorphic L/N

-{R-subMd of M containing R-subMd N} bijective {R-subMd of M/N}

-This correspondence commutes with the processes of taking sums and intersections

-Hom(M,~)을 취하는 경우, M:R-Md

-Hom(M,EDP(M_i)) isomorphic to EDP(Hom(M,M_i))(finite경우만 link)

-for f in Hom(R-Md1, R-Md2), te homog f' s.t. f':Hom(M,R-Md1)->Hom(M,R-Md2)

(f가 injective이면 f'도 injective)

-for M,M1,M2,M3:R-Md, ES(0,M1,M2,M3) iff ES(0,Hom(M,M1),Hom(M,M2),Hom(M,M3))(link1)(link2)

(따라서 Hom(M,~)을 left exact covariant functor라 한다.)

-SES(M1,M2,M3,f1,f2):split iff SES(Hom(M,M1),Hom(M,M2),Hom(M,M3),f1',f2'):split

(split란 조건없었으면 SES가 유지안됨)

-(Characterization of Projective R-Md)for M,N,L,P:R-Md, TFAE(link1)(link2)

-P:Projective

-P is a direct summand of a free R-Md

-if SES(L,M,N), then SES(Hom(P,L),Hom(P,M),Hom(P,N))

-(Projective modules의 성질)    

-P1,P2:Projective R-Md이면 EDP(P1,P2)도 Projective R-Md

-for R:CR_[1]이고 P1,P2:Projective R-Md이면 TP(P1,P2)도 Projective R-Md

-Hom(~,M)을 취하는 경우, M:R-Md

-Hom(direct sum of M_i,M) isomorphic to EDP(Hom(M_i,M))(finite경우만 link)

(direct sum이란 것에 주의)

-for M,M1,M2,M3:R-Md, ES(M1,M2,M3,0) iff ES(0,Hom(M3,M),Hom(M2,M),Hom(M1,M))(link1)(link2)

(따라서 Hom(~,M)을 left exact contravariant functor라 한다.)

-SES(M1,M2,M3,f1,f2):split iff SES(Hom(M3,M),Hom(M2,M),Hom(M1,M),f1',f2'):split

(split란 조건없었으면 SES가 유지안됨)

-(Characterization of Injective R-Md)for M,N,L,I:R-Md, TFAE(link1)(link2)(link3)(link4)

-I:Injective

-for any Lid of R, any f in Hom(Lid,I) can be extended to Hom(R,I)

-if SES(L,M,N), then SES(Hom(N,I),Hom(M,I),Hom(L,I))

-(R:PID일 때) for any nonzero r in R, rI=I

(따라서 R:PID일 때, injective R-Md를 Injective R-subMd로 쪼개면 Injective R-Md됨)

-for R:CR_[1], M,N:left R-Md, f:M^n->N이 n-multilinear alternating일 때

-정의역의 adjacent components 2개를 바꾸면 함숫값이 -1달고 나옴

-정의역의 index에 permutation씌우면 함숫값에 the sign of the permutation을 곱한 것을 얻음

-꼭 인접한 것 2개 아니더라도 정의역의 components중 2개가 같으면 0됨

-

-Free관련

-For R:R_[1], A:set, te FM(R,A) satisfying universal property(link)

-For M:R-Md free on A, M:isomorphic to FM(R,A)

(따라서 free on A인 R-Md끼리는 모두 isomorphic as R-Md)

-Any R-Md1 is quotient of a free R-Md2

-For R:CR_[1], M:R-Md free on A, |A|=n일 때 

-M isomorphic R^n(즉 finite rank free module은 사실상 R^n)

-For S:ring s.t. R<S, S^n isomorphic TP(S,R^n) as left S-Md

-For R:CR_[1], M:R-Md free on A, |A|=n, N:R-Md free on B, |B|=m일 때

-TP(M,N) isomorphic R^(mn)

-free, projective, injective, flat포함관계

-free이면 projective

-projective이면 flat

-For R:ID, M:R-Md free of rank n<inf일 때 any n+1 elements는 R-linear dependent(증명은 R의 quotient field로 끌고가서 해서 vector space thm이용)

(즉 free Md에 대한 rank정의와 R:ID일 때 rank정의는 Md가 free이면 부합됨을 알 수 있으나, not free Md인 경우에는 rank개념 조심)

(예를 들면 R:ID, M:R-Md, rank(M)=n이라해서 M이 free인게 보장이 안됨)

-For M:free R-Md이면

-every subMd of M is torsion free

-Tensor Product관련

-for R:R_[1], M:left R-Md, TP(R,M) isomorphic M

-for R:R_[1], M:right R-Md, TP(M,R) isomorphic M

(Universal Property of TP wrt balanced maps)

-for R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md, G:abelian group, |{f:MxN->G s.t. f:R-balanced}|=|{homog:TP(M,N)->G}|

(정의역이 TP(M,N)이고 공역이 G인 homog를 정의하려고할 때, homomorphism인지 체크하기가 쉬워진다.)

-TP(M,N)의 algebraic structure

-R:R_[1], M:right R-Md, N:left R-Md이면 TP(M,N):abelian group

-S:R_[1]. R:R_[1], M:(S,R)-biMd, N:left R-Md이면 TP(M,N):left S-Md

-S:R_[1]. R:R_[1], M:right R-Md, N:(R,S)-biMd이면 TP(M,N):right R-Md

-R:CR_[1], M:SR-Md, N:SR-Md이면 TP(M,N):SR-Md

(Universal Property of TP wrt bilinear maps)(link)

-for R:CR_[1], M:SR-Md, N:left R-Md, L:left R-Md, |{f:MxN->L s.t. f:R-bilinear}|=|{homoMd(TP(M,N),L)}|

(정의역이 TP(M,N)이고 공역이 L인 homoMd를 정의하려고할 때, homomorphism인지 체크하기가 쉬워진다.)

(n-multilinear로 확장가능)

-TP(f1,f2)의 algebraic structure

-For R:R_[1], M1:right R-Md, M2:right R-Md, N1:left R-Md, N2:left R-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2)이면 TP(f1,f2):homog

-For S:R_[1], R:R_[1], M1:(S,R)-biMd, M2:(S,R)-biMd, N1:left R-Md, N2:left R-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2)이면 TP(f1,f2):left R-Md homomorphism

-For R:CR_[1], M1,M2,N1,N2:SR-Md, f1:homoMd(M1,M2), f2:homoMd(N1,N2)이면 TP(f1,f2):R-module homomorphism(SR)

-(composite commutes with tensor product of R-Md homo)TP(f1,f2) o TP(g1,g2) = TP(f1 o g1, f2 o g2)

(Associativity of Tensor Product)

-TP(M,TP(N,L)) isomorphic TP(TP(M,N),L)(각각이 잘 정의된 상황에서 그리고 그 때의 algebraic structure로써 isomorphic)

(따라서 Tensor Product를 여러번하는게 잘 정의됨)

(Tensor Products commute with direct sums)

-TP(direct sums of Mi,N) isomorphic direct sums of TP(Mi,N)

-TP(M,direct sums of Ni) isomorphic direct sums of TP(M,Ni)

(summand가 유한개일 필요 없다, 무한개라도 direct product가 아닌 direct sum이기만 하면 성립함)

(각각이 잘 정의된 상황에서 그리고 그 때의 algebraic structure로써 isomorphic)

(Commutativity of Tensor Product)

-For R:CR_[1], M,N:SR-Md이면 TP(M,N) isomorphic TP(N,M)

(그렇다고 tp(m,n)이랑 tp(n,m)이 같은 것은 아님)

-TP(M,~)(TP(~,M)도 같음, commutativity of Tensor Product때문)를 취하는 경우

-for M:right R-Md, M1,M2:left R-Md, f in Hom(M1,M2)일 때 f가 surjective이면 tp(1,f):TP(M,M1)->TP(M,M2)도 surjective

-for M:right R-Md, M1,M2,M3:left R-Md, ES(TP(M,M1),TP(M,M2),TP(M,M3),0) iff ES(M1,M2,M3,0)

-if SES(M1,M2,M3):split, then SES(TP(M,M1),TP(M,M2),TP(M,M3)):split

-(Adjoint Associativity)

-for M1:right R-Md, M2:(R,S)-biMd, M2:right S-Md일 때 Hom(TP(M1,M2),M3) giso Hom(M1,Hom(M2,M3))

-MD over PID관련

-R:PID이고 M:R-Md, N:subMd of M

-M이 free이고 finite rank n 이라면 N도 free이고 te a basis {x1,x2,...,xn} for M s.t. te a1,a2,...,am in R s.t. {a1x1,a2x2,...,amxm}:basis for N and a1|a2|a3|...

-M:cyclic인 경우 M은 R/(a) where (a)=Ann_R(M)(homoMd:R->M에서 kernel과 first isomorphism thm이용)

-M이 finitely generated이면 

-(invariant factor form)M is isomorphic to direct sum of {R^r, R/(a1), R/(a2), ... , R/(am)} s.t. r:nnn integer, a1|a2|...인 not unit ai들

-(elementary divisor form)M is isomorphic to direct sum of {R^r, R/(p1^a1), R/(p2^a2), ... , R/(pm^am)} s.t. r:nnn integer, pi:prime(not necessarily distinct)

-M:free iff M:torsion free

-Tor(M) is isomorphic to direct sum of {R/(a1), R/(a2), ... , R/(am)}, 이경우 Ann_R(M)은 (am)

-(Primary Decomposition Theorem)

M:nonzero torsion R-Module with nonzero annihilator a=u(p1)^a1(p2)^a2...(prime factorization, u:unit), Ni:={x in M s.t. (pi)^ai x =0}일 때 M은 direct sum of Ni

-R:F[x]인 경우, V:VS(F), f:LT(V), P(x) in F[x](V는 F-Md일 뿐만 아니라, F[x]-Md도 됨, using f for x action on V)

-mP(f) is the largest invariant factor of V and all invariant factors of V divide mP(f)

-Z-Md관련(Abelian Group의 성질)

-Every Abelian Group is a Z-Md

-Every Z-Md is an abelian group

-Z-Md homomorphisms are the same as abelian group homomorphisms

-|G|=m일 때 G is Z/mZ-Md

-특히 m=prm이면 G is Z/pZ-Md, 즉, G is VS(pZ)

-For M:Z-Md, M:Injective iff M:divisible

-For M1,M2:injective Z-Md, EDP(M1,M2):injective

-Every Z-Md is a subMd of an injective Z-Md

(즉 any abelian group은 divisible group의 subgroup)

-there is no finite abelian divisible group

-any quotient of divisible group is a divisible group

-EDP of divisible is divisible

-for M:divisible group, N:torsion abelian Group, TP(M,N)=0(as Z-Md)

-finite abelian group의 성질

-direct product of of its sylow subgroups(nilpotent이므로)

-invariant factor가 group을 결정하고 group이 invariant factor을 결정함, G:of type (n_1,n_2,...,n_k)으로 표현 가능

-|G|=n일 때, 다음을 만족해야함

-n_i>=2 for all i=1,2,...,k

-n_(i+1) | n_i

-n_1*n_2*...*n_k=n

(따라서 n_1은 n의 모든 prm factor을 가진다.)

-elementary divisors을 이용한 elementary divisor decomposition을 이용하면 |G|=n인 abelian group classification 쉬움

(왜냐하면 n_i에 관한 곱셈조건이 덧셈조건으로 바뀌기 때문)

(elementary divisors를 이용하여 finite abelian group classification한 다음에 표를 만들어 invariant factors로 표현!)

-infinite인데 finitely generated abelian인 group의 성질

*Vector Space

-Basic

-(Hamel Basis)모든 VS(F)는 basis를 갖는다.    

-따라서 VS(F)의 임의의 subspace는 complement를 갖는다.(즉 direct summand인)

-따라서 free F-Md이고 projective이다.

-F의 원소에 norm을 줄 수 있다면, 모든 VS(F)는 nvs가 될 수 있다.(using Hamel Basis)

-(Rank Theorem for LT)dim(VS(F))=n이고 dim(LS)=m이면 dim(VS(F)/LS)=dim(VS(F))-dim(LS)(n,m중 inf가 있어도 성립)

(따라서 LT(VS1(F),VS2(F))를 이용해 생각하면 dim(VS1(F))=dim(ker(LT))+dim(Im(LT))

-projective, injective, flat

-For V1,V2:VS(F)일 때 TP(V1,V2):VS(F)

(특히 이 경우 tp(v1,v2):nonzero for nonzero v1,v2임을 알 수 있다. 그냥 R-Md의 TP에선 성립안할 수도 있음)

-F:finite field with q elements일 때

-dim(VS(F))=n인 경우 

-VS(F)의 different bases개수는 (q^n - 1)(q^n - q)...(q^n - q^(n-1))

-dim(LS)=k인 LS의 개수는 C(n,k)_q

-f-dim관련

-dim(VS(F))=n이면 VS(F):isomorphic as vector space to F^n

(따라서 dimension이 같고 base field가 같은 VS는 서로 isomorphic)

-F^n:VS(F)

(n=1일 때 생각하면 어떤 F든 VS(F)로 간주가능)

-VS(F)와 linear인 f:VS(F)->VS(F)를 1개씩 택할 때 마다 F[x]-Md를 만들 수 있고(set으로는 VS(F)그 자체이면서) 역으로도 가능

(x에 대한 action을 f로써 이용하여 정의하면 됨)

({W:F[x]-submodule} bijective {W:subspace of V and W:f-invariant})

-Function관련(정의역의F와 공역의 F가 다를 순 있으나 그래봤자 subfield관계여야함)

-VS(F)xVS(F)->F

-for (VS(F), b):quadratic space, SMT:a symmetric matrix associated to one of the forms in the equivalence class, f:qdf corresponding to SMT

-TFAE

-SMT:invertible

-b:regular

-rad(b)={0}

-if b:regular, then

-(Dimension Formula)dim(LS)+dim(LS^ㅗ)=dim(VS(F))

-(LS^ㅗ)^ㅗ = LS

-D(f) consists of a union of cosets of F-{0}/(F-{0})^2 as multiplicative groups

-D(f) is not a subgroup of F-{0}, in general

-

 

 

 

 

-for symmetric bilinear form f on VS(F)

-for E:orthonormal set, E:maximal iff for any x in VS(F) s.t. {x},E:orthogonal, x=0

-for E1:orthonormal set, te E2:maximal orthonormal set s.t. E1<E2 

-rad(f) is a LS of VS(F)

-te a linear subspace W s.t. f=f_rad(f) ㅗ f_W and f_W:regular(unique up to isometry)

-W교W^ㅗ=rad(f_W)

-for a linear subspace W, 

-TFAE

-dim(VS(F))=dim(W)+dim(W^ㅗ)(link)

(이렇다고해서 VS(F)=direct sum of W, W^ㅗ란 소리는 아님)

-W교rad(f)=0

-TFAE

-f_W:regular

-VS(F)=IDP(W,W^ㅗ)

(따라서 f_W:regular이면 f=f_W ㅗ f_(W^ㅗ))

-if f:regular, then W=(W^ㅗ)^ㅗ

-if f:regular and f_W:regular, then f_(W^ㅗ):regular

-any symmetric bilinear form f is diagonalizable(즉 특정 basis for VS(F)를 잡으면 f의 대응되는 matrix가 DMT(0,0,...0,a1,a2,..,ak)됨(앞 zero파트는 rad, 뒷 nonzero ai파트는 regular part)

-diagonal form계산관련

-<a1,a2,...,ak>, 어느 entry에도 F^*의 제곱을 곱해도 form은 isometric

-<a1,a2,...,ak>, a의 index를 permutation해도 form은 isometric

-for H(VS(F))

-h:regular

-(Characterization of H(VS(F)))

-for

-VS1(F)->VS2(F)

-LT(VS1(F),VS2(F))가 bijective하면 inverse도 linear(그냥 바로 확인됨)

-VS(F)->F(as VS(F))

-LF관련(V:VS(F), S:subspace of V, g:S->F, f:V->F)

-(Hahn-Banach in VS)(link)

-g:subLF(V,R), f:LF(S) s.t. f<=g on S일 때, te F:LF(V) s.t. F=f on S and F<=g on V

(즉 LF(S)가 어떤 subLF보다 작다면(subLF는 전체에서 정의된), LF(S)는 extension가능) 

(증명은 일단 S에다가 1차원만 늘리는 걸 찾은 다음에 HMP써서 얻으면 됨)

(g:convF여도 성립)

-VS(F)가 f-dim일 때(dim(VS(F))=n)

-LF관련(V:VS(F), S:subspace of V, g:S->F, f:V->F)

-with inner product <,>

-f:LF일 때, for any v in V, f(v)=<v,a> for some a in V(Orthonormal basis잡고 표현한거 생각)

({b_i}:orthonormal basis일 때 a=sum ct(f(b_i))b_i라 두면 된다. )

-M_qdf관련

-qm_qdf1 = qm_qdf2 iff qdf1=qdf2

-qm_qdf(ax)=a^2 * qm_qdf(x)

-b_qdf:symmetric bilinear form

-qm_qdf and b_qdf determined each other

-b:symmetric bilinear form on VS(F)가 주어지면 qdf_b, qb_b정의가능

-(VS(F),b) determines uniquely an equivalence class of qdf

(따라서 qdf관련 내용은 symmetric bilinear form에 대한 성질로부터 연구됨)

(symmetric bilinear form부분 참고)

-VS1(F)와 VS2(F)가 둘다 f-dim일 때(dim(VS1(F))=n , dim(VS2(F))=m)

-LTC(VS1(F),VS2(F)) is isomorphic to CMT(F)(mxn) as vector space

(따라서 LTC(VS1(F),VS2(F))는 dim이 mn인 VS(F))

(즉 LT(VS1(F),VS2(F))는 MT(F)로 표현이 가능 using fixed two ordered basis)

(이때 이 MT(F)는 represents LT(VS1(F),VS2(F))라 한다.)

-f1:LT(VS1(F),VS2(F)), f2:LT(VS3(F),VS4(F)), with dim(VS3(F))=l, dim(VS4(F))=k일 때         

-TP(f1,f2):LT(TP(VS1(F),VS3(F)),TP(VS2(F),VS4(F)))이고 

-represent하는 MT는 KP(f1의 represent MT, f2의 represent MT)

(TP(MT1(F),MT2(F))를 가리킴, where MT1(F):representing f1, MT2(F):representing f2)

-Every MT(F) is similar to a UMT(F)(F:ac-F일 때)

-About LMT, UMT

-LMT끼리 곱하면 LMT

-UMT끼리 곱하면 UMT

-About OMT

-det(OMT)=(-1) or 1

-About TMT

-임의의 invertible MT는 TMT(B1,B2)로 간주할 수 있다.

-TMT(B1,B2)를 구하는 방법은 B1의 원소들의 B2좌표들로 column을 만들면 된다.

-TMT(B1,B2)에다가 [v]_B1을 곱하면 [v]_B2가 나온다. 

-TMT(B1,B2)는 invertible and TMT(B2,B1)=inv(TMT(B1,B2))이다.

-TMT(B1,B2)의 (i,j)성분은 B1의 j번째 원소의 i번째 좌표 along B2

-About Proj(LS1,LS2)

-MT:Projection Matrix iff MT is idempotent(link)

-MT:projection matrix onto LS1 along LS2라면 IMT-MT는 Projection matrix onto LS2 along LS1이다.

(Im(MT)=ker(IMT-MT), ker(MT)=Im(IMT-MT)가 성립됨)

-dim(LS1)=r일 때, MT:Projection matrix onto LS1 iff MT:similar to diag(1,1,1,...,1,0,...,0), 1이 r개(link)

-rank(Projection matrix)=tr(projection matrix)(link)

-det=1

-About det

-det(MT1MT2)=det(MT1)det(MT2)

-det(MT)=det(rt(MT))

-det(ct(MT))=ct(det(MT))

-det(IMT - MT1MT2) = det(IMT - MT2MT1) if MT1MT2 and MT2MT1 are defined(link)

-spec(MT1MT2) = spec(MT2MT1) if MT1MT2 and MT2MT1 are defined except 0(즉 0의 중복도는 다를 수도 있음)

-About perm(MT)

-MT of mxn (m<=n)에서도 정의 된다 using σ:[m]->[n], injective

-Square MT일 때

-invariant over P*MT*Q where P,Q:permutation matrix

-invariant over transpose

-Laplace Expansion Theorem for permanent, (link)

-perm(MT1+MT2) = ... (link)

-

-About unimdMT

-invertible

-inverse도 unimdMT(M^(-1) = adj(M)/det(M)생각)

-integral egv는 반드시 1 or -1(link)

-About Invertible

-{x1,x2,...,xm}이 lind일 때 MT=[x1,x2,...,xm], ct(MT)*MT는 invertible이다.(Null(ct(MT)*MT)생각)

-TFAE

-MT:invertible

-MT has not 0 eigenvalue(link)

-det(MT) not 0

-About trace

-tr(MT)=tr(rt(MT))

-tr(MT1MT2)=tr(MT2MT1)

-tr(MT1MT2MT3)=tr(MT2MT3MT1)=tr(MT3MT1MT2), not equal to tr(MT1MT3MT2)

-tr(MT)=sum of egv with the coefficients of am(egv)(using jordan form)

-tr(projection matrix)=rank(projection matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)

-tr(idempotent matrix)=rank(idempotent matrix), 따라서 항상 정수(증명은 projection matrix참고)

-tr(nilpotent matrix)=0(왜냐하면 nilpotent matrix의 egv는 0뿐인 걸 통해 알 수 있음)

-(Shoda's Theorem)tr(MT)=0 iff MT:commutator(즉 te MT1, MT2 s.t. MT=MT1MT2 - MT2MT1)(link)

-If W:subspace of V, LT:V->V, LT(V)<W, then tr(LT)=tr(restriction of LT on W)(link)

-LT:MT(nxn)(R)->R(std) s.t. LT(MT1MT2)=LT(MT2MT1)이면 LT는 trace의 scalar multiplication

(proof는 e_(i,j)적절히 사용, LT(MT)=trace(MT)LT(e_(1,1))을 보임)

-About MPinv(MT)

-MPinv(MT)구하는 방법

-MT의 rank를 구한다. say r

-LU-Factorization of MT한 다음 L의 first r columns로 B, U의 first r rows로 C

-MPinv(MT)=rt(C) * inv(C*rt(C)) * inv(rt(B)*B) * rt(B)

-Ginv(MT)구하는 방법

-MT의 rank를 구한다. say r

-LU-Factorization of MT한 다음 L의 first r columns로 B, U의 first r rows로 C

-(CB):invertible이면 Ginv(MT) = B * inv(CB) * inv(CB) * C

-About Rank

-rank is subadditive

(rank(A+B)<=rank(A)+rank(B)-max(c,d), where c=dim(col(A)교col(B)), d=dim(row(A)교row(B))

-M:real entries이면

-rank(M)=rank(rt(M)M)=rank(Mrt(M))=rank(rt(M))

(증명은 M과 rt(M)M의 kernal비교)

-M:complex entreis이면

-rank(M)=rank(ct(M))=rank(rt(M))=rank(bar(M))=rank(ct(M)M)=rank(Mct(M))

(bar(M)은 모든 성분에 conjugate씌운 것)

-About charP(MT), mP(MT)

-{charP(MT)=0의 해}={egv(MT)}

-charP(MT)=charP(rt(MT))=charP(ct(MT))

-for monic P(x) in F[x], charP(cpMT(P(x)))=P(x)

-direct sum of MT1, MT2, ... 의 charP는 the product of charP(MTi)

-charP(MT)=the product of all invariant factors of MT(MT랑 RCF(MT)는 similar니까)

-(Cayley-Hamilton Theorem)mP(MT)|charP(MT)(mP(MT)는 the largest invariant factor이므로)

-charP(MT)|(mP(MT))^k for some k

-mP(diag)은 squarefree

-mP(JCF(MT))은 lcm(mP(jordan block1), mP(jordan block2), ...)이다.

-charP(MT,x)의 계수

-x^n의 계수 =1

-x^(n-1)의 계수 = sum of all first-order diagonal minors of MT * (-1) = tr(MT) * (-1)

-x^(n-2)의 계수 = sum of all second-order diagonal minors of MT

-...

-x^0의 계수 = det(MT) * (-1)^n

-About Equivalence Relations

-About Equivalence

-MT1 =_equi MT2

iff MT2 can be transformed into MT1 by a combination of ERO and ECO

iff MT1, MT2 have the same rank

-MT =_equi RREF of MT

-About Similar

-MT1과 MT2가 similar란, same linear operator인데 with different basis

-for F1<F2, MT1과 MT2가 over F1에서 similar iff MT1과 MT2가 over F2에서 similar(using RCF, uniqueness)

-similar이면 공유하는 것들

-rank

-det

-charP(즉 charP is independent of choice of basis)(link)

-tr

-egv and am(egv), gm(egv) (주의, egS는 공유안함, similar하게해주는 invertible MT에 의해 달라짐)

-mP

-elementary divisor(module하면서 정리)

-RCF

(MT와 RREF of MT는 similar가 아니다)

-dgMT경우

-similar인 DMT의 대각성분은 egv이고 invertible MT는 egv에 대응되는 egv로 이루어진다.

-(Characterization of dgMT) TFAE(link1)(link2)(link3)

-MT:dgMT

-lind인 n개의 egv를 가짐

-VS(F)=direct sum of all egs of MT

-any MT-invariant subspace has an MT-invariant complement(단 ac-F일 때)

(즉 MT:semisimple)

(따라서 MT의 egv가 서로 다른 n개로 존재한다면 dgMT가 됨, 하지만 dgMT라 해서 서로 다른 n개의 egv를 가지는 건 아니다.)

-mP(MT):squarefree

(각 invariant factor에서 linear factor가 1개씩만 있다는 것)

-{MT}:commuting이면 te a common egv for {MT}(link)

-for C:{dgMT}, C:commuting iff C:dg{MT}(link)

-C:dg{MT}이면 C의 원소의 합과 차도 dgMT가 된다.

-MT:dgMT이고 S:MT-invariant subspace이면 restriction of MT on S도 dgMT

-Every MT =_sim UMT(Using Jordan Canonical Decomposition)

-(Schur)Every MT =_usim UMT with egv diagonals

-About Congruent

-if MT2 = rt(...)MT1(...), then MT1 =_congruent MT2 

(MT1에 ERO을 좌승하고 그 ERO의 transpose를 우승, 이렇게 반복해서 얻으면 congruent)

-MT:SMT iff MT:odgMT iff MT =_congruent DMT

-(Sylvester's Law of Intertia)MT1:SMT, MT2:SMT일 때 

MT1 =_congruent MT2 iff inertia(MT1)=inertia(MT2)

-About egv, egv, egS

-임의의 MT에 대해 적어도 1개의 egv가 존재(ac-F란 조건 필요)

-egv(MT)를 모두 곱하면(counted by algebraic multiplicities) det(MT)를 얻는다.(charP(MT)에 x=0대입해보면 앎)

-egv(MT)를 모두 더하면 tr(MT)가 나옴(직접 (n-1)의 계수를 구하는 방식으로)

-한 MT에서 얻은 서로 다른 egv의 egv는 lind(link)

-egs(MT,egv1)+egs(MT,egv2)+...은 direct sum이 항상 됨

-egs(MT,egv1), egs(MT,egv2)...의 direct sum이 전체 VS(F)이 된다면, MT는 dgMT(역도 성립)

-gm(MT, egv1)<=am(MT, egv1)

-the sum of gm(MT,egv_i)=MT의 size iff MT:dgMT iff gm(egv_i)=am(egv_i) for each i

-spec(MT1MT2) = spec(MT2MT1) if MT1MT2 and MT2MT1 are defined(0의 중복도는 빼고)

-if {λ1,λ2,...,λn}:spec(MT)

-{λ1+1, λ2+1,...,λn+1}:spec(MT+IMT)

-{a+b*λ1, a+b*λ2, ..., a+b*λn}: spec(a*IMT+b*MT)

-specR(MT+IMT)<=1+specR(MT)

-(egv,egv1=x) of rt(MT) and (egv, egv2=y) of MT일 때

-egv * sum of xi = sum of xi*ith row sum

-egv * sum of yi = sum of yi*ith column sum

-Canonical Form관련

-RCF(MT):the rational canonical form of MT

-RCF(MT) is unique

-MT =_sim RCF(MT)

-MT1 =_sim MT2 iff RCF(MT1)=RCF(MT2)

-for F1<F2, M:MT(F1)이라 할 때, M은 MT(F2)로도 간주되고, 전자로보나 후자로보나

-RCF 같게 나옴(by uniqueness)

-invariant factors가 같음

-mP(MT)가 같음(the largest invariant factor이므로)

-charP(MT)가 같음(모든 invariant factors의 곱이므로)

-SNF(MT):the smith normal form of MT

-SNF(MT) =_equi (xIMT-MT) and SNF(MT) is unique

-

-JCF(MT):the jordan canonical form of MT

-JCF(MT) is unique up to a permutation of the jordan blocks along the diagonal 

-MT =_sim JCF(MT)

-(Jordan-Chevalley Decomposition)JCF(MT)에서 diag인 부분을 semisimple part, upper triangular part를 nilpotent part(link1)(link2)

구체적으로 쓰면

-for F:ac-F, any f-dim VS(F), any f:LT(VS(F)), te! f1:LT(VS(F)), f2:LT(VS(F)) s.t. f=f1+f2 and f1:semisimple, f2:nilpotent, f1 and f2:commute

-te polynomials P1(x), P2(x) s.t. P1,P2 둘다 constant term없고 P1(f)=f1, P2(f)=f2, 

-for LS1<LS2<VS(F) s.t. f(LS2)<LS1일 때, f1(LS2)<LS1 and f2(LS2)<LS1이다.

(P1만 잘 만들면 P2(x)=x-P1(x)하면 되고 다 확인됨)

-FNF(MT):the Frobenius normal form of MT

-(Existence of FNF for any MT in MT(nxn)(C))(link)

-About Irreducible MT

-MT:irreducible이면 k*IMT + l*MT도 irreducible(for nonzero k,l)

-the smallest number of nonzero elements of an irreducible MT of order n = n(link)

-MT has at least one nonzero element in each line(행, 열 모두) iff te Q:permutation MT s.t. MTQ:irreducible(link1)(link2)

-F=C인 경우(R(std)도 포함, SMT관련 등)

-(Gershgorin Circle Theorem)for A:MT(C)(nxn), R_i:=sum over j(j!=i) |a_(i,j)|, D_i:=B(aii,R_i), called Gershgorin disc, then for any egv of A, egv in D_i for some i(link)

-About Normal, NMT

-HMT, skew-HMT, UnMT 모두 NMT이다.

-TFAE

-MT:NMT

-for any x in C^n, ||MT*x||_2 = ||ct(MT)*x||_2(link)

-MT:udgMT

-MT:maximal orthonormal egv를 가짐(즉 lind인 n개의 egv)

(MT=MT1 * DMT * inv(MT1), where MT1:columns이 egv, DMT:diagonal이 egv, 이걸 MT의 eigendecomposition이라 한다. MT가 NMT일 때 가능, iff)

-MT =_usim NMT iff MT:NMT

-About HMT

-NMT이므로 NMT의 성질을 따름

-(Characterization of HMT)

-M:HMT

iff for any x in C^n, ct(x)Mx:real

iff NMT이고 모든 egv가 real이면 HMT이다.(link)(and NMT이면 udgMT이용)

-{all HMT}:closed under real scalar multiplication and +

-모든 대각성분은 real

-for H:HMT(h_(i,j)), column vector h=[h_(1,1), h_(2,2), ..., h_(n,n)], λ=[λ1, λ2, ..., λn] where λi:egv of HMT, te DSMT s.t. h=DSMTλ(link)

-(Toeplitz decomposition)for any M in M(nxn)(C), te! HMT1,HMT2 s.t. M=HMT1 + i*HMT2

-(HMT)^k도 HMT

-for any x in C^n, ct(x)Mx:real iff M:HMT

-HMT가 가역이라면 inverse도 HMT이다.

-MT1:HMT of rank r이면 te P:permutation matrix and M:psubMT of MT1 s.t. M:rxr and of full rank r and ... (link)

-(Courant-Fischer Formula)HMT의 egv를 구하는 방법 제시, link참고(link)

 (lin에서 rt대신 ct쓰면됨)

(빨간 부분 오류임, 다음의 link참고)(link)

-(Weyl's Inequalities)for 1<=j<=i<=k<=n, λ_n <= λ_(n-1) <= ... <= λ_1

λ_k(HMT1) + λ_(i-k+n)(HMT2) <= λ_i(HMT1+HMT2) <= λ_j(HMT1)+λ_(i-j+1)(HMT2)(link)

-(Cauchy-Poincare Separation)HMT1:psubMT of HMT2, HMT1과 HMT2의 egv(link1)(link2)

-M1:psubMT of M2, M2:HMT,

-positive inertia(M1) <= positive inertia(M2)

-negative inertia(M1) <= negative inertia(M2)

-M1:psubMT of M2, size (M1)=(n-1)x(n-1), te x s.t. M2x=0 and ...(link참조)일 때 inertia(M2) = inertia(M1) + (1,1,-1)(link)

-M2:invertible, a0=1, ak=det(Mk) where Mk:leading principal kxk subMT of M2일 때 # of negative egv of M2 = # of sign changes in the seq (a0,a1,...,an)(link)

-spec(HMT1)={a1,a2,...,an}, spec(HMT2)={b,0,0,...,0}, spec(HMT1+HMT2)={a1+b,a2,a3,...,an}이면 HMT1HMT2=HMT2HMT1(link1)(link2)

-positive-definite(pd)의 성질

-모든 대각성분은 양수이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)

-positive-definite HMT는 invertible이고 inv도 positive-definite이다.(link)

-(Characterization using egv)HMT:pd iff all egv of HMT is positive

-positive-semidefinite(psd)의 성질

-모든 대각성분은 nnn이다.((1,0,0,...,0)같은 것을 정의에 대입)

-psd:invertible iff psd:positive-definite(characterization of psd,pd using egv 사용 with det)

-(Chacracterization using egv)HMT:psd iff all egv of HMT are nnn

(->는 egv대입, <-는 HMT이면 NMT이고 udgMT이고 udgMT표현에서 ct(x)DMTx >= 0생각)

-(Chacracterization using decomposition)HMT:psd iff te MT s.t. HMT=ct(MT)MT (MT가 square matrix일 필요 없음)(->는 HMT가 NMT이므로 udgMT이고 psd이므로 nnn DMT는 square로 분해되는 걸 이용)

-psd1 + psd2도 psd

-psd + pd는 pd

-spec(psd)는 majorize diagonals(if nonincreasing order하게 rearrange했을 때)

-i번째 큰 egv(psd + SMT) <= i번째 큰 egv(SMT)

-SMT의 경우

-HMT이므로 HMT, NMT성질 다 따름

-egv가 real인것도 알고, egv도 real이 되게 선택가능->SMT:odgMT가 된다.

-MT:odgMT이면 MT:SMT도 성립

-(Courant-Fischer Formula)SMT의 egv를 구하는 방법 제시, link참고(link)

-SMT1,SMT2 with tr(SMT1)>=0, tr(SMT2)<0이면 te x in R^n s.t. rt(x)SMT1x >= 0 and rt(x)SMT2x < 0

-about A:ACMT, (λ,x):egv, eigenvector of A

-te DMT s.t. D^2 = IMT and DAD의 모든 off diagonal entries는 nnn(link)

-if A(1,1,...,1) = 0, then inertia(A)=(a,b,c),

where a=A의 strict upper entries중 음수인 것의 개수, b=A의 strict upper entries중 양수 인 것의 개수, c=n-a-b 이고 n-a-b-1=the degree of reducibility of A(link)

-if A:irreducible and all coordinates of x are nonzero

then λ:simple and all subMT of order n-1 of A-λIMT are invertible(link)

-if te no i,k s.t. a_(i,k) != 0 and x_i = x_k =0

then the multiplicities of λ = p + 1 + sum from k=3 to n-1 (k-2)*s_k(link)

where p:the degree of reducibility of A,

s_k:the number of those indices j for which x_j = 0 and a_(j,l):nonzero for exactly k indices l != j.

-if A:irreducible and λ1>=λ2>=...>=λn and λ=λr and x_i:nonzero for any i

then λr:simple and te! unordered pairs r-1개 (i,k) s.t. i != k and a_(i,k)*x_i*x_k < 0(link)

-if A:irreducible and λ:multiple egv

then x has at least one vanishing coordinate.(link)

-if A:irreducible and λ:simple and te no (i,k) s.t. a_(i,k):nonzero, x_i=x_k=0

then x_j=0 이면 d(v_j)=2(여기서 d(v_j)란, A로 만든 graph에서의 degree)(link)

 

-about bSMT

-M:bsMT iff M=matrix with (1,1)-block=U, (1,2)-block=JVJ, (2,1)-block=V, (2,2)-block=JUJ, where J=square matrix with ones along the antidiagonal and zeros elsewhere.

-spec(M)=the union of spec(U+JV) and spec(V-JU)

 

-skew-HMT의 성질

-NMT이므로 NMT의 성질을 따름

-모든 egv는 complex(imaginary)

-UnMT의 성질

-NMT이므로 NMT의 성질을 따름

-모든 column은 orthonormal basis를 만든다.

-모든 row은 orthonormal basis를 만든다.

-egv의 절댓값이 항상 1(복소평면상에서 UO1에 놓임)

-Some Decomposition(from recent papers)

-(Vilmar)Find spec(MT) using partition MT into smaller one when MT looks little symmetric(link)

-(Vilmar)MT=block MT(A B C D), 2x2일 때, block MT(A αΒ α^-1C D)의 spectrum은?(link)

-About M1-MT

-for M:M1-MT

-all diagonals of M are nnn

-M:Z-MT

-any psubMT of M is also M1-MT

-if irreducible and not invertible

-0 is egv with am(0)=1 and positive eigenvector

-every psubMT of M(not M) is M2-MT(i.e invertible M1-MT)

-if irreducible and invertible, then inv(M):positive(nnn;보다 강함)(link)

-for M:Z-MT

-M:M1-MT iff all egv(M)'s real part is nnn(link)

-M:M1-MT iff all real egv of M is nnn(link)

-M:M1-MT iff all its principal minors are nnn(link)

-M:M1-MT iff M+eps*IMT:invertible for any eps

-for M:invertible and Z-MT

-M:M1-MT iff inv(M):nnn(link)

-

-About M2-MT

-for M:Z-MT

-M:M2-MT iff all egv(M)'s real part is positive

-M:M2-MT iff all real egv of M is positive

-M:M2-MT iff all its principal minors are positive

-for M:M1-MT

-M:invertible iff M:M2-MT(즉 M1-MT중 invertible인게 M2-MT)

-for M:M2-MT

-if M:irreducible, then inv(M) > 0 (not nnn인 것, positive)

 

-matrix norm관련(|| ||:any matrix norm)(M in M(nxn)(C))(|M1|<=M2, where |M1|각 성분에 modulus취한 것)(N in M(nxn)(C), nnn)(P in M(nxn)(C), positive entries)(n:nnn vector in C^n)(p:positive vector in C^n)

-specR(M)<=||M||(link)

-for any eps, te a matrix norm || || s.t. specR(M)<=||M||<=specR(M)+eps(link)

(따라서 specR(M) is the greatest lower bound of matrix norms of M)

-if te || || s.t. ||M||<1, then lim k->inf M^k = 0(link)

-lim k->inf M^K = 0 iff specR(M)<1(link)

-specR(M) = lim k->inf ||M^k||^(1/k)(link)

-specR(M1)<=specR(|M1|)<=specR(M2)(link)

-About N

-sum of all diagonals <= specR(N)

-for any psubMT N' of N, specR(N')<=specR(N)(link)

-if all row sums of N is fixed, then specR(N)=||N||, maximum row sum matrix norm(link)

-if all column sums of N is fixed, then specR(N)=||N||, maximum column sum matrix norm(link)

-min over i (sum over j N_(i,j)) <= specR(N) <= max over i (sum over j N_(i,j))(link)

(If N:irreducible, then either = holds iff all row sums are constant)

-min over j (sum over i N_(i,jf)) <= specR(N) <= max over j (sum over i N_(i,j))(link)

(If N:irreducible, then either = holds iff all column sums are constant, )(link)

(유사한 형태도 있음, (link))

-if for some a, b in R, ap <= Np <= bp이면 a <= specR(N) <= b(link1)

-if for some a, b in R, ap < Np < bp이면 a < specR(N) < b(link1)

-if for some a in R, an < Nn < bn이면 a <= specr(A) ( < bn관련해선 성립안함)(link)

-specR(N+IMT) = specR(N) + 1

-(Frobenius-Konig theorem)perm(N) = 0 iff te P,Q:permutation MT s.t. PNQ=block MT, (1,1)=X, (1,2)=O, (2,1)=Y, (2,2)=Z where O is an sxt zero MT with s+t = n+1

-If N has positive egv p,

-해당되는 egv는 specR(N)이고 specR(N):nonzero

-N^m의 row sum의 bound을 얻는다 using p(link1)(link2)

-if N has positive left egv p

-if n s.t. Nn >= specR(N)n, n:nonzero, then Nn = specR(N)n(link)

-N:irreducible iff (IMT+N)^(n-1):positive matrix(link)

-if specR(N) < 1, then inv(IMT - N) = sum from i=0 to i=inf N^i, nnn, invertible(link)

-specR(N) is egv with nnn egv n(link)

-if specR(N) <1, then

-(IMT - N):invertible

-inv(IMT - N) = sum from i=0 to i=inf N^i, 따라서 nnn

-if N^k:positive for some k>=1, then am(specR(N))=1(link)

-if N:irreducible(link)

-specR(N) > 0

-te positive egv corresponding specR(N)

-am(specR(N))=1

-(Characterization of primitive MT)

N:primitive

iff lim n->inf (N/specR(N)^n:exists

(이 때 limit = p*rt(q) / rt(q)*p > 0, p:perron vector of N, q:perron vector of rt(N))

iff for some m > 0, N^m:positive MT

-the index of imprimitivity of N = gcd of lengths of the directed cycles in dG(N)

-for M s.t. |M|<=N, if specR(M)=specR(N), then M =_sim N, link참고(link1)(link2)

-for any psubMT N'(not N) of N, specR(N') < specR(N)

-for N<=M, M != N, specR(N) < specR(M)

-for M <= N, N != M, specR(M) < specR(M)

-N:SMT이고 for fixed one s and column vector v s.t. 2<=s<=n, N*v >= λ_s * v일 때

if J={i in [n], vi >=0},

then J:nonempty and the degree of reducibility of submatrix N[J]<= s-2

(where N[J]=J에 있는 것들만 row, column가지고 온 것)

(degree of reducibility란, irreducible한 submt의 대각 blocks의 direct sum표현 시 block개수)(link1)(link2)

-About DQSMT

-for MT in MT(nxn)(C), MT:DQSMT iff 1:egv for MT and rt(MT) with egv = (1,1,...,1)

-About DSMT

-specR(DSMT)=1 with (1,1,...,1) eigenvector

-0<=μ(DSMT)<=1

-μ(DSMT)=0 iff MT:reducible(따라서 μ를 measure of irreducibility라 한다.)

-for a>=0, b>=0, a+b=1, μ(a*DSMT1 + b*DSMT2) >= a*μ(DSMT1) + b*μ(DSMT2)

-perm(DSMT) > 0(link)

-DSMT1*DSMT2:DSMT(Need to check)

-(Characterization by Majorization)MT:DSMT iff for any x in R^n(std), DSMTx majorize x

-for any DSMT of order n, minimum of perm = n!/(n^n), maximum of perm = 1

(minimizing matrix은 unique, 1/n * J, maximizing matrix는 n!개, all permutation MT)

-if DSMT:reducible, then DSMT =_psim diagonal block MT whose all diagonals:DSMTs(link)

-if DSMT:irreducible, then h:=the index of imprimitivity of DSMT일 때 h|n and DSMT =_psim superdiagonal block form, all the blocks are (n/h)-square(link)

(따라서 n:소수인 경우 h=1되고, 따라서 DSMT는 primitive임을 알 수 있다.)

-(Birkhoff's Theorem)

{all DSMT of order n} = conv({all permutation MTs of order n}, the convex polytope(link)

-About DSSMT

-{all DSSMT of order n}=conv({MT(nxn) s.t. MT:(0,1)-MT and 각 행, 열마다 1이 0개 혹은 1개})

-(Characterization by weakly submajorization)

MT:DSSMT iff for any x in R^n(std), MTx weakly submajorize x

-About DSPMT

-{All DSPMT of order n}=convex but not convex hull

-(Characterization by weakly supermajorization)

MT:DSPMT iff for any x in R^n(std), MTx weakly supermajorize x(Need to check)

-About P

-specR(P) is egv with positive egv p이고 am(specR(P))=gm(specR(p))=1(link1)(link2)

-

-Matrix Group관련

-GL(n,F)관련

-GL(n,F) giso OSDP(SL(n:F),F^*)(link)

-Z(GL(n,F))={k*identity s.t. k is in F}

-F가 R(std)일 때

-GL(n,R(std)) is open submanifold of MTC(nxn)(R(std))(det:continuous이고 det=0인 MT들의 모임은 closed이므로)

-dim(GL(n,R(std))=n^2(왜냐하면 open submanifold이므로 dimension유지됨)

-LG(prod, inverse 모두 smooth)

-Lie(GL(n,R(std))) isomorphic MTC(nxn)(R(std))

-F가 C일 때

-GL(n,C) is open submanifold of MTC(nxn)(C)(det:continuous이고 det=0인 MT들의 모임은 closed이므로)

-LG(prod, inverse 모두 smooth)

-F가 finite field with q elements인 경우

-|GL(n,F)|=(q^n - 1)(q^n - q)...(q^n - q^(n-1))

(basis 하나 택한 다음에1열, 2열,...순으로 만들어가면 됨)

-O(n,F)관련

-F가 R(std)일 때

-O(n,R(std)):closed submanifold of GL(n,R(std))

-Matrix에서의 특수한 연산, MT1:nxn, MT2:mxm

-About Kronecker Product, KP

-spec(KP(MT1,MT2))={all possible product of egv(MT1), egv(MT2)}

-About Kronecker Sum, KS

-spec(KS(MT1,MT2))={all possible sum of egv(MT1), egv(MT2)}

-Dual Space관련

-(VS(F))^* is a VS(F)

-te natural(basis안쓰고) injective LT(VS(F),dd(VS(F))(E:VS(F)->dd(VS(F)), E(v):evaluation at v)(link)

(위의 injective LT를 Ev_VS(F)라 하자.)

-f:VS1(F)->VS2(F), linear일 때 (f^*와 관계)

-f:injective(surjective) iff f^*:surjective(injective)(link1)(link2)

-for f-dim VS(F), (VS(F))^*의 성질

-dim(VS(F))=dim((VS(F))^*), 따라서 isomorphic as vector space

-for V,W:VS(F), f in Hom(V,W), M:represents f인 matrix, f^* in Hom(W^*,V^*)일 때, f^*를 represents하는 matrix는 rt(M) 

-for inf-dim VS(F), (VS(F))^*의 성질

-Tensor algebra of V관련(V:VS(F),

-ET(V)관련

-f-dim V일 때(dimV=n일 때)

-for 1<=k<=n, dim(kth exterior power of V)은 C(n,k)

*Algebra Theory

-Algebra관련

-F-A가 dim이 n일 때, basis의 원소끼리의 A-multiplication해서 낳은 결과의 basis의 계수들의 table만 만들어두면, 다른 vectors의 A-multiplication도 쉽게 할 수 있다. 

-C_(F-A)(E)와 N_(F-A)(E)는 subalgebra가 안될 수 있다.(Jacobi's identity가 있으면 가능, 즉 Lie F-A에선 subalgebra됨)

-Associative R-A is a ring R2 s.t. R2=R_[1] with f:R->R2 mapping identity of R->identity of R2 s.t. f(R) of R2 is contained in Z(R2)

(즉 Associative R-A는 ring으로써 정의가능)

-TA(M)관련

-M을 포함하는 R-A(M:R-Md일 때)

-TA(M)은 universal property를 갖는다.f:M->A인 R-module homomorphism은 TA(M)->A로 유니크하게 extended

-TA(VS(F))은 noncommutative polynomial algebra over F로 간주될 수 있다.

-TA(M):graded(TA(M)의 homogeneous component of degree k를 k-factor of M이라 하고, 그 원소를 k-tensor라 한다.)

-SA(M)관련

-M을 포함하는 R-A(M:R-Md일 때)

-C(M):graded where C(M):=id generated by all elements of the form tp(m1,m2)-tp(m2,m1) for all m1,m2 in M

-따라서 SA(M)도 graded이고(SA(M)의 homogeneous component of degree k를 kth symmetric power of M이라 한다.)

-kth symmetric power of M is equal to TP(M,M,...,M)을 subMd generated by {tp(m1,m2,...,mk)-tp(permuted)}로 quotient한 것

-dim(kth symmetric power of M)=CC(m,k) where m:dim(M)

-dim(SA(M))=sum over k=0 to m CC(m,k) 

-kth symmetric power of M은 universal property를 갖는다. f:MxMx...xM->N가 k-multilinear symmetric map이면 te! g:kth symmetric power of M->N s.t. g:R-Md homomorphism and f=g o i 

where i:MxMx...xM->kth symmetric power of M, N:R-Md

-SA(M)은 universal property를 갖는다.f:M->A인 R-module homomorphism은 SA(M)->A로 유니크하게 extended(where A:any R-A)

-dim(VS(F))=n일 때 SA(VS(F))은 commutative polynomial algebra in n variables over F로 간주될 수 있다.

-EA(M)관련

-M을 포함하는 R-A(M:R-Md일 때)

-A(M):graded where A(M):=id generated by all elements of the form tp(m,m) for all m in M

-따라서 A(M)도 graded이고(EA(M)의 homogeneous component of degree k를 kth exterior power of M이라 한다.)

-simple tensors에서는 anticommutative, 즉 for m1, m2 in M, tp(m1,m2)=-tp(m2,m1)

(그렇다고 for a1,a2 in EA(M), a1a2=-a2a1인건 아님)

-kth exterior power of M is equal to TP(M,M,...M)을 subMd generated by {tp(m1,m2,...,mk) s.t. mi=mj for some different i,j}로 quotient한 것

-dim(kth exterior power of M)=C(m,k) where m:dim(M)

-dim(EA(M))=2^m where m:dim(M)

-kth exterior power of M은 universal property를 갖는다. f:MxMx...xM->N가 k-multilinear alternating map이면 te! g:kth exterior power of M->N s.t. g:R-Md homomorphism and f=g o i

where i:MxMx...xM->kth exterior power of M, N:R-Md

-F[[x]]관련

-(infinite product of formal power series의 convergence)

if f_i(x) in F[[x]], lim i->inf deg(f_i(x)-1) = inf, then prod over i>=1 f_i(x):converge

-F[[x]]관련

-F[[x]] is a S_[inf]-set, S_[inf]:=union over n>=2 S_[n]

-Λ관련

-Λ:subalgebra of F[[x]](즉, closed under multiplication)

-Λ = IDP over n>=0 Λ^n, Λ^n := the subspace of symmetric functions of homogenous degree n

-{m_ptt(x) s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n

-{p_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(link1)(link2)

-{e_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(link)

-{h_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(link)

-{s_ptt s.t. ptt in PTT(n)}:basis for Λ^n(RS-correspondence이용)(link)

-dimΛ^n=#ptt(n)

-generating function for e_n, E(t):=sum over n>=0 e_n * t^n

-generating function for h_n, H(t):=sum over n>=0 h_n * t^n

-generating function for p_n, P(t):=sum over n>=0 p_(n+1) * t^n, 특별히 p_(n+1)임

-E(t)H(-t)=1

-E(-t)H(t)=1

-ln (H(t)) = sum n>=1 p_n * t^n * 1/n(link)

-P(t)=H(t)/H'(t)

-(Jacobi-Trudi Formula)for ptt(n)=(a1,a2,...,al), s_ptt(n) = det(h_(ai - i +j)) for 1<=i,j<=l(단 if ai - i +j<0, h_(ai - i +j)=0, if ai - i +j=0, h_(ai - i +j)=1)

-Quotient Algebra관련

-(First AISO Theorem)ahomo:R-A1->R-A2일 때 (R-A1)/ker(ahomo) aiso ahomo(R-A1)

-(Second AISO Theorem)id1 of R-A, id2 of R-A s.t. id1<id2일 때, (R-A/id1)/(id2/id1) aiso (R-A/id2) 

-(Third AISO Theorem)id1 of R-A, id2 of R-A일 때, id1+id2/id2 aiso id1/id1교id2

-homomorphism관련(ahomo:R-A1->R-A2일 때)

-ker(ahomo):id of R-A1

-ahomo(R-A1):subalgebra of R-A2

-Tensor Product관련

-For R:CR_[1], A:R-A, B:R-A일 때 TP(A,B):R-A

(tp(a1,b1)tp(a2,b2)=tp(a1a2,b1b2)로 정의해서)