ㅇㅇ

파란색은 나중에 공부하기

*Notation

(Funtion 묘사 순서, rv/erv->nnn->inc/dec->Mf->cv여부)

1. nnn:nonnegative

2. rv/erv:real-valued/extended real-valued

3. MAS:measurable space/

4. ME:measurable set

5. M/CM/sM/+sM/-sM/|sM|/f-sM/sf-sM/ms/LM:measure/complete measure/signed measure/positive variation of sM/negative variation of sM/total variation of sM/finite sM/sigma finite sM/mutually singluar/Lebesgue measure

6. MS/C(MS)/CMS(C(MS)는 MS의 completion, CMS는 complete measure space)

7. inc/dec:increasing/decreasing

8. f-M/sf-M/smf-M:finite measure/sigma finite measure/semifinite measure

9. f-ME/sf-ME/null-ME/+ME/-ME/null-s-ME/subME of ME:finite measurable set/sigma finite measurable set/null set/positive measurable set/negative measurable set/null set wrt sM/subset and measurable of measurable set

10. almost-ME/almost uni cv:(measure가 입실론보다 작은 ME)/전체에서 almost-ME뺀 set에서 uni cv

11. MF/SF:measurable function/simple function

12. cha_set=characteristic function on set

13. A << B:A abs conti wrt B

14. I1/I2/I3:(0,1)/(1,inf)/(0,inf)

([I1=[0,1), I1]=(0,1], [I1]=[0,1],...I2도 마찬가지)  

15. q/conj(p,q,r):holder conjugate q of p(p is in [I2]일 때만 정의)/ 1/r=1/p+1/q, p is in [I2]

16. VS:vector space over R

*주의사항

1. 별말없으면 erv이다. erv인지 rv인지, 특히 rv일때만 될 때가 몇 있다. 그럴 땐 rv적기.

2. a.e.란, property가 성립하지 않는 영역이 null인게 아니라, null의 subset, 주의하자. 단 CM일 땐 상관 없음

3. MF 자체는 M과는 상관없음, pt cv, uni cv얘기할 때도 상관 없음, 그러나 pt cv a.e., almost uni cv, uni cv a.e., cv in M, cauchy in M 등 Mf가 M과 상관있을 때가 대다수

*중요 examples

0. not complete measure space인 예:X=R, sigma algebra={empty, Q, R-Q, R}, M(Q)=0

1. semifinite measure인데 not sigma finite measure인 예

->real number에다가 counting measure

2. Egoroff Theorem은 f-M에서만 된다. sf-M에서도 안된다. R에서 f_n=char_[n,n+1]을 생각.

(pt cv a.e.인데 not almost uni cv인 예, 게다가 not cv in M이기도 함)

3. almost uni cv(pt cv a.e.도 됨)인데 not uni cv a.e.(cv wekaly도 안됨)인 예:f_n=n*char_[0,1/n] on [0,1]

4. nnn MF f의 integral값과 sup sf with finite support의 integral값이 다르게 되는 예 찾기.(X가 not sf-M일 때가 아마 될 건데...)

5. f_n:integrable on X, pt cv a.e. to MF f이고 f-M인데 f가 not integrable인 예:f_n=n on [0,1]

6. f_n:integrable on X, uni cv to MF f인데 f가 not integrable인 예:f=1/x on [1,inf), f로 수렴하는 SF_n생각

7. pt cv인데 not cv in M인 예:f_n=char_[n,n+1] on R

8. not f-M이면 0<a<b<inf, Lb is a subset of La가 성립 안할 수 있는데 그 예?

I3에서 LM, 1/b<t<1/a인 t에 대해 f_t(x)=x^(-t)*char_R\I1

9. f-M이고 0<a<b<inf, Lb is a subset of La가 strict함을 보이는 예?

I3에서 LM, 1/b<t<1/a인 t에 대해 f_t(x)=x^(-t)*char_I1

10. M_n이 dec, cv setwise to a set function일 때 set function이 M이 아닌 예?

M_n(E)=LM(E intersection [n,inf])

11. f-sM(rho1), sM(rho2)가 있을 때, rho1 << rho2 iff epsilon-delta가능, 이때 f-sM이 아니면 only if가 안되는 예는?

rho1=countaing measure on N, rho2=sum n in E 1/2^n  on N

11. VS모음:

f-sM

(이 중에서 sM2와 ms인 것들만 다 모으면 subspace됨, f-sM아니어도 closed under +, scalar multiplication함)

(이 중에서 << sM2인 것들만 다 모으면 subspace됨, f-sM아니어도 closed

(이 둘의 subspace의 intersection은 {0})

(이 중에서 sM2가 sf-sM2인 경우, f-sM의 원소는 << sf-sM2 + ms sf-sM2로 decomposition가능, by LDT)

13. arbitrage trick을 쓰면 Holder inequality의 필요조건을 알 수 있다? (R^n에 LM주면?, Z에 counting M주면?, f-M에선?)

14. [I2]에서 딱 한개의 p에만 속하는 f가 있을 수도 있다. in (R, LM), 건설하여라.

a>1, f=1/(|x|^1/p * |ln x|^a ) * (char_(0,e^-1) + char_(e,inf)),   p=inf인 경우, f=1 on R

15. (1) sf-M에서 f is in LI2]이고 not in L1인 예는?, 

     (2) M(X)=inf일 때, f is in Linf이고 f is not in L[I2인 예는?

(1) ([0,inf),LM), ME_n=[n,n+1),disjoint, Union=R, 이때 각 ME_n에다가 1/n주면 된다.

(2) f=1 on X라 두면 됨. 

16. (cv in Lp, 1<=p<inf)

(1) cv in Lp인데, not pt cv a.e. 인 예 (In [0,1], 구간이 [0,1], [0,1/2], [1/2, 1], ...에서의 char)

(2) pt cv인데, not cv in Lp인 예  (In [0,1], f=n*char_[0,1/n]꼴, p추가해야됨)

(3) cv in Lp인데, not cv in Lq인 예(p<q든, q<p든) ...(2)와 비슷하게

(4) uni cv 인데 not cv in Lp인 예 (f_n = n^(-1/p)*char_[0,n])

(5) uni cv 인데 not cv weakly인 예 (f_n = 1/n * char_[1,e^n])

note)Lp[0,1]에서는 uni cv이면 cv in Lp된다. 

17. (cv in M)

(1) f_n->f, g_n->g, 각각 cv in M인데 (f_n)*(g_n)이 not cv in M인 예 (f_n=g_n=x+1/n*char_[n,n+1])

(2) f_n cv in M인데 not cv in Lp인 예, f_n=n^(1/p)*char_[0,1/n](almost uni cv는 됨)

18. cv weakly(p고정일 때 얘기)인데 not pt cv a.e.인 예

f_n=cos(nx), f=0 on [0, 2pi]

11.1 MAS, MS(뒷 section내용이 포함되더라도 결론이 M이나 ME관련이면 여기다가 적기)

(1) inf-inf가 안나오게끔 해야함. (f-ME조건이 필요할 때가 이 경우일 때)

(2) null-ME의 subset이 null-ME인지 보장안됨(Completion개념 필요, C(MS)만드는법 알기)

(Completion의 원소는 ME Union subset of null-ME인데, disjoint union되게 할 수 있음!)

(3) conti from above, conti from below

이 결과로 

-M(liminf(E_n))<=liminf(M(E_n))<=limsup(M(E_n))<=M(limsup(E_n))

-countable sum of M(E_n)<inf이면 M(limsup(E_n))=0도 앎, Borel-Cantelli lemma

(주의:lim M(sup E_n))은 등장하지 않음, 위의 관계식과 다르게 논의 필요)

(4) M이 있으면 smf-M도 만들 수 있고 M=smf-M + M2으로 decomposition가능, 이 때 M2는 0과 inf만 가짐

(5) M이 있으면 아무 ME를 이용하여 M보다 같거나 작은 M2를 하나 만들 수 있음.

(5) sf-ME의 countable union, intersection도 sf-ME,

(6) sf-M의 합도 sf-M

(8) smf-M(ME)=inf일 때, 임의의 n in N에 대하여 n<=smf-M(subME)<inf인 subME of ME을 찾을 수 있다.

(9) sf-M(X)=inf일 때 X를 만드는 것들이 disjoint하게 만들 수도 있고, 각각이 n<=sf-M(ME_n)<inf 할 수도 있다.

기타:

def:

S:locally-ME란, f-ME intersection S가 ME일 때 (for all f-ME)

M:saturated란, {locally-ME} is a subcollection of {ME}

thm:

sf-M은 saturated and smf-M된다.

11.2 MF(M과는 관련없이 정의되지만 M과 관련이 있을 때가 잦음, 별말 없으면 erv)

(1) MF판정법(5가지, using rays 4가지, using Borel, inf and -inf 1가지)

(2) all MF는 +(well-defined된다면), 곱하기, 실수배, 실수더하기, abs(일반적으로 conti랑 합성하면 됨), inf, sup, liminf, limsup에 닫혀있다.

(positive part, negative part에 대해서도 닫혀있게 됨)

(3) MF가 nnn이면 seq of SF 만들기 가능(pt cv, uni cv on MF가 bdd인 영역)

(sf-M가 있을 때면, SF가 finite support를 갖는 것으로 만들 수도 있음)

(Mf가 nnn아니어도, |Mf|에 대해 만든 seq of Sf가 Mf로 pt cv하고 uni cv on |Mf|가 bdd 성립, sf의 부호=MF의 부호 가능)

(4) C(MS)에서 Mf인 f가 있다면 MS에서 Mf인 g를 만들 수 있다. (f=g CM-a.e.)

(5) CMS에서 Mf인 f가 있고, f=g CM-a.e.이면 g도 Mf이다.

(M이 CM <-> {f_n}:rv, Mf, pt cv a.e. to f이면 f가 Mf)

(6) f-M, {f_n}:rv, Mf, pt cv a.e. to rv, Mf f이면 {f_n}:almost uni cv

(7) {f_n}:rv a.e., Mf, cauchy in M이면 subseq존재 s.t. rv a.e. Mf, pt cv a.e. to rv a.e. Mf f.

(그리고 이 subseq는 cv in M to f이기도 함)

(따라서 cauchy in M <-> cv in M)

(8) {f_n}:rv a.e., MF, almost uni cv이면 {f_n}:pt cv a.e.

(9) {f_n}:rv a.e., MF, almost uni cv이면 {f_n}:cv in M

(10) {f_n}:MF이면 {x|lim f_n(x) exists}는 ME

note)cv of {f_n}

uni cv(Measurable보존)

pt cv(Measurable보존)

almost uni cv(Measurable보존)

pt cv a.e.(Measurable보존하려면 M이 CM이어야 가능)

uni cv a.e.(Measurable보존하려면 M이 CM이어야 가능)

cv in M(Measurable보존)

cauchy in M(Measurable보존)

{f_n}이 rv인 경우:pt cv, uni cv

{f_n}이 rv a.e.인 경우:almost uni cv, pt cv a.e. uni cv a.e., cv in M(cauchy in M)

f가 rv인 경우:uni cv

f가 rv a.e.인 경우:almost uni cv, uni cv a.e., cv in M(cauchy in M)

11.3 Integration

note)기본 Property

(1) linearity of Integration(이게 되면 funtion은 고정, 영역을disjoint하게 쪼개서 합으로 가능, using characteristic)

(2) Basic Inequality(integral 영역은 고정, f<=g일 때, int f<=int g)(a.e.를 붙이면 f<=g a.e란 뜻)

(3) limit(integral 영역은 고정, function의 seq pt cv a.e.가 있을 때 int와 limit의 change가능성)

(사실 characteristic function과 전체 Space X에서의 적분을 이용하면 function은 고정되고 영역의 seq로도 가능)

(1) nnn Sf

-linearity of integration, Basic inequality(nnn 실수 계수에 대해서), limit(cha_{E_n}:ME, inc)을 만족

-nnn인 Sf, MS가 있을 때마다 또 다른 measure만들 수 있다.

(2) nnn Mf(From nnn Sf)

-integration =0 <-> f=0 a.e.

-{f_n}:nnn, inc, MF, pt cv a.e. to MF f이면 limit성립

({f_n}:nnn, MF이기만 하면 series랑 int change가능)

({f_n}:nnn, MF일 때>Fatou Lemma)

({f_n}:nnn, MF, pt cv a.e. to MF f이고 f_n <= f a.e.가 있으면(inc대신) limit성립)

-linearity of integration(MCT필요, nnn 실수계수에대해서), Basic inequality a.e.

(3) MF

-f=g a.e. -> int (f) = int (g)

-Integral은 f^+, f^- 둘중 하나만 Integrable하면 되고, Integrable은 둘 모두가 Integrable해야함

(Integrable은 기본적으로 MF여야함)

-linearity of integration(integrable한 f,g에대해), Basic Inequality a.e.(integrable한 f,g에대해)

-{f_n}:inc, MF, pt cv a.e. to MF f + f_n>=g(integrable) a.e. 이면 limit성립

  {f_n}:dec, MF, pt cv a.e. to MF f + f_n<=g(integrable) a.e. 이면 limit성립

(즉 (2)에서 nnn을 없앤 경우임)

(마찬가지로 inc없애고 inf쓰면 inc하게 만들 수 있음->Fatou Lemma, 마찬가지로 g(integrable)이 존재해야함)

(혹은 dec없애고 sup쓰면 dec하게 만들 수 있음)

(혹은 inc이나 dec없애고 아예 |f_n|<=g(integrable) a.e. 가 있으면 이땐 limit가 성립, 이때 series와 lnt의 change가능하려면                                             

g=series from k=1 to k=inf |f_n|이 integrable하면 됨)

-(*)f:integrable이면 inverse image of not 0는 sf-ME

-(*)f:integrable on X이면 epsilon(int of |f|의 upperbound)-delta(적분 영역의 upper bound)가 성립(f_n=min(f,n)이용)

-(*)f:integrable on X이면 epsilon(int |f| over X - int |f| over E)에 대하여 finite measure E 존재({f:not zero}:sf-ME이용)

-(*)f_n:integrable on X, f-M, uni cv to MF f이면 f가 integrable and int f = limit int f_n

( (*) 내용들 모두 Lp, 1<=p<inf에 대해서도 성립, 각 적분이 f^p로 바뀌어야할 수 있음)

note)내용을 간단하게 정리하면

1. nnn, inc, pt cv a.e. to MF f라는 조건을 필요하는 MCT만 잘 다루면, 3개의 조건을 한개씩 없애도 될 때가 있다.

2. f=g a.e.는 integral값에 영향을 미치지 않는다.

3. series와 int가 interchange되려면 f_n:nnn, MF 혹은 sum from k=1 to k=inf |f_n|이 integrable이면 된다.

note) cv in M에 대해서 정리

0. {f_n}:rv a.e.일 때만 얘기, 그리고 cv in M이면 f는 rv a.e.됨

    {f_n}:cv in M, {g_n}:cv in M이면 {f_n + g_n}도 cv in M {f_n*g_n}은 안 됨(f-M이면 됨)

1. cauchy in M과 동치

2. pt cv a.e.하는 subsequence존재, 즉 {f_n}:MF, cv in M이면 liminf f_n(x)=f(x) a.e.->f는 MF됨

3. {f_n}:MF, cv in M, |f_n|<=g, g in L1이면 limit성립, cv in L1도 됨

11.4 General Convergence Theorems(여기서부터 복습+숙제풀이+증명해보기)

(1) Definition

setwise convergence of set functions

(2) Theorem(주된 관심은 seq of M_n)

seq of M_n이 cv setwise일 때 limit set function이 measure일 충분조건:M_n이 inc, or limit set function(X):finite

({f-M_n}인 경우는 나중에 관심, 11.6)

(Generalized-Fatou)

seq of M_n cv setwise to M(항상 M이 되는건 아님), 

{f_n}:nnn,, MF, cv pt M-a.e. to MF f이면

int f dM <= liminf in f_n dM_n(Fatou Lemma의 최고 general Version)

(Generalized-LDCT)

seq of M_n cv setwise to M(항상 M이 되는건 아님), 

{f_n}:MF pt cv M-a.e. to f, 

{g_n}:MF pt cv M-a.e. to g

|f_n|<=|g_n|

int g dM = lim int g_n dM_n<inf이면

int f dM = lim int f_n dM_n<inf이다.(LDCT의 최고 General Version)

note) Fatou lemma 다양한 버전({f_n}:MF)

1. g(integrable bound)만 있는 경우(nnn인 경우가 포함됨)

2. g(integrable bound)+pt cv a.e. to MF f인 경우

3. g(integrable bound)+pt cv a.e. to Mf f+M_n인 경우

11.5 Signed Measure

(1) MF으로 M만들기

nnn MF, MAS있으면 또 다른 M만들기 가능

integrable있으면 f-sM만들기 가능

integral이 정의될 수 있는 MF가 있으면 sM가능

(이때 각 ME가 +ME인지, -ME인지, null-s-ME인지를 f로 판단가능)

(2) sM의 기본 성질

monotone이 깨지는 대신(+,-때문) finiteness만 유지됨

(하지만 +ME에서는 sM(subME)<=sM(+ME)가 성립, -ME에서는 sM(subME)>=sM(-ME)가 성립)

(절댓값 생각하면, |sM(subME)|<=|sM(ME)|가 성립, ME가 +든 -든)

continuity from below, above 모두 가능(above인 경우 signed-M(ME_1)의 finiteness가 필요)

+ME의 countable union, intersection, difference도 +ME/-ME의 countable union, intersection, difference도 -ME

0<sM(ME)인 ME의 subME중 +ME이면서0<sM(subME)인 것이 존재한다. 

(HDT)MAS에서 sM이 있으면 +ME와 -ME로 partition가능, unique up to symmetric difference null set.    

(그리고 이 partition시키는 +ME, -ME일 떄 sM의 값이 maximum, minimum이 된다.)

(JDT)MAS에서 sM이 있으면 Jordan Decomposition 가능, unique

(즉 sM이 있으면 +sM, -sM, ms하게 decomposition가능, unique함)

(3) sM, +sM, -sM, |sM| 과의 관계(+sM, -sM, |sM|모두 그냥 M이다.)

-sM:finite<->+sM:finite and -sM:finite

-sM:sigma finite<->+sM:sigma finite and -sM:sigma finite

-+sM(ME)=sup{sM(F)|F subset of ME and F:ME}, -sM(ME)=-inf{sM(F)|F subset of ME and F:ME}

(혹은 +sM(ME)=sM(ME intersection +ME), -sM(ME)=sM(ME intersection -ME), +ME와 -ME는 sM의 HD)

-(f:rv일 때)f:integrable wrt |sM|<->f:integrable wrt +sM and -sM

-sM1 ms sM2 <->  sM1 ms |sM2| <-> |sM1| ms |sM2| <-> sM1 ms +sM2 and -sM2

-sM1과 sM2 ms sM인 경우 linear combination of sM1 and sM2도 ms sM(well-defined되면)

11.6 The Radon-Nikodym Theorem

(1) abs conti wrt <<

-two M

기초성질:

-<<는 reflexive, transitive되나 antisymmetric은 안됨

-M1(X):finite, {f-M_n}:cv setwise to a set function, uniformly << M1이면 set function:M and << M1.

-M1(X):finite, {f-M_n}:cv setwise to a set function, each << M1일 때 sup{f-M_n(X)}:finite이면 

{f-M_n}:uniformly << M1

(따라서 set function:M and << M1)

-two sM(가장 일반적, 이것의 정의는 two M을 이용)

기초성질:

-마찬가지로 <<는 reflexive, transitive는 되나 antisymmetric은 안됨

-sM << M <-> |sM| << M <-> +sM and -sM << M

-sM1 << sM and sM2 << sM인 경우 linear combination of sM1 and sM2 << sM(well-defined되면)

-(rho1)f-sM, (rho2)sM가 있을 때, rho1 << rho2 iff epsilon-delta가능 (integral로 해석하면 재밌음)

-measure represented by integration over another measure

1. sf-M1 << sf-M2 이면 sf-M1을 represent하는 nnn rv MF가 존재, unique up to sf-M2-a.e.(역도 성립??)

2. f-sM << sf-M 이면 f-sM을 represent하는 integrable wrt sf-M이 존재 unique up to sf-M-a.e.

-integration over measure = integration over another measure

1. sf-M1 << sf-M2 이면 nnn, MF인 h의 integration over sf-M1 = hf의 integration over sf-M2인 nnn,MF, rv인 f 존재

2. f-sM << sf-M 이면 integrable h over |f-sM| 의 integration over |f-sM| = hf의 integration over sf-M인 

-LDT(Lebesque Decomposition Theorem)의 여러 version

1. sf-M1, sf-M2가 있으면 sf-M1=sf-M3 + sf-M4 s.t. sf-M3 << sf-M2 and sf-M4 ms sf-M1(unique)

2. sf-sM, sf-M이 있으면 sf-sM=sf-sM2 + sf-sM3 s.t. sf-sM2 << sf-M and sf-sM3 ms sf-M

note)요약

1. HDT, JDT, LDT

2. RNT(1)(measure represented...), RNT(2)(integration = integration)

11.7 Lp-Space

-I3  :

Sf with finite support is in Lp

f is in Lp일 때, 기존 pt cv SF가 with finite support인걸로 가능(p-norm approximation은 불가능)

-I3] :

p-norm정의 Lp정의, 

Lp is VS

0<a<b<c<=inf, Lb is subset of La+Lc

0<a<b<c<=inf, La intersection Lc is subset of Lb

-[I2]:

Minkowski ineq(=은 f=(nnn k)q a.e. or g=(nnn k)f a.e.)

(무한합도 가능, MCT이용)

Holder ineq(conj(p,q,r)가능)(=은 (non zero a)f=(non zero b)g a.e.)

BS

-[I2):

f is in Lp일 때, 기존 pt cv SF가 with finite support인걸로 가능(p-norm approximation은 가능해짐)

Lq의 원소 g 하나당 Lp^*의 원소 F하나 만들 수 있음(||F||=||g||_q) (p=1일 땐 M가 semifinite인게 필요)

(Lp)^*의 원소 F 하나당 Lq의 원소 g하나 만들 수 있음(||F||=||g||_q), (p=1일 땐 M이 sigma finite인게 필요)

(따라서, (Lp)^*와 Lq는 isometrically isomorphic, p=1일 땐 sigma finite인게 필요, 즉 Lp는 reflexive BS)

-I1

||f+g||_p ^p <= ||f||_p ^p + ||g||_p ^p가 성립 (삼각부등식같이 생겼지만, 아님)

Minkowski ineq(f,g가 nnn인게 더 필요해짐, =은 f=(nnn  k)q a.e. or g=(nnn k)f a.e.)

(무한합은?)

Holder ineq(f,g가 nnn인게 더 필요해짐, =은 굳이 생각 ㄴ f^p=(fg)^p * g^(-p)에 기존 holder적용)

기타

-convexity of exponential, young's inequality, chebyshev's inequality of (p,t)

-f-M인 경우, 

0<a<b<inf에 대해 Lb is a subset of La(구체적으로 ||f||_q와 ||f||_p 부등식 얻음)

MF인 f에 대해, lim p->inf ||f||_p = ||f||_inf가 된다.(||f||_inf의 notation의 motive)

uni cv이면 cv in Lp됨

-lim p->inf ||f||_p = ||f||_inf되는 충분조건

(1) f-M

(2) f is in Lq (q in [I2 )

-counting M on Z의 성질

-1<=a<b<=inf일 때, La is a subset of Lb

-cv in M <-> uni cv

-Convergence of functions related with Lp ( p is in [I2 ) (p=inf일 땐 따로)

(1) 구분 필요

pt cv, pt cv a.e., uni cv, almost uni cv, uni cv a.e., cv in M, cauchy in M

그리고 추가된 cv in Lp, cauchy in Lp, cv weakly to f

(2) 주의({f_k} is in Lp일 때)

-f_k가 pt cv to f, f가 Lp의 원소인지는 보장안된다.

-cv in Lp라 해서 pt cv인 것은 아니다. 

-pt cv라 해서 cv in Lp인 것은 아니다.

-cv in Lp라 해서 cv in Lq인 것은 아니다. (p<q든, q<p든)

-uni cv라 해서 cv in Lp인 것은 아니다.

-uni cv라 해서 cv weakly to f인 것은 아니다.

-cv in Lp to f이면 부분수열이 존재 s.t. pt cv a.e. to f

-cv in Lp to f이면 cv in M to f됨

-cv in Lp to f이면 cv weakly to f 됨

(3) MCT, DCT, 등 (lim n->inf ||f_n||_p =||f||_p)

MCT, DCT:기존 가정에다가 ^p를 붙이고 생각해서 쓰면 된다.

-RRT의 증명 과정 순서(phi:Lq->(Lp)^*

(a) (p=1일 때)

(M:semifinite)phi가 isometry임을 쉽게 앎(holder+taking f)

(b) (1<p<inf일 때)

phi가 isometry임을 쉽게 앎(holder+taking f)

(c) onto임을 보이기

(M:finite)일 때

->f-sM건설

->RNT이용해서 g만듦 in L1

->SF에 대해선 다 됨을 앎

->Lp에 대해서 다 됨을 앎

->g is Lq,  ||g||_q = ||F||, uniqueness 앎

(M:sigma finite)일 때

->X를 disjoint 한 X_n으로 쪼갬(finite measure인)

->각각에서 g_n 얻음 in Lq, g를 건설

->D_n=union X_k from k=1 to k=n이용, f is in Lp, f^+, f^-각각에 대해 MCT써서 g가 F를 표현함을 보임

->g가 F를 표현함 for all f in Lp임을 보임

->g가 Lq임을 보임(M:finite일 때를 이용)

(M:걍 M일 때, p=1일 땐 안됨, 왜냐하면 g is in Linf의 supp(g)가 sigma-finite인게 보장안되므로)

->collection{sigma finite measurable sets}, 원소 E 각각 마다 g_E 건설가능

->collection에서의 set function 만듦, set function(E)=||g_E||_q ^q, 이때 set function은 monotone, upper bound

->collection에서의 {E_n}만듦 s.t. lim n->inf set function(E_n) = sup set function(E) over E in collection

->H=union E_n, H는 collection의 원소, g_H만듦, 그리고 g를 건설, 자연스럽게 Lq됨

->g가 적절한 지 체크(H보다 더 큰 collection 원소에 대해서, F표현하는지, ||F||=||g||_q인지)

11.8 Small Lp space

(1) for 0<p<=inf, lp=Lp(N, P(N), c), N:natural number set, c:counting measure

(2) 0<p<q<inf, 

eventually zero seq < lp < lq < c_0 < c < linf

(3) RRT가 1<=p<inf에 대해서 성립, (l1 iiso c^*)

*Techniques 모음

0. set function(empty=0, finite additive)이 countable additive<->conti

1. class->sup, inf->거기로 수렴하는 seq잡고->monotone부여(함수든 집합이든)->수렴하게만들고 수렴대상에 주 관심

2. 조건 완화:sigma finite->finite/MF or Lp->nnn MF->nnn SF->char/

3. {x|n-1<f(x)<=n}, {x||f(x)|>||f||_inf -e}, {x||f(x)|>=1}, 

4. Holder가 Lp에서 주로 쓰임(conjugate찾기, f=gh로 쪼개기, f in Lp이면 f^p in L1으로 조작질)

5. cauchy in M이나 cauchy in Lp나 모두 <1/2^j로부터 시작

6. set monotone하게 만들기:union, intersection from k=n to k=inf (from k=1 to k=n하여도 됨)

6. f를 monotone하게 만들기:f*char, min(f,n), sup{f_n}, inf{f_n} 

7. cv in M을 다룰 때 E_e,k잡기

8. E={x | f(x)<g(x)}를 countable union으로 쪼개기

9. {f not zero}가 sigma finite이다. 많은 것을 해결해줌

*몰랐던 용어들

1. 국가재정

국가가 기능을 수행하기 위하여 화폐 자금을 형성하고 분배하는 경제 관계의 총체.

2. 외환보유고

외환보유고란 한 나라가 일시점에서 보유하고 있는 대외(금과 달러·엔·마르크 표시) 외환채권의 총액이다. 국가의 지급불능 사태에 대비하고 외환시장 교란시 환율 안정을 위해 중앙은행이 보유하고 있는 외화의 규모를 나타낸다.

3. 경상거래

국제 거래에서 이루어지는 자본 거래 이외의 부분. 상품의 수출입, 운임, 물물 교환,증여 따위가 포함된다.

4. 운임

운반이나 운수 따위의 보수로 받거나 주는 돈. ‘짐삯’, ‘찻삯’으로 순화. 

5. 경상수지

국제 거래에서 이루어지는 경상 거래에 의한 수지.

6. 수지

수입과 지출

7. GDP(국내총생산, Gross Domestic Product)

국내총생산, 외국인이든 우리나라 사람이든 국적을 불문하고 우리나라 국경내에 이루어진 생산활동을 모두 포함하는 개념이다. 

8. 공공기관

개인의 이익이 아니라 공적인 이익을 목적으로 하는 기관. 즉, 공공기관이란 국가 또는 지방자치단체의 공무를 수행하는 이른바 관공서는 물론 공기업·준정부기관(→준정부조직)까지 포함하는 개념이다. 그러나 좁은 의미로서의 공공기관이라 하면, 정부의 투자·출자 또는 정부의 재정지원 등으로 설립·운영되는 기관으로서 '공공기관의운영에관한법률'[제4조1항 각호]의 요건에 해당하여 기획재정부 장관이 지정한 기관을 가리킨다. 

9. 기획재정부

주요업무

• 중·장기 경제사회발전방향 및 연차별 경제정책방향의 수립과 총괄 조정
• 전략적인 재원 배분과 배분된 예산의 성과평가
• 조세정책 및 제도의 기획·입안 및 총괄·조정
• 국고, 국유재산, 정부회계, 국가채무에 관한 정책의 수립과 관리 총괄
• 외국환 및 국제금융에 관한 정책의 총괄
• 대외협력 및 남북경제교류협력 증진
• 공공기관 운영에 관한 관리ㆍ감독 

해야할 것

1. cv in measure, cauchy in measure 등의 motive와 특징, sup n |f_n|:finite의 의미 알기

2. 숙제하기

3. 증명해보기

note)

erv인지 rv인지 조심히 체크, cv in measure등에서 특히

1. notation

fct:function

rv:real-valued not erv

erv:extended real-valued(별말없으면 erv라 하자. 특별한 경우 rv라 적자.)

nnn:non-negative

σR:sigma-ring

σA:sigma-algebra

bar{A}:completion of sigma-algebra A

BσA:Borel-sigma-algebra

LσA:Lebesgue-sigma-algebra

MAS:Measurable Space

ME(wrt σA):Measurable Sets(wrt σA)

μ(on σA):Measure(on σA)

bar{μ}:completion of μ

MS:Measure Space

bar{MS}:Completion of MS

finite-ME(wrt σA wrt μ):finite Measurable sets(wrt σA wrt μ)

σfinite-ME(wrt σA wrt μ):σ-finite Measurable sets(wrt σA wrt μ)

(R,B):MAS

(bar{R},B_bar{R}):MAS

Mf(wrt σA):A-measurable fct

Sf:simple function

2. About class of sets, MAS

-σR과 σA는 3가지 조건 필요

(σR은 전체집합이 속할 필요가 없다. σA는 전체집합과 공집합이 속한다.)

-σA는 다음을 만족

closed under complement, countable union, countable intersection, difference

-generating이나, the smallest σA containg some class생각가능

-BσA는 metric space에서면 가능

-Product σ-algebra는 projection의 inverse image로 generated된 것(각각의 generator들 생각)

3. MS

-σA와 μ에 의해 결정됨

-completion개념있음

분류

-null set

-finite-ME

-σfinite-ME

4. μ

정의관련

-MS가 있을 때, 4가지 조건 필요

-erv f on MAS가 있을 때마다 μ만들 수 있음.

분류

(1)

-finite μ(X가 finite-ME라는 것)

-σ-finite μ(X가 σ-finite ME라는 것)

-semifinite μ

(finite->σ-finite->semifinite)

(2)

-complete(completion개념있음)(Mf와 필요충분조건있음)

성질관련

-기본적으로 inf-inf가 안나오게끔 가정이 필요함

-countable additivity

-monotonicity(general한 경우도 union과 intersection이용하여 monotone하게 만들 수 있음)
-continuity from below

-continuity from above

-infimum of sets, supremum of sets + Borel Cantelli

-a.e. in μ

(주의:"null set빼고 성립"이 아니라 "null set의 subset 빼고 성립"이다. 물론 complete MS인 경우는 구분 안해도 됨)

note)Techniques

-disjoint한 것들로 분해->countable additivity이용

-monotone하게 만듦->continuity이용

5. Mf

정의관련(별말없으면 erv인 fct)

using rays(4가지 방법), using borel(1가지 방법)

note)일반적인 measurable function은 MAS->MAS인 경우이다. continuity와 정의가 유사하나, 우리는 공역이 (bar{R}, B_bar{R})인 경우만을 주로 다룰 것이다.

note)MAS만 있으면 Mf생각가능, 정의상에서는 μ와는 관련 없음

성질관련

-Mf가 있을 때 Mf 만드는 방법->closed under +, 곱, sup, inf, limsup, liminf, 

-MS랑 관련지어

bar{MS}에서 Mf이면 MS에서 Mf인거 만들 수 있음(a.e. bar{μ})

bar{MS}에서 Mf가 있으면 a.e.다른 것도 Mf

bar{MS}에서 Mf의 pt cv a.e. 또한 Mf이다.(따라서 all Mf collection은 pt cv a.e에 closed됨)

Sf(rv인 경우만 다루고 기본적으로 Mf일 때만을 정의하자.)관련

6. Main Theorem

(1) Mf는 Sf로 근사가능(pt cv, Mf가 inf값을 안가지는 부분에서는 uni cv가능)

(이때 μ가 상관 없음, 만약 있고 그것이 σ-finite인 경우, Sf가 finite support인걸로도 만들 수 있음)

(pt cv a.e.가 아니라 완벽히 pt cv이다.)

(2) Egoroff, finite μ, {Mf_n}이 pt cv a.e.이면 almost uni cv

7. Convergen of functions

종류

-μ관련없이

pt cv

uni cv

-μ관련있음

pt cv a.e.

uni cv a.e.

almost uni cv

cv in μ(cauchy in μ와 동치)

note)가장 강력:uni cv, 가장 약함:cv in μ

note)cv in μ같은 경우 {f_n}이 rv여야만 함.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Examples

1. μ인데 not semifinite인 예

2. semifinite μ인데 not σ-finite인 예

3. σ-finite μ인데 not finite인 예

4. BσA의 completion이 LσA임을 보여라.

5. X:uncountable일 때 countable과 co-countable을 다 모아둔 σA에서의 measure생각 가능(countable인 것에 0, co-countable인 것에 1)

*기타 내용들

1. Banach-Tarski theorem(measure의 정의가 careful해야됨을 시사)

:

1. Rietz's Theorem(0<a<1)

a=1일때 성립안하는 예?

2. Banach인데 not RBS인 예

L^1, L^inf

3. Lp에서 dual은 Lq인데 이게 성립 안하는 p는 inf

(이때 dual이 더 큼)

4. A:nvs->nvs, LT

not conti인데 closed graph를 가지는 예

A:polynomial[0,1] with uniform norm->polynomial[0,1] with ||f||+||f'|| (각각은 uniform norm)

f_n = x^n 생각

5. Second-category인 nvs가 not complete인 예

Frechet metric이용, 

6. UBP에서 BS가정 없으면 안되는 예

S_f->l^2

An(ek)=0 (k not n), n*ek (k=n)

1. Security(financial instrument, 증권, 유가증권)

:a tradable asset of any kind.

(대게 3가지로 분류됨, debt securities(banknotes(은행권), bonds(채권), debentures(회사채)), equity securities(common stocks(보통주)), derivative contracts(forwards(선물계약), futures(선물거래), options(옵션), swaps(스왑))

2. debt securities(부채증권, 채무증권)

3. bill(단기성 채권)

4. note(중기성 채권)

5. bond(장기성 채권)

6. central bank(중앙은행)

7. banknote(은행권)

8. debenture(corporate bonds, 회사채, 사채)

기업이 자금조달을 위해 직접 발행하는 채권으로 사채라고도 한다. 회사채는 주식과는 달리 회사의 수익에 관계없이 일정률의 이자가 지급되는 것이 특징이다. 금융기관에서 지급을 보증하는 보증사채와 무보증사채, 담보부사채가 있는데, 상장기업 또는 증권감독원에 등록된 법인이 기업자금조달을 위해서 직접 발행한다. 이자는 3개월마다 후불하며 만기가 되면 액면금액을 지급받는다. 회사채는 회사가 직접금융시장에서 자금을 조달하기 위하여 공모 또는 사모로 채권을 발행하는 것으로서, 공모채는 금융감독원에 유가증권 발행신고서를 접수하여 일반 대중에게 매출하는 절차로 발행된다.

9. company limited by shares(stock company, incorporated company, 주식회사)

오늘날 사기업 가운데서도 가장 발달한 고도의 기업형태이다. 통설에 의하면 영국 동인도회사(1600년)와 화란 동인도회사(1602년)가 기원이라고 한다. 자본가가 소유한 자본뿐만 아니라 일반대중의 수중에 있는 유휴자본까지도 흡수하여 대규모사업을 영위하는 데 적합한 기업형태인 동시에 순전히 자본적 결합에 치중한 물적 회사이다. 이 때문에 주식회사에 있어서는 합명회사와 같은 인적인 색채는 없어져 구성원의 개성은 문제되지 않고 구성원 각 개인이 가진 자본만이 표면에 나타난다. 그리하여 이러한 주식회사는 자본주의경제가 발전하여 개별자본의 집중 · 집적을 통한 대규모기업의 필요성이 증대됨에 따라 더욱 번성하여 왔으며 이 때문에 오늘날과 같은 독점자본주의 단계에 있어서는 이것이 지배적인 기업형태를 이루고 있는 것이다.

주식회사의 본질적 특색으로는 ① 회사에 출자한 사원(주주)의 지위는 출자액을 한도로 하는 유한책임을 지도록 되어 있고 ② 주식은 등액균등이며 ③ 이것의 자유양도가 가능한 점 등을 들 수 있다. 주주는 출자자로서 주주총회에 출석하여 의결권을 행사할 수 있고 또 이익배당을 청구할 수 있을 뿐이다. 주주는 성격에 따라 ① 사업주주 ② 투자주주 ③ 투기주주의 셋으로 나눌 수 있다. 주식회사는 그 운영상 특색으로서 각기 그 기능을 달리 하는 세 기관으로 분립, 운영되고 있다. 즉 ① 의사결정기관으로서의 주주총회(입법기관) ② 집행기관으로서의 이사회(운영담당기관) ③ 집행을 감독평가하는 감사(사법기관)가 각각 존재하여 운영의 민주적 수행을 법적으로 규제하고 있다. 현재 우리 상법상으로 이사의 임기는 2년, 감사의 임기는 3년으로 되어 있다.

주식회사의 공통적인 성격은 그 성격상으로 보아 다음과 같다. ① 회사는 그 구성원과는 아주 별개인 존재로서, 자본체라는 점 ② 확정된 사업목적의 범위 내에서 법적 능력을 갖는 한 법인이라는 점 ③ 자본은 주식형태로 구성원의 출자에 의해서 형성되는 점 ④ 주식의 자유양도가 가능한 점 ⑤ 출자에 대한 책임은 유한책임에 그치는 점 ⑥ 경영과 소유가 분리되어 사업의 경영기능은 중역제도에 의하여 이사가 담당하고 출자자인 주주에게는 소유기능만이 분담되는 점 등을 들 수 있다.

10. private company(유한회사)

11. investment money(출자금)

:자금(회사 경영에 필요한 돈)으로 낸 돈

12. unlimited company(무한책임회사)

13. guaranteed bond(보증 사채)

14. unguaranteed bond(bond without guarantee, 무보증 사채)

15. collateral bond(secured bond, mortgage bond, mortgage debenture, 담보부 사채)

사채발행시에 담보가 요구되는 사채로서 발행회사와 수탁회사간에는 신탁계약을 하고 수탁회사는 사채권자(응모자)를 위하여 담보의 보전과 담보권의 행사를 맡는 방식이다.

　담보물건의 종류에 따라서 다시 부동산을 담보로 하는 부동산담보부사채와 주식이나 채권 등 유가증권을 담보로 하는 유가증권담보부사채로 나눌 수 있다. 또한 담보의 형태에 따라 동일담보물건에 대하여 사채를 전부 발행하고 그 담보물건을 장래에 발행되는 사채의 담보로 허용하지 않는 폐쇄식 담보부사채와 담보여력이 있는 경우에는 다음에 발행되는 사채의 담보로 사용하는 개방식 담보부사채로 구분할 수 있다

16. mortgage(저당권)

17. securities market(securities exchanges, stock market, 유가증권시장)

18. listed company(listed corporation, 상장기업)

상장기업이란 유가증권 시장에 상장되어 주식이 거래되고 있는 기업을 말한다. 한국에서 공식적인 유가증권 거래 시장은 거래소와 코스닥 두 곳이 있다. 예를 들어, A란 회사의 주식이 거래소에서 거래되고 있으면 A란 회사는 거래소에 상장된 기업, B란 회사의 주식이 코스닥에서 거래되고 있으면 B란 회사는 코스닥에 상장된 기업이 된다. 즉, 한국의 상장기업은 코스닥과 거래소라는 유가증권 시장에서 주식이 거래되고 있는 기업을 말하며, 코스닥 상장 기업과 거래소 상장 기업을 합쳐서 통칭 상장기업이라고 한다. 코스닥과 거래소는 유가증권시장의 명칭이다.

19. Securities Supervisory Board(증권감독원)

유가증권 발행·관리와 공정한 거래질서 확립, 증권기관의 감독과 검사 업무를 수행하던 무자본 특수법인.

20. Public Offering(공모)

공모(공개모집)란 새로 회사를 설립하거나 자본금을 증자할 때 주주 또는 특정 거래처 및 은행 등에 신주인수권을 주지 않고, 불특정 다수의 일반투자자를 대상으로 신주를 발행 모집하는 것으로, 주주나 특정 거래처, 은행 등에 신주를 인수할 수 있는 권리를 주는 사모(私募)와 반대되는 개념이다. 회사가 공모를 하는 이유는 주주층을 넓히고 주식을 분산해서 시장성을 높이며, 주식 매점 등에 대항하고, 재무제표상의 자본금을 조정하기 위해서이다. 주식의 공모는 발행회사가 직접 공개모집을 하는 직접발행과 증권회사 등에 의해 행하여지는 간접모집, 증권회사가 일단 총액을 인수하고 그 후에 일반대중에게 전매하는 총액인수방식이 있는데, 공모는 일반적으로 발행위험도 크고 사무절차도 복잡하므로 증권발행을 전문기관에 일임하는 간접발행 방식을 채택하는 것이 보통이다.

21. private placement(사모)

보험회사, 은행, 투자신탁회사 등의 기관투자가나 특정개인에 대하여 개별적 접촉을 통해 증권을 매각하는 기채방식으로 연고모집이라고도 한다. 공모에 비해 시간과 비용이 절약되고, 기업내용공개를 회피할 수 있으며, 매입자 입장에서 유리한 조건으로 대량의 증권을 취득할 수 있다는 이점이 있으나 발행량이 한정되고 발행자가 유통시장에서 사후관리를 할 수 없으며, 기채시 담보에 엄격한 조건을 부과해야 한다는 단점이 있다. 

22. corporation(법인)

자연인(自然人)이 아니면서 법률상의 권리·의무의 주체로 되어 있는 의인(擬人). 사회에서 법적인 주체로 되는 것은 자연인[개인]만은 아니고, 일정한 목적을 위해 결합된 사람들의 단체[사단]나 일정한 목적으로 갹출된 재산의 집합[재단]도 법적으로 사회활동을 할 수 있다.

23. incorporated association(사단법인)

일정한 목적을 위하여 결합한 사람의 집단으로 권리능력이 인정된 것을 말한다.
사단법인은 영리를 목적으로 하는 것(회사와 같이 상법의 적용을 받는 것), 공익을 목적으로 하는 것(적십자사와 대한상공회의소와 같은 것), 영리도 공익도 목적으로 하지 않는 것(노동조합과 같은 것)이 있다. 보통 사단법인이라고 할 때에는 비영리사단법인을 가리킨다.

24. loan(program, 여신)

:금융기관에서 돈을 빌려주는 일

25. insolvent obligation(non performing loans, 부실채권)

금융기관의 대출금은 정상·요주의·고정·회수의문·추정손실 등 다섯 단계로 분류되는데, 부실채권은 정상을 제외한 나머지 4개를 포함한 것이다.

26. Asset-Backed Securities(ABS)

ABS는 영문 Asset-Backed Securities의 약자를 딴 것으로 자산(Asset)을 근거로(Backed) 발행되는 증권(Securities)이다.
일반적으로 '자산담보부증권'이라 불려왔으나 1998년 9월 '자산유동화에 관한 법률'이 제정되면서 '자산유동화증권'이라는 용어를 사용하게 됐다. 
여기서 '자산'이란 자동차 가전회사등이 고객들로부터 미처 받지 못한 미수금(매출채권), 금융기관 대출금, 리스채등 각종 채권, 부동산 등 일반 자산이다.
즉, ABS란 기업의 부동산을 비롯한 여러가지 형태의 자산을 담보로 발행된 채권을 말한다. 보통 원리금 지급이 거의 확실한 선순위채권과 그렇지 않은 후순위채권으로 분리 발행된다. 
금융시장이 발달한 선진국의 경우를 보면 ABS는 상대적으로 안정성이 높으면서 적정한 수익률을 제공하는 금융상품으로 인식되며 발행규모가 해마다 증가하고 있다. 
ABS는 국내에서 1999년부터 발행되기 시작했으며 금융·기업 구조조정과정에서 발생한 부실채권을 처리하는 방법으로 자주 쓰이고 있다.

자산유동화증권 중 금융기관이 집을 담보로 대출해주고 그 채권을 근거로 발행하는 것은 '주택저당담보부채권(MBS)'으로 별도로 분류한다.
또 투기등급의 고수입-고위험 채권을 담보로 발행하는 '채권담보부증권(CBO)', 신용도가 낮은 기업들에 대한 은행의 대출채권을 묶어 이를 담보로 발행하는 '대출채권담보부 증권(CLO)'도 자산유동화증권(ABS)의 일종이다.  

27. index bond(인덱스 본드)

투자자의 입장에서 채권은 주식에 비해 안전한 상품이기는 하나 인플레이션에 따라 가격변동의 문제가 발생하게 된다. 이를 해소하기 위한 방안으로 나온 상품이다. 이것은 채권금리를 각종 물가지수나 실물의 가격에 연동시킴으로써 실질금리를 보장해 주기 위한 상품이다.

28. consumer price index(소비자 물가 지수)

정의역이 R^n에서만 생각, 더 abstract는 실변수함수론 들은 후에 정리

*Convergence의 types

ptcv:Pointwise Convergence
unicv:Uniform Convergence
Lpcv:Lp의 norm convergence
Mcv:Measure Convergence

*Function의 정의역

finiteMS:Measure Space with mu(X)<inf
InfiniteMS:Measure Space with mu(X)=inf
(별말 없으면 infiniteMS인 경우이고, finiteMS는 명시한다.)

*Theorems

1. MF는 Simple function으로 근사가능 하다. (pt cv)

(MF가 infinite value을 가지지 않을 때는, simple function으로 unicv하게 근사가능할 때가 있다. MF가 bdd라거나...)
2. (finiteMS)MF는 ContiF으로 근사가능 on smaller domain (pt cv)
3. (finiteMS)ptcv는 unicv로 가능 on smaller domain
4. (finiteMS)unicv는 ptcv, Lpcv의 충분조건이 된다.
4. ptcv이면 Lpcv를 보장해주진 않지만, Lpcv의 수렴함수의 후보(f)가 정해진다.(||f_k||_p->||f||_p조차도 아닐 수 있음)

(MCT가정을 만족하면 ||f_k||_p->||f||_p임을 알 수 있음, 게다가 f_k와 f가 LpF이면 ptcv->Lpcv됨)

(DCT가정을 만족하는 경우엔, dominated by LpF, ptcv이면 Lpcv가 된다.)
5. Lpcv이면 ptcv를 보장해주진 않지만, ptcv하는 subseq의 존재성을 보장해준다.
6. LpF는 compact support and bdd function으로 근사가능(Lpcv)
    ->LpF은 C^inf_c로 근사 가능(Lpcv)

1. Set operation
(1)closed under complement
(2)closed under ctb union(fnt union보다 강력)
(3)closed under ctb intersection(fnt intersection보다 강력)

(4)closed under difference

2. monotone

(1) subset이 measure 작아야, 항상 필요, 그래야 직관적임에 부합되지

(2) continuity for ascending, or descending measurable sets

(closed under union or closed under intersection일 때 논의가능)

3. additivity

(1)ctb add(fnt add보다 강력)

(2)ctb subadd(fnt subadd보다 강력)

(monotone이 보장되면 ctb add->ctb subadd)

4. Approximation by simpler

(1) Jordan<-Elementary sets

(2) L-measurable<-by open sets or closed sets or compact set

5. 기타

(1) Translation invariance, Closure invariance, Interior Invariance, Linear Transformation Invariance

(2) Related to Integrability of characteristic function(Jordan<->Riemann, Lebesgue measurable set<->Lebesgue Integration)

(3) any subset of measurable set, 의 outer measure, inner measure

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

psychosomatic

carnage

incarnate

reincarnate

corporal

corporeal

incorporeal

corporate

incorporate

corps

corpse

corpulent

corpuscle

ossify

osteopath

ostracize

oyster

bibliology

abase

debase

confound

profound

delimit

illimitable

strait

strain, constrain, constraint, restrain

strict, constrict, restrict

distress

prostrate

기상->아주 피곤, 어머니께서 깨워줌
샤워하고 바로 나가서 버스를 타고 등교를 함

메모장을 사용함, 앞에서는 영어단어를, 뒤에서는 해야할 일들을

두려움따위는 없었고

목표는 낮았다.

하지만 열심히였다.

8:20분까지 등교

8:30분부터 일교시 시작,

50분수업, 10분 쉬는 시간, 점심시간 1시간, 저녁시간 1시간, 청소시간 20분, 야자7시~9시 

수학문제를 푼다거나, 잠을 잠

수업을 굉장히 열심히 들음, 선생님을 존경

쉬는 시간에 자든가 영어단어를 외움

점심시간엔 밥을 엄청 열심히 먹었다.

용돈은 2000원, 커피랑 박카스 따위를 사먹는걸 자주함, 혹은 아이스크림

오후수업을 들음

질문을 열심히 함

청소시간, 청소 열심히함

보충수업, 잘들음

저녁을 먹고 잠을 자거나 공부를 함

야자시간

마치고 학원 버스를 타고 학원을 감

수업을 듣고 집에와서 샤워하고 뭐먹고 잠

(결국 내 공부시간은 야자시간밖에 없었던 셈이고, 부족한 것은 쉬는 시간 활용)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

dissemble
assimilate

simultaneous

instantaneous

spontaneous

seemly

liberate

illicit

taxonomy

inquire

perquisite

requisite

arrogate

derogate

prorogue

unearth

expulsion

repulse

impel

repellent

matchmaker

rebate

applause

implausible

accredit

credence

credentials

credo

creed

abide

confide

diffident

infidelity

interfaith

perfidy

genuflect

inflect

inflexible

reflect

deploy

perplex

suppliant

supplication

allegiance

colligate

liaison

obligate

oblige

annex

nexus

ornithology

inaugurate

benign

carcinogenic

congenital

engender

eugenics

genesis

genetic

genuine

ingenious

ingenuous

disingenuous

progenitor

progeny

cognate

naive

nascent

natal

perinatal

denigrate

culpability

culprit

hemogram

hemolysis

salubrious

salutary

salutation

salute

sanitarium

sanitary

heirology

consanguinity

sanguine

consecrate

sanctify

reflate